18 2024年莱芜区学业水平第三次模拟试题-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东济南专版）

(3)在第一象限存在这样的点 P,Q, 使△PQB∽△CAB,符合条件的点 P 的坐标为 ( 689 , 34 9 )或 ( 6+2 41 5 ,3 + 41 5 ) 。 ∵ l∥BC,∴ 直线 l 的表达式为 y= 1 2 x。 ①当点 P 在直线 BQ 右侧时,如图 2,过点 P 作 PN⊥x 轴于点 N,过点 Q 作 QM⊥直线 PN 于点 M。 设点 P ( a1 , a1 2 ) 。 ∴ PN= a1 2 ,BN=a1 -4。 ∵ 点 A(-1,0),C(0,-2),B(4,0), ∴ AC= 5 ,AB= 5,BC= 2 5 。 ∴ AC2 +BC2 =AB2 。 ∴ ∠ACB= 90°。 ∵ △PQB∽△CAB,∴ PQ PB = CA CB = 1 2 ,∠QPB= ∠ACB = 90°。 ∵ ∠QMP= ∠BNP= 90°, ∴ ∠MQP+∠MPQ= 90°,∠MPQ+∠BPN= 90°。 ∴ ∠MQP= ∠BPN。 ∴ △QPM∽△PBN。 ∴ QM PN =PM BN =PQ BP = 1 2 。 ∴ QM= a1 4 ,PM= 1 2 (a1 -4)= 1 2 a1 -2。 ∴ MN=PM+PN=a1 -2,ON-QM=a1 - a1 4 = 3 4 a1 。 ∴ 点 Q ( 34 a1 ,a1 -2 ) 。 将点 Q 的坐标代入抛物线的表达式, 得 1 2 × ( 34 a1 ) 2 - 3 2 × 3 4 a1 -2 =a1 -2。 解得 a1 = 0(舍去)或 68 9 。 ∴ 点 P ( 689 , 34 9 ) 。 图 2 　 　 图 3 ②当点 P 在直线 BQ 左侧时,如图 3,过点 P 作 PN⊥x 轴于点 N,过点 Q 作 QM⊥PN 交 NP 的延长 线于点 M。 设点 N(m,0)。 ∴ 点 P ( m, 12 m ) 。 ∴ PN= 1 2 m,BN= 4-m。 ∵ △PQB∽△CAB, ∴ ∠BPQ= ∠BCA= 90°,QP AC =BP BC 。 ∴ QP BP = AC BC = 5 2 5 = 1 2 。 ∵ ∠M= ∠PNB= 90°, ∴ ∠MPQ= 90°-∠BPN= ∠NBP。 ∴ △MPQ∽△NBP。 ∴ QM PN =PM BN =PQ BP = 1 2 。 ∴ QM= 1 2 PN= 1 2 × 1 2 m= 1 4 m,PM= 1 2 BN= 1 2 (4-m)。 ∴ xQ =m+ 1 4 m= 5 4 m,yQ = 1 2 m+ 1 2 (4-m)= 2。 ∴ 点 Q ( 54 m,2 ) 。 把点 Q ( 54 m,2 )代入 y= 1 2 x2 - 3 2 x-2, 得 2 = 1 2 ( 5 4 m ) 2 - 3 2 × ( 54 m ) -2。 整理,得 25m2 -60m-128 = 0。 解得 m1 = 6+2 41 5 , m2 = 6-2 41 5 ( 不合题意, 舍去)。 ∴ 此时点 P 的坐标为 ( 6+2 415 , 3+ 41 5 ) 。 综上所述,符合条件的点 P 的坐标是 ( 689 , 34 9 ) 或 ( 6+2 415 , 3+ 41 5 ) 。 18 2024 年莱芜区学业水平第三次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A C B D D C B C B 1. D　 【解析】∵ (- 9) × ( - 19 ) = 1,∴ - 9 的倒数是 - 1 9 。 故选 D。 2. A　 【解析】13 453 万 = 134 530 000 = 1. 345 3×108。 故选 A。 3. C　 【解析】标注∠3 如图。 ∵ m∥n,∴ ∠3 = ∠1 = 35°。 ∵ AB⊥BC,∴ ∠ABC= 90°。 ∴ ∠2 = 180° - 35° - 90° = 55°。 故选 C。 4. B　 【解析】观察数轴,可知-1<m<0,2<n<3,∴ m<n。 ∴ m+n>0,-3m>-3n, |m | < | n |,5+m<n+5。 ∴ A,C,D 选项的结论错误,B 选项的结论正确。 故选 B。 5. D　 【解析】A. 不是轴对称图形,是中心对称图形, 不符合题意;B. 既不是轴对称图形,也不是中心对 称图形,不符合题意;C. 既不是轴对称图形,也不是 中心对称图形,不符合题意;D. 既是轴对称图形,又 是中心对称图形,符合题意。 故选 D。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —76— 6. D　 【解析】A. x2 ·x3 = x5,故本选项不符合题意; B. x8 ÷x2 = x6,故本选项不符合题意;C. (x-y) 2 = x2 - 2xy+y2,故本选项不符合题意;D. (x2y) 3 = x6y3,故本 选项符合题意。 故选 D。 7. C　 【解析】∵ 反比例函数 y= k x (k>0),∴ 反比例函 数 y= k x (k>0)图象分布在第一、三象限,且在每个 象限内,y 的值随 x 值的增大而减小。 ∵ 点 A( x1, -2),∴ 点 A 在第三象限。 ∴ x1 <0。 又∵ 1<2,∴ x2 > x3 >0。 ∴ x1 <x3 <x2。 故选 C。 8. B　 【解析】∵ 17 出现的次数最多,∴ 众数为 17。 将 这组数据按照从小到大的顺序排列,得 12,12,15, 16,16,17,17,17,18,20。 ∴ 中位数为16 +17 2 = 16. 5。 故选 B。 9. C　 【解析】∵ AB=AC,∠BAC= 108°, ∴ ∠B= ∠C= 36°。 由作法,可知直线 PQ 垂直平分 AC,∴ AD=CD。 ∴ ∠CAD= ∠C= 36°。 ∴ ∠BAD = 108° - 36° = 72°。 故 A 正确, 不符合 题意; ∵ ∠ADB= ∠CAD+∠C= 72°, ∴ ∠BAD= ∠ADB。 ∴ AB=BD。 ∴ BD=AC。 故 B 正 确,不符合题意; 设 AB=AC=BD= x,则 AD=CD=BC-x。 ∵ ∠DAC= ∠B= 36°,∠DCA= ∠ACB, ∴ △CDA∽△CAB。 ∴ CD CA =CA CB 。 ∴ BC -x x = x BC 。 ∴ BC= 5 +1 2 x。 ∴ CD= 5 -1 2 x。 ∴ S△ABD S△ACD =BD CD = x 5 -1 2 x = 5 +1 2 。 故 D 正确,不符合题 意;C 错误,符合题意。 故选 C。 10. B　 【解析】①如图 1,连接 AC。 ∵ 四边形 ABCD 是“对补四边形”,∠B= 90°, ∴ ∠D= 90°。 在 Rt△ABC 中,AB= 3,由勾股定理, 得 AC2 =AB2 +CB2 = 9+CB2。 在 Rt△ACD 中,AD= 2,由勾股定理, 得 AC2 =AD2 +CD2 = 4+CD2。 ∴ 9+CB2 = 4+CD2。 ∴ CD2 -CB2 = 9-4 = 5,故结论①不正确; 图 1 　 　 图 2 ②如图 2,延长 DC 到点 G,使 AE=CG,连接 BG。 则 AE+CF=CG+CF=FG。 ∵ 四边形 ABCD 是“对补四边形”, ∴ ∠A+∠BCD= 180°。 又∴ ∠BCG+∠BCD= 180°,∴ ∠A= ∠BCG。 在△BAE 和△BCG 中, AB=CB, ∠A= ∠BCG, AE=CG, { ∴ △BAE≌△BCG(SAS)。 ∴ BE=BG,∠ABE= ∠CBG。 ∵ ∠EBF= 1 2 ∠ABC, ∴ ∠EBF= ∠ABE+∠CBF = ∠CBG+∠CBF= ∠FBG。 在△BEF 和△BGF 中, BE=BG, ∠EBF= ∠GBF, BF=BF, { ∴ △BEF≌△BGF(SAS)。 ∴ EF=FG,即 AE+CF=EF。 故结论②正确; ③如图 3,在 DC 上截取 DH=DA,连接 BH。 ∵ BD 平分∠ADC, 　 图 3 ∴ ∠HDB= ∠ADB。 在△HDB 和△ADB 中, DH=DA, ∠HDB= ∠ADB, BD=BD, { ∴ △HDB≌△ADB(SAS)。 ∴ ∠DHB= ∠A,HB=AB。 ∵ ∠BHC+∠DHB= 180°, ∴ ∠BHC+∠A= 180°。 ∵ AB=CB,∴ HB=CB。 ∴ ∠C= ∠BHC。 ∴ ∠C+∠A= 180°。 ∴ 四边形 ABCD 是“对补四边形”。 故结论③正确。 ④∵ 在四边形 ABCD 中,AB=CB,BD 平分∠ADC, ∴ 由结论③正确,可得四边形 ABCD 是“对补四边 形”。 ∵ ∠ABC= 90°,∴ ∠ADC= 90°。 设 AB=CB=a,AD= b,CD= c, 则 S△ACD = 1 2 AD·CD= 1 2 bc,S△ABC = 1 2 AB·CB= 1 2 a2。 ∵ S△ACD S△ABC = 1 2 ,∴ 1 2 bc 1 2 a2 = 1 2 。 ∴ 2bc=a2。 在 Rt△ABC 和 Rt△ADC 中,由勾股定理, 得 AC2 =AB2 +BC2 =AD2 +CD2,即 a2 +a2 = b2 +c2。 ∴ 2a2 = b2 +c2,即 4bc= b2 +c2。 ∴ b2 -4bc+c2 = 0。 解这个关于 b 一元二次方程, 得 b=(2± 3)c。 ∴ 在 Rt△ACD 中, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —86— tan∠ACD= AD CD = b c = 2± 3。 故结论④不正确。 综上所述,正确的结论是②③。 故选 B。 11. (m+1) 2 　 【解析】原式=m2 +2m+12 =(m+1) 2。 12. 1 4 　 【解析】由题图,可知米粒落在图中阴影部分 的概率是 1 4 。 13. 10% 　 【解析】设每月增长的百分率是 x。 由题意,得 100(1+x) 2 = 121。 解得 x1 = 0. 1 = 10% ,x2 = - 2. 1(不符合题意,舍 去)。 所以每月增长的百分率是 10% 。 14. 8π- 16　 【解析】如图,连接 OD。 ∵ 线段 AC 交以 AB 为直径的半圆 弧于点 D,D 是 AB ( 中点,AB = 8, ∴ ∠DOB = 90°。 ∴ ∠DAO = 1 2 ∠DOB= 45°,DO=AO= 1 2 AB = 4。 ∴ 阴影部分的面 积 = ( 45·π×8 2 360 - 90π×4 2 360 - 4×4 2 ) + 90π×42 360 - 4×4 2 = 8π-16。 15. 4 　 【解析】 如 图, 过 点 A 作 AD⊥BC,垂足为 D。 由点 P 的 运动速度为 1 cm/ s,结合题图 2, 可得 AB = 4 cm, BC = 8 - 4 = 4(cm)。 ∵ ∠B= 30°,∠ADB = 90°,∴ AD = 1 2 AB = 1 2 ×4=2(cm)。 ∴ S△ABC = 1 2 BC·AD= 1 2 ×4×2=4(cm2)。 16. 7 -1　 【解析】如图,过点 M 作 MF⊥DC 交 CD 的 延长线于点 F。 ∵ 在边长为 2 的 菱 形 ABCD 中, ∠A = 60°,M 为 AD 中点,CD∥AB, ∴ 2MD = AD = CD = 2,∠FDM = ∠A= 60°。 ∴ MD= 1,∠FMD= 30°。 ∴ FD = 1 2 MD = 1 2 。 ∴ FM = 12 - ( 12 ) 2 = 3 2 。 ∴ MC= FM2 +CF2 = ( 32 ) 2 + ( 2+ 12 ) 2 = 7。 由翻折,可得 ME = MA = MD = 1,∴ EC = MC-ME = 7 -1。 17.解: | 3 -2 | +(2 024-π) 0 - 25 +tan 60° = 2- 3 +1-5+ 3 = -2。 18.解: ( 2a2 -4+ 1 a+2 ) ÷ a a-2 = 2+a-2 (a+2)(a-2) ·a -2 a = a (a+2)(a-2) ·a -2 a = 1 a+2 。 当 a= -1 时,原式= 1-1+2 = 1。 19.证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AD=CD。 ∴ ∠DAC= ∠DCA。 ∵ AE=CF,∴ AE+EF=CF+EF。 ∴ AF=CE。 在△ADF 和△CDE 中, AD=CD, ∠DAF= ∠DCE, AF=CE, { ∴ △ADF≌△CDE(SAS)。 ∴ ∠AFD= ∠CED。 20.解:(1)如图 1,过点 A 作 AI⊥BC 于点 I。 ∵ OA= 50 cm,OD= 120 cm,∴ AD=OD-OA= 70 cm。 ∵ BD= 45 cm,∴ AB=BD+AD= 115 cm。 ∵ ∠ABC= 75°, ∴ AI=AB·sin∠ABC= 115×sin 75°≈112(cm)。 答:支架顶点 A 到地面 BC 的距离约为 112 cm。 图 1 　 　 图 2 (2)如图 2,过点 O 作 OG⊥BC 于点 G,过点 A 作 AH⊥OG 于点 H。 ∵ AB=AC,∠ABC= 75°, ∴ ∠ACB= ∠ABC= 75°。 ∴ ∠BAC= 180°-∠ABC-∠ACB= 30°。 ∵ 镜面顺时针旋转 15°,即∠DAB= 15°, ∴ ∠OAC= 180°-∠DAB-∠BAC= 135°。 ∵ AI⊥BC,OG⊥BC,AH⊥OG, ∴ 四边形 AIGH 是矩形。 ∴ HG=AI= 115×sin 75°≈111. 55(cm),AH∥IG。 ∴ ∠HAC= ∠ACB= 75°。 ∴ ∠OAH= ∠OAC-∠HAC= 60°。 ∴ OH=OA×sin∠OAH= 25 3 ≈43. 25(cm)。 ∴ OG=OH+HG = 43. 25 + 111. 55 = 154. 8 ( cm) ≈ 155(cm)。 答:此时收纳镜顶部端点 O 到地面 BC 的距离约为 155 cm。 21.解:(1)王老师抽取了 40÷40% = 100(名)学生的参 赛成绩。 故答案为 100。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —96— (2)由题意,得 m= 100×10% = 10,n= 100×35% = 35。 补全条形统计图如图所示: (3)1 600×(35% +40% )= 1 200(人)。 所以估计竞赛成绩在良好及以上( x≥80)的学生 有 1 200 人。 (4)列表如下: A B C D A (A,A) (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,C) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D) 共有 16 种等可能的结果,其中两个班同时选中同 一套试卷的结果有(A,A),(B,B),(C,C),(D,D) 共 4 种, 所以两个班同时选中同一套试卷的概率为 4 16 = 1 4 。 22.解:(1)证明:如图,连接 OD 交 AC 于点 H。 ∵ AD=CD,∴ AD ( =CD ( 。 ∴ 半径 OD⊥AC。 ∵ MD 与☉O 相切,∴ OD⊥MD。 ∴ AC∥MD。 ∴ ∠ADM= ∠DAC。 (2)如图,连接 BD,延长 BC 交直线 l 于点 N。 ∵ AD=CD, ∴ ∠ACD= ∠CAD。 ∵ AB 为☉O 的直径,∴ ∠ACB= 90°。 由(1),知 AC∥MN。 ∴ ∠ABD= ∠ACD= ∠CDN= ∠DAC, ∠ADB= ∠ACB= ∠BNM= ∠AHO= ∠MDO= 90°。 ∴ sin∠ABD=sin∠CDN=sin∠ACD=sin∠DAC= 1 2 。 ∵ AB= 12,∴ AD=AB·sin∠ABD= 12× 1 2 = 6。 ∵ AD=CD,∴ CD= 6。 ∴ CN=CD·sin∠CDN= 6× 1 2 = 3。 ∴ DN= CD2 -CN2 = 62 -32 = 3 3 。 ∵ ∠CND= ∠CHD= ∠NDH= 90°, ∴ 四边形 CNDH 是矩形。 ∴ CH=DN= 3 3 。 ∵ OD⊥AC,∴ AC= 2CH= 6 3 。 在 Rt△ABC 中, BC= AB2 -AC2 = 122 -(6 3 ) 2 = 6。 ∵ AC∥MN,∴ AM AB =CN BC ,即AM 12 = 3 6 。 ∴ AM= 6。 ∴ AM 的长为 6。 23.解:(1)设钢笔的单价为 x 元,则笔记本的单价为 (x-12)元。 根据题意,得 960 x-12 = 1 200 x ×2,解得 x= 20。 经检验,x= 20 是所列分式方程的解,且符合题意。 所以 x-12 = 20-12 = 8。 答:钢笔单价为 20 元,笔记本单价为 8 元。 (2)设购买钢笔 m 支,则购买笔记本(200-m)本。 根据题意,得 20×0. 8m+8×0. 8(200-m)≥1 856, 20×0. 8m+8×0. 8(200-m)≤1 880。{ 解得 60≤m≤62. 5。 ∵ m 为正整数,∴ m= 60,61,62。 ∴ 购买钢笔、笔记本两种奖品有 3 种方案: ①购买钢笔 60 支,笔记本 140 本; ②购买钢笔 61 支,笔记本 139 本; ③购买钢笔 62 支,笔记本 138 本。 24.解:(1)根据题意,令- 3 x = x+n, 即 x2 +nx+3 = 0。 ∵ 反比例函数 y= - 3 x 的图象与一次函数 y= x+n 的图象只有一个公共点, ∴ Δ=n2 -4×1×3 = 0。 解得 n= ±2 3 。 ∴ n 的值为±2 3 。 (2)如图 1,作点 A 关于 y 轴的对称点 A′,连接 BA′,交 y 轴与点 M,连接 AM。 ∵ 反比例函数 y= - 3 x 的图象经过点 A(a,3), ∴ 3 = - 3 a 。 ∴ a= -1。 ∴ 点 A(-1,3)。 将点 A(-1,3)代入 y= x+n,得 3 = -1+n。 ∴ n= 4。 ∴ 一次函数的表达式为 y= x+4。 联立反比例函数与一次函数的表达式, 得 y= - 3 x , y= x+4。 { 解得 x1 = -1,y1 = 3{ 或 x2 = -3, y2 = 1。 { 根据题意,得点 B -3,1( ) 。 ∵ 点 A 与点 A′关于 y 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —07— 轴对称,∴ 点 A′ 1,3( ) 。 ∵ AM=A′M, ∴ AM+BM+AB=A′M+BM+AB=A′B+AB。 此时△MAB 的周长最小,为 A′B+AB 的长。 ∵ 点 A(-1,3),B(-3,1),A′(1,3), ∴ AB= (-1+3) 2 +(3-1) 2 = 2 2 , A′B= (1+3) 2 +(3-1) 2 = 2 5 。 ∴ △MAB 周长的最小值为 A′B+AB= 2 2 + 5( ) 。 设直线 A′B 的表达式为 y= kx+b,将 A′(1,3), B(-3,1)代入, 得 1 = -3k+b, 3 = k+b。{ 解得 k= 1 2 , b= 5 2 。 ì î í ï ï ï ï ∴ 直线 A′B 的表达式为 y= 1 2 x+ 5 2 。 令 x= 0,得 y= 5 2 。 ∴ 点 M 的坐标为 0, 5 2( ) 。 图 1 　 　 图 2 (3)如图 2,过点 P,Q 作 x 轴的垂线,与过点 A 的 x 轴的平行线分别交于点 E,F。 设点 P (m,- 3m ) (m<0)。 ∵ 点 A(-1,3),∴ 点 E(m,3)。 ∴ AE= -1-m= -(1+m),EP= 3- ( - 3m ) = 3+ 3 m 。 由旋转,知 AP=AQ,∠PAQ= 90°。 ∴ ∠EAP+∠QAF= ∠EAP+∠APE= 90°。 ∴ ∠QAF= ∠APE。 ∵ ∠E= ∠F= 90°, ∴ △QAF≌△APE(AAS)。 ∴ QF=AE= -(1+m),AF=EP= 3+ 3 m 。 ∴ 点 Q 的坐标为 ( 3+ 3m - 1,3+ 1+m ) ,即 ( 2+ 3 m , 4+m ) 。 ∵ 点 Q 在反比例函数图象上, ∴ (4+m) ( 2+ 3m ) = -3,即 m 2 +7m+6 = 0, 解得 m= -6 或-1(舍去)。 ∴ 点 P ( -6, 12 ) 。 25.解:(1)如图 1,延长 BD′交 CF′于点 G。 ∵ α= 90°,∴ ∠CAF′= 90°。 ∵ AD=AF, ∴ 点 D′与点 F 重合。 ∵ 在正方形 ADEF 中,∠CAD= 90°, ∴ ∠CAD= ∠CAF′= 90°。 由旋转的性质,得 AF=AF′,AB=AC。 ∴ △ABF≌△ACF′(SAS)。 ∴ ∠C= ∠B,BF=CF′。 ∵ 点 D′与点 F 重合,∴ BD′=CF′。 ∵ ∠CFG= ∠AFB,∠AFB+∠B= 90°, ∴ ∠C+∠CFG= 90°。 ∴ ∠CGF= 90°。 ∴ BG⊥CF′。 ∴ BD′⊥CF′。 故答案为 BD′=CF′,BD′⊥CF′。 图 1 　 　 图 2 (2)(1)中的结论仍然成立。 证明:如图 2,设 BD′与 AC,CF′分别交于点 G,H。 由旋转的性质,得∠DAF = ∠D′AF′ = 90°,AD′ = AF′,AB=AC。 ∴ ∠DAF+∠CAD′= ∠D′AF′+∠CAD′。 ∴ ∠CAF′= ∠BAD′。 ∴ △ABD′≌△ACF′(SAS)。 ∴ ∠C= ∠B,BD′=CF′。 ∵ ∠AGB= ∠CGD′,∠B+∠AGB= 90°, ∴ ∠C+∠CGH= 90°。 ∴ ∠CHG= 90°。 ∴ BD′⊥CF′。 (3)如图 3,连接 ME,BC,过点 M 作 MQ⊥AB 交 BA 的延长线与点 Q。 图 3 　 　 图 4 由(1)(2),可得 BD′⊥CF′,即∠BMC= 90°。 ∴ 点 M 在以 BC 为直径的圆弧上运动。 ∵ AB=4,AD=2,∴ BD=AD=2。 ∵ ∠EDB=∠CAB=90°, ∴ ED∥CA。 ∴ BE BC =BD BA = 1 2 。 ∴ BE=CE= 1 2 BC。 ∴ E 是 BC 的中点。 ∵ ∠CAB= 90°,∴ AE=CE=BE。 ∴ 以 BC 为直径的圆弧经过点 A,圆心为 E。 当点 M 与点 E′重合时,∵ ∠BE′F′= 90°,∠D′E′F′ = 90°,∴ B,D′,M 三点共线。 此时点 M 到直线 AB 有最大距离,为 E′Q 的长。 ∵ ∠AD′E′= 90°,∴ ∠AD′B= 90°。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —17— ∴ ∠AD′B= ∠E′QB= 90°。 ∴ sin∠ABE′=AD′ AB =E′Q BE′ = 2 4 = 1 2 。 ∵ BD′= AB2 -(AD′) 2 = 2 3 ,D′E′= 2, ∴ BE′=BD′+D′E′= 2+2 3 。 ∴ E′Q= 1 2 BE′= 1+ 3 。 ∴ 点 M 到直线 AB 的最大距离为 1+ 3 。 如图 4,当点 M 与点 A 重合时, 点 M 到直线 AB 有最小距离,为 0。 综上,点 M 到直线 AB 的最大距离为 1+ 3 ,最小距 离为 0。 26.解:(1)把点 A(1,0),B(-5,0)代入 y=ax2+bx+10 3 , 得 a+b+ 10 3 = 0, 25a-5b+ 10 3 = 0。 ì î í ï ï ï ï 解得 a= - 2 3 , b= - 8 3 。 ì î í ï ï ï ï ∴ 抛物线的表达式为 y= - 2 3 x2 - 8 3 x+10 3 。 ∵ y= - 2 3 x2 - 8 3 x+10 3 = - 2 3 (x+2) 2 +6, ∴ 抛物线的顶点 D 的坐标为(-2,6)。 (2)在 y= - 2 3 x2 - 8 3 x+10 3 中,令 x= 0,得 y= 10 3 。 ∴ 点 C ( 0,103 ) 。 ∵ Q 为 OC 的中点,∴ 点 Q ( 0, 53 ) 。 由点 B(-5,0),Q ( 0, 53 ) ,得 直线 BQ 的表达式为 y= 1 3 x+ 5 3 。 ∵ 动点 P 在第二象限的抛物线上运动,横坐标 为 t, ∴ 点 P ( t,- 23 t 2 - 8 3 t+10 3 ) ,点 M ( t, 1 3 t+ 5 3 ) 。 ∴ PM= - 2 3 t2 - 8 3 t + 10 3 - ( 13 t + 5 3 ) = - 2 3 t2 - 3t+ 5 3 。 ∴ PM 的长为- 2 3 t2 -3t+ 5 3 (-5<t<0)。 (3)当 tan∠BED= 4 3 时,PM+MN 存在最大值。 由点 C ( 0,103 ) ,点 D(-2,6), 得直线 CD 的表达式为 y= - 4 3 x+10 3 。 ∴ 点 J ( t,- 43 t+ 10 3 ) 。 ∵ 点 M ( t, 1 3 t+ 5 3 ) , ∴ JM= - 4 3 t+10 3 - ( 13 t+ 5 3 ) = - 5 3 t+ 5 3 。 ∵ PH⊥x 轴,MN⊥DE, ∴ ∠JMN= 90°-∠MJN= ∠BED。 ∵ tan∠BED= 4 3 ,∴ tan∠JMN= 4 3 。 ∴ JN MN = 4 3 。 设 JN= 4k,则 MN= 3k。 ∴ JM= JN2 +MN2 = 5k。 ∴ MN= 3 5 JM。 ∴ MN= 3 5 ( - 5 3 t+ 5 3 ) = -t+1。 由(2),知 PM= - 2 3 t2 -3t+ 5 3 。 ∴ PM+MN= - 2 3 t2 -3t+ 5 3 +(-t+1) = - 2 3 t2 -4t+ 8 3 = - 2 3 ( t+3) 2 +26 3 。 ∵ - 2 3 <0,∴ 抛物线开口向下。 ∴ 当 t= -3 时,PM+MN 取最大值,最大值为26 3 。 19 2025 年学业水平考试预测模拟卷(一) 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B D D C B A B D D 1. A　 【解析】由题可得,六棱柱的左视图是两个相邻 的宽相等的长方形,如图。 故选 A。 2. B　 【解析】140 000 000 = 1. 4×108。 故选 B。 3. D　 【解析】如图,标注字母 E,F 位置。 ∵ a∥b,∠1 = 45°, ∴ ∠AEF= ∠1 = 45°。 ∵ ∠A= 30°, ∠AEF 是△ABE 的外角, ∴ ∠2 = ∠AEF-∠A= 15°。 故选 D。 4. D　 【解析】由数轴上 a,b,c 三个实数对应的位置可 知,a<b<0<c。 a+b<0,bc<0,a<-c。 故 A,B,C 选项 错误。 故选 D。 5. C 　 【解析】A 图形是中心对称图形,不是轴对称图 形;B 图形既不是轴对称图形,也不是中心对称图 形;C 图形既是轴对称图形又是中心对称图形;D 图 形是中心对称图形,不是轴对称图形。 故选 C。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —27— — 103 — — 104 — — 105 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1. -9 的倒数是 (　 　 ) A. -9 B. 9 C. 1 9 D. - 1 9 2. 2023 年我国小麦产量 13 453 万吨。 数据“13 453 万”用科学记数法表示为 (　 　 ) A. 1. 345 3×108 B. 1. 345 3×104 C. 13. 453×104 D. 0. 134 53×106 3. 如图,直线 m∥n,点 B 在直线 n 上,且 AB⊥BC,∠1 = 35°,则∠2 的度数为 (　 　 ) A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 第 3 题图 　 　 　 第 9 题图 4. 实数 m,n 在数轴上对应点的位置如图所示,下列结论正确的是 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. m+n<0 B. -3m>-3n C. |m | > | n | D. 5+m>n+5 5. 如图,下列四个图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (　 　 ) A. B. C. D. 6. 下列各式运算正确的是 (　 　 ) A. x2·x3 = x6 B. x8 ÷x2 = x4 C. (x-y) 2 = x2 -y2 D. (x2y) 3 = x6y3 7. 若点 A(x1,-2),B(x2,1),C(x3,2)都在反比例函数 y= k x (k>0)的图象上,则 x1,x2,x3 的大小关系是 (　 　 ) A. x3 <x2 <x1 B. x2 <x1 <x3 C. x1 <x3 <x2 D. x2 <x3 <x1 8. 2024 年,国内文化和旅游行业复苏势头强劲。 某社团对 10 个地区“五一”假期的旅游人数进行了调 查,获得了他们“五一”假期旅游人数(单位:百万):12,16,12,16,18,17,17,20,17,15。 这组数据的 中位数和众数分别是 (　 　 ) A. 16,16 B. 16. 5,17 C. 17,17 D. 17,16 9. 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC= 108°,分别以点 A,C 为圆心,以大于 1 2 AC 的长为半径作弧,两弧 分别相交于点 P,Q,作直线 PQ 交 BC 于点 D,连接 AD。 以下结论不正确的是 (　 　 ) A. ∠BAD= 72° B. BD=AC C. S△ABD S△ACD = 5 -1 2 D. BD CD = 5 +1 2 10. 定义:有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”。 例如,在四边形 ABCD 中,若∠A+∠C= 180°或 ∠B+∠D= 180°,则四边形 ABCD 是“对补四边形”。 ①如图 1,四边形 ABCD 是“对补四边形”,若 ∠B= 90°,且 AB= 3,AD= 2,则 CD2 -CB2 = 1;②如图 2,四边形 ABCD 是“对补四边形”,当 AB =CB, 且∠EBF= 1 2 ∠ABC 时,图中 AE,CF,EF 之间的数量关系是 AE+CF =EF;③如图 3,在四边形 ABCD 中,AB=CB,BD 平分∠ADC,则四边形 ABCD 是“对补四边形”;④如图 4,在四边形 ABCD 中,∠ABC = 90°,AB=CB,BD 平分∠ADC,且 S△ACD S△ABC = 1 2 时,则 tan∠ACD= 3± 3 。 以上结论正确的是 (　 　 ) 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 　 　 图 4 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 二、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. 因式分解:m2 +2m+1 = 。 12. 如图,随机地投放一粒米,米粒落在阴影部分(边界忽略不计)的概率是 。 第 12 题图 　 第 14 题图 　 图 1 　 图 2 第 15 题图 　 第 16 题图 13. 某小微企业今年 1 月份的利润为 100 万元,3 月份的利润上升到 121 万元,若 1 至 3 月利润的增长 率相同,则每月增长的百分率是 。 14. 如图,以半圆上的点 A 为圆心,AB 长为半径作扇形 ABC,线段 AC 与弧 AB 交于弧 AB 的中点 D,若 AB= 8,则阴影部分面积 S= 。 (结果保留 π) 15. 如图 1,在△ABC 中,∠B= 30°,动点 P 从点 A 出发,沿折线 A→B→C 匀速运动至点 C 停止,若点 P 的运动速度为 1 cm / s,设点 P 的运动时间为 t(s),AP 的长度为 y(cm),y 与 t 的函数图象如图 2 所 示,△ABC 的面积为 cm2。 16. 如图,在边长为 2 的菱形 ABCD 中,∠A= 60°,M 是 AD 边的中点,连接 MC,将菱形 ABCD 翻折,使点 A 落在线段 CM 上的点 E 处,折痕交 AB 于点 N,则线段 EC 的长为 。 三、解答题(本题共 10 小题,共计 86 分) 17. (6 分)计算: | 3 -2 | +(2 024-π) 0 - 25 +tan 60°。 18. (6 分)先化简,再求值: ( 2 a2 -4 + 1 a+2 ) ÷ a a-2 ,其中 a= -1。 19. (6 分)如图,在菱形 ABCD 中,E,F 是对角线 AC 上两点,AE=CF,连接 DE,DF。 求证:∠AFD= ∠CED。 20. (8 分)简约大气是人们的新追求。 如图 1 是一款简约的落地收纳镜,其支架的形状固定不变,镜面 可随意调节,其侧面示意图如图 2,其中 OD 为镜面,EF 为放置物品的收纳架,AB,AC 为等长的支 架,BC 为水平地面,已知 OA= 50 cm,OD= 120 cm,BD= 45 cm,∠ABC= 75°。 (1)求支架顶点 A 到地面 BC 的距离; (2)如图 3,将镜面顺时针旋转 15°,求此时收纳镜顶部端点 O 到地面 BC 的距离。 (结果精确到 1 cm。 参考数据:sin 75°≈0. 97,cos 75°≈0. 26,tan 75°≈3. 73, 2 ≈1. 41, 3 ≈1. 73) 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 18 2024 年莱芜区学业水平第三次模拟试题 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 106 — — 107 — — 108 — 21. (8 分)为加强法制和安全教育,某学校印发了上级主管部门的“法治和安全知识”等学习材料。 经 过一段时间的学习,同学们都表示有了提高,为了解具体情况,学校开展了一次全校性竞赛活动,王 老师抽取了这次竞赛中部分同学的成绩,并绘制了下面不完整的统计图表。 参赛 成绩 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x≤100 人数 m 15 n 40 级别 及格 中等 良好 优秀 　 　 请根据所给的信息,解答下列问题。 (1)王老师抽取了 名学生的参赛成绩; (2)将条形统计图补充完整; (3)若该校有 1 600 名学生,请估计竞赛成绩在良好及以上(x≥80)的学生有多少人? (4)在本次竞赛中,学校发现六年级(1)班、七年级(4)班的成绩不理想,要求这两个班加强学习一 段时间后,再由电脑随机从 A,B,C,D 四套试卷中给每班派发一套试卷进行测试,请用列表或画树 状图的方法求出两个班同时选中同一套试卷的概率。 22. (8 分)如图,四边形 ABCD 内接于☉O,AB 为☉O 直径,AD=CD,过点 D 的切线 l 交 BA 的延长线于 点 M。 (1)求证:∠ADM= ∠DAC; (2)当 AB= 12,sin∠DAC= 1 2 时,求 AM 的长。 23. (10 分)某学校为参加春运会的同学准备了钢笔和笔记本两种奖品,已知每支钢笔比每本笔记本贵 12 元。 学校计划用 1 200 元购买钢笔,960 元购买笔记本,购买笔记本的数量是钢笔数量的 2 倍。 (1)求钢笔和笔记本两种奖品的单价; (2)购买当日正逢商店周年庆典,所有商品均按原价八折销售,学校调整了购买方案:计划购买钢 笔、笔记本两种奖品共 200 件,购买资金不少于 1 856 元且不超过 1 880 元,问购买钢笔、笔记本两 种奖品有哪几种方案? 24. (10 分)已知反比例函数 y= - 3 x 的图象经过点 A(a,3),且与一次函数 y = x+n 的图象在同一坐标 系中。 (1)如图 1,当反比例函数 y= - 3 x 的图象与一次函数 y= x+n 的图象只有一个公共点时,求 n 的值; (2)如图 2,当直线 y= x+n 经过点 A 时,它与反比例函数 y= - 3 x 的图象的另一个交点记为 B,在 y 轴 上有一点 M,使△MAB 的周长最小,求出点 M 的坐标及△MAB 周长的最小值; (3)如图 3,P 是反比例函数图象上点 A 左侧一点,连接 AP,把线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 90°,点 P 的对应点 Q 恰好也落在这个反比例函数的图象上,求点 P 的坐标。 图 1 　 　 　 图 2 　 　 　 图 3 25. (12 分)如图,线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°得到 AC,正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转,旋转角为 α,AB= 4,AD= 2,点 D,F 分别在 AB,AC 上。 (1) 如图 1, 当 α = 90° 时, 连接 BD′, CF′, 则 BD′与 CF′的数量关系是 , 位置关系 是 ; (2)如图 2,当 90°<α<180°时,(1)中的结论是否成立? 若成立,请证明;若不成立,请说明理由; (3)在正方形 ADEF 绕点 A 旋转过程中,若直线 BD′与直线 CF′相交于点 M,直接写出点 M 到直线 AB 的最大距离和最小距离。 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 26. (12 分)如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2 +bx+10 3 与 x 轴交于 A(1,0),B( -5,0)两点,与 y 轴交于点 C,顶点为 D。 (1)求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标; (2)如图 2,若 Q 为 OC 的中点,连接 BQ,动点 P 在第二象限的抛物线上运动,横坐标为 t,过点 P 作 PH⊥x 轴于点 H,交 BQ 于点 M,请用含 t 的代数式表示 PM 的长; (3)如图 3,直线 DC 交 x 轴于点 E,若直线 PH 交直线 ED 于点 J,过点 M 作 MN⊥DE 于点 N,当 tan∠BED= 4 3 时,PM+MN 是否存在最大值? 若存在,求出 t 值及最大值;若不存在,请说明理由。 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3