专题3.2 整式的乘法（压轴题专项讲练）-2024-2025学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（浙教版2024）

专题3.2 整式的乘法 · 典例分析 【典例1】已知多项式与另一个多项式A的乘积为多项式B． （1）若A为关于x的一次多项式，B中x的一次项系数为0，则 ． （2）若B为，求的值． （3）若A为关于x的二次三项式，判断B是否可能为关于x的三次二项式，如果可能，请求出b，c的值；如果不可能，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查了多项式乘多项式，整式的加减，解决本题的关键是掌握整式的加减． （1）根据题意列出，根据B中x的一次项系数为0，进而可得a的值； （2）根据B为，可以设A为，根据多项式与另一多项式A的乘积为多项式B，即可用含t的式子表示出p和q，进而可得的值； （3）根据A为关于x的二次三项式，可得b，c不能同时为0，分两种情况：当时，，当时，，可得b和c的值． 【解题过程】 （1）解：根据题意可知： ， ∵B中x的一次项系数为0， ∴， 解得． 故答案为：； （2）设A为， 则， ∴， ∴； （3）B可能为关于x的三次二项式，理由如下： ∵A为关于x的二次多项式， ∴b，c不能同时为0， ∵． 当时，， ∵b不能为0， ∴只能当，即时，B为三次二项式，为； 当时，． 只有当，即时，B为三次二项式，为． 综上所述：当或时，B为三次二项式． · 学霸必刷 1．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）若，则的值为（　　） A． B．125 C． D．1 【思路点拨】 本题主要考查多项式乘以多项式，运用多项式乘以多项式运算法则计算后，根据对应项的系数相等得到的值，再代入计算即可 【解题过程】 解： 又， ∴ ∴， 故选：A 2．（2024七年级下·浙江·专题练习）设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 【思路点拨】 本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．利用换元法，设，则，可得：，，，再代入计算即可． 【解题过程】 解：根据题意，设， ， ， ，，， ， 故选：B． 3．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知，，，若的值与x的取值无关，当时，A的值为（    ） A．0 B．4 C． D．2 【思路点拨】 此题主要考查了整式的混合运算无关型题目，代数式求值，首先根据多项式乘多项式的方法，求出的值是多少，然后用它加上，求出的值是多少，最后根据的值与x的取值无关，可得x的系数是0，据此求出a的值，最后代入求值即可． 【解题过程】 解：，，， ， 的值与x的取值无关， ， ， 当时，， 故选：B． 4．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）若、为整数，且，则不可能是（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键，注意不要漏解．根据，、为整数，可得、有组值，分别计算即可得出的值，从而作出判断． 【解题过程】 解：， ， 即， 、为整数，， ，或，或，或，或，或，， 或或或或或， 即的值为，，，不可能为， 故选：B． 5．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法． 如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 【思路点拨】 本题主要考查列代数式、多项式乘多项式与几何图形面积的应用，设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再利用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积． 【解题过程】 解：设小正方形的边长为， 矩形的长为，宽为， 由图1、图2可得：， 整理得：， ，， ， ， 矩形面积为： ． 故选：B． 6．（24-25七年级上·陕西西安·期末）三个边长分别为的正方形按如下图位置摆放，则图中3阴影部分的面积可表示为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 此题主要考查了图形的面积，列代数式，准确识图，正确的根据图形的面积公式列出代数式是解决问题的关键．依题意得：，，根据即可得出结果． 【解题过程】 解：如图所示： 依题意得：， ，， ， ， 故选：A． 7．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，有三张正方形纸片，将三张纸片按照如图所示的方式放置于一个长方形中，已知中间重叠部分四边形恰好是一个正方形，记图中两块未被覆盖的阴影部分面积分别为和，已知，，若要知道和的面积差，只需要知道（   ） A．正方形的边长 B．正方形的边长 C．正方形的边长 D．正方形的边长 【思路点拨】 本题考查了列代数式，整式的混合运算，延长交于点，则右上角未被覆盖部分阴影部分的面积，分别设正方形的边长分别为，正方形的边长为，表示出，，再作差即可得解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解题过程】 解：如图，延长交于点，则右上角未被覆盖部分阴影部分的面积， 设正方形的边长分别为，正方形的边长为， 则，，，，，， ∴，， ∴ 故要知道和的面积差，只需要知道的值即可，即要知道正方形的边长， 故选：． 8．（23-24八年级上·重庆江津·期中）若有两个整式．下列结论中，正确的有（    ） ①当为关于的三次三项式时，则； ②当多项式乘积不含时，则； ③； ④当能被整除时，； A．①② B．②③ C．③④ D．①③④ 【思路点拨】 本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式运算相关法则．根据整式的加减法法则，多项式与多项式的乘法法则逐一判断即可解答． 【解题过程】 解：， ， 当时，为关于的三次三项式，此时，故说法①错误； 多项式乘积不含， ，解得：，故说法②错误； 当时，， 即， 当时，， 即， ，故③说法正确； 能被整除， 可设， ， 即， ， ，故④说法正确． 故选C． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）若数x满足，则 ． 【思路点拨】 本题考查了整式的求值问题，利用已知代数式将所求代数式逐步降次是解题的关键．由可得，利用将代数式逐步降次，然后去括号再合并同类项即可解答． 【解题过程】 解：， ， ． 故答案为：． 10．（2024·浙江宁波·二模）多项式与多项式的乘积为，则 ． 【思路点拨】 本题考查的是多项式乘多项式和单项式乘单项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据多项式乘多项式和单项式乘单项式的运算法则计算即可． 【解题过程】 解：多项式与多项式的乘积为， 设多项式， 由题意得： ， ，，， ， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·四川巴中·期中）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【思路点拨】 本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．根据定义的新运算的运算法则，得出的值，然后进行化简，最后再整体代入即可求值． 【解题过程】 解：根据题意，可得： ， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：9． 12．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为 ． 【思路点拨】 本题考查了图形的变化，观察所给图案，列式表达出每个图案需要黑色棋子的个数，找出规律，第n个图案需要的个数为：，代入即可． 【解题过程】 解：由图知第一个图案需要黑色棋子的个数为（个）； 第二个图案需要的个数为（个）； 第三个图案需要的个数为（个）； 第四个图案需要的个数为（个）； … 第n个图案需要的个数为： （个）， 当时，， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释．现有如图所示的三种类型卡片，，，想要拼成如图所示的长方形，则需要类型卡片 张． 【思路点拨】 本题考查了整式的乘法、整式的加减，利用长方形面积公式表示出长方形的面积，首先把大长方形、型卡片、型卡片的面积用代数式表示出来，大长方形的面积减去个型卡片的面积和个型卡片的面积，根据剩下的面积和型卡片的面积求出需要的型卡片的数量． 【解题过程】 解：如下图所示，长方形的长为，宽为， 长方形的面积为， 图中有个，个， 长方形中剩余部分的面积为， 型卡片的面积为， 需要个类型的卡片． 故答案为： ． 14．（23-24八年级上·江西新余·阶段练习）为非零自然数，若为两个连续自然数之积，则的值是 ． 【思路点拨】 可分析确定，进而或，分别求解； 【解题过程】 解：∵ ， ∴ ∴或 解得或 时，， 时，， 故答案为：2或6 15．（24-25六年级上·上海·期中）代数式与乘积是一个六次多项式 ，则 ． 【思路点拨】 本题考查了多项式乘法以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键； 选择了一个特殊的x值（在这里是）进行代入得出六次多项式，然后将代入两个多项式，然后计算它们的乘积．这个乘积应该等于六次多项式在时的值． 【解题过程】 解：令，代入得 将代入与中得 ， 故答案为：． 16．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）世纪欧拉引进了求和符号“”（其中，且和表示正整数），对这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来，即．例如：当时，．若，则 ． 【思路点拨】 本题考查了多项式乘多项式求和，恒等式的问题，根据，把代入，然后通过法则进行计算对比即可求解，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【解题过程】 解：∵，且中二次项系数为， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：． 17．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．例如：，． （1）当，，则 ； （2）当时，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是 ． 【思路点拨】 （1）根据新运算的定义，得，，故，．那么，． （2）由，得，故．由当时，对任意有理数，都成立，故当时，对任意有理数，都成立．那么，． 【解题过程】 解：（1），， ，． ，． ，． 所以． （2）∵，， ∴． ． 若当时，对任意有理数，都成立， 当时，对任意有理数，都成立． 当时，对任意有理数，都成立． ． 故答案为：9，． 18．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）定义：是以a，b，c为系数的二次多项式，即，其中a，b，c均为实数，例如，，则． （1）当时， ． （2）若，则 ． 【思路点拨】 本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，给x赋予特殊值是解题的关键． （1）根据定义，求出，再将即可解答； （2）根据定义，求得，再令，可求得，再化简即得答案． 【解题过程】 （1）， ，， ， 当时，， 故答案为：． （2），， ， 令， 则， 即， ， 即． 故答案为：． 19．（24-25八年级上·四川眉山·期中）欢欢与乐乐两人共同计算，欢欢抄错了的符号，得到的结果为；乐乐抄漏了第二个因式中的系数，得到的结果为．请计算出原题的正确结果． 【思路点拨】 本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解答本题的关键．根据由于欢欢抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为，可得，于是①；再根据乐乐由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为，可得，于是②，解关于①②的方程组即可求a、b的值，把a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果． 【解题过程】 解：根据题意可知： 由于欢欢抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为， 那么， 即， 于是①， 乐乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为， 可得， 即， 于是②， 解关于①②的方程组，可得， 所以原式为， 计算得． 20．（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知与的积与是同类项． （1）求的值， （2）先化简，再求值：． 【思路点拨】 本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义： （1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出，再由同类项的定义得到，解之即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【解题过程】 （1）解：， ∵与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴， ∴； （2）解： ， 当时，原式． 21．（24-25八年级上·全国·期中）若的积中不含和项． （1）求的值； （2）求代数式的值． 【思路点拨】 此题考查了多项式乘以多项式，以及整式的混合运算－化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后根据积中不含和项，求出与的值， （1）将与的值代入计算即可求出值； （2）利用幂的乘方与积的乘方法则变形，将各自的值代入计算即可求出值． 【解题过程】 （1）解： ， ∵的积中不含和项， ∴，， ∴， ， ∴； （2）解： 当， 时，原式 ． 22．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）[核心素养]如图①，在某住房小区的建设中，为了提供更好的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的通道． （1）求通道的面积； （2）若修建三条宽为米的通道（如图②所示），，剩余草坪的面积为216平方米，求通道的宽度． 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程的应用，多项式与多项式的乘法法则，解题的关键是学会用分割法求面积，熟练掌握多项式的混合运算法则，属于中考常考题型． （1）根据通道的面积两个长方形面积中间重叠部分的正方形的面积计算即可； （2）根据剩余草坪的面积大长方形面积通道的面积，求得剩余草坪的面积，再根据，剩余草坪的面积是216平方米，列出方程求解即可． 【解题过程】 （1）解： ， 答：通道的面积为平方米； （2）解： ． ， ． 令，即，解得（负值已舍去）． 答：通道的宽度为2米． 23．（24-25八年级上·北京·期中）长方形窗户（如图1），是由上下两个长方形（长方形和长方形）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和（即，），其中．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸至．当下面窗户 的遮阳帘水平向左拉伸时，恰好与在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）． （1）求长方形窗户的总面积；（用含a、b的代数式表示） （2）如果上面窗户的遮阳帘拉伸至，下面窗户的遮阳帘拉伸至处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，求． 【思路点拨】 本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是正确理解题意，根据图形列出式子进行计算，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）先将长方形的长和宽表示出来，再根据长方形面积公式，即可求解； （2）求出透光部分的面积，再根据窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，得出等式，即可求出的值． 【解题过程】 （1）解：由题知：，，，， ，， ， ∴长方形窗户的总面积为． （2）解：根据题意可得， ， ， ， ， ∴ ． ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（24-25八年级上·四川内江·期末）[知识回顾] 已知代数式的值与的取值无关，求的值． 解题方法：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即． [理解应用] （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； （2）已知的值与无关，求的值； （3）如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与满足的等量关系．    【思路点拨】 本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． （1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）先根据整式的加减化简，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （3）设，先求出，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得． 【解题过程】 （1）解： ， 关于的多项式的值与的取值无关， ， 解得； （2）解： ， 关于的多项式的值与的取值无关的值与无关， ， 解得； （3）解：设， 由图可知，，， 则 ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的值无关， ， ． 25．（24-25八年级上·河南商丘·期末）日历与人们日常生活密切相关，日历中蕴含着丰富的数学问题.如图，在2025年1月份的日历中，两个长方形中四个角上的数字交叉相乘，再相减，例如________，________，不难发现，结果都是________． 2025年1月 （1）完成上面的填空． （2）请你再选择两个类似的长方形框试一试，看看是否符合这个规律． （3）若设每个方框的左上角数字设为n，请你利用整式的运算对以上的规律加以证明． 【思路点拨】 此题考查了整式的混合运算，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据所给算式进行计算即可； （2）选择两个类似的长方形框试一试即可； （3）表示出各个角上的数字，再根据“右上角×左下角-左上角×右下角”写出规律；利用多项式乘多项式法则，证明结论． 【解题过程】 （1）解：， 不难发现，结果都是14， 故答案为：14；14；14； （2）解：如图： ， ， 结果都是14；符合规律； （3）解：①设左上角的数字为n，则右上角的数字为， 左下角的数字为，右下角的数字为． 发现的规律是． 证明： ； ②设左上角的数字为n，则右上角的数字为， 左下角的数字为，右下角的数字为． 发现的规律是． 证明： ． 26．（24-25八年级上·福建泉州·期中）设是一个十位数字为1的两位数，据一份资料介绍可以按下面的步骤用心算来计算． 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：． 这就是要求的计算结果，即得． 用这样的方法，就可用心算很快算出从11到19这九个两位数中任意两个两位数的乘积． （1）请用上述的方法步骤计算：； （2）请用整式的乘法法则来说明的速算原理； （3）若，请用所学的知识探究（其中，，为正整数）的计算规律． 【思路点拨】 本题考查了数字的变化类，掌握多项式乘多项式的运算法则和理解题中的方法是解题的关键． （1）根据题中的方法求解； （2）根据多项式乘以多项式的运算法则求解； （3）根据多项式乘以多项式的运算法则求解． 【解题过程】 （1）解：第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：， ． （2）解：是一个十位数字为1的两位数， ， ． （3）解：，，， ． 27．（23-24七年级下·广东清远·期末）计算下列各式，然后回答问题： _______；_______； _______；_______． （1）从上面的计算中总结规律，用公式可表示为： ________； （2）运用上面的规律，直接写出下式的结果： ①_______； ②_______； （3）若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______． 【思路点拨】 （1）根据多项式乘以多项式的法则即可得，然后总结规律即可； （2）根据上面的结果，归纳类推出一般规律即可得； （3）运用（1）的规律即可得． 【解题过程】 （1）；； ；； ∴； （2）①； ②； （3）∵ ∴， ∵均为整数， ∴当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 综上所述，满足条件的k的值可以是19，11，9，，，． 28．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）阅读以下材料： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如，所以和与和都是“幸福数对”. 解决如下问题： （1）请判断与是否是“幸福数对”？并说明理由： （2）为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，试说明，，，之间满足怎样的数量关系，并写出证明过程； （3）若有一个两位数，十位数字为，个位数字为；另一个两位数，十位数字为，个位数字为．若这两个数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 【思路点拨】 本题考查了多项式乘以多项式和新定义“幸福数对”，根据多项式乘以多项式进行计算即可求解． （1）根据定义即可得到答案； （2）根据定义得：，化简得； （3）根据定义列等式，化简解方程可得的值，从而得出答案． 【解题过程】 （1）解：∵，， ∴， ∴与是“幸福数对” （2）解： 理由如下，依题意，， ， ， ，， ∴． 即 （3）解：由（2）可得 即 ∴ 解得：， 则 ， ； ， ∴这两个两位数分别为：和． 29．（24-25七年级上·上海虹口·期中）定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． （1）如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； （2）已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 【思路点拨】 本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是理解题意，掌握多项式乘多项式法则． （1）根据多项式乘法算出，再根据“相邻增项式”的定义判断即可． （2）①当时，算出，根据是的“相邻增项式”，得出或，解答即可． ②根据，算出，根据关于的整式中不含的二次项，得出，求出，从而得出，再表示出，算出，即可求解． 【解题过程】 （1）解：是，理由如下： 根据题意可得：， 的项数正好比的项数多1， 是的“相邻增项式”． （2）解：①当时，， ∵是的“相邻增项式”， ∴或， 解得：或． ②根据题意可得， ∴， 由于关于的整式中不含的二次项，， ∴，解得：， ， ∵， ∴， ， 当时，为关于的二项式，而为四项式， 此时不合题意，舍去； 当时，则为关于的三项式， 又是的“相邻增项式”且， ， 综上所述，的值为． 30．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式（是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： （1）小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，要根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子； （2）判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由； （3）若多项式（是常数）是一组平衡多项式，求的值． 【思路点拨】 本题主要考查了新定义的理解，多项式的运算，对于（1），根据多项式乘以多项式法则计算，并求出平衡因子； 对于（2），根据运算法则计算，并求出平衡因子； 对于（3），分三种情况列出算式，再计算求值． 【解题过程】 （1）根据题意，得 ， 所以平衡因子是； （2）是平衡多项式，理由如下： 根据题意，得 ， 所以是平衡多项式，平衡因子是； （3）若 ， ∴， 解得； 若 ， ∴， 解得； 若 ， ∴， 解得. 所以m的值为或7或． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 整式的乘法 · 典例分析 【典例1】已知多项式与另一个多项式A的乘积为多项式B． （1）若A为关于x的一次多项式，B中x的一次项系数为0，则 ． （2）若B为，求的值． （3）若A为关于x的二次三项式，判断B是否可能为关于x的三次二项式，如果可能，请求出b，c的值；如果不可能，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查了多项式乘多项式，整式的加减，解决本题的关键是掌握整式的加减． （1）根据题意列出，根据B中x的一次项系数为0，进而可得a的值； （2）根据B为，可以设A为，根据多项式与另一多项式A的乘积为多项式B，即可用含t的式子表示出p和q，进而可得的值； （3）根据A为关于x的二次三项式，可得b，c不能同时为0，分两种情况：当时，，当时，，可得b和c的值． 【解题过程】 （1）解：根据题意可知： ， ∵B中x的一次项系数为0， ∴， 解得． 故答案为：； （2）设A为， 则， ∴， ∴； （3）B可能为关于x的三次二项式，理由如下： ∵A为关于x的二次多项式， ∴b，c不能同时为0， ∵． 当时，， ∵b不能为0， ∴只能当，即时，B为三次二项式，为； 当时，． 只有当，即时，B为三次二项式，为． 综上所述：当或时，B为三次二项式． · 学霸必刷 1．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）若，则的值为（　　） A． B．125 C． D．1 2．（2024七年级下·浙江·专题练习）设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 3．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知，，，若的值与x的取值无关，当时，A的值为（    ） A．0 B．4 C． D．2 4．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）若、为整数，且，则不可能是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法． 如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 6．（24-25七年级上·陕西西安·期末）三个边长分别为的正方形按如下图位置摆放，则图中3阴影部分的面积可表示为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，有三张正方形纸片，将三张纸片按照如图所示的方式放置于一个长方形中，已知中间重叠部分四边形恰好是一个正方形，记图中两块未被覆盖的阴影部分面积分别为和，已知，，若要知道和的面积差，只需要知道（   ） A．正方形的边长 B．正方形的边长 C．正方形的边长 D．正方形的边长 8．（23-24八年级上·重庆江津·期中）若有两个整式．下列结论中，正确的有（    ） ①当为关于的三次三项式时，则； ②当多项式乘积不含时，则； ③； ④当能被整除时，； A．①② B．②③ C．③④ D．①③④ 9．（2025七年级下·全国·专题练习）若数x满足，则 ． 10．（2024·浙江宁波·二模）多项式与多项式的乘积为，则 ． 11．（24-25八年级上·四川巴中·期中）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 12．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为 ． 13．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释．现有如图所示的三种类型卡片，，，想要拼成如图所示的长方形，则需要类型卡片 张． 14．（23-24八年级上·江西新余·阶段练习）为非零自然数，若为两个连续自然数之积，则的值是 ． 15．（24-25六年级上·上海·期中）代数式与乘积是一个六次多项式 ，则 ． 16．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）世纪欧拉引进了求和符号“”（其中，且和表示正整数），对这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来，即．例如：当时，．若，则 ． 17．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．例如：，． （1）当，，则 ； （2）当时，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是 ． 18．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）定义：是以a，b，c为系数的二次多项式，即，其中a，b，c均为实数，例如，，则． （1）当时， ． （2）若，则 ． 19．（24-25八年级上·四川眉山·期中）欢欢与乐乐两人共同计算，欢欢抄错了的符号，得到的结果为；乐乐抄漏了第二个因式中的系数，得到的结果为．请计算出原题的正确结果． 20．（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知与的积与是同类项． （1）求的值， （2）先化简，再求值：． 21．（24-25八年级上·全国·期中）若的积中不含和项． （1）求的值； （2）求代数式的值． 22．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）[核心素养]如图①，在某住房小区的建设中，为了提供更好的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的通道． （1）求通道的面积； （2）若修建三条宽为米的通道（如图②所示），，剩余草坪的面积为216平方米，求通道的宽度． 23．（24-25八年级上·北京·期中）长方形窗户（如图1），是由上下两个长方形（长方形和长方形）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和（即，），其中．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸至．当下面窗户 的遮阳帘水平向左拉伸时，恰好与在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）． （1）求长方形窗户的总面积；（用含a、b的代数式表示） （2）如果上面窗户的遮阳帘拉伸至，下面窗户的遮阳帘拉伸至处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，求． 24．（24-25八年级上·四川内江·期末）[知识回顾] 已知代数式的值与的取值无关，求的值． 解题方法：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即． [理解应用] （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； （2）已知的值与无关，求的值； （3）如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与满足的等量关系．    25．（24-25八年级上·河南商丘·期末）日历与人们日常生活密切相关，日历中蕴含着丰富的数学问题.如图，在2025年1月份的日历中，两个长方形中四个角上的数字交叉相乘，再相减，例如________，________，不难发现，结果都是________． 2025年1月 （1）完成上面的填空． （2）请你再选择两个类似的长方形框试一试，看看是否符合这个规律． （3）若设每个方框的左上角数字设为n，请你利用整式的运算对以上的规律加以证明． 26．（24-25八年级上·福建泉州·期中）设是一个十位数字为1的两位数，据一份资料介绍可以按下面的步骤用心算来计算． 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：． 这就是要求的计算结果，即得． 用这样的方法，就可用心算很快算出从11到19这九个两位数中任意两个两位数的乘积． （1）请用上述的方法步骤计算：； （2）请用整式的乘法法则来说明的速算原理； （3）若，请用所学的知识探究（其中，，为正整数）的计算规律． 27．（23-24七年级下·广东清远·期末）计算下列各式，然后回答问题： _______；_______； _______；_______． （1）从上面的计算中总结规律，用公式可表示为： ________； （2）运用上面的规律，直接写出下式的结果： ①_______； ②_______； （3）若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______． 28．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）阅读以下材料： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如，所以和与和都是“幸福数对”. 解决如下问题： （1）请判断与是否是“幸福数对”？并说明理由： （2）为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，试说明，，，之间满足怎样的数量关系，并写出证明过程； （3）若有一个两位数，十位数字为，个位数字为；另一个两位数，十位数字为，个位数字为．若这两个数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 29．（24-25七年级上·上海虹口·期中）定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． （1）如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； （2）已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 30．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式（是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： （1）小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，要根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子； （2）判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由； （3）若多项式（是常数）是一组平衡多项式，求的值． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$