8 2024年胶州市学业水平第一次阶段性质量检测-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东青岛专版）

— ４３— — ４４— — ４５— 　　　　　　　　　　　　　　　　第Ⅰ卷（选择题 共３０分） 一、选择题（本大题共 １０小题，每小题 ３分，共 ３０ 分。在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） １．－槡２的绝对值是 （　　） Ａ．槡 ２ ２ Ｂ．－槡２ 槡Ｃ．２ Ｄ．－ 槡２ ２ ２．数学的世界是一个充满美的世界，在那里，我们 可以感受到和谐、比例、整体和对称。以下图案中 （不包含文字），是轴对称图形，但不是中心对称 图形的是 （　　） Ａ．维切克分形 Ｂ．Ｈ分形 Ｃ．Ｈｅｘａｆｌａｋｅ Ｄ．毕达哥拉斯树 ３．２０２４年春节出游人次和旅游总花费均创历史新高， 经文化和旅游部数据中心测算，春节假期全国国内 旅游出游４．７４亿人次。４．７４亿＝４７４００００００，将 ４７４００００００用科学记数法表示为 （　　） Ａ．４．７４×１０９ Ｂ．４．７４×１０８ Ｃ．４７．４×１０７ Ｄ．４７４×１０４ ４．为提高学生的运算能力，某校开展“计算小达人” 活动，已知甲班 １０名学生测试成绩的方差是 ｓ２甲＝０．１８，乙班 １０名学生测试成绩的方差是 ｓ２乙＝ｍ，两班学生测试成绩的平均分都是９６分，学 校根据平均分和方差判定甲班胜出，则ｍ的值可 能为 （　　） Ａ．０．２１ Ｂ．０．１８ Ｃ．０．１６ Ｄ．０．１５ ５．如图是某工厂生产的一种零件，该几何体的左 视图是 （　　） Ａ 　 Ｂ 　 Ｃ 　 Ｄ ６．下列运算正确的是 （　　） Ａ．２ａ３＋４ａ２＝６ａ５ Ｂ．ａ４·ａ２＝ａ８ Ｃ．ａ９÷ａ３＝ａ３ Ｄ．（ａｂ２）３＝ａ３ｂ６ ７．如图，将△ＡＢＣ先向下平移３个单位长度，再绕 原点Ｏ按逆时针方向旋转９０°得到△Ａ′Ｂ′Ｃ′， 点Ｃ的对应点Ｃ′的坐标为 （　　） Ａ．（１，－３） Ｂ．（０，－２） Ｃ．（０，２） Ｄ．（－１，３） ８．如图，在△ＡＯＢ中，∠Ｂ＝９０°，∠Ａ＝３０°，延长 ＢＯ至点 Ｃ，使 ＯＣ＝ＯＢ，过点 Ｃ作 ＣＤ∥ＡＢ，交 ＡＯ的延长线于点Ｄ。若ＯＢ＝１，则ＡＤ的长为 （　　） 槡 槡Ａ．２５ Ｂ．４ Ｃ．２３ Ｄ．２ ９．如图，ＢＣ是⊙Ｏ的直径，Ａ，Ｄ是⊙Ｏ上的两点。 若∠ＡＢＣ＝５２°，则∠ＡＤＢ的度数为 （　　） Ａ．２６° Ｂ．２８° Ｃ．３８° Ｄ．５２° 第９题图 　　 第１０题图 １０．反比例函数ｙ１＝ ８ ｘ 和ｙ２＝ ｋ ｘ 在第一象限的图象如 图所示，Ａ，Ｂ分别为ｙ１，ｙ２图象上两点，且ＡＢ∥ｘ 轴，若△ＡＯＢ的面积为２，则ｋ的值为 （　　） Ａ．４ Ｂ．６ Ｃ．１０ Ｄ．１２ 第Ⅱ卷（非选择题　共９０分） 二、填空题（本大题共６小题，每小题３分，共１８分） １１．槡１２－ １ ３槡( )×槡３＝　　　　。 １２．下表是小明参加科技创新比赛的得分表（百分 制），则小明的综合成绩为　　　　分。 姓名 小明 综合成绩 ☆ 项目 理论知识 创新设计 现场展示 得分 ８５ ８８ ９０ 权重 ２０％ ５０％ ３０％ １３．关于ｘ的一元二次方程 ｘ２＋２ｘ＝１－ｍ有实数 根，则ｍ的取值范围是　　　　。 １４．已知二次函数 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象如图所示， 则直线 ｙ＝（２ａ＋ｂ）ｘ＋ ａ＋ｃ ｂ 不经过的象限是第 　　　　象限。 第１４题图 　　 第１５题图 １５．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝４，∠ＢＡＣ＝１２０°， 以ＡＢ为直径的⊙Ｏ交 ＢＣ于点 Ｄ，过点 Ｄ作 ⊙Ｏ的切线 ＤＥ，交 ＡＣ于点 Ｅ，则图中阴影部 分的面积为　　　　　　。 １６．如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝３，Ｅ是边 ＡＤ 上一点，ＤＥ＝ １ ３ ＡＤ，Ｆ是 ＡＢ延长线上一点， ＢＦ＝ＤＥ，连接ＥＦ，交对角线ＢＤ于点Ｏ。下列 结论：①△ＣＥＦ是等腰三角形；②△ＯＥＤ∽ △ＯＦＢ；③ＯＤ＝２ＯＢ；④ＯＣ＝槡５。其中正确的 是　　　　。（只填写序号） 三、作图题（本大题满分 ４分。请用直尺、圆规 作图，不写作法，但要保留作图痕迹） １７．已知：△ＡＢＣ，∠Ａ＝４５°，∠Ｂ＝８０°； 求作：点 Ｐ，使∠ＰＢＣ＝３５°，且点 Ｐ在边 ＡＣ上。 四、解答题（本大题共９小题，共６８分） １８．（８分）（１）解不等式组： ５ｘ－２＞３（ｘ＋１）， １ ２ ｘ－１≥－ ３ ２ ｘ；{ （２）计算： ２ ｘ－１ －１( )÷ｘ ２－６ｘ＋９ ｘ－１ 。 １９．（６分）２０２４年４月２３日是联合国教科文组织 确定的第２９个“世界读书日”。某学校开展了 “浸洞书香，典耀中华”中国四大古典名著图书 漂流活动，小颖和小明都想阅读《水浒传》，于 是两人决定一起做游戏，谁获胜谁先阅读。游 戏规则如下： 甲口袋装有编号为１，２，３的三个球，乙口袋装 有编号为１，２，３，４的四个球，两口袋中的球除 编号外都相同。小颖先从甲口袋中随机摸出一 个球，小明再从乙口袋中随机摸出一个球，若两 球编号之积为奇数，则小颖获胜；若两球编号之 积为偶数，则小明获胜。请用列表或画树状图 的方法，说明这个游戏对双方是否公平。 ２０．（６分）为预防电动自行车引发火灾，保护居民生命 财产和公共安全，某小区物业为电动自行车建立了 集中停放和充电点，并安装了遮阳棚，方便居民使 用（如图１）。在如图２所示的侧面示意图中，遮阳 棚ＡＢ长３．２米，与水平线的夹角为１８°，立柱 ＡＣ 的高为２．２４米，当太阳光线ＢＤ与地面ＣＤ的夹角 为６７°时，求此时遮阳棚在地面上形成的阴影宽度 ＣＤ的长。 (参考数据：ｓｉｎ１８°≈３１０，ｃｏｓ１８°≈ １９ ２０ ，ｔａｎ１８°≈ １３ ４０ ， ｓｉｎ６７°≈ １２ １３ ，ｃｏｓ６７°≈ ５ １３ ，ｔａｎ６７°≈ １２ ５) 图１ 　　 图２ ２１．（６分）中国是拥有世界级非物质文化遗产数量最 多的国家，某学校开展了“弘扬中国文化，增强文 化自信”的主题活动。为了解这次活动的效果，学 校组织全校学生进行了中国非物质文化遗产相关 知识测试（测试成绩满分为１００分，且成绩均为整 数）。测试结束后随机从七、八年级分别抽取了２０ 名学生的成绩（设测试成绩为 ｘ分，共分成 ４组： Ａ：９５≤ｘ≤１００，Ｂ：９０≤ｘ＜９５，Ｃ：８５≤ｘ＜９０，Ｄ：８０≤ ｘ＜８５，得分在９０分及以上为优秀），并绘制成了如                                                                                                                                                                                                                     ８ ２０２４年胶州市学业水平第一次阶段性质量检测 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — ４６— — ４７— — ４８— 图不完整的频数分布直方图和扇形统计图。其 中七、八年级部分学生的成绩（单位：分）如下： 七年级Ｃ组学生的成绩：９３，９４，９３，９２，９４，９４； 八年级 Ｂ组学生的成绩：９４，９３，９１，９３，９２，９３， ９３，９３，９２。 七、八年级抽取的学生测试成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 ９２ ａ ９４ ｃ 八年级 ９２ ９２．５ ｂ ６５％ 【解决问题】 （１）填空：ａ＝　　　，ｂ＝　　　，ｃ＝　　　； （２）已知该校七、八年级分别有６００名学生，请估计 七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数； （３）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生 在本次测试中，哪个年级的学生对中国非物质文 化遗产相关知识了解得更好一些？请说明理由。 （写出一条理由即可） ２２．（６分） 三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角 形的重心。 三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连 线的长是对应中线长的 １ ３ 。 下面是小亮证明性质的过程： 已知：如图，在△ＡＢＣ中，Ｄ，Ｅ分别是边ＢＣ，ＡＢ的中 点，ＡＤ，ＣＥ相交于点Ｏ。 求证： ＯＥ ＣＥ ＝ＯＤ ＡＤ ＝１ ３ 。 证明：如图，连接ＤＥ。 ∵Ｄ，Ｅ分别是边ＢＣ， ＡＢ的中点， ∴ＤＥ∥ＡＣ， ＤＥ ＡＣ ＝１ ２ 。 ∴△ＡＣＯ∽△ＤＥＯ。 ∴ ＯＥ ＯＣ ＝ＯＤ ＯＡ ＝ＤＥ ＡＣ ＝１ ２ 。 ∴ ＯＥ ＣＥ ＝ＯＤ ＡＤ ＝１ ３ 。 性质应用： （１）如图１，在△ＡＢＣ中，点Ｇ是△ＡＢＣ的重心， 连接ＡＧ并延长交ＢＣ于点Ｅ，若ＡＧ＝４，则ＡＥ＝ 　　　　； （２）如图２，在△ＡＢＣ中，中线 ＡＥ，ＣＦ相交于 点Ｇ，若△ＡＢＣ的面积为４８，则△ＣＥＧ的面积 为　　　　； （３）如图 ３，在△ＡＢＣ中，若 ＢＦ＝ １ ｎ ＡＢ，ＢＥ＝ １ ｎ ＢＣ，△ＡＢＣ的面积为ｍ，则△ＣＥＧ的面积为 　　　　。 图１ 　　 图２ 　　 图３ ２３．（８分）为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校 准备购买若干套健身器材供学生使用。经调 查，某公司有Ａ，Ｂ两种健身器材可供选择，每 套Ａ型健身器材售价比Ｂ型健身器材售价低 ０．４万元，用 １６万元购买 Ａ型健身器材和用 ２０万元购买 Ｂ型健身器材购得的器材数量 相同。 （１）Ａ，Ｂ两种健身器材每套的售价分别为多少 万元？ （２）经协商，该公司承诺：每套 Ａ型健身器材 在售价的基础上减免０．２万元；每套Ｂ型健身 器材在售价的基础上打七五折。若学校购进 的８０套健身器材中，Ｂ型健身器材的数量不 少于Ａ型健身器材数量的２倍，学校应如何购 买才能使总费用最少？ ２４．（８分）如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＣＤ， ＡＢ⊥ＢＣ，Ｏ是 ＡＣ的中点，连接 ＤＯ并延长， 交ＡＢ于点Ｅ。 （１）求证：△ＡＯＥ≌△ＣＯＤ； （２）连接ＣＥ，若∠ＡＥＯ＝∠ＡＣＢ，请判断四边 形ＡＥＣＤ的形状，并证明你的结论。 ２５．（１０分）２０２４年３月２９日，全国室内田径锦标 赛在天津开赛，女子铅球决赛中，河北队选手巩 立姣投出１９米３５轻松夺冠。铅球从出手到落 地的过程中，其运动轨迹（不考虑其他因素）可 以近似地看成是抛物线的一部分。某运动员在 训练时，铅球在空中的竖直高度 ｙ（米）与水平 距离ｘ（米）之间的部分对应数值如表所示。 ｘ ０ ３ ６ ９ １２ ｙ ９ ５ ９ ４ １２ ５ ９ ４ ９ ５ （１）出手时铅球的竖直高度为　　　　米，铅 球在空中的最大高度为　　　　米； （２）按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的 函数解析式； （３）该运动员在比赛时，投出的铅球在空中的 竖直高度ｙ（米）与水平距离ｘ（米）之间的函数 关系式为 ｙ＝－ １ ５０ ｘ２＋ １ ４ ｘ＋ ７ ４ 。请判断该运动员 在比赛和训练时哪次投出的铅球更远一些，并 说明理由。 ２６．（１０分）如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６ｃｍ， ＡＤ＝８ｃｍ，动点Ｐ从点Ｃ出发，沿 ＣＡ方向匀速运 动，速度为２ｃｍ／ｓ，ＥＦ垂直平分ＣＰ，交ＢＣ于点Ｅ， 连接ＥＰ并延长，交 ＡＤ于点 Ｑ，连接 ＤＰ，ＢＱ，ＢＱ 与ＡＣ交于点Ｎ，设运动时间为ｔｓ（０＜ｔ＜５）。解答 下列问题： （１）当Ｅ是ＢＣ的中点时，求ｔ的值； （２）设△ＤＰＱ的面积为 Ｓ（ｃｍ２），求 Ｓ与 ｔ之间的 函数关系式及Ｓ的最大值； （３）是否存在某一时刻 ｔ，使得 ＢＱ∥ＤＰ？若存在， 求出ｔ的值；若不存在，请说明理由。                                                                                                                                                                                                                            ∵∠ＤＡＢ＝６０°， ∴△ＡＥＧ是等边三角形，∠ＡＧＭ＝３０°。 ∴ＡＭ＝ １ ２ ｔｃｍ，ＧＭ＝ ｔ２－ １ ４ ｔ槡 ２＝槡３ ２ ｔ（ｃｍ）。 同理可得ＦＮ＝槡３ｔｃｍ。 在Ｒｔ△ＣＤＱ中， ∵∠ＤＣＦ＝∠ＤＡＢ＝６０°，ＣＤ＝ＡＢ＝８ｃｍ， ∠ＤＱＣ＝９０°， ∴∠ＣＤＱ＝３０°。 ∴ＣＱ＝ １ ２ ＣＤ＝４ｃｍ，ＤＱ＝ ８２－４槡 ２＝槡４３（ｃｍ）。 ∴Ｓ＝Ｓ梯形ＡＢＦＧ－Ｓ△ＡＧＥ－Ｓ△ＢＥＦ ＝槡４３（ｔ ＋２ｔ） ２ －１ ２ ·ｔ·槡 ３ ２ ｔ－ １ ２ ·槡３ｔ·（８－ｔ） ＝槡６３ｔ－ 槡３ ４ ｔ２－槡４３ｔ＋ 槡３ ２ ｔ２ ＝槡３ ４ ｔ２＋槡２３ｔ。 （３）不存在。理由如下： 假设存在符合题意的ｔ，使点Ｆ在∠ＧＥＢ的平分线 上。如图２，过点Ｆ作ＦＰ⊥ＡＣ于点Ｐ，作ＦＲ⊥ＥＧ 于点Ｒ。 图２ ∵ＥＧ⊥ＡＣ，∴∠ＲＨＰ＝∠ＡＰＦ＝∠ＦＲＨ＝９０°。 ∴四边形ＨＲＦＰ是矩形。∴ＦＲ＝ＨＰ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，∠ＤＡＢ＝６０°， ∴∠ＣＡＢ＝∠ＡＣＢ＝３０°。 如图 １，在 Ｒｔ△ＡＯＢ中，ＯＢ＝ １ ２ ＡＢ＝４ｃｍ，ＯＡ＝ ８２－４槡 ２＝槡４３（ｃｍ），∴ＡＣ＝槡８３ｃｍ。 如图２，在Ｒｔ△ＣＰＦ中，ＣＰ＝ＣＦ·ｃｏｓ３０° ＝槡３ ２ （８－２ｔ）ｃｍ， 在Ｒｔ△ＡＨＥ中，ＡＨ＝ＡＥ·ｃｏｓ３０°＝槡 ３ ２ ｔｃｍ， ∴ＦＲ＝ＨＰ＝ＡＣ－ＡＨ－ＣＰ＝ 槡８３－ 槡３ ２ ｔ－槡 ３ ２ （８－２ｔ）＝ 槡３ ２ ｔ＋槡４３( ) ｃｍ。 ∵点Ｆ在∠ＧＥＢ的平分线上，ＦＮ＝槡３ｔｃｍ， ∴ＦＲ＝ＦＮ，即槡 ３ ２ ｔ＋槡４３＝槡３ｔ。 解得ｔ＝８。 ∵０＜ｔ＜４，∴ｔ＝８不合题意，舍去。 ∴不存在符合题意的ｔ，使点Ｆ在∠ＧＥＢ的平分线上。 ８２０２４年胶州市学业水平第一次阶段性质量检测 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｃ Ｄ Ｂ Ａ Ｃ Ｄ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ １．Ｃ　【解析】－槡２的绝对值是槡２。故选Ｃ。 ２．Ｄ　【解析】Ａ既是轴对称图形，又是中心对称图 形，故本选项不符合题意；Ｂ既是轴对称图形，又 是中心对称图形，故本选项不符合题意；Ｃ既是 轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符 合题意；Ｄ是轴对称图形，但不是中心对称图形， 故本选项符合题意。故选 Ｄ。 ３．Ｂ　【解析】４７４００００００＝４．７４×１０８。故选Ｂ。 ４．Ａ　【解析】∵两班学生测试成绩的平均分都是 ９６ 分，学校根据平均分和方差判定甲班胜出，∴甲班 的方差小于乙班的方差。∵ｓ２甲 ＝０．１８，ｓ ２ 乙 ＝ｍ， ∴ｍ＞０．１８。故选Ａ。 ５．Ｃ　【解析】该几何体的左视图是 。 故选Ｃ。 ６．Ｄ　【解析】Ａ．２ａ３与４ａ２不是同类项，不能进行合 并，故该项不正确，不符合题意；Ｂ．ａ４·ａ２＝ａ６，故该 项不正确，不符合题意；Ｃ．ａ９÷ａ３＝ａ６，故该项不正 确，不符合题意；Ｄ．（ａｂ２）３＝ａ３ｂ６，故该项正确，符合 题意。故选Ｄ。 ７．Ｃ　【解析】由图可知，点 Ｃ的坐标为（２，３）。将 △ＡＢＣ向下平移３个单位长度，点Ｃ的对应点的坐 标为（２，０），再绕原点Ｏ按逆时针方向旋转９０°，点 Ｃ的对应点Ｃ′的坐标为（０，２）。故选Ｃ。 ８．Ｂ　【解析】∵∠Ｂ＝９０°，∠Ａ＝３０°， ∴ＯＢ＝ １ ２ ＯＡ＝１。∴ＯＡ＝２。 ∵ＣＤ∥ＡＢ，∴∠Ｄ＝∠Ａ。 在△ＤＯＣ和△ＡＯＢ中， ∠Ｄ＝∠Ａ， ∠ＤＯＣ＝∠ＡＯＢ， ＯＣ＝ＯＢ，{ ∴△ＤＯＣ≌△ＡＯＢ（ＡＡＳ）。∴ＯＤ＝ＯＡ＝２。 ∴ＡＤ＝ＯＡ＋ＯＤ＝２＋２＝４。故选Ｂ。 ９．Ｃ　【解析】∵ＢＣ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＢＡＣ＝９０°。 ∵∠ＡＢＣ＝５２°，∴∠Ｃ＝９０°－５２°＝３８°。∴∠ＡＤＢ＝ ∠Ｃ＝３８°。故选Ｃ。 １０．Ａ　【解析】如图，延长 ＡＢ 交ｙ轴于点 Ｃ。∵点 Ａ在 反比例函数ｙ１＝ ８ ｘ 的图象 上，∴Ｓ△ＡＯＣ＝ １ ２ ×８＝４。 ∵Ｓ△ＡＯＢ＝２，∴Ｓ△ＢＯＣ＝４－２＝２。∵点Ｂ在反比例函 数ｙ２＝ ｋ ｘ 的图象上，∴ｋ＝２Ｓ△ＢＯＣ＝４。故选Ａ。                                                                —４２— １１．５　【解析】原式＝ 槡２３－ 槡３ ３( ) ×槡３＝槡５３３×槡３＝５。 １２．８８　【解析】小明的综合成绩为 ８５×２０％＋８８× ５０％＋９０×３０％＝８８（分）。 １３．ｍ≤２　【解析】∵方程 ｘ２＋２ｘ＝１－ｍ有实数根， ∴Δ≥０。∴４－４×１×（ｍ－１）≥０。∴４－４ｍ＋４≥０。 ∴ｍ≤２。 １４．二　【解析】∵抛物线开口向下，∴ａ＜０。∵抛物 线的对称轴在ｙ轴的右侧，∴ｂ＞０。∵抛物线与 ｙ 轴的交点在 ｘ轴下方，∴ｃ＜０。∴ ａ＋ｃ ｂ ＜０。∵１＜ －ｂ ２ａ ＜２，ａ＜０，∴－２ａ＜ｂ＜－４ａ。∴２ａ＋ｂ＞０。∴直线 ｙ＝（２ａ＋ｂ）ｘ＋ ａ＋ｃ ｂ 不经过第二象限。 １５．槡 ３３ ２ －２ ３π 　【解析】 如图，连接 ＯＤ，ＡＤ。 ∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径， ∴ＡＤ⊥ＢＣ。∵ＡＢ＝ ＡＣ＝４，∠ＢＡＣ＝１２０°，∴∠Ｂ＝∠Ｃ＝３０°，∠ＤＡＣ＝ ６０°。∴∠ＡＯＤ＝２∠Ｂ＝６０°，ＡＤ＝ １ ２ ＡＢ＝２。 ∴∠ＡＯＤ＋∠ＯＡＥ＝６０°＋１２０°＝１８０°。∴ＯＤ∥ＡＣ。 ∵ＤＥ是⊙Ｏ的切线，∴ＯＤ⊥ＤＥ。∴ＤＥ⊥ＡＣ。在 Ｒｔ△ＡＤＥ中，∵∠ＤＡＥ＝６０°，∴ＡＥ＝ １ ２ ＡＤ＝１。∴ＤＥ＝ 槡３ＡＥ＝槡３。∴图中阴影部分的面积＝Ｓ梯形ＡＯＤＥ－ Ｓ扇形ＡＯＤ＝ １ ２ ×（１＋２）×槡３－ ６０×π×２２ ３６０ ＝槡３３ ２ －２ ３π 。 １６．①③④　【解析】∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，∴ＣＤ＝ ＣＢ，∠ＣＤＥ＝∠ＣＢＡ＝∠ＣＢＦ＝９０°。在△ＣＤＥ和△ＣＢＦ 中， ＣＤ＝ＣＢ， ∠ＣＤＥ＝∠ＣＢＦ， ＤＥ＝ＢＦ，{ ∴△ＣＤＥ≌△ＣＢＦ（ＳＡＳ）。 ∴ＣＥ＝ＣＦ。∴△ＣＥＦ是等腰三角形。∴①正确； ∵四边形 ＡＢＣＤ是正方形，∴∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＤ＝ ４５°。∵∠ＤＯＥ＝∠ＢＯＦ，∠ＢＦＯ＜４５°，∴△ＯＥＤ 和△ＯＦＢ不是相似三角形。∴②不正确；设 ＥＦ 与ＢＣ交于点Ｇ。∵ＤＥ＝ １ ３ ＡＤ，ＢＦ＝ＤＥ，ＡＢ＝ＡＤ， ∴ＢＦ＝ １ ３ ＡＢ，ＡＥ＝ ２ ３ ＡＢ。∴ ＢＦ ＡＦ ＝１ ４ 。∵ＢＣ∥ＡＤ， ∴△ＦＢＧ∽△ＦＡＥ。∴ ＢＧ ＡＥ ＝ＢＦ ＡＦ ＝１ ４ 。∴ＢＧ＝ １ ４ ＡＥ＝ １ ６ ＡＢ。∴ＢＧ＝ １ ２ ＤＥ。 ∵ＡＤ∥ＢＣ，∴△ＯＤＥ∽ △ＯＢＧ。∴ ＯＤ ＯＢ ＝ＤＥ ＢＧ ＝２。 ∴ＯＤ＝２ＯＢ。∴③正确； 如图，过点Ｅ作ＥＨ⊥ＡＤ交ＢＤ于点Ｈ。∵∠ＡＤＢ＝ ４５°，∴△ＤＥＨ是等腰直角三角形。∴ＤＥ＝ＥＨ。 ∴ＥＨ＝ＢＦ。∵ＥＨ⊥ＡＤ，ＡＢ⊥ＡＤ，∴ＥＨ∥ＡＢ。 ∴△ＨＥＯ∽△ＢＦＯ。∴ ＯＥ ＯＦ ＝ＥＨ ＢＦ ＝１。∴ＯＥ＝ＯＦ。 由① 知 △ＣＤＥ≌ △ＣＢＦ，∴ＣＥ＝ＣＦ，∠ＤＣＥ＝ ∠ＢＣＦ。∴∠ＥＣＦ＝∠ＥＣＢ＋∠ＢＣＦ＝∠ＥＣＢ＋ ∠ＤＣＥ＝∠ＤＣＢ＝９０°。∴△ＣＥＦ是等腰直角三角 形。∴ＯＣ⊥ＥＦ。∴△ＯＣＥ是等腰直角三角形。 ∴ＯＣ＝槡 ２ ２ ＣＥ。∵ＡＤ＝３，ＤＥ＝ １ ３ ＡＤ，∴ＤＥ＝１。 ∴ＣＥ＝ ＤＥ２＋ＣＤ槡 ２＝槡１０。∴ＯＣ＝ 槡２ ２ ×槡１０＝槡５。 ∴④正确。∴正确的结论是①③④。 １７．解：如图，点Ｐ即为所求。 １８．解：（１） ５ｘ－２＞３（ｘ＋１），① １ ２ ｘ－１≥－ ３ ２ ｘ，②{ 解不等式①，得ｘ＞２．５。 解不等式②，得ｘ≥ １ ２ 。 ∴原不等式组的解集为ｘ＞２．５。 （２） ２ ｘ－１ －１( ) ÷ｘ ２－６ｘ＋９ ｘ－１ ＝２ －（ｘ－１） ｘ－１ · ｘ－１ （ｘ－３）２ ＝３ －ｘ ｘ－１ · ｘ－１ （ｘ－３）２ ＝１ ３－ｘ 。 １９．解：列表如下： 　　乙 甲　　 １ ２ ３ ４ １ （１，１） （１，２） （１，３） （１，４） ２ （２，１） （２，２） （２，３） （２，４） ３ （３，１） （３，２） （３，３） （３，４） 共有１２种等可能的结果，其中两球编号之积为奇 数的结果有４种，两球编号之积为偶数的结果有 ８种，                                                                —５２— ∴Ｐ（小颖获胜）＝ ４ １２ ＝１ ３ ，Ｐ（小明获胜）＝ ８ １２ ＝２ ３ 。 ∵Ｐ（小颖获胜）＜Ｐ（小明获胜）， ∴游戏对双方不公平。 ２０．解：如图，过点 Ｂ作 ＢＥ⊥ ＣＤ，垂足为 Ｅ，过点 Ａ作 ＡＦ⊥ＢＥ，垂足为Ｆ。 由题意，得 ＡＣ＝ＥＦ＝ ２．２４米，ＡＦ＝ＣＥ。 在 Ｒｔ△ＡＢＦ中，∠ＢＡＦ＝ １８°，ＡＢ＝３．２米， ∴ＡＦ＝ＡＢ·ｃｏｓ１８°≈３．２× １９ ２０ ＝３．０４（米）， ＢＦ＝ＡＢ·ｓｉｎ１８°≈３．２× ３ １０ ＝０．９６（米）。 ∴ＢＥ＝ＢＦ＋ＥＦ＝０．９６＋２．２４＝３．２（米）。 在Ｒｔ△ＢＥＤ中，∠ＢＤＥ＝６７°， ∴ＤＥ＝ ＢＥ ｔａｎ６７°≈ ３．２ １２ ５ ＝４ ３ （米）。 ∴ＣＤ＝ＣＥ－ＤＥ＝ＡＦ－ＤＥ＝３．０４－ ４ ３≈ １．７１（米）。 ∴此时遮阳棚在地面上形成的阴影宽度 ＣＤ的长 约为１．７１米。 ２１．解：（１）将七年级抽取学生的成绩按从小到大的顺 序排列，则中位数为 ９２＋９３ ２ ＝９２．５（分），∴ａ＝９２．５。 八年级抽取学生的成绩中，９３分出现的次数最 多，则众数为９３分，∴ｂ＝９３。 七年级抽取学生的成绩优秀率为 ６＋５ ２０ ＝５５％。 故答案为９２．５，９３，５５％。 （２）６００×５５％＋６００×６５％＝７２０（人）。 答：估计七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的 总人数为７２０。 （３）八年级的学生对中国非物质文化遗产相关知 识了解得更好一些。理由如下： 从七、八年级抽取的学生测试成绩统计表中可以 看出，其平均数和中位数均相等，但从优秀率角度 来看，八年级学生的成绩优秀率高于七年级学生 的成绩优秀率，说明八年级学生对中国非物质文 化遗产相关知识了解得更好一些。（答案不唯一， 合理即可） ２２．解：（１）在△ＡＢＣ中，点Ｇ是△ＡＢＣ的重心， ∴ ＥＧ ＡＥ ＝１ ３ ， ＥＧ ＡＧ ＝１ ２ 。 ∵ＡＧ＝４，∴ＥＧ＝２。∴ＡＥ＝６。 故答案为６。 （２）∵在△ＡＢＣ中，中线ＡＥ，ＣＦ相交于点Ｇ， ∴Ｇ是△ＡＢＣ的重心。 ∴ＣＥ＝ １ ２ ＢＣ。∴Ｓ△ＡＥＣ＝ １ ２ Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ ×４８＝２４。 ∵ＥＧ＝ １ ３ ＡＥ，∴Ｓ△ＣＥＧ＝ １ ３ Ｓ△ＡＥＣ＝ １ ３ ×２４＝８。 故答案为８。 （３）如图，连接ＥＦ。 ∵ＢＦ＝ １ ｎ ＡＢ，ＢＥ＝ １ ｎ ＢＣ，∠Ｂ＝∠Ｂ， ∴△ＢＥＦ∽△ＢＣＡ。 ∴ ＥＦ ＣＡ ＝１ ｎ ，∠ＢＥＦ＝∠Ｃ。∴ＥＦ∥ＣＡ。 ∴△ＥＦＧ∽△ＡＣＧ。∴ ＥＦ ＡＣ ＝ＥＧ ＡＧ ＝１ ｎ 。∴ ＥＧ ＡＥ ＝ １ ｎ＋１ 。 ∴Ｓ△ＣＥＧ＝ １ ｎ＋１ Ｓ△ＡＥＣ。 ∵ＢＥ＝ １ ｎ ＢＣ，∴ＣＥ＝ ｎ－１ ｎ ＢＣ。∴Ｓ△ＡＥＣ＝ ｎ－１ ｎ Ｓ△ＡＢＣ。 ∴Ｓ△ＣＥＧ＝ １ ｎ＋１ ×ｎ －１ ｎ Ｓ△ＡＢＣ＝ ｎ－１ ｎ２＋ｎ Ｓ△ＡＢＣ＝ ｍｎ－ｍ ｎ２＋ｎ 。 故答案为 ｍｎ－ｍ ｎ２＋ｎ 。 ２３．解：（１）设Ａ种健身器材每套的售价为 ｘ万元，则 Ｂ种健身器材每套的售价为（ｘ＋０．４）万元。 由题意，得 １６ ｘ ＝ ２０ ｘ＋０．４ 。解得ｘ＝１．６。 经检验，ｘ＝１．６是原方程的解，且符合题意。 ∴ｘ＋０．４＝１．６＋０．４＝２。 答：Ａ种健身器材每套的售价为１．６万元，Ｂ种健 身器材每套的售价为２万元。 （２）设学校购买 Ａ型健身器材 ｍ套，则购买 Ｂ型 健身器材（８０－ｍ）套。 由题意，得８０－ｍ≥２ｍ。解得ｍ≤２６ ２ ３ 。 ∵ｍ为正整数，∴ｍ的最大值为２６。 设总费用为ｗ元。 由题意，得 ｗ＝（１．６－０．２）ｍ＋２×０．７５（８０－ｍ）＝ －０．１ｍ＋１２０。 ∵－０．１＜０，∴ｗ随 ｍ的增大而减小。∴当 ｍ＝２６ 时，ｗ有最小值。此时，８０－ｍ＝８０－２６＝５４。 答：学校购买Ａ型健身器材 ２６套，Ｂ型健身器材 ５４套才能使总费用最少。 ２４．（１）证明：∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＡＥＯ＝∠ＣＤＯ。 ∵Ｏ是ＡＣ的中点，∴ＯＡ＝ＯＣ。 在△ＡＯＥ和△ＣＯＤ中， ∠ＡＥＯ＝∠ＣＤＯ， ∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＤ， ＯＡ＝ＯＣ，{ ∴△ＡＯＥ≌△ＣＯＤ（ＡＡＳ）。 （２）解：四边形ＡＥＣＤ是菱形。证明如下： 由（１），得△ＡＯＥ≌△ＣＯＤ，∴ＡＥ＝ＣＤ。 ∵ＡＥ∥ＣＤ，∴四边形ＡＥＣＤ是平行四边形。 ∵ＡＢ⊥ＢＣ，∴∠Ｂ＝９０°。 ∵∠ＡＥＯ＝∠ＡＣＢ， ∴∠ＡＯＥ＝１８０°－∠ＡＥＯ－∠ＢＡＣ＝１８０°－∠ＡＣＢ－ ∠ＢＡＣ＝∠Ｂ＝９０°。∴ＡＣ⊥ＤＥ。 ∴四边形ＡＥＣＤ是菱形。                                                                —６２— ２５．解：（１）根据表格中数据可知，出手时铅球的竖直 高度为 ９ ５ 米， ∵抛物线对称轴为直线ｘ＝ ３＋９ ２ ＝６， ∴顶点坐标为 ６， １２ ５( ) 。 ∴铅球在空中的最大高度为 １２ ５ 米。 故答案为 ９ ５ ， １２ ５ 。 （２）设抛物线的解析式为ｙ＝ａ（ｘ－６）２＋ １２ ５ ， 把 ０， ９ ５( ) 代入解析式，得３６ａ＋１２５＝９５。 解得ａ＝－ １ ６０ 。 ∴该抛物线的函数解析式为ｙ＝－ １ ６０ （ｘ－６）２＋ １２ ５ 。 （３）训练时投出的铅球更远一些。理由如下： 对于ｙ＝－ １ ６０ （ｘ－６）２＋ １２ ５ ， 令ｙ＝０，则－ １ ６０ （ｘ－６）２＋ １２ ５ ＝０。 解得ｘ＝１８或ｘ＝－６（舍去）。 对于ｙ＝－ １ ５０ ｘ２＋ １ ４ ｘ＋ ７ ４ ， 令ｙ＝０，则－ １ ５０ ｘ２＋ １ ４ ｘ＋ ７ ４ ＝０。 解得ｘ＝１７．５或ｘ＝－５（舍去）。 ∵１８＞１７．５，∴训练时投出的铅球更远一些。 ２６．解：（１）∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴ＡＢ＝ＣＤ＝６ｃｍ，ＡＤ＝ＢＣ＝８ｃｍ，∠ＡＢＣ＝９０°。 ∴ＡＣ＝ ＡＢ２＋ＢＣ槡 ２＝１０（ｃｍ）。 由题意，得ＣＰ＝２ｔｃｍ。 ∵ＥＦ垂直平分ＣＰ，∴ＣＦ＝ＰＦ＝ｔｃｍ，ＰＥ＝ＣＥ。 ∵∠ＥＣＦ＝∠ＡＣＢ，∠ＥＦＣ＝∠ＡＢＣ＝９０°， ∴△ＣＥＦ∽△ＣＡＢ。 ∴ ＣＦ ＣＥ ＝ＢＣ ＡＣ 。∴ ｔ ＣＥ ＝８ １０ 。 ∴ＣＥ＝ ５ ４ ｔｃｍ。 ∵Ｅ是ＢＣ的中点，∴ ５ ４ ｔ＝ １ ２ ×８。∴ｔ＝ １６ ５ 。 （２）如图，过点Ｐ作ＰＧ⊥ＡＤ于点Ｇ。 由（１）知，ＡＣ＝１０ｃｍ，ＣＰ＝２ｔｃｍ，ＣＥ＝ ５ ４ ｔｃｍ， ∴ＡＰ＝（１０－２ｔ）ｃｍ。 ∵ＡＤ∥ＢＣ， ∴△ＡＱＰ∽△ＣＥＰ。 ∴ ＡＱ ＡＰ ＝ＣＥ ＣＰ 。 ∴ ＡＱ １０－２ｔ ＝ ５ ４ ｔ ２ｔ 。 ∴ＡＱ＝－ ５ ４ ｔ＋ ２５ ４( ) ｃｍ。 ∴ＤＱ＝ＡＤ－ＡＱ＝ ５ ４ ｔ＋ ７ ４( ) ｃｍ。 ∵ＰＧ⊥ＡＤ，ＣＤ⊥ＡＤ， ∴ＰＧ∥ＣＤ。 ∴△ＡＰＧ∽△ＡＣＤ。 ∴ ＡＰ ＡＣ ＝ＰＧ ＣＤ 。 ∴ １０－２ｔ １０ ＝ＰＧ ６ 。 ∴ＰＧ＝－ ６ ５ ｔ＋６( ) ｃｍ。 ∵Ｓ△ＤＰＱ＝ １ ２ ＤＱ·ＰＧ， ∴Ｓ＝ １ ２ ５ ４ ｔ＋ ７ ４( ) －６５ｔ＋６( ) ＝－３４ｔ２＋２７１０ｔ＋２１４＝ －３ ４ ｔ－ ９ ５( ) ２ ＋７．６８。 ∵－ ３ ４ ＜０，０＜ｔ＜５， ∴当ｔ＝ ９ ５ 时，Ｓ有最大值。 ∴Ｓ的最大值为７．６８ｃｍ２。 （３）由（２），得ＡＱ＝－ ５ ４ ｔ＋ ２５ ４( ) ｃｍ。 ∵ＡＤ∥ＢＣ， ∴△ＡＱＮ∽△ＣＢＮ。∴ ＡＱ ＡＮ ＝ＣＢ ＣＮ 。 ∴ －５ ４ ｔ＋ ２５ ４ ＡＮ ＝ ８ １０－ＡＮ 。∴ＡＮ＝ －５０ｔ＋２５０ －５ｔ＋５７ 。 ∵ＢＱ∥ＤＰ，∴ ＡＱ ＡＤ ＝ＡＮ ＡＰ 。 ∴ －５ ４ ｔ＋ ２５ ４ ８ ＝ －５０ｔ＋２５０ －５ｔ＋５７ １０－２ｔ 。 ∴５ｔ２－８２ｔ＋１２５＝０。 ∴ｔ＝ ４１－ 槡４ ６６ ５ 或ｔ＝ ４１＋ 槡４ ６６ ５ （不合题意，舍去）。 ∴存在时刻ｔ＝ ４１－ 槡４ ６６ ５ ｓ，使得ＢＱ∥ＤＰ。 ９２０２４年城阳区学业水平第一次阶段性质量检测 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｃ Ｃ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ｄ Ｄ                                                                —７２—