专题2.3 解三元一次方程组及应用（压轴题专项讲练）-2024-2025学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（浙教版2024）

专题2.3 解三元一次方程组及应用 · 典例分析 【典例1】甲、乙、丙三家艺术中心为表彰进步学生，准备去文具店采购签字笔、笔记本、钢笔三种文具，签字笔、笔记本、钢笔单价分别为8元、10元、25元．乙艺术中心采购签字笔数量是甲的6倍，笔记本数量是甲的12倍，钢笔数量是甲的8倍，丙采购的签字笔数量是甲的3倍，笔记本数量是甲的9倍，钢笔数量和甲相同．三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，则甲艺术中心采购总费用为（    ）元 A．237 B．350 C．425 D．901 【思路点拨】 本题考查了三元一次方程组的应用，解本题的关键在找出数量关系，列出方程组．设甲采购签字笔x个、笔记本y个、钢笔z个，根据数量单价总价，分别表示出乙采购和并采购的费用，然后根据三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，列方程组，解方程组，再根据签字笔、笔记本、钢笔均为整数，求出答案即可． 【解题过程】 解：设甲采购签字笔x个、笔记本y个、钢笔z个，则费用分别为元，元，元； 乙采购采购签字笔个、笔记本个、钢笔个，则费用分别为元，元，元； 丙采购采购签字笔个、笔记本个、钢笔个，则费用分别为元，元，元； 根据题意得 整理，得   由②得：， ∵x、y都是正整数， ∴y可能为1、2、3、4、5， 把③代入①整理，得 ， ， ∵z为正整数，y可能为1、2、3、4、5， ∴当时，（不符合题意）， 当时，（符合题意）， 当时，（不符合题意）， 当时，（不符合题意）， 当时，（不符合题意）， 把代入②得：， 甲艺术中心采购总费用为元， 故选：A． · 学霸必刷 1．（23-24七年级下·福建福州·期末）我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，如图1，有，在图2中，若的值为，则的值为（    ）    A． B． C．1 D．任意实数 【思路点拨】 根据新定义可得，即可求解． 【解题过程】 解：由题意得 ， 整理得： ②③得：， 将①代入上式得：， 解得：， 故选：C． 2．（2023·江苏苏州·二模）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方，图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是(    ) A．13 B．12 C．11 D．10 【思路点拨】 根据题意设出相应未知数，然后列出方程组求解即可． 【解题过程】 解：设如图表所示： 根据题意可得：， 整理得：， 又根据题意可得：，， 整理得：，， 联立方程组得： 解得： ∴， 故选：B． 3．（2024八年级·全国·竞赛）张老师要往外地寄运一些资料，将资料用纸包好后成长方体形状，如图所示，张老师准备了一根包装绳，若采用方式①，绳子还剩余24厘米；若采用方式②，绳子刚好用完；若采用方式③，绳子还剩余64厘米．绳子长（    ）（绳子结头处长度忽略不计） A．308厘米 B．318厘米 C．328厘米 D．338厘米 【思路点拨】 本题考查列方程组解决实际问题，由题意列出方程组是解题的关键．由题意列方程组即可求解． 【解题过程】 解：设绳长为厘米，由题意得 又因为，方程组整理为 解得 绳子长为厘米． 故选：． 4．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）有A，B，C三种商品，单价都是正整数（元），若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元：黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款（    ） A．10元 B．9元 C．8元 D．6元 【思路点拨】 本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设A、B、C三种商品的单价分别为x元，y元，z元，则，再解方程组即可得到答案． 【解题过程】 解：设A、B、C三种商品的单价分别为x元，y元，z元， 由题意得， 得：， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴是正整数， ∴当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； ∴， ∴黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款6元， 故选：D． 5．（23-24七年级下·福建泉州·期中）某次数学竞赛前60名获奖．原定一等奖5人，一等奖15人，三等奖40人，现调为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人，调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分．如果原来二等奖比三等奖平均分数多7分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多（    ）分 A．5 B．6 C．7 D．8 【思路点拨】 本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，根据总分不变得到，据此得到，再由原来二等奖比三等奖平均分数多7分，得到，进而求出，据此可得答案． 【解题过程】 解：设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分， ∵总分不变， ∴， ∴， ∴， ∵原来二等奖比三等奖平均分数多7分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴调整后一等奖比二等奖平均分数多5分， 故选：A． 6．（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）甲、乙、丙三人进行智力抢答活动，规定：第一个问题由乙提出，由甲、丙抢答．以后在抢答过程中若甲答对题，就可提个问题，乙答对题就可提个问题，丙答对题就可提个问题，供另两人抢答．抢答结束后，总共有个问题没有任何人答对，则甲、乙、丙答对的题数分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 或 ，， 【思路点拨】 设甲、乙、丙三人答对的题数分别为x题，y题，z题，根据总共有个问题没有任何人答对列出方程，进而得到，再根据x、y、z都是非负整数进行讨论求解即可． 【解题过程】 解：设甲、乙、丙三人答对的题数分别为x题，y题，z题， 由题意得，， ∴， ∵x、y、z都是非负整数， ∴当时，，则； 当时，则，此时y、z无非负整数解，不符合题意； 当时，，则，即此时乙、丙没有答对任何一道题，那么甲只有第一次乙出题时有答题机会，即甲最多答对一道题，这与矛盾，故此种情况不符合题意； 当时，，则或，， ∵当，时，那么甲没有出题机会，乙只有一开始出一道题的机会，那么丙只有一次答题机会，即丙最多答对一道题，这与矛盾； 综上所述，，或，， 故选D． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【思路点拨】 本题主要考查了三元一次方程的应用，正确理解题意、进行分类讨论是解答本题的关键． 设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，根据采购三种图书需500元列出方程，再依据x的数量分两种情况讨论求解即可． 【解题过程】 解：设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，其中，且均为整数， 根据题意得，， 整理得，， ①当时，， ∴ ∵且均为整数， ∴当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； ②当时，， ∴ ∵，且均为整数， ∴当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上，此次共有6种采购方案， 故选：C． 8．（23-24七年级下·福建泉州·期中）如图,“□”中所填的数是 ． 【思路点拨】 本题考查了方程组的应用，解题的关键是理解题意．设，，，，根据题意列方程组即可求解． 【解题过程】 解：设，，，， 根据题意得：， 得：， 得：， 将⑥代入⑤中得：， 解得：， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·全国·单元测试）一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，则原来的三位数是 ． 【思路点拨】 本题考查了三位数的表示方法和三元一次方程的解法，设原来的三位数的百位数字为x、十位数字为y、个位数字为z，则原来的三位数表示为：，新数表示为：，故根据题意列三元一次方程组即可求得． 【解题过程】 解：设原来的三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为， 根据题意，得， 解得， 故原来的三位数是287． 故答案为：287． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）从A地到B地骑车要走上坡、下坡、平路三个路段，全程．某人上坡每小时行，下坡每小时行，平路每小时行．如图，他从地到地用了，从地到地用了，则从A地到B地上坡、下坡、平路的路程分别是 ． 【思路点拨】 本题考查三元一次方程组的应用，设地到地，上坡、下坡、平路分别是千米，千米，千米，根据“全程，地到地用了，从地到地用了”分别列出方程，组成方程组，再求解即可．解题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解． 【解题过程】 解：设地到地，上坡、下坡、平路分别是千米，千米，千米，根据题意得： 解得：， 答：从A地到B地上坡、下坡、平路的路程分别是、、． 故答案为：、、． 11．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）学校开展“阳光体育”活动，张老师准备花费400元在体育用品商店订购28个哑铃，共有甲、乙、丙三种哑铃供其选择，它们的单价分别为20元、16元、10元，那么张老师不同的订购方案有 种． 【思路点拨】 本题主要考查了三元一次方程的应用，理解题意，弄清熟练关系是解题关键．设订购甲种哑铃个，乙种哑铃个，丙种哑铃个，根据题意可得，整理可得，结合题意及生活实际，确定的取值，即可获得答案． 【解题过程】 解：设订购甲种哑铃个，乙种哑铃个，丙种哑铃个， 根据题意，可得， 由，可得， 整理可得， 根据题意，可知，，， 且均为整数， 所以，可有或或或或， 所以，张老师不同的订购方案有5种． 故答案为：5． 12．（24-25八年级上·浙江温州·期末）甲、乙、丙三辆车都匀速从A地驶往B地，乙车比丙车晚5分钟出发，出发后40分钟追上丙车；甲车比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车，则甲车出发后 分钟追上乙车． 【思路点拨】 本题考查了三元一次方程组的实际应用，设甲、乙、丙速度分别为，甲车出发后分钟追上乙，根据乙车比丙车晚5分钟出发，出发后40分钟追上丙车；甲车比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车，列出方程组求解即可． 【解题过程】 解：设甲、乙、丙速度分别为，甲车出发后分钟追上乙，根据题意： 则， 由得， 由得， ， ， 由得， ∴， ∴甲车出发后180分钟追上乙， 故答案为：180． 13．（2024七年级·全国·竞赛）现有一项工作，A、B、C、D、E五人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间： 组合 A与B B与C A与C B与D C与E 所需时间 7天 9天 11天 14天 16天 要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排 ． 【思路点拨】 本题考查了三元一次方程组的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键，设A，B，C，D，E五人的工作效率分别为a，b，c，d，e，列方程组并解答得到a，b，c的值，即得，从左到右，5个组合依次记为组合1、组合2、组合3、组合4、组合5，根据组合1和4知，，由组合2和5知，，即B的效率比A、C、D、E都大，由此即可得到答案． 【解题过程】 解：设A，B，C，D，E五人的工作效率分别为a，b，c，d，e， 则， 解得， ， 从左到右，5个组合依次记为组合1、组合2、组合3、组合4、组合5， 由组合1和4知，， 因此； 由组合2和5知，， 所以B的效率比A、C、D、E都大， 所以应该安排B． 故答案为：B． 14．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期末）今有三部自动换币机，其中甲机总是将一枚硬币换成2枚其它硬币；乙机总是将一枚硬币换成4枚其它硬币：丙机总是将一枚硬币换成10枚其它硬币．某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚．试问他在丙换币机上换了 次． 【思路点拨】 本题考查三元一次方程组的实际应用．根据题意可知，设在甲机换了x次．乙机换了y次．丙机换了z次．在甲机上每换一次多1个；在乙机上每换一次多3个；在丙机上每换一次多9个；进行了12次换币就将一枚硬币换成了81枚，多了80个；找到相等关系式列出方程解答即可． 【解题过程】 解：设在甲机换了x次．乙机换了y次．丙机换了z次， 在甲机上每换一次多 1 个； 在乙机上每换一次多 3 个； 在丙机上每换一次多 9 个； 进行了12次换币就将一枚硬币换成了81枚，多了80个； ∴ 由②①，得：， ∴， ∴， 结合，能满足上面两式的值为： ∴； 即在丙机换了8次． 故答案为：8． 15．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）某汽车从A地驶向B地，若每分钟行驶a千米，则11点到达，若每分钟行驶千米，则11：20时距离B地还有10千米；如果改变出发时间，若每分钟行驶千米，则11点到达，若每分钟行驶a千米，则11：20时已经超过B地30千米．则A、B两地的路程是 千米． 【思路点拨】 设A、B两地的路程是x千米，改变前的出发时间为m，改变后的出发时间为n，根据题意列出三元一次方程组，解方程组求出x的值即可． 【解题过程】 解：设A、B两地的路程是x千米，改变前的出发时间为m，改变后的出发时间为n， 由题意得：， 由①得：， 把代入②得：⑤， 由③得：， 把代入④得：⑥， ⑤＋⑥得：， 解得：， 把代入⑤得：， 解得：， 即A、B两地的路程是千米， 故答案为：． 16．（23-24七年级下·重庆北碚·期中）五一假期即将到来，销售重庆特产的某商户准备继续推出去年较火的三种特产礼盒进行售卖．去年五一节期间，三种礼盒的销量比为，其中礼盒的售价为礼盒的售价的倍，且礼盒的销售额为礼盒的销售额的倍．今年由于成本变化，礼盒售价上调，礼盒售价有一定提高，礼盒售价与去年保持不变，该商家预估今年礼盒和礼盒的销量也与去年保持不变，如果今年总的销售额上涨且礼盒与礼盒的销售额之比为，则今年礼盒与礼盒的售价之比为 ． 【思路点拨】 本题考查了方程组的应用，设去年礼盒的售价为，则礼盒的售价为，去年三个礼盒的销量分别为，去年的销售额分别为，，，得出的售价为，设今年的售价为，的销量为，根据题意列出方程组即可求解，理解题意正确列出方程组是解题的关键． 【解题过程】 解：设去年礼盒的售价为，则礼盒的售价为， 去年三个礼盒的销量分别为，，， ∴去年的销售额分别为，，， ∴的售价为， 设今年的售价为，的销量为，根据题意得到表格： 去年售价 去年销量 去年销售额 今年售价 今年销量 由表格及题意得，， 由得， 把代入得，， ∴今年礼盒与礼盒的售价之比为：， 故答案为： ． 17．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知、、是三个非负实数，满足，，若，则的最大值与最小值的差为 ． 【思路点拨】 本题主要考查解二元一次方程组，根据题意，先推断出S取最大值与最小值时的x、y、z的值，再求S的最大值与最小值的和． 【解题过程】 解：要使S取最大值，最大，z最小， ∵x、y、z是三个非负整数， ∴， 解方程组 ， 解得：， ∴S的最大值； 要使S取最小值， 联立得方程组 ， 得， ， 得，， ∴， 把，代入， 整理得，，当x取最小值时，S有最小值， ∵x、y、z是三个非负整数， ∴x的最小值是0， ∴， ∴S的最大值与最小值的差：； 故答案为：1 18．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，点分别是上的点，，，连接交于点．当四边形的面积为时，线段长度的最小值为 ． 【思路点拨】 本题考查了垂线段最短，三角形的面积，三元一次方程组的应用，过点作于点，连接，根据题意得出，，，设，，，建立方程组，解方程组，进而根据垂线段最短，即可求解． 【解题过程】 解：如图所示，过点作于点，连接， 设，， ∴ ∵， ∴，， ∴，， 联立 ∴ ∵ ∴ ∴当时，最小为 故答案为：． 19．（23-24七年级下·全国·课后作业）解方程组： （1） （2） 【思路点拨】 本题考查解三元一次方程组． （1）先将①②写成，设，再代入③，继而得到，即可得到本题答案； （2）先，得④，再得⑤式，④与⑤组成方程组，解出，再代入②得即可． 【解题过程】 解：（1）， 由①②，得． 设，k为常数且． 代入③，得，解得． ∴． ∴原方程组的解为； （2）， 解：，得，④ ，得．⑤ ④与⑤组成方程组，解得， 把代入②，得， ∴原方程组的解为． 20．（24-25八年级上·四川泸州·期中）已知三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，且，，求三角形的三边长． 【思路点拨】 本题考查三元一次方程组，根据已知条件列出关于a、b、c的方程组，然后利用加减消元法解方程组即可． 【解题过程】 解：∵三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c， ∴， ∴， ①②得：④， 把③代入④得：⑤， ①②得：⑥， ⑥3得：⑦， ⑤⑦得：， 把代入③得：， 把，代入①得：， ∴方程组的解为：， ∴三角形的三边长分别为8，9，13． 21．（23-24八年级上·湖南长沙·开学考试）已知代数式，当和时，它的值都为5，当时，它的值为1． （1）求a，b，c的值； （2）当时，求代数式的值． 【思路点拨】 （1）由题意知，，计算求解即可； （2）由（1）可知，，把，代入求解即可． 【解题过程】 （1）解：由题意知，， 得，，即， 得，，即， 将，，代入③式得，，解得， ∴，， ∴，，； （2）解：由（1）可知，， 把，代入， ∴的值为2． 22．（2024七年级·全国·竞赛）甲、乙、丙三杯奶茶中含有牛奶的比例各不相同，若从甲、乙、丙三个杯子中各取出重量相等的奶茶，将它们混合后就成为含牛奶的奶茶；若从甲、乙两个杯子中按重量之比为来取，混合后就成为含牛奶的奶茶；若从乙、丙中按重量之比为来取，混合后就成为含牛奶的奶茶．求甲、乙、丙三杯奶茶中含牛奶的百分比． 【思路点拨】 本题考查三元一次方程组的应用；题设中有三种混合方式，但每种混合方式从各个容器中取出的牛奶的重量都是未知的，我们可以引进辅助未知数，将这些量分别用字母表示，可根据纯牛奶的质量来得到相应等量关系：甲的浓度质量乙的浓度质量丙的浓度质量；甲的浓度质量乙的浓度质量；乙的浓度质量丙的浓度质量，把无关未知量消去，解三元一次方程组即可． 【解题过程】 解：设甲、乙、丙三杯奶茶中含牛奶的百分数分别为、、第一次混合从甲、乙、丙三个容器中各取出克牛奶，则有， 从甲和乙中按重量之比为来取牛奶时，设从甲中取牛奶克，从乙中取牛奶克，则有， 从乙和丙中按重量之比为来取牛奶时，设从乙中取牛奶克，从丙中取牛奶克，则有， 将上面三式消去辅助未知数得：， 解得， 答：甲、乙、丙三杯奶茶中含牛奶的百分数分别为、、． 23．（23-24七年级下·福建福州·期中）魏晋时期的数学家张丘建在古算书《张丘建算经》中提出著名的百鸡问题，即“今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁，母，雏各几何？”其大意是：公鸡5文钱1只，母鸡3文钱1只，小鸡3只1文钱，用100文钱买100只鸡，其中公鸡，母鸡和小鸡都必须要有，问公鸡，母鸡和小鸡各多少只？设公鸡，母鸡和小鸡各有，，只，请完成下列问题． （1）请列出满足题意的方程组，并求出与（用含的代数式表示）； （2）由于，，均为小于100的正整数，请写出所有满足条件的的值． 【思路点拨】 本题主要考查了三元一次方程组的实际应用： （1）根据钱数为100文可得方程，根据鸡有100只可得方程，据此建立方程组，并把x看做已知求出y、z即可； （2）根据（2）所求得到，则x一定是4的倍数，据此讨论x的值，求出此时y、z的值看是否符合题意即可得到答案． 【解题过程】 （1）解：由题意得，， 解得 （2）解：由（1）得， ∵x、y、z都是正整数， ∴都是正整数， ∴x一定是4的倍数， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 同理此时的x都不满足题意； 综上所述，或或． 24．（23-24七年级下·重庆黔江·期末）数学活动：探究不定方程 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出、、的具体数值，但可以解出的值． （1）小川的方法：，整理可得： ； ，整理可得： ；． 小渝的方法：： ；． （2）已知，试求解的值． （3）学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元；采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元，那么采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要多少钱？ 【思路点拨】 本题考查了三元一次方程组的应用，熟练掌握方程组的解法和应用是解题关键． （1）根据等式的性质求解即可得； （2）参照小川的方法，利用等式的性质和消元法求解即可得； （3）设本英语簿元，本数学簿元，本作文本元，根据题意建立三元一次方程组，解方程组求出的值，由此即可得． 【解题过程】 （1）解：小川的方法：，得：， 整理得：， ，得：， 整理得：， ． 小渝的方法：，得：， ， 故答案为：；；． （2）解：， 由①②得：， 整理得：， 由①②得：， 整理得：， 则． （3）解：设本英语簿元，本数学簿元，本作文本元， 由题意得：， ∴②①得，， ∴． 将代入①整理得，． ∴． ∴． 答：采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元． 第 1 页 共 37 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 解三元一次方程组及应用 · 典例分析 【典例1】甲、乙、丙三家艺术中心为表彰进步学生，准备去文具店采购签字笔、笔记本、钢笔三种文具，签字笔、笔记本、钢笔单价分别为8元、10元、25元．乙艺术中心采购签字笔数量是甲的6倍，笔记本数量是甲的12倍，钢笔数量是甲的8倍，丙采购的签字笔数量是甲的3倍，笔记本数量是甲的9倍，钢笔数量和甲相同．三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，则甲艺术中心采购总费用为（    ）元 A．237 B．350 C．425 D．901 【思路点拨】 本题考查了三元一次方程组的应用，解本题的关键在找出数量关系，列出方程组．设甲采购签字笔x个、笔记本y个、钢笔z个，根据数量单价总价，分别表示出乙采购和并采购的费用，然后根据三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，列方程组，解方程组，再根据签字笔、笔记本、钢笔均为整数，求出答案即可． 【解题过程】 解：设甲采购签字笔x个、笔记本y个、钢笔z个，则费用分别为元，元，元； 乙采购采购签字笔个、笔记本个、钢笔个，则费用分别为元，元，元； 丙采购采购签字笔个、笔记本个、钢笔个，则费用分别为元，元，元； 根据题意得 整理，得   由②得：， ∵x、y都是正整数， ∴y可能为1、2、3、4、5， 把③代入①整理，得 ， ， ∵z为正整数，y可能为1、2、3、4、5， ∴当时，（不符合题意）， 当时，（符合题意）， 当时，（不符合题意）， 当时，（不符合题意）， 当时，（不符合题意）， 把代入②得：， 甲艺术中心采购总费用为元， 故选：A． · 学霸必刷 1．（23-24七年级下·福建福州·期末）我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，如图1，有，在图2中，若的值为，则的值为（    ）    A． B． C．1 D．任意实数 2．（2023·江苏苏州·二模）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方，图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是(    ) A．13 B．12 C．11 D．10 3．（2024八年级·全国·竞赛）张老师要往外地寄运一些资料，将资料用纸包好后成长方体形状，如图所示，张老师准备了一根包装绳，若采用方式①，绳子还剩余24厘米；若采用方式②，绳子刚好用完；若采用方式③，绳子还剩余64厘米．绳子长（    ）（绳子结头处长度忽略不计） A．308厘米 B．318厘米 C．328厘米 D．338厘米 4．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）有A，B，C三种商品，单价都是正整数（元），若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元：黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款（    ） A．10元 B．9元 C．8元 D．6元 5．（23-24七年级下·福建泉州·期中）某次数学竞赛前60名获奖．原定一等奖5人，一等奖15人，三等奖40人，现调为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人，调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分．如果原来二等奖比三等奖平均分数多7分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多（    ）分 A．5 B．6 C．7 D．8 6．（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）甲、乙、丙三人进行智力抢答活动，规定：第一个问题由乙提出，由甲、丙抢答．以后在抢答过程中若甲答对题，就可提个问题，乙答对题就可提个问题，丙答对题就可提个问题，供另两人抢答．抢答结束后，总共有个问题没有任何人答对，则甲、乙、丙答对的题数分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 或 ，， 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 8．（23-24七年级下·福建泉州·期中）如图,“□”中所填的数是 ． 9．（24-25七年级下·全国·单元测试）一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，则原来的三位数是 ． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）从A地到B地骑车要走上坡、下坡、平路三个路段，全程．某人上坡每小时行，下坡每小时行，平路每小时行．如图，他从地到地用了，从地到地用了，则从A地到B地上坡、下坡、平路的路程分别是 ． 11．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）学校开展“阳光体育”活动，张老师准备花费400元在体育用品商店订购28个哑铃，共有甲、乙、丙三种哑铃供其选择，它们的单价分别为20元、16元、10元，那么张老师不同的订购方案有 种． 12．（24-25八年级上·浙江温州·期末）甲、乙、丙三辆车都匀速从A地驶往B地，乙车比丙车晚5分钟出发，出发后40分钟追上丙车；甲车比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车，则甲车出发后 分钟追上乙车． 13．（2024七年级·全国·竞赛）现有一项工作，A、B、C、D、E五人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间： 组合 A与B B与C A与C B与D C与E 所需时间 7天 9天 11天 14天 16天 要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排 ． 14．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期末）今有三部自动换币机，其中甲机总是将一枚硬币换成2枚其它硬币；乙机总是将一枚硬币换成4枚其它硬币：丙机总是将一枚硬币换成10枚其它硬币．某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚．试问他在丙换币机上换了 次． 15．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）某汽车从A地驶向B地，若每分钟行驶a千米，则11点到达，若每分钟行驶千米，则11：20时距离B地还有10千米；如果改变出发时间，若每分钟行驶千米，则11点到达，若每分钟行驶a千米，则11：20时已经超过B地30千米．则A、B两地的路程是 千米． 16．（23-24七年级下·重庆北碚·期中）五一假期即将到来，销售重庆特产的某商户准备继续推出去年较火的三种特产礼盒进行售卖．去年五一节期间，三种礼盒的销量比为，其中礼盒的售价为礼盒的售价的倍，且礼盒的销售额为礼盒的销售额的倍．今年由于成本变化，礼盒售价上调，礼盒售价有一定提高，礼盒售价与去年保持不变，该商家预估今年礼盒和礼盒的销量也与去年保持不变，如果今年总的销售额上涨且礼盒与礼盒的销售额之比为，则今年礼盒与礼盒的售价之比为 ． 17．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知、、是三个非负实数，满足，，若，则的最大值与最小值的差为 ． 18．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，点分别是上的点，，，连接交于点．当四边形的面积为时，线段长度的最小值为 ． 19．（23-24七年级下·全国·课后作业）解方程组： （1） （2） 20．（24-25八年级上·四川泸州·期中）已知三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，且，，求三角形的三边长． 21．（23-24八年级上·湖南长沙·开学考试）已知代数式，当和时，它的值都为5，当时，它的值为1． （1）求a，b，c的值； （2）当时，求代数式的值． 22．（2024七年级·全国·竞赛）甲、乙、丙三杯奶茶中含有牛奶的比例各不相同，若从甲、乙、丙三个杯子中各取出重量相等的奶茶，将它们混合后就成为含牛奶的奶茶；若从甲、乙两个杯子中按重量之比为来取，混合后就成为含牛奶的奶茶；若从乙、丙中按重量之比为来取，混合后就成为含牛奶的奶茶．求甲、乙、丙三杯奶茶中含牛奶的百分比． 23．（23-24七年级下·福建福州·期中）魏晋时期的数学家张丘建在古算书《张丘建算经》中提出著名的百鸡问题，即“今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁，母，雏各几何？”其大意是：公鸡5文钱1只，母鸡3文钱1只，小鸡3只1文钱，用100文钱买100只鸡，其中公鸡，母鸡和小鸡都必须要有，问公鸡，母鸡和小鸡各多少只？设公鸡，母鸡和小鸡各有，，只，请完成下列问题． （1）请列出满足题意的方程组，并求出与（用含的代数式表示）； （2）由于，，均为小于100的正整数，请写出所有满足条件的的值． 24．（23-24七年级下·重庆黔江·期末）数学活动：探究不定方程 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出、、的具体数值，但可以解出的值． （1）小川的方法：，整理可得： ； ，整理可得： ；． 小渝的方法：： ；． （2）已知，试求解的值． （3）学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元；采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元，那么采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要多少钱？ 第 1 页 共 37 页 学科网（北京）股份有限公司 $$