7 2024年济阳区学业水平第一次模拟试题-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东济南专版）

得 x2 -2x-3 = x-5, 解得 x= 1(舍去)或 2。 当 x= 2 时,y= 2-5 = -3, ∴ 点 M(2,-3)。 (3)由平移可得 E(0,6),F(4,6)。 当 a<0 时,∵ y=a(x2 -2x-3)= a(x-1) 2 -4a, ∴ 抛物线的顶点为(1,-4a)。 当 0<x<1 时,y 的值随 x 值的增大而增大, 当 1<x<4 时,y 的值随 x 值的增大而减小。 当顶点(1,-4a)在线段 EF 上,即-4a = 6 时,只有 一个公共点, ∴ a= - 3 2 ; 当顶点(1,- 4a)在线段 EF 下方时,没有交点,不 符合题意; 当顶点(1,-4a)在线段 EF 上方时,当 x = 4 时,y = 5a<0,即(4,5a)在线段 EF 下方, 当 x= 0 时,y= -3a>6,即(0,-3a)在线段 EF 上方, 此时只有一个公共点, ∴ a<-2; 当 a>0 时,顶点(1,-4a)在线段 EF 下方, 当 x= 0 时,y= -3a<0,即(0,-3a)在线段 EF 下方, 当 x= 4 时,y= 5a≥6,即(4,5a)在线段 EF 上方,此 时只有一个公共点, ∴ a≥ 6 5 。 综上所述,a= - 3 2 或 a<-2 或 a≥ 6 5 。 7 2024 年济阳区学业水平第一次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B C A D B D B B C 1. C 　 【解析】 A. 主视图是三角形,故不符合题意; B. 主视图是矩形,故不符合题意;C. 主视图是圆,故 符合题意;D. 主视图是正方形,故不符合题意。 故 选 C。 2. B　 【解析】4 500 000 000 = 4. 5×109。 故选 B。 3. C　 【解析】A. 该图形是中心对称图形,不是轴对称 图形,故此选项不符合题意;B. 该图形是轴对称图 形,不是中心对称图形,故此选项不符合题意;C. 该 图形既是轴对称图形,又是中心对称图形,故此选 项符合题意;D. 该图形是轴对称图形,不是中心对 称图形,故此选项不符合题意。 故选 C。 4. A 　 【解析】 A. x2 · x3 = x5,故此选项符合题意; B. (2x3) 2 = 4x6,故此选项不符合题意;C. x6 ÷x2 = x4, 故此选项不符合题意;D. 4x3 与 3x 不是同类项,不 能合并,故此选项不符合题意。 故选 A。 5. D　 【解析】A. ∵ a<0,b>0,∴ ab<0。 故该选项不符 合题意;B. ∵ a<0,b>0, | a | > | b | ,∴ a+b<0。 故该选 项不符合题意;C. | a | > | b | ,故该选项不符合题意; D. ∵ a< b,∴ a+ 1 < b+ 1。 故该选项符合题意。 故 选 D。 6. B　 【解析】标注∠3 如图。 ∵ 矩形直尺对边平行, ∴ ∠3 = ∠2 = 58°。 ∴ ∠1 = 90°-58° = 32°。 故选 B。 7. D　 【解析】将“逢考必过”、“金榜题名”、“步步高 升”和“诸事顺利”四种不同的主题书签分别记为 A,B,C,D,画树状图如下: 共有 12 种等可能的结果,其中恰好抽到书签“逢考 必过”和 “金榜题名” 的结果有 AB,BA,共 2 种, 所以恰好抽到书签“逢考必过”和“金榜题名”的概 率为 2 12 = 1 6 。 故选 D。 8. B　 【解析】A. 函数 y = 2x,y 的值随 x 值的增大而增 大,故 A 不符合题意;B. 函数 y= 1 x (x>0),y 的值随 x 值的增大而减小,故 B 符合题意;C. 函数 y = 2x- 3,y 的值随 x 值的增大而增大,故 C 不符合题意; D. 函数 y= -x2,当 x>0 时 y 的值随 x 值的增大而减 小,当 x<0 时 y 的值随 x 值的增大而增大,故 D 不 符合题意。 故选 B。 9. B　 【解析】由作法,得 BG⊥AD。 ∴ ∠AGB = 90°。 ∵ 四边 形 ABCD 为 菱 形, ∴ AD ∥BC, AB = BC。 ∴ ∠GBC=90°。 在 Rt△BCG 中,设 BG = x,∵ ∠BCG = 30°,∴ BC = 3 x。 ∵ 菱形 ABCD 的面积为 2 3, ∴ BC·BG= 3 x2 = 2 3。 ∴ x = 2。 在Rt△ABG 中, AB=AD=BC= 3 x= 6,BG = x = 2,由勾股定理,得 AG = AB2-BG2 = ( 6)2-( 2)2 = 2。 ∴ DG = EG = AD-AG= 6 -2。 ∴ DE = 2DG = 2 6 -4。 ∴ AE = AD- DE= 6 -(2 6 -4)= 4- 6。 故选 B。 10. C　 【解析】∵ 点(2,-2)是二次函数 y = ax2 + 3x+c (a≠0)图象上的“相反点”,∴ -2 = 4a+6+c。 ∴ c = -4a-8。 ∵ 二次函数 y=ax2 +3x+c(a≠0)的图象上 有且只有一个“相反点”,∴ ax2 +3x+c= -x(即 ax2 + 4x+ c = 0) 有且只有一个根。 ∴ Δ = 16 - 4ac = 0。 ∴ 16-4a(-4a-8)= 0。 解得 a = -1,c = -4×(-1)- 8 = -4。 ∴ y= -x2 +3x-4 = - ( x- 32 ) 2 - 7 4 。 ∴ 二次 函数图象的对称轴为直线 x = 3 2 ,函数的最大值为 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —32— - 7 4 。 当 y= - 8 时,-x2 + 3x- 4 = - 8,解得 x1 = - 1, x2 = 4。 ∴ 当 3 2 ≤m≤4 时,函数的最大值为- 7 4 ,最 小值为-8。 故选 C。 11. (m+1) 2 　 【解析】原式=m2 +2m+12 =(m+1) 2。 12. 5(答案不唯一) 　 【解析】因为关于 x 的一元二次 方程 x2 -4x+c=0 没有实数根,所以 Δ=(-4)2 -4c<0。 解得 c>4。 13. 3　 【解析】由题意,得 5 2x-1 = 3 x 。 两边都乘 x(2x-1), 得 5x= 3(2x-1)。 解得 x= 3。 经检验,x= 3 是原方 程的解。 所以原方程的解为 x= 3。 14. π 8 　 【解析】根据题意,得 AO=OD=OE=BE=EC=2, ∠OEB = ∠DOE = 90°。 设 OE 与 BD 交 于 点 F, ∴ ∠OFD = ∠EFB, ∴ △OFD ≌ △EFB ( AAS )。 ∴ S△OFD = S△EFB。 ∴ S阴影部分 = S扇形ODE = 90π×22 360 = π。 ∴ 该小球停留在阴影区域的概率是 π 4×2 = π 8 。 15. 120 或 240　 【解析】由函数图象,可得小红的速度为 40÷20=2(m/ s),父亲的速度为 600÷200= 3(m/ s),父 亲追上小红所需时间为 40 3-2 = 40( s),∴ 点 A 的坐 标为(40,0)。 当父亲出发的时间 x = 200 s 时,两 人之间的距离 y = 200×3-(200+20)×2 = 160(m), ∴ 点 B 的坐标是(200,160)。 小红到达终点所需 时间为 600 2 = 300(s),300-20 = 280( s),∴ 点 C 的坐 标为(280,0)。 设 AB 所在直线的表达式为 y=mx+n, 把 点 A ( 40, 0 ), B ( 200, 160 ) 代 入, 得 40m+n= 0, 200m+n= 160。{ 解得 m= 1, n= -40。{ ∴ AB 所在直线表达 式为 y= x- 40。 当 y = 80 时,x- 40 = 80,解得 x = 120。 设 BC 所在直线的表达式为 y = kx+b,把点 B (200,160),C(280,0)代入,得 200k +b= 160, 280k+b= 0。{ 解得 k= -2, b= 560。{ ∴ BC 所在直线的表达式为 y = -2x+560。 当 y= 80 时,-2x+560 = 80,解得 x= 240。 ∴ 父女两 人之间的距离为 80 m 时,父亲出发的时间 x 为 120 s 或 240 s。 16. 21 9 　 【解析】如图,过点 F 作 FM⊥AE 交 AE 于点 M,设 AE 交 CD 于点 P,过点 P 作 PN⊥ AC 于点 N。 ∵ 四边形 ABCD 为 矩形,∴ ∠B = 90°,AB∥CD。 在 Rt△ABC 中,AB = 3,BC= 1,∴ tan∠2 = BC AB = 3 3 。 ∴ ∠2 = 30°,AC = 2BC= 2。 由翻折可得,AE = AB = 3,∠1 = ∠2 = 30°。 ∵ AB∥CD,∴ ∠2 = ∠3 = 30°。 ∴ ∠1 = ∠3。 ∴ △APC 为等腰三角形。 ∵ PN⊥AC,∴ AN = 1 2 AC = 1, PN = 3 3 , AP = 2PN = 2 3 3。 设 PM = x。 ∵ ∠MPF= ∠1+∠3 = 60°。 ∴ 在 Rt△PFM 中,MF = 3 x。 ∵ sin ∠AEF = MF EF = 3 x EF = 21 7 ,∴ EF = 7 x。 在 Rt△EFM 中,EM=AE-AP-MP= 3 - 2 3 3 -x = 3 3 -x,由勾股定理,得 MF2 +EM2 =EF2,即( 3x)2 + ( 33 -x ) 2 = ( 7 x) 2。 解得 x1 = - 3 3 (不合题意,舍 去),x2 = 3 9 。 ∴ EF= 7x= 21 9 。 17.解: 4 -2sin 45°-(π-3) 0 + | - 2 | = 2-2× 2 2 -1+ 2 = 2- 2 -1+ 2 = 1。 18.解: 4(x-1)≤7x+2,① x+2< x+8 3 ,②{ 解不等式①,得 x≥-2。 解不等式②,得 x<1。 所以不等式组的解集为-2≤x<1。 所以不等式组的所有整数解为-2,-1,0。 19.证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB=CD,AB∥CD。 ∴ ∠ACD= ∠CAB。 在△CFD 与△AEB 中, CD=AB, ∠FCD= ∠EAB, CF=AE, { ∴ △CFD≌△AEB(SAS)。 ∴ DF=BE。 20.解:(1)如图 1,过点 C 作 CE⊥AB,垂足为 E。 在 Rt△ACE 中,∠CAE= 37°,AC= 2. 4 m, ∴ AE=AC·cos 37°≈2. 4×0. 8 = 1. 92(m)。 ∵ 点 C 距离地面 1. 08 m, ∴ AB=AE+EB= 1. 92+1. 08 = 3(m)。 ∴ 点 A 到地面的距离 AB 约为 3 m。 图 1 　 　 图 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —42— (2)如图 2,过点 D 作 DF⊥AB,垂足为 F, ∴ ∠DFA= 90°。 由题意,得 AD=AC= 2. 4 m。 ∵ ∠CAD= 100°,∠CAB= 37°, ∴ ∠DAF= ∠CAD-∠CAE= 63°。 ∴ ∠ADF= 90°-∠DAF= 27°。 在 Rt△ADF 中,AF = AD· sin 27° ≈ 2. 4 × 0. 47 = 1. 128(m), ∴ FB=AB-AF= 3-1. 128≈1. 87(m)。 ∴ 点 D 到地面的距离约为 1. 87 m。 21.解:(1)得 8 分的人数为 40×35% = 14(人),得 7 分 的人数为 40-2-14-13-8 = 3(人)。 补全条形统计图如下: (2)∵ 教育活动前得 8 分的人数最多, ∴ 众数 a= 8(分)。 教育活动后平均数 b= 6 ×2+7×3+8×14+9×13+10×8 40 = 8. 55(分)。 第 20, 21 个数据都为 9 分, ∴ 中位数 c = 9 +9 2 = 9(分)。 合格率 d= 14 +13+8 40 ×100% = 87. 5% 。 故答案为 8,8. 55,9,87. 5% 。 (3)开展校园欺凌专项教育活动后成绩为 10 分对 应的扇形的圆心角是 360°× 8 40 = 72°。 故答案为 72。 (4)1 000×87. 5% = 875(人)。 答:估计开展校园欺凌专项教育活动后达到合格 水平的学生人数为 875。 22.解:(1)证明:如图,连接 CD。 ∵ DF 为☉O 的切线, ∴ ∠BDF= 90°。 ∴ ∠BDC+∠CDF= 90°。 ∵ BD 是☉O 的直径, ∴ ∠BCD= 90°。 ∴ ∠DCF= 180°-∠BCD= 90°。 ∴ ∠F+∠CDF= 90°。 ∴ ∠BDC= ∠F。 ∵ ∠BDC= ∠BAC, ∴ ∠F= ∠BAC。 (2)由(1),可得∠F=∠BDC,∠DCF=∠BCD=90°。 ∴ △DCF∽△BCD。 ∴ ∠CDF= ∠CBD。 ∵ ∠DAE= ∠DBC, ∴ ∠CDF= ∠DAE。 ∵ tan∠DAE= 1 2 , ∴ tan∠CDF= tan∠DBC= 1 2 。 在 Rt△DCF 中,∵ CF= 1, ∴ CD= CF tan∠CDF = 1 1 2 = 2。 ∴ 在 Rt△BDC 中,BC= CD tan∠DBC = 2 1 2 = 4。 ∴ BD= BC2 +CD2 = 42 +22 = 20 = 2 5 。 ∴ ☉O 的半径为 5 。 23.解:(1)设 A 型充电桩的单价是 x 万元,B 型充电 桩的单价是 y 万元。 由题意,得 3x +7y= 11. 1, x= y-0. 3。{ 解得 x= 0. 9, y= 1. 2。{ 答:A 型充电桩的单价为 0. 9 万元,B 型充电桩的 单价为 1. 2 万元。 (2)购买 A 型充电桩 20 个,B 型充电桩 10 个,总 费用最少。 理由如下: 设购买A 型充电桩 a个,则购买B 型充电桩(30-a)个。 由题意,得 30-a≥ 1 2 a。 解得 a≤20。 设总费用为 w 万元。 由题意,得 w= 0. 9a+1. 2(30-a)= -0. 3a+36。 ∵ -0. 3<0, ∴ w 的值随 a 值的增大而减小。 ∴ 当 a= 20 时,w 最小。 此时 30-a= 10。 ∴ 购买 A 型充电桩 20 个,B 型充电桩 10 个,总费 用最少。 24.解:(1)先两边同乘 x,得(3-x)(3x+6)= 6x, 解得 x1 = -3,x2 = 2。 经检验无增根。 ∴ 原方程的解为 x1 = -3,x2 = 2。 (2)如图,过点B 作BN⊥x 轴于点N,过点C 作CM⊥ x 轴于点 M。 　 　 图 1 ∵ △ABC 是等腰直角三角形, ∴ ∠BAC= 90°,AB=AC。 ∴ ∠BAN+∠CAM= 90°。 ∵ ∠CAM+∠ACM= 90°, ∴ ∠BAN= ∠ACM。 ∵ ∠BNA= ∠AMC= 90°, AB=CA, ∴ △ABN≌△CAM(AAS)。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —52— ∵ B 点坐标是 ( n, 6n ) ∴ BN= 6 n ,AN= 3-n。 ∵ △ABN≌△CAM, ∴ AM=BN= 6 n ,CM=AN= 3-n。 ∴ 点 C ( 3+ 6n ,3-n ) 。 ∵ 点 C 在反比例函数图象上, ∴ 6 = ( 3+ 6n ) (3-n)。 解得 n= 2(负值舍去)。 (3) n m + m n 是定值。 如图 2,过点 M 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 P,过 点 N 作 NQ⊥PQ 交直线 MP 于点 Q。 同(2),可得△OMP≌△MNQ(AAS)。 　 　 图 2 ∵ 点 M(m,a),N(n,b), ∴ MQ=OP=a,NQ=MP=m。 ∵ 点 M,N 在反比例函数上, ∴ am= bn。 ∴ n=a+m, b=a-m, am= bn。 { 整理,得 m2 +n2 = 3mn。 ∴ n m + m n =m 2 +n2 mn = 3,为定值。 25.解:(1)∵ △ABC 与△APQ 都是等边三角形, ∴ AB=AC,AP=AQ,∠BAC= ∠PAQ= 60°。 ∴ ∠BAP+∠PAC= ∠PAC+∠CAQ, 即∠BAP= ∠CAQ。 在△BAP 和△CAQ 中, AB=AC, ∠BAP= ∠CAQ, AP=AQ, { ∴ △BAP≌△CAQ(SAS)。 ∴ CQ=BP= 2。 故答案为 2。 (2)证明:∵ AB=BC,AP=PQ, ∴ ∠BAC= ∠BCA,∠PAQ= ∠PQA。 ∴ ∠BAC= 1 2 ( 180° - ∠ABC),∠PAQ = 1 2 ( 180° - ∠APQ)。 ∵ ∠APQ= ∠ABC, ∴ ∠BAC= ∠PAQ。 ∴ △BAC∽△PAQ。 ∴ AB AC = AP AQ 。 ∵ ∠BAP+∠PAC= ∠PAC+∠CAQ, ∴ ∠BAP= ∠CAQ。 ∴ △BAP∽△CAQ。 ∴ ∠ABC= ∠ACQ。 (3)∵ AC=BC,∠ACB= 90°, ∴ △ABC 为等腰直角三角形。 ∴ ∠B= ∠BAC= 45°,AB= 2AC。 ∴ AC AB = 2 2 。 同理,∠APQ= ∠PAQ= 45°,AP= 2AQ。 ∴ AQ AP = 2 2 。 ∴ AC AB =AQ AP ,∠BAC= ∠PAQ。 ∴ ∠BAC-∠PAC= ∠PAQ-∠PAC, 即∠BAP= ∠CAQ。 ∴ △BAP∽△CAQ。 ∴ CQ BP =AC AB = 2 2 。 ∴ BP= 2CQ= 2 × 2 = 2。 设 PC= x,则 AC=BC= 2+x。 在 Rt△APC 中,由勾股定理,得 AC2 +PC2 =AP2 , 即(2+x) 2 +x2 = 102 。 解得 x= 6(负值舍去)。 ∴ BC= 2+x= 8。 ∴ BC 的长为 8。 26.解:(1)将点 A(5,0),B(4,-3)代入 y= x2 +bx+c,得 25+5b+c= 0, 16+4b+c= -3。{ 解得 b= -6, c= 5。{ ∴ 抛物线的表达式为 y= x2 -6x+5。 ∴ b,c 的值分别是-6,5。 (2)如图 1,过点 C 作 CM⊥AE 于点 M。 在 y= x2 -6x+5 中, 令 y= 0,得 x2 -6x+5 = 0。 解得 x1 = 1,x2 = 5。 ∴ 点 C(1,0)。 　 　 图 1 令 x= 0,得 y= 5。 ∴ 点 E(0,5)。 由点 A,E,C 的坐标得 EC = 12 +52 = 26 , AE= 52 +52 = 5 2 ,AC= 5- 1 = 4。 ∴ S△ ACE = 1 2 ×AE·CM = 1 2 × AC×OE, 即 5 2 ×CM= 4×5。 解得 CM= 2 2 。 ∴ EM= CE2 -CM2 = 3 2 。 tan∠CEM=CM EM = 2 2 3 2 = 2 3 。 ∵ ∠FEO= ∠CEA, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —62— ∴ tan∠OEF= 2 3 。 ∴ 在 Rt△OEF 中,OF OE = 2 3 。 ∵ OE= 5, ∴ OF= 10 3 。 当点 F 在 y 轴左侧时,点 F ( -103 ,0 ) 。 设直线 EF 的表达式为 y = ax+d,将点 E(0,5),F ( -103 ,0 )代入,得 d=5, -10 3 a+d=0。{ 解得 a= 3 2 , d=5。 { ∴ 直线 EF 的表达式为 y= 3 2 x+5。 根据题意,得 x2 -6x+5 = 3 2 x+5。 解得 x= 0(舍去)或15 2 。 则直线 EF 与抛物线的另一交点坐标为 ( 152 , 65 4 ) 。 当点 F 在 y 轴的右侧时,点 F ( 103 ,0 ) 。 同理,可得直线 EF 与抛物线的另一交点坐标为 ( 92 ,- 7 4 ) 。 综上, 直线 EF 与抛物线的另一交点坐标为 ( 152 , 65 4 )或 ( 9 2 ,- 7 4 ) 。 (3)存在。 如图 2,当点 M 在 BO 上方时。 　 　 图 2 ∵ ∠MBC= ∠BCD, ∴ MB∥CD。 由点 C,D 的坐标,得直线 CD 的表达式为 y= -2x+2。 ∴ 设直 线 MB 的表达式为 y = - 2x+P。 将点 B(4,-3)代入,得-3 = -2× 4+P。 解得 P= 5。 ∴ 直线 BM的表达式为 y=-2x+5。 令 x2 -6x+5 = -2x+5。 解得 x= 4(舍去)或 0。 ∴ 点 M(0,5)。 当点 M 在 OB 下方(即点 M 在 M′位置)时。 设 BM 交 CD 于点 N。 ∵ ∠MBC= ∠BCD, ∴ △CBN 为等腰三角形。 ∴ BN=CN。 设点 N(m,-2m+2)。 由 BN=CN,得(m-4) 2 +(-2m+5) 2 = (m-1) 2 +(2- 2m) 2 。 解得 m= 2。 ∴ 点 N 的坐标为(2,-2)。 由点 B,N 的坐标,得直线 BN 的表达式为 y= - 1 2 x-1。 令 x2 -6x+5 = - 1 2 x-1。 解得 x= 4(舍去)或 3 2 , 即点 M ( 32 ,- 7 4 ) 。 综上,点 M 的坐标为(0,5)或 ( 32 ,- 7 4 ) 。 8 2024 年平阴县学业水平第一次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C C D A A D D C B 1. D　 【解析】从上面看下边是一个矩形,矩形的内部 是一个圆。 故选 D。 2. C　 【解析】1 040 000 000 = 1. 04×109。 故选 C。 3. C　 【解析】∵ a∥b,∠1 = 55°,∴ ∠ABC = ∠1 = 55°。 ∵ ∠BAC= 90°,∴ ∠2 = 180° -∠ABC-∠BAC = 35°。 故选 C。 4. D　 【解析】由数轴,可得点 A 表示- 1,则比数轴上 点 A 表示的数大 3 的数是-1+3 = 2。 故选 D。 5. A　 【解析】A. 既是中心对称图形,又是轴对称图 形,故此选项符合题意;B. 是中心对称图形,不是轴 对称图形,故此选项不合题意;C. 是轴对称图形,不 是中心对称图形,故此选项不合题意;D. 是轴对称 图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意。 故 选 A。 6. A　 【解析】A. (a2) 3 = a2 × 3 = a6,此选项符合题意; B. a6 ÷a2 =a6 - 2 =a4,此选项不符合题意;C. a3·a4 = a3+4 = a7,此选项不符合题意;D. a2 与 a 不是同类 项,无法合并,此选项不符合题意。 故选 A。 7. D　 【解析】∵ 在反比例函数 y = k x 中,k> 0,∴ 此函 数图象在第一、三象限,在每个象限内,y 的值随 x 值的增大而减小。 ∵ - 4< - 2< 0,∴ 点 A(- 4,y1 ), B(-2,y2)在第三象限。 ∴ y2 <y1 <0。 ∵ 3>0,∴ 点 C (3,y3)在第一象限。 ∴ y3 >0。 ∴ y1,y2,y3 的大小关 系为 y2 <y1 <y3。 故选 D。 8. D　 【解析】中位数为第 15 个数和第 16 个数的平均 数,即9 +9 2 = 9,众数为 9。 故选 D。 9. C　 【解析】由题意,可知 BD 是∠ABC 的平分线, MN 是线段 BD 的垂直平分线。 ∵ AB = AC,∠A = 36°,∴ ∠ABC = ∠ACB = 180° -36° 2 = 72°。 ∵ BD 是 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —72— — 37 — — 38 — — 39 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　第Ⅰ卷(选择题　 共 40 分) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分。 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. 下列立体图形中,主视图是圆的是 (　 　 ) A. B. C. D. 2. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作,根据规划“一带一路”地区覆盖总 人口约为 4 500 000 000 人,这个数用科学记数法表示为 (　 　 ) A. 45×108 B. 4. 5×109 C. 4. 5×108 D. 4. 5×1010 3. 数学中处处存在着美,从三国时期的赵爽弦图,到 19 世纪的莱洛三角形,再到近代的科克曲线和谢 尔宾斯基三角形,这种特殊的数学之美,令人沉迷。 下列图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图 形的是 (　 　 ) A. 赵爽弦图 B. 莱洛三角形 C. 科克曲线 D. 谢尔宾斯基三角形 4. 下列运算正确的是 (　 　 ) A. x2·x3 = x5 B. (2x3) 2 = 4x5 C. x6 ÷x2 = x3 D. 4x3 -3x= x2 5. 实数 a,b 在数轴上对应点的位置如图所示,下列结论正确的是 (　 　 ) A. ab>0 B. a+b>0 C. | a | < | b | D. a+1<b+1 6. 如图,将矩形直尺的一个顶点与三角尺的直角顶点重合放置,测得∠2 = 58°,则∠1 的度数为 (　 　 ) A. 22° B. 32° C. 42° D. 62° 第 6 题图 　 　 　 　 　 　 第 7 题图 7. 开学季,小明同学购买了一套艺术书签(外包装完全相同),分别为“逢考必过”、“金榜题名”、“步步 高升”和“诸事顺利”四种不同的主题。 小明从中拿两个送给同学,先随机抽取一个(不放回),再从 中随机抽取一个,恰好抽到书签“逢考必过”和“金榜题名”的概率为 (　 　 ) A. 1 3 B. 1 17 C. 1 8 D. 1 6 8. 下列函数中,满足 y 的值随 x 值的增大而减少的是 (　 　 ) A. y= 2x B. y= 1 x (x>0) C. y= 2x-3 D. y= -x2 9. 如图,四边形 ABCD 是菱形,按以下步骤作图:①以顶点 B 为圆心,BD 长为半径作弧,交 AD 于点 E; ②分别以点 D,E 为圆心,以大于 1 2 DE 的长为半径作弧,两弧相交于点 F,作射线 BF 交 AD 于点 G,连 接 CG,若∠BCG= 30°,菱形 ABCD 的面积为 2 3 ,则 AE 的值为 (　 　 ) A. 2 B. 4- 6 C. 3- 2 D. 2 10. 在平面直角坐标系中,我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“相反点”,例如点(1,- 1), ( - 2 , 2 ),…,都是“相反点”,若二次函数 y = ax2 +3x+c(a≠0)的图象上有且只有一个“相反点” (2,-2),当-1≤x≤m 时,二次函数 y=ax2 +3x+c(a≠0)的最小值为-8,最大值为- 7 4 ,则 m 的取值 范围为 (　 　 ) A. -1≤m≤4 B. -1≤m≤ 3 2 C. 3 2 ≤m≤4 D. 3 2 ≤m≤5 第Ⅱ卷(非选择题　 共 110 分) 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. 因式分解:m2 +2m+1 = 。 12. 关于 x 的一元二次方程 x2 -4x+c= 0 没有实数根,则 c 的值可以是 (写出一个即可)。 13. 代数式 5 2x-1 与代数式 3 x 的值相等,则 x= 。 14. 一个小球在如图所示的矩形地砖上任意滚动,并随机停留在某块地砖上。 每块地砖的大小、质地完 全相同,在矩形 ABCD 中,BC= 4,CD= 2,以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E,连接 BD,那么该 小球停留在阴影区域的概率是 (结果保留 π)。 第 14 题图 　 　 第 15 题图 15. 澄波湖公园有一条笔直的健身跑道,每天有很多市民在此晨练,成为济阳区一道靓丽的风景。 每天 早晨,小红与父亲匀速跑步,已知父女俩起点、终点均相同,起点与终点间的距离为 600 m,约定先 到终点的原地休息等待另一个人。 已知小红先出发 20 s,如图是两人之间的距离 y(m)与父亲出发 的时间 x(s)之间关系的函数图象,父女两人之间的距离为 80 m 时,父亲出发的时间 x 为 s。 16. 在矩形 ABCD 中,AB = 3 ,BC = 1,将△ABC 沿 AC 翻折得到△AEC,F 是 DC 上一点,连接 EF,若 sin∠AEF= 21 7 ,则线段 EF 的长度是 。 三、解答题(本大题共 10 个小题,共 86 分。 解答应写出必要的解题过程) 17. (6 分)计算: 4 -2sin 45°-(π-3) 0 + | - 2 | 。 18. (6 分)解不等式组 4(x-1)≤7x+2, x+2<x +8 3 , ì î í ï ï ï ï 并写出它的整数解。 19. (6 分)如图,在▱ABCD 中,E,F 是直线 AC 上两点,且 AE=CF。 求证:DF=BE。 20. (8 分)“荡秋千”一直以来都是人们喜闻乐见的休闲方式之一,某天,小明和小亮两人玩荡秋千,如 图为荡秋千时的侧面几何图,静止时秋千位于铅垂线 AB 上,荡秋千的起始位置为 C,终点为 D,点 C 距离地面 1. 08 m,秋千位于 C 处时,安全链 AC 与铅垂线 AB 夹角为 37°,安全链 AC= 2. 4 m。 (1)求点 A 到地面的距离 AB; (2)当小明用力将小亮从 C 推出后可达到最高点 D 处,此时∠CAD = 100°,求点 D 到地面的距离。 (结果精确到 0. 01 m,参考数据:sin 37°≈0. 6,cos 37°≈0. 8,sin 27°≈0. 47) 　 　 　 21. (8 分)某校德育处开展校园欺凌专项教育活动前,在全校范围内随机抽取了 40 名学生进行安全知 识测试,测试结果如表 1 所示(每题 1 分,共 10 道题),开展校园欺凌专项教育活动后,再次在全校 范围内随机抽取 40 名学生进行测试,根据测试数据制作了如图 1、图 2 所示的统计图(尚不完整)。 表 1 分数 /分 2 5 6 7 8 9 人数 /人 4 6 8 8 12 2 设定 8 分及以上为合格,分析两次测试结果得到表 2。 7 2024 年济阳区学业水平第一次模拟试题 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 40 — — 41 — — 42 — 表 2 平均数 /分 众数 /分 中位数 /分 合格率 教育活动前测试结果 6. 4 a 7 35% 教育活动后测试结果 b 8 c d 请根据图表中的信息,解答下列问题: (1)将图 2 中的统计图补充完整: (2)a= ,b= ,c= ,d= ; (3)图 1 中开展校园欺凌专项教育活动后成绩为 10 分对应的扇形的圆心角是 °; (4)若全校学生有 1 000 人,估计开展校园欺凌专项教育活动后达到合格水平的学生人数。 图 1 　 　 图 2 22. (8 分)如图,☉O 是△ABC 的外接圆,直径 BD 与 AC 交于点 E,DF 是☉O 的切线,交 BC 的延长线 于点 F。 (1)求证:∠F= ∠BAC; (2)若 tan∠DAE= 1 2 ,CF= 1,求☉O 的半径。 23. (10 分)随着新能源汽车的增加,我区为加快公共领域充电基础设施建设,准备改造部分停车场。 计划购 买A,B 两种型号的充电桩。 已知购买3 个A 型充电桩和7 个B 型充电桩的总费用是11. 1 万元,且 A 型 充电桩比 B 型充电桩的单价少 0. 3 万元。 (1)A,B 两种型号充电桩的单价各是多少万元; (2)若停车场改造计划需购买 30 个 A,B 型充电桩,且 B 型充电桩的购买数量不少于 A 型充电桩购 买数量的 1 2 ,则购买 A,B 型充电桩各多少个时总费用最少? 请说明理由。 24. (10 分)【阅读材料】 解方程:(x+1) (1- 2x ) = -2 时,先两边同乘 x,得(x+1)(x-2)= -2x,解之,得 x1 = -2,x2 = 1,经检验 无增根,所以原方程的解为 x1 = -2,x2 = 1。 【模仿练习】 (1)解方程(3-x) (3+ 6x ) = 6; 【拓展应用】 (2)如图 1,等腰直角三角形 ABC 的直角顶点 A 的坐标为(3,0),B,C 两点在反比例函数 y = 6 x 的图 象上,点 B 的坐标是 (n, 6n ),且 n>0,求 n 的值; (3)如图 2,在双曲线 y= k x (k>0)上有 M(m,a),N(n,b)两点,如果 MN=OM,∠OMN= 90°,那么 n m +m n 是否为定值? 若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由。 图 1 　 　 图 2 25. (12 分)(1)如图 1,在等边三角形 ABC 中,P 是边 BC 上一点,且 BP= 2,连接 AP,以 AP 为边作等边 三角形 APQ,连接 CQ,则 CQ 的长为 ; (2)如图 2,在△ABC 中,AB = BC,P 是边 BC 上任意一点,以 AP 为腰作等腰三角形 APQ,使 AP = PQ,∠APQ= ∠ABC,连接 CQ,求证:∠ABC= ∠ACQ; (3)如图 3,在△ABC 中,AC=BC,∠ACB= 90°,P 是边 BC 上一点,以 AP 为边作△APQ,使 AQ =PQ, ∠AQP= 90°,连接 CQ,若 AP= 10,CQ= 2 ,求 BC 的长。 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 26. (12 分)如图,已知抛物线 y= x2 +bx+c 经过 A(5,0),B(4,-3)两点,与 x 轴的另一个交点为 C,顶点 为 D,与 y 轴交于点 E。 (1)求 b,c 的值; (2)直线 EF 与 x 轴交于点 F,若∠FEO= ∠CEA,求直线 EF 与抛物线的另一个交点坐标; (3)该抛物线上是否存在点 M,使得∠MBC= ∠BCD? 若存在,直接写出所有符合条件的点 M 坐标; 若不存在,说明理由。 　 　 备用图 　 　 备用图