精品解析：河北省秦皇岛市海港区 2024-2025学年上学期期末质量检测八年级数学试卷

海港区2024－2025学年度第一学期期末质量检测 八年级数学试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 64的算术平方根是（ ） A. 4 B. C. 8 D. 2. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列实数，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式中不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 以下列各组数为三边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程，是用“边角边”构造了全等三角形 B. 等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边 C. 用直尺和圆规作一个角的平分线的过程，是用“边角边”构造了全等三角形 D. 直角三角形的中线等于斜边的一半 8. 如图，在中，，，折叠该纸片，使点、点重合，折痕交边于点，连接，则图中等腰三角形的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 9. 在复习分式的化简运算时，老师把甲、乙两位同学的解答过程分别展示如下： 甲： 乙： 下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙都错 B. 甲、乙都对 C. 甲对，乙错 D. 甲错，乙对 10. 习近平总书记强调“搞好城市内绿化，使城市适宜绿化的地方都绿起来”，构建生态宜居城市，实现“河畅、水清、岸绿、景美”的目标．我省继续推进塞罕坝造林工程，工程队计划种植75000棵树苗，已知“…”．设计划每天植树棵，则可得到方程．根据所列方程，题中“…”表示的缺失的条件应该是（ ） A. 实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了，实际绿化工程比计划提前五天完成 B. 实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了，实际绿化工程比计划延期五天完成 C. 实际每天的种植数量比计划每天的种植数量降低了，实际绿化工程比计划提前五天完成 D. 实际每天的种植数量比计划每天的种植数量降低了，实际绿化工程比计划延期五天完成 11. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知：如图，和均为等边三角形，点、、在一条直线上，交于点，交于点，交于点．下列结论： ①，②， ③，④，⑤．正确的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. “等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：__________． 14. 如图，在中，已知和的平分线相交于点，过点作交、于点、，若的周长为10，的周长为16，则______． 15. 某船往返于某段河流，顺流航行千米与逆流航行千米用时相同，已知水流速度为每小时千米．设船的静水速度是每小时千米，根据题意，可得方程为______． 16. 已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止当t=_____时，△PBQ是直角三角形． 三、简答题（共8个小题，共52分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 解方程：． 20. 如图，点、、、在同一条直线上，和在直线两侧，若．请从①，②，③中选两个当条件，第三个当结论构成一个真命题． （1）条件：______（填写序号） 结论：______（填写序号） （2）证明你所构建的命题是真命题． 21. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上． （1）画出，使与关于直线对称； （2）在直线上确定一点，使到、的距离之和最小，最小值为______，并在图中标出点（保留作图痕迹）； （3）点在格点上，且是等腰三角形，则这样的点有______个． 22. 在中，，点、分别是、上的点，且． （1）写出图中的全等三角形，并选择其中的一对进行证明． （2）过作，垂足为，如果，求． 23. 随着科技的创新，高铁建设领域也随之改革，某建筑集团承接了高铁线路的革新工作．以下是记者与工程师的一段对话： 记者：听说你们在高铁线路工作中，技术进行了创新，工作效率取得了显著提升？ 工程师：是的，现在甲工程队使用新技术，单独完成这项工程，刚好按规定工期完成． 乙工程队技术还没革新，单独完成这项工程要比规定工期多用7天． 记者：这听起来效率有了很大的提升，那甲、乙两工程队的工程款有怎样的区别？ 工程师：每施工一天，需付甲工程队工程款2.8万元，付乙工程队工程款2.1万元．现在工程领导小组出于实际的考虑，可有三种施工方案： 方案一：甲队单独完成这项工程； 方案二：乙队单独完成这项工程； 方案三：若由甲、乙两队合作做6天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工． 通过以上对话，请你回答下列问题： （1）求这项工程的规定工期； （2）如果要求正好按规定工期完工，你认为工程小组将选择哪一种方案？并说明理由． 24. 数学活动课上，在学习了角平分线的尺规作图后．嘉嘉受此问题启发，利用轴对称性又发现了一种作角平分线的方法．如图，请仔细阅读并完成相应任务． 【作法】 ①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； ②再以点为圆心，大于长为半径画弧，交于点，交于点； ③连接交于点； ④作射线． 则射线即为的平分线． 【任务】 （1）由尺规作图可直接得到的相等线段有：和______． （2）由（1）中的条件，可证，依据是______（填判定方法） （3）如果把（2）中的作为条件，求证：平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海港区2024－2025学年度第一学期期末质量检测 八年级数学试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 64的算术平方根是（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根定义，根据算术平方根定义进行求解即可． 【详解】解：64的算术平方根是8． 故选：C． 2. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】被开方数x-3必须是非负数，即x-3≥0，由此可确定被开方数中x的取值范围. 【详解】根据题意，得: x-3≥0， 解得，x≥3； 故选B． 【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 3. 下列实数，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根本题考查了无理数的概念，立方根与算术平方根；据无理数的概念，无理数是无限不循环小数，即可求解． 【详解】A．是分数，属于有理数，不符合题意 B． 是分数，属于有理数，不符合题意 C． 是无理数，符合题意 D． ，是整数，属于有理数，不符合题意 故选：C． 4. 下列二次根式中不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；根据被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：、是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，不符合题意； 、，不是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 5. 以下列各组数为三边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项能构成直角三角形，不符合题意； B、，则此项能构成直角三角形，不符合题意； C、，则此项能构成直角三角形，不符合题意； D、，则此项不能构成直角三角形，符合题意； 故选：D． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，二次根式性质，熟知二次根式的四则运算法则是解题的关键．根据二次根式性质，二次根式加法运算法则，分母有理化，进行计算即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 故选：C． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程，是用“边角边”构造了全等三角形 B. 等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边 C. 用直尺和圆规作一个角的平分线的过程，是用“边角边”构造了全等三角形 D. 直角三角形的中线等于斜边的一半 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定，直角三角形的性质等知识，掌握等腰三角形的性质，三角形全等的判定，直角三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质，全等三角形的判定，直角三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程，是用“边边边”构造了全等三角形，原说法错误，不符合题意； B．等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边，原说法正确，符合题意； C．用直尺和圆规作一个角的平分线的过程，是用“边边边”构造了全等三角形，原说法错误，不符合题意； D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 8. 如图，在中，，，折叠该纸片，使点、点重合，折痕交边于点，连接，则图中等腰三角形的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定方法，等角对等边，根据两边相等的三角形为等腰三角形即可解答 【详解】解：， ， ， ， 是等腰三角形； ∵折叠该纸片，使点、点重合，折痕交边于点， ， 是等腰三角形； ， ， ， ， ∴， 是等腰三角形， ∴图中等腰三角形的个数是3个， 故选：B． 9. 在复习分式的化简运算时，老师把甲、乙两位同学的解答过程分别展示如下： 甲： 乙： 下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙都错 B. 甲、乙都对 C. 甲对，乙错 D. 甲错，乙对 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．根据分式的运算法则，分析甲、乙两位同学的解答过程即可判断． 【详解】解：甲、乙同学的计算都正确， ； ， ∴甲、乙正确， 故选：B． 10. 习近平总书记强调“搞好城市内绿化，使城市适宜绿化的地方都绿起来”，构建生态宜居城市，实现“河畅、水清、岸绿、景美”的目标．我省继续推进塞罕坝造林工程，工程队计划种植75000棵树苗，已知“…”．设计划每天植树棵，则可得到方程．根据所列方程，题中“…”表示的缺失的条件应该是（ ） A. 实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了，实际绿化工程比计划提前五天完成 B. 实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了，实际绿化工程比计划延期五天完成 C. 实际每天的种植数量比计划每天的种植数量降低了，实际绿化工程比计划提前五天完成 D. 实际每天的种植数量比计划每天的种植数量降低了，实际绿化工程比计划延期五天完成 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查列方程解决实际问题，理解方程的意义是解题的关键．根据所列方程中各部分的含义推断出所欠缺的条件，即可解答． 【详解】解：∵设计划每天植树棵， ∴方程中表示原计划种植的时间（天数），表示实际每天种植棵，即实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了，表示实际种植的时间（天数），表示原计划种植的时间比实际种植的时间多5天，即提前5天完成． ∴题中“…”表示的缺失的条件应该是：实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了，实际绿化工程比计划提前五天完成，故A正确． 故选：A． 11. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作角平分线和作垂线，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键．根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，，依据这两个条件即可逐项判断即可． 【详解】解：∵根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，， ∴， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∴， 无法证明， 故选：B． 12. 已知：如图，和均为等边三角形，点、、在一条直线上，交于点，交于点，交于点．下列结论： ①，②， ③，④，⑤．正确的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用；由等边三角形的性质可得，，根据平角的定义得出，即可判断⑤，进而证明，即可判断①，得出，根据三角形内角和定理得出，即可判断④；进而证明，，即可判断②和③． 【详解】解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴，故⑤正确， 在 ∴故①正确； ∴，即 ∵,， ∴故④正确 在中， ∴故②正确； ∴， 在中， ∴故③正确； 综上所述，正确的有①②③④⑤，共5个， 故选：A． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. “等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：__________． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】根据互逆命题的定义，将原命题的题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题 【详解】解：将原命题改写为“如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等”， 其中题设为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“这个三角形的两个底角相等”， 互换题设和结论后，得到逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形” 14. 如图，在中，已知和的平分线相交于点，过点作交、于点、，若的周长为10，的周长为16，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定、角平分线的定义等知识点，先根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，同样的方法可得，最后根据三角形的周长公式即可得． 【详解】解：是的角平分线， ， ∵， ， ， ， 同理可得：， 的周长为10， ， ，即， ∵的周长为16， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 某船往返于某段河流，顺流航行千米与逆流航行千米用时相同，已知水流速度为每小时千米．设船的静水速度是每小时千米，根据题意，可得方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设船在静水中的速度是x千米/时，根据顺流航行千米与逆流航行千米用时相同，列出分式方程，即可求解． 【详解】解：设船在静水中的速度是x千米/时．由题意得： ． 故答案为 ． 16. 已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止当t=_____时，△PBQ是直角三角形． 【答案】1或2． 【解析】 【详解】试题分析：根据题意得AP=cm，BQ=cm，△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，∴BP=（）cm，△PBQ中，BP=，BQ=，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，①当∠BQP=90°时，BQ=BP，即，（秒），②当∠BPQ=90°时，BP=BQ，，（秒），∴当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．故答案为1或2． 考点：1．一元二次方程的应用；2．等边三角形的性质；3．勾股定理． 三、简答题（共8个小题，共52分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据平方差公式和完全平方公式，以及二次根式性质进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行化简，然后将数据代入求值即可．熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． 【详解】解： ， 把，代入得： 原式． 19. 解方程：． 【答案】原方程无解 【解析】 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 20. 如图，点、、、在同一条直线上，和在直线两侧，若．请从①，②，③中选两个当条件，第三个当结论构成一个真命题． （1）条件：______（填写序号） 结论：______（填写序号） （2）证明你所构建的命题是真命题． 【答案】（1）②③；①或①③；② （2） 当条件：②③，结论：①时， 证明：， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴； 当条件①③，结论②时， ， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质、命题与定理，熟练掌握平行线的性质以及三角形全等的判定与性质是解此题的关键． （1）选择②③当条件，①当结论或①③当条件，②当结论即可； （2）根据，得出，证明即可． 【小问1详解】 解：条件：②③，结论：①；或条件①③，结论②； 【小问2详解】 略 21. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上． （1）画出，使与关于直线对称； （2）在直线上确定一点，使到、的距离之和最小，最小值为______，并在图中标出点（保留作图痕迹）； （3）点在格点上，且是等腰三角形，则这样的点有______个． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2）； 如图，点P即为所求作的点， （3）8 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形、等腰三角形的定义，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想，是解此题的关键． （1）利用轴对称的性质得出的对应点，再顺次连接即可； （2）连接，交直线l于点P，则点P即为所求作的点，用勾股定理求出的长度即可； （3）根据等腰三角形的概念求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小，且最小值为： ； 【小问3详解】 解：如图所示： 使是等腰三角形，则这样的点M有8个． 22. 在中，，点、分别是、上的点，且． （1）写出图中的全等三角形，并选择其中的一对进行证明． （2）过作，垂足为，如果，求． 【答案】（1）；；证明： ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵在和中， ∴； ∵，， ∴， 即， ∵在和中， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，根据证明三角形全等即可； （2）根据，得出，根据三角形外角性质得出，根据直角三角形性质得出，根据勾股定理得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 23. 随着科技的创新，高铁建设领域也随之改革，某建筑集团承接了高铁线路的革新工作．以下是记者与工程师的一段对话： 记者：听说你们在高铁线路工作中，技术进行了创新，工作效率取得了显著提升？ 工程师：是的，现在甲工程队使用新技术，单独完成这项工程，刚好按规定工期完成． 乙工程队技术还没革新，单独完成这项工程要比规定工期多用7天． 记者：这听起来效率有了很大的提升，那甲、乙两工程队的工程款有怎样的区别？ 工程师：每施工一天，需付甲工程队工程款2.8万元，付乙工程队工程款2.1万元．现在工程领导小组出于实际的考虑，可有三种施工方案： 方案一：甲队单独完成这项工程； 方案二：乙队单独完成这项工程； 方案三：若由甲、乙两队合作做6天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工． 通过以上对话，请你回答下列问题： （1）求这项工程的规定工期； （2）如果要求正好按规定工期完工，你认为工程小组将选择哪一种方案？并说明理由． 【答案】（1）天 （2）选择方案三，理由为既节省了工程款且又能如期完工． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用； （1）设完成这项工程的规定时间为 x 天，则甲队单独完成这项工程为x天，乙队单独完成这项工程为天，然后根据“甲、乙两队合作做6天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工”列分式方程求解即可； （2）根据题意可知有方案一和方案三符合条件，然后分别求出方案一和方案三的工程款，然后比较即可解答． 【小问1详解】 解：设完成这项工程的规定时间为 x 天，则甲队单独完成这项工程为x天，乙队单独完成这项工程为天 由题意得：， 解得： 经检验： 是原分式方程的解． 答：完成这项工程的规定时间为天． 【小问2详解】 解：如期完工时，只有方案一和方案三符合条件 方案一工程款： (万元) 方案三工程款： (万元) ∵ ∴选择方案三． 答∶选择方案三，理由为既节省了工程款且又能如期完工． 24. 数学活动课上，在学习了角平分线的尺规作图后．嘉嘉受此问题启发，利用轴对称性又发现了一种作角平分线的方法．如图，请仔细阅读并完成相应任务． 【作法】 ①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； ②再以点为圆心，大于长为半径画弧，交于点，交于点； ③连接交于点； ④作射线． 则射线即为的平分线． 【任务】 （1）由尺规作图可直接得到的相等线段有：和______． （2）由（1）中的条件，可证，依据是______（填判定方法） （3）如果把（2）中的作为条件，求证：平分． 【答案】（1） （2）（或边角边） （3） 证明：∵ ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， ∴ 在 ∴ ∴，即平分 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定与性质． （1）直接由尺规作图得出结论即可； （2）根据全等三角形的判定方法求解即可； （3）证明得出，进而证明得出，即可得证． 【小问1详解】 解：由尺规作图可直接得到的相等线段有：和， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵ ∴， 故答案为：（或边角边）． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $