专题05 二次函数性质综合题（讲练，4考点+8题型+方法指导+命题预测）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（江苏专用）

专题05 二次函数性质综合题 试卷第1页，共3页 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 二次函数的图象和性质 ►题型01 二次函数的图象和性质 ►题型02 二次函数的最值 ►题型03 二次函数的平移 考点二 二次函数的图象与各系数符号 ►题型01 二次函数的图象与系数的关系 ►题型02 二次函数与其他函数图象共存 考点三 求二次函数的表达式 ►题型01 求二次函数的表达式 考点四 二次函数性质综合问题 ►题型01 二次函数与一元二次方程的综合 ►题型02 二次函数与坐标系交点问题 01考情透视·目标航 中考考点 新课标要求 命题预测 二次函数的性质 二次函数的图象和性质 在中考中，二次函数的出题形式不固定，题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高.而考察的内容主要有:二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等. 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 二次函数的图象和性质 ►题型01 二次函数的图象和性质 1．（2023·江苏扬州·中考真题）已知二次函数（a为常数，且），下列结论： ①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是(   ) A．①② B．②③ C．② D．③④ 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐一分析即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为，， ∴二次函数图象必经过第一、二象限， 又∵， ∵， ∴， 当时，抛物线与x轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限， 当时，抛物线与x轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限， 故①错误；②正确； ∵抛物线对称轴为，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，故③正确； ∴当时，y随x的增大而增大，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题的关键． 2．（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴图象的开口向下，故选项A不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D符合题意； 当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意； ∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下， ∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意； 故选：D． 3．（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，一次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质，数形结合是解题的关键．根据平移的规律顶点平移后的函数解析式即可判断①；确定抛物线与直线没有交点，且开口向上即可判断②；利用函数的性质即可判断③；求得顶点坐标即可判断④． 【详解】解：将二次函数是常数）的图象向下平移3个单位长度后得到， 当时，， 平移后的函数的图象经过原点， 故①正确； 当时，则， 令，即， ， 抛物线与直线没有交点， 抛物线开口向上， 当时，这个函数的图象在函数图象的上方； 故②正确； 二次函数是常数）， 开口向上，对称轴为直线， 当时，函数值随自变量增大而增大， 故③错误； ， 顶点为， ， 故④正确． 故答案为：①②④． ►题型02 二次函数的最值 4．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 解得，， 故选：C． 5．（2024·四川眉山·中考真题）定义运算：，例如，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】解：由题意得，， 即， 当时，函数的最小值为． 故选：B． 6．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 【答案】D 【分析】将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴左侧，得出，再利用二次函数的顶点式即可求出二次函数最值． 【详解】解：将代入二次函数解析式得：，解得：，， ∵二次函数，对称轴在轴左侧，即， ∴， ∴， ∴， ∴当时，二次函数有最小值，最小值为， 故选：． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键． ►题型03 二次函数的平移 7．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ， 令，则， 或， 解得：或， ， 故答案为：1． 8．（2024·山东济宁·中考真题）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据平移的规律写出抛物线向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得，由此列不等式即可求出k的取值范围． 此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 【详解】解：将抛物线向下平移k个单位长度得， ∵与x轴有公共点， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 9．（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则 （填“＞”或“＜”）； 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线的解析式为，再利用二次函数图象的性质可得出答案． 【详解】解：， ∵二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 1．（2024·江苏徐州·三模）如果将抛物线向左平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减，由此即可得出答案． 【详解】将抛物线向左平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是 故选：B． 2．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知关于x的二次函数图像经过点，，且满足，t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，①当时，②当时，③当时，④当时，能根据二次函数的性质对的取值范围进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：对称轴为直线， ①当时， ， ， 此种情况不存在； ②当时， ， 解得：， 此种情况不存在； ③当时， ， 解得：； ④当时， ， ， 此种情况不存在； 综上所述：， 故选：C． 3．（2024·四川凉山·模拟预测）抛物线上部分点的坐标如下表，下列说法错误的是（　　） A．对称轴是直线 B．当时， C．当时，随的增大而减小 D．抛物线开口向下 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个选项中的结论是否成立，得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、由表格中点，，可知对称轴是直线，故此选项不符合题意； B、根据对称轴是直线，图象过点，则根据二次函数的对称性得当时，，故此选项符合题意； C、由表格数据可得，当时，随的增大而减小，故此选项不符合题意； D、根据对称轴是直线，当时，随的增大而减小，得出抛物线开口向下，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．（2023·江苏苏州·二模）把抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后抛物线的表达式是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先确定的顶点坐标为，再根据点平移的规律得到点平移后对应点的坐标，然后根据顶点式写出平移后抛物线的表达式． 【详解】抛物线的顶点坐标为，点向右平移个单位，再向上平移个单位所得对应点的坐标为， ∴平移后抛物线的表达式为． 故答案为：． 5．（2024·江苏淮安·一模）若二次函数 的图象经过点，，则与的大小关系为 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．分别把和代入解析式，计算出对应的函数值，然后比较大小． 【详解】解：当时，； 当时，， 所以． 故答案为：． 6．（2024·江苏连云港·模拟预测）若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则函数与x轴的交点有 个． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点，确定的符号是解题的关键．根据题意得到，求出的值，即可得到结论． 【详解】解：一次函数的图像经过第二、三、四象限， ， ， ， 故与x轴的交点有个． 故答案为：． 7．（2023·江苏扬州·一模）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点，……都是和谐点． (1)判断函数的图象上________（填“是”或“否”）存在和谐点： (2)若二次函数的图象上有且只有一个和谐点． ①求a、c的值； ②若时，函数的最小值为，最大值为3，求实数m的取值范围． 【答案】(1)否 (2)①，；② 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、一次函数与反比例函数的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质等等，正确理解题意是解题的关键． （1）假设存在和谐点，则可得到，由于方程无解，则假设不成立，即不存在和谐点； （2）①先把代入二次函数解析式推出，再根据只有一个和谐点得到方程只有一个实数根，由此得到，据此求出a的值进而求出c的值即可； ②根据①可得解析式为，则二次函数的对称轴为直线，由对称性求出当时，，再由当时，函数的最小值为，最大值为3，即可得到． 【详解】（1）解： 若函数的图象上存在和谐点，则，即，此时方程无实数解， ∴：函数的图象上不存在和谐点， 故答案为：否； （2）解：①把代入中得， ∴， ∵二次函数的图象上有且只有一个和谐点， ∴二次函数与直线只有一个交点，即方程只有一个实数根， ∴方程只有一个实数根， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴； ②由①函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线，其顶点坐标为，则最大值为3， 在时，随的增大而增大，当时，， 根据对称轴可知，当时，， ∵当时，函数的最小值为，最大值为3， 根据函数图象可知，当时，函数的最小值为－1，最大值为3， ∴． 考点二 二次函数的图象与各系数符号 ►题型01 二次函数的图象与系数的关系 1．（2024·西藏·中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（    ） ① ② ③对任意实数m，均成立 ④若点，在抛物线上，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子的符号，由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴，即可得出，，，从而求出，即可判断①；根据二次函数与轴的交点得出二次函数的对称轴为直线，，，计算即可判断②；根据当时，二次函数有最小值，即可判断③；根据即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴相交于点，， ∴二次函数的对称轴为直线，，， 由得：， ∵， ∴， ∴，即，故②错误； 当时，二次函数有最小值， 由图象可得，对任意实数m，， ∴对任意实数m，均成立，故③正确； ∵点，在抛物线上，且， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①③，共个， 故选：B． 2．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．①根据图像分别判断，，的符号即可；②将点代入函数即可得到答案；③根据题意可得该函数与轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到；④由，得到，，将代入函数得，从而推出当时，该抛物线与直线的图象无交点，即可判断． 【详解】解：由题图可知，， ，故①正确； 当时，，即，故②正确； 二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5， 多项式，故③错误； 当时，有最大值，即， 当时，抛物线与直线的图象无交点， 即关于x的方程无实数根，故④正确． 综上，①②④正确． 故选：C． 3．（2023·四川资阳·中考真题）如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：①；②；③对于任意实数，都有；④若点是图象上任意两点，且，则，其中正确的结论是（　　） A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题意和函数图象，利用二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象开口向上可得：， 由于图象与轴交于负半轴，可知：， 根据对称轴公式：可知：， ， ， ，故①正确； 抛物线过点， ， ， ， 即：，故②正确； 当时，取得最小值， ， （为任意实数），故③错误； 抛物线开口向上，对称轴为直线，若点是图象上任意两点，且， 则点到对称轴的距离小于到对称轴的距离， 根据图象可知：，故④正确； 其中正确的结论是：①②④， 故选：C． ►题型02 二次函数与其他函数图象共存 3．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、已知函数经过的象限求参数范围、已知反比例函数的图象，判断其解析式 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据一次函数与反比例函数的图象可得，，再根据二次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，即， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，对称轴为直线， 故选：D． 4．（2022·湖北襄阳·中考真题）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、二次函数图象与各项系数符号 【分析】根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＜0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解． 【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下， ∴a＜0， ∵对称轴为直线＞0， ∴b＞0， ∵与y轴的负半轴相交， ∴c＜0， ∴y=bx+c的图象经过第一、三、四象限， 反比例函数y=图象在第二四象限， 只有D选项图象符合． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键． 一、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系 符号 图象特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)． a<0 开口向下 b b=0 坐标轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 二、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论 自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论 -2 4a-2b+c x轴的上方 4a-2b+c >0 x轴上 4a-2b+c =0 x轴的下方 4a-2b+c <0 -1 a-b+c x轴的上方 a-b+c >0 x轴上 a-b+c =0 x轴的下方 a-b+c <0 1 a+b+c x轴的上方 a+b+c >0 x轴上 a+b+c =0 x轴的下方 a+b+c <0 2 4a+2b+c x轴的上方 4a+2b+c >0 x轴上 4a+2b+c =0 x轴的下方 4a+2b+c <0 1．（2024·河南周口·三模）直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象．根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由一次函数的图象可知，， 则抛物线与轴的交点在原点上方，故排除AB选项； ∵，， ∴， ∴抛物线的对称轴直线， 即对称轴位于轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意； 故选：D． 2．（2024·山东济宁·二模）已知二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示．则一次函数与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断、一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴确定出根据与轴的交点确定出，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解． 【详解】解：二次函数图象开口方向向下， ， 对称轴为直线， ， ， 与轴的正半轴相交， ， 的图象经过第一、二、四象限， 反比例函数的图象在第一三象限， 只有C选项图象符合． 故选：C． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线（，，是常数，）经过点，，当时，与其对应的函数值，有下列结论： ①； ②； ③关于的方程有两个不等的实数根； ④． 其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①③④ 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、配方法的应用、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根的判别式，熟练掌握二次函数图象上点的特征，逐一分析结论的正误是解题的关键．①当时，，由点得，由时，与其对应的函数值可得，进而得出；②由，，可判断的正负，即可判断；③将，代入方程，根据根的判别式即可判断；④将，代入，求解后即可判断． 【详解】解：①抛物线（，，是常数，）经过点，， ，， ， 当时，与其对应的函数值， ， ， 解得：， ， ，故①正确； ②， ， ， ，故②错误； ③，， ，即， ， ， ， 关于的方程有两个不等的实数根，故③正确； ④，， ， ， ， ． 故④正确； 故答案为：①③④． 4．（2024·四川广安·模拟预测）抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②；③（t为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的有 ． 【答案】①②④ 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握相关结论是解题关键．①由图可知抛物线与轴的另一个交点在和之间，进而得抛物线与y轴交点必然位于负半轴，结合开口方向和对称轴可得，即可判断；②根据当时，，即可判断；③当时，;当时，;根据，即可判断；④点和点关于对称轴直线对称，可得，即可判断； 【详解】解：由图可知：抛物线与轴的一个交点在和之间 ∵对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点在和之间 ∴抛物线与y轴交点必然位于负半轴 ∴ ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴ ∴，故①正确； 由分析可知：当时， ∵ ∴ ∴ 即：，故②正确； 当时，; 当时，; ∴ 即： ∵ ∴，故③错误； ∵点和点，满足， ∴点和点关于对称轴直线对称 ∴ ∵ ∴ 即：，故④正确； 故答案为：①②④ 考点三 求二次函数的表达式 ►题型01 求二次函数的表达式 1．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． (1)求的值； (2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意设，结合几何图形面积计算方法可得点的纵坐标，代入后解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图像与轴交于，两点， ∴， 解得，， ∴； （2）解：由（1）可知二次函数解析式为：，，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，无解，不符合题意，舍去； 当时，，； ∴． 2．（2023·江苏·中考真题）已知二次函数（为常数）． (1)该函数图像与轴交于两点，若点坐标为， ①则的值是_________，点的坐标是_________； ②当时，借助图像，求自变量的取值范围； (2)对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）； (3)当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围． 【答案】(1)①②或 (2) (3) 【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式，令，求出点的坐标即可；②画出函数图像，图像法求出的取值范围即可； （2）求出二次函数的最小值，即可得解； （3）根据当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，得到和关于对称轴对称，进而求出的值，得到为的函数值，求出，推出直线过抛物线顶点或在抛物线的下方，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵函数图像与轴交于两点，点坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∴点的坐标是； 故答案为：； ②， 列表如下： 1 3 4 5 0 0 5 画出函数图像如下：    由图可知：当时，或； （2）∵， ∴当时，有最小值为； ∵对于一切实数，若函数值总成立， ∴； （3）∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， 又当时（其中为实数，），自变量的取值范围是， ∴直线与抛物线的两个交点为，直线在抛物线的下方， ∴关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，有最小值， ∴．    【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性较强，属于中考压轴题． 3．（2024·山东德州·中考真题）已知抛物线，为实数． (1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． (2)如果当时，的最大值为4，求的值． (3)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出函数表达式，然后化成顶点式，从而解得答案； （2）先求出函数的对称轴为，判断函数的开口向上，判断出当时，取最大值4，代入从而求得答案； （3）当，，当时，，当交点在线段之间时，那么且，或者当时，，从而解得答案； 【详解】（1）解：该抛物线经过点 解得 顶点坐标为 （2）解： 对称轴为，函数图象开口向上 ， 当时，取最大值4 解得， （3）解： 当， 当时， 当交点在线段之间时，当时， 解得； 当时， 解得； 综上，或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与线段的交点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 求二次函数解析式的一般方法： 1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次函数的解析式. 2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 3）交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 1．（2025·上海虹口·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求的值以及抛物线的对称轴； (2)将该抛物线向右平移个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求的值． 【答案】(1)，直线 (2)1或3 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． （1）将点B坐标代入解析式求出m值，再写出抛物线解析式顶点式，据此写出对称轴即可； （2）先求出平移后的解析式，根据抛物线图象上点的坐标特征求出n值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：将抛物线向右平移n个单位后得到新抛物线为， ∵新抛物线经过原点， ∴， 解得或1． 2．（2025·上海静安·一模）二次函数的部分图像如图所示，已知它与轴的一个交点坐标是，且对称轴是直线． (1)填空：① a与b的数量关系为： ；②图像与轴的另一个交点坐标为 ． (2)如果该函数图像经过点，求它的顶点坐标． 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图像与性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的对称性是解题关键． （1）①根据二次函数的对称轴可得，由此即可得； ②根据二次函数的对称性求解即可得； （2）根据（1）可设二次函数的解析式为，将点代入求出二次函数的解析式，再根据二次函数的解析式的顶点式求解即可得． 【详解】（1）解：①∵二次函数的对称轴是直线， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵二次函数的图像与轴的一个交点坐标是，且对称轴是直线， ∴图像与轴的另一个交点坐标为，即为， 故答案为：． （2）解：∵二次函数的图像与轴的两个交点坐标是和， ∴可设二次函数的解析式为， ∵这个函数图像经过点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴它的顶点坐标为． 3．（2024·安徽亳州·模拟预测）已知抛物线经过点且与直线的一个交点为． (1)求的值； (2)判断抛物线的顶点是否在直线上； (3)平移抛物线，使其顶点在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值． 【答案】(1) (2)抛物线的顶点坐标在直线上 (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、二次函数图象的平移 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数，待定系数法求解一次函数与二次函数，熟练掌握二次函数的图象与性质，及二次函数的最值是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）把，代入，求出二次函数解析式，再求得其顶点坐标，判断此坐标是否在一次函数上即可； （3）设平移后的抛物线的解析式为，得出其顶点坐标为，代入可得，再利用二次函数的最值即可求解． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴将代入， 得：； （2）解：∵抛物线经过点，， ∴把，代入， 得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 对于一次函数，当时，， ∴抛物线的顶点坐标在直线上； （3）解：设平移后的抛物线的解析式为， 则其顶点坐标为， ∵顶点仍在直线上， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的交点的纵坐标为， ∴， ∴当时，平移后所得抛物线与轴交点纵坐标有最大值，最大值为． 4．（2024·云南昆明·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． (1)若，，求的值； (2)求证：当点，的坐标是，时，； (3)若对于任意，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当时，；当时， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是根据数形结合求解． （1）把，代入，得到，再根据代入数据计算即可求解； （2）利用对称轴的性质求得，把代入，求得，得到，再代入计算即可得出结论； （3）先求得，分当和时，两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，把，代入， 得， 得， 即， ∴； （2）证明：由题意得，即， 把代入， 得， 即， 整理得，， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴，且， 当时， ∵， ∴离对称轴更近，则与的中点在对称轴左侧， ∴，； 当时， ∵， ∴离对称轴更近，则与的中点在对称轴右侧， ∴，； 综上，当时，；当时，． 考点四 二次函数性质综合问题 ►题型01 二次函数与一元二次方程的综合 1．（2024·江苏南通·中考真题）已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值． (1)若，，求的值； (2)在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离； (3)当，且时，分析并确定整数a的个数． 【答案】(1) (2)2或1 (3)整数a有4个 【知识点】求点到坐标轴的距离、y=ax²+bx+c的图象与性质、由反比例函数值求自变量 【分析】本题主要考查二次函数的性质和点到坐标轴的距离，以及解不等式方程． 根据题意代入化简得，结合二次函数得性质得取最小值时x的取值即可； 结合题意得到，代入二次函数中化简得，利用二次函数的性质求得a的值，进一步求得点P，即可知点P到y轴的距离； 结合已知得等式化简得，结合的范围求得a的可能值，即可得到整数a的个数． 【详解】（1）解：有题意知 ， 当时，y取得最小值8； （2）解：∵点在双曲线上， ∴， ∴ ， ∵， ∴，化解得，解得或， 则点或， ∴点P到y轴的距离为2或1； （3）解： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，化简得， ∴， 则整数a有4个． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由； (3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时，；时，；时， (3)存在，或或或或或 【知识点】解直角三角形的相关计算、y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）将点A和点B的坐标代入，求出a和c的值，即可得出这个二次函数的表达式； （2）根据题意得出，，再用作差法得出，进行分类讨论即可； （3）求出直线的函数解析式为，然后进行分类讨论：当为正方形的边时；当为正方对角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为； （2）解：∵，都在该二次函数的图象上， ∴，， ∴， 当时，即时，； 当时，即时，； 当时，即时，； （3）解：设直线的函数解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 当为正方形的边时， ①∵， ∴， 过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作的垂线，垂足为点H， ∵轴， ∴， ∴，则， 设，则， ∴， ∴点N的纵坐标为， 即， ∵以，，，为顶点的四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； ②如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ③如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ④如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； 当为正方形对角线时， ⑤如图：构造矩形，过点P作于点K， 易得， ∴， 设，则， 和①同理可得：， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，则， ∴， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ⑥如图：构造， 同理可得：， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； 综上：或或或或或 ． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答． ►题型02 二次函数与坐标系交点问题 3．（2023·江苏南京·中考真题）已知二次函数（a为常数，． (1)若，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点． (2)若，求证：当时，． (3)若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，则的取值范围是． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合)、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）证明即可解决问题． （2）将代入函数解析式，进行证明即可． （3）先求得对称轴为直线，顶点坐标为，再对和进行分类讨论即可． 【详解】（1）证明：因为， 又因为， 所以，， 所以， 所以该函数的图象与轴有两个公共点． （2）证明：将代入函数解析式得， ， 所以抛物线的对称轴为直线，开口向下． 则当时， 随的增大而增大， 又因为当时，， 所以． （3）对称轴为直线，顶点坐标为， ①当时，抛物线开口向上，要保证二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点），则只需保证顶点在x轴下方，时，，时，， 即，解得： ②当时，抛物线开口向下，要保证二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点），则只需保证顶点在x轴上方，时，，时 即，解得， 综上，当或时，二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点）， 故答案为：或． 4．（2023·江苏南通·中考真题）定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”． (1)函数的图象上是否存在点的“级变换点”?若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)点与其“级变换点” 分别在直线，上，在，上分别取点，．若，求证：； (3)关于x的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求n的取值范围． 【答案】(1)存在， (2)见解析 (3)n的取值范围为且 【知识点】求一元一次不等式的解集、y=ax²+bx+c的图象与性质、求一次函数解析式 【分析】（1）根据“级变换点”定义求解即可； （2）求出点的坐标为，得到直线，的解析式分别为和，根据进行证明． （3）由题意得，二次函数的图象上的点的“1级变换点”都在函数的图象上，得到函数的图象与直线必有公共点．分当时和当，时分类讨论即可． 【详解】（1）解：函数的图象上存在点的“级变换点” 根据“级变换点”定义，点的“级变换点”为， 把点代入中， 得，解得． （2）证明：点为点的“级变换点”， 点的坐标为． 直线，的解析式分别为和． 当时，． ， ． ， ． ． （3）解：由题意得，二次函数的图象上的点的 “1级变换点”都在函数的图象上． 由，整理得． ， 函数的图象与直线必有公共点． 由得该公共点为． ①当时，由得． 又得， 且． ②当，时，两图象仅有一个公共点，不合题意，舍去． 综上，n的取值范围为且． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，根据题意理解新定义是解题的关键． 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 1．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知，是抛物线与轴交点的横坐标． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)的值为 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查的是一元二次方程中根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是明确二次函数与x轴的交点是对应一元二次方程的解即可求解本题． （1）根据意义得到，代入题目中的数据求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式将转化为，将代数式代入求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴有两个交点， ∴， 解得：； （2）解：∵，是抛物线与轴交点的横坐标， ∴，， ∴， 解得：（舍去），， ∴的值为． 2．（2024·浙江宁波·二模）已知抛物线 ，点 和点 是该抛物线与轴的交点． (1)若，求的取值范围； (2)若，现将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，若直线 与新得到的函数图象至少有三个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合)、一元二次方程的根与系数的关系、抛物线与x轴的交点问题 【分析】（1）根据题意，作出图象，结合二次函数图象与性质，由得到、和，解不等式即可得到的取值范围； （2）根据题意，由一元二次方程根与系数关系得到，从而求出新抛物线的表达式，作出图象，数形结合，可知，当直线过点时，直线与新抛物线恰好有3个交点，求出此时的值；当直线与抛物线只有一个交点，求出此时的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线的开口向上，点 和点 是该抛物线与轴的交点，，如图所示： 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，的取值范围为； （2）解：令，则， 由一元二次方程根与系数关系可得， ， ，解得， ，则，即， 解得或， 抛物线与轴的交点为， 现将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，如图所示： 抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折后得到的抛物线表达式为， 根据抛物线关于轴对称时，，则此时抛物线的表达式为， 当直线过点时，直线与新抛物线恰好有3个交点， 将代入，解得； 联立方程组 ，消去得， 将直线向上平移，根据直线与新抛物线恰好有3个交点， 直线与抛物线只有一个交点，故方程有两个相等的实数根，解得，则， ， 综上所述，当直线与新得到的函数图象至少有三个交点时，的取值范围为 ． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及抛物线的图象与性质、由函数图象确定值符号解不等式、抛物线与坐标轴交点、一元二次方程根与系数关系、直线与抛物线交点问题、一元二次方程根的情况求参数等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 3．（2024·云南昆明·模拟预测）已知二次函数（b，c是常数）． (1)写出一组b，c的值，使函数的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由； (2)若，，当，q（p，q是实数，）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若，求证：； (3)当时，在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，求b的值． 【答案】(1)，(答案不唯一)； (2)见解析 (3)b的值或． 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）根据，即可求解； （2）由题意得，，计算得到，据此求解即可； （3）将代入得，对称轴为直线，以对称轴的位置分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵函数的图象与x轴有两个不同的交点， ∴，即， ∴取，则(答案不唯一)； （2）解：将，代入得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 当时，，此时，，不合题意，舍去； ∴； （3）解：将代入得，对称轴为直线， 当即时，如图， 当时，最小值为，即， 解得， ∴b的值； 当即时，如图， 当时，最小值为，即， 解得， ∴b的值； 当即时，如图， 当时，最小值为，即， 解得或(都不符合题意)， 综上：b的值或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线与x轴的交点坐标，抛物线上点的坐标的特征，配方法求函数的极值，待定系数法和配方法是解决此类问题常用的方法． 4．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数（是常数）与一次函数（k是常数，）． (1)若的图象与轴只有一个交点，求b，c的值； (2)若的图象可由抛物线（a是常数，）向左平移2个单位，向上平移1个单位得到，求出的函数关系式； (3)若，当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、二次函数图象的平移、一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】（1）根据题意得到，求出，然后将代入表达式即可求出； （2）首先根据平移规律得到平移后的解析式为，然后根据题意与比较求解即可； （3）首先求出两个函数交点的横坐标分别为0和，根据题意得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）∵的图象与轴只有一个交点， ∴二次函数的对称轴为直线 ∴ ∴ ∴ ∴将代入得， ∴； （2）∵（a是常数，）向左平移2个单位，向上平移1个单位得到的解析式为， ∴ 根据题意得， ∴，， ∴， ∴的函数关系式为； （3）联立两个函数的表达式得， ∴ 整理得：， 解得或 即两个函数交点的横坐标分别为0和，如图所示， ∵当时，恒成立，则， ∵， ∴，代入得， 解得：． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的平移、解不等式等，有一定的综合性，难度适中．解题的关键是掌握以上知识点． $$专题05 二次函数性质综合题 试卷第1页，共3页 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 二次函数的图象和性质 ►题型01 二次函数的图象和性质 ►题型02 二次函数的最值 ►题型03 二次函数的平移 考点二 二次函数的图象与各系数符号 ►题型01 二次函数的图象与系数的关系 ►题型02 二次函数与其他函数图象共存 考点三 求二次函数的表达式 ►题型01 求二次函数的表达式 考点四 二次函数性质综合问题 ►题型01 二次函数与一元二次方程的综合 ►题型02 二次函数与坐标系交点问题 01考情透视·目标航 中考考点 新课标要求 命题预测 二次函数的性质 二次函数的图象和性质 在中考中，二次函数的出题形式不固定，题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高.而考察的内容主要有:二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等. 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 二次函数的图象和性质 ►题型01 二次函数的图象和性质 1．（2023·江苏扬州·中考真题）已知二次函数（a为常数，且），下列结论： ①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是(   ) A．①② B．②③ C．② D．③④ 2．（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 3．（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 （填写序号）． ►题型02 二次函数的最值 4．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·四川眉山·中考真题）定义运算：，例如，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 ►题型03 二次函数的平移 7．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 8．（2024·山东济宁·中考真题）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ． 9．（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则 （填“＞”或“＜”）； 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 1．（2024·江苏徐州·三模）如果将抛物线向左平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知关于x的二次函数图像经过点，，且满足，t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·四川凉山·模拟预测）抛物线上部分点的坐标如下表，下列说法错误的是（　　） A．对称轴是直线 B．当时， C．当时，随的增大而减小 D．抛物线开口向下 4．（2023·江苏苏州·二模）把抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后抛物线的表达式是 ． 5．（2024·江苏淮安·一模）若二次函数 的图象经过点，，则与的大小关系为 ． 6．（2024·江苏连云港·模拟预测）若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则函数与x轴的交点有 个． 7．（2023·江苏扬州·一模）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点，……都是和谐点． (1)判断函数的图象上________（填“是”或“否”）存在和谐点： (2)若二次函数的图象上有且只有一个和谐点． ①求a、c的值； ②若时，函数的最小值为，最大值为3，求实数m的取值范围． 考点二 二次函数的图象与各系数符号 ►题型01 二次函数的图象与系数的关系 1．（2024·西藏·中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（    ） ① ② ③对任意实数m，均成立 ④若点，在抛物线上，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023·四川资阳·中考真题）如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：①；②；③对于任意实数，都有；④若点是图象上任意两点，且，则，其中正确的结论是（　　） A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ ►题型02 二次函数与其他函数图象共存 3．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 4．（2022·湖北襄阳·中考真题）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 一、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系 符号 图象特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)． a<0 开口向下 b b=0 坐标轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 二、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论 自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论 -2 4a-2b+c x轴的上方 4a-2b+c >0 x轴上 4a-2b+c =0 x轴的下方 4a-2b+c <0 -1 a-b+c x轴的上方 a-b+c >0 x轴上 a-b+c =0 x轴的下方 a-b+c <0 1 a+b+c x轴的上方 a+b+c >0 x轴上 a+b+c =0 x轴的下方 a+b+c <0 2 4a+2b+c x轴的上方 4a+2b+c >0 x轴上 4a+2b+c =0 x轴的下方 4a+2b+c <0 1．（2024·河南周口·三模）直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2024·山东济宁·二模）已知二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示．则一次函数与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致是(　　) A． B． C． D． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线（，，是常数，）经过点，，当时，与其对应的函数值，有下列结论： ①； ②； ③关于的方程有两个不等的实数根； ④． 其中正确的是 （填写序号）． 4．（2024·四川广安·模拟预测）抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②；③（t为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的有 ． 考点三 求二次函数的表达式 ►题型01 求二次函数的表达式 1．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． (1)求的值； (2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 2．（2023·江苏·中考真题）已知二次函数（为常数）． (1)该函数图像与轴交于两点，若点坐标为， ①则的值是_________，点的坐标是_________； ②当时，借助图像，求自变量的取值范围； (2)对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）； (3)当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围． 1 3 4 5 0 0 5 3．（2024·山东德州·中考真题）已知抛物线，为实数． (1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． (2)如果当时，的最大值为4，求的值． (3)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围． 求二次函数解析式的一般方法： 1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次函数的解析式. 2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 3）交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 1．（2025·上海虹口·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求的值以及抛物线的对称轴； (2)将该抛物线向右平移个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求的值． 2．（2025·上海静安·一模）二次函数的部分图像如图所示，已知它与轴的一个交点坐标是，且对称轴是直线． (1)填空：① a与b的数量关系为： ；②图像与轴的另一个交点坐标为 ． (2)如果该函数图像经过点，求它的顶点坐标． 3．（2024·安徽亳州·模拟预测）已知抛物线经过点且与直线的一个交点为． (1)求的值； (2)判断抛物线的顶点是否在直线上； (3)平移抛物线，使其顶点在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值． 4．（2024·云南昆明·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． (1)若，，求的值； (2)求证：当点，的坐标是，时，； (3)若对于任意，都有，求的取值范围． 考点四 二次函数性质综合问题 ►题型01 二次函数与一元二次方程的综合 1．（2024·江苏南通·中考真题）已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值． (1)若，，求的值； (2)在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离； (3)当，且时，分析并确定整数a的个数． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由； (3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． ►题型02 二次函数与坐标系交点问题 3．（2023·江苏南京·中考真题）已知二次函数（a为常数，． (1)若，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点． (2)若，求证：当时，． (3)若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，则的取值范围是． 4．（2023·江苏南通·中考真题）定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”． (1)函数的图象上是否存在点的“级变换点”?若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)点与其“级变换点” 分别在直线，上，在，上分别取点，．若，求证：； (3)关于x的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求n的取值范围． 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 1．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知，是抛物线与轴交点的横坐标． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 2．（2024·浙江宁波·二模）已知抛物线 ，点 和点 是该抛物线与轴的交点． (1)若，求的取值范围； (2)若，现将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，若直线 与新得到的函数图象至少有三个交点，求的取值范围． 3．（2024·云南昆明·模拟预测）已知二次函数（b，c是常数）． (1)写出一组b，c的值，使函数的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由； (2)若，，当，q（p，q是实数，）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若，求证：； (3)当时，在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，求b的值． 4．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数（是常数）与一次函数（k是常数，）． (1)若的图象与轴只有一个交点，求b，c的值； (2)若的图象可由抛物线（a是常数，）向左平移2个单位，向上平移1个单位得到，求出的函数关系式； (3)若，当时，恒成立，求的取值范围． $$