12 2024年长清区学业水平第二次模拟试题-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东济南专版）

— 67 — — 68 — — 69 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1. 如图所示,该圆柱体的左视图是 (　 　 ) A. B. C. D. 第 1 题图 　 　 　 　 第 3 题图 　 　 　 　 第 4 题图 2. 2024 年“热辣滚烫”的清明小长假落下帷幕,济南再次登上周边游热门目的地城市榜单,期间共接待 旅客 1 420 000 人次,1 420 000 用科学记数法表示为 (　 　 ) A. 1. 42×106 B. 14. 2×105 C. 0. 142×105 D. 0. 142×106 3. 如图,AB∥CD,直线 EF 分别交 AB,CD 于点 E,F,EG 平分∠BEF,交 CD 于点 G。 若∠FEG = 58°,则 ∠EGD 的度数为 (　 　 ) A. 132° B. 128° C. 122° D. 112° 4. 有理数 a,b 在数轴上的表示如图所示,则下列结论正确的是 (　 　 ) A. -b<a B. ab>0 C. | a | < | b | D. b+a<0 5. 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (　 　 ) A. B. C. D. 6. 代数式x 2 -y2 x · 3x x+y 化简的结果为 (　 　 ) A. 3x +3y x2 B. 3x-3y C. 3x+3y D. 3x -3y x 7. 若反比例函数 y= k x (k≠0)的图象经过点(2,1),则该函数图象一定经过点 (　 　 ) A. ( -1,1) B. (2, 12 ) C. (1,-2) D. ( - 1 2 ,-4 ) 8. 小明珍藏了四枚由国家邮政局发行的《京剧生角》特种邮票,上面分别绘有《将相和》中的蔺相如、 《四进士》中的宋士杰、《群英会》中的周瑜、《白蛇传》中的许仙,这些邮票除图案外,质地、规格完全 相同。 元旦之际,他想把心爱的邮票送给好朋友小亮两枚,于是将这些邮票背面朝上,让小亮随机抽 取,小亮抽到的邮票正好是“蔺相如”和“周瑜”的概率是 (　 　 ) A. 1 6 B. 1 36 C. 1 12 D. 1 15 第 8 题图 　 　 　 　 　 第 9 题图 9. 如图,在△ABC 中,∠ACB = 90°,分别以点 A 和点 C 为圆心,大于 1 2 AC 的长为半径作弧,两弧相交于 点 P,Q,作直线 PQ 交 AB,AC 于点 D,E,连接 CD。 下列说法错误的是 (　 　 ) A. 直线 PQ 是 AC 的垂直平分线 B. CD= 1 2 AB C. DE= 1 2 BC D. S△ADE ∶ S四边形DBCE = 1 ∶ 4 10. 已知函数 y= x2 -4ax+5(a 为常数),当 x≥4 时,y 的值随 x 值的增大而增大,P(x1,y1 ),Q(x2,y2 )是 该函数图象上的两点,对任意的 2a-2≤x1≤6 和 2a-2≤x2 ≤6,y1,y2 总满足 y1 -y2 ≤5+4a2,则实数 a 的取值范围是 (　 　 ) A. 3≤a≤4 B. 31 24 ≤a≤2 C. 1≤a≤2 D. -31 24 ≤a≤2 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. 分解因式:a2 +10a+25 = 。 12. 一个袋子中装有 4 个黑球和 n 个白球,这些球除颜色外其余完全相同,摇匀后随机摸出一球,摸到 白球的概率为 3 5 ,则白球的个数 n 为 。 13. 设 n 为正整数,且 n< 10 <n+1,则 n 的值为 。 14. 已知关于 x 的一元二次方程 2x2 +mx-6 = 0 的一个根是 3,则 m 的值是 。 15. 如图,在半径为 8 的扇形 AOB 中,∠AOB = 90°,C 是 AB ( 上一点,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为 D, E,若 CD=CE,则图中阴影部分面积为 。 第 15 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第 16 题图 16. 如图,在正方形 ABCD 中,O 是边 BC 的中点,P 是边 CD 上一动点,将△OCP 沿 OP 翻折得△OC′P, 连接 C′D,在 C′D 左侧有一点 E,使得△C′DE 为等腰直角三角形,且∠DC′E= 90°,连接 CE。 若正方 形 ABCD 的边长为 2,则 CE 的最小值为 。 三、解答题(本大题共 10 小题,共 86 分) 17. (6 分)( -1) 2 024 + ( 13 ) -2 +tan 60°- 27 +1。 18. (6 分)解不等式组: 5x-6≤4x,① x 3 +x-1 2 >2,② ì î í ï ï ï ï 并写出它的所有整数解。 19. (6 分)如图,在▱ABCD 中,点 E,F 分别在 AD,BC 上,且 DE=BF,连接 EF 交 AC 于点 O。 求证:OE=OF。 20. (8 分)速滑运动受到了许多年轻人的喜爱,如图,四边形 BCDG 是某速滑场馆建造的滑台,已知 CD∥EG, 滑台的高 DG 为 6 米,且坡面 BC 的坡度为 1 ∶ 1,为了提高安全性,决定降低坡度,改造后的新坡面 与水平面的夹角∠CAG= 37°。 (参考数据:sin 37°≈ 3 5 ,cos 37°≈ 4 5 ,tan 37°≈ 3 4 ) (1)求新坡面 AC 的长; (2)原坡面底部 BG 的正前方 10 米处(EB = 10 米)是护墙 EF,为保证安全,体育管理部门规定,坡 面底部至少距护墙 7 米,请问新的设计方案是否符合规定? 试说明理由。 12 2024 年长清区学业水平第二次模拟试题 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 70 — — 71 — — 72 — 21. (8 分)2024 年 3 月 5 日上午,国务院总理李强代表国务院在十四届全国人大二次会议上作政府工 作报告,提到“深化全民阅读活动”,某校为了解全校学生每周的课外阅读时间情况,随机调查部分 学生每周课外阅读的时间,根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数直方图。 组别 每周阅读时间 t / min 频数 频率 第一组 30≤t<60 4 0. 1 第二组 60≤t<90 7 0. 175 第三组 90≤t<120 a 0. 35 第四组 120≤t<150 9 0. 225 第五组 150≤t<180 6 0. 15 　 　 　 请根据图表中的信息,解答下列问题: (1)频数分布表中的 a= ; (2)补全频数直方图; (3)被调查的这些学生每周课外阅读时间的中位数落在第 组; (4)若该校共有 1 800 名学生,试估计该校每周课外阅读时间不少于 120 min 的学生人数。 22. (8 分)如图,AB 是☉O 的直径,AC 是弦,CD 是☉O 的切线,C 为切点,AD⊥CD 于点 D。 (1)求证:∠AOC= 2∠ACD; (2)若☉O 的半径为 3,AD= 2,求 tan∠ACD 的值。 23. (10 分)长清某学校为备战体育中考,计划购进一批篮球和足球,其中篮球的单价比足球的单价多 30 元,已知用 360 元购进的足球数量和用 480 元购进的篮球数量相等。 (1)篮球和足球的单价各是多少元? (2)已知篮球进价为每个 90 元,足球进价为每个 70 元,若商场售出足球的数量比篮球数量的 2 倍 少 10 个,且获利超过 1 300 元,问篮球最少要卖多少个? 24. (10 分)定义:如图 1,在平面直角坐标系中,P(x,y)是平面内任意一点(坐标轴上的点除外),过点 P 分别作 x 轴,y 轴的垂线,若由点 P,原点 O,两个垂足 A,B 为顶点的矩形 OAPB 的周长与面积的 数值相等时,则称点 P 是平面直角坐标系中的“美好点”,即 2(x+y)= x·y。 【尝试初探】 (1)点 C(2,3) (填“是”或“不是”)“美好点”; 【深入探究】 (2)若“美好点”E(m,6)(m>0)在双曲线 y= k x (k≠0,且 k 为常数)上,求 k 的值; 【拓展延伸】 (3)在(2)的条件下,点 F(2,n)在双曲线 y= k x 上,求 S△EOF 的值。 图 1 　 　 　 备用图 25. (12 分)如图,已知抛物线 y=ax2 +2x+c(a≠0)与 x 轴交于点 A( -1,0)和点 B(3,0),与 y 轴交于 点 C。 (1)求该抛物线的函数表达式; (2)如图 1,P 是第一象限内抛物线上一动点,连接 PC,PB,BC,设点 P 的横坐标为 t。 当 t 为何值 时,△PBC 是以点 C 为直角顶点的直角三角形? (3)如图 2,过抛物线顶点 E 作 EF⊥x 轴于点 F,M(m,0)是 x 轴上一动点,N 是线段 EF 上一点,若 ∠MNC= 90°,请求出实数 m 的取值范围。 图 1 　 　 　 图 2 26. (12 分)如图 1,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠BAC = ∠DAE = 90°,当点 B 在线段 AD 上, 点 C 在线段 AE 上时,我们很容易得到 BD=CE,不需证明。 (1)如图 2,将△ADE 绕点 A 逆时针旋转 α(0<α<90°),连接 BD 和 CE,此时 BD=CE 是否依然成立? 若成立,写出证明过程;若不成立,说明理由; (2)如图 3,当△ADE 绕点 A 逆时针旋转,使得点 D 恰好落在 BC 的延长线上,连接 CE。 若 AB =AC = 2 3 ,CD= 6 ,求线段 DE 的长; (3)若 P 为 DE 的中点,连接 BP,AB = AC = 2 2 ,AD = AE = 4 2 ,当△ADE 绕点 A 逆时针旋转时,BP 的最大值为 m,最小值为 n,则 mn 的值为 。 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 即∠CDF 的度数为 90°。 ②AC= 2 2 EF+FG。 理由如下: 如图 1,连接 AF。 　 　 图 1 ∵ DC,DE 关于直线 AB 的对称线段 为 DG 和 DF, ∴ DC=DE=DF=DG, ∠CDA= ∠GDA, ∠EDA= ∠FDA。 ∴ ∠GDF= ∠CDE。 ∴ △GDF≌△CDE(SAS)。 ∵ AD=AD,∴ △FDA≌△EDA(SAS)。 ∴ FG=EC,AE=AF,∠DAF= ∠DAE= 45°。 ∴ ∠FAE= 90°。 ∴ △FAE 是等腰直角三角形。 ∴ AE= 2 2 EF。 ∵ AC=AE+CE,∴ AC= 2 2 EF+FG。 (3) ① 如图 2, 当点 E 在线段 AC 上时, 连接 AF,AG。 　 　 图 2 ∵ DC,DE 关于直线 AB 的对称线段 为 DG 和 DF,点 E 在 AC 上, ∴ 点 F 在 AG 上,AC=AG= 6。 由(2),知 EF= 2AE,∠FAE= 90°。 ∵ EG= 2EF, ∴ EG= 2 × 2AE= 2AE。 ∴ AG= EG2 -AE2 = 3AE。 ∵ AG= 6,∴ 3AE= 6。 ∴ AE= 2 3 。 ∴ CE=AC-AE= 6-2 3 。 ②如图 3,当点 E 在线段 CA 的延长线上时, 同理可知,点 F,A,G 共线, 　 　 　 图 3 AG=AC= 6,AE=AF。 ∵ ∠EAD= ∠FAD= 180°-∠BAC = 135°, ∴ ∠EAF= 360° -∠EAD-∠FAD = 90°。 ∴ △AEF 是等腰直角三角形。 ∴ EF= 2AE。 ∵ EG= 2EF,∴ EG= 2 × 2AE= 2AE。 ∴ AG= EG2 -AE2 = 3AE。 ∵ AG= 6,∴ 3AE= 6。 ∴ AE= 2 3 。 ∴ CE=AC+AE= 6+2 3 。 综上所述,CE 的长为 6-2 3或 6+2 3 。 26.解:(1)将点 A(-3,0)代入 y= -x2 -mx+6m, 得-9+3m+6m= 0。 解得 m= 1。 所以抛物线的表达式为 y= -x2 -x+6。 (2)设点 D( t,-t2 -t+6)。 在 y= -x2 -x+6 中,令 y= 0,则-x2 -x+6 = 0, 解得 x= -3 或 2。 所以点 B(2,0)。 由 y= -x2 -x+6 中,令 x= 0,得 y= 6。 ∴ 点 C(0,6)。 设直线 BD 的表达式为 y = kx+ b,将点 B( 2,0), D( t,-t2 -t+6)代入, 得 2k+b= 0, kt+b= -t2 -t+6。{ 解得 k= -( t+3), b= 2t+6。{ ∴ 直线 BD 的表达式为 y= -( t+3)x+2t+6。 令 x= 0,则 y= 2t+6, ∴ 直线 BD 与 y 轴交于点(0,2t+6)。 ∵ S△BCD =S△ABD, ∴ 1 2 ×(6-2t-6)×(2-t)= 1 2 ×5×(-t2 -t+6)。 解得 t= 2 或-15 7 。 ∴ 点 D 的横坐标为-15 7 。 (3)∵ 点 E(0,6),∴ OE= 6。 ∵ △EFH 是等边三角形, ∴ ∠FEO= 30°。 ∴ OF=OH= 2 3 。 ∴ 点 F(-2 3 ,0),点 H(2 3 ,0)。 ∵ y= -x2 -mx+6m= - ( x+ 12 m ) 2 +6m+ 1 4 m2 , ∴ 平移后抛物线 C2 的表达式为 y= -x 2 +mx。 由点 E(0,6),F( - 2 3 ,0)得直线 EF 的表达式为 y= 3 x+6。 由点 E(0,6),H(2 3 ,0) 得直线 EH 的表达式为 y= - 3 x+6。 令 3 x+6 = -x2 +mx,即 x2 +( 3 -m)x+6 = 0, 则 Δ= ( 3 -m) 2 -24 = 0。 解得 m= 3 +2 6或 3 -2 6 。 令- 3 x+6 = -x2 +mx,即 x2 -( 3 -m)x+6 = 0, 则 Δ= ( 3 +m) 2 -24 = 0。 解得 m= - 3 +2 6或- 3 -2 6 。 综上所述,当- 2 3 <m< 3 - 2 6 或- 3 + 2 6 <m< 2 3时,抛物线 C2 与等边三角形 EFH 三边恰有四 个交点。 12 2024 年长清区学业水平第二次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A C A D B D A D B 1. C　 【解析】该圆柱体的左视图是一个圆。 故选 C。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —34— 2. A　 【解析】1 420 000 = 1. 42×106。 故选 A。 3. C　 【解析】∵ EG 平分∠BEF,∴ ∠BEG = ∠FEG = 58°。 ∵ AB ∥ CD, ∴ ∠EGD + ∠BEG = 180°。 ∴ ∠EGD= 180°-58° = 122°。 故选 C。 4. A　 【解析】由数轴,得 b<0,a>0, | a | > | b | ,∴ -b<a, ab<0,b+a>0。 故选 A。 5. D　 【解析】A. 是轴对称图形,不是中心对称图形, 故不符合题意;B. 是中心对称图形,不是轴对称图 形,故不符合题意;C. 是中心对称图形,不是轴对称 图形,故不符合题意;D. 既是轴对称图形,又是中心 对称图形,故符合题意。 故选 D。 6. B　 【解析】x 2 -y2 x · 3x x+y =(x+y)(x-y) x · 3x x+y = 3(x-y)= 3x-3y。 故选 B。 7. D　 【解析】∵ 反比例函数 y = k x (k≠0)的图象经过 点(2,1),∴ k= 2×1 = 2。 ∵ (-1)×1 = -1≠2,∴ 此点 不在函数图象上。 故 A 选项不合题意;∵ 2 × 1 2 = 1≠2,∴ 此点不在函数图象上。 故 B 选项不合题 意;∵ 1×(-2)= -2≠2,∴ 此点不在函数图象上。 故 C 选项不合题意;∵ - 1 2 ×(-4)= 2,∴ 此点在函数图 象上。 故 D 选项符合题意。 故选 D。 8. A　 【解析】把分别绘有《将相和》中的蔺相如、《四 进士》中的宋士杰、《群英会》中的周瑜、《白蛇传》 中的许仙的 4 张邮票分别记为 A,B,C,D,画树状图 如下: 由树状图可知,共有 12 种等可能的结果,其中小亮 抽到的邮票正好是“蔺相如”和“周瑜”的结果有 2 种,所以小亮抽到的邮票正好是“蔺相如”和“周瑜” 的概率是 2 12 = 1 6 。 故选 A。 9. D　 【解析】由作图,可知 PQ 垂直平分线段 AC,故 选项 A 正确;∴ DA = DC,AE = EC。 ∴ ∠A = ∠DCA。 ∵ ∠ACB= 90°,∴ ∠A+∠B = 90°,∠DCB+∠DCA = 90°。 ∴ ∠B = ∠DCB。 ∴ DB = DC。 ∴ AD = DB。 ∴ CD= 1 2 AB。 故选项 B 正确;∵ AD =DB,AE = EC, ∴ DE 是△ABC 的中位线。 ∴ DE= 1 2 BC。 故选项 C 正确; 据 三 角 形 中 位 线 的 性 质, 可 得 DE∥BC, ∴ △ADE∽△ABC,根据相似三角形的性质,可得 S△ADE ∶ S△ABC = 1 ∶ 4,∴ S△ADE ∶ S四边形DBCE = 1 ∶ 3。 故 选项 D 错误。 故选 D。 10. B　 【解析】由题意得,抛物线开口向上,∵ 当 x≥4 时,y 的值随 x 值的增大而增大,∴ 对称轴直线 x= - -4a 2 = 2a≤4,即 a≤2。 ∵ 抛物线上的点离对 称轴越远就越大,且 6 - 2a≥2,2a-(2a- 2) = 2, ∴ 当 x= 2a 时,ymin = 5- 4a 2;当 x = 6 时,ymax = 41- 24a。 ∴ 41-24a-(5-4a2)≤5+ 4a2。 解得 a≥ 31 24 。 ∴ 31 24 ≤a≤2。 故选 B。 11. (a+5) 2 　 【解析】a2 +10a+25 =(a+5) 2。 12. 6　 【解析】∵ 摇匀后随机摸出一球,摸到白球的概 率为 3 5 ,∴ 摸到黑球的概率为 2 5 。 ∵ 袋子中有 4 个黑球和 n 个白球,∴ 由简单概率公式,可得 4 n+4 = 2 5 。 解得 n = 6。 经检验,n = 6 是原分式方程的 解,且符合题意。 ∴ 白球有 6 个。 13. 3 　 【解析】 ∵ 9 < 10 < 16, ∴ 3 < 10 < 4。 ∴ n= 3。 14. -4　 【解析】将 x= 3 代入方程 2x2 +mx-6 = 0,得 2× 32 +3m-6 = 0,解得 m= -4。 15. 8π　 【解析】如图,连接 OC。 ∵ ∠AOB = 90°,CD⊥OA,CE⊥OB, ∴ ∠AOB = ∠ODC = ∠OEC = 90°。 ∴ 四边 形 OECD 是 矩 形。 ∵ CD = CE, ∴ 四 边 形 OECD 是 正 方 形。 ∴ ∠DCE= 90°, ∠COE = 45°, △DCE ≌ △OEC。 ∴ S阴影 =S△DCE+S半弓形 BCE =S△OCE+S半弓形 BCE = S扇形 COB = 45π×82 360 = 8π。 16. 10 - 2 　 【解析】如图,连接 OD,过 点 O 作 OM ⊥ OD, 且 OM = OD,连接 MD,ME,过点 M 作 MN⊥CN 于点 N。 ∵ OD⊥ OM,OD = OM,∴ MD OD = 2,∠MDO = 45°。 ∵ △C′DE 为等腰直角三角形,∠DC′E = 90°,∴ DE DC′ = 2, ∠EDC′= 45°。 ∴ MD OD = DE DC′ = 2,∠ODC′ = ∠MDE = 45° -∠ODE。 ∴ △MDE∽△ODC′。 ∴ ME OC′ = MD OD = 2。 ∵ 在正方形 ABCD 中,O 是 BC 的中点,正 方形 ABCD 的边长为 2,∴ OC = 1,CD = BC = 2。 ∵ 将△OCP 沿 OP 翻折得△OC′P,∴ OC =OC′= 1。 ∴ ME= 2OC′= 2。 ∵ MN⊥CN,∴ ∠MNO = ∠OCD = 90°。 ∵ ∠MON = ∠ODC = 90° - ∠COD,OM = OD,∴ △MON≌ △ODC(AAS)。 ∴ MN = OC = 1, ON = DC = 2。 ∴ CN = 3。 ∴ CM = MN2 +CN2 = 12 +32 = 10。 ∴ CE ≥ CM - ME = 10 - 2。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —44— ∴ 当 C,M,E 三点共线时,CE 有最小值,最小值为 10 - 2。 17.解:(-1) 2 024 + ( 13 ) -2 +tan 60°- 27 +1 = 1+9+ 3 -3 3 +1 = 11-2 3 。 18.解:解不等式①,得 x≤6。 解不等式②,得 x>3。 ∴ 不等式组的解集为 3<x≤6。 ∴ 不等式组所有整数解为 4,5,6。 19.证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC,AD=BC。 ∴ ∠AEO= ∠CFO。 ∵ DE=BF, ∴ AD-DE=BC-BF,即 AE=CF。 在△AEO 和△CFO 中, ∠AOE= ∠COF, ∠OEA= ∠OFC, AE=CF, { ∴ △AEO≌△CFO(AAS)。 ∴ OE=OF。 20.解:(1)如图,过点 C 作 CH⊥BG 于点 H。 ∵ 新坡面 AC 与水平面的夹角∠CAG= 37°, ∴ tan∠CAH= 3 4 =CH AH 。 ∵ CH=DG= 6 米,∴ AH= 6 3 4 = 8(米)。 在 Rt△ACH 中,AC= AH2+CH2 = 82+62 =10(米)。 答:新坡面 AC 的长为 10 米。 (2)新的设计方案符合规定。 理由如下: ∵ 坡面 BC 的坡度为 1 ∶ 1, ∴ BH=CH= 6 米。 ∴ AB=AH-BH= 8-6 = 2(米)。 ∴ AE=EB-AB= 10-2 = 8(米)>7 米。 ∴ 新的设计方案符合规定。 21.解:(1)本次共随机调查了学生 4÷0. 1 = 40(人), 所以 a= 40×0. 35 = 14。 故答案为 14。 (2)补全频数直方图如下: (3)由频数分布表,可知 4+ 7 = 11,4 + 7 + 14 = 25, 所以被调查的这些学生每周课外阅读时间的中位 数落在第三组。 故答案为三。 (3)1 800×(0. 225+0. 15)= 675(人)。 答:估计该校每周课外阅读时间不少于 120 min 的 学生有 675 人。 22.解:(1)证明:如图,连接 BC。 ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ACB= 90°。 ∴ ∠ABC+∠OAC= 90°。 ∵ CD 是☉O 的切线, ∴ ∠OCD= 90°。 ∴ ∠OCA+∠DCA= 90°。 ∵ OC=OA, ∴ ∠OAC= ∠OCA。 ∴ ∠ABC= ∠ACD。 ∴ ∠AOC= 2∠ABC= 2∠ACD。 (2)∵ AD⊥CD, ∴ ∠ADC= ∠ACB= 90°。 又∵ ∠ABC= ∠ACD, ∴ △ABC∽△ACD。 ∴ AB AC = AC AD 。 ∴ 6 AC =AC 2 。 解得 AC= 2 3 。 在 Rt△ACD 中,CD= AC2 -AD2 = 2 2 。 ∴ 在 Rt△ACD 中,tan∠ACD= AD CD = 2 2 2 = 2 2 。 23.解:(1)设足球的单价是 x 元, 则篮球的单价是(x+30)元。 根据题意,得360 x = 480 x+30 。 解得 x= 90。 经检验,x= 90 是所列方程的解,且符合题意。 所以 x+30 = 90+30 = 120。 答:篮球的单价是 120 元,足球的单价是 90 元。 (2)设篮球需要卖 y 个,则足球需要卖(2y-10)个。 根据题意,得 (120-90)y+(90-70)(2y-10)>1 300。 解得 y>150 7 。 又∵ y 为正整数, ∴ y 的最小值为 22。 答:篮球最少要卖 22 个。 24.解:(1)∵ (2+3)×2 = 10≠2×3 = 6, ∴ 点 C(2,3)不是“美好点”。 故答案为不是。 (2)∵ 点 E(m,6)(m>0)是“美好点”, ∴ 2×(m+6)= 6m,解得 m= 3。 ∴ 点 E(3,6)。 将点 E(3,6) 代入双曲线 y = k x ( k≠0,且 k 为常 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —54— 数)中,得 k= 18。 (3)设直线 EF 与 x 轴交于点 G。 ∵ k= 18, ∴ 双曲线的表达式是 y= 18 x 。 ∵ 点 F(2,n)在双曲线 y= 18 x 上, ∴ 2n= 18。 ∴ n= 9。 ∴ 点 F(2,9)。 设直线 EF 的表达式为 y=ax+b,将点 E,F 代入, 得 2a+b= 9, 3a+b= 6。{ 解得 a= -3, b= 15。{ ∴ 直线 EF 的表达式为 y= -3x+15。 当 y= 0 时,-3x+15 = 0,解得 x= 5。 ∴ 点 G(5,0)。 画图如图所示: ∴ S△EOF =S△FOG-S△EOG = 1 2 ×5×9- 1 2 ×5×6 = 15 2 。 25.解:(1)∵ 抛物线 y= ax2 + 2x+c(a≠0)与 x 轴交于 点 A(-1,0)和点 B(3,0), ∴ a-2+c= 0, 9a+6+c= 0。{ 解得 a= -1, c= 3。{ ∴ 抛物线的函数表达式为 y= -x2 +2x+3。 (2)在 y=-x2+2x+3 中,令 x= 0,得 y= 3,∴ 点 C(0,3)。 由点 B(3,0),C(0,3)得直线 BC 的函数表达式为 y= -x+3。 当∠PCB= 90°时, 设直线 PC 的表达式为 y= kx+b。 ∵ CP⊥BC,∴ k= 1。 ∴ 直线 PC 的表达式为 y= x+3。 令 x+3 = -x2 +2x+3,解得 x = 1(不合题意的值已舍 去)。 ∴ t= 1。 　 　 图 1 ∴ 当 t = 1 时,△PBC 是以点 C 为直角顶点的直角三角形。 (3)∵ y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴ 抛物线的顶点 E( 1,4)。 分 以下两种情况讨论: ①如图 1,当点 M 在 EF 左侧 时,过点 C 作 CH⊥EF 于点 H。 ∴ OF= 1,EF= 4,OC= 3,CH=EH= 1,MF= 1-m。 ∵ ∠MNC= 90°, ∴ ∠CNH+∠NCH= ∠CNH+∠MNF= 90°。 ∴ ∠NCH= ∠MNF。 ∵ ∠CHN= ∠NFM= 90°, ∴ △NCH∽△MNF。 ∴ MF NH =FN HC 。 设 FN=n,则 NH= 3-n。 ∴ 1 -m 3-n = n 1 ,即 n2 -3n-m+1 = 0。 ∵ 关于 n 的方程有解, ∴ Δ= (-3) 2 -4(-m+1)≥0 且 1-m≠0。 解得 m≥- 5 4 且 m≠1。 ②当点 M 与点 F 重合时,m= 1。 ③如图 2,当点M 在 EF 右侧时,过点 E 作 EM⊥CE 交 x 轴于点 M。 　 　 　 图 2 ∵ CH=EH= 1,CH⊥EF, ∴ ∠CEH= 45°。 ∵ ∠CEM= 90°, ∴ ∠FEM= 45°。 ∵ EF⊥FM, ∴ FM=EF= 4。 ∴ OM = 5,即点 N 为点 E 时,OM= 5。 ∴ m≤5。 综上所述,实数 m 的取值范围为- 5 4 ≤m≤5。 26.解:(1)BD=CE 依然成立。 证明:∵ △ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形, ∴ AB=AC,AD=AE。 ∵ 将△ADE 绕点 A 逆时针旋转 α, ∴ ∠BAD= ∠CAE=α。 ∴ △ABD≌△ACE(SAS)。 ∴ BD=CE。 (2)∵ AB=AC= 2 3 , ∴ BC= AB2 +AC2 = 12+12 = 2 6 。 ∴ BC+CD=BD= 2 6 + 6 = 3 6 。 ∵ AB=AC,∠BAD= ∠CAE,AD=AE, ∴ △ABD≌△ACE(SAS)。 ∴ ∠ABD= ∠ACE= 45°,CE=BD= 3 6 。 ∴ ∠BCE= ∠ACB+∠ACE= 90°。 ∴ 在 Rt△CDE 中,DE= CE2 +CD2 = 2 15 。 (3)如图,连接 AP。 ∵ AD=AE= 4 2 ,∠DAE= 90°, ∴ DE= 8。 ∵ P 是 DE 的中点, ∴ AP=DP=EP= 4。 ∴ 点 P 在以点 A 为圆心、 AP 长为半径的圆上 运动。 ∴ 当点 P 在 BA 的延长线上时,BP 有最大值。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —64— ∴ BP 的最大值为 m=AP+AB= 4+2 2 。 当点 P 在 AB 的延长线上时,BP 有最小值, 最小值为 n=AP-AB= 4-2 2 。 ∴ mn= (4+2 2 )(4-2 2 )= 8。 故答案为 8。 13 2024 年章丘区学业水平第二次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C B A C C A A C D 1. B 　 【解析】 从正面看到的形状是圆的是球。 故 选 B。 2. C　 【解析】1 340 000 = 1. 34×106。 故选 C。 3. B　 【解析】标注各点及∠3 如图。 ∵ ∠1+∠3 = 180° - 90° = 90°,∠1 = 42°,∴ ∠3 = 90°-∠1 = 48°。 ∵ AB∥CD,∴ ∠2 = ∠3 = 48°。 故 选 B。 4. A　 【解析】由图可知,a<0<c<b,且 | a | < | b | ,∴ b+c> 0。 ∴ A 选项符合题意;∵ b>c,∴ -b<-c。 ∴ a-b<a- c。 ∴ B 选项不符合题意;∵ a<b,c>0,∴ ac<bc。 ∴ C 选 项不符合题意;∵ b>c,a< 0,∴ ab<ac。 ∴ D 选项不 符合题意。 故选 A。 5. C　 【解析】A. 是轴对称图形,不是中心对称图形, 故 A 选项不合题意;B. 是轴对称图形,不是中心对 称图形,故 B 选项不合题意;C. 既是中心对称图形, 也是轴对称图形,故 C 选项符合题意;D. 是轴对称 图形,不是中心对称图形,故 D 选项不合题意。 故 选 C。 6. C　 【解析】x 与 x2 不能进行合并,故 A 选项不正确, 不符合题意;(x3) 2 = x6,故 B 选项不正确,不符合题 意;(-x) 3 = -x3,故 C 选项正确,符合题意;x6 ÷x2 = x4,故 D 选项不正确,不符合题意。 故选 C。 7. A　 【解析】∵ k= 4>0,∴ 反比例函数 y= 4 x 的图象分 居于第一、三象限。 ∵ 点 A( x1,y1),B( x2,y2)在反 比例函数 y = 4 x 的图象上,且 x1 <0<x2,∴ y1 < 0,y2 > 0。 ∴ y1 <0<y2。 故选 A。 8. A　 【解析】根据题意,画树状图如图, 共有 6 种等可能的结果,其中恰好都是红色的结果 有 1 种,所以随手拿出一件运动上衣和一条运动 裤,恰好都是红色的概率为 1 6 。 故选 A。 9. C　 【解析】由作法,得 DE 垂直平分 AC,GH = GC, ∴ AF=CF,GF⊥AC,GC =GA。 故 A 选项正确,不符 合题意;∵ CG=GH,CF = AF,∴ FG 为△ACH 的中位 线。 ∴ FG∥AH。 ∴ AH⊥AC。 ∴ ∠CAH = 90°。 ∵ AB =AC,∴ ∠C = ∠B = 36°。 ∵ ∠BAC = 180°-∠B-∠C = 108°, ∴ ∠HAB = 108° - ∠CAH = 18°。 ∴ ∠B = 2∠HAB。 故 B 选项正确,不符合题意;∵ GC = GA, ∴ ∠C= ∠GAC= 36°。 ∴ ∠BGA= ∠C+∠GAC = 72°。 ∴ ∠BAG = 180° -∠B-∠BGA = 72° = ∠BGA。 ∴ BG =BA。 ∴ AB=GB = AC。 ∵ ∠GCA = ∠ACB,∠CAG = ∠B,∴ △CAG∽△CBA。 ∴ CG CA = CA CB 。 ∴ CA2 = CG· CB。 设 CB= x,AB=GB=CA= a,∴ CG = x-a。 ∴ a2 = (x-a)x。 解得 x= 1 + 5 2 a(舍去负值),∴ CB=1 + 5 2 a。 ∴ CG=CB-BG = 1 + 5 2 a-a = 5 -1 2 a。 ∴ CG AC = 5 -1 2 a a = 5 -1 2 。 故 C 选项不正确。 符合题意;BG CG = a 5 -1 2 a = 5 +1 2 ,∴ S△AGB S△AGC =BG CG = 5 +1 2 。 故 D 选项正确,不符 合题意。 故选 C。 10. D　 【解析】由题意,得三倍点所在的直线为 y= 3x, 在-3<x<1 的范围内,二次函数 y= -x2 -x+c 的图象 上至少存在一个“三倍点”,即在- 3<x< 1 的范围 内,二次函数 y = -x2 -x+c 和 y = 3x 至少有一个交 点。 令 3x= -x2 -x+c,整理,得 x2 +4x-c = 0。 则 Δ = b2 -4ac= 16+4c≥0,解得 c≥-4。 把 x= -3 代入 y = -x2 -x+c,得 y = -6+c;把 x = - 3 代入 y = 3x,得 y = -9,∴ -9> -6 + c。 解得 c< - 3。 把 x = 1 代入 y = -x2 -x+c,得 y= -2+c;把 x = 1 代入 y = 3x,得 y = 3, ∴ 3>-2+c。 解得 c<5。 综上,c 的取值范围为-4≤ c<5。 故选 D。 11. (x-2) 2 　 【解析】x2 -4x+4 =(x-2) 2。 12. 1 3 　 【解析】如图,通过连接小正方 形的对角线,9 个小正方形被分成 18 个全等的等腰直角三角形,其中 阴影区域占 6 个全等的等腰直角三角形,∴ P(最 终停留在阴影区域)= 6 18 = 1 3 。 13. a≥-4　 【解析】当 a= 0 时,原方程为-4x-1 = 0,该 方程为一元一次方程,有一个实数解;当 a≠0 时, 方程 ax2 - 4x - 1 = 0 是一元二次方程,则当 Δ = (-4) 2 - 4a×(- 1)= 16+ 4a≥0 时,方程有实数解, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —74—