5 2024年高新区学业水平第一次模拟试题-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东济南专版）

即 DE,BC 所在直线较小夹角的度数为 30°。 故答案为 30°。 图 1 　 　 　 图 2 (2)如图 2,延长 BA 和 FE 交于点 G。 ∵ AE∥BF,BF= 2AE,∴ AG BG = AE BF = 1 2 。 ∴ BG= 2AG。 ∴ AB=AG。 ∵ AB= 2,∴ AG= 2。 又∵ BH⊥GH, ∴ 点 H 在以点 A 为圆心,AB 长为半径的圆上。 ∴ 当点 A,H,C 共线时,CH 最小。 在 Rt△ABC 中,AC= AB2 +BC2 = 4。 ∴ CH 的最小值为 AC-AH= 4-2 = 2。 ∵ AC= 2AB,∠ABC= 90°,∴ ∠BAH= 60°。 ∵ AB=AH, ∴ △ABH 为等边三角形。 ∴ BH=AB= 2。 此时,∠HBF= 90°-60° = 30°。 ∴ BF= BH cos 30° = 4 3 3 <AD,符合题意。 ∴ BH= 2。 (3)如图 3,过点 B 作 BN⊥AB 于点 B,取 BN= 1,点 N 在 AB 上方,连接 EN,FN,过点 F 作 FG⊥AD 于 点 G。 图 3 ∵ D 为 AB 中点,∠ACB= 90°,∴ AD=CD=BD。 ∵ ∠CAD= 60°,∴ △ACD 为等边三角形。 ∴ ∠CDG= 60°,AD=CD=BD=AC= 3 。 ∴ DG= 1 2 DF=BE,FG= 3DG= 3BE。 ∴ GE=BD= 3 。 在△GEF 和△BNE 中,∠FGE= ∠EBN= 90°, FG EB =GE BN = 3 , ∴ △GEF∽△BNE。 ∴ ∠GEF= ∠BNE,EF NE = 3 。 ∴ EF= 3EN。 ∵ ∠BNE+∠BEN= 90°, ∴ ∠GEF+∠BEN= 90°。 ∴ ∠FEN= 90°。 ∴ FN= EF2 +EN2 = 2 3 3 EF。 ∴ AF+2 3 3 EF=AF+FN。 ∴ 当点 A,F,N 共线时 AF+2 3 3 EF 最小。 ∵ AN= BN2 +AB2 = 13 , ∴ AF+2 3 3 EF 的最小值为 13 。 5 2024 年高新区学业水平第一次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C C D D D B D B B 1. D　 【解析】小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高 比例相等,影子方向相反,且都远离路灯。 故选 D。 2. C　 【解析】0. 000 03 = 3×10-5。 故选 C。 3. C　 【解析】∵ ∠ABE = 160°,∠CDF = 150°,∴ ∠ABP = 180° - ∠ABE = 20°,∠CDP = 180° - ∠CDF = 30°。 ∵ AB∥CD∥MN,∴ ∠BPN = ∠ABP = 20°,∠DPN = ∠CDP= 30°。 ∴ ∠EPF = ∠BPN+∠DPN = 20° +30° = 50°。 故选 C。 4. D　 【解析】A. m+m= 2m≠m2,计算错误,不合题意; B. (-3m) 2 = (-3) 2·m2 = 9m2 ≠6m2,计算错误,不 合题意;C. (m+2n) 2 =m2 +4mn+4n2 ≠m2 +4n2,计算 错误,不合题意;D. (m+3n)(m-3n)= m2 -9n2,计算 正确,符合题意。 故选 D。 5. D　 【解析】由旋转的性质,可知只有 D 选项符合题 意。 故选 D。 6. D　 【解析】 1- 1 2-x = 2x x-2 ,两边同乘( x- 2),得( x- 2)+1 = 2x。 故选 D。 7. B　 【解析】由题,知 y = -5x+m, y= -x+n。{ 令- 5x+m = -x+n, 整理,得-4x=n-m。 解得 x = -n -m 4 。 将 x = -n -m 4 代 入 y= -x+n 中,解得 y = 5n -m 4 。 ∴ 两直线的交点坐 标为 ( - n-m4 , 5n-m 4 ) 。 ∵ 0 < m < n, ∴ n - m > 0。 ∴ -n -m 4 <0,5n -m 4 > 0。 ∴ 直线 y = - 5x +m 与直线 y= -x+n 的交点在第二象限。 故选 B。 8. D　 【解析】由题意,可知绿球与黑球的个数应相等, 也为 2x 个,列方程,可得 x+2x+2x = 10。 解得 x = 2。 故选 D。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —61— 9. B　 【解析】如图,过点 A 作 AH⊥BC 于点 H。 由作图痕迹可知, EF 垂直平分线段 AB。 ∴ EA = EB。 ∵ ∠B = 60°,∴ △ABE 是等边三 角形。 ∴ AB = BE = AE。 ∵ 四边形 ABCD 是平行四 边形,∴ AB = CD = 4。 ∴ BE = AB = 4。 ∵ AH⊥BE, ∴ BH = EH = 2。 ∴ AH = AB2 -BH2 = 42 -22 = 2 3。 ∵ BE ∶ EC= 2 ∶ 1,∴ EC= 2。 ∴ BC=BE+EC = 6。 ∴ S▱ABCD =BC·AH= 12 3。 故选 B。 10. B　 【解析】①由表格可知,函数的对称轴为 x = 1 2 (0+1)= 1 2 ,则- b 2a >0,∴ ab<0。 当 x = 0 时,y = c = -2,故 c< 0,故 abc> 0,故①错误,不符合题意; ②∵ x= -1 和 x = 2 关于函数的对称轴直线 x = 1 2 对称,∴ m= n。 故②正确,符合题意;③∵ 函数的 对称轴为 x = 1 2 ,∴ - b 2a = 1 2 。 ∴ b = -a。 ∵ 当 x = -2 时,y=ax2 +bx+c = t,∴ x = - 2 是 ax2 +bx+c = t 的 根。 将 x= -2 代入,得 4a-2b+c= t,∵ b= -a,c= -2, ∴ 4a+2a-2 = 6a-2 = t。 当 x = 3 时,ax2 +bx+c = 9a+ 3b+c= 9a-3a- 2 = 6a- 2 = t,∴ x = 3 是 ax2 +bx+c = t 的根。 故③正确,符合题意;④当 x=- 1 2 时,y= 1 4 a- 1 2 b-2>0,∵ b = -a,∴ 1 4 a+ 1 2 a-2>0。 解得 a> 8 3 。 故④错误,不符合题意。 故选 B。 11. x2 +x-6　 【解析】原式= x2 -2x+3x-6 = x2 +x-6。 12. 1 000　 【解析】设鱼塘中有鱼 x 条,根据题意,得 50 x = 5% 。 解得 x= 1 000。 经检验,x= 1 000 为原方 程的 解, 且 符 合 题 意。 所 以 估 计 鱼 塘 中 有 鱼 1 000 条。 13. x= 3　 【解析】将 x = 2 代入方程,得 4-10+2m = 0。 解得 m= 3。 ∴ 原方程为 x2 - 5x+ 6 = 0。 解这个方 程,得 x1 = 2,x2 = 3。 故另一根为 x= 3。 14. 12　 【解析】由题意,可得阴影部分是矩形,BE = 2, B′E= 1,∴ 阴影部分的长 EC = 6-2 = 4,宽 A′E = 4- 1 = 3。 ∴ 阴影部分的面积为 4×3 = 12。 15. 60 　 【解析】由图象可知,甲每天挖掘的长度为 (300-210)÷(60-30)= 3(m),∴ 乙每天挖掘的长 度为 210÷30- 3 = 4(m)。 ∵ 60×3-30×4 = 60(m), ∴ 甲组挖掘的总长度比乙组挖掘的总长度多 60 m。 16. 1　 【解析】如图,连接 A1B,BD。 ∵ F,G 分别为 A1C,BC 的中点, ∴ FG = 1 2 A1B。 ∴ 当 FG 最小 时,即 A1B 最小。 ∵ 四边形 ABCD 为矩形,AB = 4, BC = 3, ∴ AD = BC = 3, ∠A = 90°。 ∴ BD = AB2 +AD2 = 5。 ∵ △ADE 沿 DE 折叠,∴ A1D = AD = 3。 在△A1BD 中,∵ A1B+A1D≥BD,∴ A1B≥BD- A1D,即 A1B≥2。 ∴ FG = 1 2 A1B≥1。 ∴ FG 的最小 值为 1。 17.解:(-2 024) 0 + 4 -4sin 30°+ | -5 | = 1+2-4× 1 2 +5 = 1+2-2+5 = 6。 18.解: x-1 2 ≤ 2x-1 3 ,① 2+x<-x+6,② { 解不等式①,得 x≥-1。 解不等式②,得 x<2。 ∴ 不等式组的解集为-1≤x<2。 ∴ 不等式组的正整数解是 1。 19.证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB=CD,∠B= ∠D,AD=BC。 ∵ AE=CF, ∴ DE=BF。 在△ABF 和△CDE 中, AB=CD, ∠B= ∠D, BF=DE, { ∴ △ABF≌△CDE(SAS)。 ∴ ∠BAF= ∠DCE。 20.解:(1)如图 1,过点 O 作 EF⊥OM 于点 O,过点 A 作 AG⊥EF 于点 G。 ∵ AB= 6 米,OA ∶ OB= 2 ∶ 1, ∴ OA= 4 米,OB= 2 米。 ∵ ∠AOM= 127°,∠EOM= 90°, ∴ ∠AOE= 127°-90° = 37°。 在 Rt△AOG 中,AG=AO×sin 37°≈4×0. 6= 2. 4(米)。 点 A位于最高点时到地面的距离为2. 4+3=5. 4(米)。 答:点 A 位于最高点时到地面的距离为 5. 4 米。 图 1 　 　 图 2 (2)如图 2,过点 O 作 EF⊥OM,过点 B 作 BC⊥EF 于点 C,过点 B1 作 B1D⊥EF 于点 D。 ∵ ∠AOE= 37°, ∴ ∠BOC = ∠AOE = 37°,∠B1OD = ∠A1OE = 54. 5° - 37° = 17. 5°。 ∵ OB1 =OB= 2 米, ∴ 在 Rt △OBC 中,BC = sin 37° × OB ≈ 0. 6 × 2 = 1. 2(米)。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —71— 在 Rt△OB1D 中,B1D = sin 17. 5° ×OB1 ≈0. 3× 2 = 0. 6(米)。 ∴ BC+B1D= 1. 2+0. 6 = 1. 8(米)。 ∴ 此时水桶 B 上升的高度为 1. 8 米。 21.解:( 1) 男生成绩在 A 等级的有 40 - 15 - 6 - 3 = 16(人)。 男生成绩处在第 20,21 位的数为 47,47, ∴ a= (47+47)÷2 = 47。 女生成绩为 B 等级对应的扇形的圆心角为 360° × (1-40% -10% -5% )= 162°。 补全条形统计图如图。 故答案为 47,162°。 (2)女生的成绩较好,理由如下:女生的平均数、中 位数、众数都比男生高。 (3)∵ 女生 40 人中 A 等有 40×40% = 16 人, ∴ A 等占总人数的16 +16 40+40 ×100% = 40% 。 1 200×40% = 480(人)。 答:估计该年级所有参加体考的学生中,成绩为 A 等级的考生人数为 480。 22.解:(1)∵ AB 是半圆 O 的直径, ∴ ∠ACB= 90°。 ∵ CP 是半圆 O 的切线, ∴ ∠OCP= 90°。 ∴ ∠ACB= ∠OCP。 ∴ ∠ACO= ∠BCP。 ∵ ∠ABC= 2∠BCP, ∴ ∠ABC= 2∠ACO。 ∵ OA=OC, ∴ ∠ACO= ∠A。 ∴ ∠ABC= 2∠A。 ∵ ∠ABC+∠A= 90°, ∴ ∠A= 30°,∠ABC= 60°。 ∴ ∠ACO= ∠BCP= 30°。 ∴ ∠P= ∠ABC-∠BCP= 60°-30° = 30°。 (2)由(1),知∠A= 30°。 ∵ ∠ACB= 90°, ∴ BC= 1 2 AB= 2,AC= 3BC= 2 3 。 ∴ S△ABC = 1 2 BC·AC= 1 2 ×2×2 3 = 2 3 。 ∴ 阴影部分的面积是 1 2 π× AB 2( ) 2 -2 3 = 2π-2 3 。 23.解:(1)2 000 x 　 1 400 x+20 (2)根据题意,得2 000 x = 1 400 x+20 ×2。 解得 x= 50。 经检验,x= 50 是所列方程的解,且符合题意。 ∴ x+20 = 50+20 = 70。 答:甲种足球在此商场的销售单价为 50 元 /个,乙 种足球在此商场的销售单价为 70 元 /个。 (3)设这所学校可以购买 m 个乙种足球,则可以购 买(50-m)个甲种足球。 根据题意,得 50×(1+10%)(50-m)+70×(1-10%)m≤ 2 950。 解得 m≤25。 ∴ m 的最大值为 25。 答:这所学校最多可以购买 25 个乙种足球。 24. 解:(1)如图 1,过点 B 作 BN⊥AC 于点 N,交 DE 于 点 M。 　 　 图 1 设 DE= x,则 DG=MN= x。 ∵ S△ABC = 1. 5 m2 , AB= 1. 5 m, ∴ 1 2 ×1. 5×BC= 1. 5。 ∴ BC= 2 m。 ∴ AC= AB2 +BC2 = 2. 5 m。 ∴ 1 2 ×AC×BN= 1. 5。 ∴ BN= 1. 2 m。 ∴ BM=BN-MN= (1. 2-x)m。 ∵ DE∥AC,∴ △BDE∽△BAC。 ∴ DE AC =BM BN 。 ∴ x 2. 5 = 1. 2-x 1. 2 。 ∴ x= 30 37 。 故答案为 30 37 。 (2)①当 a= 1 2 时, y= 1 2 + 3 1 2 = 1 2 +6 = 6 1 2 。 故答案为 6 1 2 。 　 　 图 2 ②如图 2。 ③由图象,知当 a>1 时,y 的值 随 a 值的增大先减小后增大, ∴ A 选项的结论不正确; 由图象,知该函数的图象不可 能与坐标轴相交, ∴ B 选项的结论不正确; 由图象,知该函数的图象不是 轴对称图形, ∴ C 选项的结论不正确; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —81— 由图象,知当该函数取最小值时,所对应的自变量 a 的取值范围在 1-2 之间, ∴ D 选项的结论正确。 故答案为 D。 25.解:(1)∵ 四边形 AEFG 和四边形 ABCD 是正方形, ∴ AC= 2AD,AF= 2AG。 ∴ AC-AF= 2 (AD-AG),即 CF= 2DG。 故答案为 CF= 2DG。 (2)CF= 2DG,理由如下: 如图 1,连接 AF,AC。 ∵ 四边形 AEFG 和四边形 ABCD 是正方形, 　 　 图 1 ∴ ∠CAD = ∠FAG = 45°, AC AD = AF AG = 2 。 ∴ ∠CAF= ∠DAG。 ∴ △CAF∽△DAG。 ∴ CF DG = AC AD = 2 。 ∴ CF= 2DG。 (3)画出图形如图 2。 　 　 图 2 随着 α 的变化,CF 与 DG 之 间的数量关系不变化,理由 如下: 如图 2,把△DAG 绕着点 D 逆 时针旋转 120° 得到 △DCH, 连接 GH,过点 D 作 DN⊥GH 于点 N。 由旋转可得,AG = CH,∠AGD = ∠CHD。 ∵ 四边形 AEFG 是菱形,∠DAB= 60° = ∠GAE, ∴ AG=FG,∠AGF= 120°。 ∴ CH=GF。 ∵ ∠GDH= ∠ADC= 120°,DG=DH,DN⊥HG, ∴ ∠DGH= ∠DHG= 30°,GN=NH。 ∴ DG= 2DN,GN= 3DN,GH= 2GN。 ∴ GH= 2 3DN= 3DG。 ∵ ∠CHG= ∠CHD-∠DHG= ∠CHD-30°, ∠HGF = 360° - ∠AGF - ∠AGD - ∠DGH = 360° - 120°-∠AGD-30° = 210°-∠AGD, ∴ ∠CHG+∠HGF= ∠CHD-30°+210°-∠AGD。 ∵ ∠CHD= ∠AGD, ∴ ∠CHG+∠HGF= 180°。 ∴ CH∥GF。 ∴ 四边形 CHGF 是平行四边形。 ∴ CF=HG。 ∴ CF= 3DG。 ∴ 随着 α 的变化,CF 与 DG 之间的数量关系不 变化。 26.解:(1)∵ 抛物线与 x 轴相交于 A( -1,0),B(3,0) 两点,与 y 轴相交于点 C(0,-3), ∴ 设抛物线的表达式为 y=a(x+1)(x-3)。 把点 C(0,-3)代入,得-3 =a(0+1)(0-3)。 ∴ a= 1。 ∴ y= (x+1)(x-3)= x2 -2x-3。 (2)点 A′不在抛物线上。 理由如下: 如图,过点 A′作 A′D⊥y 轴。 ∴ ∠AOC= ∠CDA′= 90°。 ∵ 线段 CA 绕点 C 顺时针旋 转 90°得到 CA′, ∴ AC=A′C,∠ACA′= 90°。 ∴ ∠ACO = 90°-∠CAO = 90°- ∠A′CD= ∠CA′D。 ∴ △ACO≌△CA′D(AAS)。 ∴ AO=CD,CO=A′D。 ∵ 点 A(-1,0),C(0,-3), ∴ AO=CD= 1,CO=A′D= 3。 ∴ OD=OC-CD= 2。 ∴ 点 A′(3,-2)。 ∵ 在 y= x2 -2x-3 中,当 x= 3 时,y= 32 -2×3-3 = 0, ∴ 点 A′(3,-2)不在抛物线上。 (3)∵ 点 B(3,0),C(0,-3), ∴ 设直线 BC:y= kx-3。 将点 B(3,0)代入, 得 k= 1。 ∴ y= x-3。 设点 P 的坐标为(m,m2 -2m-3),则点 M 的坐标为 (m,m-3),点 H 的坐标为(m,0)。 ∴ PM=(m-3)-(m2-2m-3)= -m2+3m,BH=3-m。 ∴ PM+2BH = ( -m2 + 3m) + 2(3-m) = -m2 +m+ 6 = - (m- 12 ) 2 +25 4 。 ∵ -1<0,∴ 此抛物线开口向下。 ∴ 当 m= 1 2 时,PM+2BH 有最大值,最大值为25 4 。 (4)∵ 点 P(m,m2-2m-3),M(m,m-3),C(0,-3), ∴ PM=m-3-m2 +2m+3 = -m2 +3m,CM2 =m2 +[m- 3-(-3)] 2 = 2m2 ,CP2 =m2 +(m2 -2m) 2 。 当△PMC 是等腰三角形时,分三种情况: ①PM=CM 时,则(-m2 +3m) 2 = 2m2 , 解得 m= 3+ 2 (舍)或 0(舍)或 3- 2 。 ②PM=CP 时,则(-m2 +3m) 2 =m2 +(m2 -2m) 2 , 解得 m= 0(舍)或 2。 ③CM=CP 时,则 2m2 =m2 +(m2 -2m) 2 , 解得 m= 0(舍)或 3(舍)或 1。 综上 m= 1 或 2 或 3- 2 。 6 2024 年历城区学业水平第一次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C B D C C A D A D 1. D　 【解析】圆锥的主视图是等腰三角形,俯视图是 带圆心的圆,故 A 选项不合题意;圆柱主视图是矩 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —91— — 25 — — 26 — — 27 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　第Ⅰ卷(选择题　 共 40 分) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分。 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. 下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片,其中合理的是 (　 　 ) A. B. C. D. 2. “燕山雪花大如席,片片吹落轩辕台。”这是诗仙李白眼里的雪花。 单个雪花的重量其实很轻,只有 0. 000 03 kg 左右,0. 000 03 用科学记数法可表示为 (　 　 ) A. 0. 33×10-4 B. 3×10-4 C. 3×10-5 D. 30×10-5 3. 如图,平行于主光轴 MN 的光线 AB 和 CD 经过凹透镜的折射后,折射光线 BE,DF 的反向延长线交 于主光轴 MN 上一点 P。 若∠ABE= 160°,∠CDF= 150°,则∠EPF 的度数是 (　 　 ) A. 20° B. 30° C. 50° D. 70° 第 3 题图 　 　 三角形标志 第 5 题图 4. 下列式子计算正确的是 (　 　 ) A. m+m=m2 B. ( -3m) 2 = 6m2 C. (m+2n) 2 =m2 +4n2 D. (m+3n)(m-3n)= m2 -9n2 5. 如图,在平面内将三角形标志绕其中心旋转 180°后得到的图案是 (　 　 ) A. B. C. D. 6. 解分式方程 1- 1 2-x = 2x x-2 ,去分母后得到的方程正确的是 (　 　 ) A. 1-(2-x)= -2x B. (2-x) +1 = 2x C. (x-2) -1 = 2x D. (x-2) +1 = 2x 7. 若 0<m<n,则直线 y= -5x+m 与直线 y= -x+n 的交点在 (　 　 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 某口袋中有 10 个球,其中白球 x 个,绿球 2x 个,其余为黑球。 甲从袋中任意摸出一个球,若为绿球, 则甲获胜,然后将甲摸出的球放回袋中;乙从袋中摸出一个球,若为黑球,则乙获胜。 要使游戏对甲、 乙双方公平,则 x 应该是 (　 　 ) A. 3 B. 4 C. 1 D. 2 9. 如图,在▱ABCD 中,CD= 4,∠B= 60°,BE ∶ EC= 2 ∶ 1,依据尺规作图的痕迹,则平行四边形 ABCD 的 面积为 (　 　 ) A. 12 5 B. 12 3 C. 12 2 D. 12 10. 二次函数 y=ax2 +bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如表: x … -2 -1 0 1 2 … y=ax2 +bx+c … t m -2 -2 n … 且当 x= - 1 2 时,与其对应的函数值 y>0,有下列结论: ①abc<0;②m=n;③x= -2 和 x= 3 是关于 x 的方程 ax2 +bx+c= t 的两个根;④a< 8 3 。 其中,正确结论的个数是 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷(非选择题　 共 110 分) 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. 计算:(x+3)(x-2)= 。 12. 为了估计鱼塘中鱼的数量,养鱼者先从鱼塘中捕获 50 条鱼,在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼 放归鱼塘,再从鱼塘中打捞鱼。 通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在 5% 左右, 则鱼塘中估计有鱼 条。 13. 已知一元二次方程 x2 -5x+2m= 0 有一个根为 x= 2,则另一根为 。 14. 如图,将长为 6、宽为 4 的长方形 ABCD 先向右平移 2 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到 长方形 A′B′C′D′,则阴影部分的面积为 。 第 14 题图 　 第 15 题图 　 第 16 题图 15. 甲、乙两个工程组同时挖掘成渝高铁某段隧道,两组每天挖掘长度均保持不变,合作一段时间后,乙 组因维修设备而停工,甲组单独完成了剩下的任务,甲、乙两组挖掘的长度之和 y(m)与甲组挖掘时 间 x(天)之间的关系如图所示,则甲组挖掘的总长度比乙组挖掘的总长度多 m。 16. 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 4,BC= 3,E 为 AB 上一点,连接 DE,将△ADE 沿 DE 折叠,点 A 落在 A1 处,连接 A1C,若 F,G 分别为 A1C,BC 的中点,则 FG 的最小值为 。 三、解答题(本大题共 10 个小题,共 86 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (6 分)计算:( -2 024) 0 + 4 -4sin 30°+ | -5 | 。 18. (6 分)求不等式组 x-1 2 ≤2x -1 3 , 2+x<-x+6 ì î í ï ï ïï 的正整数解。 19. (6 分)如图,点 E,F 分别在▱ABCD 的边 AD 和 BC 上,且 AE=CF。 求证:∠BAF= ∠DCE。 20. (8 分)桔槔俗称“吊杆”“称杆”(如图 1),是我国古代农用工具,始见于《墨子·备城门》一书,是一 种利用杠杆原理的取水机械。 如图 2 是桔槔示意图,OM 是垂直于水平地面的支撑杆,OM = 3 米, AB 是杠杆,且 AB= 6 米,OA ∶ OB= 2 ∶ 1。 当点 A 位于最高点时,∠AOM= 127°。 (1)求点 A 位于最高点时到地面的距离; (2)当点 A 从最高点逆时针旋转 54. 5°到达最低点 A1 时,求此时水桶 B 上升的高度。 (参考数据:sin 37°≈0. 6,sin 17. 5°≈0. 3,tan 37°≈0. 8) 图 1 　 　 图 2 21. (8 分)某校初三年级一共有 1 200 名学生,某一次体育测试后,彭老师为了了解本校初三学生体考 成绩的大致情况,随机抽取了男、女各 40 名考生的体考成绩,并将数据进行整理分析,给出了下面 部分信息: 数据分为 A,B,C,D 四个等级,分别是 A:49≤x≤50,B:45≤x<49,C:40≤x<45,D:0≤x<40。 40 名男生成绩的条形统计图以及 40 名女生成绩的扇形统计图如图。 40 名男生和 40 名女生成绩的平均数、中位数、众数如下表: 性别 平均数 中位数 众数 男生 48 a 47 女生 48. 5 48 47. 5 5 2024 年高新区学业水平第一次模拟试题 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 28 — — 29 — — 30 — 男生成绩在 B 组的考生的分数为 45,45,46,46,46. 5,46. 5,47,47,47,47,47,47,48,48,48. 5; 根据以上信息,解答下列问题: (1)填空:a= ,女生成绩为 B 等级对应的扇形的圆心角为 ,并补全条形统计图; (2)根据以上数据,你认为在此次测试中,男生成绩好还是女生成绩好? 请说明理由; (3)请估计该年级所有参加体考的学生中,成绩为 A 等级的考生人数。 抽取的初三男生体考成绩条形统计图 　 　 抽取的初三女生体考成绩扇形统计图 22. (8 分)如图,C 是圆 O 被直径 AB 分成的半圆上一点,过点 C 作圆 O 的切线交 AB 的延长线于点 P, 连接 CA,CO,CB。 (1)若∠ABC= 2∠BCP,求∠P 的度数; (2)在(1)的条件下,若 AB= 4,求图中阴影部分的面积(结果保留 π 和根号)。 23. (10 分)学校在某商场购买甲、乙两种不同类型的足球,相关信息如下表: 甲种足球 购买费用:2 000 元 单价:x 元 /个 数量: 个 　 　 　 　 乙种足球 购买费用:1 400 元 单价:(x+20)元 /个 数量: 个 (1)在上表中用含 x 的代数式分别表示购买甲、乙两种足球的数量; (2)若本次购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的 2 倍,求甲、乙两种足球在此商场的销售 单价; (3)为满足学生需求,这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共 50 个。 恰逢该商场对两种足球的 销售单价进行调整,甲种足球的销售单价比上次购买时提高了 10% ,乙种足球的销售单价比上次购 买时降低了 10% 。 如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过 2 950 元,求这所学校最多可以购 买乙种足球的数量。 24. (10 分)【综合与实践】北师大版九年级上册数学教材第 122 页第 21 题:“怎样把一块三角形的木板 加工成一个面积最大的正方形桌面?”某小组同学对此展开了思考。 【特例感知】(1)若木板的形状是如图甲所示的直角三角形,S△ABC = 1. 5 m2,AB = 1. 5 m,根据“相似 三角形对应的高的比等于相似比”可以求得此时正方形 DEFG 的边长是 。 【问题解决】若木板是面积仍然为 1. 5 m2 的锐角三角形 ABC,按照如图乙所示的方式加工,记所得 的正方形 DEFG 的面积为 S,如何求 S 的最大值呢? 某学习小组做了如下思考: 设 DE= x,AC=a,AC 边上的高 BH=h,则 S△ABC = 1 2 ah,∴ h= 3 a 。 由△BDE∽△BAC,得BM BH =DE AC ,从而 可以求得 x= 2S△ABC a+h 。 若要内接正方形的面积 S 最大,也就是求 x 的最大值。 因为 S△ABC = 1. 5 为定 值,因此只需要分母最小即可。 (2)小组同学借鉴研究函数的经验,令 y=a+h=a+ 3 a (a>0)。 探索函数 y=a+ 3 a 的图象和性质: ①下表列出了 y 与 a 的几组对应值,其中 m= ; a … 1 4 1 3 1 2 1 3 2 2 3 4 … y … 12 1 4 9 1 3 m 4 3 1 2 3 1 2 4 4 3 4 … ②在如图丙所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象; ③结合表格观察函数 y=a+ 3 a 图象,以下说法正确的是 。 A. 当 a>1 时,y 的值随 a 值的增大而增大 B. 该函数的图象可能与坐标轴相交 C. 该函数图象关于直线 y=a 对称 D. 当该函数取最小值时,所对应的自变量 a 的取值范围在 1-2 之间 甲 　 　 乙 　 　 丙 25. (12 分)【问题发现】 (1)如图 1,已知正方形 ABCD 和正方形 AEFG,直接写出 CF 与 DG 之间的数量关系: 　 。 【拓展探究】 (2)将正方形 AEFG 绕点 A 顺时针旋转到图 2 所示的位置,连接 DG,CF,试猜想 CF 与 DG 之间的数 量关系,并说明理由。 【类比迁移】 (3)如图 3,已知菱形 ABCD 和菱形 AEFG,∠DAB= 60°,将菱形 AEFG 绕点 A 顺时针旋转 α(0°<α≤ 90°),连接 DG,CF,请在备用图中画出草图,判定 CF 与 DG 之间的数量关系是否随着 α 的变化而变 化,并说明理由。 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 　 　 备用图 26. (12 分)如图,已知二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象与 x 轴相交于 A( -1,0),B(3,0)两点,与 y 轴相交 于点 C(0,-3),P 是第四象限内这个二次函数图象上的一个动点,设点 P 的横坐标为 m,过点 P 作 PH⊥x 轴于点 H,与 BC 交于点 M。 (1)求这个二次函数的表达式; (2)将线段 CA 绕点 C 顺时针旋转 90°,点 A 的对应点为 A′,判断点 A′是否落在抛物线上,并说明 理由; (3)求 PM+2BH 的最大值; (4)如果△PMC 是等腰三角形,直接写出点 P 的横坐标 m 的值。