17 2024年天桥区学业水平第三次模拟试题-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东济南专版）

— 97 — — 98 — — 99 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1. 下列几何体放置在水平面上,其中俯视图是圆的几何体为 (　 　 ) A. B. C. D. 2. 据统计,2022 年我市城乡居民人均生活消费支出为 41 500 元,将 41 500 用科学记数法表示为 (　 　 ) A. 4. 15×104 B. 0. 415×104 C. 0. 415×105 D. 4. 15×105 3. 如图,一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上,若∠2 = 35°,则∠1 的度数为 (　 　 ) A. 45° B. 55° C. 65° D. 75° 第 3 题图 　 　 　 　 　 第 9 题图 4. 有理数 a,b 在数轴上的对应点的位置如图所示,下列式子成立的是 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 A. a>b B. a b <-1 C. | a | > | b | D. -a>-b 5. 如下四幅图是我国一些博物馆的标志,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (　 　 ) A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是 (　 　 ) A. a+2a2 = 3a2 B. a10 ÷a2 =a5 C. a4·a2 =a8 D. (a3) 2 =a6 7. 若点 A( -1,y1),B(2,y2),C(3,y3)在反比例函数 y= - 6 x 的图象上,则 y1,y2,y3 的大小关系是 (　 　 ) A. y1 >y2 >y3 B. y2 >y3 >y1 C. y1 >y3 >y2 D. y3 >y2 >y1 8. 小明计划到周口市体验民俗文化,想从“沈丘回族文狮舞”“传统戏剧越调” “八音楼子” “泥塑”四种 民俗文化中任意选择两项,则小明选择体验“八音楼子”“泥塑”的概率为 (　 　 ) A. 1 3 B. 1 4 C. 3 4 D. 1 6 9. 如图,在▱ABCD 中,用直尺和圆规作∠BAD 的平分线 AG 交 BC 于点 E。 若 BF = 8,AB = 5,则 AE 的 长为 (　 　 ) A. 5 B. 6 C. 8 D. 12 10. 对于一个各个数位上的数字均不相等且均不为零的三位自然数 m,若 m 的十位数字分别小于 m 的 百位数字与个位数字,则称 m 为“义渡数”,例如最小的“义渡数”是 213。 当三位自然数为“义渡 数”时,重新排列 m 各个数位上的数字可得到一个最大数 m1 和一个最小数 m2,规定 F(m) = m1 -m2 99 。 例如:m= 524,因为 2<5,2<4,所以 524 是“义渡数”,且 F(524)= 542 -245 99 。 若三位自然数 n= 100x+10y+z 是“义渡数”(其中 1≤x≤9,1≤y≤9,1≤z≤9,x,y,z 均为整数),且 n 的个位数字小 于百位数字,F(n) +2x= 20,求满足条件的所有三位自然数 n 的最大值是 (　 　 ) A. 977 B. 978 C. 979 D. 867 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共计 24 分) 11. 分解因式:m2 -n2 = 。 12. 关于 x 的一元二次方程 x2 -4x+2m= 0 的一个根 x1 = 4,则 m= 。 13. 当今大数据时代,“二维码”广泛应用于我们的日常生活,某兴趣小组从某个二维码中开展数学实 验活动。 如图,在边长为 5 cm 的正方形区域内,为了估计图中黑白部分的面积,在正方形区域内随 机掷点,经过大量重复试验,发现点落入黑色部分的频率稳定在 0. 35 左右,据此可以估计黑色部分 的总面积为 cm2。 第 13 题图 　 　 图 1 → 图 2 第 14 题图 　 　 第 15 题图 　 　 第 16 题图 14. 如图,图 1 是等边三角形铁丝框 ABC,按图 2 方式变形成以点 A 为圆心,AB 长为半径的扇形(图形 周长保持不变),若所得扇形 ABC 的面积是 2,则△ABC 的面积为 。 15. 如图,已知 A 地在 B 地正南方 3 千米处,甲、乙两人同时分别从 A,B 两地向正北方向匀速直行,他 们与 A 地的距离 s(千米)与所行的时间 t(时)之间的函数关系图象用如图所示的 AC 和 BD 表示, 当他们行走 3 小时后,他们之间的距离为 千米。 16. 如图,正方形 ABCD 的边长是 18,E 是边 AB 上的一个动点,F 是边 CD 上一点,CF= 8,连接 EF,把正 方形 ABCD 沿 EF 折叠,使点 A,D 分别落在点 A′,D′处,当点 D′落在直线 BC 上时,线段 AE 的长 为 。 三、解答题(本大题共 10 小题,共计 86 分) 17. (6 分)计算:(π-1) 0 +4sin 45°- 8 + | -3 | 。 18. (6 分)解不等式组: 2+x≥7-4x, x<4 +x 2 , ì î í ï ï ï ï 并写出不等式组的所有整数解。 19. (6 分)如图,在矩形 ABCD 中,过对角线 BD 的中点 O 作 BD 的垂线 EF,分别交 AD,BC 于点 E,F。 求证:AE=CF。 20. (8 分)图 1,图 2 分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图,根据商品介绍,获得了如下信息: 滑杆 DE,箱长 BC,拉杆 AB 的长度都相等,即 DE =BC = AB,点 B,F 在线段 AC 上,点 C 在线段 DE 上,支杆 DF= 40 cm,CE ∶ CD= 1 ∶ 4,∠DCF= 45°,∠CDF= 37°。 请根据以上信息,解决下列问题。 (1)求滑竿 DE 的长度; (2)求拉杆端点 A 到水平滑杆 ED 的距离。 (结果精确到 1 cm。 参考数据:sin 37°≈ 3 5 ,cos 37°≈ 4 5 ,tan 37°≈ 3 4 , 2 ≈1. 414) 图 1 　 　 　 图 2 21. (8 分)某中学在“世界读书日”举行知识竞赛活动,800 名七年级学生全部参赛,从中随机抽取 n 名 学生的竞赛成绩按以下五组进行整理(得分用 x 表示): A:50≤x<60;B:60≤x<70;C:70≤x<80;D:80≤x<90;E:90≤x≤100, 并绘制了如图所示的七年级竞赛成绩频数直方图。 已知 C 组的全部数据如下:71,73,70,75,76,78,76,77,76,77,79。 请根据以上信息,完成下列问题。 (1)n= ,抽取的 n 名学生竞赛成绩的中位数是 ; 17 2024 年天桥区学业水平第三次模拟试题 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 100 — — 101 — — 102 — (2)若将抽取的 n 名学生成绩绘制成扇形统计图,则 D 组所在扇形的圆心角为 °; (3)学校将对 80 分以上(含 80 分)的学生授予“小书虫”称号,请根据以上统计信息,估计该校七年 级被授予“小书虫”称号的学生数。 七年级竞赛成绩频数直方图 22. (8 分)如图,AB 为☉O 的直径,C 为圆周上一点,OC 的延长线交☉O 的切线 BD 于点 D,AC 的延长 线交☉O 的切线 BD 于点 E。 (1)若∠A= 35°,求∠DBC 的度数; (2)若 AB= 8,sin D= 2 3 ,求 DE 的长。 23. (10 分)北京时间 2023 年 12 月 18 日 23 时 59 分,位于甘肃东南部的积石山发生 6. 2 级地震,造成 重大人员伤亡和财产损失。 “一方有难,八方支援”,我县某中学决定捐款采购一批棉衣和棉被等 物资支援灾区,已知棉衣的单价比棉被的单价贵 50 元,且用 1 000 元购买棉衣的数量与用 800 元购 买棉被的数量相同。 (1)求棉衣的单价; (2)该中学准备购买棉衣、棉被共 100 件,且购买总费用不超过 22 000 元,最多可以购买多少件 棉衣? 24. (10 分)如图,一次函数 y= kx+b 的图象与反比例函数 y= k1 x 的图象交于 A(1,4),B(4,m)两点,连接 AO 并延长交反比例函数图象于点 C,连接 OB。 (1)求一次函数与反比例函数的表达式; (2)求△AOB 的面积; (3)在 x 轴上是否存在点 P,使得△PAC 是直角三角形? 若存在,请求出点 P 坐标;若不存在,请说 明理由。 25. (12 分)回答下列问题: (1)如图 1,菱形 AEGH 的顶点 E,H 在菱形 ABCD 的边上,且∠BAD= 60°,请直接写出 HD ∶ GC ∶ EB 的结果(不必写计算过程); (2)将图 1 中的菱形 AEGH 绕点 A 旋转一定角度,如图 2,求 HD ∶ GC ∶ EB 的值; (3)把图 2 中的菱形都换成矩形,如图 3,且 AD ∶ AB=AH ∶ AE= 1 ∶ 2,此时 HD ∶ GC ∶ EB 的结果与 (2)中的结果相比有变化吗? 如果有变化,直接写出变化后的结果(不必写计算过程);若无变化, 请说明理由。 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 26. (12 分)在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2 -3ax+c 与 x 轴分别交于 A( -1,0),B 两点,与 y 轴交于 点 C(0,-2)。 (1)求抛物线的函数表达式; (2)如图 1,D 为第四象限抛物线上一点,连接 AD,BC 交于点 E,求DE AE 的最大值; (3)如图 2,连接 AC,BC,过点 O 作直线 l∥BC,点 P,Q 分别为直线 l 和抛物线上的点,试探究:在第 一象限中是否存在这样的点 P,Q,使△PQB∽△CAB? 若存在,请求出所有符合条件的点 P 的坐 标;若不存在,请说明理由。 图 1 　 　 　 图 2 ∴ △ABE≌△BCG(ASA)。 ∴ AE=BG。 ∵ BG⊥AE,∴ 四边形 ABEG 是“神奇四边形”。 故答案为是。 ②证明:∵ M,N 为 AB,AG 的中点, ∴ MN 为△ABG 的中位线。 ∴ MN∥BG,MN= 1 2 BG。 同理可得,PQ∥BG,PQ= 1 2 BG,MQ∥AE, MQ= 1 2 AE,NP∥AE,NP= 1 2 AE。 ∴ MN=PQ,MQ=NP。 ∴ 四边形 MNPQ 为平行四边形。 ∵ AE=BG,∴ MN=MQ。 ∴ 平行四边形 MNPQ 为菱形。 ∵ BG⊥AE,MQ∥AE,∴ MQ⊥BG。 ∵ MN∥BG,∴ MQ⊥MN。 ∴ ∠QMN= 90°。 ∴ 四边形 MNPQ 为正方形。 ∴ 四边形 MNPQ 是“神奇四边形”。 (3)如图,延长 AO 交 BC 于点 S。 由翻折的性质,可知 BF =B′F,AB′ =BS= 2,AO=SO,∠B′= ∠B。 ∵ 四边形 ABCD 是正方形,边长 为 6, ∴ AB= 6,∠B= 90°。 ∴ AS= AB2 +BS2 = 62 +22 = 2 10 , ∠B′= ∠B= 90°。 ∴ AO= 1 2 AS= 10 。 设 AF= x,则 BF=B′F= 6-x。 在 Rt△AB′F 中,由勾股定理,得 22 +(6-x) 2 = x2 ,∴ x= 10 3 。 ∴ AF= 10 3 。 ∵ AO⊥FR,∴ ∠AOF= 90°。 ∴ OF= AF2 -AO2 = ( 103 ) 2 -( 10 ) 2 = 10 3 。 ∴ 线段 OF 的长为 10 3 。 17 2024 年天桥区学业水平第三次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A A B D A D C D B B 1. A　 【解析】A 的俯视图是一个圆,故本选项符合题 意;B 的俯视图是一个矩形,故本选项不符合题意; C 的俯视图是一个三角形,故本选项不符合题意;D 的俯视图是一个矩形,故本选项不符合题意。 故 选 A。 2. A　 【解析】41 500 = 4. 15×104。 故选 A。 3. B　 【解析】如图,作 EF∥AB。 ∵ AB∥CD, ∴ EF∥AB∥CD。 ∴ ∠2 = ∠AEF = 35°, ∠1 = ∠FEC。 ∵ ∠AEC= 90°,∴ ∠1 = 90°-35° = 55°。 故选 B。 4. D　 【解析】由数轴,可得-2<a<-1,2<b<3,∴ 1<-a< 2,-3<-b<-2。 ∵ a 到原点距离小于 b 到原点距离, ∴ | a | < | b | ,-1< a b <0。 故 A,B,C 错误,D 正确。 故 选 D。 5. A　 【解析】A. 既是轴对称图形又是中心对称图形, 故本选项符合题意;B. 是轴对称图形,但不是中心 对称图形,故本选项不符合题意;C. 既不是轴对称 图形,也不是中心对称图形,故本选项不符合题意; D. 是轴对称图形,但不是中心对称图形,故本选项 不符合题意。 故选 A。 6. D　 【解析】A. a 与 2a2 不是同类项,不能合并,此选 项不符合题意;B. 原式 = a8,此选项不符合题意; C. 原式=a6,此选项不符合题意;D. 原式 = a6,此选 项符合题意。 故选 D。 7. C　 【解析】∵ 点 A(-1,y1),B(2,y2),C(3,y3)在反 比例函数 y= - 6 x 的图象上,∴ y1 = - 6 -1 = 6,y2 = - 6 2 = -3,y3 = - 6 3 = - 2。 又∵ - 3< - 2< 6,∴ y1 >y3 >y2。 故选 C。 8. D　 【解析】把“沈丘回族文狮舞” “传统戏剧越调” “八音楼子” “泥塑”四种民俗文化分别记为 A,B, C,D,画树状图如下: 共有 12 种等可能的结果,其中小明选择体验“八音 楼子”“泥塑”的结果有 2 种,所以小明选择体验“八 音楼子”“泥塑”的概率为 2 12 = 1 6 。 故选 D。 9. B　 【解析】设 AG 和 BF 相交于点 O。 ∵ ∠BAD 的平 分线 AG 交 BC 于点 E,∴ ∠FAE = ∠BAE。 由作图, 可知 AF = AB,AO = AO,∴ △FAO≌ △BAO ( SAS)。 ∴ ∠AOF= ∠AOB= 90°,FO =BO = 1 2 BF = 4,AB = 5。 ∴ 在 Rt△AOB 中,AO = 52 -42 = 3。 ∵ 在▱ABCD 中,AD∥BC, ∴ ∠DAG = ∠AEB, ∠FAE = ∠BAE。 ∴ ∠AEB = ∠BAE。 ∴ AB = BE。 ∵ ∠AOB = 90°, ∴ AO=EO= 3。 ∴ AE= 6。 故选 B。 10. B 　 【 解 析 】 由 题 意, 可 知 F ( n ) = 100x+10z+y-100y-10z-x 99 = x-y,∵ F(n)+2x = 20, ∴ x-y+2x = 20,∴ y = 3x- 20,∵ y< z<x,∴ 当 x = 7 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —36— 时,y= 1,若 n 最大,则 z = 6;当 x = 8 时,y = 4,若 n 最大,则 z= 7;当 x= 9 时,y= 7,若 n 最大,则 z= 8。 ∴ n 的最大是 978。 故选 B。 11. (m+n)(m-n) 　 【解析】m2 -n2 =(m+n)(m-n)。 12. 0　 【解析】由题意,把 x1 = 4 代入方程,得 4 2 -4×4+ 2m= 0,解得 m= 0。 13. 8. 75 　 【解析】估计黑色部分的总面积为 5 × 5× 0. 35 = 8. 75(cm2)。 14. 3 　 【解析】如图,过点 A 作 AD⊥ BC 于点 D。 ∵ △ABC 是等边三角 形,∴ ∠B = 60°,BC = AB,即 BC ( = AB。 ∵ 扇 形 ABC 的 面 积 是 2, ∴ 1 2 lr = 1 2 AB2 = 2。 ∴ AB = 2。 ∴ AD=AB·sin B = 2× 3 2 = 3。 ∴ S△ABC = 1 2 ×BC× AD= 3。 15. 1. 5　 【解析】由题意,可知甲走的是 AC 路线,乙走 的是 BD 路线,由题图,可知甲行走的速度为 4÷2 = 2(千米 / 时),乙行走的速度为(4- 3) ÷ 2 = 0. 5(千 米 / 时),∴ 当他们行走 3 小时后,他们之间的距离 为 2×3-(3+0. 5×3)= 1. 5(千米)。 16. 4 或 16　 【解析】分两种情况讨论: ①当点 D′落在线段 BC 上时,如图 1,连接 ED, ED′,DD′。 由折叠,可得点 D,D′关于 EF 对称, ∴ EF 垂直平分 DD′。 ∴ DE=D′E。 ∵ 正方形 ABCD 的边长是 18, ∴ AB=BC=CD=AD= 18。 ∵ CF= 8,∴ DF=D′F=CD-CF= 10。 ∴ CD′= D′F2 -CF2 = 6。 ∴ BD′=BC-CD′= 12。 设 AE= x,则 BE= 18-x。 在 Rt△AED 和 Rt△BED′中,由勾股定理, 得 DE2 =AD2 +AE2 = 182 +x2, D′E2 =BE2 +BD′2 =(18-x) 2 +122。 ∴ 182 +x2 =(18-x) 2 +122。 解得 x= 4,即 AE= 4。 图 1 　 　 图 2 ②当点 D′落在线段 BC 延长线上时,如图 2,连接 ED,ED′,DD′。 由折叠,可得点 D,D′关于 EF 对称, ∴ EF 垂直平分 DD′。 ∴ DE=D′E。 ∵ 正方形 ABCD 的边长是 18, ∴ AB=BC=CD=AD= 18。 ∵ CF= 8, ∴ DF=D′F=CD-CF= 10。 ∴ CD′= D′F2 -CF2 = 6。 ∴ BD′=BC+CD′= 24。 设 AE= x,则 BE= 18-x。 在 Rt△AED 和 Rt△BED′中,由勾股定理, 得 DE2 =AD2 +AE2 = 182 +x2, D′E2 =BE2 +BD′2 =(18-x) 2 +242。 ∴ 182 +x2 =(18-x) 2 +242。 解得 x= 16,即 AE= 16。 综上所述,线段 AE 的长为 4 或 16。 17.解:原式= 1+4× 2 2 -2 2 +3 = 1+2 2 -2 2 +3 = 4。 18.解:由 2+x≥7-4x,得 x≥1。 由 x<4 +x 2 ,得 x<4。 所以不等式组的解集为 1≤x<4。 所以不等式组的整数解为 1,2,3。 19.证明:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD∥BC,AD=BC。 ∴ ∠EDO= ∠FBO。 ∵ O 为 BD 的中点,∴ OB=OD。 在△EDO 和△FBO 中, ∠EDO= ∠FBO, OD=OB, ∠EOD= ∠FOB, { ∴ △EDO≌△FBO(ASA)。 ∴ DE=BF。 ∴ AD-DE=BC-BF。 ∴ AE=CF。 20.解:(1)如图 1,过点 F 作 FG⊥CD,垂足为 G。 在 Rt△DFG 中,∠CDF= 37°,DF= 40 cm, ∴ FG=DF·sin 37°≈40× 3 5 = 24(cm), DG=DF·cos 37°≈40× 4 5 = 32(cm)。 在 Rt△CFG 中,∠DCF= 45°, ∴ CG= FG tan 45° = 24(cm)。 ∴ DC=CG+DG= 24+32 = 56(cm)。 ∵ CE ∶ CD= 1 ∶ 4,∴ CE= 1 4 CD= 14 cm。 ∴ DE=CE+CD= 14+56 = 70(cm)。 ∴ 滑竿 DE 的长度约为 70 cm。 图 1 　 　 图 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —46— (2)如图 2,过点 A 作 AH⊥CD,交 CD 的延长线于 点 H。 ∵ DE=BC=AB= 70 cm, ∴ AC=AB+BC= 140 cm。 在 Rt△ACH 中,∠ACH= 45°, ∴ AH=AC·sin 45° = 140× 2 2 = 70 2 ≈99(cm)。 ∴ 拉杆端点 A到水平滑杆 ED 的距离约为 99 cm。 21.解:(1)n= 6+10+11+15+8 = 50。 将这 50 名学生的成绩从小到大排列,处在第 25, 26 位的两个数的平均数为77 +78 2 = 77. 5(分),因此 中位数是 77. 5。 故答案为 50,77. 5。 (2)360°×15 50 = 108°。 故答案为 108。 (3)800×15 +8 50 = 368(名)。 答:该校七年级被授予“小书虫”称号的学生大约 有 368 名。 22.解:(1)∵ AB 为☉O 的直径,∴ ∠ACB= 90°。 ∵ ∠A= 35°,∴ ∠ABC= 90°-35° = 55°。 ∵ BD 与☉O 相切于点 B, ∴ BD⊥AB。 ∴ ∠ABD= 90°。 ∴ ∠DBC= 90°-∠ABC= 35°。 (2)∵ AB= 8,∴ OC=OB= 1 2 AB= 4。 ∵ sin D=OB OD = 2 3 ,∴ OD= 3 2 OB= 3 2 ×4 = 6。 ∴ DC=OD-OC= 6-4 = 2, DB= OD2 -OB2 = 62 -42 = 2 5 。 ∵ OA=OC,∴ ∠A= ∠ACO。 ∵ ∠ACO= ∠DCE,∴ ∠DCE= ∠A。 ∵ ∠A= 90°-∠ABC= ∠DBC,∴ ∠DCE= ∠DBC。 ∵ ∠D= ∠D,∴ △DCE∽△DBC。 ∴ DC DB =DE DC 。 ∴ DE=DC 2 DB = 4 2 5 = 2 5 5 。 ∴ DE 的长为2 5 5 。 23.解:(1)设棉衣的单价是 x 元,则棉被的单价是(x- 50)元。 根据题意, 得 1 000 x = 800 x-50 。 解得 x= 250。 经检验,x= 250 是所列方程的解,且符合题意。 答:棉衣的单价是 250 元。 (2)设该中学购买 m 件棉衣,则购买(100-m)件棉 被。 根据题意, 得 250m+(250-50)(100-m)≤22 000。 解得 m≤40。 所以 m 的最大值为 40。 答:最多可以购买 40 件棉衣。 24.解:(1)将点 A(1,4)代入 y= k1 x , 得 k1 = 4。 ∴ 反比例函数的表达式为 y= 4 x 。 将点 B(4,m)代入 y= 4 x ,得 m= 1。 ∴ 点 B(4,1)。 将点 A(1,4),B(4,1)代入 y= kx+b, 得 k+b= 4, 4k+b= 1。{ 解得 k= -1, b= 5。{ ∴ 一次函数的表达式为 y= -x+5。 (2)如图,过点 A 作 AM⊥x 轴于点 M,过点 B 作 BN⊥x 轴于点 N。 ∴ AM= 4,BN= 1,MN= 4-1 = 3, S△AOM =S△BON = 4。 ∵ S△AOB = S四边形AONB - S△BON, S梯形ABNM =S四边形AONB-S△AOM, ∴ S△AOB = S梯形ABNM = (1+4)×3 2 = 15 2 。 ∴ △AOB 的面积为15 2 。 (3)存在。 ∵ 连接 AO 并延长交反比例函图象于点 C, ∴ 点 A 与点 C 关于原点对称。 ∴ 点 C(-1,-4)。 设点 P(m,0), ∴ AC2 = (1+1) 2 +(4+4) 2 = 68, AP2 = (1-m) 2 +42 , PC2 = (-1-m) 2 +(-4) 2 。 ①当∠APC= 90°时,AC2 =AP2 +PC2 , ∴ 68 = (1-m) 2 +42 +(-1-m) 2 +(-4) 2 , 解得 m= ± 17 。 ∴ 点 P(- 17 ,0)或( 17 ,0)。 ②当∠PAC= 90°时,PC2 =AP2 +AC2 , ∴ (-1-m) 2 +(-4) 2 = (1-m) 2 +42 +68, 解得 m= 17。 ∴ 点 P(17,0)。 ③当∠PCA= 90°时,AP2 =PC2 +AC2 , ∴ (1-m) 2 +42 = (-1-m) 2 +(-4) 2 +68, 解得 m= -17。 ∴ 点 P(-17,0)。 综上所述,点 P 的坐标为( - 17 ,0)或( 17 ,0) 或(17,0)或(-17,0)。 25.解:(1)如图 1,连接 AG,延长 HG 交 BC 于点 M,延 长 EG 交 DC 于点 N,连接 MN,交 GC 于点 O。 ∵ 菱形 AEGH 的顶点 E,H 在菱形 ABCD 的边上,且 ∠BAD= 60°, ∴ ∠GAE= ∠CAB= 30°,AE=AH,AB=AD, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —56— AB∥HM∥DC,AD∥EN∥BC。 ∴ 点 A,G,C 共线,AB-AE=AD-AH,四边形 DNGH, 四边形 GEBM,四边形 MCNG 都为平行四边形。 ∴ HD=EB,HD=NG,EB=GM。 ∴ NG=GM。 ∴ 四边形 GMCN 为菱形。 ∴ GC⊥MN,∠NGO= ∠AGE= ∠GAE= 30°。 ∴ cos 30° =OG GN = 3 2 。 ∵ GC= 2OG,∴ GN GC = 1 3 。 ∵ GN=GM=HD=EB, ∴ HD ∶ GC ∶ EB= 1 ∶ 3 ∶ 1。 图 1 　 　 图 2 (2)如图 2,连接 AG,AC。 ∵ 四边形 AEGH 和四边形 ABCD 都是菱形, ∠BAD= ∠EAH= 60°。 ∴ DA=DC,HA=HG, ∠DAC=∠HAG=30°。 由(1),知此时AD AC =AH AG = 1 3 。 ∴ ∠DAC-∠HAC= ∠HAG-∠HAC。 ∴ ∠DAH= ∠CAG。 ∴ △DAH∽△CAG。 ∴ HD GC =AD AC = 1 3 。 ∵ ∠DAB = ∠HAE = 60°,∴ ∠DAB-∠HAB = ∠HAE- ∠HAB,即∠DAH= ∠BAE。 在△DAH 和△BAE 中, AD=AB, ∠DAH= ∠BAE, AH=AE, { ∴ △DAH≌△BAE(SAS)。 ∴ HD=EB。 ∴ HD ∶ GC ∶ EB= 1 ∶ 3 ∶ 1。 (3)有变化。 如图 3,连接 AG,AC。 　 　 图 3 ∵ AD ∶ AB=AH ∶ AE= 1 ∶ 2, ∠ADC= ∠AHG= 90°, ∴ △ADC∽△AHG。 ∴ AD AC =AH AG = 1 5 , ∠DAC= ∠HAG。 ∴ ∠DAC-∠HAC= ∠HAG-∠HAC。 ∴ ∠DAH= ∠CAG。 ∴ △DAH∽△CAG。 ∴ HD GC =AD AC = 1 5 。 ∵ ∠DAB= ∠HAE= 90°, ∴ ∠DAB-∠HAB= ∠HAE-∠HAB。 ∴ ∠DAH= ∠BAE。 ∵ DA BA =HA EA = 1 2 , ∴ △ADH∽△ABE。 ∴ DH BE =AD AB = 1 2 。 ∴ HD ∶ GC ∶ EB= 1 ∶ 5 ∶ 2。 26.解:(1)把点 A( - 1,0),点 C(0,- 2)代入 y = ax2 - 3ax+c,得 0 =a+3a+c, -2 = c。{ 解得 a= 1 2 , c= -2。 { 所以抛物线的表达式为 y= 1 2 x2 - 3 2 x-2。 (2)如图 1,过点 D 作 DG⊥x 轴于点 G,交 BC 于点 F,过点 A 作 AK⊥x 轴交 BC 的延长线于点 K。 　 　 　 图 1 ∵ AK∥DG, ∴ △AKE∽△DFE。 ∴ DF AK =DE AE 。 在 y= 1 2 x2 - 3 2 x-2 中, 令 y= 0, 得 0= 1 2 x2- 3 2 x-2。 解得 x1 =-1,x2 =4。 ∴ 点 B(4,0)。 设直线 BC 的表达式为 y = kx+ b1 ,将点 B( 4,0), C(0,-2)代入, 得 4k+b1 = 0, b1 = -2。{ 解得 k= 1 2 , b1 = -2。 { ∴ 直线 BC 的表达式为 y= 1 2 x-2。 ∵ 点 A(-1,0), ∴ 点 K 的横坐标为-1。 ∴ y= 1 2 ×(-1)-2 = - 5 2 。 ∴ 点 K ( -1,- 52 ) ,AK= 5 2 。 设点 D (m, 12 m 2 - 3 2 m-2 ) ,则点 F (m, 12 m-2 ) 。 ∴ DF= 1 2 m-2- 1 2 m2 + 3 2 m+2 = - 1 2 m2 +2m。 ∴ DE AE =DF AK = - 1 2 m2+2m 5 2 =- 1 5 (m-2)2+ 4 5 。 ∵ - 1 5 <0,∴ 抛物线开口向下。 ∴ 当 m= 2 时,DE AE 有最大值,最大值是 4 5 。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —66— (3)在第一象限存在这样的点 P,Q, 使△PQB∽△CAB,符合条件的点 P 的坐标为 ( 689 , 34 9 )或 ( 6+2 41 5 ,3 + 41 5 ) 。 ∵ l∥BC,∴ 直线 l 的表达式为 y= 1 2 x。 ①当点 P 在直线 BQ 右侧时,如图 2,过点 P 作 PN⊥x 轴于点 N,过点 Q 作 QM⊥直线 PN 于点 M。 设点 P ( a1 , a1 2 ) 。 ∴ PN= a1 2 ,BN=a1 -4。 ∵ 点 A(-1,0),C(0,-2),B(4,0), ∴ AC= 5 ,AB= 5,BC= 2 5 。 ∴ AC2 +BC2 =AB2 。 ∴ ∠ACB= 90°。 ∵ △PQB∽△CAB,∴ PQ PB = CA CB = 1 2 ,∠QPB= ∠ACB = 90°。 ∵ ∠QMP= ∠BNP= 90°, ∴ ∠MQP+∠MPQ= 90°,∠MPQ+∠BPN= 90°。 ∴ ∠MQP= ∠BPN。 ∴ △QPM∽△PBN。 ∴ QM PN =PM BN =PQ BP = 1 2 。 ∴ QM= a1 4 ,PM= 1 2 (a1 -4)= 1 2 a1 -2。 ∴ MN=PM+PN=a1 -2,ON-QM=a1 - a1 4 = 3 4 a1 。 ∴ 点 Q ( 34 a1 ,a1 -2 ) 。 将点 Q 的坐标代入抛物线的表达式, 得 1 2 × ( 34 a1 ) 2 - 3 2 × 3 4 a1 -2 =a1 -2。 解得 a1 = 0(舍去)或 68 9 。 ∴ 点 P ( 689 , 34 9 ) 。 图 2 　 　 图 3 ②当点 P 在直线 BQ 左侧时,如图 3,过点 P 作 PN⊥x 轴于点 N,过点 Q 作 QM⊥PN 交 NP 的延长 线于点 M。 设点 N(m,0)。 ∴ 点 P ( m, 12 m ) 。 ∴ PN= 1 2 m,BN= 4-m。 ∵ △PQB∽△CAB, ∴ ∠BPQ= ∠BCA= 90°,QP AC =BP BC 。 ∴ QP BP = AC BC = 5 2 5 = 1 2 。 ∵ ∠M= ∠PNB= 90°, ∴ ∠MPQ= 90°-∠BPN= ∠NBP。 ∴ △MPQ∽△NBP。 ∴ QM PN =PM BN =PQ BP = 1 2 。 ∴ QM= 1 2 PN= 1 2 × 1 2 m= 1 4 m,PM= 1 2 BN= 1 2 (4-m)。 ∴ xQ =m+ 1 4 m= 5 4 m,yQ = 1 2 m+ 1 2 (4-m)= 2。 ∴ 点 Q ( 54 m,2 ) 。 把点 Q ( 54 m,2 )代入 y= 1 2 x2 - 3 2 x-2, 得 2 = 1 2 ( 5 4 m ) 2 - 3 2 × ( 54 m ) -2。 整理,得 25m2 -60m-128 = 0。 解得 m1 = 6+2 41 5 , m2 = 6-2 41 5 ( 不合题意, 舍去)。 ∴ 此时点 P 的坐标为 ( 6+2 415 , 3+ 41 5 ) 。 综上所述,符合条件的点 P 的坐标是 ( 689 , 34 9 ) 或 ( 6+2 415 , 3+ 41 5 ) 。 18 2024 年莱芜区学业水平第三次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A C B D D C B C B 1. D　 【解析】∵ (- 9) × ( - 19 ) = 1,∴ - 9 的倒数是 - 1 9 。 故选 D。 2. A　 【解析】13 453 万 = 134 530 000 = 1. 345 3×108。 故选 A。 3. C　 【解析】标注∠3 如图。 ∵ m∥n,∴ ∠3 = ∠1 = 35°。 ∵ AB⊥BC,∴ ∠ABC= 90°。 ∴ ∠2 = 180° - 35° - 90° = 55°。 故选 C。 4. B　 【解析】观察数轴,可知-1<m<0,2<n<3,∴ m<n。 ∴ m+n>0,-3m>-3n, |m | < | n |,5+m<n+5。 ∴ A,C,D 选项的结论错误,B 选项的结论正确。 故选 B。 5. D　 【解析】A. 不是轴对称图形,是中心对称图形, 不符合题意;B. 既不是轴对称图形,也不是中心对 称图形,不符合题意;C. 既不是轴对称图形,也不是 中心对称图形,不符合题意;D. 既是轴对称图形,又 是中心对称图形,符合题意。 故选 D。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —76—