第四章 数列（基础巩固卷）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第二册）

第四章 数列（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2025高一下·四川南充·阶段练习）已知数列，3，，…，，…，那么9在此数列中的项数是（    ）． A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】由，解方程可得． 【详解】根据题意，． 由，解得，即9是此数列的第14项， 故选：C． 2．（2025高二·全国·课后作业）下列说法正确的是      A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7} B．数列1，0，−1，−2与数列−2，−1，0，1是相同的数列 C．数列{}的第k项为1+ D．数列0，2，4，6，…可记为{2n} 【答案】C 【详解】由数列的定义可知A中{1，3，5，7}表示的是一个集合，而非数列，故A错误； B中，数列中各项之间是有序的，故数列1，0，−1，−2与数列−2，−1，0，1是不同的数列，故B错误； C中，数列{}的第k项为=1+，故C正确； 数列0，2，4，6，…的通项公式为an=2n−2，故D错． 故选C． 考点：数列的概念，数列的通项公式． 3．（24-25高二下·黑龙江鹤岗·期中）等差数列中，，公差，则是数列的第（    ） A．项 B．项 C．项 D．项 【答案】A 【分析】由题意可得等差数列的通项公式，令，即可求得. 【详解】因为等差数列中，，公差，所以，则，所以，即，解得. 故选：A. 4．（2025高二下·北京平谷·阶段练习）设为等比数列的前项和，且，则等于（    ） A． B． C．5 D．11 【答案】A 【分析】根据已知求出数列公比即可由等比数列求和公式得出. 【详解】，，，则公比， ，，. 故选：A. 5．（24-25高一下·云南玉溪·期末）在等比数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 因为数列是等比数列，且已知前项和，所以可求通项，进而可求，仍然是等比数列，再利用求前项和公式解出结果. 【详解】 解：因为数列是等比数列，且， 解得，，所以是以为首项，为公比的等比数列， 则， 那么，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以根据前项和公式得. 故选：. 6．（24-25高二上·安徽滁州·期末）朱载堉（1536~1611），是中国明代一位杰出的音乐家､数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设前三个音的频率总和为，前六个音的频率总和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将每个音的频率看作等比数列，利用等比数列的知识即可求得结果. 【详解】由题意可知一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等， 设第一个音的频率为，相邻的两个音之间的频率之比为， 则可以将每个音的频率看作等比数列，共13项，且， 因为最后一个音是最初那个音的频率的2倍， 所以，即，所以， 所以，， 所以， 故选：A 7．（2025高二上·上海·课后作业）等比数列中，首项，则数列是严格递增数列的条件是公比满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等比数列通项公式可表示出；分别在和的情况下进行分析得到结果. 【详解】由题意得：，， 为严格递增数列，， 又，； 当，即时，只需恒成立，； 当，即时，，不合题意； 综上所述：公比满足. 故选：C. 8．（2025·陕西西安·模拟预测）已知数列满足，且，，则（    ） A．2026 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意整理得，结合等差数列通项公式可得，再利用裂项相消运算处理． 【详解】∵，即，则 ∴数列是以首项，公差的等差数列 则，即 ∴ 则 故选：B． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高二下·辽宁大连·期中）等差数列{an }的前n项和记为Sn，若a15>0，a16<0， 则（    ） A．a1>0 B．d<0 C．前15项和S15最大 D．从第32项开始，Sn<0 【答案】ABC 【分析】结合等差数列的性质、等差数列前项和公式确定正确选项. 【详解】依题意等差数列{an}满足a15>0，a16 <0， 所以前15项为正数，第16项开始为负数，公差d为负数，前15项和S15最大，所以ABC选项正确． ， 所以D选项错误． 故选∶ ABC 10．（24-25高二上·福建泉州·期末）“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下第一个数2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；…，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素数.基于“埃拉托塞尼筛法”，则（    ） A．2到20的全部素数和为77 B．挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为134 C．2到30的全部素数和为100 D．挑选2到30的全部素数过程中剔除的所有数的和为335 【答案】AD 【分析】根据题意利用等差数列求和公式及素数的定义逐项分析判断. 【详解】由题可知，2到20的全部整数和， 2到20的全部素数和为，故A正确； 所以挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为，故B错误； 2到30的全部整数和， 2到30的全部素数和为，故C错误； 所以挑选2到30的全部素数过程中剔除的所有数的和为，故D正确； 故选：AD. 11．（2025·江苏南通·模拟预测）已知数列，均为等比数列，则下列结论中一定正确的有（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等差数列 D．数列是等差数列 【答案】ACD 【分析】根据等比数列和等差数列的定义或通项公式判断． 【详解】设数列的公比为，数列的公比为，所以，. 对于A，，从而数列的公比为，故A正确. 对于B，，与不一定相等，所以数列不是等比数列，故B错误. 对于C，，从而数列的公差为.故C正确. 对于D，，从而数列的公差为，D正确. 故选：ACD． 【点睛】结论点睛：本题考查等差数列和等比数列的判断．掌握等差数列和等比数列的定义是关键．判断方法有：（1）定义法；（2）通项公式法；（3）等差中项、等比中项法；（2）前项和公式．特别注意等比数列中各项均不为0． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2025高二·全国·课后作业）在数列中，（，），则 ． 【答案】 【分析】根据通项公式直接求解即可 【详解】因为（，）， 所以， 故答案为： 13．（2025高二上·上海·阶段练习）数列是正数等比数列，且，则 . 【答案】7 【分析】根据等比中项的概念，得，，再结合完全平方公式求值. 【详解】∵，且，， 得：，又， 所以：. 故答案为：7 14．（2025高二·全国·课后作业）设等差数列的前项和为，已知前6项和为36，最后6项和为180，，则该数列的项数 ， ． 【答案】 18 36 【分析】（1）由题意，可知①，②，由①+②求出的值； （2）由题得，利用等差数列的性质即得解. 【详解】（1）由题意，可知①， ②， 由①+②，得， ∴． 又， ∴，∴， （2）由题得， ． 故答案为：18；36. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2025高二·江苏·课后作业）在等比数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，求． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】(1)由等比数列的性质可知，，进而可求，然后代入等比数列的通项公式可求； (2)由等比数列的性质可求，然后代入等比数列的通项公式可求． 【详解】（1）设等比数列公比为q，则， 故，， （2）设等比数列公比为q，则， 故或， ∴或． 16．（24-25高二上·陕西西安·期中）设为数列的前n项和， (1)求及； (2)判断这个数列是否是等差数列． 【答案】(1)， (2)是等差数列 【分析】（1）根据和的关系即可解答. （2）根据等差数列的定义即可判断. 【详解】（1） 当时，； 当时，； 经验证当时上式成立， 所以. （2）由，得， 所以（常数） 所以数列是等差数列. 17．（2025高二·江苏·课后作业）已知数列的通项公式是． (1)写出这个数列的前5项，并作出它的图象； (2)这个数列中有没有最小的项？ 【答案】(1)，，，，，图象如下： (2)有，为最小项. 【分析】（1）代入求出数列的前5项，画出图象；（2）配方求最值. 【详解】（1），，，，，图象如下： （2），当时，取得最小值，为最小项. 18．（24-25高一下·四川凉山·期末）已知数列前n项和，满足． (1)证明是等比数列； (2)数列，，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由得，.从而得到 是等比数列. （2）将代入并化简得 ，裂项相消即可. 【详解】（1）由得：，， 所以，即，， 当时，，则，所以是以为首项，公比为2的等比数列． （2）由（1）知，则， 故，. 所以. 19．（24-25高二上·江苏连云港·期末）设等差数列的前n项和为，，，且有最大值． (1)求数列的通项公式及的最大值； (2)求 【答案】(1)，前n项和最大值108； (2)， 【分析】（1）由有最大值得，结合等差中项性质可解出、，即可进一步解出基本量，，即可由公式法列出通项公式，的最大值为前面所有非负项的和； （2）由数列的符号，分别求、时的即可，其中当时. 【详解】（1）设等差数列的公差是d，首项是，由有最大值得， 则数列是递减数列，因为，，解得、或、舍去， 则，，解得，，所以， 令得，则当时，；当时，，所以； （2）由（1）可得， 当时，…， 当时，……， 综上可得，， 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 数列（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2025高一下·四川南充·阶段练习）已知数列，3，，…，，…，那么9在此数列中的项数是（    ）． A．12 B．13 C．14 D．15 2．（2025高二·全国·课后作业）下列说法正确的是      A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7} B．数列1，0，−1，−2与数列−2，−1，0，1是相同的数列 C．数列{}的第k项为1+ D．数列0，2，4，6，…可记为{2n} 3．（24-25高二下·黑龙江鹤岗·期中）等差数列中，，公差，则是数列的第（    ） A．项 B．项 C．项 D．项 4．（2025高二下·北京平谷·阶段练习）设为等比数列的前项和，且，则等于（    ） A． B． C．5 D．11 5．（24-25高一下·云南玉溪·期末）在等比数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·安徽滁州·期末）朱载堉（1536~1611），是中国明代一位杰出的音乐家､数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设前三个音的频率总和为，前六个音的频率总和为，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025高二上·上海·课后作业）等比数列中，首项，则数列是严格递增数列的条件是公比满足（    ） A． B． C． D． 8．（2025·陕西西安·模拟预测）已知数列满足，且，，则（    ） A．2026 B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高二下·辽宁大连·期中）等差数列{an }的前n项和记为Sn，若a15>0，a16<0， 则（    ） A．a1>0 B．d<0 C．前15项和S15最大 D．从第32项开始，Sn<0 10．（24-25高二上·福建泉州·期末）“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下第一个数2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；…，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素数.基于“埃拉托塞尼筛法”，则（    ） A．2到20的全部素数和为77 B．挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为134 C．2到30的全部素数和为100 D．挑选2到30的全部素数过程中剔除的所有数的和为335 11．（2025·江苏南通·模拟预测）已知数列，均为等比数列，则下列结论中一定正确的有（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等差数列 D．数列是等差数列 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2025高二·全国·课后作业）在数列中，（，），则 ． 13．（2025高二上·上海·阶段练习）数列是正数等比数列，且，则 . 14．（2025高二·全国·课后作业）设等差数列的前项和为，已知前6项和为36，最后6项和为180，，则该数列的项数 ， ． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2025高二·江苏·课后作业）在等比数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，求． 16．（24-25高二上·陕西西安·期中）设为数列的前n项和， (1)求及； (2)判断这个数列是否是等差数列． 17．（2025高二·江苏·课后作业）已知数列的通项公式是． (1)写出这个数列的前5项，并作出它的图象； (2)这个数列中有没有最小的项？ 18．（24-25高一下·四川凉山·期末）已知数列前n项和，满足． (1)证明是等比数列； (2)数列，，求数列的前n项和． 19．（24-25高二上·江苏连云港·期末）设等差数列的前n项和为，，，且有最大值． (1)求数列的通项公式及的最大值； (2)求 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$