精品解析：河北省承德市承德县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024－2025学年第一学期期末学业质量监测 九年级数学（冀教版） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟． 2．答卷前将密封线左侧的项目填写清楚． 3．答案须用黑色字迹的签字笔书写． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的．如果直线上的三个点都在横线上，且两点间的距离为4，那么两点间的距离为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理，找准等量关系是解题关键．过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于点，交点所在的平行横线于点，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求解即可． 【详解】解：如图，过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于点，交点所在的平行横线于点， ，即， ， 故选：C． 2. 如图，从由相同的小正方体组成的立体图形中取走一个小正方体后，视图不变的是（ ） A. 左视图 B. 主视图 C. 俯视图 D. 三视图都改变 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的定义是解答本题的关键；根据三视图的定义判断即可． 【详解】如图，从由相同的小正方体组成的立体图形中取走一个小正方体后，视图不变的是左视图，底层是两个正方形，上层的左边是一个正方形，主视图和俯视图由原来的两列变为一列 故选：A． 3. 在一个不透明的箱子里装有白球和红球共12个，这些球除颜色外完全相同．每次从箱子中摸出一个球，记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则箱子中红球的个数约是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，掌握用频率的集中趋势来估计概率是解题的关键． 根据利用频率估计概率可知红球出现的概率为0.25，从而可以计算出红球的个数． 【详解】解：∵经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右， ∴箱子中红球的个数约是（个）． 故选：A． 4. 如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键．根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心． 【详解】解：连接，交于点O， ∴点O是位似中心， 故答案为：D． 5. 圭表是通过测定日影长度来确定时间的仪器．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中立柱的根部与圭表的冬至线的距离（即的长）为．已知冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱的高约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．在中利用正切函数即可得出答案． 【详解】解∶在中，， 约为，， ，即． ． 故选∶B． 6. 如图，的直径垂直于弦，垂足为，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，含角的直角三角形的性质，掌握垂径定理和勾股定理的综合运用是解题的关键． 根据题意可得，，如图所示，连接，得到，在中，，由此勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】解：∵的直径垂直于弦，，， ∴，， 如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：B ． 7. 如图，四边形的对角线平分，补充下列条件后仍不能判定和相似的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似，斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似． 已知平分，即，然后根据各个选项所给条件，结合相似三角形的判定定理逐一判断。 【详解】A、由平分，得到，而，判定和相似，故A不符合题意； B、由平分，得到，而，判定和相似，故B不符合题意； C、由平分，得到，由，得到，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可以判定和，故C不符合题意； D、虽然，但夹角与不一定相等，不满足相似三角形的判定条件，所以不能判定和相似，故D符合题意． 故选：D． 8. 某电影第一天全国票房收入为0.05亿元，第三天票房收入为1亿元，若把每天票房收入的平均增长率记作，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：若把每天票房的平均增长率记作， 由题意得，， 故选：B． 9. 让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某个数所表示的区域，则这两个数的和是2的倍数或是3的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，根据两个转盘分别落在某个区域的数值，用列表法列出所有可能的情况，再找到两数和是2的倍数或是3的倍数，利用公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 1 2 3 4 1 1，1 2，1 3，1 4，1 2 1，2 2，2 3，2 4，2 3 1，3 2，3 3，3 4，3 4 1，4 2，4 3，4 4，4 所有等可能的情况有16种，其中两个数的和是2的倍数或3的倍数情况有10种， 则． 故选：B． 10. 点在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质结合点的坐标，即可求出a的取值范围． 【详解】解：， 在反比例函数的图像在一、三象限，在每个象限，y随x的增大而减小． ， 点都在第一象限． ． 解得：． 故选：C 11. 老师在多媒体上展示了一道有关尺规作图的题目：已知及外一点，过点求作的切线．甲、乙的作法分别如下： 甲作法：连接，分别以，为圆心，大于的长为半径，在线段的两侧画弧，分别相交于点，作直线，交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于，作直线，直线即为所求． 乙的作法：迲接并延长．交于两点．分别以为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接．交于点，作直线，直线即为所求． 下列说法正确的是（ ） A. 甲和乙的作法都正确 B. 甲和乙的作法都错误 C. 甲的作法正确，乙的作法错误 D. 乙的作法正确，甲的作法错误 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作图——复杂作图、线段垂直平分线的性质和切线的判定和性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 对于甲的作法，连接，利用基本作图得到垂直平分，则，再根据圆周角定理得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断甲的作法正确；对于乙的作法：利用基本作图得到，，由于，所以，则根据等腰三角形的性质得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断乙的作法正确． 【详解】解：对于甲的作法： 连接 由作法得垂直平分， ∴， ∴点为以为直径的圆与的交点， ∴， ∴， ∴为的切线，所以甲的作法正确； 对于乙的作法： 由作法得，， ∵， ∴， ∴， ∴为的切线，所以乙的作法正确； 故选：A. 12. 已知二次函数，截取该函数图象在间的部分记为图象G，设经过点且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分如图1和如图2两种临界情况，求出对应的t的值即可得到答案． 【详解】解：如图1所示， ， 顶点坐标为， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， 此时最大值为5，最小值为0； 如图2所示，当时，此时最小值为，最大值为4． 综上所述，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是， 故选D． 【点睛】此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的t的值为解题关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 【详解】解：∵是一元二次方程两个根， ∴． 故答案为：． 14. 学校举办了以“不负青春，强国有我”为主题的演讲比赛．已知某位选手的演讲内容、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分、85分、82分，若依次按照，，的比例确定成绩，则该选手的成绩是______分． 【答案】86 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的运用，熟练掌握加权平均数的计算方法．是解题的关键．若n个数的权分别为，则叫做这n个数的加权平均数． 根据加权平均数的计算公式列出算式，进行计算即可得出答案． 【详解】解：（分）， 故答案为：86． 15. 已知圆锥的底面半径为2，母线长为8，底面圆周上有一点，一只蚂蚁从点出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平面展开图-最短路程问题，勾股定理，扇形的弧长等知识，要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开， 进而根据“两点之间线段最短”得出结果，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意，将圆锥展开如下图所示的扇形，连接，则线段就是蚂蚁爬行的蛭短距离， ∵点是母线的中点，， ∴， 扇形的弧长， 设扇形的圆心角为，则有： ， 解得：， ∴扇形的圆心角为， ∴蚂蚁爬行的最短距离为：， 故答案为：． 16. 如图，在正方形中，对角线交于点，点、分别在、上，连接．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形判定与性质，根据正方形的性质证明，利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵在正方形中，对角线交于点，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 近视眼镜镜片的度数y（度）与镜片焦距成反比例．已知400度近视眼镜镜片的焦距为． （1）求y与x的函数表达式； （2）已知王老师的近视眼镜镜片度数为200度，求该镜片的焦距． 【答案】（1） （2）0.5m 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，求解即可； （2）将代入解析式，求解即可． 【小问1详解】 解：设y与x的函数表达式为， 400度近视眼镜镜片的焦距为， ∴， 即； 【小问2详解】 将代入可得： 该镜片的焦距为． 【点睛】此题考查了反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，正确求得反比例函数的解析式． 18. 如图，在中，是上一点，已知． （1）求证：； （2）已知，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据“两边对应成比例且它们的夹角相等”可判断三角形相似，进而求解即可； （2）由三角形内角和可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 证明：，， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ， ． 19. 以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测式四类专业的毕业生，现随机调查了名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题． （1）______，______； （2）请补全条形统计图，并直接写出这组数据的众数； （3）若该公司新招聘600名毕业生，请你估计总线专业的毕业生的人数． 【答案】（1）50，10 （2）这组数据的众数为硬件，图见解析 （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用总线的人数除以其人数占比即可求出m，再用测试的人数除以总人数即可求出n； （2）先求出硬件的人数，再补全统计图即可； （3）用乘以样本中总线的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（1）得硬件的人数为（人）， ∴补全统计图如下所示： ∵硬件的人数最多， ∴这组数据的众数为硬件． 小问3详解】 解：（名）， ∴估计“总线”专业的毕业生有名． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． （1）圆心的坐标为______； （2）求的半径； （3）若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点在内，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆心位置的确定，点与圆的位置关系，勾股定理等知识． （1）连接，则圆心D是线段、垂直平分线的交点，根据网格特点即可确定圆心D的位置及坐标； （2）根据网格特点，利用勾股定理即可求解； （3）利用勾股定理求出，与（2）求得的半径比较，即可判定位置关系． 【小问1详解】 解：圆心D如图所示； 圆心D坐标为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由勾股定理得，的半径为． 【小问3详解】 解：点在内．理由如下： ， 而， 点在内． 21. 我们把关于的一元二次方程与称为一对“倒序方程”．例如方程的“倒序方程”是． （1）写出一元二次方程的“倒序方程”； （2）请用适当的方法解一元二次方程和它的“倒序方程”． 【答案】（1） （2）的解为，；的解为， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，配方法解一元二次方程，公式法解一元二次方程； （1）根据“倒序方程”的定义，即可求解； （2）分别用配方法和公式法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：根据定义， “倒序方程”为． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 由（1）知，的“倒序方程”为，这里． ， ， 即． 22. 综合与实践：光线从空气中进入液体，会发生折射现象，嘉琪学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽中注水，水面上升到的中点处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线） 【测量数据】 如图，点A，，，，，，，，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求入射角的大小和的长． （2）求点，之间的距离（结果精确到）．（参考数据：，，） 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识点，明确题意、掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）由中点的定义可得，进而得到，再根据等腰直角三角形的性质可得，再根据角的和差以及等腰三角形的判定即可解答； （2）利用锐角三角函数求出长，然后再运用线段和差即可解答． 【小问1详解】 解：∵，点为的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴在中，． ∵， ∴，， ∴， ∴在中，． 【小问2详解】 解：∵在中，， ∴， ∴． 23. 如图1，已知抛物线与轴交于，B两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）如图2，点P，Q为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大1，过点作轴，交于点，过点作轴，交于点． ①求直线的解析式； ②求最大值及此时点的坐标． 【答案】（1）， （2）①；②4， 【解析】 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质是解答本题的关键． （1）直接运用待定系数法即可解答； （2）①直接运用待定系数法即可解答； ②设，则，，，再表示出，最后根据二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：把和代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为． 令，则， 解得， 点的坐标为． 【小问2详解】 解：①设直线的解析式为． 把代入上述解析式，得， 解得， 直线的解析式为． ②设， 则，，， ，， ． ， 当时，有最大值4， 此时，， 点的坐标为． 24. 如图，在扇形中，，，为的中点，为半径上一动点（不与重合），将扇形沿折叠，点落在点处． （1）当点在上时， 求的长； 求与围成的图形的面积． （2）若点在扇形内（不含边界），求的长的取值范围． 【答案】（1）； ； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，折叠的性质，勾股定理解三角形，数形结合是解题关键． （1）由为的中点，，可得到，根据折叠的性质得到，求出，，即可求解； （2）连接，过点作于点，于点，可得四边形是正方形，由得到点的轨迹，当点M在上时，取最大值，当点M在上时，取最小值，得到，求出的长度，设，则，在中应用勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ， 当点落在上时，， ， ， ， ， ； 由，得， ， 所求面积为； 【小问2详解】 解：由（1）知，当点落在上时，， 当点落在上时，如图所示，连接，过点作于点，于点， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ，， ， ， 设，则， ，， ， ， 当时，点落在扇形内（不含边界）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年第一学期期末学业质量监测 九年级数学（冀教版） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟． 2．答卷前将密封线左侧的项目填写清楚． 3．答案须用黑色字迹的签字笔书写． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的．如果直线上的三个点都在横线上，且两点间的距离为4，那么两点间的距离为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 如图，从由相同的小正方体组成的立体图形中取走一个小正方体后，视图不变的是（ ） A. 左视图 B. 主视图 C. 俯视图 D. 三视图都改变 3. 在一个不透明的箱子里装有白球和红球共12个，这些球除颜色外完全相同．每次从箱子中摸出一个球，记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则箱子中红球的个数约是（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 5. 圭表是通过测定日影长度来确定时间的仪器．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中立柱的根部与圭表的冬至线的距离（即的长）为．已知冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱的高约为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的直径垂直于弦，垂足为，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7. 如图，四边形的对角线平分，补充下列条件后仍不能判定和相似的是（） A. B. C. D. 8. 某电影第一天全国票房收入为0.05亿元，第三天票房收入为1亿元，若把每天票房收入的平均增长率记作，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 9. 让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某个数所表示的区域，则这两个数的和是2的倍数或是3的倍数的概率为（ ） A B. C. D. 10. 点在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 老师在多媒体上展示了一道有关尺规作图的题目：已知及外一点，过点求作的切线．甲、乙的作法分别如下： 甲的作法：连接，分别以，为圆心，大于的长为半径，在线段的两侧画弧，分别相交于点，作直线，交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于，作直线，直线即为所求． 乙的作法：迲接并延长．交于两点．分别以为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接．交于点，作直线，直线即为所求． 下列说法正确的是（ ） A. 甲和乙作法都正确 B. 甲和乙的作法都错误 C. 甲的作法正确，乙的作法错误 D. 乙的作法正确，甲的作法错误 12. 已知二次函数，截取该函数图象在间的部分记为图象G，设经过点且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知是一元二次方程的两个根，则______． 14. 学校举办了以“不负青春，强国有我”为主题的演讲比赛．已知某位选手的演讲内容、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分、85分、82分，若依次按照，，的比例确定成绩，则该选手的成绩是______分． 15. 已知圆锥底面半径为2，母线长为8，底面圆周上有一点，一只蚂蚁从点出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为______． 16. 如图，在正方形中，对角线交于点，点、分别在、上，连接．若，则______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 近视眼镜镜片的度数y（度）与镜片焦距成反比例．已知400度近视眼镜镜片的焦距为． （1）求y与x的函数表达式； （2）已知王老师的近视眼镜镜片度数为200度，求该镜片的焦距． 18. 如图，在中，是上一点，已知． （1）求证：； （2）已知，求的度数． 19. 以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测式四类专业的毕业生，现随机调查了名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题． （1）______，______； （2）请补全条形统计图，并直接写出这组数据的众数； （3）若该公司新招聘600名毕业生，请你估计总线专业的毕业生的人数． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． （1）圆心的坐标为______； （2）求的半径； （3）若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明理由． 21. 我们把关于的一元二次方程与称为一对“倒序方程”．例如方程的“倒序方程”是． （1）写出一元二次方程的“倒序方程”； （2）请用适当的方法解一元二次方程和它的“倒序方程”． 22. 综合与实践：光线从空气中进入液体，会发生折射现象，嘉琪学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽中注水，水面上升到的中点处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线） 【测量数据】 如图，点A，，，，，，，，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求入射角的大小和的长． （2）求点，之间的距离（结果精确到）．（参考数据：，，） 23. 如图1，已知抛物线与轴交于，B两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）如图2，点P，Q为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大1，过点作轴，交于点，过点作轴，交于点． ①求直线的解析式； ②求的最大值及此时点的坐标． 24. 如图，在扇形中，，，为的中点，为半径上一动点（不与重合），将扇形沿折叠，点落在点处． （1）当点在上时， 求的长； 求与围成的图形的面积． （2）若点在扇形内（不含边界），求的长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$