专题03 一次函数、反比例函数综合题（讲练，4考点+7题型+方法指导+命题预测）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（江苏专用）

专题03 一次函数、反比例函数综合题 试卷第1页，共3页 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 一次函数的图象和性质 ►题型01 一次函数的图象 ►题型02 一次函数的性质 考点二 一次函数与方程和不等式 ►题型01 一次函数与方程 ►题型02 一次函数与不等式（组） 考点三 反比例函数的图象和性质 ►题型01 反比例函数的图象和性质 ►题型02 反比例函数与K值的几何意义 考点四 反比例函数与一次函数综合 ►题型01 反比例函数与一次函数综合问题 01考情透视·目标航 中考考点 新课标要求 命题预测 一次函数、反比例函数的图象和性质 一次函数、反比例函数的图象和性质； 一次函数在中考数学中主要考察其图象、性质以及其简单应用，其中，图象的性质经常以选择、填空题形式出现，而简单应用题型的考察较为灵活，单独考察一次函数的题目占比并不是很多，更多的是考察一次函数与其他几何知识的结合. 反比例函数在中考数学中主要考察其图象与性质，常和一次函数的图象结合考察，题型以选择题为主;另外，在填空题中，对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐增大，考题常结合其他规则几何图形的性质一起出题，多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意.另外解答题中还会考察反比例函数的解析式的确定，也是常和一次函数结合，顺带也会考察其与不等式的关系. 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 一次函数的图象和性质 ►题型01 一次函数的图象 1．（2023·江苏无锡·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏苏州·中考真题）直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ． ►题型02 一次函数的性质 1．（2022·江苏泰州·中考真题）已知点在下列某一函数图像上，且那么这个函数是(   ) A． B． C． D． 2．（2024·江苏镇江·中考真题）点、在一次函数的图像上，则 （用“”、“”或“”填空）． 3．（2023·江苏南通·中考真题）已知一次函数，若对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，则的取值范围是 ． 图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0） 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少 图象 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 1．（2024·江苏南京·模拟预测）已知点，，在下列某一函数图像上．且那么这个函数是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·江苏淮安·模拟预测）已知函数的图像上有两点，则 ．（填“”“”或“”号） 3．（2024·江苏泰州·三模）在平面直角坐标系中，一次函数，，无论x取何值，始终有，则m的取值范围是 ． 4．（2024·江苏苏州·一模）已知一次函数（，为常数，），当时，，则的值为 ． 5．（2024·江苏南京·二模）一次函数的图象沿直线l翻折后与x轴重合，则直线l的函数表达式是 ． 考点二 一次函数与方程和不等式 ►题型01 一次函数与方程 1．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． ►题型02 一次函数与不等式（组） 2．（2022·江苏南通·中考真题）根据图像，可得关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为 ． 一、一次函数与一元一次方程 思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标. 二、一次函数与二元一次方程组 思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 三、一次函数与一元一次不等式 思路：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围. 从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围； 从函数图象的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件. 1．（2022·江苏扬州·一模）如图，点A、B的坐标分别为、，点P为x轴上的动点，若点B关于直线AP的对称点恰好落在x轴上，则点P的坐标是（      ） A． B． C． D． 2．（2022·江苏扬州·一模）若一次函数y＝kx+b（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程k（x﹣5）+b＝0的解为 ． 3．（2024·江苏徐州·二模）若一次函数与交于A点，则A点的坐标为 ． 4．（2023·江苏镇江·模拟预测）直线和双曲线相交于点和点，不等式的解集为 ． 5．（2024·江苏徐州·三模）如图，函数的图象与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 6．（2024·江苏·模拟预测）根据图象获取信息：关于x的不等式的解集是 ；关于x的不等式的解集是 ；当时，x的取值范围是 ． 考点三 反比例函数的图象和性质 ►题型01 反比例函数的图象和性质 1．（2022·江苏南京·中考真题）反比例函数（为常数，）的图像位于（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 2．（2024·江苏无锡·中考真题）某个函数的图象关于原点对称，且当时，随的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式： ． 3．（2022·江苏镇江·中考真题）反比例函数的图像经过、两点，当时，，写出符合条件的的值 （答案不唯一，写出一个即可）． 4．（2023·江苏镇江·中考真题）点、在反比例函数的图象上，则 （用“＜”、“＞”或“＝”填空）． 5．（2024·江苏徐州·中考真题）若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ． ►题型02 反比例函数与K值的几何意义 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·江苏南京·中考真题）在平面直角坐标系中，点为原点，点A 在第一象限，且． 若反比例函数 的图像经过点，则的取值范围是 ． 4．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接.若，的面积是，则的值为 .    1. 求三角形的面积 2. 求等腰三角形的面积 3.求平行四边形的面积 4. 求矩形的面积 5.求阴影部分的面积 1．（2024·江苏扬州·三模）在中，有两点，则与的关系满足下列哪个选项（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏镇江·模拟预测）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是 ． 3．（2024·江苏镇江·二模）点 A 、B在反比例函数 的图像上， 则 （用“<”、 “>”或“=”填空）． 4．（2024·江苏镇江·二模）反比例函数，当时，函数y的最大值与最小值之差为6， 则 ． 5．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为点，延长至点，使，点是轴上任意一点，连接，，若的面积是9，则的值是 ． 6．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，反比例函数在第三象限的图象是，在第四象限的图象是，点A、C在上，过A点作轴交于B点，过C点作轴于D点，点P为x轴上任意一点，连接，若，则 ． 7．（2024·江苏连云港·三模）如图，矩形的顶点A在反比例函数的图象上，对角线轴，交y轴于点D．若矩形的面积是6，，则 ． 考点四 反比例函数与一次函数综合 ►题型01 反比例函数与一次函数综合问题 1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（    ） A．或 B．且 C．或 D．或 2．（2023·江苏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标为，则的值是（    ）．    A． B． C． D． 3．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（    ）    A． B． C． D．1 4．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 5．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，．    (1)______，______，点C的坐标为______． (2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 6．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．      (1)求m，k的值； (2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 7．（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2． (1)求的值； (2)利用图像直接写出时的取值范围； (3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积． 1.涉及自变量取值范围 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<xA或x<xB． 2.求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题． 1．（2024·江苏苏州·一模）如图，一次函数与反比例函数的图像交于两点，则点到原点的距离为 ． 2．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于A、B两点．已知点A的坐标为，点C为x轴上任意一点．如果，那么点C的坐标为 ． 3．（2023·江苏南通·二模）如图，双曲线与直线相交于两点，将直线向上平移3个单位长度，所得的直线在第一象限内交双曲线于点，交轴正半轴于点，若，则的值为 ． 4．（2023·江苏扬州·二模）如图，直线与双曲线交于A、B两点，将直线绕点A顺时针旋转45°，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，若，则 ． 5．（2024·江苏常州·模拟预测）已知直线与x轴交于点，与反比例函数图象交于点A，C，若，轴， ． (1)求反比例函数和直线的函数表达式； (2)过点O作直线的垂线，交直线于点P，求P点坐标． 6．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于A、B、C． (1)求双曲线的解析式； (2)若，点M为双曲线上一点，点N为直线上一点．．且，求点M的坐标； (3)如图2，连接，当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变求其值；若变化说明理由． 7．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点A、B，与轴交于点F，与轴交于点C．过点A作轴于点D，，连接，已知的面积等于6，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)请直接写出一次函数的关系式 ，反比例函数的关系式 ． (2)若点E是点C关于轴的对称点，求的面积． 8．（2024·江苏扬州·一模）如图1，已知点，，反比例函数与直线AB有唯一一个交点． (1)当，时，求直线的解析式及k的值； (2)当的面积为10时，求k的值； (3)当，且k的最大值为9时，将此时的直线沿着x轴正半轴方向移动，交反比例函数于点C、D（如图2），若点C是线段的中点，求平移的距离． $$专题03 一次函数、反比例函数综合题 试卷第1页，共3页 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 一次函数的图象和性质 ►题型01 一次函数的图象 ►题型02 一次函数的性质 考点二 一次函数与方程和不等式 ►题型01 一次函数与方程 ►题型02 一次函数与不等式（组） 考点三 反比例函数的图象和性质 ►题型01 反比例函数的图象和性质 ►题型02 反比例函数与K值的几何意义 考点四 反比例函数与一次函数综合 ►题型01 反比例函数与一次函数综合问题 01考情透视·目标航 中考考点 新课标要求 命题预测 一次函数、反比例函数的图象和性质 一次函数、反比例函数的图象和性质； 一次函数在中考数学中主要考察其图象、性质以及其简单应用，其中，图象的性质经常以选择、填空题形式出现，而简单应用题型的考察较为灵活，单独考察一次函数的题目占比并不是很多，更多的是考察一次函数与其他几何知识的结合. 反比例函数在中考数学中主要考察其图象与性质，常和一次函数的图象结合考察，题型以选择题为主;另外，在填空题中，对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐增大，考题常结合其他规则几何图形的性质一起出题，多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意.另外解答题中还会考察反比例函数的解析式的确定，也是常和一次函数结合，顺带也会考察其与不等式的关系. 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 一次函数的图象和性质 ►题型01 一次函数的图象 1．（2023·江苏无锡·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】根据题目条件函数的图象向下平移2个单位长度，则的值减少2，代入方程中即可． 【详解】解：∵函数的图象向下平移2个单位长度， ∴， 故答案为：A． 【点睛】本题主要考查函数平移，根据题目信息判断是沿轴移动还是沿轴移动是解题的关键． 2．（2024·江苏苏州·中考真题）直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】根据题意可求得与坐标轴的交点A和点B，可得，结合旋转得到，则，求得，即得点C坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式． 【详解】解：依题意画出旋转前的函数图象和旋转后的函数图象，如图所示∶    设与y轴的交点为点B， 令，得；令，即， ∴， ， ∴，， 即 ∵直线绕点A逆时针旋转，得到直线， ∴，， ∴， 则点， 设直线的解析式为，则 ，解得， 那么，直线的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点、直线的旋转、解直角三角形以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是找到旋转后对应的直角边长． ►题型02 一次函数的性质 1．（2022·江苏泰州·中考真题）已知点在下列某一函数图像上，且那么这个函数是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较一次函数值的大小、y=ax²+bx+c的图象与性质、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】先假设选取各函数，代入自变量求出y1、y2、y3的值，比较大小即可得出答案． 【详解】解：A．把点代入y=3x，解得y1=-9，y2=-3，y3=3，所以y1<y2<y3，这与已知条件不符，故选项错误，不符合题意； B．把点代入y=3x2，解得y1=27，y2=3，y3=3，所以y1>y2=y3，这与已知条件不符，故选项错误，不符合题意； C． 把点代入y=，解得y1=-1，y2=-3，y3=3，所以y2<y1<y3，这与已知条件不符，故选项错误，不符合题意； D． 把点代入y=-，解得y1=1，y2=3，y3=-3，所以，这与已知条件相符，故选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了一次函数、反比例函数以及二次函数，解题的关键是掌握函数值的大小变化和函数的性质． 2．（2024·江苏镇江·中考真题）点、在一次函数的图像上，则 （用“”、“”或“”填空）． 【答案】< 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据，可知一次函数值y随着x的增大而增大，再比较x值的大小，可得答案． 【详解】∵一次函数中，， ∴一次函数值y随着x的增大而增大． ∵， ∴． 故答案为：． 3．（2023·江苏南通·中考真题）已知一次函数，若对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、根据一次函数增减性求参数 【分析】根据题意和一次函数的性质可得到，然后求解即可． 【详解】解：一次函数， 随的增大而增大， 对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，明确题意，列出正确的不等式是解题的关键． 图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0） 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少 图象 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 1．（2024·江苏南京·模拟预测）已知点，，在下列某一函数图像上．且那么这个函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较一次函数值的大小、y=ax²+bx+c的图象与性质、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，利用函数的增减性逐一判断，即可求解；掌握一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质是解题的关键. 【详解】解：A.在上时，，故不符合题意； B.在上时，，故不符合题意； C.在上时，，故不符合题意； D.在上时，，故符合题意； 故选：D． 2．（2024·江苏淮安·模拟预测）已知函数的图像上有两点，则 ．（填“”“”或“”号） 【答案】 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查比较一次函数的函数值的大小，根据一次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴随的增大而减小， ∵， ∴； 故答案为：． 3．（2024·江苏泰州·三模）在平面直角坐标系中，一次函数，，无论x取何值，始终有，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】求一元一次不等式的解集、判断一次函数的图象 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、解不等式，根据题意可得直线与直线平行，且直线在直线的上方，进而得出，根据列不等式，解不等式即可． 【详解】解： ∵无论x取何值，始终有， ∴直线与直线平行，且直线在直线的上方， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 4．（2024·江苏苏州·一模）已知一次函数（，为常数，），当时，，则的值为 ． 【答案】2或/或2 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数 【分析】由与的范围，确定出点坐标，代入一次函数解析式求出与的值，即可确定出所求．此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【详解】解：当时，随的增大而增大， ∵当时，， 一次函数图象上的点坐标为和， 代入得：， ②①得：， 解得：， 把代入①得：， 此时； 当时，随的增大而减小， 一次函数图象上的点坐标为和， 代入得：， 解得：， 此时， 故答案为：2或． 5．（2024·江苏南京·二模）一次函数的图象沿直线l翻折后与x轴重合，则直线l的函数表达式是 ． 【答案】或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、用勾股定理解三角形、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理，能够明确题意，求得直线l与y轴的交点是解题的关键．设直线与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则，利用勾股定理求得，即可求得C 点的坐标，进一步求得点D的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的函数表达式，进一步求得过点A垂直于的直线解析式，即可求得直线l的表达式． 【详解】解：如图， 设直线与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，直线l与y轴的交点为D，B关于直线l的对称点为C， 令，则， 解得， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线l为，则， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴直线l为， 代入A的坐标得，， 解得， ∴直线l的函数表达式是， 过点A作，交y轴于点E， 则， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线为， 代入A的坐标得，， 解得， ∴直线为， ∴直线l的函数表达式是或． 故答案为或． 考点二 一次函数与方程和不等式 ►题型01 一次函数与方程 1．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，，即时，， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． ►题型02 一次函数与不等式（组） 2．（2022·江苏南通·中考真题）根据图像，可得关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】写出直线y＝kx在直线y＝−x＋3上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据图象可得：不等式kx＞−x＋3的解集为：x＞1． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两个函数的交点坐标及图象确定不等式的解集是解题的关键． 3．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】观察一次函数图像，可知当y>3时，x的取值范围是，则的解集亦同． 【详解】由一次函数图像得，当y>3时，， 则y=kx+b>3的解集是． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式结合，深入理解函数与不等式的关系是解题的关键． 一、一次函数与一元一次方程 思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标. 二、一次函数与二元一次方程组 思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 三、一次函数与一元一次不等式 思路：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围. 从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围； 从函数图象的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件. 1．（2022·江苏扬州·一模）如图，点A、B的坐标分别为、，点P为x轴上的动点，若点B关于直线AP的对称点恰好落在x轴上，则点P的坐标是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】先根据勾股定理的长，求得的坐标．然后用待定系数法求出直线的解析式，由对称的性质得出，求出直线的解析式，然后求出直线与轴的交点即可． 【详解】解：如图，连接、， ，， ， 点与关于直线对称， ， 在中， 点坐标为或， ，点关于直线的对称点恰好落在轴上， 点关于直线的对称点， 点坐标为不合题意舍去， 设直线方程为 将，代入得：， 解得，， 直线的解析式为：， 直线的解析式为：， 当时，， 解得：， 点的坐标为：； 故选：A． 【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了用待定系数法确定一次函数的解析式、轴对称的性质、垂线的关系等知识；本题有一定难度，综合性强，由直线的解析式进一步求出直线的解析式是解决问题的关键． 2．（2022·江苏扬州·一模）若一次函数y＝kx+b（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程k（x﹣5）+b＝0的解为 ． 【答案】 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】利用一次函数的性质求得b=2k，然后代入关于x的方程k(x﹣5)+b＝0，解方程即可． 【详解】解：∵一次函数y＝kx+b（k为常数且k≠0）的图象经过点(﹣2，0)， ∴， ∴， 把代入方程k(x﹣5)+b＝0， 得k(x﹣5)+2k＝0，解得， 故答案为： 【点睛】本题考查了一次函数的性质及一元一次方程的解法，解题的关键是利用一次函数的性质求得． 3．（2024·江苏徐州·二模）若一次函数与交于A点，则A点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数与交于A点，得出，解出，再代入，求出的值，即可作答． 【详解】解：∵一次函数与交于A点， ∴， ∴， 把代入， ∴， 则A点的坐标为， 故答案为：． 4．（2023·江苏镇江·模拟预测）直线和双曲线相交于点和点，不等式的解集为 ． 【答案】或 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 先把代入直线求出的值，再代入双曲线求出的值即可，把一次函数求出的值，故可得出其坐标，利用函数图象可直接得出不等式的取值范围． 【详解】解：点是直线与双曲线的交点， ，解得， ， ∴一次函数和反比例函数解析式为， 点在直线上， ， 解得， ， 由函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方， 故答案为：或． 5．（2024·江苏徐州·三模）如图，函数的图象与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】此题考查了一次函数的平移，一次函数的图象与不等式的关系，根据函数图象可得的解集为，向右平移3个单位得，则的图象与x轴交于点，即可求解． 【详解】解： 向右平移3个单位得， 向右平移3个单位得， ∴的图象与x轴交于点， 根据函数图象得的解集为， ∴关于x的不等式的解集为 故答案为：． 6．（2024·江苏·模拟预测）根据图象获取信息：关于x的不等式的解集是 ；关于x的不等式的解集是 ；当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练运用了数形结合的思想方法，准确的确定出x的值，是解答本题的关键． 利用直线与x轴的交点为，然后利用函数图象可得到不等式的解集．利用直线与y轴的交点为，然后利用函数图象可得到不等式的解集．结合两条直线的交点坐标为和图象来求得解集． 【详解】解：∵直线与x轴的交点是，且随着x的增大而减小， ∴当时，，即不等式的解集是； ∵直线与y轴的交点是，且随着x的增大而增大， ∴当时，，即不等式的解集是； 由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是， 当函数的图象在的上面时，有；当时，， 所以当时，； 故答案为：；；． 考点三 反比例函数的图象和性质 ►题型01 反比例函数的图象和性质 1．（2022·江苏南京·中考真题）反比例函数（为常数，）的图像位于（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】A 【分析】根据及反比例函数（为常数，）的性质即可解答． 【详解】解：∵且， ∴， ∴反比例函数（为常数，）的图象位于第一、三象限， 故选：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）某个函数的图象关于原点对称，且当时，随的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质结合已知条件解题即可． 【详解】解：根据题意有：， 故答案为：（答案不唯一） 3．（2022·江苏镇江·中考真题）反比例函数的图像经过、两点，当时，，写出符合条件的的值 （答案不唯一，写出一个即可）． 【答案】－1（答案不唯一，取的一切实数均可） 【分析】先根据已知条件判断出函数图象所在的象限，再根据系数k与函数图象的关系解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过、两点，当时，， ∴此反比例函数的图象在二、四象限， ∴k＜0， ∴k可为小于0的任意实数． 例如，k＝﹣1等． 故答案为：﹣1（答案不唯一，取的一切实数均可） 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 4．（2023·江苏镇江·中考真题）点、在反比例函数的图象上，则 （用“＜”、“＞”或“＝”填空）． 【答案】＞ 【分析】根据反比例函数的比例系数的符号可得在同一象限内函数的增减性，进而可得与的大小． 【详解】解：反比例函数中，， ∴函数图象在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为＞． 【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：反比例函数的比例系数大于0，在每个象限内，y随x的增大而减小． 5．（2024·江苏徐州·中考真题）若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，判断反比例函数的增减性，根据解析式得到反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标判断A，B，C三点的位置，从而根据增减性判断a，b，c的大小即可． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大， ∵、、， ∴A在第二象限，B，C在第四象限， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． ►题型02 反比例函数与K值的几何意义 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ∴， ∴， ∵点A在双曲线上，点B在， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， 故选：C． 2．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 3．（2023·江苏南京·中考真题）在平面直角坐标系中，点为原点，点A 在第一象限，且． 若反比例函数 的图像经过点，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合 【分析】本题主要考查反比例函数图像与几何图形面积求比例系数，根据题意作图分析，理解当点为反比例函数图像与直线的交点时，的值最大，由的几何意义可知，为图像上的点与坐标轴围成的正方形的面积，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数如图所示， ∵函数图像经过第一象限， ∴， 当点为反比例函数图像与直线的交点时，的值最大，且， ∴， ∴， ∴k的取值范围是． 4．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接.若，的面积是，则的值为 .    【答案】6 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则，证明，则，得到，根据，进一步列式即可求出k的值. 【详解】解：过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则， ∵， ∴，    ∵轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，的面积是， ∴， ∴， ∴， 则， 即， 解得， 故答案为：6 【点睛】此题考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质等知识，求出是解题的关键. 1. 求三角形的面积 2. 求等腰三角形的面积 3.求平行四边形的面积 4. 求矩形的面积 5.求阴影部分的面积 1．（2024·江苏扬州·三模）在中，有两点，则与的关系满足下列哪个选项（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，函数图象上的点的坐标符合函数解析式．同时要熟悉反比例函数的增减性．由，，从而可得答案． 【详解】解：在中，有两点， ∴，， ∴， 故选C 2．（2024·江苏镇江·模拟预测）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数．熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解决问题的关键． 根据反比例函数的图象和性质，，当k＞0时，图象的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，图象的两支分别位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，据此列出不等式，求解即可． 【详解】解：∵ 反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（2024·江苏镇江·二模）点 A 、B在反比例函数 的图像上， 则 （用“<”、 “>”或“=”填空）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的比例系数大于0，在每个象限内，y随x的增大而减小成为解题的关键． 根据反比例函数的比例系数的符号可得在同一象限内函数的增减性即可解答． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴函数图象在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为． 4．（2024·江苏镇江·二模）反比例函数，当时，函数y的最大值与最小值之差为6， 则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据，反比例函数在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，结合，函数y的最大值与最小值之差为6，进行列式，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数 ∴反比例函数在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小 ∵当时，函数y的最大值与最小值之差为6， ∴， 解得， 故答案为：9． 5．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为点，延长至点，使，点是轴上任意一点，连接，，若的面积是9，则的值是 ． 【答案】6 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题主要考查了两点之间距离公式、三角形的面积公式、解一元一次方程，理解反比例函数图象上的点都满足反比例函数的解析式是解题的关键． 设点的坐标为，即可表示出和的长，再由可得出的长，最后由三角形的面积公式列方程即可得出结果． 【详解】解：设点的坐标为，则，， ， ， ， ， 即， 解得． 故答案为：6． 6．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，反比例函数在第三象限的图象是，在第四象限的图象是，点A、C在上，过A点作轴交于B点，过C点作轴于D点，点P为x轴上任意一点，连接，若，则 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、反比例函数与几何综合 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，设点，得到，设设点，则，根据求出，即可得到答案． 【详解】解：设点，则， ∵轴， ∴点B的纵坐标是b， ∵点B在上， ∴点， ∴，点P到的距离为， ∵， ∴， 设点，则， ∵过点作轴于点， ∴，点P到的距离为， ∴， 即， ∴， ∴ 故答案为： 7．（2024·江苏连云港·三模）如图，矩形的顶点A在反比例函数的图象上，对角线轴，交y轴于点D．若矩形的面积是6，，则 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、解直角三角形的相关计算 【分析】已知，设，，，利用勾股定理求的长，列方程，求出，可求的值．本题考查了反比例函数系数的几何意义，三角函数的应用，关键是利用三角函数值求各边的长． 【详解】解：∵轴， ， 在中，， ， 设，， ， ． 矩形中，， ． ． ． ． ∵矩形的面积是6， ， ∴． ． ∵反比例函数在第二、四象限 ， ． 故答案为：． 考点四 反比例函数与一次函数综合 ►题型01 反比例函数与一次函数综合问题 1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（    ） A．或 B．且 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论． 当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到的取值范围． 【详解】解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ， ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． 的取值范围是或． 故选：C． 2．（2023·江苏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标为，则的值是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于点，则，可得，进而根据已知条件的，求得直线的解析式，将代入，得出点的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，则    ∴ ∴ ∵, ∴ ∴ 解得： ∵点在上， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时， 即 又反比例函数在第一象限内的图象交于点 ∴, 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，求得点的坐标是解题的关键． 3．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（    ）    A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示，根据函数图像交点的对称性判断四边形是平行四边形，由平行四边形性质及平面直角坐标系中三角形面积求法，确定，再求出直线与轴交于点，通过联立求出纵坐标，代入方程求解即可得到答案． 【详解】解：连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示：        根据直线、与双曲线交点的对称性可得四边形是平行四边形， ， 直线与轴交于点， 当时，，即， 与双曲线分别相交于点， 联立，即，则，由，解得， ，即，解得， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及平行四边形的判定与性质，熟练掌握平面直角坐标系中三角形面积求法是解决问题的关键． 4．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设直线与轴交于点，分割法求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为：，， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：设直线与轴交于点， ∵， ∴当时，， ∴， ∴的面积． 5．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，．    (1)______，______，点C的坐标为______． (2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)，， (2)点P的坐标为或 【分析】（1）点B是两函数图象的交点，利用待定系数法求出m，k的值；根据“A，B两点关于原点对称”求出点A的坐标，过点A作x轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质，结合图形，求出点C的坐标． （2）根据点P在x轴上，结合图形，排除点P在x轴负半轴上的情形，当点P在x轴正半轴上时，两个三角形中已有一对角相等，而夹角的两边的对应关系不确定，故分类讨论：①；②．分别求出两种情况下的长，从而得出点P的坐标． 【详解】（1）（1）将代入，得， ∴． 将代入，得， ∴． 如图，过点A作轴于点D，则．    ∵点A，B关于原点O对称， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，，； （2）由（1）可知，，． 当点P在x轴的负半轴上时，， ∴． 又∵， ∴与不可能相似． 当点P在x轴的正半轴上时，． ①若，则， ∵， ∴， ∴； ②若，则， 又∵，， ∴， ∴． 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的性质．熟练掌握用待定系数法求函数表达式，并能利用数形结合思想和分类讨论思想分析是解答本题的关键． 6．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．      (1)求m，k的值； (2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 【答案】(1)， (2)最大值是，此时 【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）先求出B的坐标，然后利用待定系数法求出直线的函数表达式，把D的坐标代入直线的函数表达式求出m，再把D的坐标代入反比例函数表达式求出k即可； （2）延长交y轴于点Q，交于点L．利用等腰三角形的判定与性质可得出，设点P的坐标为，，则可求出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解： ，， ． 又， ． ， 点． 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为． 将点代入，得． ． 将代入，得． （2）解：延长交y轴于点Q，交于点L．   ，， ． 轴， ，． ， ， ， ． 设点P的坐标为，，则，． ． ． 当时，有最大值，此时． 7．（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2． (1)求的值； (2)利用图像直接写出时的取值范围； (3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)8 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）先求出点坐标，再将点代入一次函数的解析式中求出的值即可； （2）图像法求不等式的解集即可； （3）根据平移的性质，得到阴影部分的面积即为的面积，进行求解即可． 【详解】（1）点在的图像上， 当时，． ∴， 将点代入，得． （2）由（1）知：， 联立，解得：或， ∴； 由图像可得：时的取值范围为：或． （3）∵， ∴当时，， ∴， ∵将直线沿轴向下平移4个单位， ∴，直线的解析式为：，设直线与轴交于点H ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， 如图，过点作，垂足为， ∴． 又，， ． 连接， ∵平移， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴阴影部分面积等于的面积，即． 1.涉及自变量取值范围 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<xA或x<xB． 2.求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题． 1．（2024·江苏苏州·一模）如图，一次函数与反比例函数的图像交于两点，则点到原点的距离为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解一元二次方程，以及勾股定理，熟练掌握联立方程求交点是解题的关键．联立方程组求出交点坐标，再根据勾股定理计算长即可． 【详解】解：联立方程组得， 消去得，， 解得，， 点在第一象限， ， ， 故答案为： 2．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于A、B两点．已知点A的坐标为，点C为x轴上任意一点．如果，那么点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例数交点问题，待定系数法求解析式，求得点的坐标是解题的关键． 反比例函数的图象过点，可得，进而求得直线的解析式为，得出点的坐标，设，根据，解方程即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 设， ∵， 解得：或， ∴的坐标为或， 故答案为：或． 3．（2023·江苏南通·二模）如图，双曲线与直线相交于两点，将直线向上平移3个单位长度，所得的直线在第一象限内交双曲线于点，交轴正半轴于点，若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象的交点问题，相似三角形的性质与判定；根据平行线的性质以及相似三角形的性质可得，设合适的未知数，分别表示点，点的坐标，代入可求出未知数的值，确定点的坐标，进而求出的值即可． 【详解】解：如图，过点、点分别作轴的垂线，垂足分别为、， 直线向上平移个单位长度得到直线，则直线的关系式为，，即， ，轴，轴， ， ， 设则， 点，， 点在直线上， ， 即， 点、点在反比例函数的图象上， ， 由于， 解得， ， 点， ， 故答案为：． 4．（2023·江苏扬州·二模）如图，直线与双曲线交于A、B两点，将直线绕点A顺时针旋转45°，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，若，则 ． 【答案】 【分析】设，过点作轴于，过点作，交于，过点作轴于，与轴交于，连接，根据反比例函数的性质可知，，由可得是等腰直角三角形，可知，利用可证明，可得，，即可用表示出点坐标，利用待定系数法可用表示出直线解析式，可表示出坐标，联立直线与反比例函数解析式可表示出点坐标，根据列方程求出的值即可得答案． 【详解】设，过点作轴于，过点作，交于，过点作轴于，与轴交于，连接， ∵直线与双曲线交于A、B两点， ∴，，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴，， 联立直线与反比例函数解析式得， 解得：，（舍去）， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，旋转的性质及全等三角形的判定与性质，正确求出点坐标，及直线的解析式，并联立函数解析式求出交点坐标是解题的关键． 5．（2024·江苏常州·模拟预测）已知直线与x轴交于点，与反比例函数图象交于点A，C，若，轴， ． (1)求反比例函数和直线的函数表达式； (2)过点O作直线的垂线，交直线于点P，求P点坐标． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）由得，从而求出点A的坐标，再代入反比例函数中求出k的值，再将点和点代入直线解析式，求出m、n的值即可； （2）过点P作x轴的垂线，设点P的坐标为，再证明，列出，即，解出t的值，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数关系式为， 将点和点代入直线解析式得： ，解得：， ∴直线的函数表达式； （2）解：过点P作x轴的垂线，垂足为D， ∵直线的函数表达式 ∴设点P的坐标为， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 即， 解之得， ∴ ∴P点坐标为； 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的性质及判定，锐角三角函数的应用，正确求出解析式是解题的关键． 6．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于A、B、C． (1)求双曲线的解析式； (2)若，点M为双曲线上一点，点N为直线上一点．．且，求点M的坐标； (3)如图2，连接，当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变求其值；若变化说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不发生变化，18 【分析】（1）根据非负数的性质求得，，再利用待定系数法求解即可； （2）联立方程组求得，设，，由．且，可得以M，N，O，C为顶点的四边形是以，为边的平行四边形，分两种情况：当，为对角线时，，的中点重合，当，为对角线时，，的中点重合，利用中点坐标公式列方程求解即可； （3）过C作轴于H，证得是等腰直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，设，则，可得，再根据题意可得，即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵点为双曲线上一点， ∴， ∴双曲线的解析式为； （2）解：当时，由 解得（舍去）或， ∴， 设，， ∵．且， ∴以M，N，O，C为顶点的四边形是以，为边的平行四边形， 当，为对角线时，，的中点重合， ∴， 由得：， 解得（舍去）或， 经检验，是分式方程的解， ∴； 当，为对角线时，，的中点重合， ∴， 解得或（舍去）， 经检验，是方程组的解， ∴； 综上所述，M的坐标为或； （3）解：的值不发生变化，理由如下： 过C作轴于H， 如图：在中，令得，令得， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， 由反比例函数可知，， ∴，即， ∴， ∴的值不发生变化． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用，等腰直角三角形的判定与性质等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 7．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点A、B，与轴交于点F，与轴交于点C．过点A作轴于点D，，连接，已知的面积等于6，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)请直接写出一次函数的关系式 ，反比例函数的关系式 ． (2)若点E是点C关于轴的对称点，求的面积． 【答案】(1)； (2)32 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题： （1）根据的面积等于6，求出点的坐标，进而求出反比例函数的解析式，求出点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）对称性求出点坐标，分割法求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵轴，点A的坐标为 ∴，轴， ∴的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴； 故答案为：，； （2）∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（2024·江苏扬州·一模）如图1，已知点，，反比例函数与直线AB有唯一一个交点． (1)当，时，求直线的解析式及k的值； (2)当的面积为10时，求k的值； (3)当，且k的最大值为9时，将此时的直线沿着x轴正半轴方向移动，交反比例函数于点C、D（如图2），若点C是线段的中点，求平移的距离． 【答案】(1)； (2) (3)平移的距离为 【分析】（1）运用待定系数法即可求得直线的解析式，再联立方程组后运用根的判别式即可求得的值； （2）由的面积为10，可得出，运用待定系数法可得直线的解析式为，联立方程组整理得，运用根的判别式可得，即； （3）根据和反比例函数k值几何意义得出，从而得出当时，取最大值，解出，平移前点，得出．平移后，如图，过点分别作轴，轴，轴，设点，则，根据，得出，．证明，得出，点，得出，解得，从而得出平移后点，即可求出平移的距离． 【详解】（1）解：当时，， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得：， ∵反比例函数与直线有唯一一个交点， ∴， ∴； （2）∵的面积为10， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得：， ∵反比例函数与直数有唯一一个交点， ， ． （3）∵， ∴， ∴， ∴当时，取最大值， ∴， ∵， ∴． ∴，， ∴平移前点． ∴， ∴． 平移后，如图，过点分别作轴，轴，轴， 设点，则， ∵平移，所以， ∴， ∴． ∵点是中点，且， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∴，解得． ∵， ∴． ∴平移后点， ∴平移的距离为． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的图象交点，相似三角形的性质和判定，平移的性质，一元二次方程根的判别式和根与系数关系的应用等，熟练掌握反比例函数的图形和性质，一次函数的性质，平移的性质等知识是解题的关键． $$