19 2025年学业水平考试预测模拟卷(一)-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东济南专版）

∴ ∠AD′B= ∠E′QB= 90°。 ∴ sin∠ABE′=AD′ AB =E′Q BE′ = 2 4 = 1 2 。 ∵ BD′= AB2 -(AD′) 2 = 2 3 ,D′E′= 2, ∴ BE′=BD′+D′E′= 2+2 3 。 ∴ E′Q= 1 2 BE′= 1+ 3 。 ∴ 点 M 到直线 AB 的最大距离为 1+ 3 。 如图 4,当点 M 与点 A 重合时, 点 M 到直线 AB 有最小距离,为 0。 综上,点 M 到直线 AB 的最大距离为 1+ 3 ,最小距 离为 0。 26.解:(1)把点 A(1,0),B(-5,0)代入 y=ax2+bx+10 3 , 得 a+b+ 10 3 = 0, 25a-5b+ 10 3 = 0。 ì î í ï ï ï ï 解得 a= - 2 3 , b= - 8 3 。 ì î í ï ï ï ï ∴ 抛物线的表达式为 y= - 2 3 x2 - 8 3 x+10 3 。 ∵ y= - 2 3 x2 - 8 3 x+10 3 = - 2 3 (x+2) 2 +6, ∴ 抛物线的顶点 D 的坐标为(-2,6)。 (2)在 y= - 2 3 x2 - 8 3 x+10 3 中,令 x= 0,得 y= 10 3 。 ∴ 点 C ( 0,103 ) 。 ∵ Q 为 OC 的中点,∴ 点 Q ( 0, 53 ) 。 由点 B(-5,0),Q ( 0, 53 ) ,得 直线 BQ 的表达式为 y= 1 3 x+ 5 3 。 ∵ 动点 P 在第二象限的抛物线上运动,横坐标 为 t, ∴ 点 P ( t,- 23 t 2 - 8 3 t+10 3 ) ,点 M ( t, 1 3 t+ 5 3 ) 。 ∴ PM= - 2 3 t2 - 8 3 t + 10 3 - ( 13 t + 5 3 ) = - 2 3 t2 - 3t+ 5 3 。 ∴ PM 的长为- 2 3 t2 -3t+ 5 3 (-5<t<0)。 (3)当 tan∠BED= 4 3 时,PM+MN 存在最大值。 由点 C ( 0,103 ) ,点 D(-2,6), 得直线 CD 的表达式为 y= - 4 3 x+10 3 。 ∴ 点 J ( t,- 43 t+ 10 3 ) 。 ∵ 点 M ( t, 1 3 t+ 5 3 ) , ∴ JM= - 4 3 t+10 3 - ( 13 t+ 5 3 ) = - 5 3 t+ 5 3 。 ∵ PH⊥x 轴,MN⊥DE, ∴ ∠JMN= 90°-∠MJN= ∠BED。 ∵ tan∠BED= 4 3 ,∴ tan∠JMN= 4 3 。 ∴ JN MN = 4 3 。 设 JN= 4k,则 MN= 3k。 ∴ JM= JN2 +MN2 = 5k。 ∴ MN= 3 5 JM。 ∴ MN= 3 5 ( - 5 3 t+ 5 3 ) = -t+1。 由(2),知 PM= - 2 3 t2 -3t+ 5 3 。 ∴ PM+MN= - 2 3 t2 -3t+ 5 3 +(-t+1) = - 2 3 t2 -4t+ 8 3 = - 2 3 ( t+3) 2 +26 3 。 ∵ - 2 3 <0,∴ 抛物线开口向下。 ∴ 当 t= -3 时,PM+MN 取最大值,最大值为26 3 。 19 2025 年学业水平考试预测模拟卷(一) 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B D D C B A B D D 1. A　 【解析】由题可得,六棱柱的左视图是两个相邻 的宽相等的长方形,如图。 故选 A。 2. B　 【解析】140 000 000 = 1. 4×108。 故选 B。 3. D　 【解析】如图,标注字母 E,F 位置。 ∵ a∥b,∠1 = 45°, ∴ ∠AEF= ∠1 = 45°。 ∵ ∠A= 30°, ∠AEF 是△ABE 的外角, ∴ ∠2 = ∠AEF-∠A= 15°。 故选 D。 4. D　 【解析】由数轴上 a,b,c 三个实数对应的位置可 知,a<b<0<c。 a+b<0,bc<0,a<-c。 故 A,B,C 选项 错误。 故选 D。 5. C 　 【解析】A 图形是中心对称图形,不是轴对称图 形;B 图形既不是轴对称图形,也不是中心对称图 形;C 图形既是轴对称图形又是中心对称图形;D 图 形是中心对称图形,不是轴对称图形。 故选 C。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —27— 6. B　 【解析】A. a2·a3 =a5,故此选项错误;B. a4 ÷a2 = a2,正确;C. (a3) 2 = a6,故此选项错误;D. 2a2 +3a2 = 5a2,故此选项错误。 故选 B。 7. A　 【解析】当 x< - 5 时,直线 y = 3x+ a 都在直线 y= -2x+b 的下方,所以关于 x 的不等式 3x+a<-2x+ b 的解集为 x<-5。 故选 A。 8. B　 【解析】依据题意列表如下: 红 绿 红 蓝 白 (白,红) (白,绿) (白,红) (白,蓝) 红 (红,红) (红,绿) (红,红) (红,蓝) 蓝 (蓝,红) (蓝,绿) (蓝,红) (蓝,蓝) 由表可知一共有 12 种等可能的结果,其中能配成 紫色的有 3 种,所以配成紫色的概率 P = 3 12 = 1 4 。 故选 B。 9. D　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ BC = CD = AD=AB。 ∵ 点 E 是正方形 ABCD 的边 AB 上的黄金 分割点,且 AE>BE,∴ AE AB = BE AE = 5 -1 2 。 ∵ 四边形 AEHF 是正方形,∴ EH = FH = AF = AE,FH∥AE。 ∴ △FHG∽△BEG。 ∴ GH GE = FH BE 。 ∴ GH EH = FH FH+BE = AE AE+BE = AE AB = 5 -1 2 。 ∴ GH = 5 -1 2 EH = 5 -1 2 AE。 ∵ ∠C = ∠CBE = ∠BEI = 90°,∴ 四边形 BCIE 是矩 形。 ∴ CI = BE。 ∴ S△BCI ∶ S△FGH = 1 2 BC·CI 1 2 FH·GH = AB·BE AE·GH = BE AE · AB GH = 5 -1 2 × AB 5 -1 2 AE = 5 -1 2 × 1 5 -1 2 × 5 -1 2 = 5 +1 2 。 故选 D。 10. D　 【解析】将点(k,2k)代入二次函数,得 2k = ( t+ 1)·k2 +( t+ 2) k+ s,整理,得( t+ 1) k2 + tk+ s = 0。 ∵ ( t+1)·k2 +tk+s = 0 是关于 k 的一元二次方程, 总有两个不同的实根,∴ Δ = t2 -4s( t+1)>0。 令 y = t2 -4s( t+1)= t2 -4st-4s。 ∵ y>0,∴ Δ = (4s) 2 +16s= 16s2 +16s<0,即 s( s+1)<0。 解得-1<s<0。 故选 D。 11. (x+3) 2 　 【解析】原式=(x+3) 2。 12. 9 　 【解析】根据题意,得 6 6+m = 2 5 ,解得 m = 9。 经 检验,m= 9 是所列方程的根。 所以 m= 9。 13. 2π　 【解析】∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形, ∴ ∠F= ∠FAB= ∠B= (6 -2)×180° 6 = 120°,EF =FA =AB=BC= 2。 ∴ ∠BAC= ∠BCA= 180° -120° 2 30°。 如图,过点 B 作 BM⊥AC 于点 M。 在 Rt△ABM 中,AB= 2,∠BAM= 30°, ∴ AM= 3 2 AB= 3。 ∴ AC= 2AM= 2 3 =AE。 在扇 形 ACE 中, ∠CAE = 120° - 30°-30° = 60°, ∴ S阴影部分 =S扇形ACE = 60π×(2 3) 2 360 = 2π。 14. 29 3 　 【解析】设出水管每分钟排水 x 升。 由图可 知,进水管每分钟进水 30÷ 3 = 10(升),则有 80- 5x= 20,∴ x= 12。 ∵ 8 分钟后的放水时间为20 12 = 5 3 (分钟), ∴ a= 8+ 5 3 = 29 3 。 15. 37 -3　 【解析】解法一:如图 1,过点 C 作 CF⊥ AD,交 AD 的延长线于点 F。 ∵ 四边形 ABCD 是平 行四边形,AB = 6,∠ABC = 120°,∴ CD = AB = 6, ∠ABC= ∠ADC = 120°,AD∥BC。 ∴ ∠CDF = 180°- ∠ADC= 60°。 ∵ CF⊥AD,∴ ∠CFD = 90°,∠DCF = 90°-∠CDF= 30°。 ∴ DF = 1 2 CD = 3,CF = 3 DF = 3 3。 ∵ AD∥BC, ∴ ∠A = 180° - ∠ABC = 60°, ∠DEC= ∠A′CB。 根据折叠的性质可得 AB =A′B = 6,∠A= ∠BA′E = 60°,∴ A′B = CD,∠BA′C = 180°- ∠BA′E= 120° = ∠CDE。 在△A′BC 和△DCE 中, ∠A′CB= ∠DEC, ∠BA′C= ∠CDE, A′B=DC, { ∴ △A′ BC ≌ △DCE ( AAS )。 ∴ BC=CE= 8。 在 Rt△CEF 中,EF = CE2 -CF2 = 82 -(3 3) 2 = 37,∴ DE=EF-DF= 37 -3。 图 1 　 　 图 2 解法二:如图 2,过点 B 作 BF⊥AD 于点 F,过点 C 作 CG⊥BE 于点 G。 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边 形,BC= 8,∴ AD∥BC,AD=BC= 8。 ∵ ∠ABC= 120°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —37— ∴ ∠A=60°。 在 Rt△ABF 中,AF=AB·cos A=6× 1 2 =3, BF=AB·sin A= 6× 3 2 = 3 3。 根据折叠的性质可 得∠AEB= ∠A′EB。 ∵ AE∥BC,∴ ∠AEB = ∠CBE。 ∴ ∠CBE = ∠A′EB,即∠CBE = ∠CEB。 ∴ △CBE 是等腰三角形,BC=CE= 8。 ∵ CG⊥BE,∴ EG =BG = 1 2 BE。 ∵ ∠BEF= ∠CEG,∠BFE = ∠CGE = 90°, ∴ △BEF ∽ △CEG。 ∴ EF EG = BE CE ,即 EF 1 2 BE = BE CE 。 ∴ BE2 = 2EF·CE。 设 EF = x(0 < x< 8),∴ BE2 = 2x·8 = 16x。 在 Rt △BEF 中, EF2 + BF2 = BE2, ∴ x2 +(3 3) 2 = 16x。 整理,得 x2 -16x+27 = 0。 解得 x1 =8+ 37 (舍去),x2 = 8- 37。 ∴ EF = 8- 37。 ∴ DE=AD-AF-EF=8-3-(8- 37)= 37-3。 16.解:原式= 1+ 1 2 + 2 × 2 2 - 1 2 = 1+ 1 2 +1- 1 2 = 2。 17.解:解不等式①,得 x<1。 解不等式②,得 x≥-3。 所以原不等式组的解集为-3≤x<1。 18.证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC,AD=BC。 ∴ ∠EAO= ∠FCO,∠AEO= ∠CFO。 在△AOE 和△COF 中, ∠AEO= ∠CFO, ∠EAO= ∠FCO, OA=OC, { ∴ △AOE≌△COF(AAS)。 ∴ AE=CF。 ∵ AD=BC, ∴ BC-CF=AD-AE。 ∴ BF=DE。 19.解:(1)如图,过点 B 作 BM⊥AF 于点 M。 由题意,可知∠A= 30°, ∠DBE= 53°,DF= 600 m, AB= 300 m, 在 Rt△ABM 中,∠A= 30°, AB= 300 m, ∴ BM= 1 2 AB= 150 m =EF。 ∴ DE=DF-EF= 600-150 = 450(m)。 答:登山缆车上升的高度 DE 为 450 m。 (2)在 Rt△BDE 中,∠DBE= 53°,DE= 450 m, ∴ BD= DE sin∠DBE ≈ 450 0. 80 = 562. 5(m)。 ∴ 需要的时间 t=t步行+t缆车 = 300 30 +562. 5 60 ≈19. 4(min)。 答:从山底 A 处到达山顶 D 处大约需要 19. 4 min。 20.解:(1)a= 20-8-5-4 = 3。 ∵ b% = 8÷20×100% = 40% ,∴ b= 40。 故答案为 3,40。 (2)1 600×3 +8 20 = 880(名), 答:估计该校 1 600 名学生中,达到优秀等级的人 数为 880。 (3)∵ A 等级中有 2 名男生,∴ A 等级中有 1 名 女生。 画树状图如下: 共有 6 种等可能的结果,恰好抽到一男一女的结 果有 4 种, ∴ 恰好抽到一男一女的概率为 4 6 = 2 3 。 21. (1)证明:如图,连接 OC。 ∵ CD 是☉O 的切线,∴ ∠OCD= 90°。 ∴ ∠OCB+∠BCD= 90°。 ∵ OF⊥BC,∴ ∠BEO= 90°。 ∴ ∠BOE+∠OBE= 90°。 ∵ OC=OB,∴ ∠OCB= ∠OBC。 ∴ ∠BCD= ∠BOE。 (2)解:如图,过点 B 作 BH⊥CD 于点 H。 ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ACB= 90°。 ∵ sin∠BAC=BC AB = 3 5 ,AB= 10, ∴ BC= 6。 ∵ AB 是☉O 的直径,AB= 10, ∴ OA=OB=OC= 5。 ∵ OF⊥BC,∴ ∠OEB= ∠ACB= 90°。 ∴ AC∥OF。 ∴ ∠BOE= ∠BAC。 ∵ ∠BCD= ∠BOE,∴ ∠BAC= ∠BCD。 ∴ sin∠BAC= sin∠BCD=BH BC = 3 5 。 ∴ BH= 18 5 。 ∵ OC⊥CD,BH⊥CD, ∴ BH∥OC。 ∴ △BDH∽△ODC。 ∴ BH OC =BD OD 。 ∴ 18 5 5 = BD BD+5 。 解得 BD= 90 7 。 故 BD 的长为90 7 。 22.解:( 1) 设该商场节后每千克 A 粽子的进价为 x 元。 根据题意,得240 x -4 = 240 x+2 。 解得 x= 10 或 x= -12(不符合题意,舍去)。 经检验,x= 10 是原分式方程的根,且符合题意。 答:该商场节后每千克 A 粽子的进价为 10 元。 (2)设该商场节前购进 m 千克 A 粽子,则节后购 进(400-m)千克 A 粽子,总利润为 w 元。 根据题意,得(10+2)m+10(400-m)≤4 600。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —47— 解得 m≤300。 w= (20-12)m+(16-10)(400-m)= 2m+2 400。 ∵ 2>0, ∴ w 的值随着 m 值的增大而增大。 ∴ 当 m= 300 时,w 取得最大值,最大利润为 2×300+2 400 = 3 000(元)。 答:该商场节前购进 300 千克 A 粽子获得利润最 大,最大利润为 3 000 元。 23.解:(1)设点 A( t,3t-9)。 ∴ OM= t,AM= 3t-9。 ∵ OA= 5,∴ t2 +(3t-9) 2 = 52 。 解得 t= 4 或 t= 1. 4。 ∴ 点 A(4,3)或(1. 4,- 4. 8) (此时点 A 在第四象 限,不符合题意,舍去)。 把点 A(4,3)代入 y= m x (x>0),得 3 = m 4 。 解得 m= 12。 ∴ 反比例函数的表达式为 y= 12 x (x>0)。 (2)在 y= 3x-9 中,令 y= 0,得 0 = 3x-9, 解得 x= 3。 ∴ 点 B(3,0)。 ∴ OB= 3。 由(1),知点 A(4,3), ∴ OM= 4,AM= 3。 ∴ BM=OM-OB= 4-3 = 1。 ∴ tan∠BAM=BM AM = 1 3 。 ∵ ∠ANO= ∠NOM= ∠OMA= 90°, ∴ 四边形 ONAM 为矩形。 ∴ ∠MAN= 90°。 ∵ ∠BAE= 45°,∴ ∠BAM+∠EAN= 45°。 由当 α+β= 45°时,若 tan α= 1 3 , 则 tan β= 1 2 ,可得 tan∠EAN= 1 2 。 (3)由(2),知 tan∠EAN= 1 2 ,∴ EN AN = 1 2 。 ∵ 点 A(4,3), ∴ AN= 4,ON= 3。 ∴ EN 4 = 1 2 。 ∴ EN= 2。 ∴ OE=ON-EN= 3-2= 1。 ∴ 点 E(0,1)。 设直线 AE 的表达式为 y= kx+b(k≠0)。 把点 A(4,3),E(0,1)代入, 得 4k+b= 3, b= 1,{ 解得 k= 1 2 , b= 1。 { ∴ 直线 AE 的表达式为 y= 1 2 x+1。 24.解:(1)设抛物线的表达式为 y = a(x+1) (x- 3) = a(x2 -2x-3)(a≠0)。 当 x= 0 时,y= 3, ∴ -3a= 3。 解得 a= -1。 故抛物线的表达式为 y= -x2 +2x+3。 (2)∵ tan∠MBN=MN BN = 4 3 , ∴ 设 MN= 4m,BN= 3m,则 BM= 5m。 ∴ 点 N,M 的坐标分别为(3-3m,0),(3-3m,4m)。 当 x= 3-3m 时,y= -x2 +2x+3 = -9m2 +12m, ∴ 点 Q 的坐标为(3-3m,-9m2 +12m)。 ∵ QM=BM,∴ | -9m2 +12m-4m | = | 5m | 。 解得 m= 0(舍去)或 1 3 或 13 9 (舍去)。 ∴ 点 Q 的坐标为(2,3)。 (3)设点 P 的坐标为(n,-n2 +2n+3)。 由点 A,P 的坐标, 得直线 AP 的表达式为 y= -(n-3)(x+1)。 ∴ 点 D 的坐标为(0,3-n)。 ∴ OD=CF= 3-n。 ∴ DF= 3-OD-CF= 2n-3。 设点 E 的坐标为[ t,(3-n)( t+1)]。 ∵ 点 A(-1,0),B(3,0),∴ OA= 1,OB= 3。 ∴ AB=OA+OB= 4。 ∵ S△AFE =S△ABE,∴ 1 2 DF·(xE-xA)= 1 2 AB·yE, 即(2n-3)( t+1)= 4×(3-n)( t+1)。 解得 n= 2. 5,即点 P 的坐标为 5 2 , 7 4( ) 。 ∴ S△PAB = 1 2 AB·yP = 1 2 ×4× 7 4 = 7 2 。 25.解:(1)∵ ∠ACB= ∠ADE= 90°,AC=BC,AD=DE, ∴ ∠A= ∠B= ∠DEA= 45°。 ∴ AB= 2AC= 2m,AE= 2AD= 2 2 m。 ∴ CD=AC-AD= 1 2 m,BE=AB-AE= 2 2 m。 ∴ BE= 2CD。 ∵ ∠A= 45°,∴ 直线 CD 与 BE 的夹角为 45°。 故答案为 BE= 2CD,45°。 (2)不满足,BE= 3CD,直线 CD与 BE的夹角为 30°。 理由如下: 如图 1,过点 C 作 CH⊥AB 于点 H,延长 CD,BE 交 于点 F。 ∵ AC=BC,CH⊥AB,∴ AH=BH= 1 2 AB。 ∵ ∠ACB= ∠ADE= 120°,AC=BC,AD=DE, ∴ ∠CAB= ∠CBA= 30°,∠DAE= ∠DEA= 30°。 ∴ AC= 2CH,∠CAD= ∠BAE。 图 1 由勾股定理,得 AH= 3 2 AC。 ∴ AB= 3AC。 同理可得 AE= 3AD。 ∴ AB AC = AE AD = 3 。 ∵ ∠BAE= ∠CAD,∴ △BAE∽△CAD。 ∴ BE CD =AB AC = 3 ,∠ACD= ∠ABE。 ∴ ∠F= 180°-(∠FCB+∠CBF) = 180°-(∠FCB+∠CBA+∠ABE) = 180°-(∠FCB+∠CBA+∠ACD) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —57— = 180°-(∠ACB+∠CBA) = 180°-(120°+30°)= 30°。 ∴ BE= 3CD,∠F= ∠CAB= 30°。 ∴ BE= 3CD,直线 CD 与 BE 的夹角为 30°。 (3)如图 2,当点 E 在线段 BD 上时, ∵ m= 2,∴ AD=DE= 1,AB= 2 2 。 由勾股定理,得 BD= AB2 -AD2 = 7 。 ∴ BE=BD-DE= 7 -1。 ∴ CD= 2 2 BE= 14 - 2 2 。 如图 3,当点 D 在线段 BE 上时, 同理可得 BE=BD+DE= 7 +1。 ∴ CD= 2 2 BE= 14 + 2 2 。 综上所述, 当 B, E, D 三点共线时, CD 的长为 14 - 2 2 或 14 + 2 2 。 图 2 　 　 图 3 20 2025 年学业水平考试预测模拟卷(二) 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B B A C D C B B C 1. B　 【解析】由题意,知 ACD 选项中几何体的左视图 是 ,B 选项中几何体的左视图是 。 故 选 B。 2. B　 【解析】0. 000 000 000 2 = 2×10-10。 故选 B。 3. B　 【解析】如图,标注∠3,∠4,a,b。 ∵ ∠1 = 35°, ∴ ∠3 = 180°-90°-35° = 55°。 ∵ a∥b,∴ ∠3 = ∠4 = 55°。 又∵ ∠2 = ∠4,∴ ∠2 = ∠3 = 55°。 故选 B。 4. A　 【解析】A. a2·a3 = a5,故 A 正确;B. a6 ÷a2 = a4, 故 B 错误;C. (ab3) 2 = a2b6,故 C 错误;D. 5a- 2a = 3a,故 D 错误。 故选 A。 5. C　 【解析】∵ 点 B 在点 A 右边,∴ x<x+y。 ∴ y> 0。 ∴ AB= y,BC = y-(x+y)= -x。 ∵ AB<BC,∴ y< -x。 ∴ x+y<0。 故选项 A 错误;∵ x<0,y>0,∴ xy<0。 故 选项 B 错误;∵ x< 0,y> 0,y< -x, | x | = -x, | y | = y, ∴ | x | > | y | ,故选项 D 错误; | x | >y, | x | -y>0,故选项 C 正确。 故选 C。 6. D　 【解析】A 不是中心对称图形,是轴对称图形,故 此选项不符合题意;B 是轴对称图形,不是中心对称 图形,故此选项不符合题意;C 既不是中心对称图 形,也不是轴对称图形,故此选项不符合题意;D 既 是中心对称图形,又是轴对称图形,故此选项符合 题意。 故选 D。 7. C　 【解析】由表可知,动力臂与动力成反比的关系, 设方程为 L = K F ,从表中取一个有序数对,不妨取 (0. 5,600)代入 L= K F ,解得 K = 300。 所以 L = 300 F 。 把 L= 2 代入上式,解得 F= 150。 故选 C。 8. B　 【解析】该展览馆有 A,B 两个入口,C,D,E 三个 出口,且从每个入口进入和每个出口出去的可能性 是一样的,画树状图如下: 则小颖从 A 入口进,C 出口出的概率是 1 6 。 故选 B。 9. B　 【解析】∵ ∠A= 36°,AB=AC= 2, ∴ ∠ABC= ∠C= 1 2 ×(180°-36°)= 72°。 由题意,得 BD 平分∠ABC, ∴ ∠ABD= ∠CBD= 1 2 ∠ABC= 36°。 ∴ ∠ABD= ∠A,∠BDC= ∠A+∠ABD= 72° = ∠C。 ∴ AD=BD=BC,△BCD∽△ABC。 ∴ BC AB =CD BC 。 ∴ AD AC =CD AD 。 ∴ 点 D 是 AC 的黄金分割点,AD>CD。 ∴ AD= 5 -1 2 AC= 5 -1。 ∴ CD=AC-AD= 3- 5。 故选 B。 10. C　 【解析】∵ 点 A(1,m),B(n,-4)是关于 x 的“黄 金函数”y=ax2 +bx+c(a≠0)上的一对“黄金点”, ∴ 点 A,B 关于原点对称。 ∴ m= 4,n= -1。 ∴ 点 A(1,4),B(-1,-4)。 将点 A,B 代入 y=ax2 +bx+c(a≠0), 得 a+b+c= 4, a-b+c= -4,{ ∴ b= 4, a+c= 0。{ 故①②正确; ∵ 该函数的对称轴始终位于直线 x= 2 的右侧, ∴ - b 2a >2。 ∴ - 4 2a >2。 ∴ -1<a<0。 故④正确; ∵ a+c= 0,∴ 0<c<1,c= -a。 当 x= 1 2 时,y=ax2 +bx+c= 1 4 a+ 1 2 b+c= 1 4 a+2-a = 2- 3 4 a。 ∵ -1<a<0,∴ - 3 4 a>0。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —67— — 109 — — 110 — — 111 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。 每小题只有一个选项符合题目要求) 1. 如图中六棱柱的左视图是 (　 　 ) A. B. C. D. 第 1 题图 　 　 　 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 2. 中华鲟是地球上最古老的脊椎动物之一,距今约有 140 000 000 年的历史,是国家一级保护动物和长 江珍稀特有鱼类保护的旗舰型物种。 3 月 28 日是中华鲟保护日,有关部门进行放流活动,实现鱼类 物种的延续并对野生资源形成持续补充。 将 140 000 000 用科学记数法表示应为 (　 　 ) A. 14×107 B. 1. 4×108 C. 0. 14×109 D. 1. 4×109 3. 已知直线 a∥b,将一块含 30°角的直角三角尺 ABC 按如图所示的方式放置,其中∠A = 30°,∠ACB = 90°。 若∠1 = 45°,则∠2 的度数为 (　 　 ) A. 30° B. 25° C. 20° D. 15° 4. 实数 a,b,c 在数轴上的对应点的位置如图所示,则下列结论正确的是 (　 　 ) A. a>b B. a+b>0 C. bc>0 D. a<-c 5. 第 33 届夏季奥林匹克运动会由法国巴黎举办,于 2024 年 7 月 26 日开幕,8 月 11 日闭幕。 下面图案 是巴黎奥运会的部分比赛场馆标识,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (　 　 ) A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是 (　 　 ) A. a2·a3 =a6 B. a4 ÷a2 =a2 C. (a3) 2 =a5 D. 2a2 +3a2 = 5a4 7. 已知直线 y= 3x+a 与直线 y= -2x+b 交于点 P,若点 P 的横坐标为-5,则关于 x 的不等式 3x+a<-2x+b 的解集为 (　 　 ) A. x<-5 B. x<3 C. x>-2 D. x>-5 8. 用如图所示的两个可自由转动的转盘进行“配紫色”游戏(红色和蓝色配成紫色),两个转盘分别被 分成面积相等的几个扇形,同时转动两个转盘一次,转盘停止时指针所指扇形的颜色即为转出的颜 色(若指针停在分界线上,则重转),则配成紫色的概率为 (　 　 ) A. 1 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 　 　 第 8 题图 　 　 　 　 　 　 　 图 1 　 　 　 图 2 第 9 题图 9. 把一条线段分割为两部分,使较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值,则这个比值 为黄金分割比,比值为 5 -1 2 ,它是公认的最能引起美感的比例,如图 1 为世界名画蒙娜丽莎。 如图 2, 点 E 是正方形 ABCD 的边 AB 上的黄金分割点,且 AE>BE,以 AE 为边作正方形 AEHF,延长 EH 交 CD 于点 I,连接 BF 交 EI 于点 G,连接 BI,则 S△BCI ∶ S△FGH 为 (　 　 ) A. 1 ∶ 1 B. 5 +1 3 C. 5 -1 2 D. 5 +1 2 10. 若一个点的坐标满足(k,2k),我们将这样的点定义为“倍值点”。 若关于 x 的二次函数 y = ( t+1)x2 + ( t+2)x+s( s,t 为常数,t≠-1)总有两个不同的倍值点,则 s 的取值范围是 (　 　 ) A. s<-1 B. s<0 C. 0<s<1 D. -1<s<0 二、填空题(本题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. 因式分解:x2 +6x+9 = 　 　 　 　 　 。 12. 一个不透明的袋中装有 6 个白球和 m 个红球,这些球除颜色外无其他差别。 充分搅匀后,从袋中 随机取出一个球是白球的概率为 2 5 ,则 m= 。 13. 如图,AC,AE 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 的对角线,以点 A 为圆心,AC 的长为半径画弧,得 EC ( ,则图中阴影部分的面积为 。 (用含 π 的式子表示) 第 13 题图 　 　 　 　 　 第 14 题图 　 　 　 　 　 　 第 15 题图 14. 一个装有进水管和出水管的容器,开始时,先打开进水管注水,3 分钟时,再打开出水管排水,8 分钟 时,关闭进水管,直至容器中的水全部排完。 在整个过程中,容器中的水量 y(升)与时间 x(分钟) 之间的函数关系如图所示,则图中 a 的值为　 　 　 　 。 15. 如图,在▱ABCD 中,AB = 6,BC = 8,∠ABC = 120°,E 是 AD 上一动点,将△ABE 沿 BE 折叠得到 △A′BE,连接 A′C,CE。 当点 A′恰好落在 CE 上时,DE 的长为　 　 　 　 。 三、解答题(本题共 10 小题,共 90 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (7 分)计算:( 3 ) 0 +2-1 + 2 cos 45°- - 1 2 。 17. (7 分)解不等式组: 2x+1<3,　 　 ① x 2 +1-3x 4 ≤1。② ì î í ï ï ïï 18. (7 分)如图,四边形 ABCD 是平行四边形,线段 EF 分别交 AD,AC,BC 于点 E,O,F,OA=OC。 求证: BF=DE。 19. (8 分)暑假期间,小明与小亮相约到某旅游风景区登山。 需要登顶 600 m 高的山峰,由山底 A 处先 步行 300 m 到达 B 处,再由 B 处乘坐登山缆车到达山顶 D 处。 已知点 A,B,D,E,F 在同一平面内, 山坡 AB 的坡角为 30°,缆车行驶路线 BD 与水平面的夹角为 53°。 (换乘登山缆车的时间忽略不计) (1)求登山缆车上升的高度 DE; (2)若小明和小亮的步行速度为 30 m / min,登山缆车的速度为 60 m / min,求从山底 A 处到达山顶 D 处大约需要多长时间。 (结果精确到 0. 1 min,参考数据:sin 53°≈0. 80,cos 53°≈0. 60,tan 53°≈1. 33) 　 　 20. (8 分)“小手拉大手,共创文明城”。 某校为了解学生对所在城市创建全国文明城市相关知识的知 晓情况,通过发放问卷进行测评,从中随机抽取 20 份答卷,并统计成绩(成绩得分用 x 表示。 单位: 分):94,83,90,86,94,88,96,100,89,82,94,82,84,89,88,93,98,94,93,92。 整理上面的数据,得 到频数分布表和扇形统计图。 等级 成绩 /分 频数 A 95≤x≤100 a B 90≤x<95 8 C 85≤x<90 5 D 80≤x<85 4 　 　 　 　 根据以上信息,解答下列问题: (1)填空:a= 　 　 　 　 ,b= 　 　 　 　 ; (2)若成绩不低于 90 分为优秀,请估计该校 1 600 名学生中,达到优秀等级的人数; 19 2025 年学业水平考试预测模拟卷(一) (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 112 — — 113 — — 114 — (3)已知 A 等级中有 2 名男生,现从 A 等级中随机抽取 2 名同学,试用列表或画树状图的方法求出 恰好抽到一男一女的概率。 21. (9 分)如图,AB 是☉O 的直径,C 是☉O 上一点,连接 AC,BC,过点 C 作☉O 的切线交 AB 延长线于 点 D,OF⊥BC 于点 E,交 CD 于点 F。 (1)求证:∠BCD= ∠BOE; (2)若 sin∠BAC= 3 5 ,AB= 10,求 BD 的长。 22. (10 分)端午节是中国传统节日,人们有吃粽子的习俗。 今年端午节来临之际,某商场预测 A 粽子 能够畅销。 根据预测,每千克 A 粽子节前的进价比节后多 2 元,节前用 240 元购进 A 粽子的数量比 节后用相同金额购进的数量少 4 千克。 根据以上信息,解答下列问题: (1)该商场节后每千克 A 粽子的进价为多少元? (2)如果该商场在节前和节后共购进 A 粽子 400 千克,且总费用不超过 4 600 元,并按照节前每千 克 20 元,节后每千克 16 元全部售出,那么该商场节前购进多少千克 A 粽子获得利润最大? 最大利 润为多少? 23. (10 分)阅读材料: 如图 1,四边形 ABCD 是矩形,△AEF 是等腰直角三角形,记∠BAE 为 α,∠DAF 为 β,若tan α= 1 2 ,则 tan β= 1 3 。 证明:设 BE= k。 ∵ tan α= 1 2 , ∴ AB= 2k。 易证△AEB≌△EFC(AAS)。 ∴ EC= 2k,CF= k。 ∴ DF= k,AD= 3k。 ∴ tan β=DF AD = 1 3 。 当 α+β= 45°时,若 tan α= 1 2 ,则 tan β= 1 3 。 同理:当 α+β= 45°时,若 tan α= 1 3 ,则 tan β= 1 2 。 根据上述材料,完成下列问题: 如图 2,直线 y= 3x-9 与反比例函数 y= m x (x>0)的图象交于点 A,与 x 轴交于点 B。 将直线 AB 绕点 A 顺时针旋转 45°后的直线与 y 轴交于点 E,过点 A 作 AM⊥x 轴于点 M,过点 A 作 AN⊥y 轴于点 N, 已知 OA= 5。 (1)求反比例函数的表达式; (2)直接写出 tan∠BAM,tan∠EAN 的值; (3)求直线 AE 的表达式。 图 1 　 　 图 2 24. (12 分)如图,抛物线 y=ax2 +bx+3 与 x 轴交于点 A( -1,0),B(3,0),与 y 轴交于点 C。 (1)求抛物线的表达式; (2)如图 1,Q 是 x 轴上方抛物线上一点,射线 QM⊥x 轴于点 N,若 QM =BM,且tan∠MBN= 4 3 ,请直 接写出点 Q 的坐标; (3)如图 2,E 是第一象限内一点,连接 AE 交 y 轴于点 D,AE 的延长线交抛物线于点 P,点 F 在线段 CD 上,且 CF=OD,连接 AF,EF,BE,BP。 若 S△AFE =S△ABE,求△PAB 的面积。 图 1 　 图 2 25. (12 分)在△ABC 中,AC=BC=m,在△AED 中,AD=DE= 1 2 m,请探索解答下列问题。 【问题发现】 (1)如图 1,若∠ACB= ∠ADE= 90°,点 D,E 分别在 AC,AB 上,则 CD 与 BE 的数量关系是　 　 　 　 , 直线 CD 与 BE 的夹角为　 　 　 　 ; 【类比探究】 (2)如图 2,若∠ACB= ∠ADE= 120°,将△AED 绕点 A 旋转至如图 2 所示的位置,则 CD 与 BE 之间 是否满足(1)中的数量关系? 说明理由; 【拓展延伸】 (3)在(1)的条件下,若 m= 2,将△AED 绕点 A 旋转过程中,当 B,E,D 三点共线时,请直接写出 CD 的长。 图 1 　 图 2 　 备用图