14 2024年商河县学业水平第二次模拟试题-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东济南专版）

— 79 — — 80 — — 81 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1. 如图是由 4 个相同的小立方块组成的几何体,它的主视图是 (　 　 ) A. B. C. D. 第 1 题图 　 　 　 　 第 3 题图 　 　 　 　 第 8 题图 2. 港珠澳大桥是世界上总体跨度最长的跨海大桥,全长 55 000 米,其中海底隧道部分全长 6 700 米,是 世界最长的公路沉管隧道和唯一的深埋沉管隧道,也是我国第一条外海沉管隧道,数字 55 000 用科 学记数法表示为 (　 　 ) A. 5. 5×104 B. 55×103 C. 5. 5×103 D. 0. 55×105 3. 如图,直线 a∥b,直角三角尺如图放置,∠DCB= 90°,若∠1 = 118°,则∠2 的度数为 (　 　 ) A. 28° B. 38° C. 26° D. 30° 4. 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (　 　 ) A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是 (　 　 ) A. a2 +a3 =a6 B. a3·a4 =a12 C. (a3) 4 =a12 D. a6 ÷a2 =a3 6. 将分别标有“鼓”“子”“秧”“歌”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中,这些球除汉字外无其他 差别,每次摸球前先搅拌均匀,随机摸出一球,不放回,再随机摸出一球,两次摸出的球上的汉字组成 “秧歌”的概率是 (　 　 ) A. 1 8 B. 1 6 C. 1 4 D. 1 2 7. 若 x= -5 是方程 a-3x= 16 的解,则 a 的值是 (　 　 ) A. 1 B. -1 C. -5 D. -31 8. 小明与家人乘车去翠湖游玩然后返回家中,小明与小明家的距离 y(km)与所用时间 t(h)的对应关 系如图所示,以下说法错误的是 (　 　 ) A. 小明全家去翠湖时的平均速度为 80 km / h　 B. 小明全家停车游玩了 4. 5 h C. 小明全家返回时的平均速度为 60 km / h D. 小明全家出发后,距家 90 km 时,所用时间为 9 8 h 9. 如图,已知矩形的顶点 A(4,0),C(0,6),D 是 AB 的中点,以顶点 O 为圆心,适当长为半径画弧,分别 交 OC,OD 于点 E,F,再分别以点 E,F 为圆心,大于 1 2 EF 的长为半径画弧,两弧交于点 G,作射线 OG 交边 BC 于点 H,则点 H 的坐标为 (　 　 ) A. (3,6) B. (2,6) C. ( 43 ,6 ) D. ( 5 ,6) 10. 对于一个函数,当自变量 x 取 a 时,其函数值 y 等于 2a,我们称 a 为这个函数的二倍数。 若二次函 数 y= x2 +x+c(c 为常数)有两个不相等且小于 1 的二倍数,则 c 的取值范围是 (　 　 ) A. c< 1 4 B. 0<c< 1 4 C. -1<c< 1 4 D. -1<c<0 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分。) 11. 分解因式:a2 -4ab= 。 12. 比较大小:- 2 (填“ >”“ = ”或“ <”) -1。 13. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一,它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边 形共七块板组成的。 如图是一个用七巧板拼成的正方形飞镖游戏板,某同学向该游戏板投掷飞镖 一次(假设飞镖落在游戏板上),则飞镖落在阴影部分的概率是 。 第 13 题图 　 　 第 14 题图 　 　 第 15 题图 　 　 第 16 题图 14. 如图所示,已知☉O 的半径 OA = 6,以 OA 为边分别作正五边形 OABCD 和正六边形 OAEFGH,则图 中扇形 HOD 的面积为 (结果保留 π)。 15. 如图,光源 A( -3,2) 发出的一束光经平面镜( y 轴) 上的点 B 反射后,反射光线 BC 交 x 轴于点 C( -1,0),则入射光线 AB 所在直线的表达式为 。 16. 如图,已知在 Rt△ABC 中,∠BAC= 90°,AB=AC= 3 2 ,在△ABC 内作第一个内接正方形 DEFG,然后 取 GF 的中点 P,连接 PD,PE,在△PDE 内作第二个内接正方形 HIKJ,再取线段 KJ 的中点 Q,连接 QH,QI,在△QHI 内作第三个内接正方形,……,依次进行下去,则第 2 024 个内接正方形的边长 为 。 三、解答题(本大题共 10 个小题,共 86 分。 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 17. (6 分)计算:( -2 024) 0 - 12 +2tan 60°+( -1) -2。 18. (6 分)解一元一次不等式组 3x≤2x+3,① x+1 6 -1<2x +2 3 ,② ì î í ï ï ï ï 并把解表示在数轴上。 19. (6 分)如图,在菱形 ABCD 中,E 为 AB 上一点,延长 BC 至点 F,使 CF=BE,连接 CE,DF。 求证:CE=DF。 20. (8 分)为提高学生的法律意识,某中学开展了一系列的法律进校园活动,组织九年级全体学生进行 了《法律知识知多少》知识竞答,学校随机抽取 m 名学生的竞答成绩,对成绩(百分制)进行整理、描 述和分析,成绩划分为 A(90≤x≤100),B(80≤x<90),C(70≤x<80),D(60≤x<70)四个等级,并 制作出不完整的统计图,如图所示。 　 　 　 B 等级数据(单位:分):80,80,81,82,85,86,86,87,88,89。 根据以上信息,回答下列问题: (1)填空:m= ,n= ; (2)补全条形统计图; (3)抽取的 m 名学生中,成绩的中位数是 分,在扇形统计图中,C 等级对应扇形圆心角的 度数是 ; (4)这所学校共有 2 100 名学生,若全部参加这次竞答,请你估计成绩能达到 B 等级及以上的学生 人数。 14 2024 年商河县学业水平第二次模拟试题 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 82 — — 83 — — 84 — 21. (8 分)为了“让人民群众奔着更好的日子去”,各地广泛进行电商助农销售。 如图 1 是某款直播设 备的实物示意图,该款设备由底座、支撑臂 AB、连杆 BC、悬臂 CD 和安装在 D 处的摄像头组成。 如 图 2 是该款设备放置在水平桌面 l 上的示意图。 已知支撑臂 AB⊥l,AB = 18 cm,BC = 40 cm,CD = 44 cm,固定∠ABC = 148°,可通过调节悬臂 CD 与连杆 BC 的夹角提高拍摄效果。 (参考数据: sin 58°≈0. 85,cos 58°≈0. 53,tan 58°≈1. 60,sin 30° = 0. 5,cos 30°≈0. 866,tan 30°≈0. 577) (1)悬臂端点 C 到桌面 l 的距离约为多少? (2)已知摄像头 D 到桌面 l 的距离为 30 cm 时拍摄效果较好,那么此时悬臂 CD 与连杆 BC 的夹角 ∠BCD 的度数约为多少? 图 1 　 　 　 图 2 22. (8 分)如图,在△ABC 中,∠C= 90°,D 是 AB 边上一点,以 BD 为直径的☉O 与边 AC 相切于点 E,与 边 BC 交于点 F,过点 E 作 EH⊥AB 于点 H,连接 BE。 (1)求证:BC=BH; (2)若 AB= 5,AC= 4,求 CE 的长。 23. (10 分)某超市销售甲、乙两种商品,11 月份该超市同时购进甲、乙两种商品共 80 件,购进甲种商品 用去 400 元,购进乙种商品用去 1 200 元。 (1)已知每件甲种商品的进价是每件乙种商品进价的 1 3 ,求甲、乙两种商品每件的进价; (2)由于甲、乙两种商品受到市民欢迎,12 月份超市决定再次购进甲、乙两种商品共 80 件,且保持 (1)中的进价不变,已知甲种商品每件的售价为 15 元,乙种商品每件的售价为 40 元。 要使 12 月份 购进的甲、乙两种商品共 80 件全部销售完的总利润不少于 600 元,那么该超市最多购进甲种商品 多少件? 24. (10 分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数 y= 3x+b 的图象与坐标轴交于点 A,B,与反比例函数 y= k x (x>0)的图象交于点 C(1,a),D 是反比例函数图象上的一个动点,过点 D 向 y 轴作垂线与一 次函数图象交于点 E,其中点 A 的坐标为( -3,0)。 (1)求 b 的值及反比例函数的表达式; (2)连接 DB,DC,当△DCE 的面积等于△DBC 面积的 2 倍时,求点 D 的坐标; (3)若 P 是 x 轴上的一个动点,连接 EP,DP,当△PED∽△AOB 时,求点 D 的纵坐标。 　 　 　 备用图 　 　 　 　 　 　 　 　 25. (12 分)如图 1,点 A 的坐标为(4,0),抛物线M1:y=ax2 +bx(a≠0)过点 A,B 为第四象限内抛物线上 一点,其纵坐标为-6,tan∠OAB= 2。 (1)求抛物线 M1 的表达式; (2)C 为直线 AB 下方的抛物线上一动点,过点 C 作 CD∥x 轴交直线 AB 于点 D,设点 C 的横坐标为 h,当 CD 取最大值时,求 h 的值; (3)如图 2,点 E(0,-4),连接 AE,将抛物线 M1 的图象向上平移 m(m>1)个单位长度得到抛物线 M2,当 3 2 ≤x≤ 5 2 时,若抛物线 M2 与直线 AE 有两个交点,直接写出 m 的取值范围。 图 1 　 　 　 图 2 26. (12 分)【问题呈现】 已知△CAB 和△CDE 都是直角三角形,∠ACB = ∠DCE = 90°,CB =mCA,CE =mCD,连接 AD,BE,探 究 AD,BE 的位置关系。 【问题探究】 (1)如图 1,当 m= 1 时,直接写出 AD,BE 的位置关系: 。 (2)如图 2,当 m≠1 时,(1)中的结论是否成立? 若成立,给出证明;若不成立,说明理由; 【拓展应用】 (3)当 m= 3 ,AB= 4 7 ,DE= 4 时,将△CDE 绕点 C 旋转,使 A,D,E 三点恰好在同一直线上,求 BE 的长。 图 1 　 　 图 2 　 　 备用图 当点 D 在 BC 的延长线上时,如图 2。 　 　 　 图 2 ∵ AB=BC, ∴ ∠BAC = ∠ACB = 1 2 × (180°-∠ABC)。 ∵ AD=DE, ∴ ∠DAE = ∠DEA = 1 2 × (180°-∠ADE)。 ∵ ∠ABC= ∠ADE,∴ ∠BAC= ∠DAE。 ∴ ∠BAD= ∠CAE,△ABC∽△ADE。 ∴ AB AC =AD AE 。 ∴ △ABD∽△ACE。 ∴ AB AC =BD CE 。 ∵ AB=BC= 6,AC= 4,CD= 3, ∴ 6 4 = 6+3 CE 。 ∴ CE= 6。 综上所述,CE 的长为 2 或 6。 14 2024 年商河县学业水平第二次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A A C C B A D A B 1. D　 【解析】从正面看共有两层,底层是两个正方形, 上层右边是一个正方形。 故选 D。 2. A　 【解析】55 000 = 5. 5×104。 故选 A。 3. A　 【解析】如图,∵ a∥b,∠1 = 118°, ∴ ∠BCE = ∠1 = 118°。 ∵ ∠DCB= 90°,∴ ∠2 = ∠BCE- ∠DCB= 28°。 故选 A。 4. C　 【解析】A. 是轴对称图形,不是中心对称图形, 故此选项不符合题意;B. 是轴对称图形,不是中心 对称图形,故此选项不符合题意;C. 既是轴对称图 形,又是中心对称图形,故此选项符合题意;D. 是中 心对称图形,不是轴对称图形,故此选项不符合题 意。 故选 C。 5. C　 【解析】A. 根据合并同类项法则,a2 +a3 无法合 并,故 a2 +a3 ≠a6,故 A 不正确;B. 根据同底数幂的 乘法,a3·a4 = a7,故 B 不正确;C. 根据幂的乘方, (a3) 4 =a12,故 C 正确;D. 根据同底数幂的除法,a6 ÷ a2 =a4,故 D 不正确。 故选 C。 6. B　 【解析】列表如下: 鼓 子 秧 歌 鼓 (鼓,子) (鼓,秧) (鼓,歌) 子 (子,鼓) (子,秧) (子,歌) 秧 (秧,鼓) (秧,子) (秧,歌) 歌 (歌,鼓) (歌,子) (歌,秧) 共有 12 种等可能的结果,其中两次摸出的球上的 汉字组成“秧歌”的结果有(秧,歌),(歌,秧),共 2 种,所以两次摸出的球上的汉字组成“秧歌”的概率 是 2 12 = 1 6 。 故选 B。 7. A　 【解析】把 x= -5 代入方程 a-3x = 16,得 a+15 = 16。 解得 a= 1。 故选 A。 8. D　 【解析】小明全家去翠湖时的平均速度为 120÷ 1. 5 = 80(km / h),∴ A 正确,不符合题意;小明全家 停车游玩了 6- 1. 5 = 4. 5(h),∴ B 正确,不符合题 意;小明全家返回时的平均速度为 120 ÷(8 - 6) = 60(km / h),∴ C 正确,不符合题意;设小明全家出发 后,距家 90 km 时,所用时间为 t h,当小明全家去翠 湖过程中距家 90 km 时,80t = 90,解得 t = 9 8 。 当小 明全家返回过程中距家 90 km 时,90+ 60( t- 6) = 120,解得 t = 6. 5。 ∴ 小明全家出发后,距家 90 km 时,所用时间为 9 8 h 或 6. 5 h,∴ D 错误,符合题意。 故选 D。 9. A　 【解析】如图,延长 AB 交 OG 于 点 T。 ∵ 四 边 形 OABC 是 矩 形, ∴ OC = AB,∠OAB = 90°,OC∥AB。 由 作 图 可 知, OT 平 分 ∠COD, ∴ ∠COT = ∠DOT。 ∵ AB ∥ OC, ∴ ∠COT= ∠DTO。 ∴ ∠DOT= ∠DTO。 ∴ OD =DT。 ∵ 点 C(0,6),A(4,0),∴ OC = AB = 6,OA = 3。 ∵ D 为 AB 的 中 点, ∴ DB = AD = 1 2 AB = 3。 ∴ OD = OA2 +AD2 = 42 +32 = 5。 ∴ DT =OD = 5。 ∴ BT = DT-DB=2。 ∵ BT∥OC,∴ △TBH∽△OCH。 ∴ TB OC = BH CH = 1 3 。 ∴ CH = 3,BH = 1。 ∴ 点 H(3,6)。 故选 A。 10. B　 【解析】由题意,得二倍点所在 直线为 y= 2x。 ∵ 二次函数 y= x2 + x+c 有两个不相等且小于 1 的二 倍数,∴ y = x2 +x+c 与 y = 2x 有两 个不同的交点,即方程 x2 +x+c = 2x 有两个不相等 实数根 x1,x2,且 x1,x2 都小于 1,整理,得 x 2 -x+c= 0,∴ Δ= 1-4c>0。 解得 c< 1 4 。 作出二次函数 y = x2 -x+c 的图象如图,∵ x1,x2(设 x2 在 x1 的左侧)都 小于 1,∴ 当 x= 1 时,y= x2 -x+c= c>0。 ∴ 0<c< 1 4 。 故选 B。 11. a(a-4b) 　 【解析】原式=a(a-4b)。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —15— 12. <　 【解析】 | - 2 | ≈ 1. 4, | - 1 | = 1,∵ 1. 4 > 1, ∴ - 2 <-1。 13. 1 2 　 【解析】如图,将此七巧板分割 成面积相等的小三角形,设每个小 三角形的面积为 1,∴ 总面积为 16, 其中阴影部分面积为 8。 ∴ 飞镖落在阴影部分的 概率是 8 16 = 1 2 。 14. 6 5 π　 【解析】由题意,得∠AOD = (5 -2)×180° 5 = 108°,∠AOH = (6 -2)×180° 6 = 120°, ∴ ∠DOH = ∠AOH-∠AOD = 120° - 108° = 12°。 ∴ 扇形 HOD 的面积为 12π×62 360 = 6 5 π。 15. y= - 1 2 x+ 1 2 　 【解析】如图,设 点 B 的坐标为(0,b),过点 B 作 垂直于 y 轴的直线(法线),过 点 A 作垂直于该直线的垂线交该直线于点 D,过点 C 作垂直于该直线的垂线交该直线于点 E。 ∴ AD = 2-b,BD = 3,CE = b,BE = 1。 由入射光线与反射 光线的性质,得∠ABD= ∠CBE。 ∴ tan∠ABD= tan∠CBE。 ∵ tan∠ABD= AD BD = 2-b 3 ,tan∠CBE=CE BE = b, ∴ 2 -b 3 = b,解得 b= 1 2 。 ∴ 点 B ( 0, 12 ) 。 设入射光线 AB 所在直线的表达式为 y= kx+c。 将点 A(-3,2)和点 B ( 0, 12 ) 代入 y= kx+c, 得 2 = -3k+c, 1 2 = c。{ 解得 k= - 1 2 , c= 1 2 。 ì î í ï ï ï ï ∴ 入射光线 AB 所在直线的表达式为 y=- 1 2 x+ 1 2 。 16. 1 22 022 　 【解析】在 Rt△ABC 中,∠A = 90°,AB = AC = 3 2,∴ ∠B= ∠C= 45°。 ∴ BC = 2AB = 6。 ∵ 四边 形 DEFG 是正方形,∴ ∠FED = ∠GDE = ∠GFE = 90°,EF=DE=DG=FG,FG∥DE。 ∴ ∠FEC = 180°- ∠FED = 90°, ∠GDB = 180° - ∠GDE = 90°。 ∴ ∠DGB= ∠B = 45°,∠EFC = ∠C = 45°。 ∴ GD = BD,EF=EC。 ∴ BD = DE = EC = 1 3 BC = 2。 ∴ 第 1 个内接正方形的边长为 ( 12 ) 0 ×2。 ∵ P 是 GF 的 中点,∴ FP= 1 2 FG。 ∴ FP= 1 2 EF。 ∵ 四边形 HIKJ 是正方形,∴ KI = HI = JH,∠KIH = 90°。 ∴ ∠KIE = 180°-∠KIH= 90°。 ∴ ∠GFE= ∠KIE= 90°。 ∵ FG∥DE,∴ ∠FPE = ∠PEI。 ∴ △FPE∽△IEK。 ∴ FP FE = IE IK = 1 2 。 ∴ IE= 1 2 KI。 同理可得 DH= 1 2 JH。 ∴ DH+IE = KI。 ∴ DH + IE = HI = 1 2 DE = 1 2 × 2。 ∴ 第 2 个内接正方形的边长为 ( 12 ) 1 ×2。 同理可 得 MN= 1 2 HI= 1 4 DE= ( 12 ) 2 ×2,∴ 第 3 个内接正 方形的边长为 ( 12 ) 2 ×2……所以第 2 024 个内接 正方形的边长为 ( 12 ) 2 023 ×2 = 1 22 022。 17.解:(-2 024) 0 - 12 +2tan 60°+(-1) -2 = 1-2 3 +2 3 +1 = 2。 18.解:由①,得 x≤3。 由②,得 x>-3。 所以不等式组的解集为-3<x≤3。 在数轴上表示如图, 19.证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AB∥DC,BC=CD。 ∴ ∠B= ∠DCF。 在△BCE 和△CDF 中, BE=CF, ∠B= ∠DCF, BC=CD, { ∴ △BCE≌△CDF(SAS)。 ∴ CE=DF。 20.解:(1)学校随机抽取的学生数 m= 5÷10% = 50,n% = 10÷50×100% = 20% , ∴ n= 20。 故答案为 50,20。 (2)成绩在 C 组的学生有 50-20-10-5 = 15(名)。 补全条形统计图如图。 (3)样本容量为 50,第 25 和 26 个数据分别为 85 和 86。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —25— 所以抽取的 50 名学生的成绩的中位数是85 +86 2 = 85. 5(分)。 在扇形统计图中,C 等级对应扇形圆心角的度数是 360°×15 50 = 108°。 故答案为 85. 5,108°。 (4)2 100×20 +10 50 = 1 260(名)。 答:成绩能达到 B 等级及以上的学生约有 1 260 名。 21. 解:(1)如图,过点 C 作 CF⊥l,垂足为 F,过点 B 作 BN⊥CF,垂足为 N,过点 D 作 DM⊥CF,垂足为 M, 设 DM 与 BC 交于点 G,过点 D 作 DE⊥EF,垂足 为 E。 由题意,得 FN = AB = 18 cm,BN = AF,DM = EF, DE = MF, ∠ABN = 90°,DM∥l。 ∵ ∠ABC = 148°,∴ ∠CBN = ∠ABC- ∠ABN= 148°-90° = 58°。 在 Rt△CBN 中,BC= 40 cm, ∴ CN=BC·sin 58°≈40×0. 85 = 34(cm)。 ∴ CF=CN+NF= 34+18 = 52(cm)。 ∴ 悬臂端点 C 到桌面 l 的距离约为 52 cm。 (2)由(1),得 FN=AB= 18 cm,BN=AF,DM=EF,DE=MF,∠ABN = 90°,DM∥l。 ∵ 摄像头 D 到桌面 l 的距离为 30 cm, ∴ DE=MF= 30 cm。 ∴ CM=CF-MF= 52-30 = 22(cm)。 在 Rt△CDM 中,CD= 44 cm,CM= 22 cm, ∴ sin∠CDM=CM CD = 1 2 。 ∴ ∠CDM= 30°,∠DCM= 60°。 在 Rt△CBN 中,∠CBN= 58°,∴ ∠BCN= 32°。 ∴ ∠BCD= ∠DCM-∠BCN= 60°-32° = 28°。 22.解:(1)证明:如图标注各角,连接 OE。 ∵ AC 为☉O 的切线, ∴ OE⊥AC。 ∴ ∠AEO= 90°。 ∵ ∠C= 90°, ∴ OE∥BC。 ∴ ∠1 = ∠3。 ∵ OB=OE, ∴ ∠2 = ∠3。 ∴ ∠1 = ∠2。 ∵ EH⊥AB,∠C= 90°, ∴ EH=EC。 在 Rt△BEH 和 Rt△BEC 中 BE=BE, EH=EC,{ ∴ Rt△BEH≌Rt△BEC(HL)。 ∴ BC=BH。 (2)在 Rt△ABC 中,BC= AB2-AC2 = 52-42 =3。 设 OE= r,则 OA= 5-r。 ∵ OE∥BC,∴ △AOE∽△ABC。 ∴ AO AB =OE BC ,即5 -r 5 = r 3 。 解得 r= 15 8 。 ∴ AO= 5-r= 25 8 。 在 Rt△AOE 中,AE= ( 258 ) 2 - ( 158 ) 2 = 5 2 , ∴ CE=AC-AE= 4- 5 2 = 3 2 。 23.解:(1)设甲种商品每件的进价是 x 元,则乙种商 品每件的进价为 3x 元。 由题意,得400 x +1 200 3x = 80。 解得 x= 10。 经检验,x = 10 为原分式方程的解,且符合题意。 则 3x= 3×10 = 30。 答:甲种商品每件的进价为 10 元,乙种商品每件 的进价为 30 元。 (2)设 12 月份再次购进甲种商品 a 件,则购进乙 种商品(80-a)件。 由题意,得(15-10)a+(40-30)(80-a)≥600。 解得 a≤40,即 a 的最大值是 40。 答:该超市 12 月份最多购进甲种商品 40 件。 24.解:(1)∵ 一次函数 y= 3x+b 的图象与坐标轴交于点 A,B,其中点 A的坐标为(-3,0)。 ∴ 0 = 3×(-3) +b。 解得 b= 9。 ∴ 一次函数的表达式为 y = 3x+9。 令 x = 0,得 y = 9。 ∴ 点 B(0,9)。 ∵ 一次函数 y = 3x+ 9 的图象与反比例函数 y = k x (x>0)的图象交于点 C(1,a),将点 C(1,a) 代入 y= 3x+9, 得 a= 3+9 = 12。 ∴ 点 C(1,12)。 把点 C(1,12)代入 y= k x (x>0), 得 12 = k 1 。 解得 k= 12。 ∴ y= 12 x (x>0)。 ∴ 反比例函数的表达式为 y= 12 x (x>0)。 (2)如图 1,连接 DC,DB。 由题意,知 DE∥x 轴。 设点 D (m,12m ) 。 ∴ 点 E 的纵坐标为 12 m 。 代入一次函数,得 3x+9 = 12 m 。 解得 x= 4 m -3。 ∴ 点 E 的坐标为 ( 4m -3, 12 m ) 。 ∵ S△DCE = 2S△DBC, ∴ 当点 D 在点 C 下方时,S△DCE = 2S△BDE。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —35— ∴ 1 2 ( 12- 12 m ) ·DE= 2× 1 2 ( 9- 12 m ) ·DE。 解得 m= 2。 ∴ 点 D 的坐标为(2,6)。 如图 2,当点 D 在点 C 上方时, 同理 S△DCE = 2S△DBC, ∴ S△CDE = 2 3 S△BDE。 ∴ 1 2 ( 12 m -12 ) ·DE= 23 × 1 2 ( 12 m -9 ) ·DE。 解得 m= 2 3 ,∴ 点 D 的坐标为 ( 23 ,18 ) 。 综上所述,点 D 的坐标为(2,6)或 ( 23 ,18 ) 。 图 1 　 　 　 图 2 (3)如图 3,连接 EP,DP。 设点 P(n,0),由(2),得 点 D (m,12m ) ,E ( 4 m -3,12 m ) ,其中 m>0。 ∵ △AOB∽△PED,∴ ∠AOB= ∠PED= 90°。 　 　 图 3 ∵ ED∥x 轴,∴ EP⊥x 轴。 ∴ 点 P 的坐标为 ( 4m -3,0 ) 。 ∴ PE= 12 m ,DE=m- ( 4m -3 ) 。 ∵ AO= 3,BO= 9, ∴ PE DE = 12 m m- ( 4m -3 ) = 12 m2 +3m-4 = AO BO = 1 3 。 解得 m1 = -8,m2 = 5。 ∵ m>0,∴ m= 5。 ∴ 点 D ( 5,125 ) 。 ∴ 点 D 的纵坐标为12 5 。 25.解:(1)如图 1,过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E。 　 图 1 ∵ 点 A 的坐标为(4,0), ∴ OA= 4。 ∴ 点 B 的纵坐标为-6,∴ BE= 6。 ∵ tan∠OAB=BE AE = 2, ∴ AE= 1 2 BE= 3。 ∴ OE=OA-AE= 1。 ∴ 点 B(1,-6) ∵ 抛物线 M1 : y = ax 2 + bx ( a≠ 0) 过点 A ( 4, 0), B(1,-6), ∴ a+b= -6, 16a+4b= 0。{ 解得 a= 2, b= -8。{ ∴ 抛物线 M1 的表达式为 y= 2x 2 -8x。 (2)∵ 点 C 在抛物线 y= 2x2 -8x 上,点 C 的横坐标 为 h,∴ 点 C(h,2h2 -8h)。 ∵ CD∥x 轴,∴ 点 D 的纵坐标为 2h2 -8h。 ∵ CD 交直线 AB 于点 D,∴ 设直线 AB 的表达式为 y = kx + d。 将点 A ( 4, 0 ), B ( 1, - 6 ) 代入, 得 4k+d= 0, k+d= -6。{ 解得 k= 2, d= -8。{ ∴ 直线 AB 的表达式为 y= 2x-8。 把 y= 2h2 -8h 代入 y= 2x-8,得 2x-8 = 2h2 -8h。 解 得 x=h2 -4h+4。 ∴ 点 D(h2 -4h+4,2h2 -8h)。 ∴ CD=h-(h2 -4h+4)= -h2 +5h-4 = - ( h- 52 ) 2 + 9 4 。 ∵ C 为直线 AB 下方的抛物线上一动点, ∴ 1≤h≤4。 ∵ -1<0,∴ 抛物线开口向下。 ∴ 当 h= 5 2 时,CD 有最大值,为 9 4 。 ∴ 当 CD 取最大值时,h 的值为 5 2 。 (3)如图 2,设直线 AE 的表达式为 y= k1x+b1 。 　 图 2 ∵ 直线 AE 过点 A(4,0),E(0,-4), ∴ b1 = -4, 4k1 +b1 = 0。 { 解得 k1 = 1, b1 = -4。 { ∴ 直线 AE 的表达式为 y= x-4。 当 x= 3 2 时,y= 3 2 -4 = - 5 2 。 ∴ 直线 AE 对应点 P ( 32 ,- 5 2 ) 。 当 x= 5 2 时,y= 5 2 -4 = - 3 2 。 ∴ 直线 AE 对应点 Q ( 52 ,- 3 2 ) 。 ∵ 抛物线 M1 的图象向上平移 m(m>1)个单位长 度得到抛物线 M2 ,∴ M2 :y = 2x 2 -8x+m。 当抛物线 M2 经过点 P ( 32 ,- 5 2 ) 时,抛物线 M2 与线段 PQ 只有一个公共点; 当抛物线 M2 经过点 Q ( 52 ,- 3 2 ) 时,抛物线 M2 与线段 PQ 有两个公共点。 此时- 3 2 = 2× ( 52 ) 2 - 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —45— 8× 5 2 +m。 解得 m= 6。 当抛物线 M2 与直线 AE 有唯一的公共点时, y= 2x2 -8x+m, y= x-4,{ 即 2x 2 -9x+m+4 = 0。 Δ= (-9) 2 -4×2(m+4)= 0,解得 m= 49 8 。 ∴ 当 3 2 ≤x≤ 5 2 时,若抛物线M2 与直线 AE 有两个 交点,m 的取值范围为 6≤m<49 8 。 26.解:( 1) 如图 1,延长 BE 交 AC 于点 H,交 AD 于 点 N。 　 　 　 图 1 当 m = 1 时, DC = CE, CB =CA。 ∵ ∠ACB= ∠DCE= 90°, ∴ ∠ACD= ∠BCE。 ∴ △ACD≌△BCE(SAS)。 ∴ ∠DAC= ∠EBC。 ∵ ∠CAB+∠ABE+∠CBE= 90°, ∴ ∠CAB+∠ABE+∠DAC= 90°。 ∴ ∠ANB= 90°。 ∴ AD⊥BE。 故答案为 AD⊥BE。 (2)(1)中的结论成立。 证明:如图 2,延长 BE 交 AC 于点 H,交 AD 于点 N。 　 　 　 　 图 2 ∵ ∠ACB= ∠DCE= 90°, ∴ ∠ACD= ∠BCE。 ∵ DC CE = AC BC = 1 m , ∴ △DCA∽△ECB。 ∴ ∠DAC= ∠EBC。 ∵ ∠CAB+∠ABE+∠CBE= 90°, ∴ ∠CAB+∠ABE+∠DAC= 90°。 ∴ ∠ANB= 90°。 ∴ AD⊥BE。 (3)如图 3,当点 E 在线段 AD 上时,连接 BE。 　 　 　 　 图 3 ∵ △DCA∽△ECB, ∴ BE AD =BC AC =m= 3 。 ∴ BE = 3 AD = 3 ( 4 + AE)。 ∵ AD⊥BE,∴ AB2 = AE2 + BE2 。 ∴ 112 =AE2 +3(4+AE) 2 。 ∴ AE= 2 或-8(舍去)。 ∴ BE= 6 3 。 如图 4,当点 D 在线段 AE 上时,连接 BE。 　 　 　 　 图 4 ∵ △DCA∽△ECB, ∴ BE AD =BC AC =m= 3 。 ∴ BE = 3 AD = 3 (AE- 4)。 ∵ AD⊥BE,∴ AB2 =AE2+BE2 。 ∴ 112 =AE2 +3(AE-4) 2 。 ∴ AE= 8 或-2(舍去)。 ∴ BE= 4 3 。 综上所述,BE= 6 3或 4 3 。 15 2024 年历下区学业水平第三次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D B A D B C A C A 1. D　 【解析】- 1 2 024 的相反数是 1 2 024 ,故选 D。 2. D　 【解析】根据主视图和左视图为矩形判断出是柱 体,根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该 是三棱柱。 故选 D。 3. B　 【解析】0. 000 000 000 34 = 3. 4×10-10。 故选 B。 4. A　 【解析】∵ FG 平分∠EFD,∠EFD= 70°,∴ ∠GFD= 1 2 ∠EFD = 1 2 × 70° = 35°。 ∵ AB∥CD,∴ ∠EGF = ∠GFD= 35°。 故选 A。 5. D　 【解析】A. 是轴对称图形,不是中心对称图形, 不合题意;B. 不是轴对称图形,是中心对称图形,不 合题意;C. 是轴对称图形,不是中心对称图形,不合 题意;D. 是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题 意。 故选 D。 6. B　 【解析】 a2 ·a3 = a5,故 A 不符合题意;( a3 ) 2 = a6,故 B 符合题意;(2a3) 2 = 4a6,故 C 不符合题意; a6 ÷a3 =a3,故 D 不符合题意。 故选 B。 7. C　 【解析】用 A,B,C 分别表示“篮球” “足球” “排 球”三种课程,画树状图如下: 共有 9 种等可能的结果,其中两人恰好选择同一课 程的结果有 3 种。 所以两人恰好选择同一课程的 概率为 3 9 = 1 3 。 故选 C。 8. A　 【解析】观察函数图象,可知 a<0,b>0,c<0,∴ 二 次函数 y=ax2 +bx+c 的图象开口向下,对称轴直线 x = - b 2a >0,与 y 轴的交点在 y 轴负半轴上。 故选 A。 9. C　 【解析】如图,过点 B 作 BH⊥AD 交 DA 的延长 线于点 H。 ∵ ∠BAD = 120°,∴ ∠BAH= 60°。 在 Rt△ABH 中, ∵ ∠ABH= 90°-60° = 30°, ∴ AH= 1 2 AB= 1。 ∴ BH= 22 -12 = 3。 ∵ 四边形 ABCD 为平行四边 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —55—