精品解析：上海市交通大学附属中学2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题

交大附中2024学年第一学期高三年级数学月考 一、填空题（共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7~12题每题5分）. 1. 设全集，若，则可以用列举法表示为__________. 2. 不等式的解集为__________. 3 设实数，若，则__________. 4. i是虚数单位，复数___________. 5. 在的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为________. 6. 函数的值域为________. 7. 甲、乙两人进行投篮练习，甲投中的概率为0.8，乙未投中的概率为0.1，甲、乙两人各投篮1次，设两人投篮互不影响，则两人中恰有1人投中的概率为__________. 8. 已知甲､乙两组按从小到大顺序排列的数据：甲组：；乙组：.若甲组数据的第30百分位数和乙组数据的中位数相等，则等于______. 9. 设抛物线的焦点为，直线过且与抛物线交于，两点，若，则直线的方程为__________． 10. 已知数列满足，，，则数列的前40项和为______ 11. 某数学建模小组模拟“月距法”测量经度的一个步骤．如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表“月球”与“轩辕十四”（恒星名）．组员在地面处测得轩辕十四的仰角，随后向着两“天体”方向前进4米至处，测得两“天体”的仰角分别为、．若“月球”距离地衣的高度为3米，则“轩辕十四”到“月球”的距离约为_________（精确到）. 12. 若在曲线（e为自然对数的底数）存在点，使其关于轴的对称点在曲线上，则实数的取值范围是__________. 二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分） 13. 下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知向量，，，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 以上都不对 15. 如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，点，分别为，的中点，在侧面上运动，且满足平面，以下命题错误的是（ ） A. B. 多面体体积为定值 C. 侧面上存在点，使得 D. 直线与直线所成的角可能为 16. 在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且圆上存在两个点，使得，则称圆为一个“好圆”.给出以下两个命题：（1）存在直线（常数），使得所有“好圆”与直线都相交；（2）存在直线（常数），使得所有“好圆”与直线都相离；则下列说法正确的是（ ） A. （1）（2）都成立 B. （1）（2）都不成立 C. （1）成立，（2）不成立 D. （1）不成立，（2）成立 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 如图，在长方体中，为上一点，已知，，，． （1）求直线和平面夹角； （2）求点到平面的距离． 18. 已知函数． （1）若函数的图象经过点，求解不等式； （2）若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 19. 某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了"我知红楼"知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本数据的第62百分位数所在区间的组中值； （3）若落在中样本数据平均数是52，方差是6；落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差. 20. 设双曲线的方程为(常数. （1）若双曲线的焦距为4，求两条渐近线的夹角； （2）设是第一象限内双曲线上一点，是双曲线右顶点，当为等腰三角形时，求点的坐标； （3）设是直线上一点.已知过点的直线、的斜率分别为，分别与交于和，当时，求的值. 21. 对于曲线，若存在斜率为的两条平行直线，满足:直线与曲线至少切于两点；曲线上所有的点都在之间或者其中一条直线上，则直线为曲线的一对"双夹线"，并称之间的距离为曲线在“方向上的宽度”，记为.设，曲线. （1）设，写出曲线的一组“双夹线”（不必说明理由）； （2）设，试问:和是否是曲线的一对“双夹线”？若是，求出此时的值；若不是，请说明理由； （3）对于任意正实数，曲线是否都存在“双夹线”？若是，求出所有取值构成的集合；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 交大附中2024学年第一学期高三年级数学月考 一、填空题（共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7~12题每题5分）. 1. 设全集，若，则可以用列举法表示为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据全集和给定集合，求出该集合在全集中的补集. 【详解】已知全集，集合.  补集是在全集中去掉集合的元素. 在全集的元素、、、里，去掉集合中的和，所以.  故答案为：. 2. 不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分式不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】不等式等价于不等式，解得. 故原不等式的解集为. 故答案为：. 3. 设实数，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据对数的运算法则，将进行变形，再结合已知条件来求解. 【详解】根据对数运算法则，对于，所以.  已知，将其代入中，可得.  故答案为：14. 4. i是虚数单位，复数___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数除法运算，即可求解. 【详解】解：， 故答案为： 5. 在的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式及常数项可得，进而写出常数项即可. 【详解】由题设，二项展开式通项为， 由第四项是常数项，即时，，故， 所以常数项为. 故答案为：160 6. 函数的值域为________. 【答案】 【解析】 【分析】由二倍角的余弦公式,两角和的正弦公式化简函数解析式,利用正弦函数的图象和性质即可求得值域. 【详解】解：因为 又因为 所以, 故的值域为：. 故答案为： 【点睛】本题考查由二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式、正弦函数的图象和性质的应用,属于基础题. 7. 甲、乙两人进行投篮练习，甲投中概率为0.8，乙未投中的概率为0.1，甲、乙两人各投篮1次，设两人投篮互不影响，则两人中恰有1人投中的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据相互独立事件的乘法概率公式即可求解.. 【详解】已知甲投中的概率为，乙投中的概率是. 所以两人中恰有一人投中的概率为. 故答案为：. 8. 已知甲､乙两组按从小到大顺序排列的数据：甲组：；乙组：.若甲组数据的第30百分位数和乙组数据的中位数相等，则等于______. 【答案】8 【解析】 【分析】根据百分位数和中位数的定义即可列出式子计算求解. 【详解】因为，甲组数据的第30百分位数为第三个数和第四个数的平均数， 乙组数据的中位数为第四个和第五个数的平均数， 根据题意可得，解得． 故答案为：8. 9. 设抛物线的焦点为，直线过且与抛物线交于，两点，若，则直线的方程为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】设由得，由均在抛物线上求出可得直线的斜率，再由点斜式方程方程可得答案. 【详解】由题，，又， 则，， 由题意知,，因此， 即， 又由均在抛物线上知， 解得， 直线的斜率为， 因此直线的方程为或. 故答案为：或. 10. 已知数列满足，，，则数列的前40项和为______ 【答案】820 【解析】 【分析】根据递推公式得出奇数项数列和偶数项数列各为等差数列，分组求和即可得出前40项和． 【详解】因为， 当为奇数时，则，是首项为1，公差为1的等差数列； 当为偶数时，则，是首项为2，公差为3等差数列， ． 故答案为：820． 11. 某数学建模小组模拟“月距法”测量经度的一个步骤．如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表“月球”与“轩辕十四”（恒星名）．组员在地面处测得轩辕十四的仰角，随后向着两“天体”方向前进4米至处，测得两“天体”的仰角分别为、．若“月球”距离地衣的高度为3米，则“轩辕十四”到“月球”的距离约为_________（精确到）. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角一边结合正弦定理求边，再利用余弦定理求边即可. 【详解】在Rt中，，则 因为，所以 因为，所以， 在中，由正弦定理得，， 所以， 在中， 由余弦定理得 所以米． 故答案为：4.25米． 12. 若在曲线（e为自然对数的底数）存在点，使其关于轴的对称点在曲线上，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过函数图象上存在关于轴对称的点这一条件，逐步转化为函数方程有解， 再通过构造新函数，利用导数研究函数单调性和最值，进而确定参数的取值范围. 【详解】已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，那么有解，即在上有解， 首先对进行变形：. 设（），则原方程变为. 进一步转化为在上有解. 设，对求导，可得. 然后分析的单调性：令，即，解得. 当时,所以，在上单调递增. 当时，所以，在上单调递减. 所以在处取得极大值，也是最大值，. 当时，，，所以； 当时，增长速度远小于的增长速度，所以. 因为在上有解，所以的最大值满足方程有解的条件. 再回到： 由有解且，，因为有解，所以有解. 即有解，两边同时取对数得，即在上有解. 设，对求导，则. 然后分析的单调性： 令，即，解得. 当时， ，在上单调递减. 当时， ，在上单调递增. 在处取得极小值，也是最小值，. 当时，；当时，. 因为在上有解，所以. 故答案为：. 二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分） 13. 下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据基本不等式即可判断选项A是否正确，对选项B化简可得，由此即可判断B是否正确；对选项C、D通过举例即可判断是否正确. 【详解】A.由基本不等式可知，故A不正确； B.，即恒成立，故B正确； C.当时，不等式不成立，故C不正确； D.当时，不等式不成立，故D不正确. 故选：B. 14. 已知向量，，，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量平行和垂直的坐标运算求解. 【详解】所以， ，，，所以， ，所以. 故选：C. 15. 如图，正方体棱长为，线段上有两个动点，，且，点，分别为，的中点，在侧面上运动，且满足平面，以下命题错误的是（ ） A. B. 多面体的体积为定值 C. 侧面上存在点，使得 D. 直线与直线所成的角可能为 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合线线垂直的判定定理、线面垂直的性质，以及异面直线夹角的求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：连接，作图如下： 因为为正方体，故可得//，又，与是同一条直线， 故可得，则，故A正确； 对B：根据题意，，且线段在上运动，且点到直线的距离不变， 故△的面积为定值，又点到平面的距离也为定值， 故三棱锥的体积为定值，故B正确； 对C：取的中点分别为，连接，作图如下： 容易知在△中，，又，， 面面，故面面， 又G在侧面上运动，且满足平面，故的轨迹即为线段； 又因为为正方体，故面面，故， 则当与重合时，，故C正确； 对D：因为，故直线与所成角即为直线与所成角，即， 在中，， 故， 而当直线与直线BC所成的角为时，， 故直线与直线BC所成的角不可能为，故D错误. 故选：D. 16. 在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且圆上存在两个点，使得，则称圆为一个“好圆”.给出以下两个命题：（1）存在直线（常数），使得所有“好圆”与直线都相交；（2）存在直线（常数），使得所有“好圆”与直线都相离；则下列说法正确的是（ ） A. （1）（2）都成立 B. （1）（2）都不成立 C. （1）成立，（2）不成立 D. （1）不成立，（2）成立 【答案】D 【解析】 【分析】设“好圆”圆的方程为，分类讨论借助韦达定理转化条件为，根据直线与圆的位置关系，将问题转化为二次不等式恒成立问题，再结合二次函数图象与性质求解可得. 【详解】设圆为一个“好圆”，圆心，半径为， 则圆的方程为， 则圆上存在两个点，使得，. 若与（或）重合，则，不满足题意， 所以不与重合. 由， 可得，则， 则三点共线，且在点同侧，即在圆外. 若直线斜率不存在，即为轴，此时不妨设， 则. 如图，当时，即圆， 圆上存在，使得，且圆与轴相离. 若直线斜率存在，设：，设与圆相交于， 联立，得， 则， 且，则， ， 故，则或. （1）假设存在直线（常数），使得所有“好圆”与直线都相交； 则圆心到直线的距离， 即， 化简得对任意恒成立， 当时，对任意不恒成立； 当时，不成立； 当时，， 设，由，图象开口向上， 且，， 当时，，则必存在，使得，不满足题意； 当时，，则必存在，使得，不满足题意； 当且时，由， 则在与内都存在，使得，不满足题意； 综上所述，不存在直线（常数），使得所有“好圆”与直线都相交； （2）假设存在直线（常数），使得所有“好圆”与直线都相离； 则圆心到直线的距离， 即， 化简得对任意恒成立， 当时，恒成立； 验证：当时，圆心到轴的距离， 由，可知恒成立. 故存在直线，即轴，使得所有“好圆”与直线轴都相离. 由（1）不成立，（2）成立. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键有两点，一是借助直线与圆的位置关系转化为含参不等式的恒成立问题，进而分类讨论解决问题；二是存在性问题，通过分类根据特殊界点寻找特殊直线证明存在. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 如图，在长方体中，为上一点，已知，，，． （1）求直线和平面的夹角； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得与平面所成夹角为，判断为等腰直角三角形，即可求出， （2）如图建立坐标系，根据向量的关系可得点到平面的距离，求出法向量即可求出． 【小问1详解】 解：依题意，平面，连接，则与平面所成夹角为， ， ∴为等腰直角三角形，则， ∴直线和平面的夹角为， 【小问2详解】 解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，、、的方向为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， ，，， 设平面的法向量， 由，取，可得， ∴点到平面的距离. 18. 已知函数． （1）若函数的图象经过点，求解不等式； （2）若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入点坐标计算求出，根据定义域和单调性即可求出的解集； （2）根据的定义域将问题转化为时，得出有解，再结合分离常数法和换元，最后借助一元二次函数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 ，则， ，，， ，定义域为， 要解不等式，则，． 又在定义域内是严格增函数， 由，则，解得． 综上所述，不等式的解集为． 【小问2详解】 的定义域为，存在，使得、、依次成等差数列， 则在方程中，应满足， 由，解得，问题转化为时，方程有实数解． 又，则， 即． 为严格单调函数， ， ，两边同除以得，． 令，由，则， 在有解． 又在上是严格增函数， ，即， 又，则. 19. 某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了"我知红楼"知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本数据的第62百分位数所在区间的组中值； （3）若落在中的样本数据平均数是52，方差是6；落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差. 【答案】（1）0.030 （2）75 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1列式即可求解；（2）由频率分布直方图求第百分位数的计算公式即可求解；（3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解. 【小问1详解】 由， 解得； 【小问2详解】 因为， ， 所以样本数据的第62百分位数在内，所在区间的组中值为； 【小问3详解】 样本数据落在的个数为， 落在的个数为， ， 总方差. 20. 设双曲线的方程为(常数. （1）若双曲线的焦距为4，求两条渐近线的夹角； （2）设是第一象限内双曲线上一点，是双曲线右顶点，当为等腰三角形时，求点的坐标； （3）设是直线上一点.已知过点的直线、的斜率分别为，分别与交于和，当时，求的值. 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）首先求双曲线的值，然后求双曲线的渐近线方程，最后求两条渐近线的夹角；（2）分情况讨论，结合两点间距离公式和N是第一象限内双曲线上一点条件计算即可；（3）先设出点的坐标以及直线、的参数方程，然后将参数方程代入双曲线方程，利用参数的几何意义得到与的表达式，再结合已知条件求解的值. 【小问1详解】 对于双曲线，其标准方程为，其中. 双曲线的焦距，则. 根据双曲线的性质，已知，，代入可得，即，解得，则. 对于双曲线，其渐近线方程为. 已知，，则双曲线的渐近线方程为. 设渐近线的倾斜角为，则， 因为倾斜角，所以. 设渐近线的倾斜角为，则， 因为倾斜角，所以. 两条直线夹角范围是. 两条渐近线倾斜角相差，所以两条渐近线的夹角为. 【小问2详解】 对于双曲线，则. 已知，则双曲线方程为. 分情况讨论为等腰三角形时点的坐标： 情况一：当时， 已知，，则. 设（，），因为，根据两点间距离公式可得. 又因为点在双曲线上，所以，联立方程组，解方程组： 由可得，即. 将代入中得：， 解得或（舍去）. 当时，，（），所以. 情况二：当时 ，则，即，. 联立方程组，将代入中得： ，解得或（舍去）. 当时，，（不满足在第一象限，舍去）. 情况三：当时 ，两边同时平方可得，即，展开得，移项可得，解得（不满足在第一象限，舍去）. 综上所得，点的坐标为. 【小问3详解】 设，直线的参数方程为（为参数），其中. 直线的参数方程为（为参数），其中. 将直线的参数方程代入双曲线方程 把代入双曲线方程，可得： 展开并整理得： 设、对应的参数分别为、，根据韦达定理，. 由直线参数方程中参数的几何意义可知. 因为，则，，代入上式可得：. 同理将直线的参数方程代入双曲线方程，按照上述步骤可得. 因为，所以. 则， 若，即，的值不确定； 若，，即. 因为，所以. 【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 21. 对于曲线，若存在斜率为的两条平行直线，满足:直线与曲线至少切于两点；曲线上所有的点都在之间或者其中一条直线上，则直线为曲线的一对"双夹线"，并称之间的距离为曲线在“方向上的宽度”，记为.设，曲线. （1）设，写出曲线的一组“双夹线”（不必说明理由）； （2）设，试问:和是否是曲线的一对“双夹线”？若是，求出此时的值；若不是，请说明理由； （3）对于任意正实数，曲线是否都存在“双夹线”？若是，求出的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由. 【答案】（1）和 （2）是， （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由新定义结合三角函数图象得到“双夹线”； （2）利用导函数等于斜率，求出的切点坐标，验证切点个数，再用作差法证明函数图象在两直线之间，由两点间距离公式求出； （3）由（2）可知令即可找到切线方程及切点坐标，再由作差法验证函数在这两条直线之间，由定义得出及其范围. 【小问1详解】 曲线，由正弦函数的图象可知：和为曲线的一对“双夹线”，故曲线是存在“双夹线”. 【小问2详解】 曲线，，令， 即，当时，，点是曲线与的一个切点； 当时，，点是曲线与的一个切点； 直线与曲线至少存在两个切点， 同理，可得当时，，点是曲线与的一个切点； 当时，，点是曲线与的一个切点； 直线与曲线至少存在两个切点， 令，则 ，， 和是函数的一对“双夹线”，且. 【小问3详解】 ，则， ，当时，，则过点的切线方程为：， 当时，，过点的切线方程也为：， 直线与至少存在两个切点； 同理，可得直线与相切于点和， 直线与至少存在两个切点； 令， 则， ， 在两条直线之间， 故对于任意的正实数，函数都存在“双夹线”，且， 故的所有取值构成的集合. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解新定义，根据定义先通过导函数与直线斜率相等找到至少两个切点坐标，再由作差法判定曲线一点在两条直线之间. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $