精品解析：北京市景山学校远洋分校2024-2025学年高一下学期开学考数学试题

景山学校远洋分校2024—2025学年第二学期高一开学测 数 学 本试卷共6页，满分为100分，考试时间为90分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙两人在罚球线进行投篮比赛，甲的命中率为0.7，乙的命中率为0.8，甲、乙命中与否互不影响．甲、乙两人各投篮1次，那么“甲、乙两人都命中”的概率为（ ） A. 0.08 B. 0.14 C. 0.24 D. 0.56 4. 某校高一年级有名男生，名女生.为了解高一学生研学路线的选择意向，采用分层抽样的方法，从该校高一学生中抽取容量为的样本进行调查，其中女生名，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数．在下列区间中，包含零点的区间是 （ ） A. B. C. D. 7. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知集合，．则（ ） A. B. 是的真子集 C. D. 9. 若、都有恒成立，则（ ） A. B. C. D. 10. 在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位）可表示为，其中为起始光功率（单位），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位）. 已知距离发射器处的光功率衰减为起始光功率的一半. 若当距离由变到时，光功率由变到，则（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 已知，，则的值为 _________． 12. 如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，若，则_______. 13. 甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温（单位：℃）如下： 日 日 日 日 日 日 日 甲地 乙地 记这天甲地每天最低气温的标准差为；记这天乙地每天最低气温的标准差为．根据上述信息，若，则值可以为_______．（写出一个符合题意答案即可） 14. 已知函数 ①当时，函数的单调递减区间是__________； ②若存在最小值，则的取值范围是__________. 15. 已知函数给出下列四个结论： ①当时，的最小值为； ②当时，存在最小值； ③的零点个数为，则函数的值域为； ④当时，对任意． 其中所有正确结论序号是________． 三、解答题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数 （1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论： （2）用函数单调性定义证明：函数在上减函数； 17. 已知实数满足． （1）求和的取值范围； （2）证明：． 18. 根据《国家学生体质健康标准》，高一男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）： 立定跳远单项等级 高一男生 高一女生 优秀 及以上 及以上 良好 ~ ~ 及格 ~ ~ 不及格 及以下 及以下 从某校高一男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）： 男生： 女生： （1）分别估计该校高一男生和女生立定跳远单项的优秀率； （2）从该校随机抽取的跳远成绩单项优秀的高一女生中随机抽取人，求恰有人成绩在以上，人成绩在以下的概率； （3）假设用频率估计概率，且每个同学测试成绩相互独立．从该校全体高一女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明） 19. 已知函数，. （1）当时，求函数的值域； （2）记函数的最大值，求的解析式． 20. 某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 索赔次数 保单份数 已知：一份保单的保费为万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿万元；第四次索赔时，保险公司赔偿万元. （1）从抽取份保单中，随机抽取一份保单其索赔次数不少于的概率； （2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差． （i）记为抽取的份保单的毛利润平均值，求的值； （ii）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下抽取的份保单毛利润的平均值与（i）中的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 景山学校远洋分校2024—2025学年第二学期高一开学测 数 学 本试卷共6页，满分为100分，考试时间为90分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用并集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，则. 故选：B. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题分析判断. 【详解】由题意可知：命题“”的否定是“”. 故选：C. 3. 甲、乙两人在罚球线进行投篮比赛，甲的命中率为0.7，乙的命中率为0.8，甲、乙命中与否互不影响．甲、乙两人各投篮1次，那么“甲、乙两人都命中”的概率为（ ） A. 0.08 B. 0.14 C. 0.24 D. 0.56 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由相互独立事件的概率公式求解. 【详解】根据独立事件同时发生的概率公式可知， “甲、乙两人都命中”的概率为， 故选：D 4. 某校高一年级有名男生，名女生.为了解高一学生研学路线的选择意向，采用分层抽样的方法，从该校高一学生中抽取容量为的样本进行调查，其中女生名，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分层抽样的定义，列式计算得解. 【详解】依题意，，所以. 故选：B 5. 下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本初等函数的奇偶性与单调性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，，故为偶函数，不满足条件； 对于B选项，函数为偶函数，不满足条件； 对于C选项，函数为奇函数，且该函数在区间上为减函数，不满足条件； 对于D选项，函数的定义域为，， 则函数为奇函数，且该函数在上为增函数，满足条件. 故选：D. 6. 已知函数．在下列区间中，包含零点的区间是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算各选项区间端点处的函数值，判断其乘积是否小于，再根据零点存在性定理和单调性判定. 【详解】当时， 在上恒成立，这表明函数在上没有零点，故A选项错误.  在，，连续，且单调递减，下面证明： 设，则. 对其进行化简：  ， 因为，所以，，，，那么. 所以，即，也就是. 根据函数单调性的定义，函数在上是减函数. 当时，，当，， 当，，当，. 根据函数零点存在定理可知，可以判定函数在区间内有一个零点，故C选项正确.  在区间， 没有零点，故B选项错误.  在区间，也没有零点，故D选项错误.  故选：C 7. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，解得， 所以由推不出，故充分性不成立； 由推得出，故必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 8. 已知集合，．则（ ） A. B. 是真子集 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合相等的概念，说明，同时即可； 【详解】从中任取一个元素，一定是偶数，所以， 从中任取一个元素，，所以, 所以， 故选：C 9. 若、都有恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】推导出，，将代入各选项中的代数式，利用基本不等式逐项判断即可. 【详解】显然不满足等式，所以，，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故，A对B错； ， 当且仅当时，即当时，等号成立，即，CD都错. 故选：A. 10. 在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位）可表示为，其中为起始光功率（单位），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位）. 已知距离发射器处的光功率衰减为起始光功率的一半. 若当距离由变到时，光功率由变到，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数模型代入数据计算即可. 【详解】由题意可得：，也即，得, ，， 两式相除可得：, 两边同时取对数可得：, 所以， 故选：A 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 已知，，则的值为 _________． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数式和对数式的互化及对数的运算性质计算即可. 【详解】因为, 所以, 所以. 故答案为：2. 12. 如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，若，则_______. 【答案】1或4 【解析】 【分析】结合图象由函数值可得自变量. 【详解】由图象可知当时，可得或. 故答案为：1或4. 13. 甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温（单位：℃）如下： 日 日 日 日 日 日 日 甲地 乙地 记这天甲地每天最低气温的标准差为；记这天乙地每天最低气温的标准差为．根据上述信息，若，则值可以为_______．（写出一个符合题意答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】借助平均数与方差定义，先计算出两地每天最低气温的平均数后再计算其方差即可得. 详解】， ， ， 则 ， 化简得，解得或， 故值可以为或. 故答案为：.（答案不唯一） 14. 已知函数 ①当时，函数的单调递减区间是__________； ②若存在最小值，则的取值范围是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】结合一次函数单调性和二次函数的单调性分开求解单调性，即可得解；根据题意分三种情况，结合二次函数及一次函数的性质讨论即可． 【详解】当时，， 当时函数单调递减， 当时函数， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 综上，函数的单调减区间为； 因为函数， ① 当时， 当时，单调递减，且， 当时，， 因为存在最小值，所以，即得，所以或， 所以； ② 当时，， 当时，，故函数存在最小值； ③ 当时， 当时，单调递增，且， 所以不存在最小值，不合题意舍； 综上，的取值范围是． 故答案为：；. 15. 已知函数给出下列四个结论： ①当时，的最小值为； ②当时，存在最小值； ③的零点个数为，则函数的值域为； ④当时，对任意． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】利用函数的单调性及最值可判断①②，根据零点定义结合条件分类讨论可判断③，利用特值可判断④. 【详解】对①，当时，， 当时，，当时，， 综上，的最小值为，①正确； 对②，，， 当时，， 当时，若，；若，， 如时，，函数不存在最小值，②错误； 对③，当时，最多一个解， 得或， 如时，，由可得(舍去)， 由得或，故此时两个零点，即； 如时，，由可得， 由得或，故此时三个零点，即； 当时，，由可得， 由得，故此时一个零点，即； 当时，，时，，无解， 时，，无解， 此时没有零点，即. 综上，的值域为，故③正确； 对④，当时，如时，， ，，，此时，故④错误. 故答案为：①③ 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 三、解答题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数 （1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论： （2）用函数单调性定义证明：函数在上是减函数； 【答案】（1）奇函数，证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先分析定义域是否关原点对称，然后根据与的关系作出判断； （2）先取值，然后再计算的正负，由此可完成证明； 【小问1详解】 是奇函数.证明如下： 的定义域为， 因为，都有， 且， 所以是奇函数. 【小问2详解】 任取，且， ， 因为，所以，， 所以， 所以， 所以函数在上是减函数. 17. 已知实数满足． （1）求和的取值范围； （2）证明：． 【答案】（1）； ． （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由不等式的性质即可求解； （2）通过作差法即可求证. 【小问1详解】 因为，所以， 因为， 所以； 【小问2详解】 ． 因为，所以． 所以； 所以． 18 根据《国家学生体质健康标准》，高一男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）： 立定跳远单项等级 高一男生 高一女生 优秀 及以上 及以上 良好 ~ ~ 及格 ~ ~ 不及格 及以下 及以下 从某校高一男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）： 男生： 女生： （1）分别估计该校高一男生和女生立定跳远单项优秀率； （2）从该校随机抽取的跳远成绩单项优秀的高一女生中随机抽取人，求恰有人成绩在以上，人成绩在以下的概率； （3）假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．从该校全体高一女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明） 【答案】（1）； （2） （3）相互独立 【解析】 【分析】（1）分别计算出样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数，获得优秀的女生人数，再计算频率即可得到优秀率的估计值； （2）计算出所有可能情况及符合要求的情况即可得解； （3）利用两个事件相互独立的定义判断即可得. 【小问1详解】 样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为， 所以估计该校高一男生立定跳远单项的优秀率为； 估计高一女生立定跳远单项优秀率为； 【小问2详解】 样本中立定跳远单项等级获得优秀的女生人数为， 其中成绩在以上的有人，成绩在以下的有人， 则恰有人成绩在以上，人成绩在以下的概率为； 【小问3详解】 与相互独立．理由如下： ， ， ，， 故，故与相互独立. 19. 已知函数，. （1）当时，求函数的值域； （2）记函数的最大值，求的解析式． 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）利用换元法和二次函数单调性求值域即可； （2）分和两种情况求最值即可. 【小问1详解】 令，则，，， 则原函数转换为， 当时，，， 函数在区间上的单调递增，对应的函数值的取值范围是； 函数在区间上的单调递减，对应函数值的取值范围是； 所以函数的值域是，所以函数的值域是. 【小问2详解】 由（1）得，， 当时，， 当时，， 所以. 20. 某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 索赔次数 保单份数 已知：一份保单的保费为万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿万元；第四次索赔时，保险公司赔偿万元. （1）从抽取的份保单中，随机抽取一份保单其索赔次数不少于的概率； （2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差． （i）记为抽取的份保单的毛利润平均值，求的值； （ii）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下抽取的份保单毛利润的平均值与（i）中的大小. 【答案】（1） （2）（i）0.122；（ii） 【解析】 【分析】（1）用频率估计概率，根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率； （2）（i）用频率估计概率后可求得分布列及数学期望，从而可求毛利润平均值；（ii）先算出下一期保单的毛利润，结合（i）的结果可求． 【小问1详解】 根据题中数据，在份保单中，索赔次数不少于2的保单份数为，故一份保单索赔次数不少于2的概率可估计为． 【小问2详解】 （i）由题设， 索赔次数 保单份数 毛利润(单位：万元) 所以． （ii）这种情况下抽取的份保单毛利润的平均值大于（i）中的估计值. 如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加， 份保单毛利润变化为， . 因此. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $