4 2024年市中区学业水平第一次模拟试题-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东济南专版）

— 19 — — 20 — — 21 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分。 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. 下列几何体中,俯视图是三角形的是 (　 　 ) A. B. C. D. 2. 据有关部门统计,2023 年春节假期期间,济南累计接待游客 4 705 000 人次,将数字 4 705 000 用科学 记数法表示为 (　 　 ) A. 4. 705×107 B. 0. 470 5×107 C. 4. 705×106 D. 47. 05×106 3. 如图,直线 l1∥l2,且分别与直线 l 交于点 A,B,把一块含 30°角的三角尺按如图所示的位置摆放。 若 ∠1 = 50°,则∠2 的度数是 (　 　 ) A. 130° B. 100° C. 90° D. 70° 第 3 题图 　 　 第 4 题图 4. 有理数 a,b 在数轴上对应的点的位置如图所示,则下列各式成立的是 (　 　 ) A. a+b>0 B. a+2>b+2 C. -2a>-2b D. ab>0 5. 中国传统纹样产生于人民,寄寓着花好月圆的愿景,寄托着平安康乐的期盼。 如图四幅传统纹样中, 既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (　 　 ) A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是 (　 　 ) A. a2 +2a2 = 3a4 B. (2a2) 3 = 8a6 C. a3·a2 =a6 D. (a-b) 2 =a2 -b2 7. 若点 A( -1,y1),B(2,y2),C(4,y3)在反比例函数 y= k x (k>0)的图象上,则 y1,y2,y3 的大小关系是 (　 　 ) A. y2 >y3 >y1 B. y3 >y2 >y1 C. y1 >y2 >y3 D. y1 >y3 >y2 8. 我校举办“校园好声音”比赛,决定从两名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出 专场的主持人,则选出的同学恰为一男一女的概率是 (　 　 ) A. 3 4 B. 7 12 C. 1 2 D. 2 3 9. 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠B = 36°。 分别以点 A,C 为圆心,大于 1 2 AC 的长为半径作弧,两弧相交 于点 D,E,作直线 DE 分别交 AC,BC 于点 F,G。 以点 G 为圆心,GC 长为半径作弧,交 BC 于点 H,连 接 AG,AH。 则下列说法错误的是 (　 　 ) A. AG=CG B. AH= 2FG C. ∠B= 2∠HAB D. S△AGB S△AGC = 5 -1 10. 定义:平面内任意两点 P(x1,y1),Q(x2,y2),dPQ = | x1 -x2 | + | y1 -y2 | 称为这两点之间的曼哈顿距离, 例如点 P(1,2),Q(3,-4),dPQ = | x1 -x2 | + | y1 -y2 | = | 1-3 | + | 2-( -4) | = 2+6 = 8。 若 A 为抛物线 y= x2 上的动点,B 为直线 y= 1 2 x+b 上的动点,并且抛物线与直线没有交点,dAB 的最小值为 1,则 b 的 值为 (　 　 ) A. - 1 16 B. -15 16 C. -1 D. -17 16 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分。 填空题请直接填写答案) 11. 因式分解:a2 +8a+16 = 。 12. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共 20 个,这些球除颜色外都相同。 小明通过多次试验发现, 摸出红球的频率稳定在 0. 25 左右,则袋子中黄球可能有 个。 13. 代数式 2 x+2 与代数式 5 3x-5 的值相等,则 x= 。 14. 如图,正五边形 ABCDE 的边长为 2,以 CD 为边作正方形 CDFG,以 C 为圆心、长度 2 为半径作弧 BG,则图中阴影部分的面积为 (结果保留 π)。 第 14 题图 　 　 　 第 15 题图 　 　 　 第 16 题图 15. A,B 两地相距 60 km,甲、乙两人骑车分别从 A,B 两地同时出发,相向而行,匀速行驶。 乙在途中休 息了 0. 5 h 后按原速度继续前进。 两人到 A 地的距离 s(km)和时间 t(h)的关系如图所示,则出发 h 后,两人相遇。 16. 如图,在▱ABCD 中,∠B= 60°,AD = 2AB = 4,E,F 分别为边 AD,BC 上两点,连接 EF,将▱ABCD 沿 EF 翻折,点 A,B 的对应点分别为 A′,B′,点 C 在直线 A′B′上,且 A′E⊥AD,则 AE= 。 三、解答题(本大题共 10 个小题,共 86 分。 解答题请写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (6 分)计算: 4 -2cos 60°+ ( 13 ) -1 +(π-2 024) 0。 18. (6 分)解不等式组 2(x+1)≥3x+1,① x 2 >x -1 3 ,② ì î í ï ï ï ï 并写出它的所有整数解。 19. (6 分)如图,在菱形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 CD,AD 上,AF=CE。 求证:AE=CF。 20. (8 分)某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时,一曲臂杆 OA 绕点 O 匀速旋转,另一曲臂杆 AB 始 终保持与地面平行。 如图 1 是曲臂直杆道闸关闭时的示意图,此时点 O,A,B 在一条直线上。 已知 闸机高度 CD 为 1. 2 m,OA=AB= 1. 5 m,OD= 0. 2 m,入口宽度为 3 m。 (1)如图 2,因机器故障,曲臂杆 OA 最多可旋转 72°,求此时点 A 到地面的距离;(结果精确到 0. 1 m,参考数据:sin 72°≈0. 95,cos 72°≈0. 3,tan 72°≈3) (2)在(1)的条件下,一辆宽为 2. 58 m,高为 2. 2 m 的货车可否顺利通过入口? 请说明理由。 　 　 　 图 1 　 　 　 图 2 4 2024 年市中区学业水平第一次模拟试题 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 22 — — 23 — — 24 — 21. (8 分)2023 年 10 月 26 日 11 时 14 分,神舟十七号载人飞船成功发射,中国载人航天与空间站建设 迎来全新的发展阶段。 为了弘扬航天精神,某中学开展了航天知识竞答活动,学校随机抽取了七年 级的部分学生的成绩进行整理。 数据分成五组,A 组:50≤x<60;B 组:60≤x<70;C 组:70≤x<80; D 组:80≤x<90;E 组:90≤x≤100。 已知 C 组的数据为 70,71,72,72,72,74,75,76,76,77,77,79。 根据以上数据,我们绘制了频数直方图和扇形统计图。 根据以上信息,解答下列问题: (1)本次随机抽查了 名学生,并补全频数直方图; (2)扇形统计图中,A 组所在扇形的圆心角为 °; (3)抽取的七年级的部分学生的成绩的中位数是 分; (4)该校要对成绩为 E 组的学生进行奖励,按成绩从高分到低分设一、二等奖,并且一、二等奖的人 数比例为 2 ∶ 8,请你估计该校 1 500 名学生中获得一等奖的学生人数。 　 　 22. (8 分)如图,△ABC 是☉O 的内接三角形,过点 C 作☉O 的切线交 BA 的延长线于点 F,AE 是☉O 的直径,连接 EC。 (1)求证:∠ACF= ∠E; (2)若 FC= 4,FA= 2,求 AB 的长度。 23. (10 分)“双减”政策受到各地教育部门的积极响应,学校为增加学生的课外活动实践,现决定增购 两种体育器材:购买 3 件 A 种器材,4 件 B 种器材需要 180 元,购买 4 件 A 种器材,3 件 B 种器材需 要 170 元。 (1)购买一件 A 种器材和一件 B 种器材各需要多少元? (2)今年计划购买 A,B 两种体育器材共 40 件,且 A 种器材的数量不超过 B 种器材数量的 3 倍,那 么购买 A 种器材和 B 种器材各多少件时花费最少? 最少花费为多少元? 24. (10 分)如图,直线 y1 =ax+4 经过点 A(2,0),交反比例函数 y2 = k x 的图象于点 B( -1,m),P 为第二 象限内反比例函数图象上的一个动点。 (1)求反比例函数 y2 的表达式; (2)过点 P 作 PC∥x 轴交直线 AB 于点 C,连接 AP,BP,若△ACP 的面积是△BPC 面积的 2 倍,请求 出点 P 的坐标; (3)平面上任意一点 Q(x,y),沿射线 BA 方向平移 5 个单位长度得到点 Q′,点 Q′恰好在反比例函 数 y2 = k x 的图象上。 ①请写出点 Q 纵坐标 y 关于点 Q 横坐标 x 的函数关系式:y3 = ; ②定义 min{a,b} = a(a≤b) b(a>b){ ,则函数 Y= min{y1,y3}的最大值为 。 　 　 备用图 25. (12 分)如图 1,抛物线 C1:y= - 1 2 x2 +bx+c 与 x 轴交于点 A(3,0),B,与 y 轴交于点 C(0,3)。 (1)求抛物线 C1 表达式; (2)连接 AC,D 为抛物线 C1 在第一象限部分上的点,作 ED∥x 轴交 AC 于点 E,若 DE= 1,求 D 点的 横坐标; (3)如图 2,将抛物线 C1 平移,使得其顶点与原点重合,得到抛物线 C2,过点 F(0,-1)作不与 x 轴平 行的直线交 C2 于 M,N 两点。 在 y 轴正半轴上是否存在点 P,满足对任意的点 M,N 都有直线 PM 和 PN 关于 y 轴对称? 若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由。 图 1 　 　 图 2 26. (12 分)实践与探究。 【问题情境】 (1)①如图 1,在 Rt△ABC 中,∠B = 90°,∠A = 60°,D,E 分别为边 AB,AC 上的点,DE∥BC,且 BC = 2DE,则AD AB = 。 ②如图 2, 将 ① 中的 △ADE 绕点 A 顺时针旋转 30°, 则 DE, BC 所在直线较小夹角的度数 为 。 【探究实践】 (2)如图 3,在矩形 ABCD 中,AB= 2,AD= 2 3 ,E 为边 AD 上的动点,F 为边 BC 上的动点,BF= 2AE, 连接 EF,作 BH⊥EF 于点 H,连接 CH。 当 CH 的长度最小时,求 BH 的长。 【拓展应用】 (3)如图 4,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,∠CAB = 60°,AC = 3 ,D 为 AB 中点,连接 CD,E,F 分别为 线段 BD,CD 上的动点,且 DF= 2BE。 请直接写出 AF+2 3 3 EF 的最小值。 图 1 　 图 2 　 图 3 　 图 4 ∴ NP CB =NQ CO =PQ BO 。 ∵ OB= 8,OC= 6, ∴ BC= 10。 ∴ NQ= 3 5 NP,PQ= 4 5 NP。 ∵ EN⊥y 轴,∴ EN∥x 轴。 ∴ △CNE∽△CBO。 ∴ CN CB =EN OB ,即CN 10 = m 8 。 ∴ CN= 5 4 m。 ∴ CQ+ 1 2 PQ=CN+NQ+ 1 2 PQ=CN+ 3 5 NP+ 1 2 × 4 5 NP =CN + NP = 5 4 m - 1 4 m2 + 2m = - 1 4 m2 + 13 4 m = - 1 4 m- 13 2( ) 2 +169 16 。 ∴ 当 m= 13 2 时,CQ+ 1 2 PQ 的最大值为169 16 。 4 2024 年市中区学业水平第一次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C B C A B A D D D 1. B　 【解析】A. 球的俯视图是圆,故本选项不符合题 意;B. 该三棱柱的俯视图是三角形,故本选项符合 题意;C. 该圆锥的俯视图是带圆心的圆,故本选项 不符合题意;D. 该圆柱的俯视图是圆,故本选项不 符合题意。 故选 B。 2. C　 【解析】4 705 000 = 4. 705×106。 故选 C。 3. B　 【解析】标注各角如图, ∵ 直线 l1 ∥l2,∴ ∠1 = ∠3。 ∵ ∠1 = 50°,∴ ∠3 = 50°。 由题意,知∠4 = 30°,∴ ∠2 = 180° -∠3-∠4 = 180°-50°-30° = 100°。 故选 B。 4. C　 【解析】观察数轴,可知-2<a<-1,0<b<1, |a | > |b |, ∴ a<b,a+b<0。 ∴ a+2<b+2,ab<0,-2a>-2b。 ∴ A, B,D 选项错误,C 选项正确。 故选 C。 5. A　 【解析】A. 该图形既是轴对称图形又是中心对 称图形,故此选项符合题意;B. 该图形不是轴对称 图形,是中心对称图形,故此选项不合题意;C. 该图 形既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此 选项不合题意;D. 该图形是轴对称图形,不是中心 对称图形,故此选项不合题意。 故选 A。 6. B　 【解析】A. 因为 a2 +2a2 = 3a2,故此选项不符合题 意;B. 因为(2a2) 3 = 8a6,故此选项符合题意;C. 因为 a2·a3 =a2+3 =a5,故此选项不符合题意;D. 因为(a- b) 2 =a2 -2ab+b2,故此选项不符合题意。 故选 B。 7. A　 【解析】∵ 点 A(-1,y1),B(2,y2),C(4,y3)在反 比例函数 y = k x (k> 0)的图象上,取 k = 4,∴ 当 x = -1 时,y1 = 4 -1 = - 4;当 x = 2 时,y2 = 4 2 = 2;当 x = 4 时,y3 = 4 4 = 1。 ∴ y2 >y3 >y1。 故选 A。 8. D　 【解析】根据题意,画图如下, 共有 12 种等可能的情况,其中选出的同学恰为一 男一女的情况有 8 种,则选出的同学恰为一男一女 的概率是 8 12 = 2 3 。 故选 D。 9. D　 【解析】由作法,得 DE 垂直平分 AC,GH = GC, ∴ AF=CF,GF⊥AC,GC = GA。 所以 A 选项正确,不 符合题意;∵ CG =GH,CF = AF,∴ FG 为△ACH 的中 位线。 ∴ 2FG=AH。 所以 B 选项正确,不符合题意; ∵ FG 为△ACH 的中位线,∴ FG∥AH。 ∵ FG⊥AC, ∴ AH⊥AC。 ∴ ∠CAH = 90°。 ∵ AB = AC,∴ ∠C = ∠B = 36°。 ∴ ∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 108°。 ∴ ∠HAB= ∠BAC-∠CAH = 108° -90° = 18°。 ∴ ∠B = 2∠HAB。 所以 C 选项正确,不符合题意;∵ GC = GA,∴ ∠C= ∠GAC = 36°。 ∴ ∠BGA = ∠C+∠GAC = 72°。 ∴ ∠BAG = 180° - ∠B- ∠BGA = 72°。 ∴ BG = BA。 ∴ AB = GB = AC。 ∵ ∠GCA = ∠ACB,∠CAG = ∠B,∴ △CAG∽△CBA。 ∴ CG CA = CA CB 。 ∴ CA2 = CG· CB。 设 BC= x,AB=GB=AC=a,则 a2 =(x-a)x,解得 x= 1 + 5 2 a(负值舍去)。 ∴ BC = 1 + 5 2 a。 ∴ CG = BC-BG= 1 + 5 2 a-a= 5 -1 2 a。 ∴ BG CG = a 5 -1 2 a = 5 +1 2 。 ∵ △AGB 与△AGC 同高,∴ S△AGB S△AGC = BG CG = 5 +1 2 。 所 以 D 选项错误,符合题意。 故选 D。 10. D　 【解析】由题意,设 A 点坐标为(m,m2),B 点坐 标为 ( n, 12 n+b ) ,∴ dAB = | m-n | + m 2 - 1 2 n-b 。 ∵ 抛物线与直线没有交点,dAB 的最小值为 1,∴ 当 A,B 两点横坐标(或纵坐标)相等时,dAB 取得最小 值,此时 m=n(或 n = 2m2 - 26)。 此时 dAB = m 2 - 1 2 m-b = (m- 14 ) 2 - 1 16 -b 。 ∵ dAB 的最小值 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —21— 为 1,∴ (m- 14 ) 2 - 1 16 -b=1 或-1。 令 y= (m- 14 ) 2 - 1 16 -b,此时抛物线开口向上,ymin =- 1 16 -b。 ∴ - 1 16 -b = 1 或-1。 ∴ b= - 17 16 或 15 16 。 ∵ 抛物线与直线没有 交点,则方程 x2 = 1 2 x+b,即 x2 - 1 2 x-b = 0 无实数 根,∴ Δ= ( - 12 ) 2 + 4b< 0。 ∴ b<- 1 16 。 ∴ b = - 17 16 。 故选 D。 11. (a+4) 2 　 【解析】原式=(a+4) 2。 12. 15　 【解析】设袋子中黄球有 x 个, x 20 = 1-0. 25,解 得 x= 15,即袋子中黄球可能有 15 个。 13. 20　 【解析】根据题意,得 2 x+2 = 5 3x-5 。 方程两边都 乘(x+2)(3x-5),得2(3x-5)= 5(x+2)。 解这个方程, 得 x=20。 检验:当 x=20 时,(x+2)(3x-5)≠0。 所以 分式方程的解是 x= 20。 14. π 5 　 【解析 】 ∵ 五 边 形 ABCDE 是 正 五 边 形, ∴ ∠BCD= 180° ×(5-2) 5 = 108°。 ∵ 四边形 CDFG 是正方形,∴ ∠GCD = 90°。 ∴ ∠BCG = ∠BCD - ∠GCD = 18°。 ∵ BC = 2, ∴ 阴影部分的面积 = 18π×22 360 = π 5 。 15. 2. 1 　 【解析】根据图象,可知乙的速度为 ( 60 - 40)÷1 = 20( km / h),甲的速度为(20 - 0) ÷ 1. 5 = 40 3 (km / h),设出发 x h 后两人相遇,根据题意,得 20(x-0. 5)+40 3 x = 60,解得 x = 2. 1。 ∴ 出发 2. 1 h 后两人相遇。 16. 3 3 -3　 【解析】如图,设 A′E 交 BC 于点 H,过点 A 作 AG⊥BC 于点 G,则∠AGB = 90°。 ∵ AD = 2AB = 4,∴ AB= 2。 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∠B = 60°,∴ AD∥BC,AD=BC= 4,AG AB = sin 60° = 3 2 ,BG AB = cos 60° = 1 2 。 ∴ AG= 3 2 AB= 3 2 ×2 = 3,BG = 1 2 AB = 1 2 × 2 = 1。 ∵ A′E⊥ AD,∴ ∠FHE = ∠A′ ED = ∠A′EA= 90°。 ∵ ∠AGH = ∠GHE = ∠AEH = 90°, ∴ 四边形 AGHE 是矩形。 ∴ EH = AG = 3。 由翻折 得,∠HEF= ∠AEF = 1 2 ∠A′EA = 45°,∠B′ = ∠B = 60°,B′F=BF,B′F∥ A′E。 ∴ ∠HFE = 90° -∠HEF = 45° = ∠HEF。 ∴ FH = EH = 3。 ∵ B′F∥A′E, ∴ ∠CFB′ = ∠FHE = 90°。 ∴ CF BF = CF B′F = tan 60° = 3。 ∴ CF= 3 BF。 ∴ 3BF+BF=BC= 4。 解得 BF =2 3-2。 ∴ CH=BC-BF-FH = 4-(2 3 -2)- 3 = 6-3 3。 ∴ AE=GH=BC-BG-CH= 4-1-(6-3 3)= 3 3 -3。 17.解:原式= 2-2× 1 2 +3+1 = 2-1+3+1 = 5。 18.解:由①,得 x≤1。 由②,得 x>-2。 ∴ 不等式组的解集为-2<x≤1。 则不等式组的所有整数解为-1,0,1。 19.证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AD=CD。 又∵ AF=CE, ∴ AD-AF=CD-CE。 ∴ DF=DE。 在△ADE 和△CDF 中, AD=CD, ∠D= ∠D, DE=DF, { ∴ △ADE≌△CDF(SAS)。 ∴ AE=CF。 20.解:(1)如图 1,过点 A 作 AF⊥CE,垂足为 F,过点 　 　 图 1 O 作 OG⊥AF,垂足为 G。 由题意, 得 OC = GF, ∠AOG = 72°。 在 Rt△AOG 中,AO= 1. 5 m, ∴ AG = AO· sin 72° ≈ 1. 5 × 0. 95 = 1. 425(m)。 ∵ DC= 1. 2 m,OD= 0. 2 m, ∴ OC=GF=DC-OD= 1. 2-0. 2 = 1(m)。 ∴ AF=AG+GF= 1. 425+1≈2. 4(m)。 ∴ 此时点 A 到地面的距离约为 2. 4 m。 　 　 图 2 (2) 一辆宽为 2. 58 m,高为 2. 2 m 的货车可顺利通过入 口,理由如下: 如图 2,当 MN⊥CE,且 MN = 2. 2 m 时, 设 MN 交 OG 于 点 P。 由题意,得 OP=CN,PN=GF=1 m, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —31— ∴ MP=MN-PN= 2. 2-1 = 1. 2(m)。 在 Rt△MOP 中,∠MOP= 72°, ∴ OP= MP tan 72° ≈1. 2 3 = 0. 4(m)。 ∴ OP=CN= 0. 4 m。 ∵ 入口宽度 CE 为 3 m, ∴ NE=CE-CN= 3-0. 4 = 2. 6(m)。 ∵ 2. 6 m>2. 58 m, ∴ 一辆宽为 2. 58 m,高为 2. 2 m 的货车可顺利通 过入口。 21.解:(1)本次随机抽查的学生有 15÷30% = 50(名)。 B 组学生有 50×20% = 10(名), 补全频数直方图如下: 故答案为 50。 (2)扇形统计图中,A 组所在扇形的圆心角度数为 360°× 5 50 = 36°。 故答案为 36。 (3)把抽取的七年级的部分学生的成绩从小到大 排列,排在中间的两个数分别是 77,77,故中位数 为 77+77 2 = 77(分)。 故答案为 77。 (4)1 500× 8 50 × 2 2+8 = 48(人)。 答:估计该校 1 500 名学生中获得一等奖的学生人 数为 48。 22.解:(1)证明:如图,连接 OC。 ∵ FC 为☉O 的切线, ∴ OC⊥FC。 ∴ ∠OCF= 90°。 ∴ ∠ACF+∠OCA= 90°。 ∵ OA=OC, ∴ ∠OCA= ∠OAC。 ∴ ∠ACF+∠OAC= 90°。 ∵ AE 是☉O 的直径, ∴ ∠ACE= 90°。 ∴ ∠E+∠OAC= 90°。 ∴ ∠ACF= ∠E。 (2)∵ ∠E= ∠B,∠ACF= ∠E, ∴ ∠ACF= ∠B。 ∵ ∠F= ∠F, ∴ △FAC∽△FCB。 ∴ FA FC =FC FB 。 ∴ 2 4 = 4 FB 。 ∴ FB= 8。 ∴ AB=FB-FA= 8-2 = 6。 23.解:(1)设购买一件 A 种器材需要 a 元,购买一件 B 种器材需要 b 元。 根据题意,得 3a +4b= 180, 4a+3b= 170。{ 解得 a= 20, b= 30。{ 答:购买一件 A 种器材需要 20 元,购买一件 B 种 器材需要 30 元。 (2)设购买 A 种器材 x 件,则购买 B 种器材(40- x)件,购买两种器材花费 y 元。 根据题意,得 y= 20x+30(40-x)= -10x+1 200。 ∵ A 种器材的数量不超过 B 种器材数量的 3 倍, ∴ x≤3(40-x)。 解得 x≤30。 ∵ -10<0, ∴ y 的值随 x 值的增大而减小。 ∴ 当 x= 30 时,y 最小,最小值为 900。 此时 40-30 = 10(件)。 答:购买 A 种器材 30 件,B 种器材 10 件时花费最 少,最少花费为 900 元。 24.解:(1)将点 A(2,0)代入直线 y1 =ax+4,得 0 = 2a+ 4。 解得 a= -2。 则一次函数的表达式为 y1 = -2x+4。 ∵ 直线 y1 = -2x+4 经过点 B(-1,m), ∴ m= -2×(-1)+4 = 6。 ∴ 点 B(-1,6)。 将点 B(-1,6)代入反比例函数 y2 = k x ,得 6 = k-1 。 ∴ k= -6。 则反比例函数的表达式为 y2 = - 6 x 。 (2)设点 P 的纵坐标为 yP。 分以下 2 种情况讨论: ①当点 P 在点 B 下方时, ∵ △ACP 的面积是△BPC 面积的 2 倍, ∴ yP-0 = 2(6-yP)。 解得 yP = 4。 此时点 P 的横坐标 x= - 6 4 = - 3 2 。 ∴ 点 P ( - 32 ,4 ) ; ②当点 P 在点 B 上方时, 同理可得 yP-0 = 2(yP-6)。 解得 yP = 12。 此时点 P 的横坐标 x= - 6 12 = - 1 2 。 ∴ 点 P ( - 12 ,12 ) 。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —41— 综上,点 P 的坐标为 ( - 32 ,4 )或 ( - 1 2 ,12 ) 。 (3)①根据题意,直线 AB 的表达式为 y = - 2x+ 4, 点 Q(x,y)沿射线 BA 方向平移 5个单位长度得到 点 Q′,相当于点 Q 向右平移 1 个单位长度,向下平 移 2 个单位长度得到点 Q′, ∴ 点 Q′(x+1,y-2)。 ∵ 点 Q′恰好在反比例函数 y2 = - 6 x 的图象上, ∴ y-2 = - 6 x+1 。 ∴ 点 Q 纵坐标 y 关于点 Q 横坐标 x 的函数关系式 为 y3 = - 6 x+1 +2。 故答案为- 6 x+1 +2。 ②令-2x+4 = - 6 x ,解得 x1 = - 1, x2 = 3。 当 x= 3 时,y= - 6 3 = -2, ∴ 直线 y1 = -2x+4 与双曲线 y2 = - 6 x 的另一个交点坐标为(3,-2)。 ∵ 双曲线 y3 = - 6 x+1 +2 是双曲线 y2 = - 6 x 向左平移 1 个单位长度,向上平移 2 个单位长度得到的, ∴ y3 = - 6 x+1 + 2 与 y1 = - 2x+ 4 的交点坐标分别为 (-2,8),(2,0)。 在同一个平面直角坐标系中画出 y1 = - 2x+ 4 和 y3 = - 6 x+1 +2 的图象,如图。 由图象可知 min{y1 ,y3 } = y3(x<-2), y1(-2≤x<-1), y3(-1<x<2), y1(x≥2), ì î í ï ï ï ï ∴ 函数 Y= min{y1 ,y3 }的最大值为 8。 故答案为 8。 25.解:(1)把点 A(3,0),C(0,3)代入 y= - 1 2 x2 +bx+c, 得 - 9 2 +3b+c= 0, c= 3。 { 解得 b= 1 2 , c= 3。 { ∴ 抛物线 C1 表达式为 y= - 1 2 x2 + 1 2 x+3。 (2)由点 A(3,0),C(0,3)可得直线 AC 的表达式为 y= -x+3。 设点 D ( t,- 12 t 2 + 1 2 t+3 ) 。 ∵ ED∥x 轴, ∴ 在 y=-x+3 中,令 y=- 1 2 t2+ 1 2 t+3,得 x= 1 2 t2- 1 2 t。 ∴ 点 E ( 12 t 2 - 1 2 t,- 1 2 t2 + 1 2 t+3 ) 。 ∵ DE= 1, ∴ t- ( 12 t 2 - 1 2 t ) = 1。 解得 t= 1 或 2。 当 t=1 时,- 1 2 t2+ 1 2 t+3= 3;当 t = 2 时,- 1 2 t2 + 1 2 t+3 = 2。 ∴ 点 D 的坐标为(1,3)或(2,2)。 (3)在 y 轴正半轴上存在点 P,满足对任意的点M, N 都有直线 PM 和 PN 关于 y 轴对称。 如图,过点 M 作 MG⊥y 轴于点 G,过点 N 作 NH⊥ y 轴于点 H。 设点 P(0,p)。 ∵ 将抛物线 C1 平移,使得 其顶点与原点重合,得到抛 物线 C2 , ∴ 抛物线 C2 的表达式为 y= - 1 2 x2 。 ∵ 直线 MN 过点 F(0,-1), ∴ 设直线MN 的表达式为 y=kx-1,点M(xM,kxM-1), N(xN,kxN-1)。 由- 1 2 x2 = kx-1,得- 1 2 x2 -kx+1 = 0。 ∴ xM,xN 是- 1 2 x2 -kx+1 = 0 的两根。 ∴ xM+xN = -2k,xM·xN = -2。 ∵ 直线 PM 和 PN 关于 y 轴对称, ∴ ∠MPG= ∠NPH。 ∵ ∠PGM= 90° = ∠PHN, ∴ △PMG∽△PNH。 ∴ MG NH =PG PH 。 ∴ -xM xN = p-(kxM-1) p-(kxN-1) 。 整理,得(xM+xN)(p+1)= 2kxM·xN。 ∴ -2k·(p+1)= 2k×(-2)。 解得 p= 1。 ∴ 点 P(0,1)。 ∴ 在 y 轴正半轴上存在点 P,满足对任意的点M,N 都有直线 PM 和 PN 关于 y 轴对称,此时点 P 的坐 标为(0,1)。 26.解:(1)①∵ DE∥BC, ∴ AD AB =DE BC = 1 2 。 故答案为 1 2 。 ②如图 1,延长 DE 交 BC 于点 F。 ∵ DE ∥ BC, ∴ ∠ADE = ∠B = 90°。 ∴ ∠AGD = ∠BGF。 ∴ ∠GFB= ∠DAB= 30°。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —51— 即 DE,BC 所在直线较小夹角的度数为 30°。 故答案为 30°。 图 1 　 　 　 图 2 (2)如图 2,延长 BA 和 FE 交于点 G。 ∵ AE∥BF,BF= 2AE,∴ AG BG = AE BF = 1 2 。 ∴ BG= 2AG。 ∴ AB=AG。 ∵ AB= 2,∴ AG= 2。 又∵ BH⊥GH, ∴ 点 H 在以点 A 为圆心,AB 长为半径的圆上。 ∴ 当点 A,H,C 共线时,CH 最小。 在 Rt△ABC 中,AC= AB2 +BC2 = 4。 ∴ CH 的最小值为 AC-AH= 4-2 = 2。 ∵ AC= 2AB,∠ABC= 90°,∴ ∠BAH= 60°。 ∵ AB=AH, ∴ △ABH 为等边三角形。 ∴ BH=AB= 2。 此时,∠HBF= 90°-60° = 30°。 ∴ BF= BH cos 30° = 4 3 3 <AD,符合题意。 ∴ BH= 2。 (3)如图 3,过点 B 作 BN⊥AB 于点 B,取 BN= 1,点 N 在 AB 上方,连接 EN,FN,过点 F 作 FG⊥AD 于 点 G。 图 3 ∵ D 为 AB 中点,∠ACB= 90°,∴ AD=CD=BD。 ∵ ∠CAD= 60°,∴ △ACD 为等边三角形。 ∴ ∠CDG= 60°,AD=CD=BD=AC= 3 。 ∴ DG= 1 2 DF=BE,FG= 3DG= 3BE。 ∴ GE=BD= 3 。 在△GEF 和△BNE 中,∠FGE= ∠EBN= 90°, FG EB =GE BN = 3 , ∴ △GEF∽△BNE。 ∴ ∠GEF= ∠BNE,EF NE = 3 。 ∴ EF= 3EN。 ∵ ∠BNE+∠BEN= 90°, ∴ ∠GEF+∠BEN= 90°。 ∴ ∠FEN= 90°。 ∴ FN= EF2 +EN2 = 2 3 3 EF。 ∴ AF+2 3 3 EF=AF+FN。 ∴ 当点 A,F,N 共线时 AF+2 3 3 EF 最小。 ∵ AN= BN2 +AB2 = 13 , ∴ AF+2 3 3 EF 的最小值为 13 。 5 2024 年高新区学业水平第一次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C C D D D B D B B 1. D　 【解析】小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高 比例相等,影子方向相反,且都远离路灯。 故选 D。 2. C　 【解析】0. 000 03 = 3×10-5。 故选 C。 3. C　 【解析】∵ ∠ABE = 160°,∠CDF = 150°,∴ ∠ABP = 180° - ∠ABE = 20°,∠CDP = 180° - ∠CDF = 30°。 ∵ AB∥CD∥MN,∴ ∠BPN = ∠ABP = 20°,∠DPN = ∠CDP= 30°。 ∴ ∠EPF = ∠BPN+∠DPN = 20° +30° = 50°。 故选 C。 4. D　 【解析】A. m+m= 2m≠m2,计算错误,不合题意; B. (-3m) 2 = (-3) 2·m2 = 9m2 ≠6m2,计算错误,不 合题意;C. (m+2n) 2 =m2 +4mn+4n2 ≠m2 +4n2,计算 错误,不合题意;D. (m+3n)(m-3n)= m2 -9n2,计算 正确,符合题意。 故选 D。 5. D　 【解析】由旋转的性质,可知只有 D 选项符合题 意。 故选 D。 6. D　 【解析】 1- 1 2-x = 2x x-2 ,两边同乘( x- 2),得( x- 2)+1 = 2x。 故选 D。 7. B　 【解析】由题,知 y = -5x+m, y= -x+n。{ 令- 5x+m = -x+n, 整理,得-4x=n-m。 解得 x = -n -m 4 。 将 x = -n -m 4 代 入 y= -x+n 中,解得 y = 5n -m 4 。 ∴ 两直线的交点坐 标为 ( - n-m4 , 5n-m 4 ) 。 ∵ 0 < m < n, ∴ n - m > 0。 ∴ -n -m 4 <0,5n -m 4 > 0。 ∴ 直线 y = - 5x +m 与直线 y= -x+n 的交点在第二象限。 故选 B。 8. D　 【解析】由题意,可知绿球与黑球的个数应相等, 也为 2x 个,列方程,可得 x+2x+2x = 10。 解得 x = 2。 故选 D。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —61—