10 2024年市中区学业水平第二次模拟试题-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东济南专版）

— 55 — — 56 — — 57 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1. 某几何体的三视图如图所示,则此几何体是 (　 　 ) A. B. C. D. 第 1 题图 　 　 　 　 　 第 3 题图 　 　 　 　 第 4 题图 2. 中国信通院预计未来 2-3 年内将实现 5G 的个人终端应用和数字内容的创新突破,预计 2025 年全 球 5G 移动用户数将突破 57 亿。 数据 57 亿用科学记数法表示为 (　 　 ) A. 0. 57×1010 B. 5. 7×1010 C. 5. 7×109 D. 57×104 3. 将含 45°角的直角三角尺按如图所示摆放,直角顶点在直线 m 上,其中一个锐角顶点在直线 n 上。 若 m∥n,∠1 = 30°,则∠2 的度数为 (　 　 ) A. 45° B. 60° C. 75° D. 90° 4. 如图,数轴上的点 A 和点 B 分别在原点的左侧和右侧,点 A,B 对应的实数分别是 a,b。 下列结论一 定成立的是 (　 　 ) A. a+b<0 B. b-a<0 C. 3a>3b D. a+3<b+3 5. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一,为弘扬优秀传统文化,某中学开展了“剪纸进校园,文化共 传承”的项目式学习,下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (　 　 ) A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是 (　 　 ) A. a3·a2 =a6 B. a3 +a2 = 2a5 C. (3a3) 2 = 9a6 D. a8 ÷a2 =a4 7. 在同一平面直角坐标系中,函数 y= kx+1(k≠0)和 y= k x (k≠0)的图象可能是 (　 　 ) A. B. C. D. 8. 寒假期间,学校准备从甲、乙、丙、丁四位老师中随机选择两位老师参加培训,则选择的两位老师中恰 好有甲老师的概率为 (　 　 ) A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 9. 如图,在△ABC 中,以点 B 为圆心,以适当长为半径作弧,分别与 AB,BC 交于 M,N 两点,分别以点 M,N 为圆心,以大于 1 2 MN 的长为半径作弧,两弧交于点 D,作射线 BD,BD 与 AC 交于点 E,分别以点 B,C 为圆心,以大于 1 2 BC 的长为半径作弧,两弧交于点 P,Q,连接 PQ,PQ 与 BC 交于点 F,连接 EF。 若 AB=BC,BE=AC= 4,则以下结论错误的是 (　 　 ) A. S△ABC = 8 B. ∠A= 60° C. S△CEF S△ABE = 1 2 D. △CEF 的周长为 2 5 +2 10. 已知抛物线 y= x2 +ax,将其图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折,其余部分保持不变,组成图形 G。 P (m,n)是 G 上的任意一点,当 0≤m≤1 时,n 的最大值记为 N,当 N 取得最小值时,a 的值为(　 　 ) A. -2 B. -1 C. 2-2 2 D. 3-2 2 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共计 24 分) 11. 因式分解:a2 -4b2 = 。 12. 如图,为测量一个“泉”字的面积,某同学将该“泉”字贴在一个边长为 20 cm 的正方形内。 现将米 粒随机撒到贴有“泉”字的正方形内,经过大量重复试验,发现米粒落在“泉”字区域的频率稳定在 常数 0. 4 附近,由此可估计这个“泉”字的面积是 cm2。 第 12 题图 　 　 第 14 题图 　 　 第 15 题图 　 　 第 16 题图 13. 若关于 x 的一元二次方程 x2 +x+m= 0 没有实数根,则 m 的取值范围是 。 14. 如图,正六边形 ABCDEF 的边长为 2,以点 A 为圆心,AC 的长为半径画弧,得 EC ( ,连接 AC,AE,则图 中阴影部分的面积为 。 15. 甲、乙两人沿同一条路线登山,登山过程中,甲、乙两人距地面的高度 y(米)与登山时间 x(分钟)之 间的函数关系如图所示。 乙中途提速,提速后乙登山速度为甲登山速度的 3 倍,则乙追上甲时,乙 距地面的高度为 米。 16. 在菱形 ABCD 中,∠A= 60°,AB= 8,E 为菱形内部一点,且 BE = 6,连接 DE,F 为 DE 中点,连接 CF, G 是 CF 中点,连接 BG,则 BG 的最大值为 。 三、解答题(本题共 10 小题,共计 86 分) 17. (6 分)计算: | -2 | -(π-2) 0 + ( 13 ) -1 -4tan 45°。 18. (6 分)解不等式组 5x-3≤2(x-3),① x 4 <x +1 3 ,② ì î í ï ï ï ï 并写出它的所有整数解。 19. (6 分)如图,在▱ABCD 中,点 E,F 在对角线 BD 上,且 AE∥CF。 求证:BE=DF。 20. (8 分)图 1 是一台实物投影仪,图 2 是它的示意图,折线 B-A-O 表示固定支架,AO 垂直水平桌面 OE 于点 O,B 为旋转点,BC 可转动,当 BC 绕点 B 顺时针旋转时,投影探头 CD 始终垂直于水平桌 面 OE。 经测量,AO= 6. 4 cm,CD= 8 cm,AB= 20 cm,BC= 25 cm。 (1)如图 2,当 BC∥OE 时,∠ABC= 70°,求投影探头的端点 D 到桌面 OE 的距离; (2)如图 3,将(1)中的 BC 绕点 B 顺时针旋转,当∠ABC= 30°时,投影探头是否会与桌面 OE 发生碰 撞? 请说明理由。 (结果精确到 1 cm,参考数据:sin 70°≈0. 94,cos 70°≈0. 34,sin 40°≈0. 64,cos 40°≈0. 77) 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 21. (8 分)某校为提高学生对地震灾害的自救意识,开展了关于地震自救知识的竞赛,现从该校七、八 年级中各抽取 20 名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析,成绩分组如下(x 表示竞赛成绩,x 取整 数):A. 95≤x≤100;B. 90≤x<95;C. 85≤x<90;D. 80≤x<85,下面给出了部分信息: 七年级抽取的 20 名学生的竞赛成绩在 B 组中的数据为 90,91,92,93,93,93,94。 10 2024 年市中区学业水平第二次模拟试题 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 58 — — 59 — — 60 — 八年级抽取的 20 名学生的竞赛成绩数据为 80,81,82,85,86,88,88,92,92,93,93,94,95,96,96, 96,97,97,99,100。 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均分 中位数 众数 七年级 91. 5 a 93 八年级 91. 5 93 b 　 　 七年级抽取的学生 竞赛成绩扇形统计图 　 　 八年级抽取的学生 竞赛成绩条形统计图 (1)七年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图中 B 组对应扇形的圆心角为 °; (2)请补全八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图; (3)统计表中的 a= ,b= ; (4)该校七年级有 1 000 人、八年级有 1 200 人参加了此次竞赛活动,请估计参加此次竞赛活动成绩 优秀(x≥90)的学生人数是多少? 22. (8 分)如图,△ABC 内接于☉O,BD 为☉O 的直径,过点 D 的切线交 BC 的延长线于点 E。 (1)求证:∠DEC= ∠BAC; (2)若 BC= 8,☉O 的半径长为 2 5 ,求 DE 的长。 23. (10 分)为丰富学生的大课间活动,某中学准备从体育用品商场购买若干个足球和篮球。 已知篮球 的单价是足球的单价的 3 倍,购买足球共花费 750 元,购买篮球共花费 900 元,购买足球的数量比 购买篮球的数量多 15 个。 (1)足球和篮球的单价分别是多少元? (2)为满足学生需求,学校准备再次购买足球和篮球共 20 个,但要求总费用不超过 1 350 元,最多 能购买篮球多少个? 24. (10 分)探究函数性质时,我们经历了列表、描点、连线,画出函数图象,观察分析图象特征,概括函 数性质的过程。 数学兴趣小组的同学们准备结合已有的学习函数的经验,画出函数 y= 6 x2 +1 的图象 并探究该函数的性质。 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y … 6 17 3 5 6 5 3 6 a 6 5 b 6 17 … (1)【图象初探】列表,写出表中 a,b 的值:a= ,b= ,并观察表格中数据的特征,在 所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象; (2)【性质再探】观察函数图象,下列关于函数 y= 6 x2 +1 的结论正确的是 ; ①函数 y= 6 x2 +1 的图象关于 y 轴对称;②函数 y= 6 x2 +1 的图象不经过第三、四象限;③当 x= 0 时,函数 y= 6 x2 +1 有最大值,最大值为 6;④在自变量的取值范围内,函数 y 的值随自变量 x 的增大而增大。 (3)【学以致用】写出直线 y=a 与函数 y= 4 x2 +1 +1 有两个交点时 a 的取值范围,并说明理由。 25. (12 分)如图,已知点 A( -2,0),C(0,4),抛物线 y= ax2 -ax+c 交 x 轴于点 A,B,交 y 轴于点 C,P 是 第一象限内抛物线上的一个动点,点 P 的横坐标为 m,过点 P 作 PM⊥x 轴,垂足为 M,PM 交 BC 于 点 Q。 过点 P 作 PN⊥BC,垂足为 N。 (1)求抛物线的表达式和点 B 的坐标; (2)①请用含 m 的代数式表示线段 PN 的长: ; ②连接 PC,在第一象限的抛物线上是否存在点 P,使得∠BCO+2∠PCN= 90°? 若存在,请求出 m 的 值;若不存在,请说明理由; (3)连接 AQ,若△ACQ 为等腰三角形,请直接写出 m 的值。 　 　 　 　 备用图 26. (12 分)综合探究。 (1)如图 1,在等边三角形 ABC 中,D 为 BC 边上一动点,DE∥AB 交 AC 于点 E,将 AD 绕点 D 顺时针 旋转 60°,得到 DF,连接 CF,则 AE 与 CF 的数量关系是 ,∠ACF 的度数为 °; (2)如图 2,在 Rt△ABC 中,∠ABC= 90°,∠ACB= 60°,D 为 BC 边上一动点,DE∥AB 交 AC 于点 E,当 ∠ADF= ∠ACF= 90°时,求AE CF 的值; (3)如图 3,在等边三角形 ABC 中,D 是边 BC 上一动点,连接 AD,将 AD 绕点 D 顺时针旋转 120°,得 到 DE,连接 BE。 取 BE 的中点 F,连接 DF。 若 AB= 4 3 ,BD= 2,请直接写出线段 DF 的长。 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 表达式为 y= 3 4 (x-1) 2 + 3 2 (x>0)。 ∴ 图形 G 的函数表达式为 y= - 3 4 (x-1) 2 +3(x≤0), 3 4 (x-1) 2 + 3 2 (x>0)。 ì î í ï ï ï ï 若 x 轴上方的图形 G 上存在点 D, 使得 S△ABD = 1 2 AB·yD = 3,则 yD = 3 2 。 当 x<0 时,将 y= 3 2 代入 y= - 3 4 (x-1) 2 +3, 得- 3 4 (x-1) 2 +3 = 3 2 。 解得 x1 = 2 +1(不合题意, 舍去), x2 = - 2 +1。 ∴ 点 D1 ( - 2 +1, 32 ) 。 当 x>0 时,将 y= 3 2 代入 y= 3 4 (x-1)2 + 3 2 ,得 3 4 (x- 1) 2 + 3 2 = 3 2 。 解得 x= 1。 ∴ 点 D2 ( 1, 32 ) 。 综上,存在点 D,使得 S△ ABD = 3,点 D 的坐标为 ( - 2 +1, 32 )或 ( 1, 3 2 ) 。 ②在 y=ax2 -2ax+a+3(a<0)中,令 x= 0, 得 y=a+3,∴ 点 C(0,a+3)。 ∴ 直线 l:y=a+3。 ∵ y=ax2 -2ax+a+3 =a(x-1) 2 +3, ∴ 抛物线的顶点为(1,3)。 将抛物线 y=ax2 -2ax+a+3(a<0)在 y 轴右侧的部 分沿直线 l 翻折,则顶点(1,3)翻折后的对应点为 (1,2a+3),∴ 翻折后抛物线的表达式为 y = -a(x- 1) 2 +2a+3(x>0)。 ∵ 点 P(1+a,p)和点 Q(1-a,q)是图形 G 上的点, ∴ 当 a≤-1 时,1+a≤0,1-a≥2。 此时点 P 在 y 轴左侧,点 Q 在 y 轴右侧,如图 2, 　 　 　 图 2 ∴ p=a(1+a-1) 2 +3 =a3 +3, q= -a(1-a- 1) 2 + 2a+ 3 = -a3 + 2a+3。 ∴ t= p+q= 2a+6。 ∵ -3≤t≤0,∴ -3≤2a+6≤0。 ∴ - 9 2 ≤a≤-3。 当-1<a<0 时,0<1+a<1, 1<1-a<2,即点 P,Q 均在 y 轴右侧。 ∴ 2a+3<p<a+3,2a+3<q<a+3。 ∴ 4a+6<p+q<2a+6。 ∵ -3≤t≤0, ∴ -3≤p+q≤0。 ∴ 4a +6>-3, 2a+6<0。{ 此不等式组无解,即-1<a<0 不成立。 综上,a 的取值范围为- 9 2 ≤a≤-3。 10 2024 年市中区学业水平第二次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C C D B C D C B C 1. C　 【解析】∵ 该几何体的左视图和主视图都是长方 形,∴ 该几何体是一个柱体。 ∵ 该几何体的俯视图 是一个三角形,∴ 该几何体是三棱柱。 故选 C。 2. C　 【解析】 57 亿 = 5 700 000 000 = 5. 7 × 109。 故 选 C。 3. C　 【解析】标注各点如图,∵ ∠1= 30°,∴ ∠DAB= 90°-∠1= 90°-30° = 60°。 ∵ m∥n,∴ ∠ABE = ∠DAB = 60°。 ∵ ∠ABD = 45°,∴ ∠2 = 180° - 45°-60°=75°。 故选 C。 4. D　 【解析】由数轴,知 a<0<b, | a | < | b | 。 A. ∵ a<0< b, | a | < | b | ,∴ a + b > 0。 故选项 A 不符合题意; B. ∵ a<0< b,∴ b - a > 0。 故选项 B 不符合题意; C. ∵ a< 0 < b,∴ 3a < 3b。 故选项 C 不符合题意; D. ∵ a<0<b,∴ a+3<b+3。 故选项 D 符合题意。 故 选 D。 5. B　 【解析】A. 是轴对称图形,不是中心对称图形, 故此选项不符合题意;B. 既是轴对称图形,又是中 心对称图形,故此选项符合题意;C. 是中心对称图 形,不是轴对称图形,故此选项不符合题意;D. 既不 是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项不 符合题意。 故选 B。 6. C　 【解析】A. a3 ·a2 = a3+2 = a5,故本选项不符合题 意;B. a3 与 a2 不能合并,故本选项不符合题意; C. (3a3) 2 = 9a6,故本选项符合题意;D. a8 ÷a2 = a8-2 =a6,故本选项不符合题意。 故选 C。 7. D　 【解析】当 k>0 时,一次函数 y = kx+1 经过第一、 二、三象限,反比例函数 y= k x 位于第一、三象限;当 k<0 时,一次函数 y= kx+1 经过第一、二、四象限,反 比例函数 y= k x 位于第二、四象限。 故选 D。 8. C　 【解析】画树状图如下: 共有 12 种等可能的结果,选中甲老师的结果有 6 种。 所以选择的两位老师中恰好有甲老师的概率 为 6 12 = 1 2 。 故选 C。 9. B　 【解析】根据作图过程,可知 BE 平分∠ABC, ∵ AB=BC,∴ BE⊥AC,AE = CE = 1 2 AC = 2,∠ABE = ∠CBE。 ∵ BE = AC = 4, ∴ BC = BE2 +CE2 = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —53— 42 +22 = 2 5。 ∴ S△ABC = 1 2 AC·BE = 1 2 ×4×4 = 8。 故 A 选项不符合题意;∵ tan ∠A = BE AE = 2 ≠ 3, ∴ ∠A≠60°。 故 B 选项符合题意;根据作图过程, 可知 PQ 是 BC 的垂直平分线,∴ BF = CF。 ∴ S△CEF = 1 2 S△BCE。 ∵ AE = CE,∴ S△BCE = S△ABE。 ∴ S△CEF S△ABE = 1 2 。 故 C 选项不符合题意;∵ BE⊥AC,F 是 BC 的 中点,∴ BF = EF = 1 2 BC。 ∴ △CEF 的周长 = CE+ EF+CF=CE+BF+CF =CE+BC = 2 5 +2。 故 D 选项 不符合题意。 故选 B。 10. C　 【解析】∵ 当 x= 0 时,y = x2 +ax = 0,∴ 抛物线过 原点。 ①当 a≥0 时,对称轴在 y 轴的左侧或者 y 轴上,以对称轴在 y 轴左侧为例,如图 1, 由图象,可得当 m= 1 时,n 的最大值 N= 1+a。 ∵ a≥0,∴ 1+a≥1。 图 1 　 　 图 2 ②当 a<0 时,对称轴在 y 轴的右侧,如图 2, 此时抛物线的对称轴为直线 x = - a 2 。 由图可知, 当 0<- a 2 < 1,即- 2<a< 0 时,n 的最大值为当 x = - a 2 时 y 的值,∴ N = a 2 4 - a 2 2 = a 2 4 。 ∵ -2<a<0, ∴ 0< a 2 4 <1。 ∴ a 2 4 <1+a。 当- a 2 ≥1,即 a≤-2 时, n 的最大值为当 x = 1 时 y 的值。 ∴ N = | 1 +a | = -1-a。 ∵ a≤-2,∴ -1-a≥1。 ∴ a 2 4 <1-a。 ∴ N 的 最小值为 a2 4 ,此时- 2<a< 0。 观察题中选项,只有 B,C 项在这一范围内。 ∵ 当 a = 2- 2 2 时,N = 3- 2 2;当 a= -1 时,N = 1 4 , 1 4 > 3- 2 2,∴ N 取得最 小值时,a 的值为 2-2 2。 故选 C。 11. (a+2b)(a- 2b) 　 【解析】原式 = a2 -(2b) 2 = ( a+ 2b)(a-2b)。 12. 160　 【解析】由频率估计概率的知识,可得米粒落 在“泉”字区域的概率约为 0. 4,所以“泉”字的面 积约为 20×20×0. 4 = 160(cm2)。 13. m> 1 4 　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 x2 +x+ m= 0 没有实数根,且 a = 1,b = 1,c = m,∴ Δ = 12 - 4m<0,即 m> 1 4 。 14. 2π　 【解析】如图,过点 B 作 BH⊥AC 于点 H。 ∵ 正六边形 ABCDEF 的边长为 2, ∴ AB=BC=2,∠ABC=∠BAF=(6 -2)×180° 6 =120°。 ∵ ∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°, ∴ ∠BAC= 1 2 (180°-∠ABC) = 1 2 ×(180°-120°)= 30°。 ∴ AH=CH,BH= 1 2 AB= 1 2 ×2 = 1。 在 Rt△ABH 中, AH= AB2 -BH2 = 22 -12 = 3, ∴ AC= 2 3。 同理可证∠EAF= 30°。 ∵ BH⊥AC, ∴ ∠CAE= ∠BAF-∠BAC-∠EAF = 120°-30°-30° = 60°。 ∴ S扇形 CAE = 60π×(2 3) 2 360 = 2π。 ∴ 图中阴影部分的面积为 2π。 15. 165　 【解析】甲的速度为(300-100)÷20 = 10(米 / 分 钟),则乙提速后的速度为 10× 3 = 30(米 / 分钟)。 设 t 分时乙追上甲。 当乙追上甲时,二人距地面的 高度相等,得 100+10t= 30+30( t-2),解得 t = 6. 5。 100+10×6. 5 = 165(米),所以乙追上甲时,乙距地 面的高度为 165 米。 16. 2 7 + 3 2 　 【解析】如图,取 BD 的中点 K,连接 FK, CK,取 CK 的中点 J,连接 BJ,GJ。 ∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AB = CB = CD = 8, ∠A = ∠DCB= 60°。 ∴ △CDB 是等边三角形。 ∴ DB=BC= 8。 ∵ K 为 BD 的中点,∴ DK=BK= 4,CK⊥DB。 ∴ CK= BC2 -BK2 = 82 -42 = 4 3。 ∵ J 是 CK 的中点, ∴ KJ=CJ= 2 3。 ∴ BJ= BK2 +KJ2 = 42 +(2 3) 2 = 2 7。 ∵ F 为 DE 的中点,K 为 DB 的中点, ∴ FK= 1 2 EB= 3。 ∵ G 为 CF 的中点,J 为 CK 的中点, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —63— ∴ GJ= 1 2 FK= 3 2 。 ∵ BG≤BJ+GJ= 2 7 + 3 2 , ∴ BG 的最大值为 2 7 + 3 2 。 17.解:原式= 2-1+3-4×1 = 2-1+3-4 = 0。 18.解:解不等式①,得 x≤-1。 解不等式②,得 x>-4。 故原不等式组的解集为-4<x≤-1。 则它的所有整数解为-3,-2,-1。 19.证明:∵ AE∥CF, ∴ ∠AED= ∠CFB。 ∴ ∠AEB= ∠CFD。 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB=CD,AB∥CD。 ∴ ∠ABE= ∠CDF。 ∴ △ABE≌△CDF(AAS)。 ∴ BE=DF。 20.解:(1)如图 1,延长 OA 交 BC 于点 F。 图 1 ∵ BC∥OE,OA⊥OE,∴ OF⊥BC。 在 Rt△ABF 中,∠ABC= 70°,AB= 20 cm, ∴ AF=AB·sin 70°≈20×0. 94 = 18. 8(cm)。 ∵ OA= 6. 4 cm,CD= 8 cm, ∴ 投影探头端点 D 到桌面 OE 的距离为 OA+AF-CD= 6. 4+18. 8-8≈17(cm)。 ∴ 投影探头端点 D 到桌面 OE 的距离约为 17 cm。 (2)投影探头不会与桌面 OE 发生碰撞。 理由如下: 如图 2,过点 B 作 BG⊥CD,交 DC 的延长线于 点 G。 图 2 由题意,得∠ABG= 70°。 ∵ ∠ABC= 30°, ∴ ∠CBG= ∠ABG-∠ABC= 40°。 在 Rt△CBG 中,BC= 25 cm, ∴ CG=BC·sin 40°≈25×0. 64 = 16(cm)。 ∵ CD= 8 cm, ∴ 投影探头端点 D 到桌面 OE 的距离为 6. 4+18. 8-8-16≈1(cm)。 ∴ 投影探头不会与桌面 OE 发生碰撞。 21.解:(1)七年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图中 B 组对应扇形的圆心角为 360°× 7 20 = 126°。 故答案为 126。 (2)八年级抽取的学生竞赛成绩在 C 组的学生有 20-(8+5+3)= 4(人)。 补全条形统计图如下: 八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图 (3)七年级抽取的学生竞赛成绩中第 10,11 个数 据分别为 92,91,所以其中位数 a= 91 +92 2 = 91. 5。 八年级抽取的学生竞赛成绩中 96 出现 3 次,出现 次数最多, 所以其众数 b= 96。 故答案为 91. 5,96。 (4)1 000× ( 25% + 720 ) +1 200×13 20 = 600+780 = 1 380(人)。 答:估计参加此次竞赛活动成绩优秀(x≥90)的学 生有 1 380 人。 22.解:(1)证明:∵ BD 为☉O 的直径, ∴ ∠BCD= 90°。 ∵ 过点 D 的切线交 BC 的延长线于点 E, ∴ DE⊥BD。 ∴ ∠BDE= 90°。 ∴ ∠BDC= ∠DEC= 90°-∠DBE。 ∵ ∠BDC= ∠BAC,∴ ∠DEC= ∠BAC。 (2)∵ ☉O 的半径长为 2 5 , ∴ BD= 2×2 5 = 4 5 。 ∵ BC= 8,∠BCD= 90° ∴ DC= BD2 -BC2 = (4 5 ) 2 -82 = 4。 ∵ ∠ECD= ∠BCD= 90°,∠BDC= ∠DEC, ∴ DC DE = sin∠DEC= sin∠BDC=BC BD 。 ∴ DE=DC·BD BC = 4×4 5 8 = 2 5 。 23.解:(1) 设足球的单价是 x 元,则篮球的单价是 3x 元。 由题意,得750 x -900 3x = 15,解得 x= 30。 经检验,x= 30 是原分式方程的解,且符合题意。 所以 3x= 3×30 = 90。 答:足球的单价是 30 元,篮球的单价是 90 元。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —73— (2)设购买篮球 m 个,则购买足球(20-m)个。 由 题意,得 90m+30(20-m)≤1 350。 解得 m≤12. 5。 ∵ m 为正整数,∴ m 的最大整数解为 12。 答:最多能购买篮球 12 个。 24.解:(1)当 x= 1 时,y= 6 12 +1 = 3,当 x = 3 时,y = 6 32 +1 = 3 5 。 作图如下: 图 1 故答案为 3, 3 5 。 (2)由上图,知 y= 6 x2 +1 的图象关于 y 轴对称;不经 过第三、四象限;当 x= 0 时,y= 6 x2 +1 有最大值 6;当 x<0 时,y 的值随 x 值的增大而增大,当 x> 0 时,y 的值随 x 值的增大而减小,当 x= 0 时,y= 6 x2 +1 有最 大值 6。 故①②③正确,④错误。 故答案为①②③。 (3)1<a<5。 理由如下: 由(1)(2),可知 0< 4 x2 +1 ≤4,∴ 1< 4 x2 +1 +1≤5, ∴ y=a 与 y= 4 x2 +1 +1 的图象如图 2 所示: 图 2 由图象,得直线 y= a 与函数 y = 4 x2 +1 + 1 有两个交 点时,a 的取值范围是 1<a<5。 25.解:(1)将点 A(-2,0),C(0,4)代入 y=ax2 -ax+c, 得 c= 4, 4a+2a+c= 0。{ 解得 a= - 2 3 , c= 4。 { 令 y= - 2 3 x2 + 2 3 x+4 = 0,解得 x1 = -2,x2 = 3。 所以抛物线的表达式为 y= - 2 3 x2 + 2 3 x+4, 点 B(3,0)。 (2)①由点 B(3,0),C(0,4), 得直线 BC 的表达式为 y= - 4 3 x+4。 设点 P (m,- 23 m 2 + 2 3 m+4 ) , ∴ 点 Q (m,- 43 m+4 ) 。 ∴ PQ= ( - 23 m 2+ 2 3 m+4 ) - ( - 43 m+4 ) =- 2 3 m2+2m。 ∵ CO= 4,BO= 3,∴ BC= 5。 ∵ PM⊥x 轴,PN⊥BC, ∴ ∠PMB= ∠PNQ= 90°。 ∵ ∠PQN= ∠MQB, ∴ ∠NPQ= ∠MBQ。 ∴ cos∠OBC=OB BC = 3 5 = cos∠NPQ=PN PQ 。 ∴ PN=PQ× 3 5 = - 2 5 m2 + 6 5 m。 故答案为- 2 5 m2 + 6 5 m。 ②存在。 如图,连接 PC,过点 C 作 CR∥x 轴交 PM 于点 R, 过点 B 作 BK∥CP 交 y 轴于点 K,过点 K 作 KT⊥ BC 于点 T。 ∵ PM⊥x 轴,∴ CR⊥PM。 ∴ 四边形 OCRM 是矩形。 ∴ ∠RCO= 90°。 ∵ ∠BCO+2∠PCN= 90°, ∴ CP 是∠BCR 的平分线。 ∵ ∠RCB= ∠CBO,∠PCB= ∠CBK, ∴ BK 为∠CBO 的平分线。 ∴ KO=KT,BO=BT。 设 OK=KT= x,则 CK= 4-x,CT=BC-BT=BC-BO = 2。 在 Rt △CKT 中,CK2 = KT2 +CT2 ,即 ( 4 - x) 2 = x2 +4。 解得 x= 3 2 。 则点 K ( 0, 32 ) 。 由点 B(3,0),K ( 0, 32 ) ,得直线 BK 的表达式为 y=- 1 2 x+ 3 2 。 由 CP∥BK 及点 C(0,4),得直线 CP 的表达式为 y= - 1 2 x+4。 令- 1 2 x+4 = - 2 3 x2 + 2 3 x+4, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —83— 解得 x= 0(舍去)或 7 4 。 ∴ m= 7 4 。 (3)设点 Q (m,- 43 m+4 ) , 由点 A(-2,0),C(0,4),Q (m,- 43 m+4 ) , 得 AC2 = 20,AQ2 = (m+2) 2 + ( - 43 m+4 ) 2 , CQ2 =m2 + ( - 43 m ) 2 。 当 AC=AQ 时,20 = (m+2) 2 + ( - 43 m+4 ) 2 , 解得 m= 0(舍去)或12 5 。 当 AQ=CQ 或 CQ=AC 时, (m+2) 2 + ( - 43 m+4 ) 2 =m2 + ( - 43 m ) 2 或 m2 + ( - 43 m ) 2 = 20,解得 m= 6 5 5 。 综上,m 的值为6 5 5 或 12 5 。 26.解:(1)在等边三角形 ABC 中,DE∥AB, ∠B= ∠EDC= ∠BAC= ∠DEC= ∠C= 60°, ∴ △EDC 是等边三角形,DE=EC=DC。 ∵ AD 绕点 D 顺时针旋转 60°得到 DF, ∴ ∠ADF= 60°,AD=DF。 ∴ ∠ADF= ∠EDC。 ∴ ∠ADF-∠EDF= ∠EDC-∠EDF。 ∴ ∠ADE= ∠FDC。 ∵ AD=DF,ED=CD,∴ △ADE≌△FDC(SAS)。 ∴ AE=CF,∠AED= ∠FCD。 ∵ ∠DEC= 60°,∴ ∠AED= 120°。 ∴ ∠FCD= 120°。 ∵ ∠ACB= 60°, ∴ ∠ACF= 120°-60° = 60°。 故答案为 AE=CF,60。 (2)∵ DE∥AB,∴ ∠EDC= ∠ABC= 90°。 ∵ ∠ADF= 90°, ∴ ∠ADF-∠EDF= ∠EDC-∠EDF。 ∴ ∠ADE= ∠FDC。 ∵ ∠ACF= 90°,∠AED= ∠EDC+∠ACB, ∠FCD= ∠ACF+∠ACB, ∴ ∠AED= ∠FCD。 ∵ ∠ADE= ∠FDC, ∴ △DAE∽△DFC。 ∴ AE FC =DE DC 。 ∵ ∠EDC= 90°,∠ACB= 60°, ∴ tan∠ACB=DE DC = 3 。 ∴ AE CF = 3 。 (3)如图,过点 D 作 DG∥AB 交 AC 于点 G,并截取 DH=DB,连接 EH,交 BC 于点 K。 在等边三角形 ABC 中,∵ DG∥AB, ∴ ∠ABC = ∠GDC = 60°, ∠BAC = ∠DGC= 60°,∠C= 60°。 ∴ △DGC 是等边三角形, DG=GC=DC。 ∴ ∠BDG= 180°-60° = 120°。 ∵ AD 绕点 D 顺时针旋转 120°得到 DE, ∴ ∠ADE= 120°,AD=ED。 ∴ ∠ADE= ∠BDG。 ∴ ∠ADE-∠ADG= ∠BDG-∠ADG。 ∴ ∠EDH= ∠ADB。 ∵ DH=BD,DE=AD,∴ △EDH≌△ADB(SAS)。 ∴ EH=AB= 4 3 ,∠EHD= ∠ABD= 60°。 ∴ △DHK 是等边三角形,HK=DH=DK=DB= 2。 ∴ KE=EH-HK= 4 3 -2。 ∵ BD=DK,BF=FE, ∴ DF 是△BEK 的中位线。 ∴ DF= 1 2 KE= 2 3 -1。 11 2024 年天桥区学业水平第二次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B B A B D C B A C 1. C　 【解析】∵ 5 > 4 = 2,∴ 5 >2>0>-1。 四个数中 最大的数是 5,故选 C。 2. B　 【解析】从左面看,底层是两个正方形,上层的左 边是一个正方形。 故选 B。 3. B　 【解析】2 640 000 = 2. 64×106,故选 B。 4. A 　 【解析】 ∵ l∥AC,∴ ∠1 = ∠A。 ∵ ∠C = 90°, ∴ ∠A+∠2 = 90°。 ∴ ∠1+∠2 = 90°。 ∵ ∠2 = 2∠1, ∴ ∠1 = 30°。 ∴ ∠A= 30°。 故选 A。 5. B　 【解析】A 图形是轴对称图形,B 图形既是中心 对称图形又是轴对称图形,C 图形是轴对称图形,D 图形是中心对称图形。 故选 B。 6. D　 【解析】2m3 与 m2 不是同类项,无法合并,故 A 不符合 题 意; (3m) 3 = 27 m3, 故 B 不 符 合 题 意; (m-1) 2 =m2 -2m+1,故 C 不符合题意;m4 ÷m = m3, 故 D 符合题意。 故选 D。 7. C　 【解析】如图,过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D,设 AC 交 y 轴于点 E。 ∵ 点 A 的横坐标 为 2,∴ 点 D(-2,0)。 ∵ 点 A 的 坐标是(-2,a),点 A 在反比例函 数 y=- 4 x 的图象上,∴ a=- 4-2 = 2。 ∴ AD=OE= 2。 ∵ 四边形 ABOC 是平行四边形, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —93—