15 2024年历下区学业水平第三次模拟试题-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东济南专版）

8× 5 2 +m。 解得 m= 6。 当抛物线 M2 与直线 AE 有唯一的公共点时, y= 2x2 -8x+m, y= x-4,{ 即 2x 2 -9x+m+4 = 0。 Δ= (-9) 2 -4×2(m+4)= 0,解得 m= 49 8 。 ∴ 当 3 2 ≤x≤ 5 2 时,若抛物线M2 与直线 AE 有两个 交点,m 的取值范围为 6≤m<49 8 。 26.解:( 1) 如图 1,延长 BE 交 AC 于点 H,交 AD 于 点 N。 　 　 　 图 1 当 m = 1 时, DC = CE, CB =CA。 ∵ ∠ACB= ∠DCE= 90°, ∴ ∠ACD= ∠BCE。 ∴ △ACD≌△BCE(SAS)。 ∴ ∠DAC= ∠EBC。 ∵ ∠CAB+∠ABE+∠CBE= 90°, ∴ ∠CAB+∠ABE+∠DAC= 90°。 ∴ ∠ANB= 90°。 ∴ AD⊥BE。 故答案为 AD⊥BE。 (2)(1)中的结论成立。 证明:如图 2,延长 BE 交 AC 于点 H,交 AD 于点 N。 　 　 　 　 图 2 ∵ ∠ACB= ∠DCE= 90°, ∴ ∠ACD= ∠BCE。 ∵ DC CE = AC BC = 1 m , ∴ △DCA∽△ECB。 ∴ ∠DAC= ∠EBC。 ∵ ∠CAB+∠ABE+∠CBE= 90°, ∴ ∠CAB+∠ABE+∠DAC= 90°。 ∴ ∠ANB= 90°。 ∴ AD⊥BE。 (3)如图 3,当点 E 在线段 AD 上时,连接 BE。 　 　 　 　 图 3 ∵ △DCA∽△ECB, ∴ BE AD =BC AC =m= 3 。 ∴ BE = 3 AD = 3 ( 4 + AE)。 ∵ AD⊥BE,∴ AB2 = AE2 + BE2 。 ∴ 112 =AE2 +3(4+AE) 2 。 ∴ AE= 2 或-8(舍去)。 ∴ BE= 6 3 。 如图 4,当点 D 在线段 AE 上时,连接 BE。 　 　 　 　 图 4 ∵ △DCA∽△ECB, ∴ BE AD =BC AC =m= 3 。 ∴ BE = 3 AD = 3 (AE- 4)。 ∵ AD⊥BE,∴ AB2 =AE2+BE2 。 ∴ 112 =AE2 +3(AE-4) 2 。 ∴ AE= 8 或-2(舍去)。 ∴ BE= 4 3 。 综上所述,BE= 6 3或 4 3 。 15 2024 年历下区学业水平第三次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D B A D B C A C A 1. D　 【解析】- 1 2 024 的相反数是 1 2 024 ,故选 D。 2. D　 【解析】根据主视图和左视图为矩形判断出是柱 体,根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该 是三棱柱。 故选 D。 3. B　 【解析】0. 000 000 000 34 = 3. 4×10-10。 故选 B。 4. A　 【解析】∵ FG 平分∠EFD,∠EFD= 70°,∴ ∠GFD= 1 2 ∠EFD = 1 2 × 70° = 35°。 ∵ AB∥CD,∴ ∠EGF = ∠GFD= 35°。 故选 A。 5. D　 【解析】A. 是轴对称图形,不是中心对称图形, 不合题意;B. 不是轴对称图形,是中心对称图形,不 合题意;C. 是轴对称图形,不是中心对称图形,不合 题意;D. 是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题 意。 故选 D。 6. B　 【解析】 a2 ·a3 = a5,故 A 不符合题意;( a3 ) 2 = a6,故 B 符合题意;(2a3) 2 = 4a6,故 C 不符合题意; a6 ÷a3 =a3,故 D 不符合题意。 故选 B。 7. C　 【解析】用 A,B,C 分别表示“篮球” “足球” “排 球”三种课程,画树状图如下: 共有 9 种等可能的结果,其中两人恰好选择同一课 程的结果有 3 种。 所以两人恰好选择同一课程的 概率为 3 9 = 1 3 。 故选 C。 8. A　 【解析】观察函数图象,可知 a<0,b>0,c<0,∴ 二 次函数 y=ax2 +bx+c 的图象开口向下,对称轴直线 x = - b 2a >0,与 y 轴的交点在 y 轴负半轴上。 故选 A。 9. C　 【解析】如图,过点 B 作 BH⊥AD 交 DA 的延长 线于点 H。 ∵ ∠BAD = 120°,∴ ∠BAH= 60°。 在 Rt△ABH 中, ∵ ∠ABH= 90°-60° = 30°, ∴ AH= 1 2 AB= 1。 ∴ BH= 22 -12 = 3。 ∵ 四边形 ABCD 为平行四边 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —55— 形,∴ AD∥BC,AD=BC。 ∴ ∠CBG = ∠G。 由作图描 述,得 BE = BC,BG 平分∠CBE,∴ ∠CBG = ∠EBG。 ∴ ∠EBG= ∠G。 ∴ BE =GE。 ∴ AD =BC =EG,即 AE +ED=ED+DG。 ∴ AE =DG = 1。 ∴ EH = AH+AE = 2。 在 Rt △BEH 中,BE = BH2 +EH2 = ( 3) 2 +22 = 7,∴ BC= 7。 故选 C。 10. A　 【解析】令 ax=ax2 -4ax,整理,得 x2 -5x = 0。 解 得 x1 = 5,x2 = 0。 ∴ 直线 y=ax(a>0)与抛物线的交 点的横坐标分别为 5,0。 ∵ y=ax2 -4ax=a(x-2) 2 - 4a,a>0,∴ 抛物线开口向上,对称轴为直线 x = 2, 顶点坐标为(2,-4a)。 把 y = -4a 代入 y = ax,解得 x= -4。 ∴ 若 y1 = y2 = y3 时,x1 <x2 <x3,则-4<x1 <0, x2 +x3 2 = 2,即 x2 +x3 = 4。 ∴ 0<x1 +x2 +x3 <4。 故选 A。 11. (2a+3)(2a-3) 　 【解析】4a2 -9 =(2a+3)(2a-3)。 12. 3 16 　 【解析】如图,将七巧板分割成 大小相同的小三角形,设每个小三 角形的面积为 1,则总面积为 16,其 中阴影部分面积为 2+1 = 3,所以小球停留在阴影 部分的概率是 3 16 。 13. 2 x 　 【解析】x +y xy -x-y xy = x+y-x+y xy = 2y xy = 2 x 。 14. (2,-4) 　 【解析】如图,将点 C 绕点(-1,0)按顺时 针方向旋转 90°。 由图可知,点 C 的对应点 C′的坐标是(2,-4)。 15. 0. 6　 【解析】设①所在直线的表达式为y= kx+b(k ≠0),将点(0,-1),(1. 5,0)代入,得 b= -1, 1. 5k+b= 0。{ 解得 k= 2 3 , b= -1。 { ∴ ①所在直线的表达式 为 y= 2 3 x-1。 ∵ 公交公司不提高票价,只降低运 营成本,∴ 设②所在直线的表达式为 y = 2 3 x+n,将 点(0. 6,0)代入,得 2 3 ×0. 6+n = 0。 解得 n= -0. 4。 ∴ ②所在直线的表达式为 y = 2 3 x- 0. 4。 当 x = 1 时, 2 3 ×1-0. 4- ( 23 ×1-1 ) = 0. 6(万元)。 ∴ 改变 后的收支差额较之前增加 0. 6 万元。 16. 1 9 　 【解析】如图,连接 AM。 设 AE=a,则 BE = 2a, AB = 3a。 ∵ ∠ABD = 60°,∠BAD =90°,∴ AD=AB·tan 60° = 3 3a。 在矩形 ABCD 和 Rt △EFM 中, ∠EAF = ∠EMF = 90°,∴ A,E, M,F 四点共圆。 ∴ ∠MAF= ∠MEF = 30°。 ∵ 点 M 在线段 EF 上边 的圆弧上运动,∴ 当 DM⊥AM 时,DM 最小,此时 ∠AMD= 90° = ∠EMF。 ∴ ∠EMA=∠FMD,∠EAM= ∠FDM=90°-∠MAF=90°-30° =60°。 ∴ △EMA∽△FMD。 ∴ DF AE =DM AM = tan 30° = 3 3 。 ∴ DF= 3 3 a。 ∴ DF AD = 3 3 a 3 3a = 1 9 。 17.解: | - 3 | -2cos 30°+(-1) 0 + ( 13 ) -2 = 3 -2× 3 2 +1+9 = 3 - 3 +10 = 10。 18.解:解不等式①,得 x>-3。 解不等式②,得 x≥-2。 ∴ 原不等式组的解集为 x≥-2。 ∴ 不等式组的最小整数解为-2。 19.证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AB=AD。 ∵ BE=DF,∴ AB-BE=AD-DF,即 AE=AF。 在△ABF 和△ADE 中, AB=AD, ∠A= ∠A, AF=AE, { ∴ △ABF≌△ADE(SAS)。 ∴ BF=DE。 20.解:(1)由随机抽样的特点,可知②在每班按照学 号随机抽取 10 名学生最合理。 故答案为②。 (2)a= 60-(12+15+12+15)= 6。 ∵ C 组 40≤t<60 中的数据为 41,42,44,46,53,53, 53,53,54,56,58,59, ∴ b = 41 +42+44+46+53+53+53+53+54+56+58+59 12 = 51。 ∵ 12+15 = 27,12+15+12 = 39, ∴ 60 个数据由小到大排列后第 30,31 个数据是 C 组中的第 3,4 个数据,即 44,46。 ∴ 本次问卷调查中阅读总时长的中位数为( 44 + 46)÷2 = 45(分钟)。 故答案为 6,51,45。 (3)∵ C 组数据中 53 出现 4 次,是出现次数最多的 数据,∴ C 组数据的众数是 53 分钟。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —65— C 组对应的扇形圆心角度数为12 60 ×360° = 72°。 故答案为 53,72。 (4)300×(25% +10% )= 105(人)。 答:七年级阅读的总时长超过 60 分钟的学生有 105 人。 21.解:(1) 如图 1,延长 CB 至点 H,过点 A 作 AQ⊥ EF,交 EF 于点 Q,交 CH 于点 P。 　 　 　 　 ∵ ∠ABC= 110°, ∴ ∠ABP= 180°-110° = 70°。 ∵ 在 Rt△ABP 中,AB= 50 cm, ∴ AP=AB·sin 70°≈50×0. 94 = 47(cm)。 ∵ PC∥DQ,PQ⊥DQ,CD⊥DQ, ∴ PQ=CD= 40 cm。 ∴ AQ=AP+PQ= 47+40 = 87(cm)。 ∴ 当电动沙发在初始状态时,靠背的最高点 A 到 水平地面的距离为 87 cm。 图 1 　 　 图 2 (2)如图 2,l 为 BC 所在直线,过点 A′作 A′S⊥l 于 点 S,过点 D′作 D′T⊥l 于点 T。 当电动沙发伸展到最大水平距离时, ∠A′BC= 160°, ∴ ∠A′BS= 180°-∠A′BC= 180°-160° = 20°。 ∴ ∠BA′S= 90°-∠A′BS= 70°。 由题意,得 A′B=AB= 50 cm,CD′=CD= 40 cm。 ∴ BS=A′B·sin 70°≈50×0. 94 = 47(cm)。 又∵ ∠A′BA= ∠A′BC-∠ABC= 160°-110° = 50°, ∠A′BA ∶ ∠DCD′=5 ∶ 8, ∴ ∠DCD′= 80°。 ∵ BC⊥CD,D′T⊥BC,∴ CD∥D′T。 ∴ ∠CD′T= ∠DCD′= 80°。 在 Rt△CD′T 中, CT=CD′·sin 80°≈40×0. 98 = 39. 2(cm)。 ∴ ST=BS+BC+CT= 47+50+39. 2≈136(cm)。 ∴ 电动沙发伸展的最大水平距离为 136 cm。 22.解:(1)证明:如图,连接 OC,则 OC=OA。 ∴ ∠A= ∠OCA。 ∵ CF 是☉O 的切线,∴ CF⊥OC。 ∵ CF⊥DE, ∴ DE∥OC。 ∴ ∠E= ∠OCA。 ∴ ∠E= ∠A。 ∵ ∠CDE= ∠A。 ∴ ∠CDE= ∠E。 (2)如图,连接 BC。 ∵ AB 是☉O 的直径, AB= 10, ∴ ∠ACB= 90°。 ∴ ∠BCE= 90°。 由(1),得∠E= ∠A,∴ BE=AB= 10。 ∵ BC BE = sin E= sin A= 3 5 , ∴ BC= 3 5 BE= 3 5 ×10 = 6。 ∵ ∠BFC= 90°, ∴ cos∠CBE=BF BC =BC BE = 6 10 = 3 5 。 ∴ BF= 3 5 BC= 3 5 ×6 = 18 5 。 ∴ BF 的长是18 5 。 23.解:(1)设甲种品牌的平板电脑购买了 x 台,乙种 品牌的平板电脑购买了 y 台。 则 x+y= 60, 3 000x+2 500y= 170 000。{ 解得 x= 40, y= 20。{ 答:甲种品牌的平板电脑购买了 40 台,乙种品牌 的平板电脑购买了 20 台。 (2)设甲种品牌的平板电脑购买了 m 台,则乙种品 牌的平板电脑购买了(60-m)台。 由题意,得 60-m≤2m,解得 m≥20。 设总费用为 w 元, 则 w= 3 000m+2 500(60-m)= 500m+150 000。 ∵ 500>0,∴ w 的值随 m 值的增大而增大。 ∴ 当 m= 20 时,w 最少, 此时 w= 500×20+150 000 = 160 000,60-m= 40。 答:当甲种品牌的平板电脑购买 20 台、乙种品牌 的平板电脑购买 40 台时花费最少,最少花费为 160 000 元。 24.解:(1) 如图 1,过点 B 向 x 轴作垂线,交 x 轴于 点 C。 　 　 　 图 1 ∵ 点 A(0,2),∴ OA= 2。 ∵ 将 OA 绕点 O 顺时针旋转 60°得到 OB, ∴ OB=OA= 2,∠AOB= 60°。 ∴ ∠BOC=30°。 ∴ BC= 1 2 OB=1。 ∵ 在 Rt△BOC 中,OB= 2, ∴ OC= 22 -12 = 3 。 ∴ 点 B 3 ,1( ) 。 ∴ 点 B 在反比例函数 y= k x 的图象上。 ∴ k= 3 。 (2)由(1),得反比例函数的表达式为 y= 3 x 。 ∵ △OAB 与△O′A′B′关于直线 y=m 对称, ∴ 点 A′ 0,2m-2( ) ,B′ 3 ,2m-1( ) ,O′ 0,2m( ) 。 当反比例函数 y= 3 x 的图象经过边 A′B′的中点时, ∵ 边 A′B′的中点是 3 2 ,2m- 3 2( ) , ∴ 3 2 2m- 3 2( ) = 3 ,解得 m= 7 4 。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —75— 当反比例函数 y= 3 x 的图象经过边 O′B′的中点时, ∵ 边 O′B′的中点是 3 2 ,2m- 1 2( ) , ∴ 3 2 2m- 1 2( ) = 3 ,解得 m= 5 4 。 综上所述,m 的值为 7 4 或 5 4 。 (3)存在。 ∵ 四边形 ABPQ 是矩形,∴ ∠QAB= 90°。 如图 2,过点Q作QJ⊥y 轴于点 J,过点 B 作 BK⊥y 轴 于点 K。 　 　 　 图 2 ∵ 点 B( 3 ,1),A 0,2( ) , ∴ AK=OK= 1,KB= 3 。 设点 Q 的横坐标为 a, ∴ JQ=a。 ∵ ∠QJA= ∠BKA= 90°, ∴ ∠KAB+∠ABK= 90° ∵ ∠QAB= 90°, ∴ ∠KAB+∠QAJ= 90°, ∴ ∠QAJ= ∠ABK。 ∴ △QJA∽△AKB。 ∴ JQ KA = JA KB ,即 a 1 = JA 3 。 ∴ JA= 3a。 ∴ 点 Q a,2+ 3a( ) 。 ∵ 点 Q 在 y= 3 x 的图象上。 ∴ a 2+ 3a( ) = 3 。 解得 a= 3 3 或- 3 。 ∴ 点 Q 的坐标为 3 3 ,3( ) 或 - 3 ,-1( ) 。 25.解:(1)∵ 顶点 D 的坐标为(-1,4), ∴ 设抛物线 M 的表达式为 y=a(x+1) 2 +4。 把点 E(-2,3)代入, 得 3 =a(-2+1) 2 +4。 解得 a= -1。 ∴ 抛物线 M 的表达式为 y= -(x+1) 2 +4。 当 y= 0 时,-(x+1) 2 +4 = 0,解得 x= -3 或 1。 ∵ 点 A 在点 B 左侧,∴ 点 A 的坐标为(-3,0)。 (2)如图 1,作点 E 关于 AC 的对称点 E′,与 AC 交 于点 G,则 EE′⊥AC,G 为 EE′的中点。 在 y= -(x+1) 2 +4 中,当 x= 0 时,y= 3,∴ 点 C 的坐 标为(0,3)。 设直线 AC 的表达式为 y = kx+b,将点 A( - 3,0), C(0,3)代入,得 -3k+b= 0, b= 3。{ 解得 k= 1, b= 3。{ ∴ 直线 AC 的表达式为 y= x+3。 ∵ EE′⊥AC,∴ 设直线 EE′的表达式为 y = -x+b1 。 将点 E(-2,3)代入,得 3 = -(-2)+b。 解得 b= 1。 ∴ 直线 EE′的表达式为 y= -x+1。 联立 y=x+3, y=-x+1。{ 解得 x=-1, y=2。{ ∴ 点G 的坐标为(-1,2), 点 E′的坐标为(0,1)。 ∴ DE= (-1+2) 2 +(4-3) 2 = 2 , DE′= (-1-0) 2 +(4-1) 2 = 10 。 ∴ △DEF 的周长为 DE+DF+EF=DE+DF+FE′≥DE+DE′= 2 + 10 , 即△DEF 周长的最小值为 2 + 10 。 图 1 　 　 图 2 (3)如图 2,过点 D 作 DH⊥PQ 于点 H,连接 DP。 ∵ 平移抛物线 M 得到抛物线 N, ∴ 设抛物线 N 的表达式为 y= -x2 +nx+m。 将点 D(-1,4)代入,得 m=n+5。 ∴ 抛物线 N 的表达式为 y= -x2 +nx+n+5。 ∴ 顶点 P 的坐标为 ( n2 , 1 4 n2 +n+5 ) 。 ∴ 点 H ( n2 ,4 ) 。 将 x= n 2 代入 y= -(x+1) 2 +4,得 y= - 1 4 n2 -n+3。 ∴ 点 Q ( n2 ,- 1 4 n2 -n+3 ) 。 ∵ 4 = 1 2 [ ( 1 4 n2 +n+5 ) + ( - 14 n 2 -n+3 ) ] , ∴ H 为 PQ 的中点。 ∴ PD=QD。 ∴ ∠DQP= ∠DPQ。 ∵ ∠PDQ= 4∠DPQ,∴ ∠DPQ+∠DPQ+ 4∠DPQ = 180°。 ∴ ∠DPQ= 30°。 在 Rt△DPH 中,∠DPH= 30°,∴ PH= 3DH。 ∴ ( 14 n 2+n+5 ) -4= 3 ( n2 +1 )或 ( 1 4 n2+n+5 ) -4 = 3 ( - n2 -1 ) 。 解得 n= -2(舍)或 2 3 -2 或-2 3 -2。 ∴ 点 P 的坐标为( 3 -1,7)或(- 3 -1,7)。 26.解:(1)如图 1,连接 AM。 在 Rt△ACB 中, AB= BC2 +AC2 = 32 +62 = 3 5 。 ∵ ∠ACB= ∠ADE= 90°,∠CAB= ∠DAE, ∴ △ACB∽△ADE。 ∴ AC AD =AB AE 。 ∴ AC AB =AD AE 。 ∵ ∠CAD= ∠BAE,∴ △CAD∽△BAE。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —85— ∴ AC AB =CD BE ,即BE CD = AB AC = 3 5 6 = 5 2 ,∠ACD = ∠ABE, 即∠ACM = ∠ABM。 ∵ △ACM 与 △ABM 共底边 AM,∠ACM 与∠ABM 在 AM 同侧且相等。 ∴ A,M,C,B 四点共圆。 ∴ ∠BMC= ∠BAC。 ∴ tan∠BMC= tan∠BAC=BC AC = 3 6 = 1 2 。 故答案为 5 2 , 1 2 。 图 1 　 　 图 2 (2)①如图 2,连接 GC,过点 G 作 GF⊥AC 于点 F。 ∵ ∠ACB= ∠ECD= 90°,∠CAB= ∠CED, ∴ △ACB∽△ECD。 ∴ ED CD = AB CB = 3 5 3 = 5 , AC BC =EC DC 。 ∴ ED= 5CD= 5 × 4 15 5 = 4 3 。 ∵ ∠ACB= ∠ECD= 90°, ∴ ∠ACB - ∠ACD = ∠ECD - ∠ACO, 即 ∠ACE = ∠BCD。 ∵ AC BC =EC DC ,∴ △ACE∽△BCD。 ∴ ∠CAE= ∠CBD。 ∴ ∠CAE+∠BAC= ∠CBD+∠BAC= 90°, 即∠EAD= ∠ECD= 90°。 ∵ G 是线段 ED 的中点, ∴ AG=GC= 1 2 DE= 1 2 ×4 3 = 2 3 。 ∵ GF⊥AC,AG=GC,∴ AF=FC= 1 2 AC= 3。 ∴ cos∠GAC=AF AG = 3 2 3 = 3 2 。 ②如图 3,过点 D 作 DO⊥BC 于点 O。 　 　 　 图 3 ∵ BD= 1 3 AB,AC = 6,BC = 3,AB = 3 5 , ∴ BD= 1 3 AB= 5 ,AD= 2 5 。 ∵ DO⊥CB,AC⊥CB, ∴ DO∥AC。 ∴ DO AC =OB BC = 1 3 。 ∴ DO= 1 3 AC= 2。 ∴ BO= 1 3 BC= 1。 ∴ CO=CB-BO= 2。 ∴ CD= CO2 +DO2 = 2 2 ,∠DCO= 45°。 ∵ △BCD∽△ACE, ∴ ∠ACE= ∠BCD= 45°。 ∴ BC AC =CD CE =BD AE ,即 3 6 = 2 2 CE = 5 AE 。 ∴ CE= 4 2 ,AE= 2 5 。 又∵ ∠EAD= 90°,AE=AD= 2 5 , ∴ ∠AED= 45°。 ∵ AH⊥ED,∴ ∠EAN= ∠AED= 45°。 ∴ ∠EAN= ∠ACE。 又∵ ∠AEN= ∠CEA, ∴ △AEN∽△CEA。 ∴ AE CE =AN CA ,即2 5 4 2 =AN 6 。 ∴ AN= 3 10 2 。 16 2024 年槐荫区学业水平第三次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C B C C B B D B C 1. C　 【解析】实数-3 的绝对值是 3。 故选 C。 2. C　 【解析】题图中的几何体从上面看得到的形状图 为 。 故选 C。 3. B　 【解析】150 000 000 = 1. 5×108。 故选 B。 4. C　 【解析】A. 是中心对称图形,但不是轴对称图 形,不符合题意;B. 是轴对称图形,但不是中心对称 图形,不符合题意;C. 既是轴对称图形,也是中心对 称图形,符合题意;D. 既不是轴对称图形,也不是中 心对称图形,不符合题意。 故选 C。 5. C　 【解析】如图,∵ a∥b,∴ ∠1 = ∠BCE = 110°。 ∵ ∠BCD = 90°, ∴ ∠2 = ∠BCE - ∠BCD = 20°。 故选 C。 6. B　 【解析】由图,可知-1<m<0< 2<n<3,∴ mn<0,m>-n, | m | < | n | ,n+1>m+1,故 A, C,D 不符合题意,B 符合题意。 故选 B。 7. B　 【解析】A. a2·a3 = a5,原计算错误,故此选项不 符合题意;B. (a3) 4 = a12,原计算正确,故此选项符 合题意;C. (a-b) 2 = a2 - 2ab+b2,原计算错误,故此 选项不符合题意;D. a8 ÷a2 =a6,原计算错误,故此选 项不符合题意。 故选 B。 8. D　 【解析】若隔水的宽度为 x cm,则画心的长为 (1 000-2× 100- 4x) cm,宽为(40- 2x) cm。 根据题 意,得(1 000 - 2 × 100 - 4x) (40 - 2x) = 15 200。 故 选 D。 9. B　 【解析】“○” “ ” “ ” “ ” “ ”分别表示的 数是 0,2,3,6,9,且数字 2,9 必须要在十位,数字 0, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —95— — 85 — — 86 — — 87 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1. - 1 2 024 的相反数是 (　 　 ) A. 2 024 B. -2 024 C. - 1 2 024 D. 1 2 024 2. 一个立体图形的三视图如图所示,则该立体图形是 (　 　 ) A. 圆柱 B. 圆锥 C. 长方体 D. 三棱柱 第 2 题图 　 　 　 第 4 题图 　 　 　 第 8 题图 3. 石墨烯是目前世界上最薄的纳米材料,其理论厚度仅有 0. 000 000 000 34 米,将这个数据用科学记 数法表示为 (　 　 ) A. 0. 34×10-9 B. 3. 4×10-10 C. 3. 4×10-11 D. 3. 4×10-12 4. 如图,平行线 AB,CD 被直线 EF 所截,FG 平分∠EFD,若∠EFD= 70°,则∠EGF 的度数是 (　 　 ) A. 35° B. 55° C. 70° D. 110° 5. 下列图形由正多边形和圆弧组成,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (　 　 ) A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是 (　 　 ) A. a2·a3 =a6 B. (a3) 2 =a6 C. (2a3) 2 = 2a6 D. a6 ÷a3 =a2 7. 为帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志,某校开展了“一人一球”的体育 选修课活动。 小明和小丽从“篮球”“足球”“排球”三种选修课中随机选择一种参加,则两人恰好选 择同一种课程的概率是 (　 　 ) A. 1 9 B. 2 9 C. 1 3 D. 2 3 8. 一次函数 y=ax+b 和反比例函数 y = c x 在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示,则二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象可能是 (　 　 ) A. B. C. D. 9. 如图,在▱ABCD 中,以点 B 为圆心,BC 的长为半径作弧交 AD 于点 E,分别以点 C,E 为圆心,大于 1 2 CE 的长为半径作弧,两弧交于点 F,作射线 BF 交 AD 的延长线于点 G。 若∠A= 120°,AB= 2,DG= 1,则 BC 的长是 (　 　 ) A. 2 + 3 B. 6 C. 7 D. 2 2 10. 已知点 A(x1,y1 )在直线 y = ax(a>0)上,点 B(x2,y2 )和点 C(x3,y3 )在抛物线 y = ax2 -4ax 上。 当 y1 = y2 = y3 时,有 x1 <x2 <x3,则 x1 +x2 +x3 可以等于下列哪个值 (　 　 ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 10 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共计 24 分) 11. 因式分解:4a2 -9 = 。 12. 七巧板是我国古代的一项发明,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形板、一块正方形板 和一块平行四边形板组成。 如图,在七巧板铺成的正方形地板上,一个小球自由滚动,则小球停留 在阴影部分的概率为 。 第 12 题图 　 　 第 14 题图 　 　 第 15 题图 　 　 第 16 题图 13. 计算:x +y xy -x-y xy = 。 14. 如图,将四边形 ABCD 绕点( -1,0)按顺时针方向旋转 90°,得到四边形 A′B′C′D′,则点 C 的对应点 C′的坐标是 。 15. 如图,射线①是某公共汽车线路收支差额 y(票价总收入减去运营成本)与乘客量 x 的函数图象。 目前这条线路亏损,为了扭转亏损,公交公司在不提高票价的情况下,决定通过优化管理来降低运 营成本,改变后 y 与 x 的关系图象为射线②。 两射线与 x 轴的交点坐标分别是(1. 5,0),(0. 6,0), 则当乘客为 1 万人时,改变后的收支差额较之前增加 万元。 16. 如图,在矩形 ABCD 中,∠ABD= 60°,BE= 2AE,点 F 在 AD 边上运动,以线段 EF 为斜边作直角三角 形 EFM,其中点 M 与点 A 位于 EF 两侧,∠MEF= 30°。 连接 DM,当 DM 最小时,DF AD = 。 三、解答题(本题共 10 小题,共计 86 分) 17. (6 分)计算: | - 3 | -2cos 30°+( -1) 0 + ( 13 ) -2 。 18. (6 分)解不等式组: x-1 4 < x 3 ,① 2x+6≥x+4,② ì î í ï ï ï ï 并写出它的最小整数解。 19. (6 分)如图,在菱形 ABCD 中,E,F 分别为边 AB,AD 上的点,且 BE=DF,连接 BF,DE。 求证:BF=DE。 20. (8 分)为了解七年级学生的课外自主阅读情况,某校随机抽取了部分学生,对他们每天的阅读时间 (阅读时间取整数,不足一分钟按一分钟算)的情况进行了调研。 【确立样本】 (1)已知学校七年级共 6 个班,决定共抽取 60 名学生进行调查,下列选取样本的方法中最合理的一 种是 (只需填上正确答案的序号); ①在每班抽取 10 个成绩较好的学生 ②在每班按照学号随机抽取 10 名学生 ③在前 3 个班每班随机抽取 20 人进行调查 【收集数据】 利用软件将数据按由小到大的顺序排序,部分数据呈现如下, …39,39,39,41,42,44,46,53,53,53,53,54,56,58,59,61,62,72,75…。 【整理数据】 按照每天阅读的总时长分为 A,B,C,D,E 五组,相关信息如下, 组别 每天阅读的总时 长 t /分钟 频数 该组内学生每天阅读总时 长的平均值 /分钟 A 组 0≤t<20 12 10 B 组 20≤t<40 15 32 C 组 40≤t<60 12 b D 组 60≤t<80 15 70 E 组 t≥80 a 90 　 　 　 每天阅读的总时长 各组人数分布扇形统计图 【数据分析】 根据以上信息,解答下列问题: 15 2024 年历下区学业水平第三次模拟试题 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 88 — — 89 — — 90 — (2)a= ,b= ,本次问卷调查中阅读总时长的中位数为 分钟; (3)C 组数据的众数是 分钟,小明根据以上数据绘制了扇形统计图,其中 C 组对应扇形的 圆心角为 °; (4)已知七年级学生共有 300 人,请你估计七年级阅读的总时长超过 60 分钟的学生人数。 21. (8 分)图 1 是某品牌电动单人沙发的实物图,在电动沙发调节过程中沙发的座深 BC 与水平地面是 平行的。 图 2 是电动沙发在初始状态时的侧面示意图,靠背 AB 与座垫 BC 的夹角∠ABC= 110°,座 垫 BC 与脚托 CD 垂直,即 BC⊥CD,且点 D 恰好落在水平地面 EF 上。 为满足不同使用功能的需 要,通过控制开关可以电动调节 AB 和 CD 分别绕点 B 和点 C 旋转合适的角度,其侧面示意图如图 3 所示。 已知电动沙发的产品尺寸为 AB= 50 cm,BC= 50 cm,CD= 40 cm。 在电动调节过程中始终满 足∠A′BA ∶ ∠DCD′= 5 ∶ 8,且 110°≤∠A′BC≤160°。 (1)在电动沙发的初始状态时,求靠背的最高点 A 到水平地面的距离; (2)在电动调节的过程中,求出此电动沙发可伸展的最大水平距离。 (参考数据:sin 70°≈0. 94,cos 70°≈0. 34,tan 70°≈2. 75,sin 80°≈0. 98,cos 80°≈0. 17,tan 80°≈ 5. 67,结果精确到 1 cm) 图 1 　 　 　 图 2 　 　 　 图 3 22. (8 分)如图,在☉O 中,AB 为☉O 的直径,C,D 为☉O 上两点,连接 DB,AC 并延长交于点 E。 CF 是 ☉O 的切线,且 CF⊥DE,垂足为 F,连接 CD。 (1)求证:∠CDE= ∠E; (2)已知 AB= 10,sin A= 3 5 ,求 BF 的长。 23. (10 分)为丰富学校图书资源,鼓励学生多读书、读好书、好读书,学校决定购买若干甲、乙两种品牌 的平板电脑组建新的电子阅览室。 经了解,甲、乙两种品牌平板电脑单价分别为 3 000 元和 2 500 元,学校计划购买甲、乙两种品牌的平板电脑共 60 台。 (1)若恰好支出 170 000 元,则甲、乙两种品牌的平板电脑各购买了多少台; (2)若购买乙种品牌平板电脑数量不超过甲种品牌平板电脑数量的 2 倍,问甲、乙两种品牌的平板 电脑各购买多少台时花费最少? 最少花费是多少元? 24. (10 分)如图,在平面直角坐标系中,已知点 A(0,2),将 OA 绕点 O 顺时针旋转 60°得到 OB,点 B 在 反比例函数 y= k x 的图象上,连接 AB。 (1)求 k 的值; (2)作△OAB 关于直线 y=m 对称的△O′A′B′,点 O,A,B 的对应点分别为点 O′,A′,B′,当反比例函 数 y= k x 的图象恰好经过△O′A′B′一边的中点时,求 m 的值; (3)若 P 为平面内一点,Q 为双曲线 y= k x 上一点,是否存在点 P 和点 Q,使得四边形 ABPQ 是矩形? 若存在,请求出所有符合条件的点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由。 　 　 　 备用图 25. (12 分)如图,抛物线 M 过点 E( -2,3),与 x 轴交于点 A 和点 B(点 A 在点 B 左侧),与 y 轴交于点 C,顶点 D 的坐标为( -1,4)。 (1)求抛物线 M 的表达式和点 A 的坐标; (2)F 是线段 AC 上一动点,求△DEF 周长的最小值; (3)平移抛物线 M 得到抛物线 N,已知抛物线 N 过点 D,顶点为 P,其对称轴与抛物线 M 交于点 Q, 若∠PDQ= 4∠DPQ,直接写出点 P 的坐标。 　 　 　 备用图 26. (12 分)在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,BC= 3,AC= 6,D 是 AB 上一点,连接 CD。 (1)如图 1,过点 D 作 DE⊥AD,连接 AE,且∠DAE = ∠BAC,延长线段 CD,BE 交于点 M,则BE CD = ,tan M= ; (2)如图 2,过点 C 作 CE⊥CD,且∠CED= ∠BAC,连接 AE。 ①已知 G 是线段 ED 的中点,连接 AG,若 CD= 4 5 15 ,求 cos∠GAC 的度数; ②如图 3,过点 A 作 AH⊥ED,垂足为 H,交 EC 于点 N,若 BD= 1 3 AB,直接写出 AN 的长。 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3