5 2024年市北区学业水平第一次阶段性质量检测-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东青岛专版）

图２ （３）如图２， ∵ＤＦ⊥ＥＦ， ∴∠ＤＦＥ＝∠Ａ＝９０°。 ∴Ａ，Ｄ，Ｆ，Ｅ四点在以 ＤＥ为直径的圆上。 ∴∠ＦＤＥ＝∠ＦＡＥ。 ∴△ＦＤＥ∽△ＢＡＣ。 ∴ ＦＤ ＢＡ ＝ＤＥ ＡＣ ＝ＦＥ ＢＣ 。 ∴ＦＤ＝ ４ ５ ＤＥ，ＥＦ＝ ３ ５ ＤＥ。 由（２）可知ＤＥ＝ ９＋ｔ槡 ２厘米， ∴ＤＦ＝ ４ ５ ９＋ｔ槡 ２厘米。 过点Ｆ作ＭＦ⊥ＤＣ，垂足为Ｍ。 ∵ＤＦ＝ ＤＭ２＋ＦＭ槡 ２＝ ４－ ４ ５ ｔ( ) ２ ＋ ３ ５ ｔ( )槡 ２ 厘米。 ∴ ４ ５ ９＋ｔ槡 ２＝ ４－ ４ ５ ｔ( ) ２ ＋ ３ ５ ｔ( )槡 ２ 。 解得ｔ＝ １６ ９ 或ｔ＝１６（舍去）。 ∴当ｔ＝ １６ ９ 时，ＤＦ⊥ＥＦ。 图３ （４）如图 ３，作点 Ｃ关于 ＡＢ的对称点 Ｃ′，连接 ＡＣ′，在ＡＣ′上取 ＡＭ＝４厘 米，过点Ｍ作ＭＱ⊥ＣＤ于 点 Ｐ，交 ＡＢ于点 Ｑ，连 接ＥＭ。 在△ＤＣＦ和△ＭＡＥ中， ＣＦ＝ＡＥ， ∠１＝∠２＝∠３， ＣＤ＝ＡＭ，{ ∴△ＤＣＦ≌△ＭＡＥ（ＳＡＳ）。 ∴ＤＦ＝ＭＥ。 ∴ＤＦ＋ＤＥ＝ＤＥ＋ＥＭ。 当Ｄ，Ｅ，Ｍ共线时，ＤＥ＋ＤＦ＝ＤＭ有最小值。 此时，ＡＭ＝４厘米，ＡＣ′＝５厘米， ∵ＭＰ∥ＣＣ′，∴ ＡＭ ＡＣ′ ＝ＭＱ ＢＣ′ ＝ＡＱ ＡＢ ，即 ４ ５ ＝ＭＱ ３ ＝ＡＱ ４ 。 ∴ＭＱ＝２．４厘米，ＡＱ＝ＤＰ＝３．２厘米。 ∴ＭＰ＝２．４＋３＝５．４（厘米）。 ∴ＤＥ＋ＤＦ的最小值为 ＤＭ＝ ＤＰ２＋ＭＰ槡 ２ ＝ ３．２２＋５．４槡 ２＝槡９８５ ５ （厘米）。 ５２０２４年市北区学业水平第一次阶段性质量检测 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ Ｃ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ Ｄ １．Ｃ　【解析】 １ ３ 的相反数是－ １ ３ 。故选Ｃ。 ２．Ｃ　【解析】Ａ是轴对称图形，不是中心对称图形，故 选项不符合题意；Ｂ是轴对称图形，不是中心对称图 形，故选项不符合题意；Ｃ既是中心对称图形，又是轴 对称图形，故选项符合题意；Ｄ是中心对称图形，不是 轴对称图形，故选项不符合题意。故选Ｃ。 ３．Ｂ　【解析】由表格可知，乙、丙的平均成绩好，由于 ｓ２乙＜ｓ ２ 丙，故丙的方差大，波动大。故选Ｂ。 ４．Ａ　【解析】它的左视图是 。故选Ａ。 ５．Ｄ　【解析】∵ＢＤ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＢＡＤ＝９０°。 ∵ＡＢ) ＝ＡＤ) ，∴∠Ｂ＝∠ＡＤＢ＝４５°。∵∠ＡＤＣ＝６６°， ∴∠ＢＤＣ＝６６°－４５°＝２１°。∵∠Ｃ＝∠Ｂ＝４５°， ∴∠ＤＧＣ＝１８０°－４５°－２１°＝１１４°。∴∠ＡＧＢ＝１１４°。 故选Ｄ。 ６．Ｄ　【解析】（１）∵抛物线的对称轴为直线ｘ＝－１，且 图象经过点（－３，０），∴抛物线与 ｘ轴的另一个交 点坐标为（１，０）。∴当ｘ＝－１时，ｙ＜０，即ａ－ｂ＋ｃ＜０， 故正确；（２）∵抛物线与 ｘ轴有 ２个交点，∴ｂ２－ ４ａｃ＞０。∵抛物线的对称轴为直线 ｘ＝－ ｂ ２ａ ＝－１， ∴ｂ＝２ａ。∴４ａ２－２ｂｃ＞０，故正确；（３）∵抛物线与 ｘ 轴的交点为（－３，０），（１，０），∴将抛物线 ｙ＝ａｘ２＋ ｂｘ＋ｃ向左平移１个单位长度时，它会过原点，故正 确；（４）∵抛物线开口向上，∴ａ＞０。∵抛物线与 ｘ 轴的交点为（－３，０），（１，０），∴抛物线与 ｙ轴的交 点在ｘ轴的下方。∴ｃ＜０。∴－ｃ＞０。∴直线 ｙ＝ ２ａｘ－ｃ经过第一、二、三象限，不过第四象限，故正 确。故选Ｄ。 ７．（０，２）　【解析】分别画出点 Ａ，Ｂ，Ｃ绕点 Ａ逆时针 旋转９０°后的对应点，如图，△Ａ′Ｂ′Ｃ′即为△ＡＢＣ绕 点Ａ按逆时针方向旋转 ９０°所得三角形。所以点 Ｂ′的坐标为（０，２）。 ８．１０　【解析】原式＝ 槡２６－ 槡６ ３( ) ×槡６×１＝ 槡５６３×槡６× １＝ ５ ３ ×６＝１０。 ９． １ ３ 　【解析】如图，连接小正方形的 对角线，９个小正方形被分成１８个 全等的等腰直角三角形，其中阴影 区域占 ６个全等的等腰直角三角 形，∴Ｐ（最终停留在阴影区域）＝ ６ １８ ＝１ ３ 。                                                                —４１— １０． ４２０ ｘ ＝４２０ ｘ＋１０ ＋１　【解析】设这辆汽车原计划的速度 为ｘｋｍ／ｈ，则实际速度为（ｘ＋１０）ｋｍ／ｈ。根据题意 所列方程为 ４２０ ｘ ＝４２０ ｘ＋１０ ＋１。 １１． １２ ５ 　【解析】如图，连接ＤＭ。∵ＡＤ＝６，ＢＤ＝８，ＡＤ⊥ ＢＤ，∴ＡＢ＝ ＡＤ２＋ＢＤ槡 ２＝１０。∵Ｅ，Ｆ分别是ＤＮ，ＭＮ 的中点，∴ＥＦ是△ＤＭＮ的中位线。∴ＥＦ＝ １ ２ ＤＭ。 ∴当ＤＭ⊥ＡＢ时，ＤＭ最小，即ＥＦ最小。∵Ｓ△ＡＤＢ＝ １ ２ ＡＤ·ＢＤ＝ １ ２ ＡＢ·ＤＭ，∴ＤＭ＝ ＡＤ·ＢＤ ＡＢ ＝６ ×８ １０ ＝ ２４ ５ 。∴ＥＦ＝ １ ２ ＤＭ＝ １２ ５ 。∴ＥＦ的最小值为 １２ ５ 。 １２．ｙ＝ ２４ ｘ 　ｘ≥２　【解析】根据三角形的面积公式，得 １ ２ ｘｙ＝１２，∴ｙ＝ ２４ ｘ 。∵ｙ≤６ｘ，即 ２４ ｘ≤ ６ｘ，整理，得 ６ｘ２≥２４，∴ｘ≥２。 １３．槡４２　【解析】如图，连接ＤＦ，ＢＤ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＡＢ∥ＣＤ。 ∴∠ＢＡＤ＋∠ＡＤＣ＝１８０°。∵∠ＢＡＤ＝４５°， ∴∠ＡＤＣ＝１３５°。∵以点 Ｆ为圆心，ＢＦ的长为半 径作圆，该圆与边 ＣＤ恰好相切于点 Ｄ，∴ＤＦ⊥ ＣＤ。∴∠ＦＤＣ＝９０°。∴∠ＡＤＦ＝∠ＡＤＣ－∠ＦＤＣ＝ １３５°－９０°＝４５°。∴∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＦ。∴ＡＦ＝ＤＦ。 又∵ＤＦ＝ＢＦ，∴ＡＦ＝ＢＦ＝ＤＦ＝槡 ２ ２ ＡＤ。∴Ｓ△ＡＦＤ＝ １ ２ Ｓ△ＡＢＤ。∵Ｅ是 ＡＤ的中点，∴Ｓ△ＡＢＥ＝ １ ２ Ｓ△ＡＢＤ。 ∴Ｓ△ＡＢＥ＝Ｓ△ＡＦＤ。∴Ｓ阴影 ＝Ｓ△ＡＦＤ＋Ｓ扇形ＦＤＢ－Ｓ△ＡＢＥ＝ Ｓ扇形ＦＤＢ＝ ９０×π×槡２ ２ ＡＤ( ) ２ ３６０ ＝４π。∴ＡＤ＝槡４２。 １４．３６８　【解析】在每个顶点处截去一个小正方体， 原正方体棱数会多９，原正方体棱长和多出６个小 正方体棱长，∴八个顶点处分别截去棱长为１，２， ３，４，５，６，７，８的小正方体后，棱长和为 １２×１５＋ ６×（１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８）＝３９６。当棱长为７和棱 长为８的小正方形相邻时，棱长和最少，由于重合 总棱长的和相当于少 ４个长为 ７的棱长，∴最少 棱长和为３９６－４×７＝３６８。 １５．解：如图，⊙Ｏ即为所求作。 １６．解：（１）原式＝ ａ２－２ａ＋１ （ａ＋１）（ａ－１） ＋ ４ａ （ａ＋１）（ａ－１） ＝ ａ ２＋２ａ＋１ （ａ＋１）（ａ－１） ＝ （ａ ＋１）２ （ａ＋１）（ａ－１） ＝ａ ＋１ ａ－１ 。 （２）∵关于ｘ的方程（ｍ－２）ｘ２－３ｘ－２＝０的一个根 是－１， ∴ｍ－２＋３－２＝０。解得ｍ＝１。 ∴－ｘ２－３ｘ－２＝０。 解得ｘ＝－１或ｘ＝－２。 ∴它的另一个根是－２。 １７．解：这不是一个对参与双方公平的游戏。理由如下： 画出树状图如下： 共有４种等可能的结果，其中摸到两张牌的牌面 数字之积能被３整除的结果有 ３种，摸到两张牌 的牌面数字之积不能被３整除的结果有１种， ∴小颖胜的概率为 ３ ４ ，小刚胜的概率为 １ ４ 。 ∵ ３ ４≠ １ ４ ， ∴这不是一个对参与双方公平的游戏。 １８．解：（１）被调查的总人数为８÷１６％＝５０， 则８０～９０分的人数为５０－（４＋８＋１６＋１０）＝１２， 补全频数分布直方图如下： （２）在扇形统计图中，“８０～９０”这组的圆心角度数 为３６０°× １２ ５０ ＝８６．４°。故答案为８６．４。                                                                —５１— （３）将“７０～８０”这组的数据重新排列为 ７１，７１， ７２，７２，７２，７３，７４，７５，７５，７５，７５，７６，７６，７７，７８，７９， 所以抽取的ｎ名学生测试成绩的中位数是 ７６＋７７ ２ ＝ ７６．５（分）。故答案为７６．５。 （４）１５００× １２＋１０ ５０ ＝６６０（名）。 答：估计全校 １５００名学生中对航天科普知识了 解情况为优秀的学生人数为６６０。 １９．解：（１）设甲种货车用了ｘ辆，则乙种货车用了（２４－ ｘ）辆。 根据题意，得１６ｘ＋１２（２４－ｘ）＝３２８。解得ｘ＝１０。 ∴２４－ｘ＝２４－１０＝１４。 答：甲种货车用了１０辆，乙种货车用了１４辆。 （２）∵前往 Ａ地的甲、乙两种货车共 １２辆，且前 往Ａ地的甲种货车为 ｔ辆，∴前往 Ａ地的乙种货 车为（１２－ｔ）辆，前往Ｂ地的甲种货车为（１０－ｔ）辆， 乙种货车为１４－（１２－ｔ）＝（ｔ＋２）辆。 根据题意，得ｗ＝１２００ｔ＋１０００（１２－ｔ）＋９００（１０－ｔ）＋ ７５０（ｔ＋２）＝５０ｔ＋２２５００。 ∵前往Ａ地的甲、乙两种货车共１２辆，所运物资不 少于１６０吨，∴１６ｔ＋１２（１２－ｔ）≥１６０。解得ｔ≥４。 又∵甲种货车共用了１０辆，∴４≤ｔ≤１０。 ∵ｋ＝５０＞０，∴ｗ随ｔ的增大而增大。 ∴当 ｔ＝４时，ｗ取得最小值，最小值 ＝５０×４＋ ２２５００＝２２７００。 ２０．解：（１）由题意，得ＡＭ⊥ＤＭ， 在Ｒｔ△ＡＭＣ中，ＡＣ＝１３０米，∠ＡＣＭ＝６７°， ∴ＡＭ＝ＡＣ·ｓｉｎ６７°≈１３０× １２ １３ ＝１２０（米）。 ∴无人机的飞行高度ＡＭ约为１２０米。 （２）如图，过点Ｂ作ＢＧ⊥ＤＭ，垂足为Ｇ。 由题意，得ＡＢ＝ＧＭ＝３０米，ＡＭ＝ＢＧ＝１２０米， ∠ＦＢＤ＝３２°，ＡＦ∥ＤＭ，∴∠ＦＢＤ＝∠ＢＤＧ＝３２°。 在Ｒｔ△ＢＤＧ中，ＤＧ＝ ＢＧ ｔａｎ３２°≈ １２０ ５ ８ ＝１９２（米）。 在Ｒｔ△ＡＭＣ中，ＡＣ＝１３０米，∠ＡＣＭ＝６７°。 ∴ＣＭ＝ＡＣ·ｃｏｓ６７°≈１３０× ５ １３ ＝５０（米）。 ∴ＣＤ＝ＧＭ＋ＤＧ－ＣＭ＝３０＋１９２－５０＝１７２（米）。 ∴ＣＤ的长约为１７２米。 ２１．解：［辨析与解答］ 画出函数ｙ＝ｘ２－２｜ｘ｜＋１的图象如图１。 由图象可知，关于ｘ的方程ｘ２－２｜ｘ｜＋１＝ｍ有实数 根，则实数ｍ的取值范围是ｍ≥０。 故答案为ｍ≥０。 图１ ［应用与拓展］ （１）０＜ｍ＜１ （２）画出函数ｙ＝｜ｘ２－２ｘ－１｜的图象如图２，由图象 可知，如果关于ｘ的方程｜ｘ２－２ｘ－１｜＝ｍ有四个不 同的实数根，那么实数ｍ的取值范围是０＜ｍ＜２。 故答案为０＜ｍ＜２。 图２ ２２．解：（１）四边形ＡＤＭＣ是菱形。证明如下： 如图，连接ＣＤ。 ∵∠ＡＣＢ＝９０°， ∴∠Ｂ＋∠１＋∠２＝９０°。 ∵ＡＮ＝ＢＮ， ∴∠Ｂ＝∠１。 ∵ＡＭ平分∠ＢＡＣ， ∴∠１＝∠２。 ∴∠Ｂ＝∠１＝∠２＝３０°。 ∴∠ＢＡＣ＝∠１＋∠２＝６０°。 ∵Ｄ是ＡＢ的中点， ∴ＣＤ＝ＡＤ＝ １ ２ ＡＢ。 ∴△ＡＣＤ是等边三角形。 ∴ＡＤ＝ＣＤ＝ＡＣ。 ∵ＡＢ∥ＣＭ，∴∠１＝∠ＡＭＣ。 ∴∠２＝∠ＡＭＣ。∴ＡＣ＝ＣＭ。 ∴ＡＤ＝ＣＭ。∴四边形ＡＤＭＣ是平行四边形。 ∵ＡＣ＝ＣＭ，∴四边形ＡＤＭＣ是菱形。 （２）∵∠Ｂ＝∠１＝３０°， ∴∠ＡＮＢ＝１８０°－∠Ｂ－∠１＝１２０°。 ∴∠ＡＮＢ＝∠ＭＮＣ＝１２０°。 故答案为１２０。                                                                —６１— ２３．解：（１）当ｘ＝０时，ｙ＝－ １ ６ ×（０－５）２＋６＝ １１ ６ ， ∴点Ａ的坐标为 ０， １１ ６( ) 。 ∴雕塑高 １１ ６ ｍ。 （２）当ｙ＝０时，－ １ ６ （ｘ－５）２＋６＝０， 解得ｘ１＝－１（舍去），ｘ２＝１１。 ∴点Ｄ的坐标为（１１，０）。∴ＯＤ＝１１ｍ。 ∵从点Ａ向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形 状相同， ∴ＯＣ＝ＯＤ＝１１ｍ。∴ＣＤ＝ＯＣ＋ＯＤ＝２２ｍ。 （３）当ｘ＝１０时，ｙ＝－ １ ６ ×（１０－５）２＋６＝ １１ ６ ， ∴点 １０， １１ ６( ) 在抛物线ｙ＝－１６（ｘ－５）２＋６上。 又∵ １１ ６≈ １．８３＞１．８， ∴顶部Ｆ不会碰到水柱。 ２４．解：（１）当四边形ＡＱＰＥ是矩形时，∠ＰＱＡ＝９０°。 ∵∠ＤＡＱ＝６０°， ∴∠ＡＰＱ＝９０°－∠ＤＡＱ＝３０°。 在Ｒｔ△ＡＱＰ中，ＡＱ＝ １ ２ ＡＰ， ∵ＡＰ＝（１０－２ｔ）ｃｍ，ＡＱ＝２ｔｃｍ， ∴ ＡＱ ＡＰ ＝ ２ｔ １０－２ｔ ＝１ ２ 。 ∴ｔ＝ ５ ３ 。 （２）如图１，过点Ｄ作ＤＨ⊥ＥＰ，交ＥＰ的延长线于 点Ｈ。 图１ ∵四边形ＡＱＰＥ是平行四边形， ∴ＥＰ∥ＡＱ。 ∴∠ＤＰＨ＝∠ＤＡＱ＝６０°。 ∴∠ＰＤＨ＝９０°－∠ＤＰＨ＝３０°。 在Ｒｔ△ＰＤＨ中，∵ＤＰ＝２ｔｃｍ， ∴ＤＨ＝ＤＰ·ｓｉｎ∠ＤＰＨ＝槡３ｔｃｍ，ＨＰ＝ １ ２ ＤＰ＝ｔｃｍ。 ∵ＥＰ＝ＡＱ＝２ｔｃｍ，∴ＥＨ＝ＥＰ＋ＨＰ＝３ｔｃｍ。 在Ｒｔ△ＤＥＨ中，ＤＥ２＝ＤＨ２＋ＥＨ２＝（槡３ｔ） ２＋（３ｔ）２＝１２ｔ２， ∴ＤＥ＝槡２３ｔｃｍ。 （３）如图 ２，在（２）的基础上延长 ＤＨ交 ＡＢ于点 Ｇ，过点 Ｄ作 ＤＮ⊥ＣＭ于点 Ｎ，设 ＥＭ，ＡＤ交于 点Ｏ。 图２ ∵四边形ＡＢＣＤ是边长为１０ｃｍ的菱形，∠ＤＡＢ＝６０°， ∴∠ＤＣＭ＝６０°。 ∵∠ＤＮＣ＝９０°，∴ＤＮ＝ＣＤ·ｓｉｎ∠ＤＣＭ＝槡５３ｃｍ。 ∵ＥＰ∥ＡＢ，ＥＰ⊥ＤＨ，∴ＤＧ⊥ＡＢ。 ∴ＤＧ＝ＤＮ＝槡５３ｃｍ。 ∴ＧＨ＝ＤＧ－ＤＨ＝ 槡５３－槡３ｔ( ) ｃｍ。 ∵ＡＤ∥ＢＭ，∴△ＡＯＱ∽△ＢＭＱ。∴ ＡＱ ＢＱ ＝ＡＯ ＢＭ 。 ∵ＡＱ＝２ｔｃｍ，∴ＢＱ＝ＡＢ－ＡＱ＝（１０－２ｔ）ｃｍ。 ∴ ＢＱ ＡＱ ＝ＢＭ ＡＯ ＝１０ －２ｔ ２ｔ ＝５ －ｔ ｔ 。∴ Ｓ△ＢＱＭ Ｓ△ＡＱＯ ＝ＢＭ ＡＯ( ) ２ ＝（５ －ｔ）２ ｔ２ 。 ∵Ｓ△ＡＱＯ＝ １ ４ Ｓ四边形ＡＱＰＥ＝ １ ４ ＡＱ·ＧＨ＝槡 ５３ｔ－槡３ｔ ２ ２ ｃｍ２， ∴Ｓ△ＢＱＭ＝ 槡３（５－ｔ） ３ ２ｔ ｃｍ２。 ∵Ｓ△ＤＥＰ＝ １ ２ ＥＰ·ＤＨ＝槡３ｔ ２ｃｍ２，Ｓ△ＡＱＯ＝Ｓ△ＥＯＰ， Ｓ菱形ＡＢＣＤ＝ＡＢ·ＤＧ＝ 槡５０３ｃｍ ２， ∴Ｓ四边形ＣＤＥＭ＝Ｓ菱形ＡＢＣＤ－Ｓ△ＡＱＯ＋Ｓ△ＢＱＭ＋Ｓ△ＤＥＰ＋Ｓ△ＥＯＰ＝ Ｓ菱形ＡＢＣＤ＋Ｓ△ＢＱＭ＋Ｓ△ＤＥＰ。 ∴Ｓ四边形ＣＤＥＭ＝ 槡５０３＋ 槡３（５－ｔ） ３ ２ｔ ＋槡３ｔ ２[ ] ｃｍ２。 ∴Ｓ＝槡 ３ ２ ｔ２＋ 槡 １５３ ２ ｔ＋ 槡 ２５３ ２ ＋ 槡１２５３ ２ｔ （０＜ｔ＜５）。 ６２０２４年崂山区学业水平第一次阶段性质量检测 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｂ Ｄ Ｄ Ｃ Ｃ Ｂ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ １．Ｂ　【解析】 １ ５ 的倒数是５。故选Ｂ。 ２．Ｄ　【解析】Ａ是中心对称图形，不是轴对称图形， 故此选项不符合题意；Ｂ是轴对称图形，不是中 心对称图形，故此选项不符合题意；Ｃ是轴对称 图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题 意；Ｄ既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此 选项符合题意。故选 Ｄ。 ３．Ｄ　【解析】４７４００００００＝４．７４×１０８。故选Ｄ。 ４．Ｃ　【解析】这组数据的中位数是第 ５，６个数据的 平均数，所以这组数据的中位数为 ４＋６ ２ ＝５。众数为 ３。故选Ｃ。                                                                —７１— — ２５— — ２６— — ２７— 　　　　　　　　　　　　　　　　　第Ⅰ卷（选择题 共１８分） 一、选择题（本大题共６小题，每小题３分，共１８分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。每小题选对得分，不选、选错或选出的标 号超过一个的不得分） １． １ ３ 的相反数是 （　　） Ａ．３ Ｂ． １ ３ Ｃ．－ １ ３ Ｄ．－３ ２．下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对 称图形的是 （　　） Ａ 　 Ｂ 　 Ｃ 　 Ｄ ３．四名运动员参加了射击预选赛，他们的成绩的平 均环数ｘ及方差ｓ２如下表所示。 甲 乙 丙 丁 ｘ ８．３ ９．２ ９．２ ８．５ ｓ２ １ １ １．１ １．７ 如果选出一个成绩较好且状态稳定的人去参赛， 那么应选 （　　） Ａ．甲 Ｂ．乙 Ｃ．丙 Ｄ．丁 ４．一个几何体及它的主视图和俯视图如图所示，则 它的左视图是 （　　） Ａ 　　 Ｂ 　　 Ｃ 　　 Ｄ ５．如图，ＢＤ是⊙Ｏ的直径，点 Ａ，Ｃ在⊙Ｏ上， ＡＢ ) ＝ＡＤ ) ，ＡＣ交 ＢＤ于点 Ｇ。若∠ＡＤＣ＝６６°，则 ∠ＡＧＢ的度数为 （　　） Ａ．６６° Ｂ．６９° Ｃ．１０４° Ｄ．１１４° ６．已知平面直角坐标系中，抛物线 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ 的开口向上，对称轴为直线 ｘ＝－１，且经过点 （－３，０），则下列结论正确的有 （　　） （１）ａ－ｂ＋ｃ＜０；（２）４ａ２－２ｂｃ＞０；（３）将抛物线ｙ＝ ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ向左平移１个单位长度时，它会过原 点；（４）直线ｙ＝２ａｘ－ｃ不过第四象限。 Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 第Ⅱ卷（非选择题　共１０２分） 二、填空题（本大题共８小题，每小题３分，共２４分） ７．如图，点Ａ，Ｂ，Ｃ的坐标分别为（－２，３），（－３，１）， （－１，２），将△ＡＢＣ绕点 Ａ按逆时针方向旋转 ９０°，得到△Ａ′Ｂ′Ｃ′，其中点Ａ，Ｂ，Ｃ的对应点分别 是点Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，则点Ｂ′的坐标为　　　　。 ８．计算：槡２４－ ２ ３槡( )×槡６× ５ ７( ) ０ ＝　　　　。 ９．如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并 随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴 影区域的概率是　　　　　。 １０．一辆汽车开往距出发地 ４２０ｋｍ的目的地，若 这辆汽车比原计划每小时多行１０ｋｍ，则提前 １ｈ到达目的地。设这辆汽车原计划的速度为 ｘｋｍ／ｈ，根据题意所列方程为 　。 １１．如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝６，ＢＤ＝８， ＡＤ⊥ＢＤ，Ｍ，Ｎ分别是边ＡＢ，ＢＣ上的动点（不与 Ａ，Ｂ，Ｃ重合），Ｅ，Ｆ分别是 ＤＮ，ＭＮ的中点，连 接ＥＦ，则ＥＦ的最小值为　　　　。 １２．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，△ＡＢＣ的面积为 １２，设边ＢＣ＝ｘ，边ＡＣ＝ｙ，请写出ｙ与ｘ的函数 关系式：　　　　　　　　　　　；若△ＡＢＣ 的边ＡＣ不大于边ＢＣ的６倍，则ｘ的取值范围 是　　　　　。 １３．如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，∠ＢＡＤ＝４５°，Ｅ 是ＡＤ的中点，在ＡＢ上取一点 Ｆ，以点 Ｆ为圆 心，ＢＦ的长为半径作圆，该圆与边 ＣＤ恰好相 切于点Ｄ，连接ＢＥ。若图中阴影部分的面积为 ４π，则ＡＤ＝　　　　　。 １４．已知一个棱长为１５的正方体木块，现在从它 的八个顶点处分别截去棱长为 １，２，３，４，５， ６，７，８的小正方体，则所得到的几何体的各 条棱的长度之和最少为　　　　　。 三、作图题（本大题满分 ５分。用圆规、直尺作 图，不写作法，但要保留作图痕迹） １５．已知四边形ＡＢＣＤ。 求作：一个⊙Ｏ，使⊙Ｏ与直线ＡＢ相切，并且 点Ｏ到边 ＡＤ和边 ＣＤ的距离相等，到点 Ｂ 和点Ｃ的距离也相等。 四、解答题（本大题共９小题，共７３分） １６．（８分）（１）化简： ａ－１ ａ＋１ ＋４ａ ａ２－１ ； （２）已知关于ｘ的方程（ｍ－２）ｘ２－３ｘ－２＝０的 一个根是－１，求它的另一个根。 １７．（６分）小颖和小刚做摸纸牌游戏。如图，两组 相同的纸牌，每组两张，第一组牌面数字分别为 ２和３，第二组牌面数字分别为５和６。将两组 牌背面朝上洗匀后从每组牌中各摸出一张，称 为一次游戏。若摸到两张牌的牌面数字之积能 被３整除，则小颖胜，否则小刚胜。这是一个对 参与双方公平的游戏吗？请借助列表或画树状 图的方法说明理由。 １８．（６分）某学校为调查学生对航天科普知识的了 解情况，从全校学生中随机抽取 ｎ名学生进行 测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成 如图的频数分布直方图和扇形统计图。 请根据图中信息解答下列问题： （１）补全频数分布直方图； （２）在扇形统计图中，“８０～９０”这组的圆心角度数 为　　　　　度； （３）已知“７０～８０”这组的数据如下：７３，７４，７７，７８，７９， ７１，７１，７６，７６，７２，７２，７２，７５，７５，７５，７５。抽取的ｎ名学 生测试成绩的中位数是　　　　　分； （４）若成绩达到８０分以上（含８０分）为优秀，请你 通过列式计算，估计全校１５００名学生中对航天科 普知识了解情况为优秀的学生人数为多少。                                                                                                                                                                                                                     ５ ２０２４年市北区学业水平第一次阶段性质量检测 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — ２８— — ２９— — ３０— １９．（８分）某运输公司安排甲、乙两种货车２４辆恰 好一次性将３２８吨的物资运往 Ａ，Ｂ两地，两种 货车载质量及到Ａ，Ｂ两地的运输成本如表： 货车 类型 载 质 量 （吨／辆） 运往 Ａ地的 成本（元／辆） 运往Ｂ地的 成本（元／辆） 甲种 １６ １２００ ９００ 乙种 １２ １０００ ７５０ （１）求甲、乙两种货车各用了多少辆； （２）如果前往Ａ地的甲、乙两种货车共１２辆，所 运物资不少于１６０吨，其余货车将剩余物资运往 Ｂ地。设甲、乙两种货车到 Ａ，Ｂ两地的总运输 成本为ｗ元，前往Ａ地的甲种货车为 ｔ辆。当 ｔ 为何值时，ｗ最小？最小值为多少。 ２０．（８分）数学兴趣小组借助无人机开展实物测 量的社会实践活动。如图，在河岸边的Ｃ处， 兴趣小组令一架无人机沿６７°的仰角方向飞 行１３０米到达点 Ａ处，然后无人机沿水平线 ＡＦ方向继续飞行 ３０米至 Ｂ处，测得此时河 对岸Ｄ处的俯角为 ３２°。线段 ＡＭ的长为无 人机距地面的铅直高度，点Ｍ，Ｃ，Ｄ在同一条 直线上。 （１）求无人机的飞行高度ＡＭ； （２）求ＣＤ的长。 (参考数据：ｓｉｎ３２°≈１７３２，ｃｏｓ３２°≈ １７ ２０ ，ｔａｎ３２°≈ ５ ８ ，ｓｉｎ６７°≈ １２ １３ ，ｃｏｓ６７°≈ ５ １３ ，ｔａｎ６７°≈ １２ ５) ２１．（８分）小明、小红和小亮三位同学对问题“关 于ｘ的方程 ｘ２－２｜ｘ｜＋１＝ｍ有实数根，求实数 ｍ的取值范围”提出了自己的解题思路： 【辨析与解答】 小明说：“只需分类讨论，将方程中的绝对值去 掉，讨论关于ｘ的一元二次方程根的情况。” 小红说：“用函数思想，设 ｙ＝ｘ２－２｜ｘ｜＋１，只需 ｍ在ｙ的取值范围内。” 小亮说：“可以数形结合，把方程两边分别看成 关于ｘ的函数，利用函数图象解决。” 结合上述解题思路综合考量，你认为他们所讨 论的问题的正确结论，即实数ｍ的取值范围是 　　　　　。请写出你的解题过程。 【应用与拓展】 （１）如果关于ｘ的方程ｘ２－２｜ｘ｜＋１＝ｍ有四个 不同的实数根，那么实数 ｍ的取值范围是 　　　　　　； （２）如果关于ｘ的方程｜ｘ２－２ｘ－１｜＝ｍ有四个 不同的实数根，那么实数 ｍ的取值范围是 　　　　　　。 ２２．（９分）如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，过点 Ｃ作直线ＣＭ∥ＡＢ，ＣＭ与∠ＢＡＣ的平分线相 交于点 Ｍ，ＡＭ与 ＢＣ相交于点 Ｎ，且 ＡＮ＝ ＢＮ。Ｄ是边ＡＢ的中点，连接ＤＭ。 （１）判断并证明四边形ＡＤＭＣ的形状； （２）∠ＭＮＣ＝　　　　　°。 ２３．（８分）某游乐场的圆形喷水池中心Ｏ有一雕塑 ＯＡ，从点Ａ向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且 形状相同。如图，以水平方向为ｘ轴，点Ｏ为原 点建立直角坐标系，点Ａ在ｙ轴上，ｘ轴上的点 Ｃ，Ｄ为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象 限部分）的函数表达式为ｙ＝－ １ ６ （ｘ－５）２＋６。 （１）求雕塑高ＯＡ； （２）求落水点Ｃ，Ｄ之间的距离； （３）若需要在 ＯＤ上的点 Ｅ处竖立雕塑 ＥＦ， ＯＥ＝１０ｍ，ＥＦ＝１．８ｍ，ＥＦ⊥ＯＤ。问：顶部Ｆ是 否会碰到水柱？请通过计算说明。 ２４．（１２分）如图，已知四边形 ＡＢＣＤ是边长为 １０ｃｍ 的菱形，∠ＤＡＢ＝６０°。动点Ｐ从点Ｄ开始沿边ＤＡ 匀速运动，动点 Ｑ从点 Ａ开始沿边 ＡＢ匀速运动， 它们的运动速度均为２ｃｍ／ｓ。点Ｐ和点Ｑ同时出 发，以ＡＱ，ＰＱ为边作平行四边形ＡＱＰＥ，连接并延 长ＥＱ，与ＣＢ的延长线相交于点 Ｍ，连接 ＤＥ。设 运动的时间为ｔ（ｓ），０＜ｔ＜５。 根据题意解答下列问题： （１）在运动过程中，是否存在某一时刻ｔ，使四边形 ＡＱＰＥ是矩形？若存在，求出 ｔ的值；若不存在，请 说明理由； （２）用含ｔ的代数式表示ＤＥ； （３）设四边形ＣＤＥＭ的面积为Ｓ（ｃｍ２），求Ｓ与ｔ的 函数关系式。                                                                                                                                                                                                                           