专题3.4 整式的乘除（压轴题综合测试卷）-2024-2025学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（浙教版2024）

整式的乘除 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）若，则a，b，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知，，，若的值与x的取值无关，当时，A的值为（    ） A．0 B．4 C． D．2 4．（24-25八年级上·重庆江津·期末）已知等式（，为正整数），则的值不可能是（   ） A． B． C．15 D．16 5．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）已知，，均为正整数，且满足，则的取值不可能是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．（24-25八年级上·福建泉州·期中）若正整数a，b，c满足不等式，则的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 7．（23-24七年级下·重庆北碚·期中）的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 8．（23-24八年级上·四川眉山·期中）观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算： 的值是（   ） A． B． C． 9．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知、、、均为常数，、均为非零常数，若有两个整式 ，．下列结论中，正确的有（    ） ①当为关于x的三次三项式时，则； ②当多项式乘积不含时，则； ③； ④当能被整除时，； ⑤若或时，无论和取何值，值总相等，则． A．①③⑤ B．①③④ C．③④⑤ D．①③④⑤ 10．（23-24七年级下·重庆·期末）在整式，，前添加“”或“”，先求和，再求和的绝对值的操作，称为“优绝对值”操作，将操作后的化简结果记为M．例如： ，则，当时，M的化简求值结果为：．下列说法正确的个数为（    ） ①至少存在一种“优绝对值”操作，使得操作后的化简结果为常数； ②把所有可能的“优绝对值”操作后的式子化简，共有8种不同的结果； ③在所有可能的“优绝对值”操作中，若操作后的化简求值的结果为17，则满足条件的a有且只有一个，此时． A．0 B．1 C．2 D．3 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（24-25八年级上·四川巴中·期中）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 12．（23-24七年级下·福建宁德·期中）已知，，，现给出，，之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是 ．（填序号） 13．（24-25八年级上·河北张家口·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了的展开式的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数，等等． 有如下两个结论： ①； ②当，时，代数式的值是； 上述结论中，正确的有 （写出序号即可）． 14．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为l1，面积为S1，图2中阴影部分周长为l2，面积为S2．若，则 ． 15．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 ．（请填写序号） 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分55分） 16．（8分）（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 17．（4分）（2024八年级上·黑龙江·专题练习）先化简，再求值： （1），其中，满足； （2），其中，． 18．（6分）（24-25七年级下·全国·单元测试）规定a，b两数之间的一种运算：如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定填空：__________，________，__________； （2）小明在研究这种运算时发现一个性质：对任意的正整数n，．证明如下：设，则，即，所以，即，所以．请根据上述内容计算：； （3）求证：． 19．（6分）（24-25八年级上·广东韶关·期末）【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． 【问题解决】 （1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 20．（6分）（23-24八年级上·湖南长沙·期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为． （1）下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； 与； 与； 与 （2）多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； （3）关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，求代数式的最小值． 21．（8分）（23-24七年级下·福建漳州·期中）小华同学在计算后，爱思考的他发现：是x项的系数，与通过计算后的结果对比，x项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算， ，x项的系数为；用他发现的方法计算：，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． （1）直接写出相乘，积中x项的系数 （2）若，直接写出的值； （3）若的积中不含x项，求p的值； （4）拓展应用：某超市计划购进A，B两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案．这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示， A B 进价（元/箱） 24 30 售价（元/箱） 48 57 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱B型号矿泉水，向社会福利机构捐款m元，A型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进A型号矿泉水有a箱，超市获得的利润为w元，用含a，m的式子表示w，并求m的值． 22．（8分）（23-24七年级下·重庆北碚·期中）材料一：若一个自然数除以3余数为，则该自然数的各数位上的数字之和除以3的余数也为．例如125除以3余数为2，则除以3的余数也为2． 材料二：若一个自然数可以表示为一个整数的平方，那么该自然数称为完全平方数．例如，所以169是完全平方数． （1）证明：完全平方数除以8的余数为1．（其中为整数） （2）一个各位数字均不为0的四位自然数，去掉的个位数字后形成的三位数除以3余1，去掉的千位数字后形成的三位数除以3余2，由的千位数字与百位数字构成的两位数记为，由的十位数字与个位数字构成的两位数记为，为完全平方数且为奇数．求出所有符合条件的自然数． 23．（9分）（23-24七年级下·山东青岛·期末）阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，， 则，． ∴ ； 类比探究： （1）若满足，求的值． （2）若满足，求的值．友情提示（2）中的可通过逆用积的乘方公式变成． （3）若满足，求的值． 解决问题： （4）如图，正方形和长方形重叠，重叠部分是长方形其面积是，分别延长、交和于、两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形设，，，，延长至，使，延长至，使，过点、作、垂线，两垂线交于点，求正方形的面积（结果是一个具体的数值）    第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 整式的乘除 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【思路点拨】 本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【解题过程】 解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）若，则a，b，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查的是有理数的比较大小，关键是先根据平方差公式、完全平方公式以及积的乘方法则计算出各数的大小．先根据平方差公式、完全平方公式以及积的乘方法则计算出、、的值再进行比较． 【解题过程】 解：， ， ， ， ． 故选：B． 3．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知，，，若的值与x的取值无关，当时，A的值为（    ） A．0 B．4 C． D．2 【思路点拨】 此题主要考查了整式的混合运算无关型题目，代数式求值，首先根据多项式乘多项式的方法，求出的值是多少，然后用它加上，求出的值是多少，最后根据的值与x的取值无关，可得x的系数是0，据此求出a的值，最后代入求值即可． 【解题过程】 解：，，， ， 的值与x的取值无关， ， ， 当时，， 故选：B． 4．（24-25八年级上·重庆江津·期末）已知等式（，为正整数），则的值不可能是（   ） A． B． C．15 D．16 【思路点拨】 本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后根据对应项的系数相等求出的值即可求解，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 【解题过程】 解：∵， ∴，， ∵为正整数， ∴， ∴或或或或， ∴的值不可能是， 故选：C． 5．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）已知，，均为正整数，且满足，则的取值不可能是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【思路点拨】 本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，将原方程化为，得到，，再根据a，b，c均为正整数，求出a，c的值，进而求出答案． 【解题过程】 解：∵ ∴， ∴， ∵，，均为正整数， ∴当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， ∴的取值不可能为7． 故选A 6．（24-25八年级上·福建泉州·期中）若正整数a，b，c满足不等式，则的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【思路点拨】 本题考查了完全平方公式及非负数的性质，难度适中，关键是根据几个非负数的和小于等于0时，这几个非负数都同时为0．根据正整数满足不等式，把不等式进行变形为完全平方和的形式，进而可求解． 【解题过程】 解：∵， ， ∴， 即， ∵为正整数， ∴只有且时不等式成立， ， ， 故选：A． 7．（23-24七年级下·重庆北碚·期中）的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【思路点拨】 本题考查了平方差公式，有理数的乘方．熟练掌握平方差公式进行运算是解题的关键． 由题意知， ，由，可知每4个3相乘为1个循环，由，可知的个位数字为9，然后作答即可． 【解题过程】 解：由题意知， …… ， ∵， ∴每4个3相乘为1个循环， ∵， ∴的个位数字为9， 故选：D． 8．（23-24八年级上·四川眉山·期中）观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算： 的值是（   ） A． B． C． 【思路点拨】 根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，即可得到规律为，利用规律，当，时，代入其中即可求解． 本题考查了平方差公式、及数字类的规律题，解题的关键是认真阅读，总结规律，并利用规律解决问题． 【解题过程】 解：由； ； ； … 观察发现： ， 当，时，得 ， ∴， ∴． 故选：A． 9．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知、、、均为常数，、均为非零常数，若有两个整式 ，．下列结论中，正确的有（    ） ①当为关于x的三次三项式时，则； ②当多项式乘积不含时，则； ③； ④当能被整除时，； ⑤若或时，无论和取何值，值总相等，则． A．①③⑤ B．①③④ C．③④⑤ D．①③④⑤ 【思路点拨】 本题考查了整式的加减与乘法，求出，为关于的三次三项式，此时，故说法①错误；求出，再由多项式乘积不含，可得，解得：，故说法②错误；当时，可得，当时，可得，故③说法正确；设，可得，从而得到，故④说法正确；根据当或时，无论和取何值，值总相等，可得且，故⑤说法正确，即可． 【解题过程】 解：∵，， ∴， ∵为关于x的三次三项式，且e为非零常数，为关于的三次三项式，此时，故说法①正确； ∵多项式乘积不含， ∴，解得：，故说法②错误； 当时，， 即， 当时，， 即， ∴，故③说法正确； ∵能被整除， ∴可设， ∵ ∴， 即， ∴， ∴，故④说法正确； 当时，， 当时，， ∵当或时，无论和取何值，值总相等， ∴且， 解得：，故⑤说法正确； 故选：D． 10．（23-24七年级下·重庆·期末）在整式，，前添加“”或“”，先求和，再求和的绝对值的操作，称为“优绝对值”操作，将操作后的化简结果记为M．例如： ，则，当时，M的化简求值结果为：．下列说法正确的个数为（    ） ①至少存在一种“优绝对值”操作，使得操作后的化简结果为常数； ②把所有可能的“优绝对值”操作后的式子化简，共有8种不同的结果； ③在所有可能的“优绝对值”操作中，若操作后的化简求值的结果为17，则满足条件的a有且只有一个，此时． A．0 B．1 C．2 D．3 【思路点拨】 本题以新定义阅读题为背景考查了绝对值化简和相反数定义，考核了学生对绝对值和相反数定义的理解及灵活运用，弄清定义，读懂题目按照规律列举出所有可能结果解题事半功倍．根据题意，找出一种“优绝对值”操作使操作后化简结果为常数，即为正确，可判定①正确；写出所有可能的结果数，然后可判定②错误，③正确． 【解题过程】 解：使操作后化简的结果为常数，即使a的系数为0， 有，故①正确． ， ， 当时， ∵， ∴不可能等于17； 当 ， 当时，， ∴； 当 ， ∵， ∴不可能等于17； 当时， ∵， ∴不可能等于17； 当 ， 当时，， ∴； 当 ， ∵， ∴不可能等于17； ∴把所有可能的“优绝对值”操作后的式子化简，共有4种不同的结果，故②错误； ∴在所有可能的“优绝对值”操作中，若操作后的化简求值的结果为17，则满足条件的a有且只有一个，此时，故③正确； 综上分析可知：正确的有2个． 故选：C． 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（24-25八年级上·四川巴中·期中）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【思路点拨】 本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．根据定义的新运算的运算法则，得出的值，然后进行化简，最后再整体代入即可求值． 【解题过程】 解：根据题意，可得： ， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：9． 12．（23-24七年级下·福建宁德·期中）已知，，，现给出，，之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是 ．（填序号） 【思路点拨】 本题主要考查了同底数幂乘除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法计算，根据，即可判断①④；根据，，即可判断②；根据，，即可判断③； 【解题过程】 解：∵，，， ∴， ∴ ∴，故①正确，④错误； ∵，， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③错误； 故答案为：①②． 13．（24-25八年级上·河北张家口·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了的展开式的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数，等等． 有如下两个结论： ①； ②当，时，代数式的值是； 上述结论中，正确的有 （写出序号即可）． 【思路点拨】 本题考查了多项式乘法中的规律性问题，有理数的乘方等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意知，展开式中各项的系数对应第六行的1，5，，，5，1，进而可判断①的正误；当，时，，计算求解，可判断②的正误． 【解题过程】 解：由题意知，在杨辉三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数； 第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数， ∴展开式中各项的系数对应第六行的1，5，，，5，1， ∴，①正确，故符合要求； 当，时，代数式，②正确，故符合要求； 故答案为：①②． 14．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为l1，面积为S1，图2中阴影部分周长为l2，面积为S2．若，则 ． 【思路点拨】 本题考查了整式混合运算在面积中的应用，分别表示出，、、、，代入进行运算，即可求解；能表示出各个量，正确进行整式运算是解题的关键． 【解题过程】 解：设大长方形的宽短边长为， ∴由图知，， ∴ ， ， + ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案：． 15．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 ．（请填写序号） 【思路点拨】 本题主要考查了代数式的恒等变形及整体代入法求代数式的值，熟练掌握整体代入法是解题的关键．将两边同时除以x可得，由此可得①正确；将①式两边平方再化简可得②正确；由，将①代入其中可得③正确；给①式两边同乘以得，再将①式变形得，然后代入上式即可判断④错误． 【解题过程】 解：由，得 ， ∴， 故①正确； ∵， ， ， ， 故②正确； ∵， ∴， 故③正确； 由，得， 两边同乘以，得， 又由，得， ， ， ， ， 故④错误． 综上，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分55分） 16．（8分）（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 【思路点拨】 本题考查了整式的乘法运算，掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键． （1）利用单项式乘单项式法则进行计算即可； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式，最后合并即可； （3）先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘法即可； （4）利用积的乘方逆运算法则进行计算即可得出答案． （5）利用单项式乘以多项式、平方差公式计算即可； （6）利用平方差公式计算即可； （7）利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （8）利用平方差公式、完全平方公式计算即可； 【解题过程】 （1）解：原式； （2）解：原式， ， ； （3）解：原式， ； （4）解：原式， ， ， ． （5）解：原式 ； （6）解：原式 ； （7）解：原式 ； （8）解：原式 ． 17．（4分）（2024八年级上·黑龙江·专题练习）先化简，再求值： （1），其中，满足； （2），其中，． 【思路点拨】 本题考查的是整式的化简求值、非负数的性质． （1）根据整式的混合运算法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出，，代入计算即可； （2）先根据完全平方公式、平方差公式和合并同类项可以化简所求的式子，再将x、y的值代入化简后的式子即可． 【解题过程】 （1）解：原式 ． ， ，， 解得，， 原式； （2）解：原式 当，时， 原式． 18．（6分）（24-25七年级下·全国·单元测试）规定a，b两数之间的一种运算：如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定填空：__________，________，__________； （2）小明在研究这种运算时发现一个性质：对任意的正整数n，．证明如下：设，则，即，所以，即，所以．请根据上述内容计算：； （3）求证：． 【思路点拨】 本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法等知识，熟练掌握幂的乘方是解题的关键． （1）根据题目中的规定，进行运算即可得出结果； （2）设，则，得到，同理得到，则，从而可求解； （3）设，则，从而可得，得到，从而得证． 【解题过程】 （1）解：∵，，， ∴ ，， 故答案为：3，2，3； （2）设，则， ∴， 则， ∴， 设，则， ∴， 则， ∴， ∴， ∴； （3）设，则， ∴， ∴， 即． 19．（6分）（24-25八年级上·广东韶关·期末）【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． 【问题解决】 （1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 【思路点拨】 本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图1的面积即可； （2）根据图2可得，再将，代入计算即可； （3）由图甲和乙中阴影部分的面积分别为4和30得到，，求得，，再根据代入计算即可． 【解题过程】 解：（1）图1中大正方形的边长为，因此面积为， 拼成图1的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）图2中，大正方形的边长为，因此面积为， 阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为， 所以有， ∵图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，即，， ∴，， ∵， ∴，； ∴ ． 20．（6分）（23-24八年级上·湖南长沙·期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为． （1）下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； 与； 与； 与 （2）多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； （3）关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，求代数式的最小值． 【思路点拨】 此题考查了求代数式值的能力， （1）运用题目中的定义进行逐一计算、辨别； （2）先运用题目中的定义求得，的值，再代入求解； （3）先求得，再将原式进行配方变形进行求解；解题的关键是能准确运用题目的新定义进行求解． 【解题过程】 （1）∵， , ， ∴组多项式不是互为“对消多项式”，组多项式是互为“对消多项式”， 故答案为：； （2），， ∵与互为“对消多项式”， ，， ，， ∴它们的“对消值”为； （3），， ， ∵与互为“对消多项式”且“对消值”为， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴代数式的最小值是． 21．（8分）（23-24七年级下·福建漳州·期中）小华同学在计算后，爱思考的他发现：是x项的系数，与通过计算后的结果对比，x项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算， ，x项的系数为；用他发现的方法计算：，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． （1）直接写出相乘，积中x项的系数 （2）若，直接写出的值； （3）若的积中不含x项，求p的值； （4）拓展应用：某超市计划购进A，B两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案．这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示， A B 进价（元/箱） 24 30 售价（元/箱） 48 57 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱B型号矿泉水，向社会福利机构捐款m元，A型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进A型号矿泉水有a箱，超市获得的利润为w元，用含a，m的式子表示w，并求m的值． 【思路点拨】 本题主要考查了多项式乘以多项式的运算及应用等知识点， （1）由题干中计算方法即可得解； （2）由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和，根据规律即可得解； （3）由题干中计算方法即可得解； （4）根根题意列出式子，由无论a为多少，w都不变，得出m的值，即可得解； 理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数及题干中得出的规律是解决问题的关键． 【解题过程】 （1）由题中计算方法知：， 故答案为：13； （2）∵是由2024个相乘， 又由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和， ∴它的展开式的一次项系数为2024个1的和， ∴； （3）由题干中计算方法知：中x的系数为， ∵x的系数为零， ∴， ∴； （4）∵设购进A型号矿泉水有a箱， ∴购进B型号矿泉水有箱， ∴ ， ∵无论a为多少，w都不变， ∴中，a的系数为0， ∴, ∴，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，都为元， ∴，． 22．（8分）（23-24七年级下·重庆北碚·期中）材料一：若一个自然数除以3余数为，则该自然数的各数位上的数字之和除以3的余数也为．例如125除以3余数为2，则除以3的余数也为2． 材料二：若一个自然数可以表示为一个整数的平方，那么该自然数称为完全平方数．例如，所以169是完全平方数． （1）证明：完全平方数除以8的余数为1．（其中为整数） （2）一个各位数字均不为0的四位自然数，去掉的个位数字后形成的三位数除以3余1，去掉的千位数字后形成的三位数除以3余2，由的千位数字与百位数字构成的两位数记为，由的十位数字与个位数字构成的两位数记为，为完全平方数且为奇数．求出所有符合条件的自然数． 【思路点拨】 （1）将展开为，即可求证， （2）结合材料1可得到，，根据、、、的范围，得到，且是完全平方数，得到 ，，，，，结合与的范围，分情况讨论，即可求解， 本题考查了，十进制整数表示方法，完全平方数，解题的关键是：根据条件列式，分情况讨论． 【解题过程】 （1）证明：， ∵为整数， ∴能被8整除， ∴完全平方数除以8的余数为1； （2）解：∵余数为1，余数为2， ∴余数为1，余数为2， 设，，其中， ∴，， ∵，， ∵，，，， ∴，， ∴， ∵为完全平方数且为奇数，之间的奇数完全平方数有：，，，，， ∴ ，，，，， 当，时， ，b可取， ，c无值可取， 当，时， ，b可取，， ，c可取， ∴，或， ∴，， 当，时， ，b可取，，， ，c可取，， ∴或，或或， ∴，，，，，， 当，时， ，可取，，， ，可取，，， ∴或或，或或， ∴，，，，，，，，， 当，时， ，可取，， ，可取， ∴， 或， ∴，， 故答案为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 23．（9分）（23-24七年级下·山东青岛·期末）阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，， 则，． ∴ ； 类比探究： （1）若满足，求的值． （2）若满足，求的值．友情提示（2）中的可通过逆用积的乘方公式变成． （3）若满足，求的值． 解决问题： （4）如图，正方形和长方形重叠，重叠部分是长方形其面积是，分别延长、交和于、两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形设，，，，延长至，使，延长至，使，过点、作、垂线，两垂线交于点，求正方形的面积（结果是一个具体的数值）    【思路点拨】 （1）根据例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）将转化为，即，再根据例题的解题思路进行计算，即可解答； （3）根据例题的解题思路进行计算，即可解答； （4）根据已知可得，，从而可得，再根据题意得：，，从而可得，进而可得，然后利用（3）的解题思路进行计算，即可解答． 【解题过程】 解：（1）设，， 则，， ， 的值为2560； （2）∵， ， ， 设，， 则，， ， 的值为； （3）设，， 则，， ， ， 的值为； （4）∵，，，， ，， 长方形的面积是， ， 由题意得：，， ， ， ， ， ， ， 设，， 则，， 正方形的面积 ， 正方形的面积为3636． 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$