16 2024年槐荫区学业水平第三次模拟试题-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东济南专版）

— 91 — — 92 — — 93 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1. 实数-3 的绝对值是 (　 　 ) A. -3 B. 1 3 C. 3 D. - 1 3 2. 如图所示的几何体,从上面看所得到的形状图是 (　 　 ) A. B. C. D. 第 2 题图 　 　 第 5 题图 　 　 第 8 题图 3. 地球与太阳的平均距离大约为 150 000 000 km。 将 150 000 000 用科学记数法表示为 (　 　 ) A. 15×107 B. 1. 5×108 C. 1. 5×109 D. 0. 15×109 4. 下面用数学家名字命名的图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是 (　 　 ) A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 5. 如图,直线 a∥b,直角三角尺如图放置,∠DCB= 90°,若∠1 = 110°,则∠2 的度数为 (　 　 ) A. 10° B. 15° C. 20° D. 30° 6. 实数 m,n 在数轴上对应点的位置如图所示,下列结论正确的是 (　 　 ) A. mn>0 B. m>-n C. |m | > | n | D. m+1>n+1 7. 下列运算正确的是 (　 　 ) A. a2·a3 =a6 B. (a3) 4 =a12 C. (a-b) 2 =a2 -b2 D. a8 ÷a2 =a4 8. 手卷是国画装裱中横幅的一种体式,以能握在手中顺序展开阅览得名,它主要由“引首” “画心” “拖 尾”三部分组成(这三部分都是矩形形状),分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”,如图,墨涵同学 装裱了一幅《雀华秋色图》的手卷,手卷长 1 000 cm,宽 40 cm。 引首和拖尾完全相同,其宽度都为 100 cm,若隔水的宽度为 x cm,画心的面积为 15 200 cm2,根据题意,可列方程为 (　 　 ) A. (1 000-4x)(40-2x)= 15 200 B. (1 000-2×100-2x)(40-4x)= 15 200　 C. (1 000-2×100-2x)(40-2x)= 15 200 D. (1 000-2×100-4x)(40-2x)= 15 200 9. 两千多年前我们的祖先便使用“算筹”表示数。 “算筹”有纵式和横式两种排列方式,0-9 各个数字 及其“算筹”表示的对应关系如表: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 横式 〇 用“算筹”表示数时,个位采用纵式,十位采用横式,百位采用纵式,千位采用横式,……,纵式和横式 依次交替出现。 如“ ”表示 87,“ ○ ”表示 502。 从“〇” “ ” “ ” “ ” “ ”可以组成的所有 两位数中,随机抽取一个数,是奇数的概率为 (　 　 ) A. 1 4 B. 1 3 C. 1 5 D. 1 2 10. 在平面直角坐标系中,如果点 P 的横坐标和纵坐标相等,则称点 P 为和谐点。 例如点( 1,1), ( - 13 ,- 1 3 ),( - 2 ,- 2 ),…都是和谐点。 若二次函数 y=ax 2 +4x+c(a≠0)的图象上有且只有一个 和谐点 ( 32 , 3 2 ),当 0≤x≤m 时,函数 y=ax 2 +4x+c- 3 4 (a≠0)的最小值为-3,最大值为 1,则 m 的取 值范围是 (　 　 ) A. m≤4 B. m≥2 C. 2≤m≤4 D. 2<m<4 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共计 24 分) 11. 因式分解:m2 -2m+1 = 。 12. 已知关于 x 的一元二次方程mx2+4x-1=0 有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 。 13. 一个正 n 边形的内角是外角的 2 倍,则 n= 。 14. 如图,正方形的边长为 a,以正方形边长为半径向外作四分之一圆,则阴影部分的面积可表示为 。 (结果保留 π) 第 14 题图 　 　 第 15 题图 　 　 第 16 题图 15. 如图,在边长为 4 米的正方形场地 ABCD 内,有一块以 BC 为直径的半圆形红外线接收“感应区”, 边 AB 上的点 P 有一个红外线发射器,红外线从点 P 发射后,经平面镜 AD,CD 反射后到达“感应 区”,若 AP= 1 米,红外线途经的最短路线长 米。 16. 如图,已知等边三角形 ABO 的边长为 2,O 为坐标原点,点 A 在 x 轴上,点 B 在第二象限,将△ABO 沿 x 轴正方向作无滑动翻滚,经第一次翻滚后得△A1B1O,……,以此类推,翻滚 2 024 次后 AB 中点 M 的对应点的纵坐标为 。 三、解答题(本大题共 10 小题,共计 86 分) 17. (6 分)计算:(1-π) 0 + 8 - | -5 | -4sin 45°。 18. (6 分)解不等式组: x+1≤2x+3, 3x-4 2 <x, ì î í ï ï ï ï 并求出它的所有整数解的和。 19. (6 分)如图,点 E,F 分别在平行四边形 ABCD 的边 BC,AD 上,且 AF=CE。 求证:∠BAE= ∠DCF。 20. (8 分)如图 1,机翼是飞机的重要部件之一,一般分为左右两个翼面,对称地布置在机身两边,机翼 的一些部位(主要是前缘和后缘)可以活动,驾驶员操纵这些部分可以改变机翼的形状,控制机翼 升力或阻力的分布,以达到增加升力或改变飞机姿态的目的。 如图 2 是某种型号飞机的机翼形状, 图中 MC∥ND∥BE,AB∥CE,∠BEC= 90°,请你根据图中的数据计算 AB 的长度。 (参考数据: 2 ≈1. 41, 3 ≈1. 73,结果保留小数点后一位) 图 1 　 　 图 2 16 2024 年槐荫区学业水平第三次模拟试题 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 94 — — 95 — — 96 — 21. (8 分)今年 3 月 22 日是“世界水日”,红星中学数学活动小组到某住宅区调查了解住宅区去年用水 情况。 该数学活动小组从住宅区中随机抽样调查了 50 个家庭去年每个月的用水情况,根据调查数 据得到两张统计图,图 1 是去年 50 个家庭的月总用水量折线统计图,图 2 是去年 50 个家庭月总用 水量的频数直方图(不完整)。 请根据统计图,回答下面问题。 (1)根据图 1 的信息,补全频数直方图; (2)去年 50 个家庭的月总用水量中,极差是 m3,中位数是 m3; (3)根据上面数据,估计去年该住宅区每个家庭平均每月的用水量是多少立方米? 图 1 　 　 图 2 22. (8 分)如图,已知 AB 是☉O 的直径,BC 是☉O 的切线,连接 OC 与☉O 相交于点 D,过点 B 作 BE⊥ OD,垂足为 E,连接 AD。 (1)当 E 为 OD 的中点时,求证:BC=AD; (2)当 tan A= 1 2 ,DE= 2 时,求直径 AB 的长度。 23. (10 分)今年 6 月以来,我国多地遭遇强降雨,引发洪涝灾害,人民的生活受到了极大的影响。 “一 方有难,八方支援”,某市筹集了大量的生活物资,用 A,B 两种型号的货车,分两批运往受灾严重的 地区。 具体运输情况如下表: 第一批 第二批 A 型货车的辆数(单位:辆) 1 2 B 型货车的辆数(单位:辆) 3 5 累计运输物资的吨数(单位:吨) 28 50 备注:第一批、第二批每辆货车均满载 (1)A,B 两种型号的货车每辆满载分别能运多少吨生活物资; (2)该市后续又筹集了 62. 4 吨生活物资,现已联系了 3 辆 A 种型号的货车。 试问至少还需联系多 少辆 B 种型号的货车才能一次性将这批生活物资运往目的地? 24. (10 分)某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略,部分内容如下。 每次清洗 1 个单位质量的该种含污物品,清洗前的清洁度均为 0. 800,清洁度为 0. 990 即为达标。 方案一:采用一次清洗的方式。 结果:当用水量为 19 个单位质量时,清洗后测得的清洁度为 0. 990。 方案二:采用两次清洗的方式。 记第一次用水量为 x1 个单位质量,第二次用水量为 x2 个单位质量,总用水量为(x1 +x2)个单位质量,两次清 洗后测得的清洁度为 C。 记录的部分实验数据如下, x1 11. 0 9. 0 9. 0 7. 0 5. 5 4. 5 3. 5 3. 0 3. 0 2. 0 1. 0 x2 0. 8 1. 0 1. 3 1. 9 2. 6 3. 2 4. 3 4. 0 5. 0 7. 1 11. 5 x1 +x2 11. 8 10. 0 10. 3 8. 9 8. 1 7. 7 7. 8 7. 0 8. 0 9. 1 12. 5 C 0. 990 0. 989 0. 990 0. 990 0. 990 0. 990 0. 990 0. 988 0. 990 0. 990 0. 990 (1)对以上实验数据进行分析,完成以下内容。 ①通过分析清洁度 C 达标的所有数据,发现可以用函数刻画第一次用水量 x1 和总用水量 x1 +x2 之间的关系, 在平面直角坐标系中画出此函数的图象; ②结果:结合实验数据,利用所画的函数图象可以推断,当第一次用水量约为 个单位质量(精确到个 位)时,总用水量最小。 (2)根据以上实验数据和结果,解决下列问题。 ①当采用两次清洗的方式并使总用水量最少时,与采用一次清洗的方式相比,估计可节水约 个单位质量(结果保留小数点后一位); ②当采用两次清洗的方式时,若第一次用水量为 6 个单位质量,总用水量为 7. 5 个单位质量,则清 洗后的清洁度 C (填“ >”“ = ”或“ <”)0. 990。 25. (12 分)如图,在平面直角坐标系中,正比例函数 y= kx(k≠0)和二次函数 y= - 1 4 x2 +bx+3 的图象都 经过点 A(4,3)和点 B,过点 A 作 OA 的垂线交 x 轴于点 C。 D 是线段 AB 上一点(点 D 与点 A,O,B 不重合),E 是射线 AC 上一点,且 AE=OD,连接 DE,过点 D 作 x 轴的垂线交抛物线于点 F,以 DE, DF 为邻边作▱DEGF。 (1)填空:k= ,b= ; (2)设点 D 的横坐标是 t( t>0),连接 EF。 若∠FGE= ∠DFE,求 t 的值; (3)过点 F 作 AB 的垂线交线段 DE 于点 P。 若 S△DFP = 1 3 S▱DEGF,求 OD 的长。 　 　 　 备用图 26. (12 分)我们定义:对角线互相垂直且相等的四边形叫作“神奇四边形”。 (1)在我们学过的下列四边形:①平行四边形②矩形③菱形④正方形中,是“神奇四边形” 的 是 ; (2)如图 1,在正方形 ABCD 中,E 为边 BC 上一点,连接 AE,过点 B 作 BG⊥AE 于点 H,交 CD 于点 G,连接 AG,EG。 ①四边形 ABEG 是否为“神奇四边形” (填“是”或“否”); ②如图 2,M,N,P,Q 分别是 AB,AG,GE,EB 的中点,证明四边形 MNPQ 是“神奇四边形”; (3)如图 3,点 F,R 分别在正方形 ABCD 的边 AB,CD 上,把正方形沿直线 FR 翻折,使得 BC 的对应 边 B′C′恰好经过点 A,过点 A 作 AO⊥FR 于点 O,若 AB′= 2,正方形的边长为 6,求线段 OF 的长。 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 ∴ AC AB =CD BE ,即BE CD = AB AC = 3 5 6 = 5 2 ,∠ACD = ∠ABE, 即∠ACM = ∠ABM。 ∵ △ACM 与 △ABM 共底边 AM,∠ACM 与∠ABM 在 AM 同侧且相等。 ∴ A,M,C,B 四点共圆。 ∴ ∠BMC= ∠BAC。 ∴ tan∠BMC= tan∠BAC=BC AC = 3 6 = 1 2 。 故答案为 5 2 , 1 2 。 图 1 　 　 图 2 (2)①如图 2,连接 GC,过点 G 作 GF⊥AC 于点 F。 ∵ ∠ACB= ∠ECD= 90°,∠CAB= ∠CED, ∴ △ACB∽△ECD。 ∴ ED CD = AB CB = 3 5 3 = 5 , AC BC =EC DC 。 ∴ ED= 5CD= 5 × 4 15 5 = 4 3 。 ∵ ∠ACB= ∠ECD= 90°, ∴ ∠ACB - ∠ACD = ∠ECD - ∠ACO, 即 ∠ACE = ∠BCD。 ∵ AC BC =EC DC ,∴ △ACE∽△BCD。 ∴ ∠CAE= ∠CBD。 ∴ ∠CAE+∠BAC= ∠CBD+∠BAC= 90°, 即∠EAD= ∠ECD= 90°。 ∵ G 是线段 ED 的中点, ∴ AG=GC= 1 2 DE= 1 2 ×4 3 = 2 3 。 ∵ GF⊥AC,AG=GC,∴ AF=FC= 1 2 AC= 3。 ∴ cos∠GAC=AF AG = 3 2 3 = 3 2 。 ②如图 3,过点 D 作 DO⊥BC 于点 O。 　 　 　 图 3 ∵ BD= 1 3 AB,AC = 6,BC = 3,AB = 3 5 , ∴ BD= 1 3 AB= 5 ,AD= 2 5 。 ∵ DO⊥CB,AC⊥CB, ∴ DO∥AC。 ∴ DO AC =OB BC = 1 3 。 ∴ DO= 1 3 AC= 2。 ∴ BO= 1 3 BC= 1。 ∴ CO=CB-BO= 2。 ∴ CD= CO2 +DO2 = 2 2 ,∠DCO= 45°。 ∵ △BCD∽△ACE, ∴ ∠ACE= ∠BCD= 45°。 ∴ BC AC =CD CE =BD AE ,即 3 6 = 2 2 CE = 5 AE 。 ∴ CE= 4 2 ,AE= 2 5 。 又∵ ∠EAD= 90°,AE=AD= 2 5 , ∴ ∠AED= 45°。 ∵ AH⊥ED,∴ ∠EAN= ∠AED= 45°。 ∴ ∠EAN= ∠ACE。 又∵ ∠AEN= ∠CEA, ∴ △AEN∽△CEA。 ∴ AE CE =AN CA ,即2 5 4 2 =AN 6 。 ∴ AN= 3 10 2 。 16 2024 年槐荫区学业水平第三次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C B C C B B D B C 1. C　 【解析】实数-3 的绝对值是 3。 故选 C。 2. C　 【解析】题图中的几何体从上面看得到的形状图 为 。 故选 C。 3. B　 【解析】150 000 000 = 1. 5×108。 故选 B。 4. C　 【解析】A. 是中心对称图形,但不是轴对称图 形,不符合题意;B. 是轴对称图形,但不是中心对称 图形,不符合题意;C. 既是轴对称图形,也是中心对 称图形,符合题意;D. 既不是轴对称图形,也不是中 心对称图形,不符合题意。 故选 C。 5. C　 【解析】如图,∵ a∥b,∴ ∠1 = ∠BCE = 110°。 ∵ ∠BCD = 90°, ∴ ∠2 = ∠BCE - ∠BCD = 20°。 故选 C。 6. B　 【解析】由图,可知-1<m<0< 2<n<3,∴ mn<0,m>-n, | m | < | n | ,n+1>m+1,故 A, C,D 不符合题意,B 符合题意。 故选 B。 7. B　 【解析】A. a2·a3 = a5,原计算错误,故此选项不 符合题意;B. (a3) 4 = a12,原计算正确,故此选项符 合题意;C. (a-b) 2 = a2 - 2ab+b2,原计算错误,故此 选项不符合题意;D. a8 ÷a2 =a6,原计算错误,故此选 项不符合题意。 故选 B。 8. D　 【解析】若隔水的宽度为 x cm,则画心的长为 (1 000-2× 100- 4x) cm,宽为(40- 2x) cm。 根据题 意,得(1 000 - 2 × 100 - 4x) (40 - 2x) = 15 200。 故 选 D。 9. B　 【解析】“○” “ ” “ ” “ ” “ ”分别表示的 数是 0,2,3,6,9,且数字 2,9 必须要在十位,数字 0, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —95— 3,6 必须在个位,则可以组成的两位数有 20,23,26, 90,93,96,共 6 个数,其中是奇数的有 2 个,所以随 机抽取一个数,是奇数的概率为 2 6 = 1 3 。 故选 B。 10. C　 【解析】由题意,得和谐点 所在直线为 y= x。 ∵ 二次函数 y=ax2 +4x+c(a≠0)的图象上 有且只有一个和谐点, ∴ 令 ax2 +4x+c= x,则 ax2 +3x+c= 0。 Δ= 32 -4ac= 0,即 4ac= 9。 ∵ 和谐点为 ( 32 , 3 2 ) , ∴ 方程的根- 3 2a = 3 2 。 解得 a= -1,c= - 9 4 。 故函数 y=ax2 +4x+c- 3 4 = -x2 +4x-3 = -(x-2) 2 +1。 ∴ 该函数图象的顶点为(2,1),与 y 轴交点为(0,-3)。 ∴ 由对称性,该函数图象也经过点(4,-3)。 该函数图象如图所示。 ∵ -1< 0,∴ 该函数图象在对称轴直线 x = 2 左侧 时,y 的值随 x 值的增大而增大,在对称轴右侧时, y 的值随 x 值的增大而减小。 ∵ 当 0≤x≤m 时,函 数 y= -x2 +4x-3 的最小值为-3,最大值为 1,∴ 2≤ m≤4。 故选 C。 11. (m-1) 2 　 【解析】m2 -2m+1 =(m-1) 2。 12. m>-4 且 m≠0　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 mx2 +4x-1 = 0 有两个不相等的实数根, ∴ m≠0,16+4m>0。{ 解得 m>-4 且 m≠0。 13. 6　 【解析】设这个正 n 边形的一个外角为 x°,则其 内角为(180-x)°。 ∵ 此正 n 边形的一个内角是它 的外角的 2 倍,∴ 180- x = 2x,解得 x = 60。 ∴ n = 360° 60° = 6。 14. 1 4 πa2 　 【解析】根据题意,可知阴影部分的面积为 a2 + 1 4 πa2 - 1 2 a·2a= 1 4 πa2。 15. ( 61 -2) 　 【解析】如图,作点 P 关于 AD 的对称 点 P′,作半圆 O 关于 CD 的对称半圆 O′,连接 P′O′,与 AD 交于点 M,与 CD 交于点 N,与半圆 O′ 交于点 Q,则 P′Q 的长就是红外线途经的最短 路线。 ∵ 正方形 ABCD 的边长为 4 米,AP = 1 米,∴ ∠P′BO′ = 90°, AP′ = 1 米, AB = 4 米,BC= 4 米,CO′=QO′= CO= 1 2 BC= 2 米。 ∴ P′B= 5 米,BO′= 6 米。 ∴ P′O′ = BP′2 +BO′2 = 52 +62 = 61(米)。 ∴ P′Q=( 61 -2)米。 16. 0　 【解析】如图,分别过点 B 和点 M 作 x 轴的垂 线,垂足分别为 P,Q。 ∴ AP=PO,MQ∥BP。 ∵ 等边三角形 ABO 的边长为 2,∴ AP = 1,则 BP = 22 -12 = 3。 ∵ MQ∥BP, ∴ △AMQ ∽ △ABP。 ∴ MQ BP = AM AB 。 ∵ M 为 AB 的 中 点, ∴ MQ 3 = 1 2 。 ∴ MQ= 3 2 ,即点 M 的纵坐标为 3 2 。 由题图可知, 翻滚 1 次后 AB 中点 M 的对应点的纵坐标为 3 2 ,翻 滚 2 次后 AB 中点 M 的对应点的纵坐标为 0,翻滚 3 次后 AB 中点 M 的对应点的纵坐标为 3 2 ,翻滚 4 次后 AB 中点 M 的对应点的纵坐标为 3 2 ,翻滚 5 次后 AB 中点 M 的对应点的纵坐标为 0,翻滚 6 次后 AB 中点 M 的对应点的纵坐标为 3 2 ,……, 由此可见,AB 中点 M 对应点的纵坐标按 3 2 ,0, 3 2 循环出现。 又∵ 2 024 ÷ 3 = 674……2,所以翻滚 2 024 次后 AB 中点 M 的对应点的纵坐标为 0。 17.解:(1-π) 0 + 8 - | -5 | -4sin 45° = 1+2 2 -5-4× 2 2 = 1+2 2 -5-2 2 = -4。 18.解: x+1≤2x+3,① 3x-4 2 <x,②{ 解不等式①,得 x≥-2。 解不等式②,得 x<4。 则不等式组的解集为-2≤x<4。 所以不等式组所有整数解的和为 -2-1+0+1+2+3 = 3。 19.证明:在平行四边形 ABCD 中,AB=CD, BC=AD,∠B= ∠D。 ∵ AF=CE, ∴ AD-AF=BC-CE,即 DF=BE。 在△ABE 和△CDF 中, AB=CD, ∠B= ∠D, BE=DF, { ∴ △ABE≌△CDF(SAS)。 ∴ ∠BAE= ∠DCF。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —06— 20.解:如图,过点 A 作 AF⊥CE 于点 F。 ∵ MC∥ND∥BE,AB∥CE,∠BEC= 90°, ∴ ∠ECM= ∠EBA= ∠NDE= 90°, ∠DBE= ∠NDB= 30°。 ∴ 四边形 ABEF 是矩形。 ∴ AF=BE= 6 m,AB=EF。 ∵ ∠MCA= 45°,∴ ∠ACF= 90°-45° = 45°。 ∴ △AFC 是等腰直角三角形。 ∴ CF=AF= 6 m。 ∵ ∠DBE=30°,∴ DE=tan 30°·BE= 3 3 ×6=2 3(m)。 ∴ CE=CD+DE= (3. 8+2 3 )m。 ∴ AB=EF=CE-CF= 3. 8+2 3 -6≈1. 3(m)。 答:AB 的长度约为 1. 3 米。 21.解:(1)由题图 1,可知月总用水量为 600 m3 的月 数为 2,月总用水量为 700 m3 的月数为 2,月总用 水量为 750 m3 的月数为 4。 补全频数直方图如图 所示。 (2)极差为 800-550 = 250(m3 )。 中位数为第 6 个数与第 7 个数的平均数, 即(700+750)÷2 = 725(m3 )。 故答案为 250,725。 (3)∵ 去年 50 户家庭年总用水量为 550+600×2+650+700×2+750×4+800×2 = 8 400(m3 )。 8 400÷50÷12 = 14(m3 )。 ∴ 估计该住宅区去年每户家庭平均每月的用水量 是 14 m3 。 22.解:(1)证明:如图,连接 BD。 ∵ BE⊥OD,E 为 OD 的中点,∴ BO=BD。 ∴ △OBD 是等腰三角形。 ∵ BO=DO,∴ BO=DO=BD。 ∴ ∠OBD= ∠BOD= 60°。 ∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ADB= 90°。 ∵ BC 是☉O 的切线,∴ BC⊥AB。 ∴ ∠CBO= 90°。 ∴ ∠ADB= ∠CBO。 在△ADB 和△CBO 中, ∠ABD= ∠COB, BD=OB, ∠ADB= ∠CBO, { ∴ △ADB≌△CBO(ASA)。 ∴ BC=AD。 (2)∵ BE⊥OD, ∴ ∠DBE+∠BDE= 90°。 ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ADB= 90°。 ∴ ∠ADO+∠BDE= 90°。 ∴ ∠DBE= ∠ADO。 ∵ OA=OD,∴ ∠A= ∠ADO。 ∴ ∠DBE= ∠A。 在 Rt△BDE 中, tan∠DBE= tan A=DE BE = 1 2 ,DE= 2,∴ BE= 4。 ∴ BD= DE2 +BE2 = 22 +42 = 2 5 。 在 Rt△ABD 中,tan A=BD AD = 1 2 ,BD= 2 5 , ∴ AD= 4 5 。 ∴ AB= BD2 +AD2 = (2 5 ) 2 +(4 5 ) 2 = 10。 23.解:(1)设 A 种型号的货车每辆满载能运 x 吨生活 物资, B 种型号的货车每辆满载能运 y 吨生活 物资。 由题意,得 x +3y= 28, 2x+5y= 50。{ 解得 x= 10, y= 6。{ 答:A 种型号的货车每辆满载能运 10 吨生活物资, B 种型号的货车每辆满载能运 6 吨生活物资。 (2)设还需联系 m 辆 B 种型号的货车才能一次性 将这批生活物资运往目的地。 由题意,得 10×3+6m≥62. 4。 解得 m≥5. 4。 又∵ m 为正整数,∴ m 的最小值为 6。 答:至少还需联系 6 辆 B 种型号的货车才能一次 性将这批生活物资运往目的地。 24.解:(1)函数图象如下, ②由图象可知,在函数图象最低点,即第一次用水 量约为 4 个单位质量(精确到个位)时,总用水量 最小。 故答案为 4。 (2)①当采用两次清洗的方式并使总用水量最小 时,用水量约为 7. 7 个单位质量,采用一次清洗的 方式时,用水量为 19 个单位质量,所以两种清洗 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —16— 方式相比,估计可节水约 19- 7. 7 = 11. 3(个)单位 质量。 故答案为 11. 3。 ②由图可知,当 x1 = 6,x1 +x2 > 8 时,即当第一次用 水量为 6 个单位质量,总用水量超过 8 个单位质量 时,则清洗后的清洁度能达到 0. 990。 当第一次用水量为 6 个单位质量,总用水量为 7. 5 个单位质量,即 x1 +x2 = 7. 5。 ∵ x1 +x2 = 7. 5<8, ∴ 清洗后的清洁度 C<0. 990。 故答案为<。 25.解:( 1) ∵ 正比例函数 y = kx ( k ≠ 0) 经过点 A (4,3),∴ 3 = 4k。 ∴ k= 3 4 。 ∵ 二次函数 y = - 1 4 x2 + bx + 3 的图象经过点 A (4,3),∴ 3 = - 1 4 ×42 +4b+3。 ∴ b= 1。 故答案为 3 4 ,1。 (2)如图 1,过点 E 作 EM⊥DF 于点 M,连接 EF。 ∵ 四边形 DEGF 是平行四边形,∴ ∠G= ∠EDF。 ∵ ∠EGF= ∠EFD,∴ ∠EFD= ∠EDF。 ∴ EF=ED。 ∵ EM⊥DF,∴ MD=MF。 ∵ 点 D 横坐标为 t, 　 图 1 ∴ 点 D ( t, 34 t ) 。 ∴ OD=AE= 5 4 t。 ∵ AC⊥AB, ∴ ∠OAC= 90°。 ∴ tan∠AOC= AC AO = yA xA = 3 4 。 ∵ OA= 32 +42 = 5, ∴ AC=OA·tan∠AOC= 15 4 ,OC= AO2 +AC2 = 25 4 。 ∴ EC=AC-AE= 15 4 - 5 4 t。 ∵ sin∠ACO= AO OC = yE EC = 4 5 , ∴ 点 E 的纵坐标为 3-t。 ∵ DF⊥x 轴,∴ 点 F 的横坐标为 t。 ∴ 点 F ( t,- 14 t 2 +t+3 ) 。 ∵ MF=MD,ME∥x 轴, ∴ 点 M 的纵坐标为 3-t。 ∴ - 1 4 t2 +t+3+ 3 4 t 2 = 3-t, 解得 t= 15 - 177 2 或 15+ 177 2 (舍去)。 ∴ 满足条件的 t 的值为15 - 177 2 。 (3)如图 2,设 PF 交 AB 于点 J,延长 FD 交 x 轴于 点 H。 　 图 2 ∵ 点 D 在 线 段 AB 上, S△DFP = 1 3 S▱DEGF, ∴ DP= 2 3 DE。 ∴ DP= 2PE。 观察图象,可知点 D 只能在第一象限。 ∵ AC⊥AB,PF⊥AB,∴ PJ∥AE。 ∴ DJ ∶ AJ=DP ∶ PE= 2。 ∵ 点 D ( t, 34 t ) ,点 F ( t,- 1 4 t2 +t+3 ) , ∴ OD= 5 4 t,DF= - 1 4 t2 +t+3- 3 4 t= - 1 4 t2 + 1 4 t+3。 ∵ FD⊥x 轴,∴ ∠OHF = 90°。 ∴ ∠FDJ = ∠ODH。 ∵ ∠DJF= 90°,∴ cos∠FDJ = DJ DF = cos∠ODH = DH OD = 3 4 t 5 4 t = 3 5 t。 ∴ DJ= 3 5 DF= - 3 20 t2 + 3 20 t+ 9 5 , AJ= 1 2 DJ= - 3 40 t2 + 3 40 t+ 9 10 。 ∵ OA= 5, ∴ 5 4 t- 3 20 t2 + 3 20 t+ 9 5 - 3 40 t2 + 3 40 t+ 9 10 = 5。 整理,得 9t2 -59t+92 = 0。 解得 t= 23 9 或 4(不合题意,舍去)。 ∴ OD= 5 4 t= 115 36 。 26.解:(1)∵ 平行四边形的对角线互相平分,矩形的 对角线互相平分且相等,菱形的对角线互相垂直 平分,正方形的对角线互相垂直平分且相等,∴ 正 方形是“神奇四边形”。 故答案为④。 (2)①∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠ABC= ∠BCD= 90°。 ∴ ∠ABG+∠CBG= 90°。 ∵ BG⊥AE, ∴ ∠BAE+∠ABG= 90°。 ∴ ∠BAE= ∠CBG。 在△ABE 和△BCG 中, ∠BAE= ∠CBG, AB=BC, ∠ABE= ∠BCG, { 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —26— ∴ △ABE≌△BCG(ASA)。 ∴ AE=BG。 ∵ BG⊥AE,∴ 四边形 ABEG 是“神奇四边形”。 故答案为是。 ②证明:∵ M,N 为 AB,AG 的中点, ∴ MN 为△ABG 的中位线。 ∴ MN∥BG,MN= 1 2 BG。 同理可得,PQ∥BG,PQ= 1 2 BG,MQ∥AE, MQ= 1 2 AE,NP∥AE,NP= 1 2 AE。 ∴ MN=PQ,MQ=NP。 ∴ 四边形 MNPQ 为平行四边形。 ∵ AE=BG,∴ MN=MQ。 ∴ 平行四边形 MNPQ 为菱形。 ∵ BG⊥AE,MQ∥AE,∴ MQ⊥BG。 ∵ MN∥BG,∴ MQ⊥MN。 ∴ ∠QMN= 90°。 ∴ 四边形 MNPQ 为正方形。 ∴ 四边形 MNPQ 是“神奇四边形”。 (3)如图,延长 AO 交 BC 于点 S。 由翻折的性质,可知 BF =B′F,AB′ =BS= 2,AO=SO,∠B′= ∠B。 ∵ 四边形 ABCD 是正方形,边长 为 6, ∴ AB= 6,∠B= 90°。 ∴ AS= AB2 +BS2 = 62 +22 = 2 10 , ∠B′= ∠B= 90°。 ∴ AO= 1 2 AS= 10 。 设 AF= x,则 BF=B′F= 6-x。 在 Rt△AB′F 中,由勾股定理,得 22 +(6-x) 2 = x2 ,∴ x= 10 3 。 ∴ AF= 10 3 。 ∵ AO⊥FR,∴ ∠AOF= 90°。 ∴ OF= AF2 -AO2 = ( 103 ) 2 -( 10 ) 2 = 10 3 。 ∴ 线段 OF 的长为 10 3 。 17 2024 年天桥区学业水平第三次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A A B D A D C D B B 1. A　 【解析】A 的俯视图是一个圆,故本选项符合题 意;B 的俯视图是一个矩形,故本选项不符合题意; C 的俯视图是一个三角形,故本选项不符合题意;D 的俯视图是一个矩形,故本选项不符合题意。 故 选 A。 2. A　 【解析】41 500 = 4. 15×104。 故选 A。 3. B　 【解析】如图,作 EF∥AB。 ∵ AB∥CD, ∴ EF∥AB∥CD。 ∴ ∠2 = ∠AEF = 35°, ∠1 = ∠FEC。 ∵ ∠AEC= 90°,∴ ∠1 = 90°-35° = 55°。 故选 B。 4. D　 【解析】由数轴,可得-2<a<-1,2<b<3,∴ 1<-a< 2,-3<-b<-2。 ∵ a 到原点距离小于 b 到原点距离, ∴ | a | < | b | ,-1< a b <0。 故 A,B,C 错误,D 正确。 故 选 D。 5. A　 【解析】A. 既是轴对称图形又是中心对称图形, 故本选项符合题意;B. 是轴对称图形,但不是中心 对称图形,故本选项不符合题意;C. 既不是轴对称 图形,也不是中心对称图形,故本选项不符合题意; D. 是轴对称图形,但不是中心对称图形,故本选项 不符合题意。 故选 A。 6. D　 【解析】A. a 与 2a2 不是同类项,不能合并,此选 项不符合题意;B. 原式 = a8,此选项不符合题意; C. 原式=a6,此选项不符合题意;D. 原式 = a6,此选 项符合题意。 故选 D。 7. C　 【解析】∵ 点 A(-1,y1),B(2,y2),C(3,y3)在反 比例函数 y= - 6 x 的图象上,∴ y1 = - 6 -1 = 6,y2 = - 6 2 = -3,y3 = - 6 3 = - 2。 又∵ - 3< - 2< 6,∴ y1 >y3 >y2。 故选 C。 8. D　 【解析】把“沈丘回族文狮舞” “传统戏剧越调” “八音楼子” “泥塑”四种民俗文化分别记为 A,B, C,D,画树状图如下: 共有 12 种等可能的结果,其中小明选择体验“八音 楼子”“泥塑”的结果有 2 种,所以小明选择体验“八 音楼子”“泥塑”的概率为 2 12 = 1 6 。 故选 D。 9. B　 【解析】设 AG 和 BF 相交于点 O。 ∵ ∠BAD 的平 分线 AG 交 BC 于点 E,∴ ∠FAE = ∠BAE。 由作图, 可知 AF = AB,AO = AO,∴ △FAO≌ △BAO ( SAS)。 ∴ ∠AOF= ∠AOB= 90°,FO =BO = 1 2 BF = 4,AB = 5。 ∴ 在 Rt△AOB 中,AO = 52 -42 = 3。 ∵ 在▱ABCD 中,AD∥BC, ∴ ∠DAG = ∠AEB, ∠FAE = ∠BAE。 ∴ ∠AEB = ∠BAE。 ∴ AB = BE。 ∵ ∠AOB = 90°, ∴ AO=EO= 3。 ∴ AE= 6。 故选 B。 10. B 　 【 解 析 】 由 题 意, 可 知 F ( n ) = 100x+10z+y-100y-10z-x 99 = x-y,∵ F(n)+2x = 20, ∴ x-y+2x = 20,∴ y = 3x- 20,∵ y< z<x,∴ 当 x = 7 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —36—