3 2022年青岛市初中学业水平考试-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东青岛专版）

— １３— — １４— — １５— 　　　　　　 　　　　　 　　　　　第Ⅰ卷（共２４分） 一、选择题（本大题共８小题，每小题３分，共２４分） １．我国古代数学家祖冲之推算出 π的近似 值为 ３５５ １１３ ，它与 π的误差小于 ０．００００００３。将 ０．００００００３用科学记数法可以表示为 （　　） Ａ．３×１０－７ Ｂ．０．３×１０－６ Ｃ．３×１０－６ Ｄ．３×１０７ ２．北京冬奥会和冬残奥会组委会收到来自全球的 会徽设计方案共４５０６件，其中很多设计方案体 现了对称之美。以下４幅设计方案中，既是轴对 称图形又是中心对称图形的是 （　　） Ａ 　 Ｂ 　 Ｃ 　 Ｄ ３．计算（槡２７－槡１２）× １ ３槡 的结果是 （　　） Ａ．槡 ３ ３ 槡 Ｂ．１ Ｃ．５ Ｄ．３ ４．如图１，用一个平面截长方体，得到如图２所示的 几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被 称为“堑堵”。图２“堑堵”的俯视图是 （　　） 图１ 　 图２ 　 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ５．如图，正六边形 ＡＢＣＤＥＦ内接于⊙Ｏ，点 Ｍ在 ＡＢ ) 上，则∠ＣＭＥ的度数为 （　　） Ａ．３０° Ｂ．３６° Ｃ．４５° Ｄ．６０° 第５题图 　　 第６题图 ６．如图，将△ＡＢＣ先向右平移 ３个单位长度，再 绕原点 Ｏ旋转１８０°，得到△Ａ′Ｂ′Ｃ′，则点 Ａ的 对应点Ａ′的坐标为 （　　） Ａ．（２，０） Ｂ．（－２，－３） Ｃ．（－１，－３） Ｄ．（－３，－１） ７．如图，Ｏ是正方形 ＡＢＣＤ对角线 ＡＣ的中点， △ＡＣＥ是等边三角形。若 ＡＢ＝２，则 ＯＥ的长 度为 （　　） Ａ．槡 ６ ２ 槡Ｂ．６　 槡Ｃ．２２　 槡Ｄ．２３ ８．已知二次函数 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象开口向下， 对称轴为直线 ｘ＝－１，且经过点（－３，０），则下 列结论正确的是 （　　） Ａ．ｂ＞０ Ｂ．ｃ＜０ Ｃ．ａ＋ｂ＋ｃ＞０ Ｄ．３ａ＋ｃ＝０ 第Ⅱ卷（共９６分） 二、填空题（本大题共６小题，每小题３分，共１８分） ９．－ １ ２ 的绝对值是 。 １０．小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演 讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项得分分别 为９分，８分，８分。若将三项得分依次按３∶ ４∶３的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛 成绩为 分。 １１．为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学 校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节， 小亮报名参加３０００米比赛项目，经过一段时 间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提 高了２５％，少用３分钟跑完全程。设小亮训练 前的平均速度为 ｘ米／分，那么 ｘ满足的分式 方程为　　　　　　　　　。 １２．如图，图１是艺术家埃舍尔的作品，他将数学 与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果。 图２是一个菱形，将图２截去一个边长为原来 一半的菱形得到图３，用图３镶嵌得到图４，将 图４着色后，再次镶嵌便得到图 １，则图 ４中 ∠ＡＢＣ的度数为 °。 图１ 　　　　　 图２ 图３ 　　　　　 图４ １３．如图，ＡＢ是⊙Ｏ的切线，Ｂ是切点，ＯＡ与⊙Ｏ 交于点Ｃ，以点Ａ为圆心，以ＯＣ的长为半径作 ＥＦ ) ，分别交ＡＢ，ＡＣ于点Ｅ，Ｆ。若ＯＣ＝２，ＡＢ＝ ４，则图中阴影部分的面积为 。 第１３题图 　　 第１４题图 １４．如图，已知△ＡＢＣ，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＣ＝１６，ＡＤ⊥ＢＣ， ∠ＡＢＣ的平分线交ＡＤ于点Ｅ，且ＤＥ＝４。将 ∠Ｃ沿ＧＭ折叠使点Ｃ与点Ｅ恰好重合。下 列结论正确的有 （填写序号）。 ①ＢＤ＝８；②点 Ｅ到 ＡＣ的距离为３；③ＥＭ＝ １０ ３ ；④ＥＭ∥ＡＣ。 三、作图题（本大题满分４分，请用直尺、圆规作 图，不写作法，但要保留作图痕迹） １５．已知：Ｒｔ△ＡＢＣ，∠Ｂ＝９０°。 求作：点 Ｐ，使点 Ｐ在△ＡＢＣ内部，且 ＰＢ＝ ＰＣ，∠ＰＢＣ＝４５°。 四、解答题（本大题共１０小题，共７４分） １６．（本题每小题４分，共８分） （１）化简： ａ－１ ａ２－４ａ＋４ ÷(１＋１ａ－２)； （２）解不等式组： ２ｘ≥３（ｘ－１）， ２－ ｘ ２ ＜１。      １７．（本小题满分６分）２０２２年３月２３日下午，“天 宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶 光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航 天知识的热情。小冰和小雪参加航天知识竞赛 时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代 表分享获奖心得。小冰和小雪都想分享，于是 两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享，游戏规则 如下：甲口袋装有编号为１，２的两个球，乙口袋 装有编号为１，２，３，４，５的五个球，两口袋中的 球除编号外都相同。小冰先从甲口袋中随机摸 出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球， 若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编 号之和为偶数，则小雪获胜。 请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对 双方是否公平。 １８．（本小题满分６分）已知二次函数ｙ＝ｘ２＋ｍｘ＋ｍ２－３ （ｍ为常数，ｍ＞０）的图象经过点Ｐ（２，４）。 （１）求ｍ的值； （２）判断二次函数 ｙ＝ｘ２＋ｍｘ＋ｍ２－３的图象与 ｘ轴 交点的个数，并说明理由。 １９．（本小题满分６分）如图，ＡＢ为东西走向的滨海大 道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行” 健步走公益活动。小宇在点Ａ处时，某艘海上观光 船位于小宇北偏东６８°的点Ｃ处，观光船到滨海大 道的距离 ＢＣ为 ２００米。当小宇沿滨海大道向东 步行２００米到达点Ｅ时，观光船沿北偏西４０°的方 向航行至点Ｄ处，此时，观光船恰好在小宇的正北 方向，求观光船从点 Ｃ处航行到点 Ｄ处的距离。 （参考数据：ｓｉｎ４０°≈０．６４，ｃｏｓ４０°≈０．７７，ｔａｎ４０°≈ ０．８４，ｓｉｎ６８°≈０．９３，ｃｏｓ６８°≈０．３７，ｔａｎ６８°≈２．４８）                                                                                                                                                                                                                     ３ ２０２２年青岛市初中学业水平考试 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — １６— — １７— — １８— ２０．（本小题满分６分）孔子曾说：“知之者不如好之 者，好之者不如乐之者。”兴趣是最好的老师，阅 读、书法、绘画、手工、烹饪、运动、音乐……各种 兴趣爱好是打开创新之门的金钥匙。某校为了 解学生兴趣爱好情况，组织了问卷调查活动，从 全校２２００名学生中随机抽取了 ２００人进行调 查，其中一项调查内容是学生每周自主发展兴趣 爱好的时长。对这项调查结果使用画“正”字的 方法进行初步统计，得到下表： 学生每周自主发展兴趣爱好时长分布统计表 组别 时长ｔ（单位：ｈ） 人数累计 人数 第一组 １≤ｔ＜２ 正正正正正正 ３０ 第二组 ２≤ｔ＜３ 正正正正正正正 正正正正正 ６０ 第三组 ３≤ｔ＜４ 正正正正正正正 正正正正正正正 ７０ 第四组 ４≤ｔ＜５ 正正正正正正 正正 ４０ 学生每周自主发展兴趣爱好时长频数分布直方图 根据以上信息，解答下列问题： （１）补全频数分布直方图； （２）这２００名学生每周自主发展兴趣爱好时长 的中位数落在第 组； （３）若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二 组的学生人数占调查总人数的百分比为 ， 对应的扇形圆心角的度数为 °； （４）学校倡议学生每周自主发展兴趣爱好时 长应不少于２ｈ，请你估计，该校学生中有多 少人需要增加自主发展兴趣爱好时间。 ２１．（本小题满分６分）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形。 例如：如图 １，在△ＡＢＣ和△Ａ′Ｂ′Ｃ′中，ＡＤ， Ａ′Ｄ′分别是边 ＢＣ和 Ｂ′Ｃ′上的高线，且 ＡＤ＝ Ａ′Ｄ′，则△ＡＢＣ和△Ａ′Ｂ′Ｃ′是等高三角形。 图１ 图２ 　　 图３ 【性质探究】 如图 １，用 Ｓ△ＡＢＣ，Ｓ△Ａ′Ｂ′Ｃ′分别表示△ＡＢＣ和 △Ａ′Ｂ′Ｃ′的面积， 则Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ ＢＣ·ＡＤ，Ｓ△Ａ′Ｂ′Ｃ′＝ １ ２ Ｂ′Ｃ′·Ａ′Ｄ′。 ∵ＡＤ＝Ａ′Ｄ′， ∴Ｓ△ＡＢＣ∶Ｓ△Ａ′Ｂ′Ｃ′＝ＢＣ∶Ｂ′Ｃ′。 【性质应用】 （１）如图 ２，Ｄ是△ＡＢＣ的边 ＢＣ上的一点。 若ＢＤ＝３，ＣＤ＝４，则Ｓ△ＡＢＤ∶Ｓ△ＡＤＣ＝ ； （２）如图３，在△ＡＢＣ中，Ｄ，Ｅ分别是边ＢＣ和ＡＢ 上的点。若 ＢＥ∶ＡＢ＝１∶２，ＣＤ∶ＢＣ＝１∶３， Ｓ△ＡＢＣ＝１，则Ｓ△ＢＥＣ＝ ，Ｓ△ＣＤＥ＝ ； （３）如图３，在△ＡＢＣ中，Ｄ，Ｅ分别是边ＢＣ和ＡＢ 上的点，若 ＢＥ∶ＡＢ＝１∶ｍ，ＣＤ∶ＢＣ＝１∶ｎ， Ｓ△ＡＢＣ＝ａ，则Ｓ△ＣＤＥ＝ 。 ２２．（本小题满分８分）如图，一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的 图象与ｘ轴正半轴相交于点Ｃ，与反比例函数 ｙ＝－ ２ ｘ 的图象在第二象限相交于点Ａ（－１，ｍ）， 过点Ａ作ＡＤ⊥ｘ轴，垂足为Ｄ，ＣＤ＝ＡＤ。 （１）求一次函数的表达式； （２）已知点Ｅ（ａ，０）满足ＣＥ＝ＡＣ，求ａ的值。 ２３．（本小题满分 ８分）如图，在四边形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ∥ＣＤ，点 Ｅ，Ｆ在对角线 ＢＤ上，ＢＥ＝ ＥＦ＝ＤＦ，∠ＢＡＦ＝∠ＤＣＥ＝９０°。 （１）求证：△ＡＢＦ≌△ＣＤＥ； （２）连接ＡＥ，ＣＦ，已知 （从以下两个 条件中选择一个作为已知，填写序号），请判 断四边形ＡＥＣＦ的形状，并证明你的结论。 条件①：∠ＡＢＤ＝３０°； 条件②：ＡＢ＝ＢＣ。 （注：如果选择条件①，条件②分别进行解 答，按第一个解答计分） ２４．（本小题满分１０分）李大爷每天到批发市场购进 某种水果进行销售，这种水果每箱１０千克，批发商 规定：整箱购买，１箱起售，每人一天购买不超过 １０箱；当购买１箱时，批发价为８．２元／千克，每多 购买１箱，批发价每千克降低０．２元。根据李大 爷的销售经验，这种水果售价为１２元／千克时， 每天可销售１箱；售价每千克降低０．５元，每天 可多销售１箱。 （１）请求出这种水果批发价ｙ（元／千克）与购进 数量ｘ（箱）之间的函数关系式； （２）若每天购进的这种水果需当天全部售完， 请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱， 才能使每天所获利润最大？最大利润为多少？ ２５．（本小题满分１０分）如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝ ９０°，ＡＢ＝５ｃｍ，ＢＣ＝３ｃｍ，将△ＡＢＣ绕点 Ａ按逆时 针方向旋转９０°得到△ＡＤＥ，连接ＣＤ。点Ｐ从点Ｂ 出发，沿ＢＡ方向匀速运动，速度为 １ｃｍ／ｓ；同时， 点Ｑ从点 Ａ出发，沿 ＡＤ方向匀速运动，速度为 １ｃｍ／ｓ。ＰＱ交ＡＣ于点Ｆ，连接ＣＰ，ＥＱ。设运动时 间为ｔ（ｓ）（０＜ｔ＜５）。解答下列问题： （１）当ＥＱ⊥ＡＤ时，求ｔ的值； （２）设四边形ＰＣＤＱ的面积为Ｓ（ｃｍ２），求Ｓ与ｔ之 间的函数关系式； （３）是否存在某一时刻 ｔ，使 ＰＱ∥ＣＤ？若存在，求 出ｔ的值；若不存在，请说明理由。                                                                                                                                                                                                                            （２）由点 Ａ的坐标，得直线 ＯＡ的表达式为 ｙ＝ ０．３ｘ。联立，得 ｙ ＝－０．１ｘ２＋１， ｙ＝０．３ｘ，{ 解得ｘ＝２（舍去）或ｘ＝－５，即点Ｆ（－５，－１．５）。 ∴ＥＦ＝５×２＝１０。 （３）平移后的抛物线表达式为ｙ＝－０．１（ｘ－ｍ）２＋１， 令ｘ＝０，则ｙ＝－０．１ｍ２＋１，此时抛物线与 ｙ轴的交 点为Ｄ（０，－０．１ｍ２＋１）。 ∵平移前后抛物线与ｘ轴的两个交点之间的距离 不变，Ｓ２＝ ３ ５ Ｓ１，∴ＯＤ＝ ３ ５ ＯＣ。 ∴－０．１ｍ２＋１＝± ３ ５ ×１， 解得ｍ＝２或ｍ＝４（舍去负值）。∴ｍ的值为２或４。 ２６．解：（１）由题意，得ＰＭ＝ＡＱ＝２ｔｃｍ，ＤＱ＝（１０－２ｔ）ｃｍ， ＱＭ＝ＡＰ＝ｔｃｍ，ＢＰ＝（１０－ｔ）ｃｍ，点Ｍ在ＢＤ上时， ∵ＱＭ∥ＡＢ，ＰＭ∥ＡＤ， ∴∠ＤＱＭ＝∠ＤＡＢ＝∠ＭＰＢ，∠ＤＭＱ＝∠ＭＢＰ。 ∴△ＤＱＭ∽△ＭＰＢ。∴ ＤＱ ＭＰ ＝ＱＭ ＰＢ 。 ∴ １０－２ｔ ２ｔ ＝ ｔ １０－ｔ 。解得ｔ＝ １０ ３ 。 （２）如图１，过点Ｄ作ＤＮ⊥ＡＢ交ＡＢ于点Ｎ，过点 Ｅ作ＥＫ⊥ＡＢ交ＡＢ于点Ｋ。 图１ ∵四边形ＡＰＭＱ是平行四边形， ∴ＡＱ∥ＰＭ。∴∠ＤＡＮ＝∠ＥＰＫ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是菱形， ∴ＡＣ⊥ＢＤ，ＯＤ＝ＯＢ＝ １ ２ ＢＤ＝槡２５ｃｍ。 在Ｒｔ△ＡＯＢ中，ＯＡ２＝ＡＢ２－ＯＢ２， 解得ＯＡ＝槡４５ｃｍ。∴ＡＣ＝２ＯＡ＝槡８５ｃｍ。 ∵菱形ＡＢＣＤ的面积为 １ ２ ＡＣ·ＢＤ＝ＤＮ·ＡＢ， ∴ＤＮ＝８ｃｍ。 ∵ＡＱ∥ＰＭ，∴∠ＥＡＱ＝∠ＡＥＰ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是菱形， ∴∠ＤＡＣ＝∠ＢＡＣ。 ∴∠ＥＡＰ＝∠ＡＥＰ。∴ＡＰ＝ＥＰ＝ｔｃｍ。 ∵∠ＤＡＮ＝∠ＥＰＫ，∴ｓｉｎ∠ＤＡＮ＝ｓｉｎ∠ＥＰＫ。 ∴ ＤＮ ＡＤ ＝ＥＫ ＥＰ 。∴ＥＫ＝０．８ｔｃｍ。 ∵ＢＰ＝１０－ｔ， ∴Ｓ△ＰＥＢ＝ １ ２ ＥＫ·ＢＰ＝ １ ２ ×０．８ｔ（１０－ｔ）ｃｍ２。 ∴Ｓ＝－０．４ｔ２＋４ｔ（０＜ｔ≤５）。 ∴当ｔ＝５时，Ｓ取得最大值，最大值为１０。 图２ （３）存在。如 图２，过点 Ｂ作 ＢＲ⊥ＥＰ于点 Ｒ，当 点 Ｂ在 ∠ＰＥＣ的平分 线上时，ＢＲ＝ ＯＢ＝槡２５ｃｍ。 在Ｒｔ△ＰＢＲ中，ｓｉｎ∠ＥＰＢ＝ｓｉｎ∠ＤＡＢ＝ ４ ５ ＝ＢＲ ＢＰ ＝ 槡２５ １０－ｔ ，解得ｔ＝ ２０－槡５５ ２ 。 ３２０２２年青岛市初中学业水平考试 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ Ａ Ｃ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ｂ Ｄ １．Ａ　【解析】０．００００００３＝３×１０－７。故选Ａ。 ２．Ｃ　【解析】Ａ既不是轴对称图形，又不是中心对称图 形，该选项不符合题意；Ｂ不是轴对称图形，是中心对称 图形，该选项不符合题意；Ｃ既是轴对称图形，又是中心 对称图形，该选项符合题意；Ｄ既不是轴对称图形，又不 是中心对称图形，该选项不符合题意。故选Ｃ。 ３．Ｂ　【解析】（槡２７－槡１２）× １ ３槡 ＝槡９－槡４＝３－２＝ １。故选Ｂ。 ４．Ｃ　【解析】观察图形可知，该“堑堵”的俯视图是 。故选Ｃ。 ５．Ｄ　【解析】如图，连接 ＯＣ，ＯＤ， ＯＥ。∵正六边形 ＡＢＣＤＥＦ内接 于⊙Ｏ，∴∠ＣＯＤ＝ ３６０° ６ ＝６０°，则 ∠ＣＯＥ＝１２０°。∴ ∠ＣＭＥ＝ １ ２∠ ＣＯＥ＝６０°。故选Ｄ。 ６．Ｃ　【解析】如图，先画出△ＡＢＣ向右平移３个单位 长度后的△ＤＥＦ，再利用旋转得到△Ａ′Ｂ′Ｃ′，由图 可知点Ａ′的坐标为（－１，－３）。故选Ｃ。 ７．Ｂ　【解析】∵在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＢＣ＝２， ∠ＡＢＣ＝９０°，∴ＡＣ＝ ＡＢ２＋ＢＣ槡 ２＝ ２２＋２槡 ２＝槡２２。 ∵Ｏ是正方形 ＡＢＣＤ对角线 ＡＣ的中点，∴ＯＣ＝ １ ２ ＡＣ＝槡２。∵△ＡＣＥ是等边三角形，Ｏ是ＡＣ的中点， ∴ＣＥ＝ＡＣ＝ 槡２２，ＯＥ⊥ＡＣ。∴∠ＣＯＥ＝９０°。∴ＯＥ＝ ＣＥ２－ＯＣ槡 ２＝ （槡２２） ２－（槡２）槡 ２＝槡６。故选Ｂ。                                                                —７— ８．Ｄ　【解析】∵图象开口向下，∴ａ＜０。∵对称轴为 直线ｘ＝－ ｂ ２ａ ＝－１，∴ｂ＝２ａ。∴ｂ＜０。故Ａ不符合题 意；∵图象经过点（－３，０），∴根据对称性可知，图 象经过点（１，０）。∴ｃ＞０。故 Ｂ不符合题意；当 ｘ＝ １时，ａ＋ｂ＋ｃ＝０。故 Ｃ不符合题意；将 ｂ＝２ａ代入， 得３ａ＋ｃ＝０。故Ｄ符合题意。故选Ｄ。 ９． １ ２ 　【解析】－ １ ２ 的绝对值是 － １ ２ ＝１ ２ 。 １０．８．３　【解析】由题意，得 ９×３０％＋８×４０％＋８× ３０％＝８．３（分）。 １１． ３０００ ｘ － ３０００ （１＋２５％）ｘ ＝３　【解析】∵比赛时小亮的平 均速度比训练前提高了２５％，小亮训练前的平均速 度为 ｘ米／分，∴比赛时小亮的平均速度为（１＋ ２５％）ｘ米／分。根据题意，得 ３０００ ｘ － ３０００ （１＋２５％）ｘ ＝３。 １２．６０　【解析】如图，∵∠ＢＡＤ＝ ∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＥ，∠ＢＡＤ＋∠ＢＡＥ＋ ∠ＤＡＥ＝３６０°，∴∠ＢＡＤ＝∠ＢＡＥ＝ ∠ＤＡＥ＝１２０°。∵ＢＣ∥ＡＤ， ∴∠ＡＢＣ＝１８０°－１２０°＝６０°。 １３．４－π　【解析】如图，连接 ＯＢ。∵ＡＢ是⊙Ｏ的切线，Ｂ 是切点，∴ ∠ＯＢＡ＝９０°。 ∴∠ＢＯＡ＋∠Ａ＝９０°。根据 题意，得 ＯＢ＝ＯＣ＝ＡＥ＝ＡＦ＝ ２，∴阴影部分的面积＝Ｓ△ＡＯＢ－（Ｓ扇形ＢＯＣ＋Ｓ扇形ＥＡＦ）＝ １ ２ ＡＢ·ＯＢ－ ９０π×２２ ３６０ ＝１ ２ ×４×２－π＝４－π。 １４．①④　【解析】∵在△ＡＢＣ 中，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＣ＝１６，ＡＤ⊥ ＢＣ，∴ＢＤ＝ＣＤ＝ １ ２ ＢＣ＝８。 故①正确；如图，过点 Ｅ作 ＥＦ⊥ＡＢ于点 Ｆ，ＥＨ⊥ＡＣ于点 Ｈ。∵ＡＤ⊥ＢＣ， ＡＢ＝ＡＣ，∴ＡＥ平分∠ＢＡＣ。∴ＥＨ＝ＥＦ。∵ＢＥ是 ∠ＡＢＤ的平分线，ＤＥ⊥ＢＣ，ＥＦ⊥ＡＢ，∴ＥＦ＝ＤＥ。 ∴ＥＨ＝ＤＥ＝４。故②不正确；∵将∠Ｃ沿ＧＭ折叠 使点Ｃ与点 Ｅ恰好重合，∴ＥＭ＝ＣＭ，ＤＭ＋ＣＭ＝ ＤＭ＋ＥＭ＝ＣＤ＝８。设 ＤＭ＝ｘ，则 ＥＭ＝８－ｘ。在 Ｒｔ△ＥＤＭ中，ＥＭ２＝ＤＭ２＋ＤＥ２，ＤＥ＝４，（８－ｘ）２＝ｘ２＋４２。 解得ｘ＝３。∴ＥＭ＝ＣＭ＝５。故③不正确；设ＡＥ＝ａ，则 ＡＤ＝ＡＥ＋ＤＥ＝４＋ａ，ＢＤ＝８，ＡＢ２＝（４＋ａ）２＋８２。 ∵ Ｓ△ＡＢＥ Ｓ△ＢＤＥ ＝ １ ２ ＡＢ·ＥＦ １ ２ ＢＤ·ＤＥ ＝ １ ２ ＡＥ·ＢＤ １ ２ ＤＥ·ＢＤ ，∴ ＡＥ ＤＥ ＝ＡＢ ＢＤ ， ａ ４ ＝ ＡＢ ８ 。∴ＡＢ＝２ａ。∴（２ａ）２＝（４＋ａ）２＋８２。解得ａ＝ ２０ ３ 或－４ （舍去）。∴ｔａｎＣ＝ ＡＤ ＣＤ ＝ ２０ ３ ＋４ ８ ＝４ ３ 。∵ｔａｎ∠ＤＭＥ＝ ＤＥ ＤＭ ＝４ ３ ，∴∠Ｃ＝∠ＤＭＥ。∴ＥＭ∥ＡＣ。故④正确。 １５．解：如图，点Ｐ即为所求。 １６．解：（１）原式＝ ａ－１ ａ２－４ａ＋４ ÷ａ －２＋１ ａ－２ ＝ ａ －１ （ａ－２）２ · ａ－２ ａ－１ ＝ １ ａ－２ 。 （２）解不等式２ｘ≥３（ｘ－１），得ｘ≤３。 解不等式２－ ｘ ２ ＜１，得ｘ＞２。 ∴原不等式组的解集为２＜ｘ≤３。 １７．解：所有可能的结果如下表所示。 　　乙 甲　　 １ ２ ３ ４ ５ １ （１，１）（１，２）（１，３）（１，４）（１，５） ２ （２，１）（２，２）（２，３）（２，４）（２，５） ∴共有１０种等可能的结果，其中两球编号之和为奇数 的结果有５种，两球编号之和为偶数的结果有５种。 ∴Ｐ（小冰获胜）＝ ５ １０ ＝１ ２ ，Ｐ（小雪获胜）＝ ５ １０ ＝１ ２ 。 ∵Ｐ（小冰获胜）＝Ｐ（小雪获胜）， ∴游戏对双方都公平。 １８．解：（１）∵二次函数 ｙ＝ｘ２＋ｍｘ＋ｍ２－３的图象经过 点Ｐ（２，４）， ∴４＝４＋２ｍ＋ｍ２－３，即ｍ２＋２ｍ－３＝０。 解得ｍ１＝１，ｍ２＝－３。又∵ｍ＞０，∴ｍ＝１。 （２）由（１）知二次函数的表达式为ｙ＝ｘ２＋ｘ－２。 ∵Δ＝ｂ２－４ａｃ＝１２＋８＝９＞０， ∴二次函数ｙ＝ｘ２＋ｘ－２的图象与ｘ轴有两个交点。 １９．解：如图，过点Ｃ作ＣＦ⊥ ＤＥ于点Ｆ。 由题意，得 ∠Ｄ＝４０°， ∠ＡＣＢ＝６８°， Ｒｔ△ＡＢＣ中， ∠ＡＢＣ＝９０°。 ∵ｔａｎ∠ＡＣＢ＝ ＡＢ ＢＣ ， ∴ＡＢ＝ＢＣ·ｔａｎ６８°≈２００×２．４８＝４９６（米）。 ∴ＢＥ＝ＡＢ－ＡＥ＝４９６－２００＝２９６（米）。 ∵∠ＣＦＥ＝∠ＢＥＦ＝∠ＣＢＥ＝９０°， ∴四边形ＦＥＢＣ是矩形。∴ＣＦ＝ＢＥ＝２９６米。 在Ｒｔ△ＣＤＦ中，∠ＣＦＤ＝９０°， ∵ｓｉｎＤ＝ ＣＦ ＣＤ ，∴ＣＤ＝ ＣＦ ｓｉｎ４０°≈ ２９６ ０．６４ ＝４６２．５（米）。 答：观光船从点 Ｃ处航行到点 Ｄ处的距离为 ４６２．５米。                                                                —８— ２０．解：（１）补全频数分布直方图如图所示。 （２）∵抽取了２００人进行调查， ∴中位数为第１００、１０１名学生每周自主发展兴趣 爱好的时长的平均数。 又∵３０＋６０＝９０＜１００，３０＋６０＋７０＝１６０＞１０１， ∴中位数落在第三组。故答案为三。 （３）第二组的学生人数占调查总人数的百分比为 ６０ ２００ ×１００％＝３０％， 对应的扇形圆心角的度数为３０％×３６０°＝１０８°。 故答案为３０％，１０８°。 （４）２２００× ３０ ２００ ＝３３０（人）。 答：估计该校学生中有 ３３０人需要增加自主发展 兴趣爱好时间。 ２１．解：（１）如图，过点Ａ作ＡＥ⊥ＢＣ。 则Ｓ△ＡＢＤ＝ １ ２ ＢＤ·ＡＥ，Ｓ△ＡＤＣ＝ １ ２ ＣＤ·ＡＥ。 ∵ＡＥ＝ＡＥ，∴Ｓ△ＡＢＤ∶Ｓ△ＡＤＣ＝ＢＤ∶ＣＤ＝３∶４。 故答案为３∶４。 （２）∵△ＢＥＣ和△ＡＢＣ是等高三角形， ∴Ｓ△ＢＥＣ∶Ｓ△ＡＢＣ＝ＢＥ∶ＡＢ＝１∶２。 ∴Ｓ△ＢＥＣ＝ １ ２ Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ ×１＝ １ ２ 。 ∵△ＣＤＥ和△ＢＥＣ是等高三角形， ∴Ｓ△ＣＤＥ∶Ｓ△ＢＥＣ＝ＣＤ∶ＢＣ＝１∶３。 ∴Ｓ△ＣＤＥ＝ １ ３ Ｓ△ＢＥＣ＝ １ ３ ×１ ２ ＝１ ６ 。 故答案为 １ ２ ， １ ６ 。 （３）∵△ＢＥＣ和△ＡＢＣ是等高三角形， ∴Ｓ△ＢＥＣ∶Ｓ△ＡＢＣ＝ＢＥ∶ＡＢ＝１∶ｍ。 ∴Ｓ△ＢＥＣ＝ １ ｍ Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ｍ ×ａ＝ ａ ｍ 。 ∵△ＣＤＥ和△ＢＥＣ是等高三角形， ∴Ｓ△ＣＤＥ∶Ｓ△ＢＥＣ＝ＣＤ∶ＢＣ＝１∶ｎ。 ∴Ｓ△ＣＤＥ＝ １ ｎ Ｓ△ＢＥＣ＝ １ ｎ ×ａ ｍ ＝ａ ｍｎ 。 故答案为 ａ ｍ ， ａ ｍｎ 。 ２２．解：（１）∵点Ａ（－１，ｍ）在反比例函数 ｙ＝－ ２ ｘ 的图 象上，∴ｍ＝－ ２ －１ ＝２。∴点Ａ（－１，２）。 ∵ＡＤ⊥ｘ轴，∴ＡＤ＝２，ＯＤ＝１。∴ＣＤ＝ＡＤ＝２。 ∴ＯＣ＝ＣＤ－ＯＤ＝２－１＝１。∴点Ｃ（１，０）。 ∵点Ａ（－１，２），Ｃ（１，０）在一次函数 ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图 象上， ∴ －ｋ＋ｂ＝２， ｋ＋ｂ＝０，{ 解得 ｋ＝－１，ｂ＝１。{ ∴一次函数的表达式为ｙ＝－ｘ＋１。 （２）在Ｒｔ△ＡＤＣ中，由勾股定理，得 ＡＣ＝ ＡＤ２＋ＣＤ槡 ２＝ ２２＋２槡 ２＝槡２２。 ∴ＡＣ＝ＣＥ＝槡２２。 当点Ｅ在点Ｃ的左侧时，ａ＝１－槡２２； 当点Ｅ在点Ｃ的右侧时，ａ＝１＋槡２２。 ∴ａ的值为１－槡２２或１＋槡２２。 ２３．（１）证明：∵ＢＥ＝ＤＦ， ∴ＢＥ＋ＥＦ＝ＤＦ＋ＥＦ，即ＢＦ＝ＤＥ。 ∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＡＢＦ＝∠ＣＤＥ。 又∵∠ＢＡＦ＝∠ＤＣＥ＝９０°，∴△ＡＢＦ≌△ＣＤＥ（ＡＡＳ）。 （２）解：选择条件①，四边形 ＡＥＣＦ是菱形。证明 如下： 由（１），得△ＡＢＦ≌△ＣＤＥ。 ∴ＡＦ＝ＣＥ，∠ＡＦＢ＝∠ＣＥＤ。∴ＡＦ∥ＣＥ。 ∴四边形ＡＥＣＦ是平行四边形。 ∵∠ＢＡＦ＝９０°，ＢＥ＝ＥＦ，∴ＡＥ＝ １ ２ ＢＦ。 ∵∠ＢＡＦ＝９０°，∠ＡＢＤ＝３０°，∴ＡＦ＝ １ ２ ＢＦ。 ∴ＡＥ＝ＡＦ。∴平行四边形ＡＥＣＦ是菱形。 选择条件②，四边形ＡＥＣＦ是菱形。证明如下： 如图，连接ＡＣ交ＢＤ于点Ｏ。 由（１），得△ＡＢＦ≌△ＣＤＥ。 ∴ＡＦ＝ＣＥ，∠ＡＦＢ＝∠ＣＥＤ。 ∴ＡＦ∥ＣＥ。∴四边形ＡＥＣＦ是平行四边形。 ∴ＯＡ＝ＯＣ。∵ＡＢ＝ＢＣ，∴ＯＢ⊥ＡＣ，即ＥＦ⊥ＡＣ。 ∴平行四边形ＡＥＣＦ是菱形。 ２４．解：（１）由题意，得ｙ＝８．２－０．２（ｘ－１）＝－０．２ｘ＋８．４。 ∴批发价 ｙ与购进数量 ｘ之间的函数关系式为 ｙ＝－０．２ｘ＋８．４（１≤ｘ≤１０，且ｘ为整数）。 （２）设李大爷销售这种水果每天获得的利润为ｗ元， 则ｗ＝［１２－０．５（ｘ－１）－ｙ］·１０ｘ＝［１２－０．５（ｘ－１）－ （－０．２ｘ＋８．４）］·１０ｘ＝－３ｘ２＋４１ｘ。 ∵ａ＝－３＜０，∴抛物线开口向下。 ∵对称轴为直线ｘ＝ ４１ ６ ，                                                                —９— ∴当１≤ｘ≤ ４１ ６ 时，ｗ的值随ｘ值的增大而增大。 ∵ｘ是正整数， ∴当ｘ＝６时，ｗ最大＝１３８； ∴当 ４１ ６≤ ｘ≤１０时，ｗ的值随ｘ值的增大而减小。 ∵ｘ是正整数， ∴当ｘ＝７时，ｗ最大＝１４０。 ∵１４０＞１３８， ∴李大爷每天应购进这种水果 ７箱，才能使每天 所获利润最大，最大利润为１４０元。 ２５．解：（１）如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理， 得ＡＣ＝ ＡＢ２－ＢＣ槡 ２＝ ２５－槡 ９＝４。 　图１ ∵△ＡＢＣ绕点 Ａ按逆时针 方向旋转９０°得到△ＡＤＥ， ∴ＡＤ＝５，ＤＥ＝３，ＡＥ＝４， ∠ＡＥＤ＝９０°，∠ＢＡＤ＝９０°。 ∵ＥＱ⊥ＡＤ， ∴∠ＡＱＥ＝∠ＡＥＤ＝９０°。 又∵∠ＥＡＱ＝∠ＤＡＥ，∴△ＡＱＥ∽△ＡＥＤ。 ∴ ＡＱ ＡＥ ＝ＡＥ ＡＤ 。∴ ｔ ４ ＝４ ５ 。∴ｔ＝ １６ ５ 。 所以当ＥＱ⊥ＡＤ时，ｔ的值为 １６ ５ 。 （２）如图２，分别过点 Ｃ，Ｐ作 ＣＭ⊥ＡＤ，ＰＮ⊥ＢＣ， 垂足分别为Ｍ，Ｎ。 　图２ ∵∠Ｂ＋∠ＢＡＣ＝９０°， ∠ＣＡＭ＋∠ＢＡＣ＝９０°， ∴∠Ｂ＝∠ＣＡＭ。 又∵∠ＢＣＡ＝∠ＡＭＣ＝９０°， ∴△ＡＢＣ∽△ＣＡＭ。 ∴ ＡＢ ＣＡ ＝ＢＣ ＡＭ ＝ＡＣ ＣＭ 。 ∴ ５ ４ ＝３ ＡＭ ＝４ ＣＭ 。∴ＡＭ＝ １２ ５ ，ＣＭ＝ １６ ５ 。 ∵∠Ｂ＝∠Ｂ，∠ＢＮＰ＝∠ＢＣＡ＝９０°， ∴△ＢＰＮ∽△ＢＡＣ。∴ ＢＰ ＢＡ ＝ＰＮ ＡＣ 。∴ ｔ ５ ＝ＰＮ ４ 。 ∴ＰＮ＝ ４ ５ ｔ。∴Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ ＢＣ·ＡＣ＝ １ ２ ×３×４＝６， Ｓ△ＡＣＤ＝ １ ２ ＡＤ·ＣＭ＝ １ ２ ×５× １６ ５ ＝８， Ｓ△ＢＰＣ＝ １ ２ ＢＣ·ＰＮ＝ １ ２ ×３× ４ ５ ｔ＝ ６ ５ ｔ， Ｓ△ＡＰＱ＝ １ ２ ＡＱ·ＡＰ＝ １ ２ ｔ（５－ｔ）。 ∴Ｓ四边形ＰＣＤＱ＝Ｓ△ＡＢＣ＋Ｓ△ＡＣＤ－Ｓ△ＡＰＱ－Ｓ△ＢＰＣ＝ ６＋８－ １ ２ ｔ（５－ｔ）－ ６ ５ ｔ＝ １ ２ ｔ２－ ３７ １０ ｔ＋１４。 ∴Ｓ与ｔ之间的函数关系式为Ｓ＝ １ ２ ｔ２－ ３７ １０ ｔ＋１４（０＜ ｔ＜５）。 （３）如图３，作 ＣＭ⊥ＡＤ于点 Ｍ，假设存在某一时 刻ｔ，使ＰＱ∥ＣＤ。 图３ ∵ＡＤ＝５，ＡＭ＝ １２ ５ ， ∴ＤＭ＝ＡＤ－ＡＭ＝５－ １２ ５ ＝１３ ５ 。 ∵ＰＱ∥ＣＤ，∴∠ＡＱＰ＝∠ＡＤＣ。 又∵∠ＰＡＱ＝∠ＣＭＤ＝９０°， ∴△ＡＰＱ∽△ＭＣＤ。 ∴ ＡＰ ＭＣ ＝ＡＱ ＭＤ 。∴ ５－ｔ １６ ５ ＝ｔ １３ ５ 。∴ｔ＝ ６５ ２９ 。 ∴存在时刻ｔ＝ ６５ ２９ ，使ＰＱ∥ＣＤ。 ４２０２４年市南区学业水平第一次阶段性质量检测 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｄ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ｂ Ｂ Ｃ Ｃ １．Ｄ　【解析】Ａ既不是轴对称图形，也不是中心对称 图形，故此选项不符合题意；Ｂ既是轴对称图形，又 是中心对称图形，故此选项不符合题意；Ｃ是中心 对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； Ｄ是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符 合题意。故选Ｄ。 ２．Ｃ　【解析】－２０２４的倒数是－ １ ２０２４ 。故选Ｃ。 ３．Ｂ　【解析】０．０００００００１２＝１．２×１０－８。故选Ｂ。 ４．Ｃ　【解析】 ５０－１０－２０ ５０ ×１８００＝７２０（人）。故选Ｃ。 ５．Ａ　【解析】因为两个 ２０２４年春晚吉祥物“龙 辰辰”的图案成中心对 称，所以两个图案中对应 点的连线经过对称中心。 如图所示，对称中心的坐 标为（４，４）。故选Ａ。 ６．Ｄ　【解析】Ａ． １ ２( ) ０ × １ ２( ) －２ ＝１×４＝４，故此选项 不符合题意；Ｂ．ａ３·ａ３＝ａ６，故此选项不符合题意； Ｃ．（ａ３）２＝ａ６，故此选项不符合题意；Ｄ．（ａｂ２）２÷ ａ２ｂ＝ａ２ｂ４÷ａ２ｂ＝ｂ３，故此选项符合题意。故选Ｄ。 ７．Ｂ　【解析】根据平移的性质可知∠ＢＣＧ＝∠ＤＣＧ＝ ∠ＡＢＣ＝∠ＥＤＣ＝１４４°，∴∠ＢＣＤ＝３６０°－１４４°－１４４°＝ ７２°。故选Ｂ。                                                                —０１—