6 2024年历城区学业水平第一次模拟试题-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东济南专版）

由图象,知当该函数取最小值时,所对应的自变量 a 的取值范围在 1-2 之间, ∴ D 选项的结论正确。 故答案为 D。 25.解:(1)∵ 四边形 AEFG 和四边形 ABCD 是正方形, ∴ AC= 2AD,AF= 2AG。 ∴ AC-AF= 2 (AD-AG),即 CF= 2DG。 故答案为 CF= 2DG。 (2)CF= 2DG,理由如下: 如图 1,连接 AF,AC。 ∵ 四边形 AEFG 和四边形 ABCD 是正方形, 　 　 图 1 ∴ ∠CAD = ∠FAG = 45°, AC AD = AF AG = 2 。 ∴ ∠CAF= ∠DAG。 ∴ △CAF∽△DAG。 ∴ CF DG = AC AD = 2 。 ∴ CF= 2DG。 (3)画出图形如图 2。 　 　 图 2 随着 α 的变化,CF 与 DG 之 间的数量关系不变化,理由 如下: 如图 2,把△DAG 绕着点 D 逆 时针旋转 120° 得到 △DCH, 连接 GH,过点 D 作 DN⊥GH 于点 N。 由旋转可得,AG = CH,∠AGD = ∠CHD。 ∵ 四边形 AEFG 是菱形,∠DAB= 60° = ∠GAE, ∴ AG=FG,∠AGF= 120°。 ∴ CH=GF。 ∵ ∠GDH= ∠ADC= 120°,DG=DH,DN⊥HG, ∴ ∠DGH= ∠DHG= 30°,GN=NH。 ∴ DG= 2DN,GN= 3DN,GH= 2GN。 ∴ GH= 2 3DN= 3DG。 ∵ ∠CHG= ∠CHD-∠DHG= ∠CHD-30°, ∠HGF = 360° - ∠AGF - ∠AGD - ∠DGH = 360° - 120°-∠AGD-30° = 210°-∠AGD, ∴ ∠CHG+∠HGF= ∠CHD-30°+210°-∠AGD。 ∵ ∠CHD= ∠AGD, ∴ ∠CHG+∠HGF= 180°。 ∴ CH∥GF。 ∴ 四边形 CHGF 是平行四边形。 ∴ CF=HG。 ∴ CF= 3DG。 ∴ 随着 α 的变化,CF 与 DG 之间的数量关系不 变化。 26.解:(1)∵ 抛物线与 x 轴相交于 A( -1,0),B(3,0) 两点,与 y 轴相交于点 C(0,-3), ∴ 设抛物线的表达式为 y=a(x+1)(x-3)。 把点 C(0,-3)代入,得-3 =a(0+1)(0-3)。 ∴ a= 1。 ∴ y= (x+1)(x-3)= x2 -2x-3。 (2)点 A′不在抛物线上。 理由如下: 如图,过点 A′作 A′D⊥y 轴。 ∴ ∠AOC= ∠CDA′= 90°。 ∵ 线段 CA 绕点 C 顺时针旋 转 90°得到 CA′, ∴ AC=A′C,∠ACA′= 90°。 ∴ ∠ACO = 90°-∠CAO = 90°- ∠A′CD= ∠CA′D。 ∴ △ACO≌△CA′D(AAS)。 ∴ AO=CD,CO=A′D。 ∵ 点 A(-1,0),C(0,-3), ∴ AO=CD= 1,CO=A′D= 3。 ∴ OD=OC-CD= 2。 ∴ 点 A′(3,-2)。 ∵ 在 y= x2 -2x-3 中,当 x= 3 时,y= 32 -2×3-3 = 0, ∴ 点 A′(3,-2)不在抛物线上。 (3)∵ 点 B(3,0),C(0,-3), ∴ 设直线 BC:y= kx-3。 将点 B(3,0)代入, 得 k= 1。 ∴ y= x-3。 设点 P 的坐标为(m,m2 -2m-3),则点 M 的坐标为 (m,m-3),点 H 的坐标为(m,0)。 ∴ PM=(m-3)-(m2-2m-3)= -m2+3m,BH=3-m。 ∴ PM+2BH = ( -m2 + 3m) + 2(3-m) = -m2 +m+ 6 = - (m- 12 ) 2 +25 4 。 ∵ -1<0,∴ 此抛物线开口向下。 ∴ 当 m= 1 2 时,PM+2BH 有最大值,最大值为25 4 。 (4)∵ 点 P(m,m2-2m-3),M(m,m-3),C(0,-3), ∴ PM=m-3-m2 +2m+3 = -m2 +3m,CM2 =m2 +[m- 3-(-3)] 2 = 2m2 ,CP2 =m2 +(m2 -2m) 2 。 当△PMC 是等腰三角形时,分三种情况: ①PM=CM 时,则(-m2 +3m) 2 = 2m2 , 解得 m= 3+ 2 (舍)或 0(舍)或 3- 2 。 ②PM=CP 时,则(-m2 +3m) 2 =m2 +(m2 -2m) 2 , 解得 m= 0(舍)或 2。 ③CM=CP 时,则 2m2 =m2 +(m2 -2m) 2 , 解得 m= 0(舍)或 3(舍)或 1。 综上 m= 1 或 2 或 3- 2 。 6 2024 年历城区学业水平第一次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C B D C C A D A D 1. D　 【解析】圆锥的主视图是等腰三角形,俯视图是 带圆心的圆,故 A 选项不合题意;圆柱主视图是矩 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —91— 形,俯视图是圆,故 B 选项不合题意;三棱柱主视图 是中间有竖线的矩形,俯视图是三角形,故 C 选项 不合题意;正方体主视图和俯视图都为正方形,故 D 选项符合题意。 故选 D。 2. C　 【解析】394 900 = 3. 949×105。 故选 C。 3. B　 【解析】∵ ∠1+∠BEF= 180°,∠1= 36°,∴ ∠BEF= 144°。 ∵ EG 平分 ∠BEF, ∴ ∠BEG = 1 2 ∠BEF = 72°。 ∵ AB∥CD,∴ ∠2 = ∠BEG= 72°。 故选 B。 4. D　 【解析】由数轴上数的位置,可得 c< 0<b<a,且 -2<c<-1,b= 1,2<a<3,∴ a+c>0。 故 A 错误;∵ c< b,∴ a+c<a+b。 故 B 错误;∵ a>b,c<0,不等式两边 同乘负数,不等号要反向,∴ ac < bc。 故 C 错误; ∵ b>c,a> 0,不等式两边同乘正数,不等号方向不 变,∴ ab>ac。 故 D 正确。 故选 D。 5. C　 【解析】 A. x9 ÷ x3 = x6,故本选项不符合题意; B. (x2) 3 = x6,故本选项不符合题意;C. ( - 2x3 ) 3 = -8x9,故本选项符合题意;D. x3 +x 不能进行计算,故 本选项不符合题意。 故选 C。 6. C　 【解析】选项 A,B,D 中的图形都不能找到这样 的一个点,使图形绕某一点旋转 180°后与原来的图 形重合,所以不是中心对称图形,选项 C 中的图形 能找到这样的一个点,使图形绕某一点旋转 180°后 与原来的图形重合,所以是中心对称图形。 故选 C。 7. A　 【解析】反比例函数图象是关于原点对称的中心 对称图形,可得点 A 的横坐标是-3。 ∴ 当 y2 <y1 时, x 的取值范围是 x<-3 或 0<x<3。 故选 A。 8. D　 【解析】画树状图如下, 共有 12 种等可能的结果,其中恰好抽到一名男生 和一名女生的结果为 8 种,所以恰好抽到一名男生 和一名女生的概率为 8 12 = 2 3 。 故选 D。 9. A　 【解析】如图,连接 AD,AE。 由作法,得 MD 垂直平分 AB,EN 垂直平分 AC,∴ AD =BD = 3 2 ,AE = CE = 5 2 。 在△ADE 中,∵ AD = 3 2 ,DE = 2,AE = 5 2 ,∴ AD2+DE2 =AE2。 ∴ △ADE 为直角三角形,∠ADE = 90°。 在 Rt△ADC 中,∵ AD = 3 2 ,CD = 2 + 5 2 = 9 2 ,∴ AC = ( 32 ) 2 + ( 92 ) 2 = 3 10 2 。 故选 A。 10. D　 【解析】①∵ 直线 y = - 2x,∴ 点(2,0)到直线 y= -2x 的距离 d= | -2×2-0+0 | 1+(-2) 2 = 4 5 5 。 故①正确; ②找出直线 y= -2x 上一点(0,0),∴ 点(0,0)到直 线 y= -2x+6 的距离 d= 6 1+(-2) 2 = 6 5 5 。 故②正 确;③设点 P( x0,y0)是抛物线 y = x 2 - 4x+ 3 上的 点,则 y0 = x 2 0 -4x0 + 3。 点 P 到直线 y = - 2x 的距离 是 5,则 | -2x0 -y0 +0 | 1+(-2) 2 = 5。 ∴ | - 2x0 - y0 | = 5。 ∴ | -2x0 -x 2 0 + 4x0 - 3 | = 5,即 | -x 2 0 + 2x0 - 3 | = 5。 当 -x20 +2x0 -3 = 5 时,无解;当-x 2 0 +2x0 -3 = -5 时,解得 x0 = 1+ 3或 1- 3。 ∴ 抛物线 y = x 2 -4x+3 上存在 两个点到直线 y = - 2x 的距离是 5。 故③正确; ④设直线 y = - 2x 向上平移 m 个单位长度与抛物 线 y= x2 -4x+3 有一个交点,则平移后的直线为 y = -2x+m。 令-2x+m= x2 - 4x+ 3,则 x2 - 2x+ 3-m = 0。 令 Δ= 0,即(-2) 2 - 4(3-m)= 0,解得 m = 2。 ∴ 平 移后的直线为 y= - 2x+ 2。 找出直线 y = - 2x 上一 点(0,0),∴ 点(0,0)到直线 y = -2x+2 的距离 d= 2 1+(-2) 2 = 2 5 5 。 ∴ 若点 P 是抛物线 y = x2 -4x+ 3 上的点,则点 P 到直线 y = -2x 距离的最小值是 2 5 5 。 故④正确。 故选 D。 11. (m-2) 2 　 【解析】原式=(m-2) 2。 12. 6　 【解析】设红球有 x 个。 根据题意,得 x x+4 = 0. 6。 解得 x = 6。 经检验,x = 6 是原方程的根,且 符合题意,则袋中红球有 6 个。 13. x= 1　 【解析】方程两边同时乘 2x(5x+1),得 3×2x= 5x+1。 解得 x= 1。 经检验,x= 1 是原方程的解,且 符合题意。 ∴ 原分式方程的解为 x= 1。 14. 27 8 π　 【解析】由题意,得∠HAB = (8 -2)×180° 8 = 135°,AH=AB= 3,∴ S阴影部分 = 135π×32 360 = 27 8 π。 15. 1. 8　 【解析】设线段 OM 的函数关系式为 y1 = k1x (k1 为常数,且 k1 ≠0)。 将点 M(4,240)代入 y1 = k1x,得 4k1 = 240。 解得 k1 = 60。 ∴ y1 = 60x(0≤x≤ 4)。 设线段 AN 的函数关系式为 y2 = k2x+b( k2,b 为常数,且 k2≠0,b≠0)。 将点 B(1. 5,75),N(3,240) 代入,得 1. 5k2 +b= 75, 3k2 +b= 240。{ 解得 k2 = 110, b= -90。{ ∴ y2 =110x-90。 当 y2 =0 时,得 110x-90=0。 解得 x= 11 9 。 ∴ 线段 AN 的函数关系式为 y2 = 110x-90 ( 119 ≤ x≤3 ) 。 当两车相遇时,y1 = y2,得 60x = 110x- 90。 解得 x= 1. 8。 ∴ 货车出发 1. 8 h 后与轿车相遇。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —02— 16. 4 3 　 【解析】如图,过点 F 作 MN∥AB,分别交 AD, BC 于点 M,N。 ∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ ∠A = 90°,AB = AD = 4,四边形 ABNM 为矩形。 ∴ AM =BN,AB=MN = 4。 ∵ G 为 AB 中 点,∴ AG= 1 2 AB = 2。 ∵ MN∥AB, ∴ △DMF∽△DAG。 ∴ DM MF =DA AG = 2,即 DM = 2MF。 设 MF= x,则 DM= 2x,AM = 4-2x,NF = 4-x。 ∴ BN =AM = 4- 2x。 根据折叠的性质,得 AE = EF,AB = BF= 4。 在 Rt△BNF 中,根据勾股定理,得 BF2 = BN2 +NF2。 ∴ 42 = ( 4 - 2x) 2 + ( 4 - x) 2。 整理,得 5x2 -24x+16 = 0。 解得 x = 4 5 或 4(舍去)。 ∴ MF = 4 5 ,DM= 8 5 。 设 AE= y,则 EF= y,EM=AD-DM-AE = 4- 8 5 -y= 12 5 -y。 在Rt△EMF 中,由勾股定理,得 EF2 =EM2 +MF2。 ∴ y2 = ( 125 -y ) 2 + ( 45 ) 2 。 ∴ y= 4 3 。 ∴ AE= 4 3 。 17.解:(π-2 024) 0 +4cos 45°+ - 1 2 - 8 = 1+4× 2 2 + 1 2 -2 2 = 1+2 2 + 1 2 -2 2 = 3 2 。 18.解: 2x<x+2,① x≤ 5 3 (1+x),②{ 由①,得 x<2。 由②,得 x≥- 5 2 。 故不等式组的解集是- 5 2 ≤x<2。 它的所有整数解有 x= -2,-1,0,1。 19.证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB=CD,∠A= ∠C。 ∵ BE=DH,∴ AB-BE=CD-DH,即 AE=CH。 在△AEF 和△CHG 中, AE=CH, ∠A= ∠C, AF=CG, { ∴ △AEF≌△CHG(SAS)。 ∴ EF=HG。 20.解:(1)由题意,得 DE⊥EC。 在 Rt△DEC 中,tan∠DCE=DE CE = 1 3 = 3 3 , ∴ ∠DCE= 30°。 ∵ CD= 8 m, ∴ DE= 1 2 CD= 4 m,CE= 3DE= 4 3 m。 ∴ DE 的长为 4 m。 (2)如图,过点 D 作 DF⊥AB,垂足为 F。 由题意,得 DF = EA,DE =FA= 4 m。 设 AC= x m。 ∵ CE= 4 3 m, ∴ DF = AE = CE + AC = (x+4 3 )m。 在 Rt△ACB 中,∠BCA= 45°, ∴ AB=AC= x m。 在 Rt△BDF 中,∠BDF= 27°, ∴ BF=DF·tan 27°≈0. 5(x+4 3 )m。 ∵ BF+AF=AB, ∴ 0. 5(x+4 3 )+4 = x。 解得 x= 4 3 +8≈15。 ∴ AB≈15 m。 ∴ 塔 AB 的高度约为 15 m。 21.解:(1)由题意,得样本容量为 8÷10% = 80, 故 n= 80-8-16-8 = 48。 m% = 48 80 ×100% = 60% ,即 m= 60。 故答案为 48,60。 (2)C 组数据对应扇形的圆心角是 360°× 16 80 = 72°。 故答案为 72。 (3)平均每天阅读时长在 60≤x<90 这组具体数据 的中位数是 70+72 2 = 71,众数是 73。 故答案为 71,73。 (4)20 ×8+45×48+75. 5×16+99×8 80 = 54(分钟)。 答:被调查学生的平均阅读时长为 54 分钟。 22.解:(1)∵ OA=OC,∴ ∠OCA= ∠DAC= 25°。 ∵ CD 为☉O 的切线,∴ OC⊥CD。 ∵ AE⊥DE,∴ OC∥AE。 ∴ ∠EAC= ∠OCA= 25°。 (2)在 Rt△OCD 中, ∵ OC=OB= 4,OD=OB+BD= 6, ∴ CD= 62 -42 = 2 5 。 ∵ OC∥AE, ∴ CE OA =CD OD ,即CE 4 = 2 5 6 ,解得 CE= 4 5 3 。 ∴ CE 的长为4 5 3 。 23.解:(1)设 A 型新能源汽车每辆进价 x 万元,B 型 新能源汽车每辆进价 y 万元。 根据题意, 得 x+3y= 55, 4x+2y= 120。{ 解得 x= 25, y= 10。{ 答:A 型新能源汽车每辆进价 25 万元,B 型新能源 汽车每辆进价 10 万元。 (2)设购买 A 型新能源汽车 m 辆,则购买 B 型新 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —12— 能源汽车(100-m)辆。 根据题意, 得 25m+10(100-m)≤1 180,解得 m≤12。 ∴ 该公司最多购买 A 型车 12 辆。 设所获得利润为 w 万元, 则 w= 0. 9m+0. 4(100-m)= 0. 5m+40。 ∵ 0. 5>0,∴ w 的值随 m 值的增大而增大。 ∴ 当 m= 12 时,w 有最大值, 即当销售 A 型新能源汽车 12 辆时获利最大,最大 利润为 0. 5×12+40 = 46(万元)。 答:当销售 A 型新能源汽车 12 辆时获利最大,最 大利润为 46 万元。 24. 解:(1)∵ 直线 y= 2x+4 与函数 y= k x (x>0)的图象 交于点 A(1,m),∴ m= 2×1+4 = 6,k= 1×6 = 6。 (2)①当 n= 2 时,直线 y= 2x+4 = 2,解得 x = -1;反 比例函数 y= 6 x = 2,解得 x= 3。 ∴ 点 C(-1,2),D(3,2)。 ∴ CD= 3-(-1)= 4。 ②在直线 y = 2x+ 4 中,当 y = 0 时,x = - 2,当 y = n 时,x=n -4 2 ;在 y= 6 x 中,当 y=n 时,x= 6 n 。 ∴ 点 B(-2,0),C ( n-42 ,n ) ,D ( 6 n ,n ) 。 ∴ OB=2。 当 CD 在点 A 下方时, 6 n - n-4 2 ≥ 2OB = 4。 解得 -6≤n≤2。 ∵ 反比例函数图象在第一象限,∴ 0<n≤2。 当 CD 在点 A 上方时, n-4 2 - 6 n ≥4,∵ n>0,解得 n≥6+4 3 。 综上所述,n 的取值范围为 0<n≤2 或 n≥6+4 3 。 25.解:(1)①AD⊥BE。 证明:如图 1,延长 AD 交 BC 于点 O,交 BE 于点 H。 ∵ 将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90°得到 CE, ∴ CD=CE,∠DCE= 90°。 ∵ ∠ACB= 90°, ∴ ∠ACB-∠BCD= ∠DCE-∠BCD, 即∠ACD= ∠BCE。 ∵ AC=BC, ∴ △ACD≌△BCE(SAS)。 ∴ ∠CAD= ∠CBE。 又∵ ∠AOC=BOH,∴ △AOC∽△BOH。 ∴ ∠BHO= ∠ACO= 90°。 ∴ AD⊥BE。 图 1 　 　 图 2 ②BD= 2CD。 如图 2,连接 DE,延长 AD 交 BC 于点 O,交 BE 于 点 H。 ∵ 将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90°得到 CE, ∴ CD=CE,∠DCE= 90°。 ∴ DE= CD2 +CE2 = 2CD。 由①,知 AH⊥BE。 又∵ AE=AB, ∴ EH=BH。 ∴ AH 为 BE 的垂直平分线, ∴ DE=DB。 ∵ DE= 2CD,∴ BD= 2CD。 (3)如图 3,过点 O 作 OP⊥OM,且 OP = OM,连接 CO,PM,PC,PC 交 BM 于点 Q,交 OM 的延长线于 点 N。 ∵ AC=BC,∠ACB= 90°,O 是斜边 AB 上的中点, ∴ OC⊥AB,OC=OB。 ∴ ∠BOC= ∠POM= 90°。 　 　 图 3 ∴ ∠BOC+∠BOP = ∠POM+∠POB, 即∠POC= ∠MOB。 ∴ △POC≌△MOB(SAS)。 ∴ PC=MB,∠CPO= ∠BMO。 ∵ ∠PNO= ∠MNQ, ∴ ∠PQM= ∠PON= 90°。 在 Rt△CMQ 中,∠BMC= 45°, ∴ △CMQ 为等腰直角三角形。 ∴ CQ=MQ。 ∴ CM= CQ2 +MQ2 = 2CQ。 ∵ CM= 12 2 ,∴ 2CQ= 12 2 。 ∴ CQ=MQ= 12。 在 Rt△POM 中, OP=OM= 13 2 2 ,∴ PM= OP2 +OM2 = 13。 ∴ 在 Rt△MPQ 中,PQ = PM2 -MQ2 = 132 -122 = 5。 ∴ BM=PC=PQ+CQ= 5+12 = 17。 26.解:(1)由题意,得 y= (x+1)(x-3)= x2 -2x-3。 ∴ 二次函数的表达式为 y= x2 -2x-3。 (2)存在。 由抛物线的表达式 y= x2 -2x-3 = (x-1) 2 -4 可知, 点 C(0,-3),点 N(1,-4)。 设直线 BC 的表达式为 y= kx+d,将点 B(3,0), C(0,-3)代入,得 3k+d= 0, d= -3。{ 解得 k= 1, d= -3。{ 所以直线 BC 的表达式为 y= x-3。 当 MN∥BC 时,S△ NDC =S△ MDC。 ∴ 设直线 MN 的表达式为 y= x+h。 将点 N(1,-4)代入,得-4 = 1+h。 解得 h= -5。 ∴ 直线 MN 的表达式为 y = x-5。 联立上式和抛物 线的表达式, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —22— 得 x2 -2x-3 = x-5, 解得 x= 1(舍去)或 2。 当 x= 2 时,y= 2-5 = -3, ∴ 点 M(2,-3)。 (3)由平移可得 E(0,6),F(4,6)。 当 a<0 时,∵ y=a(x2 -2x-3)= a(x-1) 2 -4a, ∴ 抛物线的顶点为(1,-4a)。 当 0<x<1 时,y 的值随 x 值的增大而增大, 当 1<x<4 时,y 的值随 x 值的增大而减小。 当顶点(1,-4a)在线段 EF 上,即-4a = 6 时,只有 一个公共点, ∴ a= - 3 2 ; 当顶点(1,- 4a)在线段 EF 下方时,没有交点,不 符合题意; 当顶点(1,-4a)在线段 EF 上方时,当 x = 4 时,y = 5a<0,即(4,5a)在线段 EF 下方, 当 x= 0 时,y= -3a>6,即(0,-3a)在线段 EF 上方, 此时只有一个公共点, ∴ a<-2; 当 a>0 时,顶点(1,-4a)在线段 EF 下方, 当 x= 0 时,y= -3a<0,即(0,-3a)在线段 EF 下方, 当 x= 4 时,y= 5a≥6,即(4,5a)在线段 EF 上方,此 时只有一个公共点, ∴ a≥ 6 5 。 综上所述,a= - 3 2 或 a<-2 或 a≥ 6 5 。 7 2024 年济阳区学业水平第一次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B C A D B D B B C 1. C 　 【解析】 A. 主视图是三角形,故不符合题意; B. 主视图是矩形,故不符合题意;C. 主视图是圆,故 符合题意;D. 主视图是正方形,故不符合题意。 故 选 C。 2. B　 【解析】4 500 000 000 = 4. 5×109。 故选 B。 3. C　 【解析】A. 该图形是中心对称图形,不是轴对称 图形,故此选项不符合题意;B. 该图形是轴对称图 形,不是中心对称图形,故此选项不符合题意;C. 该 图形既是轴对称图形,又是中心对称图形,故此选 项符合题意;D. 该图形是轴对称图形,不是中心对 称图形,故此选项不符合题意。 故选 C。 4. A 　 【解析】 A. x2 · x3 = x5,故此选项符合题意; B. (2x3) 2 = 4x6,故此选项不符合题意;C. x6 ÷x2 = x4, 故此选项不符合题意;D. 4x3 与 3x 不是同类项,不 能合并,故此选项不符合题意。 故选 A。 5. D　 【解析】A. ∵ a<0,b>0,∴ ab<0。 故该选项不符 合题意;B. ∵ a<0,b>0, | a | > | b | ,∴ a+b<0。 故该选 项不符合题意;C. | a | > | b | ,故该选项不符合题意; D. ∵ a< b,∴ a+ 1 < b+ 1。 故该选项符合题意。 故 选 D。 6. B　 【解析】标注∠3 如图。 ∵ 矩形直尺对边平行, ∴ ∠3 = ∠2 = 58°。 ∴ ∠1 = 90°-58° = 32°。 故选 B。 7. D　 【解析】将“逢考必过”、“金榜题名”、“步步高 升”和“诸事顺利”四种不同的主题书签分别记为 A,B,C,D,画树状图如下: 共有 12 种等可能的结果,其中恰好抽到书签“逢考 必过”和 “金榜题名” 的结果有 AB,BA,共 2 种, 所以恰好抽到书签“逢考必过”和“金榜题名”的概 率为 2 12 = 1 6 。 故选 D。 8. B　 【解析】A. 函数 y = 2x,y 的值随 x 值的增大而增 大,故 A 不符合题意;B. 函数 y= 1 x (x>0),y 的值随 x 值的增大而减小,故 B 符合题意;C. 函数 y = 2x- 3,y 的值随 x 值的增大而增大,故 C 不符合题意; D. 函数 y= -x2,当 x>0 时 y 的值随 x 值的增大而减 小,当 x<0 时 y 的值随 x 值的增大而增大,故 D 不 符合题意。 故选 B。 9. B　 【解析】由作法,得 BG⊥AD。 ∴ ∠AGB = 90°。 ∵ 四边 形 ABCD 为 菱 形, ∴ AD ∥BC, AB = BC。 ∴ ∠GBC=90°。 在 Rt△BCG 中,设 BG = x,∵ ∠BCG = 30°,∴ BC = 3 x。 ∵ 菱形 ABCD 的面积为 2 3, ∴ BC·BG= 3 x2 = 2 3。 ∴ x = 2。 在Rt△ABG 中, AB=AD=BC= 3 x= 6,BG = x = 2,由勾股定理,得 AG = AB2-BG2 = ( 6)2-( 2)2 = 2。 ∴ DG = EG = AD-AG= 6 -2。 ∴ DE = 2DG = 2 6 -4。 ∴ AE = AD- DE= 6 -(2 6 -4)= 4- 6。 故选 B。 10. C　 【解析】∵ 点(2,-2)是二次函数 y = ax2 + 3x+c (a≠0)图象上的“相反点”,∴ -2 = 4a+6+c。 ∴ c = -4a-8。 ∵ 二次函数 y=ax2 +3x+c(a≠0)的图象上 有且只有一个“相反点”,∴ ax2 +3x+c= -x(即 ax2 + 4x+ c = 0) 有且只有一个根。 ∴ Δ = 16 - 4ac = 0。 ∴ 16-4a(-4a-8)= 0。 解得 a = -1,c = -4×(-1)- 8 = -4。 ∴ y= -x2 +3x-4 = - ( x- 32 ) 2 - 7 4 。 ∴ 二次 函数图象的对称轴为直线 x = 3 2 ,函数的最大值为 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —32— — 31 — — 32 — — 33 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1. 下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是 (　 　 ) A. B. C. D. 2. 根据中国航天局提供的资料,天和核心舱组合体运行轨道参数是远地点高度约 394 900 米,近地点 高度约 384 000 米。 将数据 394 900 用科学记数法可以表示为 (　 　 ) A. 39. 49×104 B. 0. 394 9×106 C. 3. 949×105 D. 3. 949×106 3. 如图,已知直线 AB∥CD,EG 平分∠BEF,∠1 = 36°,则∠2 的度数是 (　 　 ) A. 70° B. 72° C. 36° D. 54° 第 3 题图 　 　 第 7 题图 4. 实数 a,b,c 在数轴上对应点的位置如图所示,则下列式子正确的是 (　 　 ) A. a+c<0 B. a+b<a+c C. ac>bc D. ab>ac 5. 下列运算中,正确的是 (　 　 ) A. x9 ÷x3 = x3 B. (x2) 3 = x5 C. ( -2x3) 3 = -8x9 D. x3 +x= x4 6. 每年的 4 月 22 日是世界地球日,2023 年世界地球日的主题是“众生的地球”。 某校在此期间组织学 生开展“爱护地球”的图标设计征集活动,如图所示的图标是中心对称图形的是 (　 　 ) A. B. C. D. 7. 如图,正比例函数 y1 = k1x(k1≠0)的图象与反比例函数 y2 = k2 x (k2≠0)的图象相交于点 A,B,已知点 B 的横坐标为 3,当 y2 <y1 时,x 的取值范围是 (　 　 ) A. x<-3 或 0<x<3 B. x<-3 C. x>3 D. -3<x<0 或 x>3 8. 在项目化学习中,“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量,需要从四名同学(两名男生,两名 女生)中随机抽取两人组成调查小组进行社会调查,恰好抽到一名男生和一名女生的概率是 (　 　 ) A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 9. 如图,在△ABC 中,分别以点 A,B 为圆心,以大于 1 2 AB 的长为半径作弧,两弧相交于点 F,G,作直线 FG 分别交 AB,BC 于点 M,D,再分别以点 A,C 为圆心,以大于 1 2 AC 的长为半径作弧,两弧相交于点 H,I,作直线 HI 分别交 AC,BC 于点 N,E。 若 BD= 3 2 ,DE= 2,EC= 5 2 ,则 AC 的长为 (　 　 ) A. 3 10 2 B. 3 3 2 C. 3 5 2 D. 3 2 2 10. 阅读材料:已知点 P( x0,y0 ) 和直线 y = kx+ b,则点 P 到直线 y = kx+ b 的距离 d 可用公式 d = | kx0 -y0 +b | 1+k2 计算。 例如:求点 P( -2,1)到直线 y= x+1 的距离,其中 k= 1,b= 1。 所以点 P( -2,1)到 直线 y= x+1 的距离 d = | kx0 -y0 +b | 1+k2 = | 1×( -2) -1+1 | 1+12 = 2 2 = 2 。 根据以上材料,有下列结论:①点 (2,0)到直线 y= -2x 的距离是4 5 5 ;②直线 y= -2x 和直线 y= -2x+6 的距离是6 5 5 ;③抛物线 y= x2 - 4x+3 上存在两个点到直线 y = -2x 的距离是 5 ;④若 P 是抛物线 y = x2 -4x+3 上的点,则点 P 到直 线 y= -2x 距离的最小值是2 5 5 。 其中,正确结论的个数是 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共计 24 分) 11. 分解因式:m2 -4m+4 = 。 12. 不透明袋中有红、白两种颜色的小球,这些球除颜色外无其他差别。 从袋中随机取出一个球是红球 的概率为 0. 6,若袋中有 4 个白球,则袋中红球有 个。 13. 方程 3 5x+1 = 1 2x 的解为 。 14. 如图,正八边形 ABCDEFGH 的边长为 3,以顶点 A 为圆心,AB 的长为半径画圆,则阴影部分的面积 为 (结果保留 π)。 第 14 题图 　 　 第 15 题图 　 　 第 16 题图 15. 中国人逢山开路,遇水架桥,靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹。 雅西高速是连接雅安和西昌的高 速公路,被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高 速公路之一,全长 240 km。 一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安,如图,线段 OM 表示货 车离西昌的距离 y1(km)与时间 x(h)之间的函数关系,线段 AN 表示轿车离西昌的距离 y2( km)与 时间 x(h)之间的函数关系,则货车出发 h 后与轿车相遇。 16. 如图,在正方形 ABCD 中,AB= 4,E 为边 AD 上的一动点,将△ABE 沿 BE 折叠,点 A 落在点 F 处,连 接 DF 并延长,与边 AB 交于点 G,若 G 为 AB 中点,则 AE= 。 三、解答题(本题共 10 小题,共计 86 分) 17. (6 分)计算:(π-2 024) 0 +4cos 45°+ - 1 2 - 8 。 18. (6 分)解不等式组: 2x<x+2, x≤ 5 3 (1+x), ì î í ï ï ïï 并写出其所有整数解。 19. (6 分)如图,在▱ABCD 中,E,G,H,F 分别是边 AB,BC,CD,DA 上的点,且 BE=DH,AF=CG。 求证: EF=HG。 20. (8 分)在综合与实践活动中,要利用测角仪测量塔的高度,如图,塔 AB 前有一座高为 DE 的观景 台,已知 CD= 8 m,CD 的坡度为 i= 1 ∶ 3 ,点 E,C,A 在同一条水平直线上。 某学习小组在观景台 C 处测得塔顶部 B 的仰角为 45°,在观景台 D 处测得塔顶部 B 的仰角为 27°。 (1)求 DE 的长; (2)求塔 AB 的高度。 (结果精确到 1 m。 参考数据:tan 27°≈0. 5, 3 ≈1. 7) 6 2024 年历城区学业水平第一次模拟试题 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 34 — — 35 — — 36 — 21. (8 分)某校开展“图书月”活动,为了解七年级学生的阅读情况,小华设计调查问卷,用随机抽样的 方式调查了部分学生,并对相关数据进行了收集、整理、描述和分析。 下面是其中的部分信息。 a. 将学生每天阅读时长数据分组整理,绘制了如下两幅不完整的统计图表。 七年级学生每天阅读时长情况统计表 组别 每天阅读时长(单位:分钟) 人数(单位:人) A 0≤x<30 8 B 30≤x<60 n C 60≤x<90 16 D 90≤x<120 8 　 七年级学生每天阅读时长情况扇形统计图 b. 每天阅读时长在 60≤x<90 的具体数据如下:60,60,66,68,69,69,70,70,72,73,73,73,80,83, 84,85。 根据以上信息,回答下列问题。 (1)表中 n= ,图中 m= ; (2)C 组数据对应扇形的圆心角是 °; (3)每天阅读时长在 60≤x<90 这组具体数据的中位数是 ,众数是 ; (4)各组每天平均阅读时长如下表, 组别 A 0≤x<30 B 30≤x<60 C 60≤x<90 D 90≤x<120 平均阅读时长 /分钟 20 45 75. 5 99 求被调查学生的平均阅读时长。 22. (8 分)如图,AB 是☉O 的直径,C 是☉O 上一点,过点 C 作☉O 的切线 CD,交 AB 的延长线于点 D, 过点 A 作 AE⊥CD 于点 E。 (1)若∠DAC= 25°,求∠EAC 的度数; (2)若 OB= 4,BD= 2,求 CE 的长。 23. (10 分)2023 年中国新能源汽车市场火爆,某汽车销售公司为抢占先机,计划购进一批新能源汽车 进行销售。 据了解,1 辆 A 型新能源汽车和 3 辆 B 型新能源汽车的进价共计 55 万元,4 辆 A 型新 能源汽车和 2 辆 B 型新能源汽车的进价共计 120 万元。 (1)A,B 型新能源汽车每辆进价分别是多少万元; (2)公司决定购买以上两种新能源汽车共 100 辆,总费用不超过 1 180 万元,该汽车销售公司销售 1 辆 A 型新能源汽车可获利 0. 9 万元,销售 1 辆 B 型新能源汽车可获利 0. 4 万元,若汽车全部销售 完毕,那么销售 A 型新能源汽车多少辆时获利最大? 最大利润是多少? 24. (10 分)如图,在平面直角坐标系中,直线 y= 2x+4 与函数 y = k x (x>0)的图象交于点 A(1,m),与 x 轴交于点 B。 (1)求 m,k 的值; (2)过动点 P(0,n)(n>0)作平行于 x 轴的直线,交直线 y= 2x+4 于点 C,交函数 y= k x (x>0)的图象 于点 D。 ①当 n= 2 时,求线段 CD 的长; ②若 CD≥2OB,结合函数的图象,直接写出 n 的取值范围。 25. (12 分)如图所示,在△ABC 中,∠ACB= 90°,AC=BC,若 D 是△ABC 内一点,将线段 CD 绕点 C 顺时 针旋转 90°得到 CE,连接 AD,BE。 (1)①如图 1,判断 AD 与 BE 的位置关系并给出证明; ②如图 2,连接 AE,BD,当 AE=AB 时,请直接用等式表示线段 BD 和 CD 的数量关系; (2)如图 3,O 是斜边 AB 的中点,M 为 BC 上方一点,且 CM 与斜边 AB 的交点在线段 OA 上,若 OM= 13 2 2 ,CM= 12 2 ,∠BMC= 45°,求 BM 的长。 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 26. (12 分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y = x2 +bx+c 的图象与 x 轴交于点 A( -1,0)和点 B (3,0),与 y 轴交于点 C。 (1)求二次函数的表达式; (2)如图,二次函数图象的顶点为点 N,对称轴与直线 BC 交于点 D,在直线 BC 下方抛物线上是否 存在一点 M(不与点 N 重合),使得 S△NDC = S△MDC? 若存在,请求出点 M 的坐标;若不存在,请说明 理由; (3) 将线段 AB 先向右平移一个单位长度,再向上平移 6 个单位长度,得到线段 EF,若抛物线 y=a(x2 +bx+c)(a≠0)与线段 EF 只有一个公共点,请直接写出 a 的取值范围。