11 2024年天桥区学业水平第二次模拟试题-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东济南专版）

— 61 — — 62 — — 63 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1. 下列四个数中,最大的数是 (　 　 ) A. -1 B. 0 C. 5 D. 2 2. 如图所示,由四个相同的小立方块组成的几何图形的左视图是 (　 　 ) A. B. C. D. 第 2 题图 　 　 第 4 题图 　 　 第 7 题图 　 　 第 9 题图 3. 地球绕太阳转动一天通过的路程约是 2 640 000 千米,该数据用科学记数法表示为 (　 　 ) A. 2. 64×107 B. 2. 64×106 C. 26. 4×105 D. 264×104 4. 如图,l∥AC,∠C= 90°,∠2 = 2∠1,则∠A 的度数为 (　 　 ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 5. 下列设计的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是 (　 　 ) A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是 (　 　 ) A. 2m3 +m2 = 3m5 B. (3m) 3 = 9m3 C. (m-1) 2 =m2 -1 D. m4 ÷m=m3 7. 如图,在平面直角坐标系中,四边形 ABOC 是平行四边形,点 A 的坐标是( - 2,a),点 B 的坐标是 ( -3,0),顶点 A,C 分别在反比例函数 y= - 4 x (x<0)和 y= k x (x>0)的图象上,则 k 的值为 (　 　 ) A. 6 B. 4 C. 2 D. -4 8. 下列说法正确的是 (　 　 ) A. 为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势,采用扇形统计图最合适　 B. 为了解我省中学生的睡眠情况,应采用抽样调查的方式　 C. 一组数据的方差不可能为 0　 D. 在一次抽奖活动中,“中奖的概率是 1 100 ”表示抽奖 100 次一定会中奖 9. 如图,在△ABC 中,BC= 6,AC= 8,∠C= 90°,以点 B 为圆心,BC 长为半径画弧,与 AB 交于点 D,再分 别以点 A,D 为圆心,大于 1 2 AD 的长为半径画弧,两弧交于点 M,N,作直线 MN,分别交 AC,AB 于点 E,F,则 AE 的长度为 (　 　 ) A. 5 2 B. 3 C. 2 2 D. 10 3 10. 现定义:对于一个数 a,我们把{a}称为 a 的“邻一数”,若 a≥0,则{a} = a-1;若 a<0,则{a} = a+1。 例如:{1} = 1-1 = 0,{ -0. 5} = -0. 5+1 = 0. 5。 下列说法中,结论正确的有 (　 　 ) ①若 a≠b,则{a}≠{b}; ②当 x>0,y<0 时,{x} -1 = {y} +1,那么代数式 x2 +3y+y2 -3x-2xy 的值为 4; ③方程{m-1} +{m+2} = -2 的解为 m= - 5 2 或- 3 2 或- 1 2 ; ④若函数 y= { -x2 -3} +3{ | x | +3},当 y>0 时,x 的取值范围是-4<x<4。 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共计 24 分) 11. 分解因式:a2 -3a= 。 12. 若一元一次方程 3x-a= 0 的解为 x= 1,则 a= 。 13. 已知反比例函数 y= k -1 x 的图象经过第一、三象限,则实数 k 的取值范围是 。 14. 爸爸生日快到了,亮亮准备为爸爸煮四个大汤圆作为早点:一个芝麻馅,一个水果馅,两个花生馅, 妈妈担心爸爸不够吃又增加了两个花生馅的汤圆。 这些汤圆除内部馅料不同外,其它一切均相同, 则增加两个花生馅的汤圆后,爸爸吃到的前两个汤圆都是花生馅的概率是 。 15. 如图,已知四边形 ABCD 内接于☉O,连接 AC,BD。 若△ACD 为等边三角形,AC= 4 3 ,点 B,O,D 共 线,则阴影部分的面积为 。 第 15 题图 　 　 　 　 　 第 16 题图 16. 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 4,BC= 4 3 ,E 为矩形对角线 BD 上一动点,连接 CE,以 CE 为边向上作 正方形 CEFG,对角线 CF,EG 交于点 H,连接 DH,则线段 DH 的最小值为 。 三、解答题(本大题共 10 小题,共计 86 分) 17. (6 分)计算: 8 + ( 13 ) -1 -4sin 45°-( 3 -π) 0。 18. (6 分)解方程: 2 x+1 = 3 x+2 。 19. (6 分)如图,在▱ABCD 中,点 E 在边 BC 上,且 AD =DE,F 为线段 DE 上一点,且∠AFD = ∠C。 求 证:AF=DC。 20. (8 分)2024 年 3 月 5 日上午,国务院总理李强代表国务院在十四届全国人大二次会议上作政府工 作报告,提到“深化全民阅读活动”,某校为了解全校学生每周的课外阅读时间情况,随机调查部分 学生每周课外阅读的时间,根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数直方图。 组别 每周阅读时间 t /分钟 频数 频率 第一组 30≤t<60 4 0. 1 第二组 60≤t<90 7 0. 175 第三组 90≤t<120 a 0. 35 第四组 120≤t<150 9 0. 225 第五组 150≤t<180 6 b 　 　 请根据图表中的信息,解答下列问题: (1)被调查的这些学生的总人数是 ,频数分布表中的 a= ,b= ,并补全频 数直方图; (2)被调查的这些学生每周课外阅读时间的中位数落在第 组; (3)本校共有 1 800 名学生,试估计本校学生每周课外阅读时间不少于 120 分钟的学生人数。 21. (8 分)图 1 是可折叠哑铃凳的示意图,其侧面可抽象成图 2,E,F 为固定支撑点,AB∥CD,M 为 CH 的中点,点 N 在 CB 处滑动,使靠背 CH 可绕点 C 转动(100°≤∠DCH≤180°)。 已知 CH = 90 cm, AD= 40 cm,∠DAB= 70°。 (1)当∠DCH 从最小角转动到最大角时,求点 M 运动的路径长; (2)在点 C 转动过程中,求点 H 到地面 l 的最大距离。 (结果精确到 0. 1 cm,参考数据:sin 70° ≈0. 94,cos 70° ≈0. 34,tan 70° ≈2. 75,sin 80° ≈0. 98, cos 80°≈0. 17,tan 80°≈5. 67,π≈3. 14) 图 1 　 　 图 2 11 2024 年天桥区学业水平第二次模拟试题 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 64 — — 65 — — 66 — 22. (8 分)如图,四边形 ABCD 内接于☉O,BD 是☉O 的直径,AE⊥CD 于点 E,AE 是☉O 的切线。 (1)求证:DA 平分∠BDE; (2)如果 AB= 4 3 ,☉O 的半径为 4,求 AE 的长。 23. (10 分)某景区为落实《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》,拟购买 A,B 两种型号 的帐篷,为游客提供露营服务。 已知购买 A 种帐篷 2 顶和 B 种帐篷 4 顶共需 5 200 元,购买 A 种帐 篷 3 顶和 B 种帐篷 1 顶共需 2 800 元。 (1)A 种帐篷和 B 种帐篷的单价各是多少元; (2)若该景区要购买 A,B 两种型号的帐篷共 20 顶,其中 B 种帐篷数量不少于 A 种帐篷数量的 1 3 , 为使购买帐篷的总费用最低,应购买 A 种帐篷和 B 种帐篷各多少顶? 购买帐篷的总费用最低为多 少元? 24. (10 分)某中学综合实践小组为制作弹簧测力计,需要先了解在弹性限度内,弹簧长度和所挂物体 质量的关系,因此设计了如下实验。 【实验操作】 弹簧未挂重物之前长度为 3 cm,在弹性限度内,将弹簧依次挂上不同质量的物体,然后测量出相应 的弹簧长度,得到如下数据: 所挂物体质量 x / kg 0 1 2 3 4 弹簧长度 y / cm(测量值) 3 3. 5 4. 1 4. 5 4. 8 任务 1: 将这些数据表示为点的坐标:点 A(0,3),B(1,3. 5),C(2,4. 1),D(3,4. 5),E(4,4. 8),经过描点、 连线发现点 A(0,3),B(1,3. 5)和点 在同一条直线上。 【建立模型】 讨论发现:“x= 0,y= 3”是初始状态下的准确数据,弹簧长度的变化不均匀,但可以用一次函数近似 地刻画弹簧长度 y 与所挂物体质量 x 的关系。 任务 2: 根据以上点的坐标求出 AB,AC,AE 三条直线的函数表达式。 【反思优化】 经过上面的计算,到底选择哪个函数更合适呢? 小组成员决定优化函数表达式,减少偏差。 通过查 阅资料后知道:将 x 值代入函数表达式求出所对应的函数值 y,计算这些函数值 y 与对应的测量值 之差的平方和的平均值,记为 w,即 w = (y1 -y1测) 2 +(y2 -y2测) 2 +(y3 -y3测) 2 +…+(yn-yn测) 2 n ,w 越小, 偏差越小。 任务 3: ①计算任务 2 中三条直线 AB,AC,AE 的 w 值; ②如果从这三条直线中选择一条来描述弹簧长度 y 与所挂物体质量 x 的关系,你认为最接近的是 直线 ; ③实际上,经过点(0,3)的直线有无数条,我们把 w 最小时对应的函数称为最优函数。 若最优函数 的表达式为 y= k0x+3,则 k0 = 。 25. (12 分)(1)如图 1,网格中每个小正方形的边长都是 1,点 A,B,C,D 均在格点上,且点 D 在线段 AB 上,连接 DC,将 DC 绕点 D 顺时针旋转,使点 C 的对应点 E 落在线段 AC 上,作 DE 关于直线 AB 的 对称线段 DF。 ①∠BAC= °; ②线段 DF 可以看作是由线段 DC 绕点 D 顺时针旋转 °得到的; (2)如图 2,在等腰直角三角形 ACB 中,∠ACB= 90°,D 为边 AB 上一点,连接 DC,将 DC 绕点 D 顺时 针旋转,使点 C 的对应点 E 落在边 AC 上(点 E 不与点 A,C 重合)。 分别作 DC,DE 关于直线 AB 的 对称线段 DG 和 DF,连接 EF,FG,解答下列问题: ①求∠CDF 的度数; ②请探究线段 AC,EF,FG 之间的数量关系,并说明理由; (3)若(2)中点 C 的对应点 E 落在直线 AC 上,其他条件不变,连接 EG,当 AC = 6,EG = 2EF 时,请 直接写出线段 CE 的长。 图 1 　 　 图 2 　 　 备用图 26. (12 分)已知抛物线 C1:y= -x2 -mx+6m 交 x 轴于点 A,B,交 y 轴于点 C。 (1)如图 1,当点 A 的坐标为( -3,0)时,求抛物线的表达式; (2)在(1)的条件下,D 是第二象限内抛物线上的一点,连接 BD,若 BD 将四边形 ABCD 平分成面积 相等的两部分,求点 D 的横坐标; (3)如图 2,△EFH 为等边三角形,点 F,H 在 x 轴上,且点 E 的坐标为(0,6),将抛物线 C1:y = -x2 - mx+6m 向右平移 m 个单位长度,再向下平移 6m 个单位长度后得到新的抛物线 C2,若 C2 与等边三 角形 EFH 三边恰有四个交点,求 m 的取值范围。 图 1 　 　 　 　 图 2 解得 x= 0(舍去)或 7 4 。 ∴ m= 7 4 。 (3)设点 Q (m,- 43 m+4 ) , 由点 A(-2,0),C(0,4),Q (m,- 43 m+4 ) , 得 AC2 = 20,AQ2 = (m+2) 2 + ( - 43 m+4 ) 2 , CQ2 =m2 + ( - 43 m ) 2 。 当 AC=AQ 时,20 = (m+2) 2 + ( - 43 m+4 ) 2 , 解得 m= 0(舍去)或12 5 。 当 AQ=CQ 或 CQ=AC 时, (m+2) 2 + ( - 43 m+4 ) 2 =m2 + ( - 43 m ) 2 或 m2 + ( - 43 m ) 2 = 20,解得 m= 6 5 5 。 综上,m 的值为6 5 5 或 12 5 。 26.解:(1)在等边三角形 ABC 中,DE∥AB, ∠B= ∠EDC= ∠BAC= ∠DEC= ∠C= 60°, ∴ △EDC 是等边三角形,DE=EC=DC。 ∵ AD 绕点 D 顺时针旋转 60°得到 DF, ∴ ∠ADF= 60°,AD=DF。 ∴ ∠ADF= ∠EDC。 ∴ ∠ADF-∠EDF= ∠EDC-∠EDF。 ∴ ∠ADE= ∠FDC。 ∵ AD=DF,ED=CD,∴ △ADE≌△FDC(SAS)。 ∴ AE=CF,∠AED= ∠FCD。 ∵ ∠DEC= 60°,∴ ∠AED= 120°。 ∴ ∠FCD= 120°。 ∵ ∠ACB= 60°, ∴ ∠ACF= 120°-60° = 60°。 故答案为 AE=CF,60。 (2)∵ DE∥AB,∴ ∠EDC= ∠ABC= 90°。 ∵ ∠ADF= 90°, ∴ ∠ADF-∠EDF= ∠EDC-∠EDF。 ∴ ∠ADE= ∠FDC。 ∵ ∠ACF= 90°,∠AED= ∠EDC+∠ACB, ∠FCD= ∠ACF+∠ACB, ∴ ∠AED= ∠FCD。 ∵ ∠ADE= ∠FDC, ∴ △DAE∽△DFC。 ∴ AE FC =DE DC 。 ∵ ∠EDC= 90°,∠ACB= 60°, ∴ tan∠ACB=DE DC = 3 。 ∴ AE CF = 3 。 (3)如图,过点 D 作 DG∥AB 交 AC 于点 G,并截取 DH=DB,连接 EH,交 BC 于点 K。 在等边三角形 ABC 中,∵ DG∥AB, ∴ ∠ABC = ∠GDC = 60°, ∠BAC = ∠DGC= 60°,∠C= 60°。 ∴ △DGC 是等边三角形, DG=GC=DC。 ∴ ∠BDG= 180°-60° = 120°。 ∵ AD 绕点 D 顺时针旋转 120°得到 DE, ∴ ∠ADE= 120°,AD=ED。 ∴ ∠ADE= ∠BDG。 ∴ ∠ADE-∠ADG= ∠BDG-∠ADG。 ∴ ∠EDH= ∠ADB。 ∵ DH=BD,DE=AD,∴ △EDH≌△ADB(SAS)。 ∴ EH=AB= 4 3 ,∠EHD= ∠ABD= 60°。 ∴ △DHK 是等边三角形,HK=DH=DK=DB= 2。 ∴ KE=EH-HK= 4 3 -2。 ∵ BD=DK,BF=FE, ∴ DF 是△BEK 的中位线。 ∴ DF= 1 2 KE= 2 3 -1。 11 2024 年天桥区学业水平第二次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B B A B D C B A C 1. C　 【解析】∵ 5 > 4 = 2,∴ 5 >2>0>-1。 四个数中 最大的数是 5,故选 C。 2. B　 【解析】从左面看,底层是两个正方形,上层的左 边是一个正方形。 故选 B。 3. B　 【解析】2 640 000 = 2. 64×106,故选 B。 4. A 　 【解析】 ∵ l∥AC,∴ ∠1 = ∠A。 ∵ ∠C = 90°, ∴ ∠A+∠2 = 90°。 ∴ ∠1+∠2 = 90°。 ∵ ∠2 = 2∠1, ∴ ∠1 = 30°。 ∴ ∠A= 30°。 故选 A。 5. B　 【解析】A 图形是轴对称图形,B 图形既是中心 对称图形又是轴对称图形,C 图形是轴对称图形,D 图形是中心对称图形。 故选 B。 6. D　 【解析】2m3 与 m2 不是同类项,无法合并,故 A 不符合 题 意; (3m) 3 = 27 m3, 故 B 不 符 合 题 意; (m-1) 2 =m2 -2m+1,故 C 不符合题意;m4 ÷m = m3, 故 D 符合题意。 故选 D。 7. C　 【解析】如图,过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D,设 AC 交 y 轴于点 E。 ∵ 点 A 的横坐标 为 2,∴ 点 D(-2,0)。 ∵ 点 A 的 坐标是(-2,a),点 A 在反比例函 数 y=- 4 x 的图象上,∴ a=- 4-2 = 2。 ∴ AD=OE= 2。 ∵ 四边形 ABOC 是平行四边形, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —93— ∴ AB=OC。 ∴ △ABD≌△OCE(HL)。 ∴ BD = CE = -2-(-3)= 1。 ∴ 点 C(1,2)。 ∵ 点 C(1,2)在反比 例函数 y= k x (x>0)的图象上,∴ k= 2。 故选 C。 8. B　 【解析】A. 为了解近十年全国初中生的肥胖人 数变化趋势,适合采用折线统计图,原说法错误,故 本选项不符合题意;B. 为了解我省中学生的睡眠情 况,应采用抽样调查的方式,原说法正确,故本选项 符合题意;C. 如果一组数据都是相同的数,则它的 方差为 0,原说法错误,故本选项不符合题意;D. 在 一次抽奖活动中,“中奖的概率是 1 100 ”,则抽奖 100 次不一定会中奖,原说法错误,故本选项不符合题 意。 故选 B。 9. A　 【解析】由题意,得 BC =BD = 6,直线 MN 为线段 AD 的垂直平分线。 ∵ BC = 6,AC = 8,∠C = 90°, ∴ AB= 62 +82 = 10。 ∴ AD = AB-BD = 4。 ∴ AF = 1 2 AD= 2。 ∵ ∠EAF = ∠BAC,∠AFE = ∠ACB = 90°, ∴ △AEF∽△ABC。 ∴ AE AB = AF AC ,即AE 10 = 2 8 。 解得 AE = 5 2 。 故选 A。 10. C　 【解析】①当 a= 1. 5,b= -0. 5 时,{a} ={1. 5} = 1. 5 - 1 = 0. 5, { b} = { - 0. 5} = - 0. 5 + 1 = 0. 5, ∴ {a} ={b}。 ∴ 若 a≠b,则{a}≠{b}错误。 故① 错误;②当 x>0,y<0 时,∵ {x}-1 ={y}+1,∴ x-1- 1 = y+1+1,即 x-y = 4。 ∴ x2 + 3y+y2 - 3x- 2xy =(x- y)2-3(x-y)= 42 -3×4 = 4。 故②正确;③∵ {m-1}+ {m+2} = -2,当 m<-2 时,{m-1}+{m+2} =m-1+ 1+m+2+ 1 = - 2,解得 m = - 5 2 。 当- 2≤m< 1 时, {m-1}+{m+2} =m- 1+ 1+m+ 2- 1 = - 2,解得 m = - 3 2 。 当 m≥1 时,{m- 1} +{m+ 2} = m- 1- 1+m+ 2-1 = - 2,解得 m = - 1 2 (舍去)。 ∴ 方程{m- 1} + {m+2} = - 2 的解为 m = - 5 2 或- 3 2 。 故③错误; ④∵ -x2 -3<0, | x | +3>0,∴ y={-x2 -3}+3{ | x | +3} = -x2 -3+1+3( | x | +3-1)= -x2 +3 | x | +4。 其图象 如下: 令-x2 +3 | x | +4 = 0,解得 x1 = 4,x2 = -4。 由图象,可得当 y> 0 时,- 4<x< 4。 故④正确。 综 上,正确的有②④,共 2 个。 故选 C。 11. a(a-3) 　 【解析】a2 -3a=a(a-3)。 12. 3　 【解析】把 x = 1 代入方程 3x-a = 0,得 3-a = 0。 解得 a= 3。 13. k>1　 【解析】∵ 反比例函数 y = k -1 x 的图象经过第 一、三象限,∴ k-1>0,即 k>1。 14. 2 5 　 【解析】将芝麻馅汤圆记作 A,水果馅汤圆记 作 B,花生馅汤圆记作 C,列表如下: A B C C C C A (A,B) (A,C) (A,C) (A,C) (A,C) B (B,A) (B,C) (B,C) (B,C) (B,C) C (C,A) (C,B) (C,C) (C,C) (C,C) C (C,A) (C,B) (C,C) (C,C) (C,C) C (C,A) (C,B) (C,C) (C,C) (C,C) C (C,A) (C,B) (C,C) (C,C) (C,C) 由表可知,共有 30 种等可能的结果,其中爸爸吃 到的前两个汤圆都是花生馅的结果有 12 种, 所以爸爸吃到的前两个汤圆都是花生馅的概率为 12 30 = 2 5 。 15. 16 3 π　 【解析】如图,连接 OA,OC,设 AC 交 OB 于 点 M。 ∵ △ACD 是等边三角形, ∴ AD=CD=AC,∠ADC= 60°。 在△AOD 和△COD 中, AD=CD, OD=OD, AO=CO, { ∴ △AOD≌△COD(SSS)。 ∴ ∠ADB= ∠CDB= 1 2 ∠ADC= 30°。 ∵ BD 是☉O 的直径,∴ ∠BAD= ∠BCD= 90°。 ∴ AB= 1 2 BD,BC= 1 2 BD。 又∵ CO=DO= 1 2 BD,∴ AB=OD,BC=OC。 在△ABC 和△DOC 中, AB=DO, BC=OC, AC=DC, { ∴ △ABC≌△DOC(SSS)。 ∴ S△ABC =S△DOC。 ∴ S阴影 =S扇形 OCD。 ∵ AD=CD,∠ADM= ∠CDM,∴ DM⊥AC。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —04— 在 Rt△ADM 中,sin 30° =AM AD , ∴ AM= 1 2 ×4 3 = 2 3。 ∵ ∠ADB= 30°,∴ ∠AOB= 60°。 ∵ 在 Rt△AOM 中,sin 60° =AM AO , ∴ AO= 2 3 3 2 = 4,即圆的半径为 4。 ∵ OC=OD,∴ ∠OCD= ∠ODC= 30°。 ∴ ∠COD= 120°。 ∴ S阴影 = 120·π·42 360 = 16 3 π。 16. 2 　 【解析】如图 1,过点 C 作 CI⊥BD 于点 I,取 CE 的中点 O,连接 OH,OI,以点 O 为圆心,OE 为 半径作☉O。 图 1 　 　 图 2 由作图可知,在 Rt△CIE 中,O 为 CE 中点,∴ IO = EO=CO。 ∴ 点 I 在☉O 上。 ∵ 四边形 CEFG 是正 方形,∴ CF⊥EG,CH=FH= 1 2 CF,EH=GH = 1 2 EG, 且 CF=EG。 ∴ ∠EHC = 90°,CH =EH。 ∴ ∠HCE = ∠HEC= 45°。 ∵ O 为 CE 的中点,∴ OH =OE =OC。 ∴ 点 H 在☉O 上。 ∴ ∠HIE = ∠HCE = 45°或∠HIE +∠HCE= 180°。 ∴ 点 H 在过点 I 且与直线 BD 相 交所成的锐角为 45°的直线上运动。 ∴ 当 DH⊥IH 时,线 段 DH 的 值 最 小, 如 图 2。 ∵ DH ⊥ IH, ∴ ∠DHI= 90°。 ∵ 点 H,点 I 都在以 CE 为直径的 圆上。 ∴ ∠HID = 180° - ∠HIE = ∠HCE = 45°。 ∴ DH= ID·sin 45° = 2 2 ID。 ∵ 四边形 ABCD 是矩 形,AB= 4,BC = 4 3,∴ ∠BCD = 90°,CD = AB = 4。 ∴ BD = CD2 +BC2 = 42 +(4 3) 2 = 8。 ∵ ∠CID = 90°,∴ ID CD =CD BD = cos∠BDC。 ∴ ID =CD 2 BD = 4 2 8 = 2。 ∵ sin 45° =DH ID = 2 2 ,∴ DH= 2 2 ×2 = 2。 17.解:原式= 2 2 +3-4× 2 2 -1 = 2 2 +3-2 2 -1 = 2。 18.解:原方程去分母,得 2(x+2)= 3(x+1)。 去括号,得 2x+4 = 3x+3。 解得 x= 1。 检验:当 x= 1 时,(x+1)(x+2)≠0。 故原分式方程的解为 x= 1。 19.证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC。 ∴ ∠ADF= ∠DEC。 在△FDA 和△CED 中, ∠AFD= ∠C, ∠ADF= ∠DEC, AD=DE, { ∴ △FDA≌△CED(AAS)。 ∴ AF=CD。 20.解:(1)被调查的这些学生的总人数是 4÷0. 1 = 40。 频数分布表中 a= 40×0. 35 = 14(人)。 b= 6÷40 = 0. 15。 补全频数直方图如图所示: 故答案为 40,14,0. 15。 (2)由频数分布表,可知∵ 4+ 7 = 11,4+ 7+ 14 = 25, ∴ 被调查的这些学生每周课外阅读时间的中位数 落在第三组。 故答案为三。 (3)1 800×9 +6 40 = 675(人)。 答:估计本校学生每周课外阅读时间不少于 120 分钟的学生有 675 人。 21.解:(1)∵ 100°≤∠DCH≤180°, ∴ 旋转角为 180°-100° = 80°。 ∵ M 为 CH 的中点,∴ CM=MH= 1 2 CH= 45 cm。 ∴ 当∠DCH 从最小角转动到最大角时,点 M 运动 的路径长为 80π·45 180 = 20π≈62. 8(cm)。 (2) 如图,过点 D 作 DT⊥AB 于点 T,过点 H 作 HJ⊥AB 于点 J,交直线 DC 的延长线于点 K。 ∴ 四 边形 DTJK 是矩形,当∠KCH = 180°-100° = 80°时, 点 H 到地面的距离最大。 在 Rt△ADT 中, DT=AD·sin 70°≈37. 6 cm。 在 Rt△CKH 中, KH=CH·sin 80°≈88. 2 cm。 ∴ KJ=DT= 37. 6(cm)。 ∴ HJ=HK+KJ= 37. 6+88. 2 = 125. 8(cm)。 ∴ 在点 C 转动过程中,点 H 到地面 l 的最大距离为 125. 8 cm。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —14— 22.解:(1)证明:如图,连接 OA。 ∵ AE 是☉O 的切线, ∴ OA⊥AE。 ∵ AE⊥CD,∴ OA∥CD。 ∴ ∠ADE= ∠OAD。 ∵ OA=OD,∴ ∠OAD= ∠ODA。 ∴ ∠ADE= ∠ODA。 ∴ DA 平分∠BDE。 (2)∵ BD 是☉O 的直径,∴ ∠BAD= 90°。 ∵ ☉O 的半径为 4,∴ BD= 8。 ∴ AD= BD2 -AB2 = 4。 ∵ AE⊥CD,∴ ∠AED= 90°。 ∴ ∠BAD= ∠AED。 ∵ ∠ADB= ∠EDA,∴ △BAD∽△AED。 ∴ BA BD = AE AD 。 ∴ 4 3 8 =AE 4 。 ∴ AE= 2 3 。 23.解:(1)设 A 种帐篷的单价是 m 元,B 种帐篷的单 价是 n 元。 根据题意,得 2m+4n= 5 200, 3m+n= 2 800。{ 解得 m= 600, n= 1 000。{ 答:A 种帐篷的单价是 600 元,B 种帐篷的单价是 1 000 元。 (2)设购买 A 种帐篷 x 顶,购买帐篷的总费用为 y 元,则购买 B 种帐篷(20-x)顶。 ∵ B 种帐篷数量不少于 A 种帐篷数量的 1 3 , ∴ 20-x≥ 1 3 x。 解得 x≤15。 根据题意,得 y= 600x+1 000(20-x)= -400x+20 000。 ∵ -400<0,∴ y 的值随 x 值的增大而减小。 ∴ 当 x= 15 时,y 取最小值,最小值为 -400×15+20 000 = 14 000。 此时 20-x= 20-15 = 5。 答:购买 A 种帐篷 15 顶,B 种帐篷 5 顶,总费用最 低,最低费用为 14 000 元。 24.解:任务 1:描点、连线如下, 由图象可知,点 A(0,3),B(1,3. 5)和点 D(3,4. 5) 在同一条直线上。 故答案为 D(3,4. 5)。 任务 2:设直线 AB 的表达式为 y= kx+b。 把点 A(0,3),B(1,3. 5)代入,得 b= 3, k+b= 3. 5。{ 解得 k= 0. 5, b= 3。{ ∴ 直线 AB 的表达式为 y= 0. 5x+3。 同理可得,直线 AC 的表达式为 y= 0. 55x+3。 直线 AE 的表达式为 y= 0. 45x+3。 任务 3: ①wAB = 1 5 ×[(3- 3) 2 +(3. 5- 3. 5) 2 +( 4 - 4. 1) 2 + (4. 5-4. 5) 2 +(5-4. 8) 2 ] = 0. 01; wAC = 1 5 ×[(3- 3) 2 +(3. 55- 3. 5) 2 +(4. 1- 4. 1) 2 + (4. 65-4. 5) 2 +(5. 2-4. 8) 2 ] = 0. 037; wAE = 1 5 ×[(3- 3) 2 +(3. 45- 3. 5) 2 +(3. 9- 4. 1) 2 + (4. 35-4. 5) 4 +(4. 8-4. 8) 2 ] = 0. 013。 ②由①,知最接近的是直线 AB。 故答案为 AB。 ③w= 1 5 × [( 3 - 3) 2 + ( k0 - 0. 5) 2 + ( 2k0 - 1. 1) 2 + (3k0 -1. 5) 2 +(4k0 - 1. 8) 2 ] = 6k20 - 5. 76k0 + 1. 39 = 6(k0 -0. 48) 2 +0. 007 6, ∵ 6>0, ∴ 当 k0 = 0. 48 时,w 有最小值,最小值为 0. 007 6。 故答案为 0. 48。 25.解:(1)①由图 1,知 AC=BC= 5,∠ACB= 90°, ∴ △ABC 是等腰直角三角形。 ∴ ∠BAC= 45°。 故答案为 45。 ②∵ 将 DC 绕点 D 顺时针旋转,使点 C 的对应点 E 落在边 AC 上, ∴ CD=ED。 ∴ ∠DCE= ∠DEC。 ∴ ∠EDC= 180°-2∠DEC。 ∵ DE 与 DF 关于直线 AB 对称, ∴ ∠EDA= ∠FDA,ED=FD。 ∴ ∠FDE= 2∠EDA,CD=FD。 ∴ ∠FDC= ∠FDE+∠EDC = 2∠EDA+180°-2∠DEC = 180°-2(∠DEC-∠EDA)= 180°-2∠DAE。 由①,知∠BAC= 45°,即∠DAE= 45°, ∴ ∠FDC= 180°-2×45° = 90°。 ∴ 线段 DF 可以看作是由线段 DC 绕点 P 顺时针 旋转 90°得到的。 故答案为 90。 (2)①∵ 将 DC 绕点 D 顺时针旋转,使点 C 的对应 点 E 落在边 AC 上, ∴ CD=ED。 ∴ ∠DCE= ∠DEC。 ∴ ∠EDC= 180°-2∠DEC。 ∵ DE 与 DF 关于直线 AB 对称, ∴ ∠EDA= ∠FDA,ED=FD。 ∴ ∠FDE= 2∠EDA,CD=FD。 ∴ ∠CDF= ∠FDE+∠EDC = 2∠EDA+180°-2∠DEC = 180°-2(∠DEC-∠EDA)= 180°-2∠DAE。 ∵ △ABC 是等腰直角三角形, ∴ ∠BAC= 45°,即∠DAE= 45°。 ∴ ∠CDF= 180°-2×45° = 90°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —24— 即∠CDF 的度数为 90°。 ②AC= 2 2 EF+FG。 理由如下: 如图 1,连接 AF。 　 　 图 1 ∵ DC,DE 关于直线 AB 的对称线段 为 DG 和 DF, ∴ DC=DE=DF=DG, ∠CDA= ∠GDA, ∠EDA= ∠FDA。 ∴ ∠GDF= ∠CDE。 ∴ △GDF≌△CDE(SAS)。 ∵ AD=AD,∴ △FDA≌△EDA(SAS)。 ∴ FG=EC,AE=AF,∠DAF= ∠DAE= 45°。 ∴ ∠FAE= 90°。 ∴ △FAE 是等腰直角三角形。 ∴ AE= 2 2 EF。 ∵ AC=AE+CE,∴ AC= 2 2 EF+FG。 (3) ① 如图 2, 当点 E 在线段 AC 上时, 连接 AF,AG。 　 　 图 2 ∵ DC,DE 关于直线 AB 的对称线段 为 DG 和 DF,点 E 在 AC 上, ∴ 点 F 在 AG 上,AC=AG= 6。 由(2),知 EF= 2AE,∠FAE= 90°。 ∵ EG= 2EF, ∴ EG= 2 × 2AE= 2AE。 ∴ AG= EG2 -AE2 = 3AE。 ∵ AG= 6,∴ 3AE= 6。 ∴ AE= 2 3 。 ∴ CE=AC-AE= 6-2 3 。 ②如图 3,当点 E 在线段 CA 的延长线上时, 同理可知,点 F,A,G 共线, 　 　 　 图 3 AG=AC= 6,AE=AF。 ∵ ∠EAD= ∠FAD= 180°-∠BAC = 135°, ∴ ∠EAF= 360° -∠EAD-∠FAD = 90°。 ∴ △AEF 是等腰直角三角形。 ∴ EF= 2AE。 ∵ EG= 2EF,∴ EG= 2 × 2AE= 2AE。 ∴ AG= EG2 -AE2 = 3AE。 ∵ AG= 6,∴ 3AE= 6。 ∴ AE= 2 3 。 ∴ CE=AC+AE= 6+2 3 。 综上所述,CE 的长为 6-2 3或 6+2 3 。 26.解:(1)将点 A(-3,0)代入 y= -x2 -mx+6m, 得-9+3m+6m= 0。 解得 m= 1。 所以抛物线的表达式为 y= -x2 -x+6。 (2)设点 D( t,-t2 -t+6)。 在 y= -x2 -x+6 中,令 y= 0,则-x2 -x+6 = 0, 解得 x= -3 或 2。 所以点 B(2,0)。 由 y= -x2 -x+6 中,令 x= 0,得 y= 6。 ∴ 点 C(0,6)。 设直线 BD 的表达式为 y = kx+ b,将点 B( 2,0), D( t,-t2 -t+6)代入, 得 2k+b= 0, kt+b= -t2 -t+6。{ 解得 k= -( t+3), b= 2t+6。{ ∴ 直线 BD 的表达式为 y= -( t+3)x+2t+6。 令 x= 0,则 y= 2t+6, ∴ 直线 BD 与 y 轴交于点(0,2t+6)。 ∵ S△BCD =S△ABD, ∴ 1 2 ×(6-2t-6)×(2-t)= 1 2 ×5×(-t2 -t+6)。 解得 t= 2 或-15 7 。 ∴ 点 D 的横坐标为-15 7 。 (3)∵ 点 E(0,6),∴ OE= 6。 ∵ △EFH 是等边三角形, ∴ ∠FEO= 30°。 ∴ OF=OH= 2 3 。 ∴ 点 F(-2 3 ,0),点 H(2 3 ,0)。 ∵ y= -x2 -mx+6m= - ( x+ 12 m ) 2 +6m+ 1 4 m2 , ∴ 平移后抛物线 C2 的表达式为 y= -x 2 +mx。 由点 E(0,6),F( - 2 3 ,0)得直线 EF 的表达式为 y= 3 x+6。 由点 E(0,6),H(2 3 ,0) 得直线 EH 的表达式为 y= - 3 x+6。 令 3 x+6 = -x2 +mx,即 x2 +( 3 -m)x+6 = 0, 则 Δ= ( 3 -m) 2 -24 = 0。 解得 m= 3 +2 6或 3 -2 6 。 令- 3 x+6 = -x2 +mx,即 x2 -( 3 -m)x+6 = 0, 则 Δ= ( 3 +m) 2 -24 = 0。 解得 m= - 3 +2 6或- 3 -2 6 。 综上所述,当- 2 3 <m< 3 - 2 6 或- 3 + 2 6 <m< 2 3时,抛物线 C2 与等边三角形 EFH 三边恰有四 个交点。 12 2024 年长清区学业水平第二次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A C A D B D A D B 1. C　 【解析】该圆柱体的左视图是一个圆。 故选 C。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —34—