3 2022年济南市初中学业水平考试-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东济南专版）

— 13 — — 14 — — 15 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 4 分,共 48 分。 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. -7 的相反数是 (　 　 ) A. -7 B. 7 C. 1 7 D. - 1 7 2. 如图是某几何体的三视图,该几何体是 (　 　 ) A. 圆柱 B. 球 C. 圆锥 D. 正四棱柱 第 2 题图 　 　 　 　 　 　 第 4 题图 　 　 　 　 第 9 题图 3. 神舟十三号飞船在近地点高度约 200 000 m,远地点高度约 356 000 m 的轨道上驻留了 6 个月后,于 2022 年 4 月 16 日顺利返回。 将数据 356 000 用科学记数法表示为 (　 　 ) A. 3. 56×105 B. 0. 356×106 C. 3. 56×106 D. 35. 6×104 4. 如图,AB∥CD,点 E 在 AB 上,EC 平分∠AED。 若∠1 = 65°,则∠2 的度数为 (　 　 ) A. 45° B. 50° C. 57. 5° D. 65° 5. 下列绿色能源图标中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是 (　 　 ) A B C D 6. 实数 a,b 在数轴上对应点的位置如图所示,下列结论正确的是 (　 　 ) A. ab>0 B. a+b>0 C. | a | < | b | D. a+1<b+1 7. 某班级计划举办手抄报展览,确定了“5G 时代”“北斗卫星”“高铁速度”三个主题。 若小明和小亮每 人随机选择其中一个主题,则他们恰好选择同一个主题的概率是 (　 　 ) A. 1 9 B. 1 6 C. 1 3 D. 2 3 8. 若 m-n= 2,则代数式m 2 -n2 m · 2m m+n 的值是 (　 　 ) A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 9. 某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践,菜地的一边靠墙,另外三边用木栏围成,木栏总长为 40 m。 如图所示,设矩形一边长为 x m,另一边长为 y m,当 x 在一定范围内变化时,y 随 x 的变化而 变化,则 y 与 x 满足的函数关系是 (　 　 ) A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 反比例函数关系 D. 二次函数关系 10. 如图,在矩形 ABCD 中,分别以点 A,C 为圆心,以大于 1 2 AC 的长为半径作弧,两弧相交于 M,N 两 点,作直线 MN 分别交 AD,BC 于点 E,F,连接 AF。 若 BF= 3,AE= 5,以下结论错误的是 (　 　 ) A. AF=CF B. ∠FAC= ∠EAC C. AB= 4 D. AC= 2AB 第 10 题图 　 　 　 　 第 11 题图 11. 数学活动小组到某广场测量标志性建筑 AB 的高度。 如图,他们在地面上点 C 测得最高点 A 的仰 角为 22°,再向前 70 m 至点 D,又测得最高点 A 的仰角为 58°,点 C,D,B 在同一条直线上,则该建筑 物 AB 的高度约为(结果精确到 1 m。 参考数据:sin 22° ≈0. 37,tan 22° ≈0. 40,sin 58° ≈0. 85, tan 58°≈1. 60) (　 　 ) A. 28 m B. 34 m C. 37 m D. 46 m 12. 抛物线 y= -x2 +2mx-m2 +2 与 y 轴交于点 C,过点 C 作直线 l 垂直于 y 轴,将抛物线在 y 轴右侧的部 分沿直线 l 翻折,其余部分保持不变,组成图形 G,M(m-1,y1 ),N(m+1,y2 )是图形 G 上两点。 若 y1 <y2,则 m 的取值范围是 (　 　 ) A. m<-1 或 m>0 B. - 1 2 <m< 1 2 C. 0≤m< 2 D. -1<m<1 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 13. 因式分解:a2 +4a+4 = 　 　 　 　 　 。 14. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动,并随机地停留在某块方砖上,那么它最终停留在阴影区 域的概率是　 　 　 　 　 。 第 14 题图 　 　 　 　 　 　 　 图 1 　 　 图 2 第 17 题图 15. 写出一个比 2大且比 17小的整数:　 　 　 　 。 16. 代数式 3 x+2 与代数式 2 x-1 的值相等,则 x= 　 　 　 　 。 17. 利用图形的分、合、移、补探索图形的关系是我国传统数学的一种重要方法。 如图 1,BD 是矩形 ABCD 的对角线,将△BCD 分割成两对全等的直角三角形和一个正方形,然后按图 2 重新摆放,观 察两图。 若 a= 4,b= 2,则矩形 ABCD 的面积为　 　 　 　 。 18. 规定:在平面直角坐标系中,一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位长 度,一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转 90°,由数字 0 和 1 组成的 序列表示一个点按照上面描述依次连续变换。 例如:如图,点 O(0,0)按序列 “011…”作变换,表示点 O 先向右平移一个单位长度得到点 O1(1,0),再将点 O1(1,0)绕原点顺时针旋转 90°得到点 O2(0,-1),再将点 O2(0,-1)绕原点顺 时针旋转 90°得到点 O3( -1,0),……,依次类推。 点(0,1)经过“011011011”变换后得到的点的坐 标为　 　 　 　 。 三、解答题(本大题共 9 个小题,共 78 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19. (本题满分 6 分)计算: | -3 | -4sin 30°+ 4 + 1 3( ) -1 。 20. (本题满分 6 分)解不等式组: x-1 2 < x 3 ,① 2x-5≤3(x-2),② ì î í ï ï ï ï 并写出它的所有整数解。 21. (本题满分 6 分)如图,已知在菱形 ABCD 中,E,F 是对角线 AC 上两点,连接 DE,DF,∠ADF = ∠CDE。 求证:AE=CF。 22. (本题满分 8 分)某校举办以 2022 年北京冬奥会为主题的知识竞赛,从七年级和八年级各随机抽取 了 50 名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析,部分信息如下: a. 七年级抽取成绩的频数直方图如图。 (数据分成 5 组,50≤x<60,60≤x<70,70≤x<80,80≤x< 90,90≤x≤100) b. 七年级抽取成绩在 70≤x<80 这一组的数据: 70,72,73,73,75,75,75,76,77,77,78,78,79,79,79,79。 3 2022 年济南市初中学业水平考试 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 16 — — 17 — — 18 — c. 七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如表。 　 平均数 中位数 七年级 76. 5 m 八年级 78. 2 79 请结合以上信息完成下列问题: (1)七年级抽取成绩在 60≤x<90 的人数为　 　 　 　 ,并补全频数直方图; (2)表中 m 的值为　 　 　 　 ; (3)七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是 78,则　 　 　 　 (填“甲”或“乙”)的成绩在本年 级抽取成绩中排名更靠前; (4)若全校七年级的学生共有 400 人,请你估计七年级竞赛成绩 90 分及以上的学生人数。 23. (本题满分 8 分)如图,已知 AB 是☉O 的直径,CD 与☉O 相切于点 C,交 AB 的延长线于点 D,连接 AC,BC,∠D= 30°,CE 平分∠ACB 交☉O 于点 E,过点 B 作 BF⊥CE,垂足为 F。 (1)求证:CA=CD; (2)若 AB= 12,求线段 BF 的长。 24. (本题满分 10 分)为增加校园绿化面积,某校计划购买甲、乙两种树苗。 已知购买 20 棵甲种树苗和 16 棵乙种树苗共花费 1 280 元,购买 1 棵甲种树苗比 1 棵乙种树苗多花费 10 元。 (1)甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元; (2)若购买甲、乙两种树苗共 100 棵,且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗数量的 3 倍,则购买 甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少? 请说明理由。 25. (本题满分 10 分)如图,一次函数 y = 1 2 x+1 的图象与反比例函数 y = k x (x>0)的图象交于点 A(a, 3),与 y 轴交于点 B。 (1)求 a,k 的值; (2)直线 CD 过点 A,与反比例函数的图象交于点 C,与 x 轴交于点 D,AC=AD,连接 BC。 ①求△ABC 的面积; ②点 P 在反比例函数的图象上,点 Q 在 x 轴上,若以点 A,B,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形,请 求出所有符合条件的点 P 的坐标。 　 　 备用图 26. (本题满分 12 分)如图 1,△ABC 是等边三角形,点 D 在△ABC 的内部,连接 AD,将线段 AD 绕点 A 按逆时针方向旋转 60°,得到线段 AE,连接 BD,DE,CE。 (1)判断线段 BD 与 CE 的数量关系并给出证明; (2)延长 ED 交直线 BC 于点 F。 ①如图 2,当点 F 与点 B 重合时,直接用等式表示线段 AE,BE 和 CE 的数量关系为 　 ; ②如图 3,当 F 是线段 BC 的中点,且 DE=CE 时,猜想∠BAD 的度数,并说明理由。 图 1 　 图 2 　 图 3 27. (本题满分 12 分)抛物线 y=ax2+11 4 x-6 与 x 轴交于 A( t,0),B(8,0)两点,与 y 轴交于点 C,直线 y= kx-6 经过点 B。 点 P 在抛物线上,设点 P 的横坐标为 m。 (1)求抛物线的表达式和 t,k 的值; (2)如图 1,连接 AC,AP,CP,若△APC 是以 CP 为斜边的直角三角形,求点 P 的坐标; (3)如图 2,若点 P 在直线 BC 上方的抛物线上,过点 P 作 PQ⊥BC,垂足为 Q,求 CQ+ 1 2 PQ 的最 大值。 图 1 　 图 2 ∴ DG BE =AD AB = 3 。 (2)如图 1,过点 F 作 FM⊥CG 于点 M。 由矩形 ABCD 和矩形 AEFG 可得,∠ABE= ∠AGF = ∠ADG= 90°,AE=FG, ∴ ∠BAE= ∠DAG= ∠MGF,∠ABE=∠GMF=90°。 ∴ △ABE≌△GMF(AAS)。 ∴ BE=MF,AB=GM=2。 ∵ ∠MDF=∠BDC=60°, ∴ tan∠MDF= tan 60° =MF MD = 3 。 ∴ MF= 3MD。 设 MD= x,则 BE=MF= 3 x, ∴ DG=GM+MD= 2+x。 ∵ DG BE = 3 ,∴ 2+x 3 x = 3 。 解得 x= 1。 ∴ BE= 3 x= 3 。 图 1 　 　 　 图 2 (3)如图 2,连接 AC。 ∵ 在矩形 ABCD 中,AD=BC= 2 3 ,AB= 2, ∴ ∠ACB=30°,AC=2AB=4。 ∵ AE=CE。 ∴ ∠CAE=∠ACE=30°,∠AEC=120°。 ∴ ∠ACG= ∠CAG= 90°-30° = 60°。 ∴ △AGC 是等边三角形,AG=AC= 4。 ∴ PE=EF=AG= 4。 将△AEP 绕点 E 顺时针旋转 120°,AE 与 CE 重合, 得到△CEP′, ∴ PA=P′C,∠PEP′= 120°,PE=P′E= 4。 ∴ PP′= 3PE= 4 3 。 ∴ 当点 P,C,P′三点共线时,PA+PC 的值最小,此 时 PA+PC=PP′= 4 3 。 3 2022 年济南市初中学业水平考试 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A A B B D C D B D C D 1. B　 【解析】-7 的相反数是 7。 故选 B。 2. A　 【解析】主视图和左视图都是长方形,那么此几 何体是柱体,由俯视图是圆可得此几何体是圆柱。 故选 A。 3. A　 【解析】356 000 = 3. 56×105。 故选 A。 4. B　 【解析】∵ AB∥CD,∴ ∠AEC = ∠1 = 65°。 ∵ EC 平 分∠AED,∴ ∠AED = 2∠AEC = 2×65° = 130°。 ∴ ∠2 = 180°-∠AED=180°-130° =50°。 故选 B。 5. B　 【解析】A 既不是轴对称图形,也不是中心对称 图形,故本选项不符合题意;B 既是轴对称图形,又 是中心对称图形,故本选项符合题意;C 不是轴对称 图形,但是中心对称图形,故本选项不符合题意; D 是轴对称图形,但不是中心对称图形,故本选项 不符合题意。 故选 B。 6. D　 【解析】根据图形可以得到,- 3<a<- 2< 0,0<b< 1,∴ ab<0,故 A 错误;a+b<0,故 B 错误; | a | > | b | , 故 C 错误;a+1<b+1,故 D 正确。 故选 D。 7. C　 【解析】把“5G 时代”“北斗卫星”“高铁速度”三 个主题分别记为 A,B,C,画树状图如下: 共有 9 种等可能的结果,其中小明和小亮恰好选择 同一个主题的结果有 3 种,∴ 小明和小亮恰好选择 同一个主题的概率是 3 9 = 1 3 。 故选 C。 8. D　 【解析】原式 = (m +n)(m-n) m · 2m m+n = 2(m-n)。 当 m-n= 2 时,原式= 2×2 = 4。 故选 D。 9. B　 【解析】根据题意,得 2x+y = 40,∴ y = - 2x+ 40。 ∴ y 与 x 满足的函数关系是一次函数关系。 故选 B。 10. D　 【解析】A. 根据作图过程,可得 MN 是 AC 的垂 直平分线,∴ AF = CF,故此选项不符合题意;B. 如 图,连接 CE。 由矩形的性质以及 MN 是 AC 的垂直 平分线可以证明△AEO≌△CFO,∴ AE =CF。 ∵ AF =CF,∴ AE = AF。 ∴ ∠FAC = ∠FCA = ∠EAC,故此 选项不符合题意;C. ∵ AE = 5,∴ AF = CF = 5。 在 Rt△ABF 中,∵ BF=3,∴ AB= AF2-BF2 = 52-32 = 4,故此选项不符合题意;D. ∵ BC =BF+CF = 3+5 = 8,∴ AC= AB2 +BC2 = 42 +82 = 4 5。 ∵ AB = 4, ∴ AC≠2AB。 故此选项符合题意。 故选 D。 11. C　 【解析】在 Rt△ABD 中,∵ tan∠ADB= AB BD , ∴ BD= AB tan 58° ≈AB 1.6 = 5 8 AB。 在 Rt△ABC 中,tan∠ACB = AB BC ,∴ tan 22° = AB 70+ 5 8 AB ≈0. 4。 解得 AB= 112 3 ≈37 m。 故选 C。 12. D　 【解析】抛物线的表达式 y = -x2 +2mx-m2 +2 变 形为 y= 2-(x-m) 2,即抛物线的对称轴为 x=m。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —8— 当 x=m-1 时,有 y= 2-(m-1-m) 2 = 1; 当 x=m+1 时,有 y= 2-(m+1-m) 2 = 1。 设(m-1,1)为点 A,(m+1,1)为点 B, 即点 A(m-1,1)与点 B(m+ 1,1)关于抛物线的对 称轴对称。 当 x= 0 时,有 y= 2-(0-m) 2 = 2-m2, ∴ 点 C 的坐标为(0,2-m2)。 当 x=m 时,有 y= 2-(m-m) 2 = 2, ∴ 抛物线的顶点坐标为(m,2)。 ∵ 直线 l⊥y 轴,∴ 直线 l 为 y= 2-m2。 ∵ m-1<m+1, ∴ 点 M 在点 N 的左侧。 此时分情况讨论: 第一种情况,当点 N 在 y 轴的左侧时,如图 1。 由 图可知,此时点 M,N 分别对应点 A,B,即有 y1 = y2 = 1,∴ 此时不符合题意; 图 1 　 　 　 图 2 第二种情况,当点 M 在 y 轴的右侧时,如图 2。 由 图可知,此时点 M,N 满足 y1 = y2,∴ 此时不符合题 意;第三种情况,当 y 轴在点 M,N 之间时,如图 3 或 4。 由图可知,此时点 M,N 满足 y1 <y2,∴ 此时 符合题意。 此时由图可知,m-1<0<m+1,解得-1< m<1。 综上所述,m 的取值范围是- 1 <m< 1。 故 选 D。 图 3 　 　 图 4 13. (a+2) 2 　 【解析】原式=(a+2) 2。 14. 4 9 　 【解析】根据题意,得一共有 9 块方砖,其中阴 影区域的有 4 块,∴ 它最终停留在阴影区域的概 率是 4 9 。 15. 3(答案不唯一)　 【解析】∵ 1< 2 <2<3<4< 17 < 5,∴ 比 2大且比 17小的整数有 2,3,4。 16. 7 　 【解析】∵ 代数式 3 x+2 与代数式 2 x-1 的值相等, ∴ 3 x+2 = 2 x-1 。 方程两边同乘(x+2)(x-1),得 3(x- 1)= 2(x+2),解得 x = 7。 检验:当 x = 7 时,(x+2) (x-1)≠0,∴ 分式方程的解为 x= 7。 17. 16　 【解析】设小正方形的边长为 x,矩形的长为 a+x,宽为 b+ x。 由题图可得, 1 2 ( a+ x) ( b+ x) = 1 2 ax×2+ 1 2 bx×2+x2,整理,得 x2 +ax+bx-ab= 0。 ∵ a= 4,b= 2,∴ x2 +6x-8 = 0。 ∴ x2 +6x= 8。 ∴ 矩形 ABCD 的面积为(a+x)(b+x)= (4+x) (2+ x)= x2 +6x+8 = 8+8 = 16。 18. (-1,-1)　 【解析】点(0,1)按序列“011011011”变 换,表示点(0,1)先向右平移一个单位长度得到 (1,1),再将(1,1)绕原点顺时针旋转 90°得到(1, -1),再将(1,-1)绕原点顺时针旋转 90°得到(-1, -1),然后向右平移一个单位长度得到(0,-1),再 将(0,-1)绕原点顺时针旋转 90°得到(- 1,0),再 将(-1,0)绕原点顺时针旋转 90°得到(0,1),然后 向右平移一个单位长度得到(1,1),再将(1,1)绕 原点顺时针旋转 90°得到(1,- 1),再将(1,- 1)绕 原点顺时针旋转 90°得到(-1,-1)。 19.解:原式= 3-4× 1 2 +2+3 = 3-2+2+3 = 6。 20.解:解不等式①,得 x<3。 解不等式②,得 x≥1。 ∴ 原不等式组的解集是 1≤x<3。 ∴ 它的所有整数解为 1,2。 21.证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形,E,F 是对角线 AC 上两点,∴ AD=CD,∠CAD= ∠ACD。 ∵ ∠ADF = ∠CDE, ∴ ∠ADF - ∠EDF = ∠CDE - ∠EDF,即∠ADE= ∠CDF。 在△DAE 和△DCF 中, ∠DAE= ∠DCF, AD=CD, ∠ADE= ∠CDF, { ∴ △DAE≌△DCF(ASA)。 ∴ AE=CF。 22.解:(1) 由题意可得,70≤x< 80 这一组的数据有 16 人,∴ 七年级抽取成绩在 60≤x<90 的人数为 12+16+10 = 38,补全频数直方图如图所示。 (2)∵ 4+ 12 = 16< 25,4+ 12+ 16 = 32> 25,∴ 七年级 抽取成绩的中位数在 70≤x< 80 这一组数据中。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —9— ∴ 第 25,26 个数据分别为 77,77。 ∴ m= 77 +77 2 =77。 (3)∵ 七年级抽取成绩的中位数为 77<78,八年级 抽取成绩的中位数为 79>78,∴ 甲的成绩在本年级 抽取成绩中排名更靠前。 (4)400× 8 50 = 64(人)。 答:估计七年级竞赛成绩 90 分及以上的学生人数 为 64。 23. (1)证明:如图,连接 OC。 ∵ CD 与☉O 相切于点 C,∴ OC⊥CD。 ∴ ∠OCD= 90°。 ∵ ∠D= 30°,∴ ∠COB= 90°-∠D= 60°。 ∴ ∠CAB= 1 2 ∠COB= 30°。 ∴ ∠CAD= ∠D。 ∴ CA=CD。 (2)解:∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ACB=90°。 在 Rt△ABC 中,∠CAB= 30°,AB= 12, ∴ BC= 1 2 AB= 6。 ∵ CE 平分∠ACB, ∴ ∠BCE= 1 2 ∠ACB= 45°。 ∵ BF⊥CE, ∴ ∠CFB= 90°,BF=BC·sin 45° = 6× 2 2 = 3 2 。 24.解:(1)设甲种树苗每棵的价格是 x 元,乙种树苗 每棵的价格是 y 元。 由题意,得 20x +16y= 1 280, x-y= 10,{ 解得 x= 40, y= 30。{ 答:甲种树苗每棵的价格是 40 元,乙种树苗每棵 的价格是 30 元。 (2)设购买甲种树苗 m 棵,则购买乙种树苗(100- m)棵,购买两种树苗的总费用为 w 元。 由题意,得 w= 40m+30(100-m)= 10m+3 000。 由题意,得 100-m≤3m,解得 m≥25。 ∵ w 随 m 的增大而增大,∴ 当 m = 25 时,w 取得最 小值。 ∴ 100-m= 100-25 = 75。 答:当购买甲种树苗 25 棵、乙种树苗 75 棵时,花费 最少。 25.解:(1)将点 A(a,3)代入 y= 1 2 x+1,得 a= 4, ∴ A(4,3)。 将点 A(4,3)代入 y= k x ,得 k= 4×3 = 12。 (2)①如图 1,过点 A 作 AM⊥x 轴于点 M,过点 C 作 CN⊥x 轴于点N,交 AB于点 E, 　 　 　 　 图 1 ∴ AM∥CN。 ∵ AC=AD。 ∴ AM CN =AD CD = 1 2 。 ∴ CN= 6。 ∴ 点 C 的横坐标为12 6 = 2。 ∴ C(2,6)。 ∴ E(2,2)。 ∴ CE= 6-2 = 4。 ∴ S△ABC =S△ACE+S△BCE = 1 2 ×4×2+ 1 2 ×4×2= 8。 ②分两种情况:设 P(x1 ,y1 ),Q(x2 ,0)。 ⅰ. 如图 2,当四边形 ABQP 是平行四边形时, 　 　 　 　 图 2 ∵ 点 B 向下平移 1 个单位 长度,向右平移 x2 个单位 长度得到点 Q, ∴ 点 A 向下平移 1 个单位 长度,向右平移 x2 个单位 长度得到点 P。 ∴ y1 = 3-1 = 2,x1 = 12 2 = 6。 ∴ P(6,2); ⅱ. 如图 3,当四边形 AP′BQ′是平行四边形时, 　 　 　 　 图 3 ∵ 点 Q′向上平移 1 个单 位长度,向左平移 x2 个 单位长度得到点 B, ∴ 点 A 向上平移 1 个单 位长度,向左平移 x2 个 单位长度得到点 P′。 ∴ y1 ′ = 3+ 1 = 4,x1 ′ = 12 4 = 3。 ∴ P′(3,4)。 综上所述,所有符合条件的点 P 的坐标为(6,2)或 (3,4)。 26.解:(1)BD=CE。 证明:∵ △ABC 是等边三角形, ∴ AB=AC,∠BAC= 60°。 ∵ 线段 AD 绕点 A 按逆时针方向旋转 60°得到线段 AE, ∴ AD=AE,∠DAE= 60°。 ∴ ∠BAC-∠DAC= ∠DAE-∠DAC, 即∠BAD= ∠CAE。 在△ABD 和△ACE 中, AB=AC, ∠BAD= ∠CAE, AD=AE, { 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —01— ∴ △ABD≌△ACE(SAS)。 ∴ BD=CE。 (2)①∵ 线段 AD 绕点 A 按逆时针方向旋转 60°得 到线段 AE, ∴ △ADE 是等边三角形。 ∴ AD=DE=AE。 由(1),得 BD=CE, ∴ BE=DE+BD=AE+CE。 ②∠BAD= 45°。 理由如下: 如图,过点 A 作 AG⊥EF 于点 G,连接 AF。 ∵ △ADE 是等边三角形,AG⊥EF, ∴ ∠DAG= 1 2 ∠DAE= 30°。 ∴ AG AD = cos∠DAG= 3 2 。 ∵ △ABC 是等边三角形,F 是线段 BC 的中点, ∴ BF=CF,AF⊥BC,∠BAF= 1 2 ∠BAC= 30°。 ∴ AF AB = cos∠BAF= 3 2 。 ∴ ∠BAF= ∠DAG,AG AD =AF AB ,即AG AF =AD AB 。 ∴ ∠BAF+∠DAF= ∠DAG+∠DAF, 即∠BAD= ∠FAG。 ∴ △BAD∽△FAG。 ∴ ∠ADB= ∠AGF= 90°。 ∵ BD=CE,DE=CE=AD, ∴ BD=AD,即△ABD 是等腰直角三角形。 ∴ ∠BAD= 45°。 27.解:(1)∵ B(8,0)在抛物线 y=ax2 +11 4 x-6 上, ∴ 64a+11 4 ×8-6 = 0。 解得 a= - 1 4 。 ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 4 x2 +11 4 x-6。 当 y= 0 时,- 1 4 x2 +11 4 x-6 = 0, 解得 x1 = 3,x2 = 8。 ∴ t= 3。 ∵ B(8,0)在直线 y= kx-6 上, ∴ 8k-6 = 0。 解得 k= 3 4 。 (2)如图 1,过点 P 作 MP⊥x 轴于点 M。 图 1 对于 y= - 1 4 x2 +11 4 x-6,令 x= 0,则 y= -6, ∴ 点 C(0,-6),即 OC= 6。 ∵ A(3,0),∴ OA= 3。 设点 P 的坐标为 m,- 1 4 m2 + 11 4 m-6( ) 。 ∴ MP= 1 4 m2 -11 4 m+6,MA=m-3。 ∵ ∠CAP= 90°, ∴ ∠CAO+∠PAM= 90°。 ∵ ∠APM+∠PAM= 90°, ∴ ∠CAO= ∠APM。 ∵ ∠COA= ∠AMP= 90°, ∴ △COA∽△AMP。 ∴ OA MP =OC MA 。 ∴ OA·MA=OC·MP, 即 3(m-3)= 6 1 4 m2 - 11 4 m+6( ) 。 解得 m1 = 3(舍去),m2 = 10。 ∴ 点 P 10,- 7 2( ) 。 (3)如图 2,过点 P 作 NP⊥x 轴交 BC 于点 N,过点 N 作 EN⊥y 轴于点 E。 图 2 ∵ P m,- 1 4 m2 + 11 4 m-6( ) , ∴ N m, 3 4 m-6( ) 。 ∴ NP=- 1 4 m2+11 4 m-6- 3 4 m-6( ) =- 14 m 2+2m。 ∵ NP⊥x 轴,∴ NP∥y 轴。 ∴ ∠PNQ= ∠BCO。 ∵ ∠PQN= ∠BOC= 90°, ∴ △PQN∽△BOC。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —11— ∴ NP CB =NQ CO =PQ BO 。 ∵ OB= 8,OC= 6, ∴ BC= 10。 ∴ NQ= 3 5 NP,PQ= 4 5 NP。 ∵ EN⊥y 轴,∴ EN∥x 轴。 ∴ △CNE∽△CBO。 ∴ CN CB =EN OB ,即CN 10 = m 8 。 ∴ CN= 5 4 m。 ∴ CQ+ 1 2 PQ=CN+NQ+ 1 2 PQ=CN+ 3 5 NP+ 1 2 × 4 5 NP =CN + NP = 5 4 m - 1 4 m2 + 2m = - 1 4 m2 + 13 4 m = - 1 4 m- 13 2( ) 2 +169 16 。 ∴ 当 m= 13 2 时,CQ+ 1 2 PQ 的最大值为169 16 。 4 2024 年市中区学业水平第一次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C B C A B A D D D 1. B　 【解析】A. 球的俯视图是圆,故本选项不符合题 意;B. 该三棱柱的俯视图是三角形,故本选项符合 题意;C. 该圆锥的俯视图是带圆心的圆,故本选项 不符合题意;D. 该圆柱的俯视图是圆,故本选项不 符合题意。 故选 B。 2. C　 【解析】4 705 000 = 4. 705×106。 故选 C。 3. B　 【解析】标注各角如图, ∵ 直线 l1 ∥l2,∴ ∠1 = ∠3。 ∵ ∠1 = 50°,∴ ∠3 = 50°。 由题意,知∠4 = 30°,∴ ∠2 = 180° -∠3-∠4 = 180°-50°-30° = 100°。 故选 B。 4. C　 【解析】观察数轴,可知-2<a<-1,0<b<1, |a | > |b |, ∴ a<b,a+b<0。 ∴ a+2<b+2,ab<0,-2a>-2b。 ∴ A, B,D 选项错误,C 选项正确。 故选 C。 5. A　 【解析】A. 该图形既是轴对称图形又是中心对 称图形,故此选项符合题意;B. 该图形不是轴对称 图形,是中心对称图形,故此选项不合题意;C. 该图 形既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此 选项不合题意;D. 该图形是轴对称图形,不是中心 对称图形,故此选项不合题意。 故选 A。 6. B　 【解析】A. 因为 a2 +2a2 = 3a2,故此选项不符合题 意;B. 因为(2a2) 3 = 8a6,故此选项符合题意;C. 因为 a2·a3 =a2+3 =a5,故此选项不符合题意;D. 因为(a- b) 2 =a2 -2ab+b2,故此选项不符合题意。 故选 B。 7. A　 【解析】∵ 点 A(-1,y1),B(2,y2),C(4,y3)在反 比例函数 y = k x (k> 0)的图象上,取 k = 4,∴ 当 x = -1 时,y1 = 4 -1 = - 4;当 x = 2 时,y2 = 4 2 = 2;当 x = 4 时,y3 = 4 4 = 1。 ∴ y2 >y3 >y1。 故选 A。 8. D　 【解析】根据题意,画图如下, 共有 12 种等可能的情况,其中选出的同学恰为一 男一女的情况有 8 种,则选出的同学恰为一男一女 的概率是 8 12 = 2 3 。 故选 D。 9. D　 【解析】由作法,得 DE 垂直平分 AC,GH = GC, ∴ AF=CF,GF⊥AC,GC = GA。 所以 A 选项正确,不 符合题意;∵ CG =GH,CF = AF,∴ FG 为△ACH 的中 位线。 ∴ 2FG=AH。 所以 B 选项正确,不符合题意; ∵ FG 为△ACH 的中位线,∴ FG∥AH。 ∵ FG⊥AC, ∴ AH⊥AC。 ∴ ∠CAH = 90°。 ∵ AB = AC,∴ ∠C = ∠B = 36°。 ∴ ∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 108°。 ∴ ∠HAB= ∠BAC-∠CAH = 108° -90° = 18°。 ∴ ∠B = 2∠HAB。 所以 C 选项正确,不符合题意;∵ GC = GA,∴ ∠C= ∠GAC = 36°。 ∴ ∠BGA = ∠C+∠GAC = 72°。 ∴ ∠BAG = 180° - ∠B- ∠BGA = 72°。 ∴ BG = BA。 ∴ AB = GB = AC。 ∵ ∠GCA = ∠ACB,∠CAG = ∠B,∴ △CAG∽△CBA。 ∴ CG CA = CA CB 。 ∴ CA2 = CG· CB。 设 BC= x,AB=GB=AC=a,则 a2 =(x-a)x,解得 x= 1 + 5 2 a(负值舍去)。 ∴ BC = 1 + 5 2 a。 ∴ CG = BC-BG= 1 + 5 2 a-a= 5 -1 2 a。 ∴ BG CG = a 5 -1 2 a = 5 +1 2 。 ∵ △AGB 与△AGC 同高,∴ S△AGB S△AGC = BG CG = 5 +1 2 。 所 以 D 选项错误,符合题意。 故选 D。 10. D　 【解析】由题意,设 A 点坐标为(m,m2),B 点坐 标为 ( n, 12 n+b ) ,∴ dAB = | m-n | + m 2 - 1 2 n-b 。 ∵ 抛物线与直线没有交点,dAB 的最小值为 1,∴ 当 A,B 两点横坐标(或纵坐标)相等时,dAB 取得最小 值,此时 m=n(或 n = 2m2 - 26)。 此时 dAB = m 2 - 1 2 m-b = (m- 14 ) 2 - 1 16 -b 。 ∵ dAB 的最小值 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —21—