8 2024年平阴县学业水平第一次模拟试题-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东济南专版）

— 43 — — 44 — — 45 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　第Ⅰ卷(选择题　 共 40 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1. 如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体,它的俯视图是 (　 　 ) A. B. C. D. 　 　 　 　 第 1 题图 　 　 　 　 第 3 题图 　 　 　 　 第 4 题图 2. 党的二十大报告指出,我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系,教育普 及水平实现历史性跨越,基本养老保险覆盖十亿四千万人,基本医疗保险参保率稳定在百分之九十 五。 将数据 1 040 000 000 用科学记数法表示为 (　 　 ) A. 104×107 B. 10. 4×108 C. 1. 04×109 D. 0. 104×1010 3. 如图,Rt△ABC 的直角顶点 A 在直线 a 上,斜边 BC 在直线 b 上,若 a∥b,∠1=55°,则∠2 等于 (　 　 ) A. 55° B. 45° C. 35° D. 25° 4. 如图,比数轴上点 A 表示的数大 3 的数是 (　 　 ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 5. 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (　 　 ) A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是 (　 　 ) A. (a2) 3 =a6 B. a6 ÷a2 =a3 C. a3·a4 =a12 D. a2 -a=a 7. 已知点 A(-4,y1),B(-2,y2),C(3,y3)都在反比例函数 y= k x (k>0)的图象上,则 y1,y2,y3 的大小关系为 (　 　 ) A. y3 <y2 <y1 B. y1 <y2 <y3 C. y3 <y1 <y2 D. y2 <y1 <y3 8. 4 月 23 日是世界读书日,学校举行了“快乐阅读,健康成长”的读书活动。 小明随机调查了本校七年 级 30 名同学近 4 个月内每人阅读课外书的数量,数据如下表所示: 人数 6 7 10 7 课外书数量 6 7 9 12 则阅读课外书数量的中位数和众数分别是 (　 　 ) A. 8,9 B. 10,9 C. 7,12 D. 9,9 9. 如图,△ABC 是等腰三角形,AB=AC,∠A= 36°。 以点 B 为圆心,任意长为半径作弧,交 AB 于点 F,交 BC 于点 G,分别以点 F 和点 G 为圆心,大于 1 2 FG 的长为半径作弧,两弧相交于点 H,作射线 BH 交 AC 于点 D,分别以点 B 和点 D 为圆心,大于 1 2 BD 的长为半径作弧,两弧相交于 M,N 两点,作直线 MN 交 AB 于点 E,连接 DE。 下列四个结论:①∠AED=∠ABC;②BC=AE; ③ED= 1 2 BC;④当 AC=2 时,AD= 5-1。 其中正确结论的个数是 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知二次函数 y=ax2 -2x+ 1 2 (a 为常数,且 a>0),有下列结论:①函数图象一定经过第一、二、四象 限;②函数图象一定不经过第三象限;③当 x<0 时,y 的值随 x 值的增大而减小;④当 x>0 时,y 的值 随 x 值的增大而增大。 其中所有正确结论的序号是 (　 　 ) A. ①② B. ②③ C. ② D. ③④ 第Ⅱ卷(非选择题　 共 110 分) 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. 因式分解:a2 -4a+4 = 。 12. 一个不透明的布袋里只有 6 个红球和 n 个白球(仅有颜色不同)。 若从中任意摸出一个球是红球的 概率为 2 5 ,则 n= 。 13. 若关于 x 的一元二次方程 x2 -2x+k= 0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是 。 14. 若直线 y= x 向上平移 3 个单位长度后经过点(2,m),则 m 的值为 。 15. 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作,它记录了计算圆弧长度的“会圆术”。 如图,AB ( 是以点 O 为圆 心、OA 长为半径的圆弧,N 是 AB 的中点,MN⊥AB。 “会圆术”给出 AB ( 的弧长 l 的近似值计算公 式:l=AB+MN 2 OA 。 当 OA= 4,∠AOB= 60°时,则 l 的值为 。 第 15 题图 　 　 　 　 第 16 题图 16. 如图,正方形 ABCD 的边长为 1,点 E,F 分别在边 AD,BC 上,将正方形沿着 EF 翻折,点 B 恰好落在 CD 边上的点 B′处,如果四边形 ABFE 与四边形 EFCD 的面积比为 3 ∶ 5,那么线段 FC 的长 为 。 三、解答题(本大题共 10 个小题,共 86 分) 17. (6 分)计算:3-1 +( 2 -1) 0 +2sin 30°- ( - 23 )。 18. (6 分)解不等式组 2(x-1) +1>-3, x-1≤1 +x 3 , ì î í ï ï ïï 并写出它的所有整数解。 19. (6 分)如图,点 E,F,G 分别在▱ABCD 的边 AB,BC 和 AD 上,且 BA =BF,AE =AG,连接 FE。 求证: FE=FG。 20. (8 分)如图 1,某人的一器官后面 A 处长了一个新生物,现需检测其到皮肤的距离(如图 1)。 为避 免伤害器官,可利用一种新型检测技术,检测射线可避开器官从侧面测量。 某医疗小组制定方案, 通过医疗仪器的测量获得相关数据,并利用数据计算出新生物到皮肤的距离,方案如下: 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 图 1 图 2 说明 如图 2,新生物在 A 处,先在皮肤上选择最大限度地避开器官的 B 处照射新生物,检 测射线与皮肤 MN 的夹角为∠DBN,再在皮肤上选择距离 B 处 9 cm 的 C 处照射新生 物,检测射线与皮肤 MN 的夹角为∠ECN。 测量 数据 ∠DBN= 35°,∠ECN= 22°,BC= 9 cm 请你根据上表中的测量数据,计算新生物到皮肤的距离。 (结果精确到 0. 1 cm) (参考数据:sin 35°≈0. 57,cos 35°≈0. 82,tan 35°≈0. 70,sin 22°≈0. 37,cos 22°≈0. 93,tan 22°≈ 0. 40) 8 2024 年平阴县学业水平第一次模拟试题 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 46 — — 47 — — 48 — 21. (8 分)在深化教育综合改革,提升区域教育整体水平的进程中,某中学以兴趣小组为载体,加强社 团建设,艺术活动学生参与面达 100% ,通过调查统计,八年级(2)班参加学校社团的情况为(每位 同学只能参加其中一项):A. 剪纸社团,B. 泥塑社团,C. 陶笛社团,D. 书法社团,E. 合唱社团,并绘 制了如下两幅不完整的统计图。 (1)该班共有学生 人,并把条形统计图补充完整; (2)扇形统计图中,m= ,参加剪纸社团对应的扇形的圆心角为 °; (3)小鹏和小兵参加了书法社团,由于参加书法社团的几位同学都非常优秀,老师将从书法社团的 学生中随机选取 2 人参加学校组织的书法大赛,请用“列表法”或“画树状图法”,求出恰好选中小 鹏和小兵参加比赛的概率。 图 1 　 　 图 2 22. (8 分)如图,在△ABC 中,∠ACB= 90°,D 是 AB 上一点,且∠BCD = 1 2 ∠A,点 O 在 BC 上,以点 O 为 圆心的圆经过 C,D 两点。 (1)试判断直线 AB 与☉O 的位置关系,并说明理由; (2)若 sin B= 3 5 ,☉O 的半径为 3,求 AC 的长。 23. (10 分)某超市销售 A,B 两种品牌的盐皮蛋,若购买 9 箱 A 种盐皮蛋和 6 箱 B 种盐皮蛋共需 390 元,若购买 5 箱 A 种盐皮蛋和 8 箱 B 种盐皮蛋共需 310 元。 (1)A 种盐皮蛋,B 种盐皮蛋每箱的价格分别是多少元? (2)若某公司购买 A,B 两种盐皮蛋共 30 箱,且 A 种的数量至少比 B 种的数量多 5 箱,怎样购买才 能使总费用最少? 并求出最少费用。 24. (10 分)如图,在平面直角坐标系中,直线 y= -x+5 与 y 轴交于点 A,与反比例函数 y= k x 的图象的一 个交点为 B(a,4),过点 B 作 AB 的垂线 l。 (1)求点 A 的坐标及反比例函数的表达式; (2)若点 C 在直线 l 上,且△ABC 的面积为 5,求点 C 的坐标; (3)P 是直线 l 上一点,连接 PA,以点 P 为位似中心画△PDE,使它与△PAB 位似,相似比为 m。 若 点 D,E 恰好都落在反比例函数的图象上,请直接写出 m 的值。 25. (12 分)已知抛物线 y=ax2 +bx+4 与 x 轴相交于点 A(1,0),B(4,0),与 y 轴相交于点 C。 (1)求抛物线的表达式; (2)如图 1,P 是抛物线的对称轴 l 上的一个动点,当△PAC 的周长最小时,求PA PC 的值; (3)如图 2,取线段 OC 的中点 D,在抛物线上是否存在点 Q,使 tan∠QDB= 1 2 ? 若存在,求出点 Q 的 坐标;若不存在,请说明理由。 图 1 　 　 图 2 　 　 备用图 26. (12 分)综合与实践。 (1)提出问题。 如图 1,在△ABC 和△ADE 中,∠BAC= ∠DAE= 90°,且 AB=AC,AD=AE,连接 BD,连 接 CE 交 BD 的延长线于点 O。 ∠BOC 的度数是 ;BD ∶ CE= ; (2)类比探究。 如图 2,在△ABC 和△DEC 中,∠BAC = ∠EDC = 90°,且 AB = AC,DE =DC,连接 AD, BE 并延长交于点 O。 求∠AOB 的度数及 AD ∶ BE 的值; (3)问题解决。 如图 3,在等边三角形 ABC 中,AD⊥BC 于点 D,点 E 在线段 AD 上(不与 A 重合),以 AE 为边在 AD 的左侧构造等边三角形 AEF,将△AEF 绕着点 A 在平面内顺时针旋转任意角度。 如 图 4,M 为 EF 的中点,N 为 BE 的中点。 请说明△MND 为等腰三角形。 图 1 　 　 图 2 图 3 　 　 　 　 图 4 ∴ tan∠OEF= 2 3 。 ∴ 在 Rt△OEF 中,OF OE = 2 3 。 ∵ OE= 5, ∴ OF= 10 3 。 当点 F 在 y 轴左侧时,点 F ( -103 ,0 ) 。 设直线 EF 的表达式为 y = ax+d,将点 E(0,5),F ( -103 ,0 )代入,得 d=5, -10 3 a+d=0。{ 解得 a= 3 2 , d=5。 { ∴ 直线 EF 的表达式为 y= 3 2 x+5。 根据题意,得 x2 -6x+5 = 3 2 x+5。 解得 x= 0(舍去)或15 2 。 则直线 EF 与抛物线的另一交点坐标为 ( 152 , 65 4 ) 。 当点 F 在 y 轴的右侧时,点 F ( 103 ,0 ) 。 同理,可得直线 EF 与抛物线的另一交点坐标为 ( 92 ,- 7 4 ) 。 综上, 直线 EF 与抛物线的另一交点坐标为 ( 152 , 65 4 )或 ( 9 2 ,- 7 4 ) 。 (3)存在。 如图 2,当点 M 在 BO 上方时。 　 　 图 2 ∵ ∠MBC= ∠BCD, ∴ MB∥CD。 由点 C,D 的坐标,得直线 CD 的表达式为 y= -2x+2。 ∴ 设直 线 MB 的表达式为 y = - 2x+P。 将点 B(4,-3)代入,得-3 = -2× 4+P。 解得 P= 5。 ∴ 直线 BM的表达式为 y=-2x+5。 令 x2 -6x+5 = -2x+5。 解得 x= 4(舍去)或 0。 ∴ 点 M(0,5)。 当点 M 在 OB 下方(即点 M 在 M′位置)时。 设 BM 交 CD 于点 N。 ∵ ∠MBC= ∠BCD, ∴ △CBN 为等腰三角形。 ∴ BN=CN。 设点 N(m,-2m+2)。 由 BN=CN,得(m-4) 2 +(-2m+5) 2 = (m-1) 2 +(2- 2m) 2 。 解得 m= 2。 ∴ 点 N 的坐标为(2,-2)。 由点 B,N 的坐标,得直线 BN 的表达式为 y= - 1 2 x-1。 令 x2 -6x+5 = - 1 2 x-1。 解得 x= 4(舍去)或 3 2 , 即点 M ( 32 ,- 7 4 ) 。 综上,点 M 的坐标为(0,5)或 ( 32 ,- 7 4 ) 。 8 2024 年平阴县学业水平第一次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C C D A A D D C B 1. D　 【解析】从上面看下边是一个矩形,矩形的内部 是一个圆。 故选 D。 2. C　 【解析】1 040 000 000 = 1. 04×109。 故选 C。 3. C　 【解析】∵ a∥b,∠1 = 55°,∴ ∠ABC = ∠1 = 55°。 ∵ ∠BAC= 90°,∴ ∠2 = 180° -∠ABC-∠BAC = 35°。 故选 C。 4. D　 【解析】由数轴,可得点 A 表示- 1,则比数轴上 点 A 表示的数大 3 的数是-1+3 = 2。 故选 D。 5. A　 【解析】A. 既是中心对称图形,又是轴对称图 形,故此选项符合题意;B. 是中心对称图形,不是轴 对称图形,故此选项不合题意;C. 是轴对称图形,不 是中心对称图形,故此选项不合题意;D. 是轴对称 图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意。 故 选 A。 6. A　 【解析】A. (a2) 3 = a2 × 3 = a6,此选项符合题意; B. a6 ÷a2 =a6 - 2 =a4,此选项不符合题意;C. a3·a4 = a3+4 = a7,此选项不符合题意;D. a2 与 a 不是同类 项,无法合并,此选项不符合题意。 故选 A。 7. D　 【解析】∵ 在反比例函数 y = k x 中,k> 0,∴ 此函 数图象在第一、三象限,在每个象限内,y 的值随 x 值的增大而减小。 ∵ - 4< - 2< 0,∴ 点 A(- 4,y1 ), B(-2,y2)在第三象限。 ∴ y2 <y1 <0。 ∵ 3>0,∴ 点 C (3,y3)在第一象限。 ∴ y3 >0。 ∴ y1,y2,y3 的大小关 系为 y2 <y1 <y3。 故选 D。 8. D　 【解析】中位数为第 15 个数和第 16 个数的平均 数,即9 +9 2 = 9,众数为 9。 故选 D。 9. C　 【解析】由题意,可知 BD 是∠ABC 的平分线, MN 是线段 BD 的垂直平分线。 ∵ AB = AC,∠A = 36°,∴ ∠ABC = ∠ACB = 180° -36° 2 = 72°。 ∵ BD 是 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —72— ∠ABC 的平分线,∴ ∠ABD = ∠CBD = 1 2 ∠ABC = 36° = ∠A。 ∴ AD = BD。 在 △BCD 中, ∠C = 72°, ∠CBD= 36°,∴ ∠BDC= 180°-36°-72° = 72° = ∠C。 ∴ BD = BC。 ∴ AD = BD = BC。 ∵ MN 是 BD 的垂直 平分 线, ∴ EB = ED。 ∴ ∠BDE = ∠ABD = 36° = ∠CBD。 ∴ DE∥BC。 ∴ ∠AED = ∠ABC。 故 ① 正 确;∴ ∠ADE = ∠C = ∠ABC = ∠AED。 ∴ AE = AD = BD=BC。 故②正确;∵ AD = BD = BC>DC,∴ DE 不 是 △ABC 的 中 位 线。 故 ③ 不 正 确; ∵ ∠CBD = ∠BAC = 36°, ∠BCD = ∠ACB = 72°, ∴ △BCD ∽ △ACB。 ∴ AC BC =BC DC ,即 BC2 =AC·DC。 设 BC=AD= x,则 CD= 2-x,∴ x2 = 2×(2-x)。 解得 x= -1- 5(舍 去)或 5 -1,即 BC= 5 -1 =AD。 故④正确。 综上所 述,正确的结论有①②④,共 3 个。 故选 C。 10. B　 【解析】∵ a> 0,∴ 抛物线开口向上,对称轴为 直线 x= 2 2a = 1 a >0。 ∴ 当 x<0 时,y 的值随 x 值的 增大而减小,当 x> 1 a 时,y 的值随 x 值的增大而增 大。 ∴ 函数图象一定不经过第三象限,一定经过 第一、二象限,可能经过第四象限。 故②③正确。 故选 B。 11. (a-2) 2 　 【解析】a2 -4a+4 =(a-2) 2。 12. 9　 【解析】根据题意,得 6 6+n = 2 5 。 解得 n = 9。 经 检验,n= 9 是方程的解,且符合题意。 所以 n= 9。 13. k<1　 【解析】根据题意,得 Δ = (-2) 2 -4×k>0。 解 得 k<1。 14. 5　 【解析】将直线 y= x 向上平移 3 个单位长度,得 到直线 y= x+3,把点(2,m)代入,得 m= 2+3 = 5。 15. 11-4 3 　 【解析】连接 ON,∵ OA = OB,∠AOB = 60°,∴ △OAB 是等边 三角形。 ∴ AB = OA = 4。 ∵ N 是 AB 中点,∴ ON⊥AB。 ∵ MN⊥AB,∴ 点 M,N,O 共线。 ∵ △OAB 是等边三角 形,ON⊥AB,∴ ON = 3 2 OA = 2 3。 ∵ OM = OA = 4, ∴ MN = OM - ON = 4 - 2 3。 ∴ l = AB + MN 2 OA = 4 + (4-2 3) 2 4 = 11-4 3。 16. 3 8 　 【解析】如图,连接 BB′,过 点 F 作 FH⊥AD 于点 H。 ∴ 四 边形 CDHF 是 矩 形。 ∴ CF = DH。 ∵ 正方形 ABCD 的边长为 1, 四 边 形 ABFE 与 四 边 形 EFCD 的面积比为 3 ∶ 5,∴ S四边形 ABFE = 3 3+5 ×1 = 3 8 。 设 CF= x,则 DH = x,BF = 1 - x,∴ S四边形 ABFE = 1 2 × (AE+BF)×AB= 3 8 ,即 1 2 (AE+1-x)×1 = 3 8 。 解得 AE= x- 1 4 。 ∴ DE= 1-AE= 5 4 -x。 ∴ EH=ED-HD= 5 4 -x-x= 5 4 -2x。 由折叠的性质,可得 BB′⊥EF,B′F =BF= 1-x。 ∴ ∠1+∠2 = 90°。 ∵ ∠2+∠3 = 90°, ∴ ∠1 = ∠3。 又∵ FH = BC = 1,∠EHF = ∠C = 90°, ∴ △EHF≌△B′CB(ASA)。 ∴ B′C = EH = 5 4 - 2x。 在 Rt△B′FC 中,B′F2 =CF2 +B′C2,∴ (1-x) 2 = x2 + ( 54 -2x ) 2 。 解得 x= 3 8 。 17.解:原式= 1 3 +1+2× 1 2 + 2 3 = 1 3 +1+1+ 2 3 = 3。 18.解: 2(x-1)+1>-3,① x-1≤ 1+x 3 ,②{ 解不等式①,得 x>-1。 解不等式②,得 x≤2。 ∴ 该不等式组的解集是-1<x≤2。 ∴ 该不等式组的所有整数解是 0,1,2。 19.证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC。 ∴ ∠DAF= ∠BFA。 ∵ BA=BF, ∴ ∠BAF= ∠BFA。 ∴ ∠DAF= ∠BAF。 ∵ AE=AG,AF=AF, ∴ △AEF≌△AGF(SAS)。 ∴ FE=FG。 20.解:如图,过点 A 作 AF⊥MN,垂足为 F。 设 BF= x cm。 ∵ BC= 9 cm, ∴ CF=BC+BF= (x+9)cm。 在 Rt△ABF 中,∠ABF= ∠DBN= 35°, ∴ AF=BF·tan 35°≈0. 7x cm。 在 Rt△ACF 中,∠ACF= ∠ECN= 22°, ∴ AF=CF·tan 22°≈0. 4(x+9)cm。 ∴ 0. 7x= 0. 4(x+9)。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —82— 解得 x= 12。 ∴ AF= 0. 7×12 = 8. 4(cm)。 ∴ 新生物到皮肤的距离约为 8. 4 cm。 21.解:(1)该班共有学生 5÷10% = 50(人)。 参加 D 社团的学生有 50-20-10-5-10 = 5(人)。 故答案为 50。 把条形统计图补充完整如图 1: 图 1 (2)∵ m% = 10 50 ×100% = 20% , ∴ m= 20。 参加剪纸社团对应的扇形的圆心角为 360° × 20 50 = 144°。 故答案为 20,144。 (3)把小鹏和小兵分别记为 a,b,其他 3 位同学分 别记为 c,d,e。 画树状图如图 2: 图 2 共有 20 种等可能的结果,其中恰好选中小鹏和小 兵参加比赛的结果有 2 种。 所以恰好选中小鹏和小兵参加比赛的概率为 2 20 = 1 10 。 22. 解:(1)直线 AB 与☉O 相 切。 理由如下: 如图,连接 OD, ∴ OC=OD。 ∴ ∠OCD= ∠ODC。 ∴ ∠DOB= ∠OCD+∠ODC= 2∠BCD。 ∴ ∠BCD= 1 2 ∠BOD。 ∵ ∠BCD= 1 2 ∠A, ∴ ∠BOD= ∠A。 ∵ ∠ACB= 90°, ∴ ∠A+∠B= 90°。 ∴ ∠BOD+∠B= 90°。 ∴ ∠BDO= 90°。 ∵ OD 是☉O 的半径, ∴ 直线 AB 与☉O 相切。 (2)在 Rt△OBD 中,∵ sin B=OD OB = 3 5 ,OD= 3, ∴ OB= 5。 ∴ BC=OB+OC= 8。 在 Rt△ACB 中,sin B=AC AB = 3 5 , ∴ 设 AC= 3x,则 AB= 5x。 ∴ BC= AB2 -AC2 = 4x= 8。 ∴ x= 2。 ∴ AC= 3x= 6。 23.解:(1)设 A 种盐皮蛋每箱的价格为 a 元,B 种盐 皮蛋每箱的价格为 b 元。 由题意,可得 9a +6b= 390, 5a+8b= 310。{ 解得 a= 30, b= 20。{ 答:A 种盐皮蛋每箱的价格为 30 元,B 种盐皮蛋每 箱的价格为 20 元。 (2)设购买 A 种盐皮蛋 x 箱,则购买 B 种盐皮蛋 (30-x)箱,总费用为 w 元。 由题意,可得 w= 30x+20(30-x)= 10x+600。 ∵ k= 10>0, ∴ w 的值随 x 值的增大而增大。 ∵ A 种的数量至少比 B 种的数量多 5 箱, ∴ x≥(30-x)+5。 解得 x≥17. 5。 ∵ x 为整数, ∴ 当 x= 18 时,w 取得最小值,此时 w = 10×18+600 = 780,30-x= 12。 答:购买 18 箱 A 种盐皮蛋,12 箱 B 种盐皮蛋才能 使总费用最少,最少费用为 780 元。 24.解:(1)令 x= 0,则 y= -x+5 = 5。 ∴ 点 A 的坐标为(0,5)。 将 B(a,4)代入 y= -x+5,得 4 = -a+5。 ∴ a= 1。 ∴ 点 B(1,4)。 将点 B(1,4)代入 y= k x ,得 4 = k 1 。 解得 k= 4。 ∴ 反比例函数的表达式为 y= 4 x 。 　 　 　 图 1 (2)如图 1,设直线 l 与 y 轴交 于点 M,直线 y = -x+ 5 与 x 轴 交于 N。 令 y= -x+5 = 0,得 x= 5。 ∴ 点 N(5,0)。 ∴ OA=ON= 5。 ∵ ∠AON= 90°, ∴ ∠OAN= 45°。 ∵ 点 A(0,5),B(1,4), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —92— ∴ AB= (1-0) 2 +(4-5) 2 = 2 。 ∵ 直线 l 是 AB 的垂线, 即 ∠ABM = 90°, ∠OAN = 45°, ∴ AB=BM= 2 ,AM= AB2 +BM2 = 2。 ∴ OM=OA-AM= 3。 ∴ 点 M(0,3)。 设直线 l 的表达式为 y= k1x+b1 。 将点 M(0,3),B(1,4)代入,得 k1 +b1 = 4, b1 = 3。{ 解得 k1 = 1, b1 = 3。{ ∴ 直线 l 的表达式为 y= x+3。 设点 C 的坐标为( t,t+3)。 ∴ S△ABC = 1 2 AM· | xB-xC | = 1 2 ×2× | 1-t | = 5。 解得 t= -4 或 6。 当 t= -4 时,t+3 = -1。 当 t= 6 时,t+3 = 9。 ∴ 点 C 的坐标为(6,9)或(-4,-1)。 (3)∵ 位似图形的对应点与位似中心三点共线, ∴ 点 B 的对应点也在直线 l 上,设点 B 的对应点为 点 E,则点 A 的对应点为点 D。 ∵ 点 E 在反比例函数的图象上, ∴ 将直线 l 与双曲线的表达式联立,得 y = 4 x , y= x+3。 { 　 　 图 2 解得 x= 1, y= 4{ 或 x= -4, y= -1。{ ∴ 点 E(-4,-1)。 画出图形如图 2 所示, ∵ △PAB∽△PDE, ∴ ∠PAB= ∠PDE。 ∴ AB∥DE。 ∴ 直线 AB 与直线 DE 的一次 项系数相等。 设直线 DE 的表达式为 y= -x+b2 ,将点 E( -4,-1) 代入,得-1 = -(-4)+b2 。 ∴ b2 = -5。 ∴ 直线 DE 的表达式为 y= -x-5。 ∵ 点 D 为直线 DE 与双曲线的另一个交点, ∴ 联立 y = 4 x , y= -x-5。 { 解得 x= -1,y= -4{ 或 x= -4,y= -1。{ ∴ 点 D(-1,-4)。 由点 A(0,5),D( - 1,- 4) 得直线 AD 的表达式为 y= 9x+5。 解方程组 y= 9x+5, y= x+3,{ 得 x= - 1 4 , y= 11 4 。 ì î í ï ï ï ï ∴ 点 P ( - 14 , 11 4 ) 。 ∴ BP= ( - 14 -1 ) 2 + ( 114 -4 ) 2 = 5 4 2 , EP= [ - 14 -(-4) ] 2 + [ 114 -(-1) ] 2 = 15 4 2 。 ∴ m=EP BP = 3。 25.解:(1) ∵ 抛物线 y = ax2 +bx+4 与 x 轴相交于点 A (1,0),B(4,0), ∴ a +b+4 = 0, 16a+4b+4 = 0。{ 解得 a= 1, b= -5。{ ∴ 抛物线的表达式为 y= x2 -5x+4。 (2)由(1),知 y= x2 -5x+4,当 x= 0 时,y= 4, ∴ 点 C(0,4),抛物线的对称轴为直线 x= 5 2 。 ∵ △PAC 的周长等于 PA+PC+AC,AC 为定长, ∴ 当 PA+PC 的值最小时,△PAC 的周长最小。 ∵ 点 A,B 关于抛物线的对称轴对称, ∴ PA+PC = PB+PC≥BC。 ∴ 当 P,B,C 三点共线 时,PA+PC 的值最小,为 BC 的长,此时 P 为直线 BC 与对称轴的交点,如图 1。 　 图 1 设直线 BC 的表达式为 y =mx+n。 将点 B(4,0),C(0,4)代入,得 4m+n= 0, n= 4。{ 解得 m= -1, n= 4。{ ∴ 直线 BC 的表达式为 y= -x+4。 当 x= 5 2 时,y= - 5 2 +4 = 3 2 。 ∴ 点 P ( 52 , 3 2 ) 。 ∵ 点 A(1,0),C(0,4), ∴ PA= ( 52 -1 ) 2 + ( 32 ) 2 = 3 2 2 , PC= ( 52 ) 2 + ( 4- 32 ) 2 = 5 2 2 。 ∴ PA PC = 3 5 。 (3)存在。 ∵ D 为 OC 的中点, ∴ 点 D(0,2)。 ∴ OD= 2。 ∵ 点 B(4,0),∴ OB= 4。 在 Rt△BOD 中,tan∠OBD=OD OB = 1 2 , tan∠QDB= 1 2 = tan∠OBD, ∴ ∠QDB= ∠OBD。 ①如图 2,当 Q 点在 D 点上方时,过点 D 作 DQ∥ OB,交抛物线于点 Q,则∠QDB= ∠OBD,此时 Q 点 纵坐标为 2。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —03— 设 Q 点横坐标为 t, 则 t2 -5t+4 = 2, 解得 t= 5± 17 2 。 ∴ 点 Q ( 5+ 172 ,2 )或 ( 5- 17 2 ,2 ) 。 图 2 　 　 　 图 3 ②如图 3,当点 Q 在 D 点下方时,设 DQ 与 x 轴交 于点 E。 ∵ ∠QDB= ∠OBD,∴ DE=BE。 设点 E(p,0),则 DE2 =OE2+OD2 =p2+4,BE2 =(4-p)2。 ∴ p2 +4 = (4-p) 2 。 解得 p= 3 2 。 ∴ 点 E ( 32 ,0 ) 。 设直线 DE 的表达式为 y = kx+q,将点 D(0,2),E ( 32 ,0 )代入,得 q= 2, 3 2 k+q= 0。{ 解得 q= 2, k= - 4 3 。{ ∴ 直线 DE 的表达式为 y= - 4 3 x+2。 联立 y= - 4 3 x+2, y= x2 -5x+4。 { 解得 x= 3,y= -2{ 或 x= 2 3 , y= 10 9 。 ì î í ï ï ï ï ∴ 点 Q(3,-2)或 ( 23 , 10 9 ) 。 综 上 所 述, 点 Q 的 坐 标 为 ( 5+ 172 , 2 ) 或 ( 5- 172 ,2 )或(3,-2)或 ( 2 3 ,10 9 ) 。 26.解:(1)∵ ∠BAC= ∠DAE= 90°, ∴ ∠BAC-∠DAC= ∠DAE-∠DAC。 ∴ ∠BAD= ∠CAE。 又∵ AB=AC,AD=AE, ∴ △BAD≌△CAE(SAS)。 ∴ ∠ABD= ∠ACE。 ∵ ∠BAC= 90°, ∴ ∠ABC+∠ACB= ∠ABD+∠OBC+∠ACB= 90°。 ∴ ∠ACE+∠OBC+∠ACB= 90°, 即∠BCE+∠OBC= 90°。 ∴ ∠BOC= 90°。 故∠BOC 的度数是 90°。 ∵ △BAD≌△CAE, ∴ BD=CE。 故 BD ∶ CE= 1 ∶ 1。 故答案为 90°;1 ∶ 1。 (2)∵ AB=AC,DE=DC,∠BAC= ∠EDC= 90°, ∴ AB DE = AC DC ,∠ABC= ∠ACB= ∠DEC= ∠DCE= 45°。 又∵ ∠BAC= ∠EDC= 90°, ∴ △ABC∽△DEC。 ∴ ∠ACB= ∠DCE,BC AC =EC DC 。 ∴ ∠ACE+∠ECB= ∠DCA+∠ACE。 ∴ ∠ECB= ∠DCA。 ∴ △ECB∽△DCA。 ∴ ∠CBE= ∠CAD。 ∴ ∠AOB = 180° - ∠ABO- ∠BAO = 180° - ∠ABO- ∠CAD-∠BAC= 180°-∠ABO-∠CBE-90° = 180°- 45°-90° = 45°。 ∵ △ECB∽△DCA, ∴ AD BE =DC EC = sin∠DEC= sin 45° = 2 2 。 ∴ AD ∶ BE= 1 ∶ 2 。 (3) 如图,连接 BF,CE,延长 CE 交 MN 于点 P, 交 BF 于 点 O。 在等 边 三 角 形 ABC 中, AB =AC。 ∵ AD⊥BC 于点 D, ∴ D 为 BC 的中点。 又∵ M 为 EF 的中点,N 为 BE 的中点, ∴ MN,ND 分别是△BEF,△BCE 的中位线。 ∴ MN= 1 2 BF,DN= 1 2 EC。 ∵ ∠FAE= ∠BAC= 60°, ∴ ∠FAE+∠EAB= ∠BAC+∠EAB。 ∴ ∠FAB= ∠EAC。 在△ABF 和△ACE 中, AF=AE, ∠FAB= ∠EAC, AB=AC, { ∴ △ABF≌△ACE(SAS)。 ∴ BF=EC。 ∴ MN=DN。 ∴ △MND 为等腰三角形。 9 2024 年历下区学业水平第二次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C B C B C C D B 1. A　 【解析】∵ 4 的平方是 16,∴ 16 的算术平方根是 4。 故选 A。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —13—