9 2024年历下区学业水平第二次模拟试题-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东济南专版）

— 49 — — 50 — — 51 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分。 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. 16 的算术平方根是 (　 　 ) A. 4 B. -4 C. ±4 D. 8 2. 如图所示,该几何体的俯视图是 (　 　 ) A. B. C. D. 第 2 题图 　 　 第 4 题图 　 　 　 第 8 题图 3. 2024 年清明假期,济南天下第一泉景区接待游客约 56. 6 万人次。 数据 56. 6 万用科学记数法可表 示为 (　 　 ) A. 56. 6×104 B. 5. 66×104 C. 5. 66×105 D. 0. 566×106 4. 一把直尺和一个含 30°角的直角三角尺按如图方式放置,若∠1 = 20°,则∠2 的度数为 (　 　 ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 5. 古典园林中的花窗通常利用对称构图,体现对称美。 下面四个花窗图案,既是轴对称图形又是中心 对称图形的是 (　 　 ) A. B. C. D. 6. 如果 x>-y,那么下列运算不正确的是 (　 　 ) A. x+y>0 B. x-3<-y-3 C. 2x>-2y D. -x<y 7. 为了弘扬雷锋精神,某校组织“学雷锋,争做新时代好少年”的宣传活动,需招募两名宣传员,现从两 名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人,则两人恰好是一男一女的概率是 (　 　 ) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 8. 如图,在△ABC 中,以点 A 为圆心,以任意长为半径作弧,分别交 AB,AC 于点 M,N,再分别以点 M,N 为圆心,以大于 1 2 MN 的长为半径作弧,两弧相交于点 P,作射线 AP 交 BC 于点 D,连接 DM,DN。 以 下结论正确的是 (　 　 ) A. AN=DN B. DN∥AM C. DM=DN D. AD⊥BC 9. 已知甲、乙两地相距 180 km,一辆出租车从甲地出发往返于甲、乙两地,一辆货车沿同一条公路从甲 地前往乙地,两车同时出发,出租车到达乙地后立即以相同的速度返回,在货车到达乙地 1 h 后,出 租车返回到甲地。 两车离甲地的距离 s(km)和行驶时间 t( h)之间的函数关系如图所示,则两车在 途中相遇时的时间是 (　 　 ) A. 2. 1 h B. 2. 2 h C. 2. 3 h D. 2. 4 h 10. 已知点 M(x1,y1),N(x2,y2 )是二次函数 y = ax2 -6ax+2(a>0)图象上的任意两点。 若对于 t<x1 <t+ 1,t+1<x2 <t+2,都有 y1 <y2 <2,则 t 的取值范围是 (　 　 ) A. 1≤t≤ 5 2 B. 5 2 ≤t≤4 C. 1≤t≤3 D. 3≤t≤4 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. 分解因式:x2 +6x+9 = 。 12. 在一个不透明的口袋中,装有 2 个红球和若干个黄球,它们除颜色外都相同。 从中随机摸出一个球 是黄球的概率为 3 4 ,则口袋中黄球有 个。 13. 若 m 是大于 3且小于 10的一个整数,则 m 的值可以是 (写出一个即可)。 14. 已知一个多边形的每个外角都等于相邻内角的 1 2 ,则该多边形的边数为 。 15. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC= 90°,BC= 4,将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 60°得到△ADE,则图中阴影 部分的面积为 。 第 15 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 第 16 题图 16. 如图,在正方形 ABCD 中,E 是 CD 上一点,DE = 3CE。 连接 AE,过点 B 作 BF⊥AE,垂足为 F,连接 CF,过点 F 作 GF⊥CF,交 AB 于点 G,则GF CF = 。 三、解答题(本大题共 10 个小题,共 86 分。 请写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (6 分)计算: | -3 | + ( 12 ) -1 -2sin 30°+( -1) 2 024。 18. (6 分)解不等式组: x-1 3 < x 2 ,① 2x-3≥3(x-2),② ì î í ï ï ïï 并写出它的所有非负整数解。 19. (6 分)如图所示,在▱ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,过点 O 任作一条直线分别交 AB,CD 于点 E,F。 求证:OE=OF。 20. (8 分)为“提升青少年科学素养,夯实科技强国之基”,某初中分别在七、八、九年级中随机抽取 5% 的学生参加科学竞赛。 同时对全体学生“是否愿意利用课余时间参加科学讲座”这一问题进行 调查。 【收集数据】 本次竞赛满分 10 分。 已收集到三个年级参加竞赛同学的成绩数据与三个年级全体学生的问卷调 查数据。 【整理数据】 a. 如图为七、八年级学生科学竞赛成绩折线统计图; b. 九年级学生科学竞赛成绩数据为 8,8,5,10,9,7,9,8。 【分析数据】 下表为七、八、九年级所抽取学生参加科学竞赛成绩的平均数、众数、中位数。 　 　 　 平均数 众数 中位数 七年级 6 8 7 八年级 7 6,7,8 n 九年级 8 m 8 【解决问题】 (1)m= ,n= ; (2)设七、八年级学生科学竞赛成绩的方差分别是 s21,s22,比较大小:s21 s22; (3)在“是否愿意利用课余时间参加科学讲座?”这一问题的调查中,已知七、八、九三个年级选择 “非常愿意”的学生所占百分比分别为 32% ,48% 和 75% ,求出该校全体学生中选择“非常愿意”的 学生所占百分比。 9 2024 年历下区学业水平第二次模拟试题 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 52 — — 53 — — 54 — 21. (8 分)新学期,小华和小明被选为升旗手,为了更好地完成升旗任务,他们将“测量学校旗杆的高 度”作为一项课题活动进行研究,活动报告如下: 课题 测量学校旗杆的高度 测量人员 小明 小华 测量工具 测角仪、皮尺、无人机 测角仪、皮尺 测量方案 示意图 图 1 图 2 说明 如图 1,在距离旗杆 CD 一定水平距离的 B 处,无人机垂直上升到 A 处,测得 D 点的仰 角为 α,C 点的俯角为 β(图中各点均在同一 竖直平面内) 如图 2,CD 为旗杆,AB,EF 为同一测角仪,在 测量点 A,E 处测得点 D 的仰角分别为 α,β (图中各点均在同一竖直平面内,点 B,F,C 在同一条直线上) 测量数据 BC= 10 m,α= 39. 3°,β= 45° AB= 1. 5 m,BF= 5. 5 m,α= 37°,β= 45° 参考数据 sin 39. 3°≈0. 63,cos 39. 3°≈0. 77,tan 39. 3°≈ 0. 82 sin 37°≈0. 60,cos 37°≈0. 80,tan 37°≈0. 75 (1)按照小明的方案,旗杆 CD 的高度约为 m(结果保留整数); (2)按照小华的方案,求出旗杆 CD 的高度(写清楚计算过程,结果保留整数)。 22. (8 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径作☉O,交 BC 于点 D,过点 D 作☉O 的切线,交 AB 的延长线于点 E,交 AC 于点 F。 (1)求证:AF⊥EF; (2)若 AF= 6,DF= 3,求直径 AB 的长。 23. (10 分)为加快公共领域充电基础设施建设,规范居民安全用电行为,某市计划新建一批智能充电 桩。 经调研,市场上有 A 型,B 型两种充电桩,已知 A 型充电桩比 B 型充电桩的单价少 0. 2 万元, 用 12 万元购买 A 型充电桩与用 16 万元购买 B 型充电桩的数量相等。 (1)A 型,B 型充电桩的单价各是多少? (2)该市决定购买 A 型,B 型充电桩共 300 个,且花费不超过 200 万元,则至少购买 A 型充电桩多少个? 24. (10 分)【问题提出】在数学兴趣小组的研讨中,小蒙提出了自己遇到的问题:解不等式 x2 < 1 x 。 【问题探究】数学老师启发小蒙从函数的角度解决这个问题: 如图 1,在平面直角坐标系中,分别画出函数 y = x2 和函数 y = 1 x 的图象,从函数角度看,解不等式 x2 < 1 x 相当于求抛物线 y= x2 在双曲线 y= 1 x 下方的点的横坐标的取值范围。 (1)观察图 1,可知两个图象的交点坐标为 ,所以 x2 < 1 x 的解为 ; 【类比探究】受此启发,小蒙尝试解不等式 4 x +x-5>0,经过分析,小蒙发现需要借助函数 y = 4 x 和函 数　 　 　 　 的图象来求解。 (2)请先完成上面的填空,再在图 2 中画出相应的函数图象,写出不等式 4 x +x-5>0 的解集并说明理由; 【拓展应用】小蒙想借助函数图象进一步研究不等式,于是尝试解不等式组 8 x -2x<0, x2 -4x+2- 8 x <0, ì î í ï ï ï ï ïï 并进行 了一些准备,如图 3 所示。 (3)请根据小蒙的思路分析,直接写出该不等式组的解集。 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 25. (12 分)在△ABC 中,D 是线段 AB 上一动点,连接 CD。 将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转至 CE,记旋 转角为 α,连接 AE。 取 AE 的中点 G,连接 CG。 【特例感知】 (1)如图 1,已知△ABC 是等腰直角三角形,AC =BC,∠ACB = 90°,α = 90°,延长 AC 至点 F,使 AC = CF,连接 EF。 EF 与 BD 的数量关系是 ,CG 与 BD 的数量关系是 ; 【类比迁移】 (2)如图 2,已知△ABC 是等腰三角形,AC =BC,∠ACB = 120°,α = 60°。 探究线段 CG 与 BD 的数量 关系,并证明你的结论; 【拓展应用】 (3)如图 3,在△ABC 中,BC= 13,AC = 7,∠ABC = 30°,∠ACB = 180°-α,在点 D 的运动过程中,求线 段 CG 长度的最小值。 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 26. (12 分)在平面直角坐标系中,已知抛物线 y=ax2 -2ax+a+3(a<0)与 x 轴分别交于点 A 和点 B,与 y 轴交于点 C。 (1)如图 1,若点 A 的坐标为( -1,0),求抛物线的表达式和点 C 的坐标; (2)过点 C 作 y 轴的垂线 l,将抛物线在 y 轴右侧的部分沿直线 l 翻折,将翻折得到的图象与原抛物 线剩余部分的图象组成新的图形,记为图形 G。 ①在(1)的条件下,图形 G 中位于 x 轴上方的部分是否存在点 D,使得 S△ABD = 3? 若存在,求点 D 的 坐标;若不存在,请说明理由; ②如图 2,已知点 P(1+a,p)和点 Q(1-a,q)是图形 G 上的点。 设 t = p+q,当-3≤t≤0 时,请直接写 出 a 的取值范围。 图 1 　 　 图 2 设 Q 点横坐标为 t, 则 t2 -5t+4 = 2, 解得 t= 5± 17 2 。 ∴ 点 Q ( 5+ 172 ,2 )或 ( 5- 17 2 ,2 ) 。 图 2 　 　 　 图 3 ②如图 3,当点 Q 在 D 点下方时,设 DQ 与 x 轴交 于点 E。 ∵ ∠QDB= ∠OBD,∴ DE=BE。 设点 E(p,0),则 DE2 =OE2+OD2 =p2+4,BE2 =(4-p)2。 ∴ p2 +4 = (4-p) 2 。 解得 p= 3 2 。 ∴ 点 E ( 32 ,0 ) 。 设直线 DE 的表达式为 y = kx+q,将点 D(0,2),E ( 32 ,0 )代入,得 q= 2, 3 2 k+q= 0。{ 解得 q= 2, k= - 4 3 。{ ∴ 直线 DE 的表达式为 y= - 4 3 x+2。 联立 y= - 4 3 x+2, y= x2 -5x+4。 { 解得 x= 3,y= -2{ 或 x= 2 3 , y= 10 9 。 ì î í ï ï ï ï ∴ 点 Q(3,-2)或 ( 23 , 10 9 ) 。 综 上 所 述, 点 Q 的 坐 标 为 ( 5+ 172 , 2 ) 或 ( 5- 172 ,2 )或(3,-2)或 ( 2 3 ,10 9 ) 。 26.解:(1)∵ ∠BAC= ∠DAE= 90°, ∴ ∠BAC-∠DAC= ∠DAE-∠DAC。 ∴ ∠BAD= ∠CAE。 又∵ AB=AC,AD=AE, ∴ △BAD≌△CAE(SAS)。 ∴ ∠ABD= ∠ACE。 ∵ ∠BAC= 90°, ∴ ∠ABC+∠ACB= ∠ABD+∠OBC+∠ACB= 90°。 ∴ ∠ACE+∠OBC+∠ACB= 90°, 即∠BCE+∠OBC= 90°。 ∴ ∠BOC= 90°。 故∠BOC 的度数是 90°。 ∵ △BAD≌△CAE, ∴ BD=CE。 故 BD ∶ CE= 1 ∶ 1。 故答案为 90°;1 ∶ 1。 (2)∵ AB=AC,DE=DC,∠BAC= ∠EDC= 90°, ∴ AB DE = AC DC ,∠ABC= ∠ACB= ∠DEC= ∠DCE= 45°。 又∵ ∠BAC= ∠EDC= 90°, ∴ △ABC∽△DEC。 ∴ ∠ACB= ∠DCE,BC AC =EC DC 。 ∴ ∠ACE+∠ECB= ∠DCA+∠ACE。 ∴ ∠ECB= ∠DCA。 ∴ △ECB∽△DCA。 ∴ ∠CBE= ∠CAD。 ∴ ∠AOB = 180° - ∠ABO- ∠BAO = 180° - ∠ABO- ∠CAD-∠BAC= 180°-∠ABO-∠CBE-90° = 180°- 45°-90° = 45°。 ∵ △ECB∽△DCA, ∴ AD BE =DC EC = sin∠DEC= sin 45° = 2 2 。 ∴ AD ∶ BE= 1 ∶ 2 。 (3) 如图,连接 BF,CE,延长 CE 交 MN 于点 P, 交 BF 于 点 O。 在等 边 三 角 形 ABC 中, AB =AC。 ∵ AD⊥BC 于点 D, ∴ D 为 BC 的中点。 又∵ M 为 EF 的中点,N 为 BE 的中点, ∴ MN,ND 分别是△BEF,△BCE 的中位线。 ∴ MN= 1 2 BF,DN= 1 2 EC。 ∵ ∠FAE= ∠BAC= 60°, ∴ ∠FAE+∠EAB= ∠BAC+∠EAB。 ∴ ∠FAB= ∠EAC。 在△ABF 和△ACE 中, AF=AE, ∠FAB= ∠EAC, AB=AC, { ∴ △ABF≌△ACE(SAS)。 ∴ BF=EC。 ∴ MN=DN。 ∴ △MND 为等腰三角形。 9 2024 年历下区学业水平第二次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C B C B C C D B 1. A　 【解析】∵ 4 的平方是 16,∴ 16 的算术平方根是 4。 故选 A。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —13— 2. B　 【解析】从上面看,是一行两个矩形。 故选 B。 3. C　 【解析】56. 6 万= 566 000 = 5. 66×105。 故选 C。 4. B　 【解析】标注各点及∠3。 如图,由题意,得∠CAD = 60°, ∵ AB∥DE,∠1 = 20°,∴ ∠3 = ∠1 = 20°。 ∴ ∠2 = ∠CAD - ∠3 = 40°。 故选 B。 5. C　 【解析】A. 不是中心对称图形,是轴对称图形, 故此选项不合题意;B. 既不是中心对称图形,也不 是轴对称图形,故此选项不合题意;C. 既是中心对 称图形,也是轴对称图形,故此选项符合题意;D. 不 是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项不合题 意。 故选 C。 6. B　 【解析】∵ x>-y,∴ x+y>0。 ∴ 选项 A 不符合题 意。 ∵ x>-y,∴ x- 3> -y- 3。 ∴ 选项 B 符合题意。 ∵ x>-y,∴ 2x>-2y。 ∴ 选项 C 不符合题意。 ∵ x>-y, ∴ -x<y。 ∴ 选项 D 不符合题意。 故选 B。 7. C　 【解析】列表如下: 男 1 男 2 女 1 女 2 男 1 (男 1, 男 1) (男 1, 女 1) (男 1, 女 2) 男 2 (男 2, 男 1) (男 2, 女 1) (男 2, 女 2) 女 1 (女 1, 男 1) (女 1, 男 2) (女 1, 女 2) 女 2 (女 2, 男 1) (女 2, 男 2) (女 2, 女 1) 共有 12 种等可能的结果,其中两人恰好是一男一 女的结果有 8 种,所以两人恰好是一男一女的概率 为 8 12 = 2 3 。 故选 C。 8. C 　 【解析】由作图,知 AP 平分 ∠BAC,AN = AM, ∴ ∠CAD= ∠BAD。 在△AND 与△AMD 中, AN=AM, ∠NAD= ∠MAD AD=AD, { , ∴ △AND ≌ △AMD ( SAS )。 ∴ DN=DM。 故选 C。 9. D　 【解析】根据题意,得 b= 2+2 = 4,a= b-1 = 4-1 = 3。 ∴ 货车速度为 180÷ 3 = 60(km / h),出租车速度 为 180÷2 = 90(km / h)。 ∴ 货车离甲地的距离 s 和行 驶时间 t 的函数关系为 s= 60t,出租车返回时离甲地 的距离 s 和行驶时间 t 的函数关系为 s= 180-90( t- 2) = 360 - 90t。 当 60t = 360 - 90t 时,解得 t = 2. 4。 ∴ 两车在途中相遇时的时间是 2. 4 h。 故选 D。 10. B　 【解析】∵ 二次函数 y=ax2 -6ax+2(a>0),∴ 图 象开口向上,对称轴为直线 x = 3,当 x = 0 时,y = 2。 ∴ 点(0,2)和点(6,2)关于对称轴对称。 ∵ 点 M (x1,y1),N(x2,y2)是二次函数 y=ax 2 -6ax+2(a>0) 图象上的任意两点,且对于 t<x1 <t+1,t+1<x2 <t+2, 都有 y1 <y2,∴ x1 >0,x2 <6,点 M 到对称轴的距离小 于点 N 到对称轴的距离。 ∴ t +t+1 2 ≥3 且 6≥t+ 2。 ∴ 5 2 ≤t≤4。 故选 B。 11. (x+3) 2 　 【解析】x2 +6x+9 =(x+3) 2。 12. 6　 【解析】设黄球有 x 个,根据题意,得 x x+2 = 3 4 。 解得 x= 6。 经检验,x= 6 是原方程的解,且符合题 意。 所以口袋中黄球有 6 个。 13. 2(或 3) 　 【解析】∵ 1< 3 <2,3< 10 <4,∴ 3 <2< 3< 10 <4。 ∴ m 的值可以是 2 或 3。 14. 6　 【解析】设每个内角为 x,根据题意,得 x+ 1 2 x = 180°,解得 x = 120°。 所以每个外角度数为 60°。 则这个多边形的边数为 360°÷60° = 6。 15. 8 3 π　 【解析】由旋转的性质,得△ABC≌△ADE。 ∴ 阴影部分的面积=S△ABC +S扇形ACE -S扇形BAD -S△ADE = S扇形 ACE-S扇形 BAD = 60π×AC2 360 -60π×AB 2 360 = 60π·BC 2 360 = 60π×42 360 = 8 3 π。 16. 3 4 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB∥CD,∠D= 90°。 ∴ ∠BAF= ∠AED。 ∵ BF⊥AE,∴ ∠AFB= 90° = ∠D。 ∴ △AFB∽△EDA。 ∴ AF ED =BF AD 。 ∴ AF BF =DE AD 。 ∵ DE= 3CE,∴ DE CD = 3 4 =DE AD 。 ∴ AF BF = 3 4 。 ∵ GF⊥CF, ∴ ∠BFC= 90°-∠BFG= ∠AFG。 ∵ ∠FBC= 90°-∠ABF= ∠GAF, ∴ △AFG∽△BFC。 ∴ AF BF =GF CF = 3 4 。 17.解: | -3 | + ( 12 ) -1 -2sin 30°+(-1) 2 024 = 3+2-2× 1 2 +1 = 3+2-1+1 = 5。 18.解:解不等式①,得 x>-2。 解不等式②,得 x≤3。 ∴ 不等式组的解集为-2<x≤3。 ∴ 该不等式组的非负整数解为 0,1,2,3。 19.证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC,OA=OC。 ∴ ∠EAO= ∠FCO。 在△AEO 和△CFO 中, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —23— ∠OAE= ∠OCF, OA=OC, ∠AOE= ∠COF, { ∴ △AEO≌△CFO(ASA)。 ∴ OE=OF。 20.解:(1)∵ 8 出现了 3 次,出现的次数最多, ∴ 众数是 8,即 m= 8。 把八年级的学生科学竞赛成绩从小到大排列为 4, 5,6,6,7,7,8,8,9,10,第 5,6 个数均为 7, ∴ 中位数 n= 7 +7 2 = 7。 故答案为 8,7。 (2)从折线统计图可以看出,七年级科学竞赛成绩 的波动幅度较大,故方差较大;八年级科学竞赛成 绩的波动幅度较小,故方差较小, 所以 s21 >s 2 2 。 (3)∵ 10÷5% = 200(人), ∴ 七、八年级各 200 人。 ∵ 8÷5% = 160(人),∴ 九年级有 160 人。 ∴ 200 ×32% +200×48% +160×75% 200+200+160 = 50% 。 ∴ 该初中所有学生中选择“非常愿意”的学生所占 百分比为 50% 。 21.解:( 1) 如图,过点 A 作 AE⊥CD 于 点 E, 则 AE=BC= 10 m。 在 Rt△ADE 中,tan α=DE AE , ∴ DE 10 ≈0. 82。 ∴ DE= 8. 2 m。 在 Rt△ACE 中,tan β=CE AE , ∴ CE 10 = 1。 ∴ CE= 10 m。 ∴ CD=DE+CE= 8. 2+10≈18(m)。 故答案为 18。 (2)在 Rt△DEG 中,β= 45°, ∴ ∠EDC= 45°。 ∴ EG=DG。 设 EG=DG= x m。 根据题意,得四边形 ABFE 为矩形, ∴ AE=BF= 5. 5 m。 则 AG=AE+EG= (5. 5+x)m。 在 Rt△DAG 中,α= 37°,tan α=DG AG , ∴ x 5. 5+x ≈0. 75。 解得 x= 16. 5。 ∵ 平行线间的距离处处相等, ∴ CG=AB= 1. 5 m。 ∴ DC=DG+CG= 16. 5+1. 5 = 18(m)。 答:旗杆的高度约为 18 m。 22.解:(1)证明:如图,连接 AD,OD。 ∵ DE 是☉O 的切线, ∴ OD⊥DE。 ∴ ∠ODE= 90°。 ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ADB= 90°。 ∴ AD⊥BD。 ∵ AB=AC, ∴ OD 是△ABC 的中位线。 ∴ CD=BD。 ∵ OA=OB,∴ OD∥AC。 ∴ ∠AFE= ∠ODE= 90°。 ∴ AF⊥EF。 (2)在 Rt△AFD 中,由勾股定理, 得 AD= AF2 +DF2 = 62 +32 = 3 5 。 ∵ AB=AC,AD⊥BD,∴ ∠CAD= ∠BAD。 ∵ ∠AFD= ∠ADB= 90°,∴ △AFD∽△ADB。 ∴ AF AD =AD AB ,即 6 3 5 = 3 5 AB 。 解得 AB= 15 2 。 ∴ 直径 AB 的长为15 2 。 23.解:(1)设 A 型充电桩的单价为 x 万元,则 B 型充 电桩的单价为(x+0. 2)万元。 根据题意,得12 x = 16 x+0. 2 。 解得 x= 0. 6。 经检验,x= 0. 6 是分式方程的解,且符合题意。 所以 x+0. 2 = 0. 6+0. 2 = 0. 8。 答:A 型充电桩的单价为 0. 6 万元,B 型充电桩的 单价为 0. 8 万元。 (2)设购买 A 型充电桩 m 个,则购买 B 型充电桩 (300-m)个。 由题意,得 0. 6m+0. 8(300-m)≤200。 解得 m≥200。 答:至少购买 A 型充电桩 200 个。 24.解:【问题探究】 (1)(1,1)　 0<x<1 【类比探究】 解不等式 4 x +x-5>0,即解不等式 4 x >-x+5。 所以需要借助函数 y = 4 x 和函数 y = -x+ 5 的图象 来求解。 故答案为 y= -x+5。 (2)函数图象如图所示, 该不等式组的解集是 0<x<1 或 x>4。 理由如下: 从函数角度看,解不等式 4 x +x-5>0 相当于求双曲 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —33— 线 y= 4 x 在直线 y = -x+ 5 上方的点的横坐标的取 值范围。 由图象,知 y= 4 x 与 y = -x+5 的交点分别 为(1,4)和(4,1),所以 4 x +x-5>0 的解集为 0<x<1 或 x>4。 (3)解不等式 8 x -2x<0 相当于求双曲线 y= 8 x 在直 线 y= 2x 下方的点的横坐标的取值范围。 由(1)同 理,易知 8 x - 2x< 0 的解集为 x> 2。 解不等式 x2 - 4x+2- 8 x <0 相当于求抛物线 y = x2 - 4x+ 2 在双曲 线 y= 8 x 下方的点的横坐标的取值范围。 由图象, 知 x2 -4x+2- 8 x 的解集为 0<x<4。 所以不等式组 8 x -2x<0, x2 -4x+2- 8 x <0 ì î í ï ï ï ï 的解集为 2<x<4。 25.解:(1)∵ AC=BC,AC=CF,∴ BC=CF。 ∵ ∠BCF= ∠ACB= ∠DCE= 90°, ∴ ∠BCF - ∠BCE = ∠DCE - ∠BCE, 即 ∠FCE = ∠BCD。 ∵ CD=CE,∴ △FCE≌△BCD(SAS)。 ∴ EF=DB。 ∵ G 是 AE 的中点,AC=CF,∴ CG 是△AEF 的中位 线。 ∴ CG= 1 2 EF。 ∴ CG= 1 2 BD。 故答案为 EF=BD,CG= 1 2 BD。 (2)CG= 1 2 BD。 证明:如图 1,延长 AC 至点 F,使得 CF = AC,连 接 EF。 ∵ ∠ACB= 120°,∴ ∠BCF= 60°。 ∵ AC=BC,CF=AC,∴ BC=FC。 由旋转,得 CD=CE,∠DCE= 60°, ∴ ∠BCF= ∠DCE。 ∴ ∠BCF-∠BCE= ∠DCE-∠BCE。 ∴ ∠DCB= ∠ECF。 ∴ △DCB≌△ECF(SAS)。 ∴ BD=FE。 ∵ AG=GE,AC=CF,∴ GC= 1 2 EF。 ∴ GC= 1 2 BD。 图 1 　 　 　 图 2 (3)如图 2,延长 AC 至点 F,使 CF = BC = 13,连接 EF,取 AF 的中点 H,连接 GH,过点 C 作 CW⊥GH 于点 W。 ∴ ∠BCF= 180°-∠ACB= 180°-(180°-α)= α。 ∵ GH∥EF,GH= 1 2 EF,AF=AC+CF= 20。 ∴ ∠BCF= ∠DCE=α,AH= 10。 ∴ ∠FCE= ∠BCD。 ∵ CD=CE, ∴ △FCE≌△BCD(SAS)。 ∴ ∠F = ∠B = 30°。 ∵ GH∥EF, ∴ ∠AHG = ∠F = 30°。 ∴ 点 G 在与 AH 成 30°角的定直线上运动。 ∴ 当点 G 在 W 处时,CG 最小。 ∵ CW= 1 2 CH= 1 2 (AH-AC)= 1 2 (10-7)= 3 2 , ∴ CG 的最小值为 3 2 。 26.解:(1)将点 A(-1,0)代入抛物线 y =ax2 -2ax+a+3, 得 a+2a+a+3 = 0。 解得 a= - 3 4 。 所以抛物线的表达式为 y= - 3 4 x2 + 3 2 x+ 9 4 。 令 x= 0,得 y= 9 4 。 ∴ 点 C ( 0, 94 ) 。 (2)①存在点 D,使得 S△ ABD = 3。 在 y= - 3 4 x2 + 3 2 x+ 9 4 中,令 y=0,得- 3 4 x2+ 3 2 x+ 9 4 = 0。 解得 x1 = -1,x2 = 3。 ∴ 点 A(-1,0),B(3,0)。 ∴ AB= 4。 ∵ y= - 3 4 x2 + 3 2 x+ 9 4 = - 3 4 (x-1) 2 +3, ∴ 顶点坐标为(1,3)。 　 　 　 图 1 如图 1,过点 C 作 y 轴的垂线 l: y= 9 4 ,将抛物线在 y 轴右侧的 部分沿直线 l 翻折,其余部分不 变,则顶点(1,3)翻折后的对应 点 ( 1, 32 ) ,∴ 翻折后抛物线的 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —43— 表达式为 y= 3 4 (x-1) 2 + 3 2 (x>0)。 ∴ 图形 G 的函数表达式为 y= - 3 4 (x-1) 2 +3(x≤0), 3 4 (x-1) 2 + 3 2 (x>0)。 ì î í ï ï ï ï 若 x 轴上方的图形 G 上存在点 D, 使得 S△ABD = 1 2 AB·yD = 3,则 yD = 3 2 。 当 x<0 时,将 y= 3 2 代入 y= - 3 4 (x-1) 2 +3, 得- 3 4 (x-1) 2 +3 = 3 2 。 解得 x1 = 2 +1(不合题意, 舍去), x2 = - 2 +1。 ∴ 点 D1 ( - 2 +1, 32 ) 。 当 x>0 时,将 y= 3 2 代入 y= 3 4 (x-1)2 + 3 2 ,得 3 4 (x- 1) 2 + 3 2 = 3 2 。 解得 x= 1。 ∴ 点 D2 ( 1, 32 ) 。 综上,存在点 D,使得 S△ ABD = 3,点 D 的坐标为 ( - 2 +1, 32 )或 ( 1, 3 2 ) 。 ②在 y=ax2 -2ax+a+3(a<0)中,令 x= 0, 得 y=a+3,∴ 点 C(0,a+3)。 ∴ 直线 l:y=a+3。 ∵ y=ax2 -2ax+a+3 =a(x-1) 2 +3, ∴ 抛物线的顶点为(1,3)。 将抛物线 y=ax2 -2ax+a+3(a<0)在 y 轴右侧的部 分沿直线 l 翻折,则顶点(1,3)翻折后的对应点为 (1,2a+3),∴ 翻折后抛物线的表达式为 y = -a(x- 1) 2 +2a+3(x>0)。 ∵ 点 P(1+a,p)和点 Q(1-a,q)是图形 G 上的点, ∴ 当 a≤-1 时,1+a≤0,1-a≥2。 此时点 P 在 y 轴左侧,点 Q 在 y 轴右侧,如图 2, 　 　 　 图 2 ∴ p=a(1+a-1) 2 +3 =a3 +3, q= -a(1-a- 1) 2 + 2a+ 3 = -a3 + 2a+3。 ∴ t= p+q= 2a+6。 ∵ -3≤t≤0,∴ -3≤2a+6≤0。 ∴ - 9 2 ≤a≤-3。 当-1<a<0 时,0<1+a<1, 1<1-a<2,即点 P,Q 均在 y 轴右侧。 ∴ 2a+3<p<a+3,2a+3<q<a+3。 ∴ 4a+6<p+q<2a+6。 ∵ -3≤t≤0, ∴ -3≤p+q≤0。 ∴ 4a +6>-3, 2a+6<0。{ 此不等式组无解,即-1<a<0 不成立。 综上,a 的取值范围为- 9 2 ≤a≤-3。 10 2024 年市中区学业水平第二次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C C D B C D C B C 1. C　 【解析】∵ 该几何体的左视图和主视图都是长方 形,∴ 该几何体是一个柱体。 ∵ 该几何体的俯视图 是一个三角形,∴ 该几何体是三棱柱。 故选 C。 2. C　 【解析】 57 亿 = 5 700 000 000 = 5. 7 × 109。 故 选 C。 3. C　 【解析】标注各点如图,∵ ∠1= 30°,∴ ∠DAB= 90°-∠1= 90°-30° = 60°。 ∵ m∥n,∴ ∠ABE = ∠DAB = 60°。 ∵ ∠ABD = 45°,∴ ∠2 = 180° - 45°-60°=75°。 故选 C。 4. D　 【解析】由数轴,知 a<0<b, | a | < | b | 。 A. ∵ a<0< b, | a | < | b | ,∴ a + b > 0。 故选项 A 不符合题意; B. ∵ a<0< b,∴ b - a > 0。 故选项 B 不符合题意; C. ∵ a< 0 < b,∴ 3a < 3b。 故选项 C 不符合题意; D. ∵ a<0<b,∴ a+3<b+3。 故选项 D 符合题意。 故 选 D。 5. B　 【解析】A. 是轴对称图形,不是中心对称图形, 故此选项不符合题意;B. 既是轴对称图形,又是中 心对称图形,故此选项符合题意;C. 是中心对称图 形,不是轴对称图形,故此选项不符合题意;D. 既不 是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项不 符合题意。 故选 B。 6. C　 【解析】A. a3 ·a2 = a3+2 = a5,故本选项不符合题 意;B. a3 与 a2 不能合并,故本选项不符合题意; C. (3a3) 2 = 9a6,故本选项符合题意;D. a8 ÷a2 = a8-2 =a6,故本选项不符合题意。 故选 C。 7. D　 【解析】当 k>0 时,一次函数 y = kx+1 经过第一、 二、三象限,反比例函数 y= k x 位于第一、三象限;当 k<0 时,一次函数 y= kx+1 经过第一、二、四象限,反 比例函数 y= k x 位于第二、四象限。 故选 D。 8. C　 【解析】画树状图如下: 共有 12 种等可能的结果,选中甲老师的结果有 6 种。 所以选择的两位老师中恰好有甲老师的概率 为 6 12 = 1 2 。 故选 C。 9. B　 【解析】根据作图过程,可知 BE 平分∠ABC, ∵ AB=BC,∴ BE⊥AC,AE = CE = 1 2 AC = 2,∠ABE = ∠CBE。 ∵ BE = AC = 4, ∴ BC = BE2 +CE2 = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —53—