精品解析：黑龙江省大庆市肇源县2024-2025学年上学期九年级期末数学试卷（五四学制）

2024-2025学年黑龙江省大庆市肇源县九年级（上）期末 数学试卷（五四学制） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在下列函数表达式中，属于二次函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，那么的值是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 若，，为二次函数的图像上的三点，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，是的外接圆，是的直径，点在上，若的半径为6，，则的长度为（ ） A. 3 B. C. D. 6 6. 如图，四边形外切于，且，，则四边形的周长为 A. 60 B. 55 C. 45 D. 50 7. 如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 关于x的方程无实数根 9. 在计算的值时，可以借用“数形结合”思想构建几何图形的方法解决，如图，在中，，，延长到使，连接，得，设，则，，，中．类比这种方法，可以得到的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 写出一个二次函数的表达式，使其图象经过原点：______． 12. 若，则锐角_________． 13. 若抛物线与轴交于两点，则______． 14. 一个点到圆上的最小距离为，最大距离为，则圆的半径为______． 15. 如图，在边长为1的正方形网格中，是的外接圆，点，，均在格点上，则___________． 16. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=10，BC=24，点P是线段CD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，CP的长为___________． 17. 如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 _______． 18. 定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为______． ①函数是“倍值函数”； ②函数的图象上的“倍值点”是和； ③若关于x的函数的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是； ④若关于x的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为． 三、解答题（本题共10小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. 计算：． 20. 如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB＝3，BC＝7，sinB＝，求AC的长． 21. 某学校为了提高学生学科能力，决定开设以下校本课程：A．文学院；B．小小数学家；C．小小外交家；D、未来科学家．为了了解学生最喜欢哪一项校本课程，学校随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次统计共抽查了　 　名学生；在扇形统计图中，表示C类别的扇形圆心角度数为　 　． （2）补全条形统计图； （3）一班想从表达能力很强的甲、乙、丙、丁四名同学中，任选2名参加小小外交家小组，请用列表或画树状图的方法求恰好同时选中甲、乙两名同学的概率． 22. 山西某地充分利用地理优势，大力推动乡村风电建设．如图，与斜坡的坡顶在同一水平面上建一台高为的风力发电机，某综合实践活动小组在坡顶处测得该风力发电机的顶端的仰角为，在斜坡底部处测得该风力发电机的顶端的仰角为，测得坡长为，已知斜坡的坡度为，，．求风力发电机的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 23. 已知二次函数的图象经过点． （1）求此二次函数的解析式； （2）求的面积． 24. 如图，小亮父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为． （1）写出S与x之间的关系式，并指出x的取值范围； （2）当分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？ 25. 如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD=160°，求∠BCD的度数． 26. 如图，在中，，以AB为直径的分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且． （1）求证：BF是的切线； （2）若的直径为4，，求． 27. 某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元． （1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个； （2）求w与x之间的函数关系式； （3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 28. 已知如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，顶点为． （1）求此抛物线的解析式； （2）在直线下方的抛物线上，是否存在一点，使得的面积最大？若存在，请求出面积最大值；若不存在，请说明理由． （3）在线段上是否存在一点，使和相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年黑龙江省大庆市肇源县九年级（上）期末 数学试卷（五四学制） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在下列函数表达式中，属于二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．分别利用正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的定义分析得出答案． 【详解】解：A、是反比例函数关系，故此选项不符合题意； B、是一次函数关系，故此选项不符合题意； C、是二次函数关系，故此选项符合题意； D、不是二次函数关系，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作AB⊥x轴于B，先利用勾股定理计算出OA＝5，然后在Rt△AOB中利用余弦的定义求解即可． 【详解】解：作AB⊥x轴于B，如图， ∵点A的坐标为（3，4）， ∴OB＝3，AB＝4， ∴OA＝＝5， 在Rt△AOB中，cosα＝． 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、坐标与图形性质、勾股定理等知识；熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数顶点为，开口向下即可判断． 【详解】解：函数开口向下，顶点为． 故选：B． 4. 若，，为二次函数的图像上的三点，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算抛物线的对称轴，在计算各点与对称轴的水平距离，根据抛物线开口向上，距离越大，函数值也越大比较即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，且， ∵，，， ∴点A到对称轴直线的距离为， 点B到对称轴直线的距离为， 点C到对称轴直线的距离为， ∵， ∴， 根据抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线的增减性，熟练掌握抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小是解题的关键． 5. 如图，是的外接圆，是的直径，点在上，若的半径为6，，则的长度为（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到，进而求出，根据半径以及含30度的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为6， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，含30度的直角三角形，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键． 6. 如图，四边形外切于，且，，则四边形的周长为 A. 60 B. 55 C. 45 D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】根据切线长定理得到，，，，进而求出，再根据四边形的周长公式计算，得到答案．本题考查了切线长定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：四边形外切于，切点分别为、、、， ，，，， ， 四边形的周长为：， 故选：D． 7. 如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠，，进一步得到四边形OACB是菱形；进一步由得到是等边三角形；最后阴影部分面积=扇形AOB面积-菱形的面积，即可 【详解】依题意：， ∴ ∴四边形OACB是菱形 ∴ 连接OC ∵ ∴ ∴是等边三角形 同理：是等边三角形 故 由三线合一，在中： 故选：B 【点睛】本题考查菱形的判定，菱形面积公式，扇形面积公式；解题关键是发现是等边三角形 8. 二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 关于x的方程无实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B进行判断；时，，可对C进行判断；根据抛物线与直线无交点，可对D进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故选项A正确，该选项不符合题意； ∵有图可知，抛物线与x轴有两个交点， ∴，即， 故选项B正确，该选项不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴时，， 即， ∵， ∴， 故选项C错误，该选项符合题意； ∵抛物线开口向下，顶点为， ∴函数有最大值n， ∴抛物线与直线无交点， ∴一元二次方程无实数根， 故选项D正确，该选项不符合题意；． 故选：C． 9. 在计算的值时，可以借用“数形结合”思想构建几何图形的方法解决，如图，在中，，，延长到使，连接，得，设，则，，，中．类比这种方法，可以得到的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，中，，，，作于，则，设，则，，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，中，，，， 作于， 又∵是的角平分线， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，等角对等边，正弦，正切．熟练掌握角平分线的性质，等角对等边，正弦，正切是解题的关键． 10. 如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、三角形的中位线定理、圆的定义，确定动点的运动轨迹是解题的关键．根据折叠的性质可得，，结合E是直角边的中点，得到，由此可判断点在以为圆心，为半径的圆上运动，当、、共线时，此时的值最小，根据三角形中位线定理求出，即可求出此时的最小值． 【详解】解： 将沿所在直线折叠，得到， ， ， E是直角边的中点， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图所示， ， 当、、共线时，即与重合时，取得最小值， 又， 此时的值最小， D是斜边的中点， 是的中位线， ， 此时，， 的最小值为4． 故选：C． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 写出一个二次函数的表达式，使其图象经过原点：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题意可以写出一个符合要求的函数表达式，注意本题答案不唯一，只要符合要求即可，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：∵二次函数图象经过原点， ∴二次函数的表达式可以为， 故答案为：．（答案不唯一） 12. 若，则锐角_________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】根据解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键． 13. 若抛物线与轴交于两点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与一元二次方程，根与系数关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数关系定理求解即可． 【详解】∵抛物线与轴交于两点， ∴， 故答案为： 14. 一个点到圆上的最小距离为，最大距离为，则圆的半径为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．点应分为位于圆的内部和外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径最小距离最大距离；②当点在圆外时，直径最大距离最小距离． 【详解】解：分为两种情况： ①当点在圆内时，如图1， 点到圆上的最小距离，最大距离， 直径， 半径为； ②当点在圆外时，如图2， 点到圆上的最小距离，最大距离， 直径， 半径为， 综上所述，圆的半径为或， 故答案为：或． 15. 如图，在边长为1的正方形网格中，是的外接圆，点，，均在格点上，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】取中点，连接，，由图可知，，，，由垂径定理可知，进而可得，易得，再证，即可解． 【详解】解：取中点，连接，，如图， 由图可知，，，， 由垂径定理可知，则， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，取中点D，得是解题的关键． 16. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=10，BC=24，点P是线段CD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，CP的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】分三种情况，⊙P与BC边相切，⊙P与AC边相切，⊙P与AB边相切．利用相似三角形的判定和性质，切线的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，AC=10，BC=24， ∴AB==26， ∵CD⊥AB， ∴△ABC的面积=AB•CD=AC•BC， ∴26CD=10×24， ∴CD=， 分三种情况： 当⊙P与BC边相切，如图： 过点P作PE⊥BC，垂足为E， ∵PE⊥BC， ∴∠PEC=90°， ∴∠CPE+∠PCE=90°， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC=∠CDB=90°， ∴∠PCE+∠B=90°， ∴∠B=∠CPE， ∵∠CEP=∠ACB=90°， ∴△BCA∽△PEC， ∴， ∴， ∴PC=； 当⊙P与AB边相切，如图： ∵PD⊥AB， ∴CP=CD-PD=-6=； 当⊙P与AC边相切，如图： 过点P作PF⊥AC，垂足为F， ∵PF⊥AC， ∴∠PFC=90°， ∴∠CPF+∠PCF=90°， ∵CD⊥AB， ∵∠ADC=∠CDB=90°， ∴∠PCF+∠A=90°， ∴∠A=∠CPF， ∵∠CFP=∠ACB=90°， ∴△BCA∽△CFP， ∴， ∴， ∴PC=， ∵＞， ∴PC=（舍去）， 综上所述，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，CP的长为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．分三种情况讨论是解题的关键． 17. 如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理．利用分割图形求面积法找出是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得，利用配方法即可求出四边形的面积最小值． 【详解】解：在中，，，， ， 设运动时间为，则，， 当时，四边形的面积取最小值，最小值为． 故答案为：15． 18. 定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为______． ①函数是“倍值函数”； ②函数的图象上的“倍值点”是和； ③若关于x的函数的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是； ④若关于x的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了新定义问题，二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值问题．根据“倍值函数”的定义，逐一判断即可． 【详解】解：①函数中，令，则，无解，故函数不是“倍值函数”，故①说法错误； ②函数中，令，则， 解得或， 经检验或都是原方程的解， 故函数的图象上的“倍值点”是和，故②说法正确； ③在中， 令，则， 整理得， ∵关于x的函数的图象上有两个“倍值点”， ∴且， 解得且，故③说法错误； ④在中， 令，则， 整理得， ∵该函数的图象上存在唯一的“倍值点”， ∴， 整理得， ∴对称轴为，此时n的最小值为， 根据题意分类讨论， ，解得； ，无解； ，解得或（舍去）， 综上，k的值为0或，故④说法错误； 故答案为：①③④． 三、解答题（本题共10小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. 计算：． 【答案】1． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及整数指数幂的计算，特殊角的三角函数及二次根式的化简等知识，掌握这些知识是解题的关键；依次计算特殊角三角函数，零次幂，化简二次根式及负整数指数幂，最后化简即可． 【详解】解： ． 20. 如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB＝3，BC＝7，sinB＝，求AC的长． 【答案】AC=5 【解析】 【分析】作AD⊥BC于点D，由AB＝3，sinB＝可得AD＝BD＝AB＝3，可得DC＝4，在Rt△ACD中，AC＝＝5. 【详解】解：作AD⊥BC于点D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵sinB＝， ∴∠B＝∠BAD＝45°， ∵AB＝， ∴AD＝BD＝AB＝3， ∵BC＝7， ∴DC＝4， ∴在Rt△ACD中，AC＝＝5． 【点睛】本题主要考查解直角三角形、锐角三角函数及勾股定理. 21. 某学校为了提高学生学科能力，决定开设以下校本课程：A．文学院；B．小小数学家；C．小小外交家；D、未来科学家．为了了解学生最喜欢哪一项校本课程，学校随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次统计共抽查了　 　名学生；在扇形统计图中，表示C类别的扇形圆心角度数为　 　． （2）补全条形统计图； （3）一班想从表达能力很强的甲、乙、丙、丁四名同学中，任选2名参加小小外交家小组，请用列表或画树状图的方法求恰好同时选中甲、乙两名同学的概率． 【答案】（1）200；108°； （2）如图， （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用对应人数除以对应百分率得到总数，再求出C类人数的百分比，圆心角度数为360°乘以百分比即可 （2）直接补充图即可 （3）画出树状图，利用概率公式进行计算即可 【详解】解：（1）20÷＝200， 所以这次统计共抽查了200名学生； C类人数为200﹣20﹣80﹣40＝60（人）， 在扇形统计图中，表示C类别的扇形圆心角度数为360°×＝108°； 故答案为200；108°； （2）略 （3）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中恰好同时选中甲、乙两名同学的结果数为2， 所以恰好同时选中甲、乙两名同学的概率＝． 【点睛】本题考查统计图相关知识以及利用树状图计算概念，掌握好基础知识是解题关键 22. 山西某地充分利用地理优势，大力推动乡村风电建设．如图，与斜坡的坡顶在同一水平面上建一台高为的风力发电机，某综合实践活动小组在坡顶处测得该风力发电机的顶端的仰角为，在斜坡底部处测得该风力发电机的顶端的仰角为，测得坡长为，已知斜坡的坡度为，，．求风力发电机的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】风力发电机BC的高度约为28 【解析】 【分析】过点作，垂足为，延长交于点，首先利用坡度的定义可知，可设，则，由勾股定理可得，进而可得，，再证明四边形是矩形，由矩形的性质可得，，然后证明的等腰直角三角形，可设，则，在中，利用三角形函数即可获得答案． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点， ∵斜坡的坡度为， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴，解得， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得， 答：风力发电机的高度约为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、坡度、三角函数的应用、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，理解题意，熟练运用相关知识是解题关键． 23. 已知二次函数的图象经过点． （1）求此二次函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． （1）设交点式，然后把C点坐标代入求出a，从而得到抛物线解析式； （2）直接根据三角形的面积公式求解． 【小问1详解】 解：由题意得，设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， 即； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴的面积． 24. 如图，小亮父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为． （1）写出S与x之间的关系式，并指出x的取值范围； （2）当分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）S=-2x2+80x，（15≤x＜40）；（2）当AB=20m，BC=40m时，面积S有最大值为800m2． 【解析】 【分析】（1）根据BC=（栅栏总长-2AB），再利用矩形面积公式即可求出； （2）根据配方法求出二次函数最值即可． 【详解】解：（1）∵AB=CD=xm， ∴BC=（80-2x）m， ∴S=x（80-2x）=-2x2+80x， ∴， ∴， ∴， ∴15≤x＜40， ∴S=-2x2+80x，（15≤x＜40）； （2）∵S=-2（x2-40x+400-400）=-2（x-20）2+800， ∵15≤x＜40， ∴当x=20时，S有最大值为800， ∴即当AB=20m，BC=40m时，面积S有最大值为800m2． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，找到所给面积的等量关系是解决本题的关键． 25. 如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD=160°，求∠BCD的度数． 【答案】∠BCD=100°． 【解析】 【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠BAD= ∠BOD=80°，根据圆内接四边形的对角互补即可得出答案. 【详解】∵∠BOD=160°∴∠BAD= ∵A、B、C、D 四点共圆， ∴∠BCD+∠BAD=180°， ∴∠BCD=100°． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半；圆内接四边形的对角互补；解题的关键是求出∠BAD的度数和得出∠BCD+∠BAD=180°. 26. 如图，在中，，以AB为直径的分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且． （1）求证：BF是的切线； （2）若的直径为4，，求． 【答案】（1）证明：如图，连接AE． ∵AB是的直径， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴，即． ∵AB是的直径， ∴直线BF是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF＝90°； （2）过点C作于点H，求得AC、BF的长度，证出，根据相似三角形的性质求得CH、HF的长度，根据求得BH的长度，代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点C作于点H． ∵，的直径为4， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴，即． ∴，． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合题：切线的判定与性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定、直角所对的圆周角是直角、解直角三角形等知识点． 27. 某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元． （1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个； （2）求w与x之间的函数关系式； （3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2） （3）该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）在中，令，进行计算即可得； （2）根据总利润=每个建生球的利润×销售量即可列出w与x之间的函数关系式； （3）结合（2）的函数关系式，根据二次函数性质即可得． 【小问1详解】 解：在中，令得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得，， 即w与x之间的函数关系式为：； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴当时，w取最大值，最大值为， 即该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式． 28. 已知如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，顶点为． （1）求此抛物线的解析式； （2）在直线下方的抛物线上，是否存在一点，使得的面积最大？若存在，请求出面积最大值；若不存在，请说明理由． （3）在线段上是否存在一点，使和相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，面积最大值为 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）由题意得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）待定系数法求出直线的解析式为：，求出点，则，求出，作轴交于，设点，则，，表示出，再根据二次函数的性质即可得出答案； （3）根据，进而分两种情况：，；分别根据相似三角形的性质，求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ，， 将，代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为：， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为：， 在中，令，得出， 解得：，， ， ， ， 如图，作轴交于， 设点，则， ， ， ， 当时，最大，为； 【小问3详解】 解：∵ ∴当和相似有两种情形， ①当时 ∴ ∴ 设直线的解析式为，将，代入得， 解得： ∴直线的解析式为 ∴直线的解析式为 联立 解得： ∴ ②当时 ∴ ∵，， ∴ ∴ 设 ∴ 解得：或（舍去） ∴ 综上所述，或 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积问题、相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $