4 2024年市南区学业水平第一次阶段性质量检测-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东青岛专版）

∴当１≤ｘ≤ ４１ ６ 时，ｗ的值随ｘ值的增大而增大。 ∵ｘ是正整数， ∴当ｘ＝６时，ｗ最大＝１３８； ∴当 ４１ ６≤ ｘ≤１０时，ｗ的值随ｘ值的增大而减小。 ∵ｘ是正整数， ∴当ｘ＝７时，ｗ最大＝１４０。 ∵１４０＞１３８， ∴李大爷每天应购进这种水果 ７箱，才能使每天 所获利润最大，最大利润为１４０元。 ２５．解：（１）如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理， 得ＡＣ＝ ＡＢ２－ＢＣ槡 ２＝ ２５－槡 ９＝４。 　图１ ∵△ＡＢＣ绕点 Ａ按逆时针 方向旋转９０°得到△ＡＤＥ， ∴ＡＤ＝５，ＤＥ＝３，ＡＥ＝４， ∠ＡＥＤ＝９０°，∠ＢＡＤ＝９０°。 ∵ＥＱ⊥ＡＤ， ∴∠ＡＱＥ＝∠ＡＥＤ＝９０°。 又∵∠ＥＡＱ＝∠ＤＡＥ，∴△ＡＱＥ∽△ＡＥＤ。 ∴ ＡＱ ＡＥ ＝ＡＥ ＡＤ 。∴ ｔ ４ ＝４ ５ 。∴ｔ＝ １６ ５ 。 所以当ＥＱ⊥ＡＤ时，ｔ的值为 １６ ５ 。 （２）如图２，分别过点 Ｃ，Ｐ作 ＣＭ⊥ＡＤ，ＰＮ⊥ＢＣ， 垂足分别为Ｍ，Ｎ。 　图２ ∵∠Ｂ＋∠ＢＡＣ＝９０°， ∠ＣＡＭ＋∠ＢＡＣ＝９０°， ∴∠Ｂ＝∠ＣＡＭ。 又∵∠ＢＣＡ＝∠ＡＭＣ＝９０°， ∴△ＡＢＣ∽△ＣＡＭ。 ∴ ＡＢ ＣＡ ＝ＢＣ ＡＭ ＝ＡＣ ＣＭ 。 ∴ ５ ４ ＝３ ＡＭ ＝４ ＣＭ 。∴ＡＭ＝ １２ ５ ，ＣＭ＝ １６ ５ 。 ∵∠Ｂ＝∠Ｂ，∠ＢＮＰ＝∠ＢＣＡ＝９０°， ∴△ＢＰＮ∽△ＢＡＣ。∴ ＢＰ ＢＡ ＝ＰＮ ＡＣ 。∴ ｔ ５ ＝ＰＮ ４ 。 ∴ＰＮ＝ ４ ５ ｔ。∴Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ ＢＣ·ＡＣ＝ １ ２ ×３×４＝６， Ｓ△ＡＣＤ＝ １ ２ ＡＤ·ＣＭ＝ １ ２ ×５× １６ ５ ＝８， Ｓ△ＢＰＣ＝ １ ２ ＢＣ·ＰＮ＝ １ ２ ×３× ４ ５ ｔ＝ ６ ５ ｔ， Ｓ△ＡＰＱ＝ １ ２ ＡＱ·ＡＰ＝ １ ２ ｔ（５－ｔ）。 ∴Ｓ四边形ＰＣＤＱ＝Ｓ△ＡＢＣ＋Ｓ△ＡＣＤ－Ｓ△ＡＰＱ－Ｓ△ＢＰＣ＝ ６＋８－ １ ２ ｔ（５－ｔ）－ ６ ５ ｔ＝ １ ２ ｔ２－ ３７ １０ ｔ＋１４。 ∴Ｓ与ｔ之间的函数关系式为Ｓ＝ １ ２ ｔ２－ ３７ １０ ｔ＋１４（０＜ ｔ＜５）。 （３）如图３，作 ＣＭ⊥ＡＤ于点 Ｍ，假设存在某一时 刻ｔ，使ＰＱ∥ＣＤ。 图３ ∵ＡＤ＝５，ＡＭ＝ １２ ５ ， ∴ＤＭ＝ＡＤ－ＡＭ＝５－ １２ ５ ＝１３ ５ 。 ∵ＰＱ∥ＣＤ，∴∠ＡＱＰ＝∠ＡＤＣ。 又∵∠ＰＡＱ＝∠ＣＭＤ＝９０°， ∴△ＡＰＱ∽△ＭＣＤ。 ∴ ＡＰ ＭＣ ＝ＡＱ ＭＤ 。∴ ５－ｔ １６ ５ ＝ｔ １３ ５ 。∴ｔ＝ ６５ ２９ 。 ∴存在时刻ｔ＝ ６５ ２９ ，使ＰＱ∥ＣＤ。 ４２０２４年市南区学业水平第一次阶段性质量检测 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｄ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ｂ Ｂ Ｃ Ｃ １．Ｄ　【解析】Ａ既不是轴对称图形，也不是中心对称 图形，故此选项不符合题意；Ｂ既是轴对称图形，又 是中心对称图形，故此选项不符合题意；Ｃ是中心 对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； Ｄ是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符 合题意。故选Ｄ。 ２．Ｃ　【解析】－２０２４的倒数是－ １ ２０２４ 。故选Ｃ。 ３．Ｂ　【解析】０．０００００００１２＝１．２×１０－８。故选Ｂ。 ４．Ｃ　【解析】 ５０－１０－２０ ５０ ×１８００＝７２０（人）。故选Ｃ。 ５．Ａ　【解析】因为两个 ２０２４年春晚吉祥物“龙 辰辰”的图案成中心对 称，所以两个图案中对应 点的连线经过对称中心。 如图所示，对称中心的坐 标为（４，４）。故选Ａ。 ６．Ｄ　【解析】Ａ． １ ２( ) ０ × １ ２( ) －２ ＝１×４＝４，故此选项 不符合题意；Ｂ．ａ３·ａ３＝ａ６，故此选项不符合题意； Ｃ．（ａ３）２＝ａ６，故此选项不符合题意；Ｄ．（ａｂ２）２÷ ａ２ｂ＝ａ２ｂ４÷ａ２ｂ＝ｂ３，故此选项符合题意。故选Ｄ。 ７．Ｂ　【解析】根据平移的性质可知∠ＢＣＧ＝∠ＤＣＧ＝ ∠ＡＢＣ＝∠ＥＤＣ＝１４４°，∴∠ＢＣＤ＝３６０°－１４４°－１４４°＝ ７２°。故选Ｂ。                                                                —０１— ８．Ｂ　【解析】如图，过点 Ｐ作 ＰＨ⊥ＡＢ于点Ｈ，延长ＨＰ交ＣＤ 于点Ｇ，则ＨＧ＝ＡＤ＝４。∵四边形 ＡＢＣＤ是正方形，∴ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ＝ ＢＣ。∴ＰＧ⊥ＣＤ。∵△ＡＢＰ是等 边三角形，∴ＰＡ＝ＰＢ＝ＡＢ＝４， ∠ＰＡＢ＝∠ＰＢＡ＝６０°。 ∴∠ＤＡＰ＝∠ＣＢＰ＝３０°。∴△ＤＡＰ≌△ＣＢＰ（ＳＡＳ）。 ∴ＰＤ＝ＰＣ。∴ＣＧ＝ＤＧ＝２。在Ｒｔ△ＰＢＨ中，ＰＢ＝４， ＢＨ＝ １ ２ ＡＢ＝２，∴ＰＨ＝ ＰＢ２－ＢＨ槡 ２＝槡２３。∴ＰＧ＝４－ 槡２３。∴ｔａｎ∠ＰＣＤ＝ ＰＧ ＣＧ ＝４ －槡２３ ２ ＝２－槡３。故选Ｂ。 ９．Ｃ　【解析】该模具的表面积为 ６×９２－６×３２＋６×４× ３×３＝６４８（ｃｍ２）。故选Ｃ。 １０．Ｃ　【解析】∵抛物线开口向上，∴ａ＞０。∵对称轴 为直线ｘ＝－ ｂ ２ａ ＞０，∴ｂ＜０。∵抛物线与 ｙ轴的交 点在ｘ轴下方，∴ｃ＜０。∴ａｂｃ＞０。故①正确；∵抛 物线与ｘ轴的交点 Ａ，Ｂ的横坐标分别为－１，３， ∴抛物线的对称轴为直线ｘ＝１，即－ ｂ ２ａ ＝１。∴２ａ＋ ｂ＝０。故②正确；∵点Ａ的坐标为（－１，０），∴ａ－ｂ＋ｃ＝ ０。∵ｂ＝－２ａ，∴ａ＋２ａ＋ｃ＝０，即 ｃ＝－３ａ。∴ ａ ４ － ｂ ２ ＋ｃ＝ ａ－２ｂ＋４ｃ ４ ＝ａ ＋４ａ－１２ａ ４ ＝ －７ａ ４ 。∵ａ＞０，∴ ａ ４ － ｂ ２ ＋ｃ＜０。故③错误；要使△ＡＣＢ是等腰三角形， 则必须保证ＡＢ＝ＢＣ＝４或ＡＢ＝ＡＣ＝４或 ＡＣ＝ＢＣ。 当ＡＢ＝ＢＣ＝４时，∵ＯＢ＝３，△ＢＯＣ是直角三角形， ＯＣ＝｜ｃ｜，∴ｃ２＝１６－９＝７。∵抛物线与ｙ轴的交点在ｙ 轴的负半轴上，∴ｃ＝－槡７。∵ｃ＝－３ａ，∴ａ＝ 槡７ ３ 。同理， 当ＡＢ＝ＡＣ＝４时，∵ＯＡ＝１，△ＡＯＣ是直角三角形，ＯＣ＝ ｜ｃ｜，∴ｃ２＝１６－１＝１５。∵抛物线与ｙ轴的交点在ｙ轴的 负半轴上，∴ｃ＝－槡１５。∵ｃ＝－３ａ，∴ａ＝ 槡１５ ３ 。同理， 当ＡＣ＝ＢＣ时，在△ＡＯＣ中，ＡＣ２＝１＋ｃ２，在△ＢＯＣ中， ＢＣ２＝ｃ２＋９。∵ＡＣ＝ＢＣ，∴１＋ｃ２＝ｃ２＋９，此方程无解。 ∴只有两个ａ的值满足条件。故④正确。故选Ｃ。 １１．２（ｘ＋ｙ）２　【解析】２ｘ２＋４ｘｙ＋２ｙ２＝２（ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２）＝ ２（ｘ＋ｙ）２。 １２．３－槡３　【解析】（槡６－槡２）× ３ ２槡 ＝ ６× ３ ２槡 － ２× ３ ２槡 ＝３－槡３。 １３．ｘ１＝１，ｘ２＝－３　【解析】∵一次函数 ｙ＝ｋｘ＋ｂ与反 比例函数ｙ＝ ｍ ｘ 的图象交于点Ａ（１，６），Ｂ（ｎ，－２）， ∴１×６＝－２ｎ，ｎ＝－３。∴Ｂ（－３，－２）。根据图象可 知，关于ｘ的方程ｋｘ＋ｂ＝ ｍ ｘ 的解为ｘ１＝１，ｘ２＝－３。 １４． ８ ｘ － ６ １．２ｘ ＝９ ６０ 　【解析】根据题意，得 ８ ｘ －６ １．２ｘ ＝９ ６０ 。 １５． ８ ３ 　【解析】 如 图，连 接 ＡＣ交 ＭＮ于 点Ｏ，过点Ａ作ＡＨ⊥ＢＣ交 ＣＢ的延长线于点 Ｈ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＡＢ∥ＣＤ。 ∴∠ＡＢＨ＝∠ＤＣＢ＝３０°。∵ＡＢ＝槡４３，∴ＡＨ＝ １ ２ ＡＢ＝ 槡２３，ＢＨ＝ 槡３ ２ ＡＢ＝６。∴ＣＨ＝ＢＣ＋ＢＨ＝１８。∴ＡＣ＝ ＡＨ２＋ＣＨ槡 ２＝ （槡２３） ２＋１８槡 ２＝ 槡４ ２１。∵沿ＭＮ折叠 平行四边形，使点Ｃ与点Ａ重合，∴ＯＡ＝ＯＣ＝ １ ２ ＡＣ＝ 槡２ ２１，ＡＣ⊥ＭＮ。∴∠ＣＯＭ＝∠Ｈ＝９０°。∵∠ＯＣＭ＝ ∠ＨＣＡ，∴△ＣＯＭ∽△ＣＨＡ。∴ ＯＣ ＣＨ ＝ＣＭ ＡＣ 。∴ 槡 ２ ２１ １８ ＝ ＣＭ 槡４ ２１ 。∴ＣＭ＝ ２８ ３ 。∴ＢＭ＝１２－ ２８ ３ ＝８ ３ 。 １６．解：如图，点Ｐ即为所求。 １７．解：（１） ｘ＋１ ｘ２－９ · ２－ ８ ｘ＋１( ) ＝ ｘ ＋１ （ｘ＋３）（ｘ－３） · ２（ｘ－３） ｘ＋１ ＝２ ｘ＋３ 。 （２） ３（ｘ－１）≤ｘ＋５，① １ ３ ｘ＋２＞１－ ２ ３ ｘ。②{ 解不等式①，得ｘ≤４。 解不等式②，得ｘ＞－１。 ∴不等式组的解集为－１＜ｘ≤４。 其中正整数解为１，２，３，４。 １８．解：画树状图如下： 共有９种等可能的结果，其中两次摸到的球号码 相同的结果有５种， ∴小明爸爸每天上下班乘坐同一线路地铁的概率 是 ５ ９ 。                                                                —１１— １９．解：（１）∵ＤＥ是⊙Ｏ的切线，∴ＯＣ⊥ＤＥ。 ∵ＡＥ⊥ＤＥ，∴ＯＣ∥ＡＥ。 ∴△ＯＤＣ∽△ＡＤＥ。∴ ＯＣ ＡＥ ＝ＯＤ ＡＤ 。 ∴ １０ １５ ＝ ＯＤ ＯＤ＋１０ 。∴ＯＤ＝２０。 ∴ＢＤ＝ＯＤ－ＯＢ＝１０。 （２）如图，连接ＢＣ。 ∵∠ＯＣＤ＝９０°，ＯＣ＝ １０，ＯＤ＝２０， ∴ＯＣ＝ １ ２ ＯＤ。 ∴∠Ｄ＝３０°。 ∴∠ＣＯＢ＝６０°。 ∵ＯＣ＝ＯＢ， ∴△ＯＣＢ是等边三角形。 ∴∠ＣＢＯ＝６０°。∴∠ＡＦＣ＝１８０°－∠ＡＢＣ＝１２０°。 故答案为１２０。 ２０．解：（１）Ａ餐馆２～３月份的综合评分为 １ ４ ×（４．８＋ ４．７＋４．８＋４．７）＝４．７５（分）。 补全Ａ餐馆２～３月份的折线统计图如下： 由折线图可知，Ｂ，Ｃ，Ｄ餐馆近 ６个月综合评分波 动最小的是Ｃ餐馆， ∴Ｂ，Ｃ，Ｄ餐馆近６个月综合评分方差最小的为Ｃ 餐馆。故答案为Ｃ。 （２） ４．６×１＋４．８×４＋４．９×４＋４．５×１ １＋４＋４＋１ ＝４．７９（分）。 答：Ｄ餐馆 ３月份四项评分数据的平均数为 ４．７９分。 （３）选Ｂ餐馆。（答案不唯一）理由如下： ①Ｂ餐馆点评条数最多说明四项评分可靠性最 大；②从折线图看，Ｂ餐馆综合评分呈上升趋势。 ２１．解：（１）该小区每座楼均为１６层，每层楼高２．８米 且装有落地窗， ∴ＣＤ＝ＡＢ＝１６×２．８＝４４．８（米）， ＢＥ＝ＤＦ＝６×２．８＝１６．８（米）。 ∴ＡＥ＝ＡＢ－ＢＥ＝４４．８－１６．８＝２８（米）。 故答案为２８。 （２）∵ｔａｎ２２．８°＝ ＡＥ ＥＦ≈ ０．４２，ＡＥ＝２８， ∴ＥＦ＝ ＡＥ ｔａｎ２２．８°≈ ２８ ０．４２≈ ６６．６７（米）。 ∴ＭＮ＝ＥＦ＝６６．６７米。∵ｔａｎ２８．３６°＝ ＡＭ ＭＮ≈ ０．５４， ∴ＡＭ＝ＭＮ·ｔａｎ２８．３６°≈６６．６７×０．５４≈３６（米）。 ∵４４．８－３６＝８．８（米），∴８．８÷２．８≈３．１（层）。 ∴小强家要在该小区买房，至少买４楼才能达到要求。 ２２．解：（１）如图１，过点 Ｄ作ＤＮ⊥ＢＣ，ＤＭ⊥ＡＢ，垂足 分别为Ｎ，Ｍ。 ∵△ＡＢＣ是等腰直角三角形，∠ＡＢＣ＝９０°，Ｄ是 ＡＣ的中点，∴ＤＭ＝ＤＮ。 ∴Ｓ△ＡＢＤ＝Ｓ△ＢＣＤ＝ １ ２ Ｓ△ＡＢＣ。 ∵Ｓ四边形ＢＥＤＦ＝ １ ２ Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＢＤＦ＋Ｓ△ＤＦＣ＝Ｓ△ＢＤＦ＋Ｓ△ＢＥＤ， ∴Ｓ△ＤＦＣ＝Ｓ△ＢＥＤ。∴ １ ２ ＢＥ·ＤＭ＝ １ ２ ＣＦ·ＤＮ。 ∴ＢＥ＝ＣＦ。∴ ＢＥ ＣＦ ＝１。 故答案为１。 图１ 　 图２ （２）如图２，过点Ｄ作ＤＮ⊥ＢＣ，ＤＭ⊥ＡＢ，垂足分别 为Ｎ，Ｍ。 ∵Ｄ是ＡＣ的中点，∴Ｓ△ＡＢＤ＝Ｓ△ＢＣＤ＝ １ ２ Ｓ△ＡＢＣ。 ∴ １ ２ ＡＢ·ＤＭ＝ １ ２ ＢＣ·ＤＮ。∴ ＤＮ ＤＭ ＝ＡＢ ＢＣ ＝３ ４ 。 同（１）可得Ｓ△ＤＦＣ＝Ｓ△ＢＥＤ。 ∴ １ ２ ＢＥ·ＤＭ＝ １ ２ ＣＦ·ＤＮ。∴ ＢＥ ＣＦ ＝ＤＮ ＤＭ ＝３ ４ 。 故答案为 ３ ４ 。 （３）如图３，过点Ｄ作ＤＮ⊥ＢＣ，ＤＭ⊥ＡＢ，垂足分别 为Ｎ，Ｍ。 图３ ∵Ｄ是ＡＣ的中点， ∴Ｓ△ＡＢＤ＝Ｓ△ＢＣＤ＝ １ ２ Ｓ△ＡＢＣ。 ∴ １ ２ ａ·ＤＭ＝ １ ２ ｂ·ＤＮ。 ∴ ＤＮ ＤＭ ＝ａ ｂ 。 同（１）可得Ｓ△ＤＦＣ＝Ｓ△ＢＥＤ。 ∴ １ ２ ＢＥ·ＤＭ＝ １ ２ ＣＦ·ＤＮ。∴ ＢＥ ＣＦ ＝ＤＮ ＭＤ ＝ａ ｂ 。 故答案为 ａ ｂ 。                                                                —２１— ２３．解：（１）设该日午餐所需要的猪小排的质量为 ｘ克，猪肉（瘦）的质量为ｙ克。 根据题意，得 ０．１７ｘ＋０．２ｙ＝３１， ０．２３ｘ＋０．０６ｙ＝２７．２。{ 解得 ｘ＝１００， ｙ＝７０。{ 答：该日午餐所需要的猪小排的质量为１００克，猪 肉（瘦）的质量为７０克。 （２）设该菜品中青椒的质量为 ｍ克，则包菜的质 量为（１５０－ｍ）克。 根据题意，得ｍ≤ １ ２ （１５０－ｍ）。 解得ｍ≤５０。 设该菜品膳食纤维的含量为ｗ克， 则ｗ＝０．０２２ｍ＋０．０１（１５０－ｍ）＝０．０１２ｍ＋１．５。 ∵０．０１２＞０，∴ｗ随ｍ的增大而增大。 ∴当ｍ＝５０时，ｗ取得最大值，最大值为０．０１２×５０＋ １．５＝２．１。 答：该菜品膳食纤维的含量最高为２．１克。 ２４．（１）证明：∵ＡＢ∥ＯＦ，∴∠ＡＢＦ＝∠ＯＦＢ。 ∵Ｅ是ＯＡ的中点，∴ＡＥ＝ＯＥ。 在△ＡＥＢ和△ＯＥＦ中， ∠ＡＢＥ＝∠ＯＦＥ， ∠ＡＥＢ＝∠ＯＥＦ， ＡＥ＝ＯＥ，{ ∴△ＡＥＢ≌△ＯＥＦ（ＡＡＳ）。 （２）解：若∠ＢＡＤ＝９０°，则四边形 ＡＯＤＦ是菱形。 证明如下： ∵在ＡＢＣＤ中，∠ＢＡＤ＝９０°， ∴四边形ＡＢＣＤ是矩形。 ∴ＡＣ＝ＢＤ，ＯＡ＝ １ ２ ＡＣ，ＯＤ＝ １ ２ ＢＤ。∴ＯＡ＝ＯＤ。 ∵△ＡＥＢ≌△ＯＥＦ，∴ＡＢ＝ＯＦ。 ∵ＡＢ∥ＯＦ，∴四边形ＡＢＯＦ是平行四边形。 ∴ＡＦ∥ＯＢ，ＡＦ＝ＯＢ。∴ＡＦ＝ＯＤ。 ∴四边形ＡＯＤＦ是平行四边形。 ∵ＯＡ＝ＯＤ，∴四边形ＡＯＤＦ是菱形。 ２５．解：（１）ｙ＝５０－０．５（ｘ－１）＝－０．５ｘ＋５０．５。 （２）ｗ＝（３０－２０）（ｘ＋２０）＋（－０．５ｘ＋５０．５－２０）（ｘ＋ ２０）－４５５＝－０．５ｘ２＋３０．５ｘ＋３５５。 ∵－０．５＜０，∴当ｘ＝－ ｂ ２ａ ＝３０．５时，ｗ有最大值。 ∵ｘ为正整数， ∴该玩具销售过程中，在第 ３０天或第 ３１天获得 的利润总和ｗ（元）最大。利润总和最大为－０．５× ３０２＋３０．５×３０＋３５５＝８２０（元）。 （３）由题意，得（－０．５ｘ＋５０．５－２０）（ｘ＋２０）－４５５≥ （３０－２０）（ｘ＋２０）， 化简，得－０．５ｘ２＋１０．５ｘ－４５≥０。 设ｐ＝－０．５ｘ２＋１０．５ｘ－４５。 当ｐ＝０时，０＝－０．５ｘ２＋１０．５ｘ－４５。 ｘ２－２１ｘ＋９０＝０。 （ｘ－６）（ｘ－１５）＝０。 解得ｘ１＝６，ｘ２＝１５。 如图，当６≤ｘ≤１５时，ｐ≥０。 答：第６，７，８，９，１０，１１，１２，１３，１４，１５天时，门店销 售的利润不低于电商销售的利润。 ２６．解：（１）∵ＥＦ∥ＡＤ，∴△ＡＥＦ∽△ＡＢＣ。∴ ＡＥ ＡＦ ＝ＡＢ ＡＣ 。 在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４厘米，ＢＣ＝３厘米， ∴ＡＣ＝ ＡＢ２＋ＢＣ槡 ２＝５厘米。 ∵点Ｅ从Ａ出发沿ＡＢ向Ｂ匀速运动，速度为１厘 米／秒；同时，点 Ｆ从 Ｃ出发沿对角线 ＣＡ向 Ａ匀 速运动，速度为１厘米／秒， ∴ＡＥ＝ｔ厘米，ＣＦ＝ｔ厘米。 ∴ＡＦ＝ＡＣ－ＣＦ＝（５－ｔ）厘米。 ∴ ｔ ５－ｔ ＝４ ５ 。 ∴ｔ＝ ２０ ９ 。∴当ｔ＝ ２０ ９ 时，ＥＦ∥ＡＤ。 图１ （２）如图 １，过点 Ｆ作 ＭＮ⊥ＡＢ交ＣＤ于点 Ｍ， 交ＡＢ于点Ｎ。 ∵∠ＦＣＭ＝∠ＡＣＤ， ∴ｓｉｎ∠ＦＣＭ＝ｓｉｎ∠ＡＣＤ。 ∴ ＭＦ ＣＦ ＝ＡＤ ＡＣ 。 ∵ＣＦ＝ｔ厘米，ＡＤ＝３厘米， ＡＣ＝５厘米，∴ＭＦ＝ ３ ５ ｔ厘米。 ∴ＣＭ＝ ４ ５ ｔ厘米。 ∵ＡＢ＝ＣＤ＝４厘米，ＡＥ＝ｔ厘米， ∴ＤＭ＝ＡＮ＝４－ ４ ５ ｔ( ) 厘米。 ∴ＥＮ＝４－ｔ－ ４ ５ ｔ＝４－ ９ ５ ｔ( ) 厘米，ＦＮ＝３－３５ｔ( ) 厘米。 ∴Ｓ△ＡＤＥ＝ １ ２ ＡＥ·ＡＤ＝ ３ ２ ｔ（平方厘米）， Ｓ△ＤＭＦ＝ １ ２ ＤＭ·ＭＦ＝ １ ２ ４－ ４ ５ ｔ( ) ×３５ｔ ＝ ６ ５ ｔ－ ６ ２５ ｔ２( ) 平方厘米， Ｓ△ＦＥＮ＝ １ ２ ＦＮ·ＥＮ＝ １ ２ ３－ ３ ５ ｔ( ) ４－９５ｔ( ) ＝６－ ３９ １０ ｔ＋ ２７ ５０ ｔ２( ) 平方厘米， Ｓ矩形ＡＤＭＮ＝ＡＤ·ＤＭ＝３４－ ４ ５ ｔ( ) ＝１２－ １２ ５ ｔ( ) 平方厘米。 ∵Ｓ△ＤＥＦ＝Ｓ矩形ＡＤＭＮ－Ｓ△ＡＤＥ－Ｓ△ＤＭＦ－Ｓ△ＦＥＮ ＝６－ ６ ５ ｔ－ ３ １０ ｔ２( ) 平方厘米， ∴ｙ＝６－ ６ ５ ｔ－ ３ １０ ｔ２（０＜ｔ＜２．５）。                                                                —３１— 图２ （３）如图２， ∵ＤＦ⊥ＥＦ， ∴∠ＤＦＥ＝∠Ａ＝９０°。 ∴Ａ，Ｄ，Ｆ，Ｅ四点在以 ＤＥ为直径的圆上。 ∴∠ＦＤＥ＝∠ＦＡＥ。 ∴△ＦＤＥ∽△ＢＡＣ。 ∴ ＦＤ ＢＡ ＝ＤＥ ＡＣ ＝ＦＥ ＢＣ 。 ∴ＦＤ＝ ４ ５ ＤＥ，ＥＦ＝ ３ ５ ＤＥ。 由（２）可知ＤＥ＝ ９＋ｔ槡 ２厘米， ∴ＤＦ＝ ４ ５ ９＋ｔ槡 ２厘米。 过点Ｆ作ＭＦ⊥ＤＣ，垂足为Ｍ。 ∵ＤＦ＝ ＤＭ２＋ＦＭ槡 ２＝ ４－ ４ ５ ｔ( ) ２ ＋ ３ ５ ｔ( )槡 ２ 厘米。 ∴ ４ ５ ９＋ｔ槡 ２＝ ４－ ４ ５ ｔ( ) ２ ＋ ３ ５ ｔ( )槡 ２ 。 解得ｔ＝ １６ ９ 或ｔ＝１６（舍去）。 ∴当ｔ＝ １６ ９ 时，ＤＦ⊥ＥＦ。 图３ （４）如图 ３，作点 Ｃ关于 ＡＢ的对称点 Ｃ′，连接 ＡＣ′，在ＡＣ′上取 ＡＭ＝４厘 米，过点Ｍ作ＭＱ⊥ＣＤ于 点 Ｐ，交 ＡＢ于点 Ｑ，连 接ＥＭ。 在△ＤＣＦ和△ＭＡＥ中， ＣＦ＝ＡＥ， ∠１＝∠２＝∠３， ＣＤ＝ＡＭ，{ ∴△ＤＣＦ≌△ＭＡＥ（ＳＡＳ）。 ∴ＤＦ＝ＭＥ。 ∴ＤＦ＋ＤＥ＝ＤＥ＋ＥＭ。 当Ｄ，Ｅ，Ｍ共线时，ＤＥ＋ＤＦ＝ＤＭ有最小值。 此时，ＡＭ＝４厘米，ＡＣ′＝５厘米， ∵ＭＰ∥ＣＣ′，∴ ＡＭ ＡＣ′ ＝ＭＱ ＢＣ′ ＝ＡＱ ＡＢ ，即 ４ ５ ＝ＭＱ ３ ＝ＡＱ ４ 。 ∴ＭＱ＝２．４厘米，ＡＱ＝ＤＰ＝３．２厘米。 ∴ＭＰ＝２．４＋３＝５．４（厘米）。 ∴ＤＥ＋ＤＦ的最小值为 ＤＭ＝ ＤＰ２＋ＭＰ槡 ２ ＝ ３．２２＋５．４槡 ２＝槡９８５ ５ （厘米）。 ５２０２４年市北区学业水平第一次阶段性质量检测 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ Ｃ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ Ｄ １．Ｃ　【解析】 １ ３ 的相反数是－ １ ３ 。故选Ｃ。 ２．Ｃ　【解析】Ａ是轴对称图形，不是中心对称图形，故 选项不符合题意；Ｂ是轴对称图形，不是中心对称图 形，故选项不符合题意；Ｃ既是中心对称图形，又是轴 对称图形，故选项符合题意；Ｄ是中心对称图形，不是 轴对称图形，故选项不符合题意。故选Ｃ。 ３．Ｂ　【解析】由表格可知，乙、丙的平均成绩好，由于 ｓ２乙＜ｓ ２ 丙，故丙的方差大，波动大。故选Ｂ。 ４．Ａ　【解析】它的左视图是 。故选Ａ。 ５．Ｄ　【解析】∵ＢＤ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＢＡＤ＝９０°。 ∵ＡＢ) ＝ＡＤ) ，∴∠Ｂ＝∠ＡＤＢ＝４５°。∵∠ＡＤＣ＝６６°， ∴∠ＢＤＣ＝６６°－４５°＝２１°。∵∠Ｃ＝∠Ｂ＝４５°， ∴∠ＤＧＣ＝１８０°－４５°－２１°＝１１４°。∴∠ＡＧＢ＝１１４°。 故选Ｄ。 ６．Ｄ　【解析】（１）∵抛物线的对称轴为直线ｘ＝－１，且 图象经过点（－３，０），∴抛物线与 ｘ轴的另一个交 点坐标为（１，０）。∴当ｘ＝－１时，ｙ＜０，即ａ－ｂ＋ｃ＜０， 故正确；（２）∵抛物线与 ｘ轴有 ２个交点，∴ｂ２－ ４ａｃ＞０。∵抛物线的对称轴为直线 ｘ＝－ ｂ ２ａ ＝－１， ∴ｂ＝２ａ。∴４ａ２－２ｂｃ＞０，故正确；（３）∵抛物线与 ｘ 轴的交点为（－３，０），（１，０），∴将抛物线 ｙ＝ａｘ２＋ ｂｘ＋ｃ向左平移１个单位长度时，它会过原点，故正 确；（４）∵抛物线开口向上，∴ａ＞０。∵抛物线与 ｘ 轴的交点为（－３，０），（１，０），∴抛物线与 ｙ轴的交 点在ｘ轴的下方。∴ｃ＜０。∴－ｃ＞０。∴直线 ｙ＝ ２ａｘ－ｃ经过第一、二、三象限，不过第四象限，故正 确。故选Ｄ。 ７．（０，２）　【解析】分别画出点 Ａ，Ｂ，Ｃ绕点 Ａ逆时针 旋转９０°后的对应点，如图，△Ａ′Ｂ′Ｃ′即为△ＡＢＣ绕 点Ａ按逆时针方向旋转 ９０°所得三角形。所以点 Ｂ′的坐标为（０，２）。 ８．１０　【解析】原式＝ 槡２６－ 槡６ ３( ) ×槡６×１＝ 槡５６３×槡６× １＝ ５ ３ ×６＝１０。 ９． １ ３ 　【解析】如图，连接小正方形的 对角线，９个小正方形被分成１８个 全等的等腰直角三角形，其中阴影 区域占 ６个全等的等腰直角三角 形，∴Ｐ（最终停留在阴影区域）＝ ６ １８ ＝１ ３ 。                                                                —４１— — １９— — ２０— — ２１— 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　第Ⅰ卷（选择题 共３０分） 一、选择题（本题满分３０分，共有１０道小题，每小题 ３分） １．标志是表明事物特征的识别符号，是企业品牌形 象的核心部分。以下４个２０２３年青岛企业综合 １００强的企业标志中，是轴对称图形，但不是中心 对称图形的是 （　　） Ａ 　　 Ｂ 　　 Ｃ 　　 Ｄ ２．－２０２４的倒数是 （　　） Ａ．－２０２４　 Ｂ．２０２４　 Ｃ．－ １ ２０２４ 　 Ｄ． １ ２０２４ ３．去年年底，国产 ＣＰＵ———龙芯 ３Ａ６０００在北京发 布，标志着我国自主研发的ＣＰＵ在自主可控程度 和产品性能方面达到新高度。龙芯３Ａ６０００采用的 工艺制程为０．０００００００１２ｍ。将０．０００００００１２用 科学记数法可表示为 （　　） Ａ．１２×１０－８ Ｂ．１．２×１０－８ Ｃ．１．２×１０－７ Ｄ．１．２×１０７ ４．某校随机抽取５０名学生进行每周课外阅读时间 的问卷调查，将调查结果制成如图所示的频数分 布直方图（每组包含最大值，不包含最小值）。估 计该校１８００名学生中每周阅读时间多于６小时 的学生共有 （　　） Ａ．２０人 Ｂ．３９６人 Ｃ．７２０人 Ｄ．１０８０人 ５．如图，两个２０２４年春晚吉祥物“龙辰辰”的图 案成中心对称，则对称中心 的坐标为 （　　） Ａ．（４，４） Ｂ．（４，３） Ｃ．（３，３） Ｄ．（３，４） ６．下面计算正确的是 （　　） Ａ． １ ２( ) ０ ×１ ２( ) －２ ＝１ ４ Ｂ．ａ３·ａ３＝２ａ３ Ｃ．（ａ３）２＝ａ５ Ｄ．（ａｂ２）２÷ａ２ｂ＝ｂ３ ７．如图１，法国镶嵌艺术家阿兰·尼古拉所创作 的镶嵌画，是由六边形ＡＢＣＤＥＦ为基本图形经 过平移形成，如图２，若∠ＡＢＣ＝∠ＥＤＣ＝１４４°， 则∠ＢＣＤ的度数为 （　　） 图１ 　 图２ Ａ．９０° Ｂ．７２° Ｃ．６０° Ｄ．３６° ８．如图，正方形ＡＢＣＤ的边长为４，△ＡＢＰ是等边三 角形，连接ＰＣ，ＰＤ，则∠ＰＣＤ的正切值为（　　） Ａ． １ ２ Ｂ．２－槡３ Ｃ． 槡３ ２ Ｄ．槡 ６－槡２ ４ 第８题图 　 图１ 　 图２ 第９题图 ９．图１是棱长为９ｃｍ的正方体原材料，从中穿孔，制 成三视图均为图２所示的模具，图２中正方形小孔 的边长为３ｃｍ，则该模具的表面积为 （　　） Ａ．４３２ｃｍ２ Ｂ．４８６ｃｍ２ Ｃ．６４８ｃｍ２ Ｄ．５９４ｃｍ２ １０．如图，二次函数 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的图象的 顶点为Ｄ，图象与ｘ轴的交点Ａ，Ｂ的横坐标分 别为－１和３，与ｙ轴交于点Ｃ。下面四个结论： ①ａｂｃ＞０；②２ａ＋ｂ＝０；③ ａ ４ －ｂ ２ ＋ｃ＞０；④使△ＡＣＢ 是等腰三角形的ａ的值有且只有２个。其中正 确的结论有 （　　） Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 第Ⅱ卷（非选择题　共９０分） 二、填空题（本题满分１５分，共有５道小题，每小题 ３分） １１．分解因式：２ｘ２＋４ｘｙ＋２ｙ２＝　　　　　　。 １２．（槡６－槡２）× ３ ２槡 的计算结果为　　　　　　。 １３．如图，一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ与反比例函数ｙ＝ ｍ ｘ 的 图象交于点Ａ（１，６），Ｂ（ｎ，－２），则关于ｘ的方 程ｋｘ＋ｂ＝ ｍ ｘ 的解为　　　　　　。 第１３题图 　　 第１５题图 １４．“即时零售”的兴起是近年来中国零售市场最 大的变化之一，某平台的配送员从线下超市取 货，先后到距离超市８ｋｍ的 Ａ地和距离 Ａ地 ６ｋｍ的Ｂ地配送商品。从 Ａ地赶往 Ｂ地时， 因配送时间紧张，速度提高为从超市到Ａ地的 １．２倍，则从Ａ地到Ｂ地比从超市到Ａ地用时 少９ｍｉｎ。设配送员从超市到 Ａ地的速度为 ｘｋｍ／ｈ，则可列分式方程为　　　　　　　。 １５．如图，在ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝槡４３，ＡＤ＝１２，∠Ｃ＝ ３０°，点Ｍ，Ｎ分别在边 ＢＣ，ＡＤ上，沿 ＭＮ折 叠平行四边形，使点 Ｃ与点 Ａ重合，则线段 ＢＭ的长度为　　　　。 三、作图题（本题满分４分。用圆规、直尺作图， 不写作法，但要保留作图痕迹） １６．已知△ＡＢＣ，在ＢＣ上方求作一点Ｐ，使ＰＢ＝ ＰＣ，且Ｓ△ＰＢＣ＝Ｓ△ＡＢＣ。 四、解答题（本题满分７１分，共有１０道小题） １７．（６分）（１）计算： ｘ＋１ ｘ２－９ · ２－ ８ ｘ＋１( )； （２）解不等式组 ３（ｘ－１）≤ｘ＋５， １ ３ ｘ＋２＞１－ ２ ３ ｘ，{ 并求其正整 数解。 １８．（６分）小明爸爸每天在上下班高峰期乘坐三 号线或四号线地铁。已知高峰期三号线每 ３分钟一趟车，四号线每６分钟一趟车，小明 爸爸随机乘坐先到达站点的地铁，他每天上 下班乘坐同一线路地铁的概率是多少？ 这个问题可以转化为这样一个数学模型加以解 决：一个口袋中装有 ２个 ３号球和 １个 ４号球 （球除号码外都相同），从中随机摸出一球，记下 号码放回，摇匀后再从中摸出一球，两次摸到的 球号码相同的概率是多少？ 请用画树状图或列表的方法，求小明爸爸每天上 下班乘坐同一线路地铁的概率。 １９．（６分）如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＡＢ＝２０，Ｃ是 ⊙Ｏ上一点，过点 Ｃ作⊙Ｏ的切线，交 ＡＢ延长 线于点Ｄ，连接ＯＣ，过点 Ａ作 ＡＥ⊥ＣＤ于点 Ｅ， 交⊙Ｏ于点Ｆ，ＡＥ＝１５。 （１）求ＢＤ的长度； （２）连接ＣＦ，则∠ＡＦＣ的度数为　　　　　°。 ２０．（６分）小丽家人准备周末聚餐，小丽在点评软件上 初步选定了Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四家餐馆（Ａ餐馆从１月份 开始营业），综合评分为“口味、环境、服务、食材” 四项评分的算术平均数，根据软件数据整理成图表 如下： ３月份各餐馆四项评分与点评条数表 项目餐馆 口味 环境 服务 食材 点评条数 Ａ ４．８ ４．７ ４．８ ４．７ ４８ Ｂ ４．７ ４．８ ４．７ ４．６ １７８ Ｃ ４．８ ４．７ ４．５ ４．８ ９８ Ｄ ４．６ ４．８ ４．９ ４．５ １２４ 请根据以上信息回答下列问题： （１）补全Ａ餐馆 ２～３月份的折线统计图，Ｂ，Ｃ，Ｄ 餐馆近 ６个月综合评分方差最小的为　　　　 餐馆； （２）若小丽将口味、环境、服务、食材四项评分数据 按１∶４∶４∶１的比计算，求Ｄ餐馆３月份四项评 分数据的平均数； （３）点评条数的多少能反映出四项评分可靠性的 大小，请结合以上信息帮助小丽作出选择，并说明 两条理由。                                                                                                                                                                                                                     ４ ２０２４年市南区学业水平第一次阶段性质量检测 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — ２２— — ２３— — ２４— ２１．（６分）小强家想在青岛某小区买一套房子，要求 每天至少有 ２小时的满窗日照（图 １为满窗日 照，图２为非满窗日照），小强先查阅了相关资 料，得到如下信息： 信息１：北半球冬至日太阳高度角（太阳光线与 水平线的夹角）最小，若这一天的 １１：００和 １３：００这２个时刻能有满窗日照，则整年每天都 至少有２小时的满窗日照； 信息２：如图３，该小区每座楼均为１６层，每层楼 高２．８米且装有落地窗，小区冬至日 １１：００和 １３：００的太阳高度角∠ＡＮＭ均为２８．３６°。 某日小强到该小区进行实地勘测，他在６楼看房 时恰好阳光开始射入屋内（太阳光线射在６楼窗 户的上边缘），此时太阳高度角∠ＡＦＥ＝２２．８°。 （１）ＡＥ＝　　　　米； （２）小强家要在该小区买房，至少买几楼才能达 到要求？ （参考数据：ｓｉｎ２２．８°≈０．３９，ｃｏｓ２２．８°≈０．９２， ｔａｎ２２．８°≈０．４２，ｓｉｎ２８．３６°≈０．４８，ｃｏｓ２８．３６°≈ ０．８８，ｔａｎ２８．３６°≈０．５４） 图１ 　　　 图２ 图３ ２２．（６分）（１）如图１，△ＡＢＣ是等腰直角三角形， ∠ＡＢＣ＝９０°，Ｄ是 ＡＣ的中点，Ｓ四边形ＢＥＤＦ＝ １ ２ Ｓ△ＡＢＣ，则 ＢＥ ＣＦ ＝　　　　； （２）如图 ２，△ＡＢＣ是直角三角形，∠ＡＢＣ＝ ９０°，Ｄ是 ＡＣ的中点，ＡＢ＝６，ＢＣ＝８， Ｓ四边形ＢＥＤＦ＝ １ ２ Ｓ△ＡＢＣ，则 ＢＥ ＣＦ ＝ 　； （３）如图３，在△ＡＢＣ中，Ｄ是ＡＣ的中点，ＡＢ＝ ａ，ＢＣ＝ｂ，Ｓ四边形ＢＥＤＦ＝ １ ２ Ｓ△ＡＢＣ，则 ＢＥ ＣＦ ＝ 　。 图１ 　　 图２ 图３ ２３．（８分）２０２４年５月２０日是第３５届中国学生 营养日，某初中食堂当日营养午餐如表所示。 菜品名称 食物种类 红烧排骨 猪小排 三色肉丁 猪肉（瘦）、胡萝卜、玉米粒、青豆 冬瓜鸡蛋 冬瓜、鸡蛋 青椒包菜 青椒、包菜 米饭 硬米（标一） 水果 苹果 （１）午餐的营养素主要来自猪小排、猪肉 （瘦）所含的蛋白质和脂肪，每克猪小排、猪肉 （瘦）中的蛋白质和脂肪含量如表所示，按配 餐要求推算该日午餐猪小排与猪肉（瘦）提供 的蛋白质、脂肪质量应分别为３１克、２７．２克， 求该日午餐所需要的猪小排与猪肉（瘦）的质 量分别为多少克； 营养率 食物类别 猪小排 猪肉（瘦） 蛋白质（克） ０．１７ ０．２ 脂肪（克） ０．２３ ０．０６ （２）按配餐要求菜品“青椒包菜”中青椒和包菜共 １５０ｇ，已知每克青椒与包菜分别含有０．０２２ｇ， ０．０１ｇ的膳食纤维，出于口感考虑，该菜品中青椒 质量不超过包菜质量的一半，青椒与包菜的质量 分别为多少时，该菜品膳食纤维的含量最高？ ２４．（６分）如图，在ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ，ＢＤ 交于点Ｏ，Ｅ是ＯＡ的中点，作ＯＦ∥ＡＢ，交ＢＥ 延长于点Ｆ，连接ＡＦ，ＤＦ。 （１）求证：△ＡＥＢ≌△ＯＥＦ； （２）若∠ＢＡＤ＝９０°，则四边形 ＡＯＤＦ是怎样 的特殊四边形？请证明你的结论。 ２５．（１０分）某工厂生产某种玩具的成本价为 ２０元／件，工厂决定采取电商销售和门店销售 两种方式同时销售该玩具。电商销售：售价为 ３０元／件；门店销售：第一天售价为５０元／件，此 后售价每天比前一天每件降低０．５元，该方式 每天还需支付租金、人工等固定费用 ４５５元。 已知两种销售方式第ｘ天的销售数量ｍ（件）均 满足ｍ＝ｘ＋２０（０＜ｘ≤４５）。 （１）直接写出门店销售方式每天的售价 ｙ（元／件）与ｘ的函数关系式； （２）该玩具销售过程中，在第几天获得的利润 总和ｗ（元）最大？利润总和最大为多少？ （３）该玩具销售过程中，哪些天门店销售的利 润不低于电商销售的利润？ ２６．（１１分）如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４厘米，ＢＣ＝ ３厘米，点Ｅ从Ａ出发沿ＡＢ向Ｂ匀速运动，速度为 １厘米／秒；同时，点Ｆ从Ｃ出发沿对角线ＣＡ向Ａ匀 速运动，速度为１厘米／秒，连接ＤＥ，ＤＦ，ＥＦ，设运动 时间为ｔ秒（０＜ｔ＜２．５）。 请解答以下问题： （１）当ｔ为何值时，ＥＦ∥ＡＤ？ （２）设△ＤＥＦ的面积为ｙ，求ｙ关于ｔ的函数； （３）在运动过程中，是否存在某一时刻 ｔ，使得 ＤＦ⊥ＥＦ？若存在，则求出 ｔ的值；若不存在，请说 明理由； （４）在运动过程中，线段 ＤＦ与 ＤＥ和的最小值为 多少？                                                                                                                                                                                                                           