6 2024年崂山区学业水平第一次阶段性质量检测-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东青岛专版）

— ３１— — ３２— — ３３— 　　　　　　　　　　　　　　　　第Ⅰ卷（选择题 共３０分） 一、选择题（本大题共１０小题，每小题３分，共３０分） １． １ ５ 的倒数是 （　　） Ａ．－５ Ｂ．５ Ｃ．－ １ ５ Ｄ． １ ５ ２．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图 形的是 （　　） Ａ 　　 Ｂ 　　 Ｃ 　　 Ｄ ３．２０２４年 春 节 期 间 国 内 旅 游 出 行 合 计 约 ４７４００００００人次，比 ２０２３年大幅增加。数据 ４７４００００００用科学记数法表示为 （　　） Ａ．０．４７４×１０９ Ｂ．４７．４×１０７ Ｃ．４．７４×１０９ Ｄ．４．７４×１０８ ４．我市今年一月连续１０天的最高气温统计如下： 气温（单位：℃） ３ ４ ６ ７ ８ 天数 ３ ２ ２ ２ １ 则最高气温（单位：℃）的中位数和众数分别是 （　　） Ａ．４，３ Ｂ．５，２ Ｃ．５，３ Ｄ．４，２ ５．如图是由６个相同的小正方体搭成的几何体，那 么这个几何体的俯视图是 （　　） Ａ 　 Ｂ 　 Ｃ 　 Ｄ ６．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，ＡＢ＝７，ＡＣ＝２４，Ｄ 是边ＡＣ上一点，将△ＡＢＣ沿ＢＤ折叠后，点Ａ的 对应点Ａ′恰好落在边ＢＣ上，则线段ＡＤ的长为 （　　） Ａ． ４０ ７ Ｂ． ２１ ４ Ｃ． １６８ ２５ Ｄ． ３２ ６ ７．如图，已知点Ａ（１，３），Ｂ（４，１），将线段ＡＢ绕点 Ｍ逆时针旋转到Ａ′Ｂ′，点 Ａ与 Ａ′是对应点，点 Ｂ与Ｂ′是对应点，则点Ｍ的坐标为 （　　） Ａ．（－１，－２） Ｂ．（１，０） Ｃ．（－１，１） Ｄ．（１，－３） ８．如图，平行四边形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ与ＢＤ交 于点Ｏ，且ＡＤ＝６，ＡＢ＝８，在ＢＣ延长线上取一 点Ｅ，使 ＣＥ＝ ２ ３ ＢＣ，连接 ＯＥ交 ＣＤ于点 Ｆ，则 ＣＦ的长为 （　　） Ａ．２ Ｂ． １６ ７ Ｃ． １２ ５ Ｄ． １６ ５ ９．如图，在⊙Ｏ中，直径 ＡＢ与弦 ＣＤ相交于点 Ｐ， 连接ＡＣ，ＡＤ，ＢＤ。若∠Ｃ＝１５°，∠ＡＤＣ＝４０°，则 ∠ＢＰＣ的度数为 （　　） Ａ．５０° Ｂ．５５° Ｃ．６０° Ｄ．６５° １０．已知二次函数 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ＜０）的图象与 ｘ 轴的一个交点坐标为（－２，０），对称轴为直线 ｘ＝１，下列结论：①ａ－ｂ＋ｃ＞０；②若点（－３，ｙ１）， （２，ｙ２），（６，ｙ３）均在该二次函数图象上，则ｙ１＜ ｙ３＜ｙ２；③方程ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ＋１＝０的两个实数根为 ｘ１，ｘ２，且ｘ１＜ｘ２，则ｘ１＜－２，ｘ２＞４；④若ｍ为任意 实数，则ａｍ２＋ｂｍ＋ｃ≤－９ａ。其中正确结论的序 号为 （　　） Ａ．①②④ Ｂ．①③④ Ｃ．②③④ Ｄ．①③ 第Ⅱ卷（非选择题　共９０分） 二、填空题（本大题共６小题，每小题３分，共１８分） １１．计算槡２５－ ３－槡 ８的结果为　　　　。 １２．如图１，在平整的地面上有一个不规则图案（图中 阴影部分），小明想了解该图案的面积为多少，他 采取了以下办法：用一个长为３ｍ，宽为２ｍ的矩 形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地 朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图 案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了 如图２所示的折线统计图，由此他可以估计不规 则图案的面积为　　　　　ｍ２。 图１ 图２ １３．某水果店搞促销活动，对某种水果打９折出 售，若用５０元钱买这种水果，可以比打折前 多买 ２斤。设该种水果打折前的价格为 ｘ元／斤，根据题意可列方程为 　。 １４．已知关于ｘ的方程ｘ２＋（２ｋ＋１）ｘ＋ｋ２＝０有两 个不相等的实数根，则 ｋ的取值范围是 　　　　　。 １５．如图，从一块半径为３ｍ的圆形铁皮上剪出 一个圆心角为 ９０°的最大扇形，则阴影部分 的面积为　　　　ｍ２。 １６．如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２，Ｅ是边 ＢＣ 的中点，连接ＡＥ，ＤＥ，分别交ＢＤ，ＡＣ于点Ｐ， Ｑ，则四边形ＯＰＥＱ的周长为　　　　　　。 三、作图题（本大题满分 ４分。请用直尺、圆规 作图，不写作法，但要保留作图痕迹） １７．已知∠Ｏ及其一边上的两点Ａ，Ｂ。 求作：以 ＡＢ为底的等腰△ＡＢＣ，使点 Ｃ在 ∠Ｏ的内部，且∠ＢＡＣ＝∠Ｏ。 四、解答题（本大题共９小题，共６８分） １８．（８分）（１）解不等式组： ｘ ２ ＞ ｘ ３ ， ７ｘ－８＜９ｘ；{ （２）化简： ａ－１ ａ２－４ａ＋４ ÷ａ ２－１ ４－ａ２ 。 １９．（６分）端午节放假期间，小明和小华准备到景 点Ａ、景点Ｂ、景点Ｃ、景点Ｄ中的一个景点去游 玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景 点被选中的可能性相同。用画树状图或列表的 方法求小明和小华都选择去同一景点游玩的 概率。 ２０．（６分）某市为调查学生的视力变化情况，从全市九 年级学生中抽取了部分学生，统计了每个人连续三 年视力检查的结果，并将所得数据处理后，制成如 下折线统计图和扇形统计图： 被抽取学生视力在４．９以下的人数变化情况统计图 　　　　被抽取学生２０２２年的视力分布情况统计图 　　　　　　　 Ａ．４．９以下 Ｂ．４．９～５．０ Ｃ．５．０～５．２ Ｄ．５．２以上 （每组数据只含最 低值，不含最高值） 　　　 　 解答下列问题： （１）扇形Ｄ的圆心角度数为　　　　°； （２）该市共抽取了多少名九年级学生？ （３）若该市共有８万名九年级学生，请你估计该市 九年级视力较好（５．０及以上）的学生有多少人。                                                                                                                                                                                                                     ６ ２０２４年崂山区学业水平第一次阶段性质量检测 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — ３４— — ３５— — ３６— ２１．（６分）【问题情境】 图形的分割：就是在保持面积不变的前提下，将一个 或几个图形分割成两个或几个图形。图形的拼合：就 是把一个图形通过分割后再重新拼接组合，在保持面 积不变的前提下，得到一个新的图形。图形分割与拼 合问题，集趣味性、探索性、实验性于一体。 如图１，任意三角形通过分割后重新拼接，可以 拼成平行四边形。方案设计： 图形的分割：取ＡＢ的中点Ｄ，ＡＣ的中点Ｅ，连接 ＤＥ，沿ＤＥ将△ＡＢＣ分割成两个图形； 图形的拼合：将△ＡＤＥ绕点Ｅ旋转１８０°，与四边 形ＤＢＣＥ拼接成平行四边形ＤＢＣＦ。此时，ＤＢ ＣＦ的面积与△ＡＢＣ的面积相等。 【探究实践】 仿照图示的方法，解答下列问题： 如图２，对Ｒｔ△ＡＢＣ，设计一种方案，将它分成若 干块，再拼成一个与三角形等面积的矩形。请你 写出方案设计。 【拓展应用】 如图３，对任意△ＡＢＣ，设计一种方案，将它分成 若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形。 请你画出方案设计。 　　 图１ 图２ 　　 图３ ２２．（６分）为建设和谐新社区，增强群众幸福感， 某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳 棚，便于社区居民休憩（图 １）。在侧面示意 图（图２）中，遮阳棚 ＡＢ长为４米，从点 Ａ看 棚顶顶点Ｂ的仰角为２０°，靠墙端离地高 ＢＣ 为５米，当太阳光线ＡＤ与地面 ＣＥ的夹角为 ５０°时，求凉荫处 ＣＤ的长。（结果精确到 ０．１米，参考数据：ｓｉｎ２０°≈０．３４，ｃｏｓ２０°≈ ０．９４，ｔａｎ２０°≈０．３６，ｓｉｎ５０°≈０．７７，ｃｏｓ５０°≈ ０．６４，ｔａｎ５０°≈１．１９） 图１ 　 图２ ２３．（８分）如图，Ｃ是⊙Ｏ上一点，连接ＯＣ并延长 至点Ｄ，使得 ＯＣ＝ＣＤ。过点 Ｄ作⊙Ｏ的切线 ＢＤ，切点为点 Ｂ，连接 ＯＢ。Ａ是⊙Ｏ上一点， ＡＣ ) ＝ＢＣ ) ，连接ＯＡ，ＡＤ，ＢＣ，ＡＣ。 （１）求证：ＡＤ是⊙Ｏ的切线； （２）判断四边形 ＯＡＣＢ的形状，并证明你的 结论。 ２４．（８分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ（ｋ１，ｂ为常数，且ｋ１≠０）与反比例函 数ｙ＝ ｋ２ ｘ （ｋ２为常数，且ｋ２≠０）的图象交于点 Ａ（ｍ，６），Ｂ（４，－３）。 （１）求反比例函数和一次函数的解析式； （２）当 ｋ２ ｘ ＞ｋ１ｘ＋ｂ＞０时，直接写出自变量 ｘ的 取值范围； （３）已知一次函数ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ的图象与ｙ轴交 于点Ｃ，点 Ｐ在 ｘ轴上，若△ＰＡＣ的面积为 ８，求点Ｐ的坐标。 ２５．（１０分）某商场新进一批拼装玩具，每件玩具的 进价为 ３０元，并规定每件的售价不得少于 ５０元。根据以往销售经验发现，当每件的售价 定为５０元时，日销售量为５００件，每件的售价每 提高０．５元，日销售量减少５件。设每件的售价 为ｘ元，日销售量为ｙ件。 （１）当ｘ＝６０时，ｙ＝　　　　件； （２）当每件的售价定为多少元时，日销售利润 ｗ（元）最大？最大利润为多少？ （３）当日销售利润不低于６０００元时，求每件玩 具的售价ｘ（元）的取值范围。 ２６．（１０分）如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６ｃｍ，ＡＤ＝ ８ｃｍ。动点Ｐ从点Ｄ出发，沿 ＤＢ方向匀速运动， 速度为２ｃｍ／ｓ；同时，动点 Ｑ从点 Ａ出发，沿射线 ＤＡ方向匀速运动，速度为 １ｃｍ／ｓ。过点 Ｐ作 ＰＥ⊥ＢＤ，垂足为点Ｐ，交射线ＤＣ于点Ｅ，连接ＱＥ， 交ＡＢ于点Ｇ，交ＢＤ于点Ｆ。设运动时间为ｔｓ（０＜ ｔ≤５）。 （１）当点Ｅ与点Ｃ重合时，求ｔ的值； （２）当ｔ为何值时，点Ｑ，Ｂ，Ｅ在一条直线上？ （３）是否存在某一时刻ｔ，使得△ＡＱＧ∽△ＰＥＦ？若 存在，求出ｔ的值；若不存在，请说明理由。 　 　                                                                                                                                                                                                                            ２３．解：（１）当ｘ＝０时，ｙ＝－ １ ６ ×（０－５）２＋６＝ １１ ６ ， ∴点Ａ的坐标为 ０， １１ ６( ) 。 ∴雕塑高 １１ ６ ｍ。 （２）当ｙ＝０时，－ １ ６ （ｘ－５）２＋６＝０， 解得ｘ１＝－１（舍去），ｘ２＝１１。 ∴点Ｄ的坐标为（１１，０）。∴ＯＤ＝１１ｍ。 ∵从点Ａ向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形 状相同， ∴ＯＣ＝ＯＤ＝１１ｍ。∴ＣＤ＝ＯＣ＋ＯＤ＝２２ｍ。 （３）当ｘ＝１０时，ｙ＝－ １ ６ ×（１０－５）２＋６＝ １１ ６ ， ∴点 １０， １１ ６( ) 在抛物线ｙ＝－１６（ｘ－５）２＋６上。 又∵ １１ ６≈ １．８３＞１．８， ∴顶部Ｆ不会碰到水柱。 ２４．解：（１）当四边形ＡＱＰＥ是矩形时，∠ＰＱＡ＝９０°。 ∵∠ＤＡＱ＝６０°， ∴∠ＡＰＱ＝９０°－∠ＤＡＱ＝３０°。 在Ｒｔ△ＡＱＰ中，ＡＱ＝ １ ２ ＡＰ， ∵ＡＰ＝（１０－２ｔ）ｃｍ，ＡＱ＝２ｔｃｍ， ∴ ＡＱ ＡＰ ＝ ２ｔ １０－２ｔ ＝１ ２ 。 ∴ｔ＝ ５ ３ 。 （２）如图１，过点Ｄ作ＤＨ⊥ＥＰ，交ＥＰ的延长线于 点Ｈ。 图１ ∵四边形ＡＱＰＥ是平行四边形， ∴ＥＰ∥ＡＱ。 ∴∠ＤＰＨ＝∠ＤＡＱ＝６０°。 ∴∠ＰＤＨ＝９０°－∠ＤＰＨ＝３０°。 在Ｒｔ△ＰＤＨ中，∵ＤＰ＝２ｔｃｍ， ∴ＤＨ＝ＤＰ·ｓｉｎ∠ＤＰＨ＝槡３ｔｃｍ，ＨＰ＝ １ ２ ＤＰ＝ｔｃｍ。 ∵ＥＰ＝ＡＱ＝２ｔｃｍ，∴ＥＨ＝ＥＰ＋ＨＰ＝３ｔｃｍ。 在Ｒｔ△ＤＥＨ中，ＤＥ２＝ＤＨ２＋ＥＨ２＝（槡３ｔ） ２＋（３ｔ）２＝１２ｔ２， ∴ＤＥ＝槡２３ｔｃｍ。 （３）如图 ２，在（２）的基础上延长 ＤＨ交 ＡＢ于点 Ｇ，过点 Ｄ作 ＤＮ⊥ＣＭ于点 Ｎ，设 ＥＭ，ＡＤ交于 点Ｏ。 图２ ∵四边形ＡＢＣＤ是边长为１０ｃｍ的菱形，∠ＤＡＢ＝６０°， ∴∠ＤＣＭ＝６０°。 ∵∠ＤＮＣ＝９０°，∴ＤＮ＝ＣＤ·ｓｉｎ∠ＤＣＭ＝槡５３ｃｍ。 ∵ＥＰ∥ＡＢ，ＥＰ⊥ＤＨ，∴ＤＧ⊥ＡＢ。 ∴ＤＧ＝ＤＮ＝槡５３ｃｍ。 ∴ＧＨ＝ＤＧ－ＤＨ＝ 槡５３－槡３ｔ( ) ｃｍ。 ∵ＡＤ∥ＢＭ，∴△ＡＯＱ∽△ＢＭＱ。∴ ＡＱ ＢＱ ＝ＡＯ ＢＭ 。 ∵ＡＱ＝２ｔｃｍ，∴ＢＱ＝ＡＢ－ＡＱ＝（１０－２ｔ）ｃｍ。 ∴ ＢＱ ＡＱ ＝ＢＭ ＡＯ ＝１０ －２ｔ ２ｔ ＝５ －ｔ ｔ 。∴ Ｓ△ＢＱＭ Ｓ△ＡＱＯ ＝ＢＭ ＡＯ( ) ２ ＝（５ －ｔ）２ ｔ２ 。 ∵Ｓ△ＡＱＯ＝ １ ４ Ｓ四边形ＡＱＰＥ＝ １ ４ ＡＱ·ＧＨ＝槡 ５３ｔ－槡３ｔ ２ ２ ｃｍ２， ∴Ｓ△ＢＱＭ＝ 槡３（５－ｔ） ３ ２ｔ ｃｍ２。 ∵Ｓ△ＤＥＰ＝ １ ２ ＥＰ·ＤＨ＝槡３ｔ ２ｃｍ２，Ｓ△ＡＱＯ＝Ｓ△ＥＯＰ， Ｓ菱形ＡＢＣＤ＝ＡＢ·ＤＧ＝ 槡５０３ｃｍ ２， ∴Ｓ四边形ＣＤＥＭ＝Ｓ菱形ＡＢＣＤ－Ｓ△ＡＱＯ＋Ｓ△ＢＱＭ＋Ｓ△ＤＥＰ＋Ｓ△ＥＯＰ＝ Ｓ菱形ＡＢＣＤ＋Ｓ△ＢＱＭ＋Ｓ△ＤＥＰ。 ∴Ｓ四边形ＣＤＥＭ＝ 槡５０３＋ 槡３（５－ｔ） ３ ２ｔ ＋槡３ｔ ２[ ] ｃｍ２。 ∴Ｓ＝槡 ３ ２ ｔ２＋ 槡 １５３ ２ ｔ＋ 槡 ２５３ ２ ＋ 槡１２５３ ２ｔ （０＜ｔ＜５）。 ６２０２４年崂山区学业水平第一次阶段性质量检测 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｂ Ｄ Ｄ Ｃ Ｃ Ｂ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ １．Ｂ　【解析】 １ ５ 的倒数是５。故选Ｂ。 ２．Ｄ　【解析】Ａ是中心对称图形，不是轴对称图形， 故此选项不符合题意；Ｂ是轴对称图形，不是中 心对称图形，故此选项不符合题意；Ｃ是轴对称 图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题 意；Ｄ既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此 选项符合题意。故选 Ｄ。 ３．Ｄ　【解析】４７４００００００＝４．７４×１０８。故选Ｄ。 ４．Ｃ　【解析】这组数据的中位数是第 ５，６个数据的 平均数，所以这组数据的中位数为 ４＋６ ２ ＝５。众数为 ３。故选Ｃ。                                                                —７１— ５．Ｃ　【解析】这个几何体的俯视图是 。 故选Ｃ。 ６．Ｂ　【解析】∵∠Ａ＝９０°，ＡＢ＝７，ＡＣ＝２４，∴ＢＣ＝ ＡＢ２＋ＡＣ槡 ２＝ ７２＋２４槡 ２＝２５。∵将△ＡＢＣ沿 ＢＤ折 叠后，点Ａ的对应点Ａ′恰好落在边ＢＣ上， ∴∠ＢＡ′Ｄ＝∠Ａ＝９０°，Ａ′Ｄ＝ＡＤ。∴ＡＢ⊥ＣＤ，Ａ′Ｄ⊥ ＢＣ。∴ １ ２ ＢＣ·Ａ′Ｄ＝ １ ２ ＣＤ·ＡＢ＝Ｓ△ＢＣＤ。∴ １ ２ × ２５ＡＤ＝ １ ２ ×７（２４－ＡＤ）。解得ＡＤ＝ ２１ ４ 。故选Ｂ。 ７．Ｃ　【解析】∵线段 Ａ′Ｂ′由 线段 ＡＢ绕点 Ｍ逆时针旋 转得到，∴ＡＡ′和 ＢＢ′的垂 直平分线经过旋转中心 Ｍ。如图所示，画出线段 ＡＡ′和 ＢＢ′的垂直平分线， ∴点 Ｍ的坐标为（－１，１）。 故选Ｃ。 ８．Ｂ　【解析】如图，取ＢＣ的中点Ｇ，连接ＯＧ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，且ＡＤ＝６，ＡＢ＝８， ∴ＢＣ＝ＡＤ＝６，ＯＢ＝ＯＤ，ＡＢ＝ＣＤ＝８。∴ＣＥ＝ ２ ３ ＢＣ＝４。 ∵Ｇ是ＢＣ的中点，ＯＢ＝ＯＤ，∴ＯＧ是△ＢＣＤ的中位 线。∴ＯＧ∥ＣＤ，ＯＧ＝ １ ２ ＣＤ＝４。∴△ＣＥＦ∽△ＧＥＯ。 ∴ ＣＦ ＯＧ ＝ＣＥ ＧＥ 。∴ ＣＦ ４ ＝４ ７ 。∴ＣＦ＝ １６ ７ 。故选Ｂ。 ９．Ｄ　【解析】∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＤＢ＝９０°。 ∵∠ＡＤＣ＝４０°，∴∠ＢＤＣ＝∠ＡＤＢ－∠ＡＤＣ＝５０°。 ∴∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＣ＝５０°。∵∠Ｃ＝１５°，∴∠ＢＰＣ＝ ∠Ｃ＋∠ＢＡＣ＝６５°。故选Ｄ。 １０．Ｂ　【解析】∵对称轴是直线 ｘ＝１，ａ＜０，∴当ｘ＜１ 时，ｙ随ｘ的增大而增大。∵－２＜－１，抛物线过点 （－２，０），∴当ｘ＝－１时，ｙ＝ａ－ｂ＋ｃ＞０。故①正确； ∵ａ＜０，∴抛物线开口向下。∵点（－３，ｙ１），（２，ｙ２）， （６，ｙ３）均在该二次函数图象上，且点（６，ｙ３）到对称 轴的距离最大，点（２，ｙ２）到对称轴的距离最小， ∴ｙ３＜ｙ１＜ｙ２。故②错误；∵方程ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ＋１＝０的 两实数根为 ｘ１，ｘ２，∴抛物线与直线ｙ＝－１的交点 的横坐标为 ｘ１，ｘ２。由抛物线的对称性可得抛物 线与ｘ轴另一交点坐标为（４，０），∴抛物线与ｘ轴 的交点坐标为（－２，０），（４，０）。∵抛物线开口向 下，ｘ１＜ｘ２，∴ｘ１＜－２，ｘ２＞４。故③正确；∵－ ｂ ２ａ ＝１， ∴ｂ＝－２ａ。∵４ａ－２ｂ＋ｃ＝０，∴ｃ＝２ｂ－４ａ＝－８ａ。 ∵抛物线的最大值为ａ＋ｂ＋ｃ，∴若ｍ为任意实数， 则ａｍ２＋ｂｍ＋ｃ≤ａ＋ｂ＋ｃ＝ａ－２ａ－８ａ＝－９ａ。∴ａｍ２＋ ｂｍ＋ｃ≤－９ａ。故④正确。故选Ｂ。 １１．７　【解析】槡２５－ ３－槡 ８＝５－（－２）＝７。 １２．２．１　【解析】根据题意可得小球落在不规则图案 内的概率约为０．３５。矩形的面积为３×２＝６（ｍ２）。 设不规则图案的面积为ｘｍ２，则 ｘ ６ ＝０．３５，解得ｘ＝ ２．１。∴不规则图案的面积约为２．１ｍ２。 １３． ５０ ｘ ＝５０ ０．９ｘ －２　【解析】根据题意，得 ５０ ｘ ＝５０ ０．９ｘ －２。 １４．ｋ＞－ １ ４ 　【解析】∵关于 ｘ的方程 ｘ２＋（２ｋ＋１）ｘ＋ ｋ２＝０有两个不相等的实数根，∴Δ＝（２ｋ＋１）２－４× １×ｋ２＝４ｋ＋１＞０。∴ｋ＞－ １ ４ 。 １５．９　【解析】如图，连接ＢＣ，ＯＡ。 ∵∠ＢＡＣ＝９０°，∴ＢＣ是⊙Ｏ 的直径。∴ＢＣ＝２×３＝６（ｍ）。 ∴ＡＢ＝槡 ２ ２ ＢＣ＝槡３２ｍ。 ∴ Ｓ扇形ＡＢＣ ＝ ９０π×（槡３２） ２ ３６０ ＝ ９ ２π （ｍ２）。∴Ｓ弓形ＢＤＣ＝Ｓ扇形ＡＢＣ－Ｓ△ＡＢＣ＝ ９ ２π －１ ２ ＢＣ· ＯＡ＝ ９ ２π －１ ２ ×６×３＝ ９ ２π －９( ) ｍ２。∴Ｓ阴影 ＝Ｓ圆－ Ｓ弓形ＢＤＣ－Ｓ半圆ＢＡＣ＝π×３ ２－ ９ ２π －９( ) －１２π×３２＝９（ｍ２）。 １６． ２（槡５＋槡２） ３ 　【解析】如图，连接 ＯＥ。∵Ｅ是 ＢＣ的中点，四边形 ＡＢＣＤ是正方形，∴ＯＥ⊥ＢＣ，ＯＥ＝ ＢＥ＝ＣＥ＝１。在 Ｒｔ△ＡＢＥ中，ＡＥ＝ ＡＢ２＋ＢＥ槡 ２ ＝槡５，在 Ｒｔ△ＥＢＯ 中，ＯＢ＝ ＢＥ２＋ＯＥ槡 ２＝槡２。∵ＡＢ⊥ＢＣ，ＯＥ⊥ＢＣ， ∴ＡＢ∥ＯＥ。∴∠ＢＡＰ＝∠ＰＥＯ，∠ＡＢＰ＝∠ＰＯＥ。 ∴△ＡＢＰ∽△ＥＯＰ。∴ ＡＰ ＥＰ ＝ＢＰ ＯＰ ＝ＡＢ ＯＥ ＝２。∴２ＥＰ＝ ＡＰ，２ＯＰ＝ＢＰ。∴ＥＰ＝ １ ３ ＡＥ＝槡 ５ ３ ，ＯＰ＝ １ ３ ＯＢ＝槡 ２ ３ 。 ∴四边形ＯＰＥＱ的周长＝２（ＥＰ＋ＯＰ）＝ ２（槡５＋槡２） ３ 。                                                                —８１— １７．解：如图，△ＡＢＣ即为所求。 １８．解：（１）原不等式组转化为 ３ｘ＞２ｘ，２ｘ＞－８，{ 解得 ｘ＞０，ｘ＞－４，{ 故ｘ＞０。 （２）原式＝ ａ－１ （ａ－２）２ · （２＋ａ）（２－ａ） （ａ＋１）（ａ－１） ＝ －（２＋ａ） （ａ－２）（ａ＋１） ＝ －２－ａ ａ２－ａ－２ 。 １９．解：画树状图如下： 共有１６种等可能的结果，其中小明和小华都选择 去同一景点游玩的结果有４种， ∴小明和小华都选择去同一景点游玩的概率为 ４ １６ ＝１ ４ 。 ２０．解：（１）（１００％－４０％－３０％－２０％）×３６０°＝３６°。 故答案为３６。 （２）９００÷４０％＝２２５０（名）。 答：该市共抽取了２２５０名九年级学生。 （３）１００％－４０％－３０％－２０％＝１０％，（１０％＋２０％）× ８００００＝２４０００（人）。 答：估计该市九年级视力较好（５．０及以上）的学 生有２４０００人。 ２１．解：［探究实践］如图１。 图１ 图形的分割：取ＡＢ的中点Ｄ，ＡＣ的 中点Ｅ，连接ＤＥ，沿ＤＥ将Ｒｔ△ＡＢＣ 分割成两个图形； 图形的拼合：将△ＡＤＥ绕点 Ｄ旋转 １８０°，与四边形 ＢＣＥＤ拼接成矩形 ＢＣＥＦ，此时，矩形ＢＣＥＦ的面积与Ｒｔ △ＡＢＣ的面积相等。 图２ ［拓展应用］如图２。 图形的分割：过点Ａ作ＡＧ⊥ＢＣ于 点Ｇ，取 ＡＢ的中点 Ｅ，ＡＣ的中点 Ｄ，连接ＤＥ交ＡＧ于点 Ｈ，沿 ＤＥ， ＡＧ将△ＡＢＣ分割成四个图形； 图形的拼合：将△ＡＥＨ绕点Ｅ旋转 １８０°，将△ＡＤＨ绕点Ｄ旋转１８０°， 与四边形ＢＣＤＥ拼接成矩形ＢＣＮＭ，此时矩形ＢＣＮＭ 的面积与△ＡＢＣ的面积相等。 ２２．解：如图，过点 Ａ作 ＡＦ⊥ＢＣ，垂足为 Ｆ，作 ＡＧ⊥ ＣＥ，垂足为Ｇ。 由题意，得ＣＦ＝ＡＧ，ＡＦ＝ＣＧ。 在 Ｒｔ△ＡＢＦ中，ＡＢ＝４米， ∠ＢＡＦ＝２０°， ∴ＢＦ＝ＡＢ·ｓｉｎ２０°≈４×０．３４＝ １．３６（米）， ＡＦ＝ＡＢ·ｃｏｓ２０°≈４×０．９４＝ ３．７６（米）。∴ＡＦ＝ＣＧ＝３．７６米。 ∵ＢＣ＝５米， ∴ＣＦ＝ＡＧ＝ＢＣ－ＢＦ＝５－１．３６＝３．６４（米）。 在Ｒｔ△ＡＤＧ中，∠ＡＤＧ＝５０°， ∴ＤＧ＝ ＡＧ ｔａｎ５０°≈ ３．０６（米）。 ∴ＣＤ＝ＣＧ－ＤＧ＝３．７６－３．０６＝０．７（米）。 ∴凉荫处ＣＤ的长约为０．７米。 ２３．（１）证明：∵ＡＣ) ＝ＢＣ) ，∴∠ＢＯＣ＝∠ＡＯＣ。 在△ＢＤＯ和△ＡＤＯ中， ＯＢ＝ＯＡ， ∠ＢＯＤ＝∠ＡＯＤ， ＯＤ＝ＯＤ，{ ∴△ＢＤＯ≌△ＡＤＯ（ＳＡＳ）。∴∠ＯＡＤ＝∠ＯＢＤ。 ∵ＢＤ是⊙Ｏ的切线，∴∠ＯＢＤ＝９０°。∴∠ＯＡＤ＝９０°。 ∵ＯＡ是⊙Ｏ的半径，∴ＡＤ是⊙Ｏ的切线。 （２）解：四边形ＯＡＣＢ是菱形。证明如下： ∵∠ＯＢＤ＝９０°，ＯＣ＝ＣＤ，∴ＢＣ＝ＯＣ＝ １ ２ ＯＤ。 ∵ＡＣ) ＝ＢＣ) ，∴ＡＣ＝ＢＣ。 ∵ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ，∴ＯＡ＝ＯＢ＝ＡＣ＝ＢＣ。 ∴四边形ＯＡＣＢ是菱形。 ２４．解：（１）∵点 Ｂ（４，－３）在反比例函数 ｙ＝ ｋ２ ｘ （ｋ２为 常数，且ｋ２≠０）的图象上，∴ｋ２＝４×（－３）＝－１２。 ∴反比例函数的解析式为ｙ＝－ １２ ｘ 。 ∵点Ａ（ｍ，６）在ｙ＝－ １２ ｘ 的图象上，∴ｍ＝－２。 ∴Ａ（－２，６）。 ∵点Ａ（－２，６），Ｂ（４，－３）在一次函数 ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ （ｋ１，ｂ为常数，且ｋ１≠０）的图象上， ∴ －２ｋ１＋ｂ＝６， ４ｋ１＋ｂ＝－３。{ 解得 ｋ１＝－ ３ ２ ， ｂ＝３。{ ∴一次函数的解析式为ｙ＝－ ３ ２ ｘ＋３。 （２）观察函数图象，当 ｋ２ ｘ ＞ｋ１ｘ＋ｂ＞０时，自变量ｘ的 取值范围是－２＜ｘ＜０。 （３）如图，设一次函数的图象与 ｘ轴的交点为 Ｄ， 由一次函数ｙ＝－ ３ ２ ｘ＋３可知Ｃ（０，３），Ｄ（２，０）。 ∵△ＰＡＣ的面积为８，                                                                —９１— ∴Ｓ△ＰＡＣ＝Ｓ△ＰＡＤ－Ｓ△ＰＣＤ＝８，即 １ ２ ＰＤ·６－ １ ２ ＰＤ·３＝８。 ∴ＰＤ＝ １６ ３ 。∴点Ｐ的坐标为 － １０ ３ ，０( ) 或 ２２３，０( ) 。 ２５．解：（１）当ｘ＝６０时，ｙ＝５００－５× ６０－５０ ０．５ ＝４００（件）。 故答案为４００。 （２）根据题意，得ｙ＝５００－５× ｘ－５０ ０．５ ＝－１０ｘ＋１０００。 ｗ＝（ｘ－３０）ｙ＝（ｘ－３０）（－１０ｘ＋１０００）＝－１０ｘ２＋ １３００ｘ－３００００＝－１０（ｘ－６５）２＋１２２５０。 ∵－１０＜０， ∴当ｘ＜６５时，ｗ随ｘ的增大而增大；当ｘ＞６５时，ｗ 随ｘ的增大而减小。 由题意，得 ｘ≥５０， －１０ｘ＋１０００≥０。{ 解得５０≤ｘ≤１００。 ∴当ｘ＝６５时，ｗ取最大值，最大值为１２２５０。 答：当每件的售价定为 ６５元时，日销售利润 ｗ（元）最大，最大利润为１２２５０元。 （３）当ｗ＝６０００元时，－１０ｘ２＋１３００ｘ－３００００＝６０００。 解得ｘ１＝４０，ｘ２＝９０。 ∵ａ＝－１０＜０，∴当４０≤ｘ≤９０时，ｗ≥６０００。 又∵５０≤ｘ≤１００，∴５０≤ｘ≤９０。 答：当日销售利润不低于６０００元时，每件玩具的 售价ｘ（元）的取值范围是５０≤ｘ≤９０。 ２６．解：（１）由题意，得ＡＱ＝ｔｃｍ，ＤＰ＝２ｔｃｍ。 ∵在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６ｃｍ，ＡＤ＝８ｃｍ， ∴∠ＤＡＢ＝∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ＝９０°，ＡＢ＝ ＣＤ＝６ｃｍ，ＡＤ＝ＢＣ＝８ｃｍ，ＡＢ∥ＣＤ。 ∴ＢＤ＝ ＢＣ２＋ＣＤ槡 ２＝１０ｃｍ。 ∵当点 Ｅ与点 Ｃ重合时，ＰＥ⊥ＢＤ，ＣＤ＝ＤＥ＝ ６ｃｍ，∴∠ＤＰＥ＝∠ＤＣＢ＝９０°。 ∵∠ＰＤＥ＝∠ＢＤＣ，∴△ＤＰＥ∽△ＤＣＢ。 ∴ ＰＤ ＥＤ ＝ＣＤ ＢＤ ，即 ２ｔ ６ ＝６ １０ 。解得ｔ＝ ９ ５ 。 （２）如图，∵∠ＤＰＥ＝∠ＤＣＢ＝９０°，∠ＰＤＥ＝∠ＢＤＣ， ∴△ＤＢＣ∽△ＤＥＰ。∴ ＣＤ ＰＤ ＝ＤＢ ＥＤ ，即 ６ ２ｔ ＝１０ ＤＥ 。 解得ＤＥ＝ １０ ３ ｔｃｍ。∴ＣＥ＝ １０ ３ ｔ－６( ) ｃｍ。 ∵∠ＱＡＢ＝∠ＢＣＥ＝９０°，∠ＡＱＢ＝∠ＣＢＥ＝９０°－∠ＱＢＡ， ∴△ＡＢＱ∽△ＣＥＢ。∴ ＱＡ ＢＣ ＝ＡＢ ＣＥ ，即 ｔ ８ ＝ ６ １０ ３ ｔ－６ 。 解得ｔ１＝ ２４ ５ ，ｔ２＝－３（舍去）。 ∴当ｔ＝ ２４ ５ 时，点Ｑ，Ｂ，Ｅ在一条直线上。 （３）若△ＡＱＧ∽△ＰＥＦ，则∠ＡＧＱ＝∠ＰＦＥ， ＡＱ ＡＧ ＝ＰＥ ＰＦ 。 由（２）可知，ＤＥ＝ １０ ３ ｔｃｍ。 ∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＡＧＱ＝∠ＤＥＦ。∴∠ＰＦＥ＝∠ＤＥＦ。 ∴ＤＦ＝ＤＥ＝ １０ ３ ｔｃｍ。∴ＰＦ＝ＤＥ－ＰＤ＝ ４ ３ ｔｃｍ。 ∵∠ＤＰＥ＝∠ＤＣＢ＝９０°，∠ＰＤＥ＝∠ＢＤＣ， ∴△ＤＰＥ∽△ＤＣＢ。∴ ＤＰ ＤＣ ＝ＰＥ ＢＣ ，即 ２ｔ ６ ＝ＰＥ ８ 。 解得ＰＥ＝ ８ ３ ｔｃｍ。∴ ＡＱ ＡＧ ＝ＰＥ ＰＦ ＝ ８ ３ ｔ ４ ３ ｔ ＝２。 ∵ＡＢ∥ＣＤ，∴ ＡＱ ＡＧ ＝ＤＱ ＤＥ ＝ｔ ＋８ １０ ３ ｔ 。 ∴ ｔ＋８ １０ ３ ｔ ＝２。解得ｔ＝ ２４ １７ 。 ７２０２４年李沧区学业水平第一次阶段性质量检测 （与黄岛区、平度市联考） 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ Ｄ Ａ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ Ｂ Ｂ １．Ｄ　【解析】选项Ａ，Ｂ，Ｃ中的图形都不能找到一个 点，使图形绕某一点旋转 １８０°后与原来的图形重 合，所以不是中心对称图形。选项Ｄ中的图形能找 到一个点，使图形绕某一点旋转１８０°后与原来的图 形重合，所以是中心对称图形。故选Ｄ。 ２．Ａ　【解析】∵｜－１｜＞ － １ ２ ，∴－１＜－ １ ２ ＜０＜ １ ２ ＜１， 即四个数中比－ １ ２ 小的数是－１。故选Ａ。 ３．Ｂ　【解析】左视图是 。故选Ｂ。 ４．Ｃ　【解析】０．００００３＝３×１０－５。故选Ｃ。 ５．Ａ　【解析】设长木长 ｘ尺。∵用一根绳子去量一 根木条，绳子剩余４．５尺，∴绳子长为（ｘ＋４．５）尺。 ∵绳子对折再量木条，木条剩余１尺，得方程为 ｘ＋ ４．５＝２（ｘ－１）。故选Ａ。                                                                —０２—