13 2024年章丘区学业水平第二次模拟试题-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东济南专版）

— 73 — — 74 — — 75 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。 在每个小题给出四个选项中,只有一项符合题目 要求) 1. 下面几个几何体中,从正面看到的形状是圆的是 (　 　 ) A. B. C. D. 2. 章丘明水古城国际泉水旅游度假区自试运营以来,人气如虹,截至 2024 年 5 月 1 日,共计接待游客 1 340 000 余人次,形成了特色鲜明的品牌效应,成为游客旅游目的地的新选择。 将数据 1 340 000 用科学记数法表示为 (　 　 ) A. 134×104 B. 13. 4×105 C. 1. 34×106 D. 0. 14×107 3. 如图,三角尺的直角顶点落在矩形纸片的一边上。 若∠1 = 42°,则∠2 的度数是 (　 　 ) A. 42° B. 48° C. 58° D. 84° 第 3 题图 　 　 　 　 第 4 题图 4. 实数 a,b,c 在数轴上的对应点的位置如图所示,下列式子正确的是 (　 　 ) A. b+c>0 B. a-b>a-c C. ac>bc D. ab>ac 5. 数学世界奇妙无穷,其中曲线是微分几何的研究对象之一,下列数学曲线既是轴对称图形,又是中心 对称图形的是 (　 　 ) A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是 (　 　 ) A. x+x2 = x3 B. (x3) 2 = x5 C. ( -x) 3 = -x3 D. x6 ÷x2 = x3 7. 已知点 A(x1,y1),B(x2,y2)在反比例函数 y= 4 x 的图象上,若 x1 <0<x2,则 (　 　 ) A. y1 <0<y2 B. y2 <0<y1 C. y1 <y2 <0 D. y2 <y1 <0 8. 小高有三件运动上衣,分别为蓝色、白色和红色,有两条运动裤,分别是黑色和红色,一天他准备去运 动场锻炼,随手拿出一件运动上衣和一条运动裤,则恰好都是红色的概率为 (　 　 ) A. 1 6 B. 3 5 C. 1 3 D. 2 5 9. 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠B = 36°。 分别以点 A,C 为圆心、大于 1 2 AC 的长为半径画弧,两弧相交 于点 D,E,作直线 DE 分别交 AC,BC 于点 F,G。 以点 G 为圆心,GC 长为半径画弧,交 BC 于点 H,连 接 AG,AH。 则下列说法错误的是 (　 　 ) A. AG=CG B. ∠B= 2∠HAB C. CG AC = 3- 5 2 D. S△AGB S△AGC = 5 +1 2 10. 若一个点的纵坐标是横坐标的 3 倍,则称这个点为“三倍点”,如:A(1,3),B( -2,-6),C(0,0)等都 是“三倍点”。 在-3<x<1 的范围内,若二次函数 y= -x2 -x+c 的图象上至少存在一个“三倍点”,则 c 的取值范围是 (　 　 ) A. - 1 4 ≤c<1 B. -4≤c<-3 C. - 1 4 ≤c<6 D. -4≤c<5 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. 分解因式:x2 -4x+4 = 。 12. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动,并随机地停留在某块方砖上,那么它最终停留在阴影区 域的概率是 。 第 12 题图 　 　 第 14 题图 　 　 第 15 题图 　 　 第 16 题图 13. 已知关于 x 的方程 ax2 -4x-1 = 0 至少有一个实数解,则 a 的取值范围是 。 14. 如图,在扇形 AOB 中,∠AOB= 90°,将扇形 AOB 进行折叠,使点 O 落在弧 AB 的中点 C 处。 若折痕 DE= 2 2 ,则图中阴影部分的面积为 。 15. 甲、乙两地相距 360 km,慢车从甲地匀速前往乙地,到达乙地后停止。 在慢车出发的同时,另一辆 快车从乙地沿同一公路匀速前往甲地,到达甲地后停止。 两车之间的距离 y(km)与慢车出发时间 x(h)之间的函数关系如图中的折线 CD-DE-EF 所示。 其中点 C 的坐标是(0,360),点 D 的坐标是 (2,0),则点 E 的坐标是 。 16. 如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别是 BC,CD 边上的动点,且 BE= 2CF,若 AB= 1,则 DE+2BF 的最 小值是 。 三、解答题(本大题共 10 小题,共 86 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (6 分)计算:(π-3) 0 + 4 -tan 45°+ ( 12 ) -2 。 18. (6 分)解不等式组 x+3 2 ≥x+1, 3+4(x-1) >-9, ì î í ï ï ï ï 并写出不等式组的整数解。 19. (6 分)如图,四边形 ABCD 是平行四边形,DE 平分∠ADC 交 AB 于点 E,BF 平分∠ABC 交 CD 于点 F。 求证:DE=BF。 20. (8 分)为提倡健康生活,某人买回一台跑步机。 图 1,图 2 分别是某种型号跑步机的实物图与示意 图。 已知踏板 CD 长为 1. 6 m,踏板 CD 与地面 DE 的坡度为 1 ∶ 3 ,支架 AC 长为 0. 8 m,跑步机手 柄为 AB,且 AB∥ED,点 A 到地面的高度为 h。 支架与踏板的夹角(∠ACD)可以根据用户的舒适度 需求在 0° ~ 90°调节。 (1)求点 C 到地面 DE 的距离; (2)该人身高为 1. 8 m,通过尝试 h 是身高 0. 8 倍运动起来更加舒服。 ①求此时点 C 到手柄 AB 的距离; ②求此时支架与踏板之间夹角的度数。 (参考数据:cos 50°≈0. 64,cos 37°≈0. 8,sin 50°=cos 40°≈0. 76) 图 1 　 　 　 图 2 13 2024 年章丘区学业水平第二次模拟试题 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 76 — — 77 — — 78 — 21. (8 分)某学校八、九年级各有学生 200 人,为了提高学生的身体素质,学校开展了主题为“快乐运 动,健康成长”的系列体育健身活动。 为了了解学生的运动状况,从八、九年级各随机抽取 40 名学 生进行了体能测试,获得了他们的成绩(百分制),并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析。 下面 给出了部分信息。 (说明:成绩 80 分及以上为优秀,70-79 分为良好,60-69 分为合格,60 分以下为 不合格) a. 八年级学生成绩的频数直方图如图(数据分为五组:50≤x<60,60≤x<70,70≤x<80,80≤x<90, 90≤x≤100)。 b. 八年级学生成绩在 70≤x<80 这一组中的数据为 70,71,73,73,73,74,76,77,78,79。 c. 九年级学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率如下: 平均数 中位数 众数 优秀率 79 76 84 40% 　 　 　 根据以上信息,回答下列问题: (1)在此次测试中,小腾的成绩是 74 分,在年级中的排名是第 17 名,由此可知,他是 (填 “八”或“九”)年级的学生; (2)根据上述信息,推断 年级学生运动状况更好,理由为 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ;(至少从两个不同的角度说明推断的 合理性) (3)假设八、九年级全体学生都参加了此次测试, ①预估九年级学生此次体能测试成绩达到优秀的有 人; ②如果年级排名在前 70 名的学生可以被评选为 “运动达人”,预估八年级学生至少要达到 分才可以入选。 22. (8 分)如图,AB 是☉O 的直径,点 D 在 AB 的延长线上,CD 与☉O 相切于点 C。 连接 AC,BC。 (1)求证:∠CAB= ∠BCD; (2)若 tan A= 1 2 ,CD= 4,求☉O 的半径长。 23. (10 分)“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想,体育强则中国强,国运兴则体育兴。”为引导学生 在体育锻炼中享受乐趣、增强体质,学校开展大课间活动,七年级(5)班拟组织学生参加跳绳活动, 需购买 A,B 两种跳绳若干,已知购买 3 根 A 种跳绳和 1 根 B 种跳绳共需 105 元,购买 5 根 A 种跳 绳和 3 根 B 种跳绳共需 215 元。 (1)求 A,B 两种跳绳的单价; (2)如果班级计划购买 A,B 两种跳绳共 48 根,B 种跳绳的数量不少于 A 种跳绳的 2 倍,那么购买 跳绳所需的最少费用是多少元? 24. (10 分)在平面直角坐标系中,P 是反比例函数 y= k x (x>0)在第一象限图象上的一点。 (1)如图,过点 P 的直线 y= 1 2 x+1 分别与 x 轴,y 轴交于点 A,B,且 AB=BP。 ①求反比例函数的表达式; ②D 为 x 轴正半轴上一点,点 E 在反比例函数 y= k x (x>0)的图象上,若以点 B,D,E,P 为顶点的四 边形为平行四边形,求点 E 的坐标; (2)过定点 P 的直线 y=mx-3m+2 交反比例函数在第一象限的图象于另一点 Q,交 y 轴于点 M,连 接 OP,OQ,设△POQ 的面积为 S1,△MOP 的面积为 S2,若 2S1 =S2,求 m 的值。 　 　 备用图 25. (12 分)抛物线 y=ax2 +2x+c 与 x 轴交于 A( -1,0),B 两点,与 y 轴交于点 C(0,3)。 (1)求抛物线的表达式; (2)如图 1,P 为第一象限抛物线上的一点,连接 OP,交 BC 于点 Q,连接 CP,求△CPQ 与△OCQ 面 积的比值的最大值; (3)如图 2,M 为抛物线对称轴上的一动点,连接 OM,AM,当∠AMO 最大时,求点 M 的坐标。 图 1 　 　 　 图 2 26. (12 分)【问题发现】 (1)如图 1,在等腰直角三角形 ABC 中,D 是斜边 BC 上任意一点,在 AD 的右侧作等腰直角三角形 ADE,使∠DAE= 90°,AD=AE,连接 CE,则∠ABC 和∠ACE 的数量关系为 ; 【拓展延伸】 (2)如图 2,在等腰三角形 ABC 中,AB=BC,D 是 BC 边上任意一点(不与点 B,C 重合),在 AD 的右 侧作等腰三角形 ADE,使 AD=DE,∠ABC= ∠ADE,连接 CE,则(1)中的结论是否仍然成立? 请说明 理由; 【归纳应用】 (3)在(2) 的条件下,若 AB = BC = 6,AC = 4,D 是射线 BC 上任意一点,请直接写出当 CD = 3 时 CE 的长。 图 1 　 图 2 　 备用图 ∴ BP 的最大值为 m=AP+AB= 4+2 2 。 当点 P 在 AB 的延长线上时,BP 有最小值, 最小值为 n=AP-AB= 4-2 2 。 ∴ mn= (4+2 2 )(4-2 2 )= 8。 故答案为 8。 13 2024 年章丘区学业水平第二次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C B A C C A A C D 1. B 　 【解析】 从正面看到的形状是圆的是球。 故 选 B。 2. C　 【解析】1 340 000 = 1. 34×106。 故选 C。 3. B　 【解析】标注各点及∠3 如图。 ∵ ∠1+∠3 = 180° - 90° = 90°,∠1 = 42°,∴ ∠3 = 90°-∠1 = 48°。 ∵ AB∥CD,∴ ∠2 = ∠3 = 48°。 故 选 B。 4. A　 【解析】由图可知,a<0<c<b,且 | a | < | b | ,∴ b+c> 0。 ∴ A 选项符合题意;∵ b>c,∴ -b<-c。 ∴ a-b<a- c。 ∴ B 选项不符合题意;∵ a<b,c>0,∴ ac<bc。 ∴ C 选 项不符合题意;∵ b>c,a< 0,∴ ab<ac。 ∴ D 选项不 符合题意。 故选 A。 5. C　 【解析】A. 是轴对称图形,不是中心对称图形, 故 A 选项不合题意;B. 是轴对称图形,不是中心对 称图形,故 B 选项不合题意;C. 既是中心对称图形, 也是轴对称图形,故 C 选项符合题意;D. 是轴对称 图形,不是中心对称图形,故 D 选项不合题意。 故 选 C。 6. C　 【解析】x 与 x2 不能进行合并,故 A 选项不正确, 不符合题意;(x3) 2 = x6,故 B 选项不正确,不符合题 意;(-x) 3 = -x3,故 C 选项正确,符合题意;x6 ÷x2 = x4,故 D 选项不正确,不符合题意。 故选 C。 7. A　 【解析】∵ k= 4>0,∴ 反比例函数 y= 4 x 的图象分 居于第一、三象限。 ∵ 点 A( x1,y1),B( x2,y2)在反 比例函数 y = 4 x 的图象上,且 x1 <0<x2,∴ y1 < 0,y2 > 0。 ∴ y1 <0<y2。 故选 A。 8. A　 【解析】根据题意,画树状图如图, 共有 6 种等可能的结果,其中恰好都是红色的结果 有 1 种,所以随手拿出一件运动上衣和一条运动 裤,恰好都是红色的概率为 1 6 。 故选 A。 9. C　 【解析】由作法,得 DE 垂直平分 AC,GH = GC, ∴ AF=CF,GF⊥AC,GC =GA。 故 A 选项正确,不符 合题意;∵ CG=GH,CF = AF,∴ FG 为△ACH 的中位 线。 ∴ FG∥AH。 ∴ AH⊥AC。 ∴ ∠CAH = 90°。 ∵ AB =AC,∴ ∠C = ∠B = 36°。 ∵ ∠BAC = 180°-∠B-∠C = 108°, ∴ ∠HAB = 108° - ∠CAH = 18°。 ∴ ∠B = 2∠HAB。 故 B 选项正确,不符合题意;∵ GC = GA, ∴ ∠C= ∠GAC= 36°。 ∴ ∠BGA= ∠C+∠GAC = 72°。 ∴ ∠BAG = 180° -∠B-∠BGA = 72° = ∠BGA。 ∴ BG =BA。 ∴ AB=GB = AC。 ∵ ∠GCA = ∠ACB,∠CAG = ∠B,∴ △CAG∽△CBA。 ∴ CG CA = CA CB 。 ∴ CA2 = CG· CB。 设 CB= x,AB=GB=CA= a,∴ CG = x-a。 ∴ a2 = (x-a)x。 解得 x= 1 + 5 2 a(舍去负值),∴ CB=1 + 5 2 a。 ∴ CG=CB-BG = 1 + 5 2 a-a = 5 -1 2 a。 ∴ CG AC = 5 -1 2 a a = 5 -1 2 。 故 C 选项不正确。 符合题意;BG CG = a 5 -1 2 a = 5 +1 2 ,∴ S△AGB S△AGC =BG CG = 5 +1 2 。 故 D 选项正确,不符 合题意。 故选 C。 10. D　 【解析】由题意,得三倍点所在的直线为 y= 3x, 在-3<x<1 的范围内,二次函数 y= -x2 -x+c 的图象 上至少存在一个“三倍点”,即在- 3<x< 1 的范围 内,二次函数 y = -x2 -x+c 和 y = 3x 至少有一个交 点。 令 3x= -x2 -x+c,整理,得 x2 +4x-c = 0。 则 Δ = b2 -4ac= 16+4c≥0,解得 c≥-4。 把 x= -3 代入 y = -x2 -x+c,得 y = -6+c;把 x = - 3 代入 y = 3x,得 y = -9,∴ -9> -6 + c。 解得 c< - 3。 把 x = 1 代入 y = -x2 -x+c,得 y= -2+c;把 x = 1 代入 y = 3x,得 y = 3, ∴ 3>-2+c。 解得 c<5。 综上,c 的取值范围为-4≤ c<5。 故选 D。 11. (x-2) 2 　 【解析】x2 -4x+4 =(x-2) 2。 12. 1 3 　 【解析】如图,通过连接小正方 形的对角线,9 个小正方形被分成 18 个全等的等腰直角三角形,其中 阴影区域占 6 个全等的等腰直角三角形,∴ P(最 终停留在阴影区域)= 6 18 = 1 3 。 13. a≥-4　 【解析】当 a= 0 时,原方程为-4x-1 = 0,该 方程为一元一次方程,有一个实数解;当 a≠0 时, 方程 ax2 - 4x - 1 = 0 是一元二次方程,则当 Δ = (-4) 2 - 4a×(- 1)= 16+ 4a≥0 时,方程有实数解, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —74— 解得 a≥-4。 综上,关于 x 的方程 ax2 -4x-1 = 0 至 少有一个实数解,则 a 的取值范围是 a≥-4。 14. 2π-4　 【解析】如图,连接 OC 交 DE 于点 F。 ∵ 将扇形 AOB 折叠,点 O 落在弧 AB 的中点 C 处,∴ AC ( = BC ( 。 ∴ ∠AOC = ∠BOC= 1 2 ∠AOB = 1 2 × 90° = 45°,且 OC⊥ DE。 ∴ ∠ODE = ∠OED = 45°。 ∴ OD = DC = CE = OE。 ∴ 四边形 ODCE 是正方形。 ∴ DE = OC = 2 2。 DE2 = 2OD2。 ∴ (2 2) 2 = 2OD2。 解得 OD= 2(负值 舍去)。 ∴ S扇形AOB = 90π×(2 2) 2 360 = 2π,S正方形ODCE = OD·OC= 2×2 = 4。 ∴ 阴影部分的面积为 2π-4。 15. ( 3,180) 　 【解析】 由题意,可得慢车的速度为 360÷6 = 60(km / h),则快车的速度为 360÷ 2- 60 = 120(km / h),则点 E 的横坐标为 360÷120 = 3,纵坐 标为 60×(3-2)+120×(3- 2)= 180。 故点 E 的坐 标为(3,180)。 16. 10 　 【解析】如图,延长 AB 到点 G,使得 BG = 1, 继续延长到点 H,使得 GH= 1,取 BE 的中点 I,连接 GI,HE,DH。 ∵ BE= 2CF,I 是 BE 的中点, ∴ CF=BI= 1 2 BE。 ∵ 四边形 ABCD 是正方形,AB= 1, ∴ AD = AB = CB = BG = GH = 1,∠BCF = ∠DAB = ∠ABC= ∠GBI= 90°。 ∴ G 是 BH 的中点,BF= CB2 +CF2 , GI= BG2 +BI2 ,AH=AB+BG+GH= 3。 ∴ GI 是△BEH 的中位线,BF=GI。 ∴ HE= 2GI= 2BF。 ∴ DE+2BF=DE+HE。 ∴ DE+2BF 的最小值为 DE+HE 的最小值。 ∵ 当点 D,E,H 在同一直线上时,DE+HE 取得最小 值,∴ DE + 2BF 的最小值 = DH = AD2 +AH2 = 12 +32 = 10。 17.解:(π-3) 0 + 4 -tan 45°+ ( 12 ) -2 = 1+2-1+4 = 6。 18.解:由x +3 2 ≥x+1,得 x≤1。 由 3+4(x-1)>-9,得 x>-2。 则不等式组的解集为-2<x≤1。 所以其整数解为-1,0,1。 19.证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD=CB,∠A= ∠C,∠ADC= ∠CBA。 ∵ DE 平分∠ADC,BF 平分∠ABC, ∴ ∠ADE= 1 2 ∠ADC,∠CBF= 1 2 ∠ABC。 ∴ ∠ADE= ∠CBF。 在△ADE 和△CBF 中, ∠A= ∠C, AD=CB, ∠ADE= ∠CBF, { ∴ △ADE≌△CBF(ASA)。 ∴ DE=BF。 20.解:(1)如图,过点 C 作 CG⊥DE 于点 G。 ∵ 踏板 CD 与地面 DE 的坡度为 1 ∶ 3 , CD = 1. 6 m, ∴ tan∠CDG= 1 3 = 3 3 。 ∴ ∠CDG= 30°。 ∴ CG= 1 2 CD= 0. 8(m)。 ∴ 点 C 到地面 DE 距离为 0. 8 m。 (2) ①如图,延长 GC 交 AB 于点 F,则 CF⊥AB。 ∵ 该人身高为 1. 8 m,通过尝试 h 是身高 0. 8 倍运动 起 来 更 加 舒服, ∴ h=FG= 1. 8×0. 8 = 1. 44(m)。 由(1),得 CG= 0. 8 m。 ∴ CF=FG-CG= 1. 44-0. 8 = 0. 64(m)。 ∴ 此时点 C 到手柄 AB 的距离为 0. 64 m。 ②在 Rt △ACF 中,AC = 0. 8 m, cos ∠ACF = CF AC = 0. 64 0. 8 = 0. 8,∴ ∠ACF≈37°。 由(1),得∠DCG= 90°-∠CDG= 60°, ∴ ∠ACD= 180° -∠ACF-∠DCG≈180° - 37° - 60° = 83°。 ∴ 此时支架与踏板之间夹角的度数为 83°。 21.解:(1)八年级学生成绩中第 20,21 个数据是 73, 71,所以中位数为71 +73 2 = 72(分)。 小腾的成绩是 74 分,在年级中的排名是第 17 名, 可知其所在年级成绩的中位数应该不大于 74,因 此他应该在八年级。 故答案为八。 (2)九　 ①九年级优秀率为 40% ,八年级优秀率为 30% ,说明九年级体能测试中成绩优秀的人数更 多;②九年级成绩的中位数为 76,八年级为 72,说 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —84— 明九年级一半的同学测试成绩高于 76 分,而八年 级少于一半的同学的测试成绩高于 76 分。 (合理 即可) (3)①200×40% = 80(人)。 故答案为 80。 ②总体中“运动达人”占 70 200 × 100% = 35% ,可得样 本中“运动达人”有 40× 35% = 14(人),∵ 80≤x< 90 的有 9 人,而 90≤x≤100 的有 3 人,14- 9- 3 = 2(人),∴ 再从 70≤x<80 成绩中,按从大到小的顺 序找出排在第 2 的数据,为 78。 故答案为 78。 22.解:(1)证明:如图,连接 OC,则 OC=OB。 ∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ACB= 90°。 ∴ ∠CAB+∠ABC= 90°。 ∵ CD 与☉O 相切于点 C, ∴ CD⊥OC。 ∴ ∠OCD= 90°。 ∴ ∠BCD+∠OCB= 90°。 ∵ OC=OB, ∴ ∠ABC= ∠OCB。 ∴ ∠CAB= ∠BCD。 (2)∵ ∠ACB= 90°, ∴ tan A=CB AC = 1 2 。 ∵ ∠BCD= ∠A,∠D= ∠D, ∴ △DCB∽△DAC。 ∴ CD AD =BD CD =CB AC = 1 2 。 ∵ CD= 4, ∴ AD= 2CD= 2×4 = 8,BD= 1 2 CD= 1 2 ×4 = 2。 ∴ AB= 2OB=AD-BD= 8-2 = 6。 ∴ OB= 3。 ∴ ☉O 的半径长为 3。 23.解:(1)设 A 种跳绳的单价为 x 元,B 种跳绳的单 价为 y 元。 由题意,得 3x+y= 105, 5x+3y= 215。{ 解得 x= 25, y= 30。{ 答:A 种跳绳的单价为 25 元, B 种跳绳的单价 为 30 元。 (2)设购买 A 种跳绳 a 根,总费用为 w 元,则购买 B 种跳绳(48-a)根。 ∵ B 种跳绳的数量不少于 A 种跳绳的 2 倍, 则 2a≤48-a,解得 a≤16。 由题意,得 w= 25a+30(48-a)= -5a+1 440。 ∵ -5<0,∴ w 的值随 a 值的增大而减小。 ∴ 当 a= 16 时,w 有最小值,最小值为-5×16+1 440 = 1 360。 答:购买跳绳所需的最少费用是 1 360 元。 24.解:(1)①如图 1,过点 P 作 PC⊥x 轴于点 C。 ∵ PC⊥x 轴,OB⊥x 轴, ∴ PC∥OB。 ∴ △AOB∽△ACP。 ∵ AB=BP,∴ AB AP = 1 2 = OB CP = AO AC 。 在 y = 1 2 x+1 中, 令 y= 0,得 1 2 x+ 1 = 0,∴ x = - 2。 ∴ 点 A( - 2,0)。 令 x= 0,得 y = 1,∴ 点 B(0,1)。 ∴ OA = 2,OB = 1。 ∴ CP= 2OB = 2,AC = 2AO = 4。 ∴ OC = AC-AO = 2。 ∴ 点 P(2,2)。 将点 P(2,2)代入反比例函数 y= k x ,得 k= 4。 ∴ 反比例函数的表达式为 y= 4 x 。 　 　 　 图 1 ② 由 ①, 可得点 B ( 0, 1), P(2,2), 设 点 D ( a, 0 ), E ( 4b ,b ) 。 当点 B,D,E,P 组成平行四 边形 BDEP 时, yB+yE 2 = yD+yP 2 。 ∴ 1+b= 0+2。 ∴ b= 1。 ∴ 点 E(4,1)。 当点 B,D,E,P 组成平行四边形 BDPE 时, yB+yP 2 = yD+yE 2 , ∴ 1+2 = 0+b。 ∴ b= 3。 ∴ 点 E ( 43 ,3 ) 。 综上所述,点 E 的坐标为(4,1)或 ( 43 ,3 ) 。 (2)∵ 直线 y=mx-3m+2=m(x-3)+2 过定点(3,2), ∴ 点 P 的坐标为(3,2)。 代入反比例函数 y= k x , 得 k= 6。 ∵ 反比例函数的表达式为 y= 6 x 。 ①如图 2,当点 Q 在线段 MP 上时,过点 Q 作 QK⊥ y 轴于点 K,过点 P 作 PL⊥y 轴于点 L。 ∴ QK∥PL, PL= 3。 　 　 图 2 ∴ △MKQ∽△MLP。 ∵ S△MOP = 2S△POQ,∴ MQ=PQ。 ∴ KQ LP =MQ MP = 1 2 。 ∴ KQ= 1 2 LP= 3 2 ,即 xQ = 3 2 。 ∴ 点 Q ( 32 ,4 ) 。 将点 Q ( 32 ,4 )代入直线 y=mx-3m+2, 解得 m= - 4 3 。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —94— ②当点 Q 在线段 MP 的延长线上时,如图 3,过点 Q 作 QK⊥y 轴于点 K,过点 P 作 PL⊥y 轴于点 L。 ∴ QK∥PL,PL= 3。 　 　 　 图 3 ∴ △MKQ∽△MLP。 ∵ S△MOP = 2S△POQ, ∴ MP= 2PQ。 ∴ MQ= 3PQ。 ∴ KQ LP =MQ MP = 3 2 。 ∴ KQ= 3 2 LP= 9 2 ,即 xQ = 9 2 。 ∴ 点 Q ( 92 , 4 3 ) 。 将点 Q ( 92 , 4 3 )代入直线 y=mx-3m+2, 解得 m= - 4 9 。 综上所述,m 的值为- 4 3 或- 4 9 。 25.解:(1)将点 A(-1,0),C(0,3)代入 y=ax2 +2x+c, 得 a-2+c= 0, c= 3。{ 解得 a= -1, c= 3。{ 所以抛物线的表达式为 y= -x2 +2x+3。 (2)如图 1,过点 P 作 PH∥y 轴交 BC 于点 H。 　 　 图 1 ∴ △PHQ∽△OCQ。 ∴ PQ OQ =PH OC 。 令 y= -x2 +2x+3 = 0,解得 x1 = -1, x2 = 3。 ∴ 点 B(3,0)。 设直线 BC 的表达式为 y = kx+b。 将点 B( 3,0),C( 0,3) 代入,得 3k+b= 0, b= 3。{ 解得 k= -1, b= 3。{ ∴ 直线 BC 的表达式为 y= -x+3。 设点 P(x,-x2 +2x+3),则点 H(x,-x+3)。 设 W= S△CPQ S△OCQ , 则 W= S△CPQ S△OCQ =PQ OQ =PH OC = 1 3 PH = 1 3 ( -x2 +2x+3+x- 3)= - 1 3 ( x- 3 2 ) 2 + 3 4 。 ∵ - 1 3 < 0,∴ 抛物线开口向下。 ∴ 当 x = 3 2 时,W 有最大值 3 4 。 ∴ △CPQ 与△OCQ 面积的比值的最大值为 3 4 。 (3)如图 2,作△AOM 的外接圆☉R,圆心为 R,过 点 R 作 RT⊥x 轴于点 T。 当△AOM 的外接圆☉R 和抛物线的对称轴相切 时,∠AMO 最大。 此时 RM⊥对称轴。 　 　 图 2 ∵ RA = RO,RT⊥AO, ∴ 点 R 在 OA 的垂直平分线上,即在直线 x= - 1 2 上。 ∵ 抛物线的对称轴为直线 x= 1, ∴ RM = 3 2 。 在 Rt△RTO 中,RO =RM= 3 2 ,OT= 1 2 , ∴ RT= RO2 -OT2 = ( 32 ) 2 - ( 12 ) 2 = 2 。 则点 M 的坐标为(1, 2 )或(1,- 2 )。 26.解:(1)∵ △ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形, ∴ AB=AC,AD=AE,∠BAC= ∠DAE= 90°。 ∴ ∠BAC-∠DAC= ∠DAE-∠DAC, 即∠BAD= ∠CAE。 ∴ △ABD≌△ACE(SAS)。 ∴ ∠ABC= ∠ACE。 故答案为∠ABC= ∠ACE。 (2)(1)中的结论仍然成立,理由如下: ∵ AB=BC, ∴ ∠BAC= ∠ACB= 1 2 ×(180°-∠ABC)。 ∵ AD=DE, ∴ ∠DAE= ∠DEA= 1 2 ×(180°-∠ADE)。 ∵ ∠ABC= ∠ADE,∴ ∠BAC= ∠DAE。 ∴ ∠BAC-∠DAC= ∠DAE-∠DAC。 ∴ ∠BAD= ∠CAE,△ABC∽△ADE。 ∴ AB AC =AD AE 。 ∴ △ABD∽△ACE。 ∴ ∠ABC= ∠ACE。 (3)当点 D 在线段 BC 上时,如图 1。 　 　 　 图 1 ∵ AB=BC, ∴ ∠BAC = ∠ACB = 1 2 × (180°-∠ABC)。 ∵ AD=DE, ∴ ∠DAE = ∠DEA = 1 2 × (180°-∠ADE)。 ∵ ∠ABC= ∠ADE,∴ ∠BAC= ∠DAE。 ∴ ∠BAD= ∠CAE,△ABC∽△ADE。 ∴ AB AC =AD AE 。 ∴ △ABD∽△ACE。 ∴ AB AC =BD CE 。 ∵ AB=BC= 6,AC= 4,CD= 3, ∴ 6 4 = 6-3 CE 。 ∴ CE= 2。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —05— 当点 D 在 BC 的延长线上时,如图 2。 　 　 　 图 2 ∵ AB=BC, ∴ ∠BAC = ∠ACB = 1 2 × (180°-∠ABC)。 ∵ AD=DE, ∴ ∠DAE = ∠DEA = 1 2 × (180°-∠ADE)。 ∵ ∠ABC= ∠ADE,∴ ∠BAC= ∠DAE。 ∴ ∠BAD= ∠CAE,△ABC∽△ADE。 ∴ AB AC =AD AE 。 ∴ △ABD∽△ACE。 ∴ AB AC =BD CE 。 ∵ AB=BC= 6,AC= 4,CD= 3, ∴ 6 4 = 6+3 CE 。 ∴ CE= 6。 综上所述,CE 的长为 2 或 6。 14 2024 年商河县学业水平第二次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A A C C B A D A B 1. D　 【解析】从正面看共有两层,底层是两个正方形, 上层右边是一个正方形。 故选 D。 2. A　 【解析】55 000 = 5. 5×104。 故选 A。 3. A　 【解析】如图,∵ a∥b,∠1 = 118°, ∴ ∠BCE = ∠1 = 118°。 ∵ ∠DCB= 90°,∴ ∠2 = ∠BCE- ∠DCB= 28°。 故选 A。 4. C　 【解析】A. 是轴对称图形,不是中心对称图形, 故此选项不符合题意;B. 是轴对称图形,不是中心 对称图形,故此选项不符合题意;C. 既是轴对称图 形,又是中心对称图形,故此选项符合题意;D. 是中 心对称图形,不是轴对称图形,故此选项不符合题 意。 故选 C。 5. C　 【解析】A. 根据合并同类项法则,a2 +a3 无法合 并,故 a2 +a3 ≠a6,故 A 不正确;B. 根据同底数幂的 乘法,a3·a4 = a7,故 B 不正确;C. 根据幂的乘方, (a3) 4 =a12,故 C 正确;D. 根据同底数幂的除法,a6 ÷ a2 =a4,故 D 不正确。 故选 C。 6. B　 【解析】列表如下: 鼓 子 秧 歌 鼓 (鼓,子) (鼓,秧) (鼓,歌) 子 (子,鼓) (子,秧) (子,歌) 秧 (秧,鼓) (秧,子) (秧,歌) 歌 (歌,鼓) (歌,子) (歌,秧) 共有 12 种等可能的结果,其中两次摸出的球上的 汉字组成“秧歌”的结果有(秧,歌),(歌,秧),共 2 种,所以两次摸出的球上的汉字组成“秧歌”的概率 是 2 12 = 1 6 。 故选 B。 7. A　 【解析】把 x= -5 代入方程 a-3x = 16,得 a+15 = 16。 解得 a= 1。 故选 A。 8. D　 【解析】小明全家去翠湖时的平均速度为 120÷ 1. 5 = 80(km / h),∴ A 正确,不符合题意;小明全家 停车游玩了 6- 1. 5 = 4. 5(h),∴ B 正确,不符合题 意;小明全家返回时的平均速度为 120 ÷(8 - 6) = 60(km / h),∴ C 正确,不符合题意;设小明全家出发 后,距家 90 km 时,所用时间为 t h,当小明全家去翠 湖过程中距家 90 km 时,80t = 90,解得 t = 9 8 。 当小 明全家返回过程中距家 90 km 时,90+ 60( t- 6) = 120,解得 t = 6. 5。 ∴ 小明全家出发后,距家 90 km 时,所用时间为 9 8 h 或 6. 5 h,∴ D 错误,符合题意。 故选 D。 9. A　 【解析】如图,延长 AB 交 OG 于 点 T。 ∵ 四 边 形 OABC 是 矩 形, ∴ OC = AB,∠OAB = 90°,OC∥AB。 由 作 图 可 知, OT 平 分 ∠COD, ∴ ∠COT = ∠DOT。 ∵ AB ∥ OC, ∴ ∠COT= ∠DTO。 ∴ ∠DOT= ∠DTO。 ∴ OD =DT。 ∵ 点 C(0,6),A(4,0),∴ OC = AB = 6,OA = 3。 ∵ D 为 AB 的 中 点, ∴ DB = AD = 1 2 AB = 3。 ∴ OD = OA2 +AD2 = 42 +32 = 5。 ∴ DT =OD = 5。 ∴ BT = DT-DB=2。 ∵ BT∥OC,∴ △TBH∽△OCH。 ∴ TB OC = BH CH = 1 3 。 ∴ CH = 3,BH = 1。 ∴ 点 H(3,6)。 故选 A。 10. B　 【解析】由题意,得二倍点所在 直线为 y= 2x。 ∵ 二次函数 y= x2 + x+c 有两个不相等且小于 1 的二 倍数,∴ y = x2 +x+c 与 y = 2x 有两 个不同的交点,即方程 x2 +x+c = 2x 有两个不相等 实数根 x1,x2,且 x1,x2 都小于 1,整理,得 x 2 -x+c= 0,∴ Δ= 1-4c>0。 解得 c< 1 4 。 作出二次函数 y = x2 -x+c 的图象如图,∵ x1,x2(设 x2 在 x1 的左侧)都 小于 1,∴ 当 x= 1 时,y= x2 -x+c= c>0。 ∴ 0<c< 1 4 。 故选 B。 11. a(a-4b) 　 【解析】原式=a(a-4b)。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —15—