精品解析：辽宁省抚顺市顺城区2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期末教学质量检测 八年级数学试卷 （本试卷共23小题满分120分 考试时间：100分钟） ※注意事项：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子中属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，理解分式成立的条件是解答的关键．分式的定义：如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是分数，不是分式； B、的分母中不含有字母，因此它是整式，而不是分式； C、的分母中不含有字母，因此它是整式，而不是分式；； D、的分母中含有字母，因此它是分式； 故选：D． 2. 下面是2024年巴黎奥运会运动项目图标，这些图案中是轴对称图形的是（ ） A. 足球 B. 篮球 C. 排球 D. 乒乓球 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称，熟练掌握此知识点是解题的关键． 【详解】解：A、它是轴对称图形； B、它不是轴对称图形； C、它不是轴对称图形； D、它不是轴对称图形． 故选：A 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法和除法、积的乘方、零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据相关运算法则计算判断，即可解题． 【详解】解：A、，选项计算错误，不符合题意； B、，选项计算错误，不符合题意； C、，选项计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 维生素在人体健康中发挥着至关重要的作用，从维持骨骼健康到调节免疫功能，再到预防多种疾病，维生素都扮演着不可或缺的角色．因此，合理补充维生素对于维护整体健康至关重要．据科学验证，成年人每天维生素的摄入量约为克，将数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时，是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 5. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、时，，故此选项不符合题意； C、，正确，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：C． 6. 在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等即可得解． 【详解】解：、、三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，要使游戏公平，那么凳子到三个人额距离相等才行， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点． 故选：D． 【点睛】本题考线段垂直平分线的性质，正确理解游戏的公平性是解题的关键． 7. 根据下列条件，能画出唯一的是（ ） A ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，全等三角形的判定，根据根据三角形全等的判定方法可对选项进行判断；根据三角形的三边的关系可对选项进行判断，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、，，，根据两边及一边对角不能判定两三角形全等，即作出的三角形不唯一，故此选项不符合题意； 、，，，根据三角相等不能判定两三角形全等，即作出的三角形不唯一，故此选项不符合题意； 、，，，符合“”，所以根据条件能画出唯一，故此选项符合题意； 、，，，∵，∴不满足三角形三边的关系，即三边不能构成三角形，故此选项不符合题意； 故选：． 8. 某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36元，元旦期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶？”以下为四位同学列出的方程，正确的（ ） 甲同学：设该饮料每瓶是元，则 乙同学：设该饮料每箱是瓶，则 丙同学：设该饮料每瓶是元，则 丁同学：设该饮料每箱是瓶，则 A. 甲、乙、丙 B. 甲、乙 C. 乙、丙 D. 甲、丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键． 根据题意可设这种饮料的原价每瓶是元，则根据等量关系“九折购买的饮料数量比元购买的一箱饮料的数量多2瓶”，或“一箱加2瓶的饮料九折后的价格是元”；若设每箱有瓶，则根据“购买一箱加2瓶时，每瓶的价格和每瓶九折后的价格相等”分别列出方程即可． 【详解】解：设该饮料每瓶是元，则， 设这种饮料的原价每瓶是元，则有； 设该种饮料每箱有瓶，则有， 故甲、乙、丙正确，丁错误， 故选：A． 9. 如图，在三角形纸片中，，，点是的中点，点是边上一动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，根据题意，画出示意图，再结合轴对称的性质即可解决问题． 【详解】解：当点在上方时，如图所示， ∵， ∴， 由翻折可知，， ∴， ∵， ∴； 当点下方时，如图所示， ∵， ∴， 由翻折可知，， ∴， 又∵， ∴． 综上所述，的度数为：或． 故选：D． 10. 如图，在中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，可判断③；得，，通过等量代换可判断④． 【详解】解：在中，， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，，故结论②正确； ∴， 和中， ， ∴，故结论③正确； ∴， 又∵， ∴， 即，故结论④正确， ∴正确的个数是4个． 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若点与点关于轴对称，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】解：点与点关于轴对称， 点的坐标为， 故答案为：． 12. 已知的三个内角度数之比为，若它的最长边为3，则最短边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理及直角三角形的性质，设三个内角分别是k，，，根据三角形的内角和定理，即可求得三个角的度数，再根据直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：根据题意，设三个内角分别是k，，， 则， 解得， ∴这个三角形的三个内角分别是，，， ∴它的最短边与最长边之比为：． ∵最长边为3， ∴最短边的长为， 故答案为：． 13. 若是一个完全平方式，则的值______． 【答案】8或 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方式的结构特征列式计算，即可确定出的值． 【详解】解：是一个完全平方式，且， 或， 解得或， 故答案为：8或． 14. 如图，在等边中，是的角平分线，且，，分别是，线段上的动点，则的最小值等于______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，连接，根据等边三角形的性质可得垂直平分，因此，根据“两点之间线段最短”与“垂线段最短”得到当点B，F，E在同一直线上，且时，取得最小值，根据的面积公式可推出，即可解答． 【详解】解：连接， ∵是等边三角形，是的角平分线， ∴，， ∴， ∴， 当点B，F，E在同一直线上，且时，取得最小值， 如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为4． 故答案为：4． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以为一边构造等腰直角三角形，直接写出在第一象限内满足条件的所有点的坐标______． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，作辅助线构造全等三角形是解题关键．根据直角顶点分三种情况讨论，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：①如图，当点是等腰直角三角形的直角顶点时，过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ， ， ， 又， ， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，，， ， ，， ， 点的坐标为 ②如图，当点是等腰直角三角形的直角顶点时，过点作直线轴，过点作于点，过点作轴于点， 同理可证， ，， 点的坐标为； ③如图作辅助线，同②理证全等，可得点的坐标为 综上可知，点的坐标为，，， 故答案为：，，． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，乘法公式； （1）根据多项式除以单项式进行计算即可求解； （2）根据平方差公式、完全平方公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，请从，，，四个数中选取一个你喜欢的代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是明确分式的化简求值的方法，注意代入的的值必须使得原分式有意义．先将原式化简，然后从，，，四个数中选取使得原分式有意义的的值代入化简后的分式即可解答本题． 【详解】解： ， 由题意可知，，， ，， 当时，原式（当时，原式）． 19. 解分式方程： 【答案】无解 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的基本步骤成为解题的关键． 先通过去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】解：， 方程两边乘以， 得： 解得： 检验：当时，， 不是原分式方程的解． 原分式方程无解． 20. 如图，平面直角坐标系中，点，点，点． （1）请画出关于轴对称的； （2）在轴上存在点，使得的周长最小，请在图上作出点的位置并保留作图痕迹； （3）平面直角坐标系中存在点，满足和全等，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3），， 【解析】 【分析】本题考查了作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）作关于轴对称点，连接，与轴交于点，点即为所求； （3）根据题意，可得满足条件的点的坐标为：，，； 【小问1详解】 解：根据题意，作图如下； 即为所画； 【小问2详解】 根据题意，作图如下，作关于轴对称点，连接，与轴交于点，点即为所求； 【小问3详解】 解：根据题意，当点的坐标为时， ， ； 同理可得：点的坐标还可以为：，； 满足条件的点的坐标为：，，； 21. 暑假期间，甲、乙两队自驾去西藏．两队计划同一天出发，沿不同的路线前往目的地．甲队走路线，全程2000千米，乙队走路线，全程2400千米，由于路线车流量较小，乙队平均每天行驶的路程是甲队的3倍，这样乙队可以比甲队提前3天到达目的地． （1）求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地？ （2）甲乙两队规划总预算为15600．甲队最开始计划有3个人同行，每人每天花费300元，临近出发时又有个人一起加入了队伍，经过计算，甲队实际每增加1人时，每天的总花费将增加200元，乙队每人每天的平均花费一直是250元．若甲乙两队的最终人数一样多，且所花时间与各自原计划天数一致，两队总花费没有超支．求的值最大是多少． 【答案】（1）甲队计划5天到达目的地，乙队计划2天到达目的地； （2）6 【解析】 【分析】（1）设乙队计划x天到达目的地，则甲队计划天到达目的地，根据乙队平均每天行驶的路程是甲队的3倍，得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出答案； （2）根据两队路途中共花费15600元，可得出关于a的一元一次不等式，取其符合题意的值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设乙队计划x天到达目的地，则甲队计划天到达目的地， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ∴， 答：甲队计划5天到达目的地，乙队计划2天到达目的地； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得， ∵a是整数， ∴的值最大是6． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程和不等式． 22. 如图，在中，垂直平分，交于点，连接． （1）作的垂直平分线，交于点，交于点，交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明） （2）连接，，请补全图形，求证：平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的作法和性质，以及角平分线的判定，关键是正确掌握垂直平分线的作法，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． （1）分别以B、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线，交于点，交于点，交于点；即为所求； （2）根据题意即可补全图形，根据垂直平分线的性质推出，，即可证明结论． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所作； 【小问2详解】 解：补全图形如下： 证明：连接，， 垂直平分，交于点， ， ， 即 垂直平分，交于点， ， ， 即 ， 平分． 23. 【问题背景】 在中，，，点是内一点，连接，直线交边于点，，垂足为，点在直线上，且，连接，，． 【问题初探】 （1）如图1，判断的形状，并说明理由； 【问题拓展】 （2）如图2，当时，直线交线段于点，求证：点为线段的中点； 【问题提升】 （3）当，，三点共线，点，重合，点恰好是的中点时，若，请直接写出的面积． 【答案】（1）是等腰直角三角形，证明见解析；（2）见解析；（3）6 【解析】 【分析】（1）结合对顶角相等和三角形内角和定理得到，进而证明，利用全等三角形性质即可得到的形状； （2）过点作，交直线于点，结合等腰三角形性质和全等三角形性质证明，再次结合全等三角形性质求解，即可解题； （3）过点作，垂足为点，证明，得到，由（1）中，利用全等三角形性质和等腰三角形性质得到，最后根据三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：（1）是等腰直角三角形． 证明：如图， ， ， ， ， ， 在和中，， ，， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形； （2）证明：如图，过点作，交直线于点， ， 由（1）得，是等腰直角三角形， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ， ， 点为线段的中点； （3）解：如图，过点作，垂足为点， ， ，点，重合， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， 由（1）得，是等腰直角三角形， ， ， ， 和中，， ，， ，， 由（1）得，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了对顶角相等，三角形内角和定理，全等三角形性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，线段中点的判定，三角形面积公式，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期末教学质量检测 八年级数学试卷 （本试卷共23小题满分120分 考试时间：100分钟） ※注意事项：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子中属于分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面是2024年巴黎奥运会运动项目图标，这些图案中是轴对称图形的是（ ） A. 足球 B. 篮球 C. 排球 D. 乒乓球 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 维生素在人体健康中发挥着至关重要的作用，从维持骨骼健康到调节免疫功能，再到预防多种疾病，维生素都扮演着不可或缺的角色．因此，合理补充维生素对于维护整体健康至关重要．据科学验证，成年人每天维生素的摄入量约为克，将数字用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 5. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点 7. 根据下列条件，能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36元，元旦期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶？”以下为四位同学列出的方程，正确的（ ） 甲同学：设该饮料每瓶是元，则 乙同学：设该饮料每箱是瓶，则 丙同学：设该饮料每瓶是元，则 丁同学：设该饮料每箱是瓶，则 A. 甲、乙、丙 B. 甲、乙 C. 乙、丙 D. 甲、丁 9. 如图，在三角形纸片中，，，点是的中点，点是边上一动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 或 10. 如图，在中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若点与点关于轴对称，则点的坐标为______． 12. 已知的三个内角度数之比为，若它的最长边为3，则最短边长为______． 13. 若是一个完全平方式，则的值______． 14. 如图，在等边中，是角平分线，且，，分别是，线段上的动点，则的最小值等于______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以为一边构造等腰直角三角形，直接写出在第一象限内满足条件的所有点的坐标______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 化简： （1）； （2）． 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，请从，，，四个数中选取一个你喜欢的代入求值． 19. 解分式方程： 20. 如图，平面直角坐标系中，点，点，点． （1）请画出关于轴对称的； （2）在轴上存在点，使得的周长最小，请在图上作出点的位置并保留作图痕迹； （3）平面直角坐标系中存在点，满足和全等，请直接写出所有满足条件点的坐标． 21. 暑假期间，甲、乙两队自驾去西藏．两队计划同一天出发，沿不同的路线前往目的地．甲队走路线，全程2000千米，乙队走路线，全程2400千米，由于路线车流量较小，乙队平均每天行驶的路程是甲队的3倍，这样乙队可以比甲队提前3天到达目的地． （1）求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地？ （2）甲乙两队规划总预算为15600．甲队最开始计划有3个人同行，每人每天花费300元，临近出发时又有个人一起加入了队伍，经过计算，甲队实际每增加1人时，每天的总花费将增加200元，乙队每人每天的平均花费一直是250元．若甲乙两队的最终人数一样多，且所花时间与各自原计划天数一致，两队总花费没有超支．求的值最大是多少． 22. 如图，在中，垂直平分，交于点，连接． （1）作垂直平分线，交于点，交于点，交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明） （2）连接，，请补全图形，求证：平分． 23. 【问题背景】 在中，，，点是内一点，连接，直线交边于点，，垂足为，点在直线上，且，连接，，． 【问题初探】 （1）如图1，判断的形状，并说明理由； 【问题拓展】 （2）如图2，当时，直线交线段于点，求证：点为线段的中点； 【问题提升】 （3）当，，三点共线，点，重合，点恰好是的中点时，若，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$