专题18.2 平行四边形中的几何变换、定值、最值、动点、存在性问题【十大题型】-2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（华东师大版）

专题18.2平行四边形中的几何变换、定值、最值、动点、存在性问题 【十大题型】 【华东师大版】 【题型1 平行四边形中的平移问题】 1 【题型2 平行四边形中的轴对称问题】 2 【题型3 平行四边形中的旋转问题】 3 【题型4 平行四边形中的定值问题】 5 【题型5 平行四边形中的最小值问题】 7 【题型6 平行四边形中的最大值问题】 8 【题型7 平行四边形中的动点问题】 9 【题型8 平面直角坐标系中的平行四边形存在性问题】 10 【题型9 平行四边形中的新定义问题】 12 【题型10 平行四边形中的综合实践与探究】 13 【题型1 平行四边形中的平移问题】 【例1】（23-24八年级·贵州黔西·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线以每秒1个单位长度的速度向右平移，经过(    )秒该直线可将平行四边形的面积平分． A．3 B． C．5 D．6 【变式1-1】（23-24八年级·重庆忠县·期中）如图，在中，，，将沿向右平移得到，若四边形的面积等于，则平移的距离等于（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24八年级·福建龙岩·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线和第一象限内的（轴，）．直线l从原点O出发，沿x轴正方向平移（平移距离设为m），对应生成的直线被的两边所截得的线段长设为n．若n与m的函数图象如图2所示，则a的值是（    ） A．1 B． C． D． 【变式1-3】（23-24八年级·浙江金华·期末）如图，在中，已知，点分别在边上，现将沿直线折叠，使点恰好落在点处，若将线段向左平移刚好可以与线段重合，连接，若，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【题型2 平行四边形中的轴对称问题】 【例2】（23-24八年级·浙江绍兴·期中）如图，在平行四边形中，，，，为上一点，将沿着翻折，点恰好落在边上的点处，连接，则长度为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24八年级·上海·期末）如图，若平行四边形ABCD与平行四边形EBCF关于BC所在直线对称，且∠ABE＝90°，则∠F＝ °. 【变式2-2】（24-25八年级·江西抚州·期中）在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，过F作的垂线交于E，则 ．    【变式2-3】（23-24八年级·福建泉州·期末）如图，在中，E是边上一点，将沿翻折得到，延长交的延长线于点F，连接CE．若，，则 度． 【题型3 平行四边形中的旋转问题】 【例3】（23-24八年级·河北保定·期末）如图所示，将绕点A按逆时针方向旋转，得到（点与点、点与点、点与点分别对应）．若点恰好落在上，则 ． 【变式3-1】（23-24八年级·山东青岛·期末）如图，在中，，，将绕O点逆时针方向旋转到的位置，则点的坐标是 ． 【变式3-2】（23-24八年级·上海青浦·期中）如图，在平行四边形中，，，面积为120，点是边上一点，连接，将线段绕着点旋转得到线段，如果点恰好落在直线上，那么线段的长为    【变式3-3】（23-24八年级·浙江温州·期中）如图，为验证平行四边形的中心对称性，小明将两张全等的平行四边形纸片重叠在一起，． 将其中一张纸片绕它的中心旋转，当点A和点C的对应点和分别落在边和上时，，则的长是 ，两张纸片重合部分（阴影部分）的面积是 ． 【题型4 平行四边形中的定值问题】 【例4】（2024·湖南株洲·八年级期末）如图，直线平行于，定点A在直线上，动点B在直线上，P是平面上一点，且P在两直线中间（不包括边界），始终有，则在整个运动过程中，下列各值①；②；③；④中，一定为定值的是 ．（填序号）    【变式4-1】（2024八年级·黑龙江·专题练习）【“两定两动”型（同侧）】如图，的长度为定值，在直线l上分别取点E，F，使，连接，，当最小时，求点E，F的位置． 【变式4-2】（23-24八年级·福建泉州·阶段练习）如图所示四边形中，，，为正三角形，点E、F分别在边、上滑动，且E、F不与B、C、D重合． (1)四边形______平行四边形（是或不是） (2)证明不论E、F在、上如何滑动，总有； (3)当点E、F在、上滑动时，四边形的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值． 【变式4-3】（23-24八年级·浙江温州·期中）根据所给素材，完成相应任务． 玩转三角板 活动背景 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角板，如图1所示，其中，为直角，，，要求两直角顶点重合（A与F重合于点O）进行探究活动．    素材1 小明同学的探究结果如图2所示，D，O，C三点在一条直线上．    素材2 小聪同学的探究结果如图3所示，，连结，发现四边形是平行四边形．    素材3 李老师提出问题，在上述操作过程中，与的面积比是否为定值？    解决问题 任务1 （1）根据图2，计算线段的长度． 任务2 （2）根据图3写出小聪同学判定平行四边形的依据：___________． （3）计算的面积． 任务3 （4）请你解答李老师的问题，并说明理由． 【题型5 平行四边形中的最小值问题】 【例5】（23-24八年级·全国·期中）如图，在中，，，P为边上一动点，以，为边作平行四边形，则对角线的长度的最小值为（　　） A．6 B．12 C． D． 【变式5-1】（23-24八年级·山东滨州·期末）如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为（    ） A．14.4 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【变式5-2】（23-24八年级·安徽合肥·期末）如图，在四边形ABCD中，对角线，，则的最小值为（    ） A． B．10 C．15 D． 【变式5-3】（23-24八年级·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，平行四边形的坐标分别为、、、，点P是边上的一个动点，若点A关于的对称点为，则的最小值为 ． 【题型6 平行四边形中的最大值问题】 【例6】（23-24八年级·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的坐标分别为，、、，若P是x轴上的一动点，若点A关于的对称点为，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【变式6-1】（2024·山东济南·二模）在菱形中，为菱形内部一点，且，连接，点F为中点，连接，点G是中点，连接，则的最大值为 ． 【变式6-2】（23-24八年级·陕西安康·期中）如图，在中，点分别在边上，折叠使得点落在上，若，，，则长度的最大值为 ．    【变式6-3】（23-24八年级·广东中山·期末）如图， 在中， 点 E 是的中点， ，点 F 是上的动点，连接点E 与的中点 G． 则的最大值是 ． 【题型7 平行四边形中的动点问题】 【例7】（23-24八年级·河南郑州·开学考试）如图，点从四条边都相等的的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24八年级·安徽合肥·期末）如图：在四边形中，，且，，P，Q分别从A，C同时出发，P以的速度由A向D运动，Q以的速度由C向B运动， 秒时直线将四边形截出一个平行四边形． 【变式7-2】（23-24八年级·河南漯河·期中）如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，点同时以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，点停止运动时，点也随之停止运动．当运动时间为多少秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．     【变式7-3】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在平行四边形中，，是的平分线，点M从点E出发，沿方向以每秒的速度向点D运动，点N从点C出发，沿方向运动，以每秒的速度向点B运动，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)求的长； (2)是否存在以M，E，B，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【题型8 平面直角坐标系中的平行四边形存在性问题】 【例8】（23-24八年级·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，线段，的长分别是，，且满足，点是线段上的一点，将沿直线翻折，点落在矩形对角线上的点处． (1)求线段的长； (2)求的面积； (3)点在直线上，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出满足条件的点的个数，并直接写出两个点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式8-1】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴，y轴分别交于点A，D，直线与直线平行，交x轴于点，交于点C． (1)求直线的解析式及点C的坐标； (2)若点P是线段上动点，当时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），且，连接，当四边形周长最小时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，将绕O点顺时针旋转得到，点E是y轴上的一个动点，点F是直线上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由 【变式8-2】（23-24八年级·湖北孝感·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴分别交于点，过点作轴交直线于点． (1)求直线的函数解析式； (2)求点到直线的距离及点的坐标； (3)试探究在平面内是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式8-3】（23-24八年级·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，． (1)求出点的坐标； (2)一次函数的图象分别与线段交于两点，求证：； (3)点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型9 平行四边形中的新定义问题】 【例9】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，由16个点构成的的正方形点阵中，横纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中四个点为顶点的平行四边形叫阵点平行四边形．图中以，为顶点，面积为2个平方单位的阵点平行四边形的个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．9 【变式9-1】（23-24八年级·四川成都·期末）定义：在平面直角坐标系中，若点M关于直线的对称点在的内部（不包含边界），则称点M是关于直线的“伴随点”．如图，已知三点，连接，以为边作．若在直线上存在点N，使得点N是关于直线的“伴随点”，则n的取值范围是 ．    【变式9-2】（23-24八年级·江苏泰州·期末）定义：作的一组邻角的角平分线，设交点为P，P与这组邻角的公共边组成的三角形为的“伴侣三角形”，△PBC为平行四边形的伴侣三角形．AB＝m，BC＝4，连接AP并延长交直线CD于点Q，若Q点落在线段CD上（包括端点C、D），则m的取值范围 ． 【变式9-3】（24-25八年级·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于两个点和图形，给出如下定义：若射线与图形的一个交点为，射线与图形的一个交点为，且满足四边形为平行四边形，则称点是点关于图形的“平心点”．如图1中，点是点关于图中线段的“平心点”．已知点：，若点中，是点关于直线“平心点”的有 ；若点关于线段的“平心点”的横坐标为时，则的取值范围 ．    【题型10 平行四边形中的综合实践与探究】 【例10】（23-24八年级·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，在等边中，、两点分别在边、上，连接 ，以为边向右作等边，连接． 【初步发现】（1）求证：为等边三角形； 【深入探究】（2）求证：四边形为平行四边形； 【拓展延伸】（3）若，求四边形的面积． 【变式10-1】（24-25八年级·广西玉林·期末）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题．如图，在中，点分别为上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图①，当为等边三角形时，甲同学发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则．你认为甲同学的想法正确吗？请说明理由； 【类比探究】（2）乙同学尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图②，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）陈老师提出新的探究方向：如图③，在中，，，连接，请直接写出的最小值． 【变式10-2】（24-25八年级·河南商丘·期中）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明． 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由． 【变式10-3】（23-24八年级·陕西汉中·期末）问题探究 (1)如图1，在中，已知，，的平分线交于点G，求的长； 问题解决 (2)某科技公司现有一块形如四边形的研发基地，如图2，已知米，米，，的平分线交于点G．为了响应国家“科教兴国”战略，现需要扩大基地面积．扩建方案如下：点P是射线上一动点，连接，将修建成新能源研发区，为安全起见，要沿一周修建隔离带（宽度忽略不计），为了节省费用，要求隔离带的长度尽可能的短，问隔离带的长度是否存在最小值？若存在，请求出隔离带长度（的周长）的最小值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18.2平行四边形中的几何变换、定值、最值、动点、存在性问题 【十大题型】 【华东师大版】 【题型1 平行四边形中的平移问题】 1 【题型2 平行四边形中的轴对称问题】 5 【题型3 平行四边形中的旋转问题】 10 【题型4 平行四边形中的定值问题】 14 【题型5 平行四边形中的最小值问题】 22 【题型6 平行四边形中的最大值问题】 26 【题型7 平行四边形中的动点问题】 30 【题型8 平面直角坐标系中的平行四边形存在性问题】 34 【题型9 平行四边形中的新定义问题】 47 【题型10 平行四边形中的综合实践与探究】 53 【题型1 平行四边形中的平移问题】 【例1】（23-24八年级·贵州黔西·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线以每秒1个单位长度的速度向右平移，经过(    )秒该直线可将平行四边形的面积平分． A．3 B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的性质、用待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与几何变换，首先连接、，交于点D，当经过D点时，该直线可将的面积平分，然后计算出过D且平行直线的直线解析式，从而可得直线要向下平移6个单位，进而可得答案． 【详解】解：连接、，交于点D，当经过D点时，该直线可将的面积平分， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 设的解析式为，且直线平行于， ∴， ∵直线经过点， ∴的解析式为， 把代入得，， 解得， 在直线上，当时，， 解得， ∵， ∴直线要向右平移3个单位， ∴经过3秒该直线可将平行四边形的面积平分， 故选：A． 【变式1-1】（23-24八年级·重庆忠县·期中）如图，在中，，，将沿向右平移得到，若四边形的面积等于，则平移的距离等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是平行四边形的判定与性质、平移的性质，解题关键是熟练掌握平移不改变图形的形状和大小． 根据平移性质可得四边形是平行四边形后，即可根据所给的条件求出平移距离． 【详解】解：将沿向右平移得到， 且， ∴四边形是平行四边形， 又四边形的面积等于，， 平移距离． 故选：． 【变式1-2】（23-24八年级·福建龙岩·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线和第一象限内的（轴，）．直线l从原点O出发，沿x轴正方向平移（平移距离设为m），对应生成的直线被的两边所截得的线段长设为n．若n与m的函数图象如图2所示，则a的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由图可得，直线经过时移动的距离为，经过时移动的距离为，经过时移动的距离为，可得，当直线经过点时，交于点，过作垂足为点，如图所示：求解，直线为，则从点到点的平移可理解为：先向上移动个单位，再向右移动个单位，再进一步解答即可． 【详解】解：由图可得，直线经过时移动的距离为，经过时移动的距离为，经过时移动的距离为， ∴，，，， ∴， 当直线经过点时，交于点，过作垂足为点，如图所示： ∵轴，， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， ∴从点到点的平移可理解为：先向上移动个单位，再向右移动个单位， ∴当时，则， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，平移的性质，一次函数的应用，平行四边形的性质，化为最简二次根式，理解函数图象的含义是解本题的关键． 【变式1-3】（23-24八年级·浙江金华·期末）如图，在中，已知，点分别在边上，现将沿直线折叠，使点恰好落在点处，若将线段向左平移刚好可以与线段重合，连接，若，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质及平移的性质可知四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质可知即可解答． 【详解】解：∵现将沿直线折叠，使点恰好落在点处， ∴由折叠的性质可得：， ∵将线段向左平移刚好可以与线段重合， ∴由平移的性质可得：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平移的性质，平行四边形的判定与性质，线段和差倍关系，掌握折叠的性质及平移的性质是解题的关键． 【题型2 平行四边形中的轴对称问题】 【例2】（23-24八年级·浙江绍兴·期中）如图，在平行四边形中，，，，为上一点，将沿着翻折，点恰好落在边上的点处，连接，则长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，作 于点，根据四边形是平行四边形，，，和沿着翻折，点恰好落在上的点处，可得是等边三角形，根据含30度角的直角三角形和等腰直角三角形，可得的长，再证明，可得．进而可得结论． 【详解】解：如图，连接，作于点， 四边形是平行四边形， ，，， ，， ，， 沿着翻折，点恰好落在上的点处， ，， 是等边三角形， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换、平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 【变式2-1】（23-24八年级·上海·期末）如图，若平行四边形ABCD与平行四边形EBCF关于BC所在直线对称，且∠ABE＝90°，则∠F＝ °. 【答案】45 【分析】根据轴对称的性质可得，然后求出，再根据平行四边形的对角相等解答． 【详解】解：平行四边形与平行四边形关于所在的直线对称， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：45． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，平行四边形的对角相等的性质，解题的关键是熟记各性质． 【变式2-2】（24-25八年级·江西抚州·期中）在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，过F作的垂线交于E，则 ．    【答案】或/或 【分析】本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解． 根据，不妨设，当在之间时，由翻折的性质知：，可得，，由三线合一得到，继而由可求解；当在的延长线上时，同理可求解． 【详解】解：当在之间时，作下图，    根据，不妨设， 由翻折的性质知：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 沿直线翻折至所在直线， ， ， ， ∵过作的垂线交于， ， ， 当在的延长线上时，作下图，    根据，不妨设， 同理知：， ∵过作的垂线交于， ， 故答案为：或． 【变式2-3】（23-24八年级·福建泉州·期末）如图，在中，E是边上一点，将沿翻折得到，延长交的延长线于点F，连接CE．若，，则 度． 【答案】30 【分析】根据平行四边形的性质得出，由折叠可知，，进而推出，，则，以为边构造等边三角形，连接， 通过证明，得出，进而得出，最后根据，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， ∴， 以为边构造等边三角形，连接， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形，等腰三角形，利用相关性质解答． 【题型3 平行四边形中的旋转问题】 【例3】（23-24八年级·河北保定·期末）如图所示，将绕点A按逆时针方向旋转，得到（点与点、点与点、点与点分别对应）．若点恰好落在上，则 ． 【答案】/105度 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形点性质，三角形内角和定理，平行四边形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．由旋转的性质可知，，，再根据等腰三角形点性质及三角形内角和定理，得到，然后根据平行四边形和平行线的性质，即可求出的度数． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3-1】（23-24八年级·山东青岛·期末）如图，在中，，，将绕O点逆时针方向旋转到的位置，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，旋转的性质，解题的关键在于作辅助线构造全等三角形．作轴，轴，得到，，由旋转的性质可知，，，，证明，利用全等三角形性质可得，，进而可得，即可解得点的坐标． 【详解】解：作轴于E，轴， ， ， ，， 在中，， ， 由旋转的性质可知，，，， ， ， ， ，， ， 点的坐标是． 故答案为：． 【变式3-2】（23-24八年级·上海青浦·期中）如图，在平行四边形中，，，面积为120，点是边上一点，连接，将线段绕着点旋转得到线段，如果点恰好落在直线上，那么线段的长为    【答案】2或14 【分析】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，勾股定理，注意分类讨论；由题意得；分顺时针旋转与逆时针旋转两种情况，利用旋转性质及勾股定理即可求解．根据题意确定是解题的关键． 【详解】解：∵线段绕着点旋转得到线段，点恰好落在直线上， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：； 当线段绕着点顺时针旋转时，如图， ∴， ∴； 当线段绕着点逆时针旋转时， 则在点P的右侧， ∴； 综上，的长为2或14； 故答案为：2或14． 【变式3-3】（23-24八年级·浙江温州·期中）如图，为验证平行四边形的中心对称性，小明将两张全等的平行四边形纸片重叠在一起，． 将其中一张纸片绕它的中心旋转，当点A和点C的对应点和分别落在边和上时，，则的长是 ，两张纸片重合部分（阴影部分）的面积是 ． 【答案】 【分析】作，连接，根据旋转的性质可得即四边形是矩形可得,，进而可得；然后根据勾股定理可得、；再证可得，设可得，然后根据勾股定理列方程求得，最后根据平行四边形的面积公式解答即可． 【详解】解：作，连接 ∵将其中一张纸片绕它的中心旋转，点A和点C的对应点和分别落在边和上 ∴ ∴四边形是矩形 ∴, ∵， ∴, ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 设 ∵ ∴ ∵,即，解得： ∴阴影部分的面积为： 故答案为，． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、平行四边形的性质等知识点，正确做辅助线是解答本题的关键． 【题型4 平行四边形中的定值问题】 【例4】（2024·湖南株洲·八年级期末）如图，直线平行于，定点A在直线上，动点B在直线上，P是平面上一点，且P在两直线中间（不包括边界），始终有，则在整个运动过程中，下列各值①；②；③；④中，一定为定值的是 ．（填序号）    【答案】①②/②① 【分析】过点作，交于点，根据平行线的判定和性质，推出，判断①；证明四边形为平行四边形，为等腰三角形，推出，判断②；结合图形，根据线段的变化情况，判断③和④． 【详解】解：过点作，交于点，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，为定值，故①正确； ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形，， ∴，， ∴， ∴为定值，故②正确； 由图可知，当点从下往上运动时，逐渐减小， ∵为定值，   ∴逐渐增大， ∴逐渐减小，不是定值，故③错误； 假设，则：， ∴为直角三角形， ∴， 设， ∴， ∴， ∵不是定值， ∴的值也不是定值，故④错误； 故答案为：①②． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造特殊图形． 【变式4-1】（2024八年级·黑龙江·专题练习）【“两定两动”型（同侧）】如图，的长度为定值，在直线l上分别取点E，F，使，连接，，当最小时，求点E，F的位置． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了轴对称性质、最短路径问题等知识点，掌握轴对称的性质成为解题的关键． 过A作使得，作点C关于l的对称点D，连接与l的交点即为F，过A作交l为E，点E，F即为所求． 【详解】解：过A作使得，作点C关于l的对称点D，连接与l的交点即为F，过A作交l为E，点E，F即为所求． 证明：∵，， ∴是平行四边形， ∴， ∵点C关于l的对称点D， ∴，， ∴，， ∵为定值， ∴要求的最小值，只需求， ∴点B、F、D共线时，最小． 【变式4-2】（23-24八年级·福建泉州·阶段练习）如图所示四边形中，，，为正三角形，点E、F分别在边、上滑动，且E、F不与B、C、D重合． (1)四边形______平行四边形（是或不是） (2)证明不论E、F在、上如何滑动，总有； (3)当点E、F在、上滑动时，四边形的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3)四边形的面积不变，为定值 【分析】（1）根据可知四边形是平行四边形，即可得答案； （2）根据平行四边形及，可证得和为等边三角形，则，，，再结合是等边三角形，进而证得，利用即可证明，即可得结论； （3）根据，得，故由，可知四边形的面积是定值，作于点，由等边三角形的性质求得，进而求得即可求得，可得定值． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：是； （2）证明：由（1）知四边形为平行四边形，则，， ∵，，， ∴， 又∵， ∴和为等边三角形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴． ∴； （3）四边形的面积不变，为定值． 理由如下：由（2）得，则， 故，是定值， 作于点， ∵， ∴，则， ∴， 综上，四边形的面积不变，为定值． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 【变式4-3】（23-24八年级·浙江温州·期中）根据所给素材，完成相应任务． 玩转三角板 活动背景 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角板，如图1所示，其中，为直角，，，要求两直角顶点重合（A与F重合于点O）进行探究活动．    素材1 小明同学的探究结果如图2所示，D，O，C三点在一条直线上．    素材2 小聪同学的探究结果如图3所示，，连结，发现四边形是平行四边形．    素材3 李老师提出问题，在上述操作过程中，与的面积比是否为定值？    解决问题 任务1 （1）根据图2，计算线段的长度． 任务2 （2）根据图3写出小聪同学判定平行四边形的依据：___________． （3）计算的面积． 任务3 （4）请你解答李老师的问题，并说明理由． 【答案】（1） （2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （3） （4）是定值，理由见解析 【分析】（1）在中，利用直角三角形的性质求得，在中，利用等腰直角三角形和勾股定理求得，即可由求解； （2）根据平行四边形的判定定理解答即可； （3）过点O作于点H，交于点G，利用，求得，利用，求得，从而求得，然后根据平行四边形的面积公式求解即可． （4）作于M，交延长线于N，证明，得到，然后由三角形面积公式计算出，从而得出结论． 【详解】解：（1）在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵(已知)，(已知)， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （3）过点O作于点H，交于点G，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． （4）与的面积比是定值． 理由：作于M，交延长线于N，如图，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴与的面积比是定值． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，本题是三角形综合题目，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 【题型5 平行四边形中的最小值问题】 【例5】（23-24八年级·全国·期中）如图，在中，，，P为边上一动点，以，为边作平行四边形，则对角线的长度的最小值为（　　） A．6 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及垂线段最短的性质等知识；解题的关键是作高线构建直角三角形． 由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，过作的垂线，然后根据直角三角形的性质即可求出的最小值． 【详解】如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵最短也就是最短， ∴过点O作，即为所求， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为：， 故选：A． 【变式5-1】（23-24八年级·山东滨州·期末）如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为（    ） A．14.4 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】A 【分析】设，交于点O，过点O作于点F，勾股定理求得，等面积法求得，根据垂线段最短，当点D与点F，重合时，最小，进而求得的最小值，即可求解． 【详解】解：设，交于点O，过点O作于点F，如图所示， 在四边形中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 当点D与点F，重合时，最小， ∴的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 【变式5-2】（23-24八年级·安徽合肥·期末）如图，在四边形ABCD中，对角线，，则的最小值为（    ） A． B．10 C．15 D． 【答案】D 【分析】过点作，过点作，二线交于点，连接，则四边形是平行四边形，得到，，再利用平行线性质可求得，利用勾股定理可求得，然后根据，当，，三点共线时，取得最小值，即取得最小值，最小值为等于，即可求解． 【详解】解：过点作，过点作，二线交于点，连接， ∵， 四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ 由勾股定理，得， ， 当，，三点共线时，取得最小值， 取得最小值，最小值等于 ∴的最小值． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系，两点之间线段最短，正确作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 【变式5-3】（23-24八年级·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，平行四边形的坐标分别为、、、，点P是边上的一个动点，若点A关于的对称点为，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由轴对称的性质可知，在中由三角形三边关系可知，则可求得答案． 【详解】解：连接，如图： ∵平行四边形的坐标分别为、、、， ∴，， ∵点A关于的对称点为， ∴， 在中，由三角形三边关系可知：， ∴，即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，三角形三边的关系，以及轴对称的性质，利用三角形的三边关系得到是解题的关键． 【题型6 平行四边形中的最大值问题】 【例6】（23-24八年级·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的坐标分别为，、、，若P是x轴上的一动点，若点A关于的对称点为，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查平行四边形及轴对称的性质，利用三角形的三边关系得到是解题的关键． 连接，由轴对称的性质可知，在中由三角形三边关系可知，则可求得答案． 【详解】解：连接，如图： 平行四边形的坐标分别为、、、， ，， 若点关于的对称点为， ， 在中，由三角形三边关系可知：， ，即的最小值为，最大值为． 故答案为：，． 【变式6-1】（2024·山东济南·二模）在菱形中，为菱形内部一点，且，连接，点F为中点，连接，点G是中点，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】先根据题目条件中的中点可联想中位线的性质，构造中位线将和的长度先求出来，再利用三角形的三边关系判断，当时最大． 【详解】解∶如图所示∶连接交于点，连接，取的中点，连接和， ∵在菱形中，为中点，为中点，， ∴， 当、、、共线时，也为， ∵为中点、为中点， ∴ ∵在菱形中，且，， ∴，，， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵． ∴， ∴的最大值为． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题难点在于辅助线的添加，要根据菱形的性质和题目条件中的中点构造中位线，然后借助三角形的三边关系可判断出当、、三点共线时最大． 【变式6-2】（23-24八年级·陕西安康·期中）如图，在中，点分别在边上，折叠使得点落在上，若，，，则长度的最大值为 ．    【答案】2 【分析】由折叠的性质可知，当时，的长度取最小值，则的长度取最小值，此时的长度取最大值，过点作于点，则，由含30度角直角三角形的性质以及勾股定理可得，从而即可得到答案． 【详解】解：由折叠的性质可知，当时，的长度取最小值，则的长度取最小值，此时的长度取最大值， 四边形是平行四边形， ， ， ， 如图，过点作于点，则，    在中，， ， ∴， ∴， 和长度的最小值为6， 故长度的最大值为， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 【变式6-3】（23-24八年级·广东中山·期末）如图， 在中， 点 E 是的中点， ，点 F 是上的动点，连接点E 与的中点 G． 则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，三角形外角定理，等边三角形性质，勾股定理，连接，，利用三角形中位线定理得到，当点 F运动到点时，即与重合，最大，则最大，利用等边三角形性质，，再利用三角形外角定理得到，进而得到，利用勾股定理得到，即可解题． 【详解】解：连接，， 点 E 是的中点，的中点为 G． ，， 点 F 是上的动点， 当点 F运动到点时，即与重合，最大，则最大， ， ，， ， ， ， 的最大值是． 【题型7 平行四边形中的动点问题】 【例7】（23-24八年级·河南郑州·开学考试）如图，点从四条边都相等的的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题综合考查了平行四边形性质，勾股定理和从函数图像获取信息，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．过点作于点，通过分析图象，点从点到用，此时，的面积为，依此可求的高，再由图象可知，，应用两次勾股定理分别求和，从而解题． 【详解】解：过点作于点， 由图象可知，点由点到点用时为，的面积为． ， ， ， 当点从点到点时，用时为， ， 在中， ， 的四条边都相等， ，， 在中， ， 解得：， 故选：C． 【变式7-1】（23-24八年级·安徽合肥·期末）如图：在四边形中，，且，，P，Q分别从A，C同时出发，P以的速度由A向D运动，Q以的速度由C向B运动， 秒时直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】2或3 【分析】本题主要考查四边形中的动点移动问题，关键在于根据平行四边形的性质列出方程求解即可. 根据题意设秒时，直线将四边形截出一个平行四边形，.要使成平行四边形，则就有或，列方程并解方程即可求出t值. 【详解】解：根据题意设t秒时，直线将四边形截出一个平行四边形， 则 要使构成平行四边形 则：或 进而可得： 或 解得或 故答案为：2或3 【变式7-2】（23-24八年级·河南漯河·期中）如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，点同时以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，点停止运动时，点也随之停止运动．当运动时间为多少秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．     【答案】或秒 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、平行四边形的判定．因为，所以当时以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，本题要分两种情况考虑：当点 在点右侧时，当Q在点左侧时． 【详解】当点 在点右侧时， 点是的中点， ， ，， ， 解得：； 当Q在点左侧时， ，， 解得：， 综上所述经过秒或秒时以点，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【变式7-3】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在平行四边形中，，是的平分线，点M从点E出发，沿方向以每秒的速度向点D运动，点N从点C出发，沿方向运动，以每秒的速度向点B运动，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)求的长； (2)是否存在以M，E，B，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边： （1）利用平行四边形的性质得出，再利用角平分线的定义得出即可得出结论； （2）利用平行四边形的性质即可得出，再分两种情况讨论计算即可得出结论； 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）知，， ∵， ∴， 由运动知，，， ∵， ∴要使以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形，只要， 当点N在边上时，， ∴， ∴， 当点N在边的延长线上时，， ∴， ∴（舍去）， 综上所述，当时，以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形. 【题型8 平面直角坐标系中的平行四边形存在性问题】 【例8】（23-24八年级·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，线段，的长分别是，，且满足，点是线段上的一点，将沿直线翻折，点落在矩形对角线上的点处． (1)求线段的长； (2)求的面积； (3)点在直线上，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出满足条件的点的个数，并直接写出两个点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10 (2)15 (3)点的坐标为或或 【分析】（1）根据非负数的性质求得m、n的值，即可求得、的长，由勾股定理求得； （2）由翻折的性质可得：，，，在中，由勾股定理可得，解方程求得x的值，即可得，再根据则的面积为即可求解； （3）过E作，在中，根据直角三角形面积的两种表示法求得的长，再利用勾股定理求得的长，即可求得点E的坐标，利用待定系数法求得的解析式，再根据平行四边形的性质分三种种情况：为对角线时，为对角线时，为对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵线段的长分别是且满足， ∴，， ∴，； ∴； （2）设，由翻折的性质可得：，，，， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， 则的面积为； （3）由（2）可知，， 过E作，在中，， 即， 解得：， 在中，，则， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入解析式可得： ， 解得： ， 所以的解析式为：， 设，， 当以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形且为对角线时， 则，即，解得：， 此时点的坐标为； 当以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形且为对角线时， 则，即，解得：； 此时点的坐标为； 当以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形且为对角线时， 则，即，解得：； 此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了非负性、用待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理、平行四边形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过求一次函数的解析式和平行四边形的性质才能得出结果． 【变式8-1】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴，y轴分别交于点A，D，直线与直线平行，交x轴于点，交于点C． (1)求直线的解析式及点C的坐标； (2)若点P是线段上动点，当时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），且，连接，当四边形周长最小时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，将绕O点顺时针旋转得到，点E是y轴上的一个动点，点F是直线上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)直线的解析式为，点C的坐标为 (2) (3)、、 【分析】（1）根据直线的关系，设直线的解析式为，代入点的坐标即可求得，联立直线与直线，即可求得点的坐标； （2）求出点P坐标，将四边形周长转化为线段的长度，构造等量线段，进行求解即可； （3）分别以为边或对角线进行讨论，根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：直线与直线平行， 设直线解析式为， 将代入得：， 解得： 直线的解析式为 联立直线与直线得： ，解得 点C的坐标为； （2）解：设点P， 由得： 解得：， 则点 由题意可知，， 作点D关于x轴的对称点E，再将E向右平移两个单位，得到点F，连接，如下图： 则，，， 由题意可知：， ∴四边形为平行四边形， ∴ 四边形周长为 ∵定长 ∴四边形周长最小，即最小，也就是最小 得到：P、N、F三点共线时最小， 设直线所在直线的解析式为 将、代入得 ，解得 ，令， 解得，即 ∴； （3）解： ，绕O点顺时针旋转得到， 过点作于点，如下图： 则， ∴ ∴， G点坐标为， 设直线的解析式为：， 则解得：， 直线的解析式为：， ∴，， 以为邻边时，则，如下图： 又∵，F是直线上的一个动点 ∴点E为直线上，即点E与点D重合， 点M到点G是向上平移个单位，再向右平移一个单位，则将点E向上平移个单位，再向右平移一个单位，即得点F坐标为； 以为邻边时，如下图： 由上述可得，点E为直线上，即点E与点D重合， 点G到点M是向下平移个单位，再向左平移一个单位，则将点E向下平移个单位，再向左平移一个单位，即得点F坐标为 以为对角线时，则的中点， 设， 由平行四边形的性质可得：点E、F关于点N对称， 则，解得 点F的坐标为； 综上所述、点F的坐标为、、． 【点睛】此题主要考查了一次函数与几何的综合应用，熟练掌握一次函数、平行四边形等有关性质是解题的关键． 【变式8-2】（23-24八年级·湖北孝感·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴分别交于点，过点作轴交直线于点． (1)求直线的函数解析式； (2)求点到直线的距离及点的坐标； (3)试探究在平面内是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)或或 【分析】（1）运用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）根据题意可得点的坐标，由此求出的值，运用等面积法即可求解； （3）根据平行四边形的性质，分类讨论，当点在轴上时，由可得点的坐标；当以为对角线时，运用中点坐标公式的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，且直线与轴分别交于点， ∴， 解得，， ∴直线的函数解析式为； （2）解：∵，轴交直线于点， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得，， ∴， ∴，，，且， ∴在中，， ∵，， ∴， ∵设点到的距离为，则， ∴， ∴； （3）解：存在，点的坐标为或或，理由如下， 第一种情况，如图所示，当点在轴上，点的左边， ∵以为顶点的四边形是平行四边形， ∴， ∴点的横坐标为，即； 当点在轴上，点的右边， ∴点的横坐标为，即； 第二种情况，如图所示，为对角线，连接交于点， ∴，且， 设， ∴， 解得，，， ∴； 综上所述，存在，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数交点求几何图形面积，平行四边形的判定和性质，中点坐标的计算方法的综合，掌握一次函数与几何图形的综合运用是解题的关键． 【变式8-3】（23-24八年级·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，． (1)求出点的坐标； (2)一次函数的图象分别与线段交于两点，求证：； (3)点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见详解 (3)存在，或 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及图形与坐标，一次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用平行四边形的性质，得出，因为，则点的坐标； （2）依题意，把代入，得出，把代入，得，根据线段关系，分别表达 ，进行比较，即可作答． （3）结合以为顶点的四边形是平行四边形，进行分类讨论，即当为对角线时，当为边时，运用平行四边形的性质：对边平行且相等等性质内容进行线段的运算，即可作答． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴点的坐标 （2）解：∵，且由（1）得点的坐标 ∴ ∵一次函数的图象分别与线段交于两点， ∴把代入，得出，即 ∴把代入，得出，即 则 ∴； （3）解：存在： 如图所示：连接，即相交于一点，即为 图形观察：点W的横坐标小于C的横坐标 依题意，当为对角线时， ∵以为顶点的四边形是平行四边形 ∴ ∵由（2）知，点的坐标， ∴，即点W的横坐标大于C的横坐标， 与图形表示的信息是矛盾的，故当为对角线的情况舍去； 当为边时，且当N在轴的负半轴时，如图所示： ∵四边形是平行四边形 ∴ ∵点的坐标， ∴点的纵坐标与的纵坐标相等，即为 ∵点是直线上一动点 ∴此时点与点重合的 ∴ 则 ∵当N在轴的负半轴 ∴； ∴，即点W的横坐标大于C的横坐标 ∵ ∴当为边时，且当N在轴的正半轴时，如图所示： 设点N的坐标为 ∵四边形是平行四边形 ∴ ∵点的坐标， ∴点向下平移个单位，向左平移个单位得到点， ∴点N向下平移个单位，向左平移个单位得到点M， ∴点的纵坐标为 ∵点是直线上一动点 ∴设的解析式为 把，代入 则 解得 ∴的解析式为 把代入 解得 ∴ ∵点N向下平移个单位，向左平移个单位得到点M， ∴ ∴ 综上：或 【题型9 平行四边形中的新定义问题】 【例9】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，由16个点构成的的正方形点阵中，横纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中四个点为顶点的平行四边形叫阵点平行四边形．图中以，为顶点，面积为2个平方单位的阵点平行四边形的个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定，两组对边边必须平行，可以得出上下各两个平行四边形符合要求，以及特殊四边形矩形与正方形即可得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵矩形，矩形，平行四边形，平行四边形， 还有两个以为对角线的平行四边形，平行四边形， 还有两个以为对角线的正方形． ∴一共有7个面积为2的阵点平行四边形． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，以及正方形与矩形的有关知识，找出特殊正方形，是解决问题的关键． 【变式9-1】（23-24八年级·四川成都·期末）定义：在平面直角坐标系中，若点M关于直线的对称点在的内部（不包含边界），则称点M是关于直线的“伴随点”．如图，已知三点，连接，以为边作．若在直线上存在点N，使得点N是关于直线的“伴随点”，则n的取值范围是 ．    【答案】 【分析】根据题意得出直线经过点，确定关于对称的点为，得出直线关于对称的直线为，然后代入临界点求解即可． 【详解】解：， 当时，，当时，， ∴直线经过点， ∴关于对称的点为， 设直线关于对称的直线为， 将点代入得：， 解得：， ∴， 当经过时，； 当经过时，； ∵对称点M′在▱ABCD的内部（不包含边界）， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查一次函数的性质及平行四边形的性质，理解题意，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 【变式9-2】（23-24八年级·江苏泰州·期末）定义：作的一组邻角的角平分线，设交点为P，P与这组邻角的公共边组成的三角形为的“伴侣三角形”，△PBC为平行四边形的伴侣三角形．AB＝m，BC＝4，连接AP并延长交直线CD于点Q，若Q点落在线段CD上（包括端点C、D），则m的取值范围 ． 【答案】2≤m≤4 【分析】找到Q点的两个边界点，利用平行四边形的性质和全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】在平行四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝180°， ∵BP平分∠ABC，PC平分∠BCD， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠BCD， ∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠BCD）＝90°， ∴∠BPC＝90°， 当点Q与点C重合时，如图所示： ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠CBP， ∵∠BPC＝90°， ∴∠APB＝∠BPC＝90°， ∵BP＝BP， ∴△ABP≌△CBP（ASA）， ∴AB＝BC， ∵BC＝4， ∴m＝4， 当点Q与点D重合时，如图所示： 延长CP交BA的延长线于点K， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠CBP， ∵∠BPC＝90°， ∴∠KPB＝∠BPC＝90°， ∵BP＝BP， ∴△KBP≌△CBP（ASA）， ∴BK＝BC，KP＝CP， ∵ABCD， ∴∠K＝∠DCP， 又∵∠KPA＝∠CPD， ∴△KPA≌△CPD（ASA）， ∴CD＝AK， ∵AB＝CD， ∴BC＝2AB＝4， ∴AB＝2， ∴m＝2， 综上所述：当点Q落在线段CD上时，m的取值范围是2≤m≤4， 故答案为：2≤m≤4． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定和性质，通过平行四边形的性质推出三角形全等是解题的关键． 【变式9-3】（24-25八年级·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于两个点和图形，给出如下定义：若射线与图形的一个交点为，射线与图形的一个交点为，且满足四边形为平行四边形，则称点是点关于图形的“平心点”．如图1中，点是点关于图中线段的“平心点”．已知点：，若点中，是点关于直线“平心点”的有 ；若点关于线段的“平心点”的横坐标为时，则的取值范围 ．    【答案】 D、F 【分析】题目主要考查新定义，平行四边形的判定和性质，一次函数的性质，坐标与图形，理解题意，结合图象求解是解题关键．根据题意描出相应的点，然后利用一次函数确定函数解析式，确定交点，再由平行四边形的判定和性质即可求点关于直线“平心点”；根据题意结合图象，得出点的运动轨迹为点，即可求的取值范围． 【详解】解：根据题意作图如下：   ，，， 直线所在直线为， 设直线所在直线为， 将点代入得：， ∴， 交直线于点， 设直线所在直线为， ， 解得， ∴直线所在直线为， 交直线于点， ∴两个交点之间的距离为， ∵所在直线平行于x轴， ∴四边形为平行四边形，符合题意； 同理点E不符合题意；点F符合题意； 根据题意结合图象，连接，则中点即， 连接，则中点即， ∴；    故答案为：D、F；． 【题型10 平行四边形中的综合实践与探究】 【例10】（23-24八年级·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，在等边中，、两点分别在边、上，连接 ，以为边向右作等边，连接． 【初步发现】（1）求证：为等边三角形； 【深入探究】（2）求证：四边形为平行四边形； 【拓展延伸】（3）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（）根据等边三角形得和，以及和，则，可证，有，，再证，即可得出结论； （）由等边三角形得和，则，可得，进一步得，即可得出结论； （）过作于，则，由（）可知，，求得，结合等边三角形求得和，利用勾股定理得，然后用面积公式即可求解． 【详解】证明：（1）∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）由（）可知，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）如图，过作于， 则， 由（）可知，， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定定理、平行四边形的判定定理、勾股定理、含角的直角三角形的性质，解题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 【变式10-1】（24-25八年级·广西玉林·期末）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题．如图，在中，点分别为上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图①，当为等边三角形时，甲同学发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则．你认为甲同学的想法正确吗？请说明理由； 【类比探究】（2）乙同学尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图②，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）陈老师提出新的探究方向：如图③，在中，，，连接，请直接写出的最小值． 【答案】[初步尝试]（1）正确，理由见解析； [类比探究]（2）四边形为平行四边形，理由见解析； [拓展延伸]（3） 【分析】[初步尝试]（1）根据等边三角形的性质，旋转的性质可证，即可求解； [类比探究]（2）根据旋转的性质可得，得到，由（1）的证明方法得到，则，根据垂直的定义可得，得到，根据平行四边形的判定即可求解； [拓展延伸]（3）如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，可得四边形是平行四边形，可证，得到，则，当点三点共线时，，此时的值最小，根据题意可得，由勾股定理可得，则，在中，由勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】解：[初步尝试]（1）正确，理由如下， ∵是等边三角形， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； [类比探究]（2）四边形为平行四边形，理由如下， ∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； [拓展延伸]（3）∵， ∴，， 如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，      ， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 当点三点共线时，，此时的值最小， 如图所示，过点作延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理与最短路径的计算，掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【变式10-2】（24-25八年级·河南商丘·期中）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明． 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）四边形为平行四边形，理由见解析 【分析】本题是四边形的综合题，考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定、旋转的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）证明，得到； （2）证明，得出四边形为平行四边形． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， 绕点逆时针旋转得到， ，， ， ，， ， ； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下， ，， ， 绕点逆时针旋转得到， ，，， ，则， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 则四边形为平行四边形. 【变式10-3】（23-24八年级·陕西汉中·期末）问题探究 (1)如图1，在中，已知，，的平分线交于点G，求的长； 问题解决 (2)某科技公司现有一块形如四边形的研发基地，如图2，已知米，米，，的平分线交于点G．为了响应国家“科教兴国”战略，现需要扩大基地面积．扩建方案如下：点P是射线上一动点，连接，将修建成新能源研发区，为安全起见，要沿一周修建隔离带（宽度忽略不计），为了节省费用，要求隔离带的长度尽可能的短，问隔离带的长度是否存在最小值？若存在，请求出隔离带长度（的周长）的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的长； (2)隔离带的长度存在最小值，最小值为(米)． 【分析】（1）过A作于H，求出 求出，即可求出答案； （2）如图，作D关于的对称点E，连接交于点，则，连接，交直线于P，过D作于Z，则此时的值最小，且等于长，即的周长最小，求出，即可求出的值，则可求出的周长． 本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，轴对称等知识点的应用，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：过A作于H，如图： 平分 ∵四边形是平行四边形， 在中， 由勾股定理得： ； （2）解：如图，作D关于的对称点E，连接交于点，则，连接，交直线于P，过D作于Z，则此时的值最小，且等于长，即的周长最小， ∵， ∴， 由（1）知， ， ∴， ∴ 又∵， 在中， ∴ ∴的周长(米)， ∴隔离带的长度存在最小值，最小值为(米)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$