第01讲 数与式，方程与不等式（测试）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（全国通用）

专题01 数与式、方程与不等式 （限时90分钟，满分120分） 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（2025·河南安阳·模拟预测）的相反数是（   ） A． B．2025 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 2．（2025·山西长治·模拟预测）山西省农业农村厅，山西省水利厅联合印发《全省推进农业节水增效行动方案（2024－2027年）》（简称（方案》起旨在大力推进农业节水，提高农业用水效率，推动农业高质量发展《方案》提出要坚持节水优先方针，到2025年，全省总灌溉面积达到万亩，农业用水总量控制在亿立方米之内．数据“万亩”用科学记数法表示为（   ） A．亩 B．亩 C．亩 D．亩 【答案】A 【分析】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数． 【详解】解：万亩亩． 故选：A． 3．（2025·河南安阳·模拟预测）已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解决此类问题的关键．根据数轴上表示的点的值和根的判别式，判定根的情况有两个不相等实数根． 【详解】解：由数轴看出，， ∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 4．（2025·山西长治·模拟预测）摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出1次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期T（单位：s），周期公式为，其中l（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在内该摆钟发出滴答声的次数约为（   ）（结果保留整数；参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的应用．根据公式求出一个周期，即可求出在内该摆钟发出滴答声的次数． 【详解】解：一个周期， ∵， ∴在内该摆钟发出滴答声的次数约为； 故选：C． 5．（2025·广东佛山·一模）若的整数部分为，小数部分为，则（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，解题的关键是求出、的值．根据的范围，求出的范围，从而确定、的值，代入所求式子计算即可． 【详解】解： 的整数部分为a，小数部分为b， ， 故选：A． 6．（2023·河北衡水·二模）数学课上进行小组合作式学习，老师让小组成员的2号同学写出5个常错的式子，4号同学进行判断，则判断正确的个数是（　　） （1）（×） （2）（×） （3）（×） （4）（√） （5）（×） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：（1），故（1）判断正确； （2）与不属于同类项，不能合并，故（2）判断正确； （3），故（3）判断正确； （4），故（4）判断错误； （5），故（5）判断正确； 则判断正确的有4个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 7．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数a，b，c满足 ，那么的值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值非负性、算术平方根的非负性，由题意得：，据此即可求解； 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， 故选：C 8．（2025·湖南娄底·模拟预测）若不等式组无解，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数，反比例函数的图象和性质，求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，得到关于的不等式，利用反比例函数的图象和性质，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组无解， ∴，，， 令， ∵， ∴反比例函数的图象在第四象限，随着的增大而增大， 当时，， ∴当时，； 故选B． 9．（2024·浙江嘉兴·一模）为美化市容，某广场要在人行雨道上用大小相同的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示，图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推；若所选的图中灰砖有64块，则白砖有（   ）块 A．28 B．30 C．34 D．36 【答案】D 【分析】根据所给图形，依次求出图形中灰砖和白砖的块数，发现规律即可解决问题．本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现灰砖及白砖块数变化的规律是解题的关键． 【详解】由所给图形可知， 第 1 个图形中灰砖块数为：，白砖块数为：， 第 2 个图形中灰砖块数为：，白砖块数为：， 第3个图形中灰砖块数为：，白砖块数为：， 所以第个图形中灰砖块数为块，白砖块数为块， 当时，（舍负）， 则（块）， 即所选的图中灰砖有 64 块，则白砖有 36 块． 故选：D． 10．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知关于的一元二次方程为常数，且，下列说法： ①若，则； ②若，则方程必有一个根为0； ③若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，则关于的一元二次方程有两个不相等的实根； 其中正确的说法有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，以及性质，根据一元二次方程根与判别式的关系以及性质，对选项逐个判断即可． 【详解】解：①若，则是方程的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知，故①正确； ②若，则，即，所以或，所以方程必有一个根为0，故②正确； ③若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，则，当且时，关于x的一元二次方程才有两个不相等的实根，故③错误， 故选：C． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．（2025·陕西西安·一模）比较大小： （填“”“”“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式与有理数的比较大小，熟练掌握实数的取值范围是解题的关键．根据得到，即可比较大小． 【详解】解： ， ， ， ． 故答案为：． 12．（2025·陕西西安·一模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式a，然后利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13．（2024·云南昆明·一模）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，根据根的判别式的意义得到，所以，然后利用降次的方法和整体代入的方法进行计算． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， ∴，，即， ∴ ， 故答案为：． 14．（21-22八年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查异分母分式的加减法，首先通分化为同分母分式，再按照分母不变，把分子相加减的方法计算．已知等式右边两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用多项式相等的条件即可． 【详解】解： ∵ ∴； 化简得：； 所以， 故答案为：3 15．（2025·湖南娄底·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，已知，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系可得和，再根据，得到，代入即可求出c的值． 【详解】解：由题意可得： ，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：6． 16．（2024·陕西西安·模拟预测）如图是我国南宋时期杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数之间的规律．    请仔细观察，填出的展开式中所缺的项： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式及规律型：数字的变化类，解题关键是根据题意，找出字母和系数存在的规律．观察图形可知：杨辉三角，各项是按照a的降幂和b的升幂排列，下一行的系数是上一行相邻两系数的和，按照此规律进行解答即可． 【详解】解：， 故答案为： 三、解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分） 17．（2025·山东临沂·一模）（1）计算： （2）解不等式组并求出它的所有整数解的和． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查特殊角三角函数值的混合运算和解一元一次不等式组， 根据零指数幂、特殊角三角函数值、求一个数的绝对值和负指数幂的运算法则计算即可； 先分别求得各不等式的解，再取两个不等式的解集的公共部分即可，然后确定整数解，求和即可． 【详解】解：（1）原式 （2）解： 解①得， 解②得， 则不等式组的解集为： ∴所有整数解的和为． 18．（2024·内蒙古包头·模拟预测）（1）先化简，再求值：．其中，； （2）解方程：． 【答案】（1），11；（2） 【分析】本题主要考查整式的混合运算和解分式方程，熟练掌握运算法则、正确求解方程是解答本题的关键． （1）根据完全平方公式、单项式乘以多项式运算法则以及合并同类项法则进行运算得到最简结果后，再把的值代入计算即可； （2）方程两边 同乘以，转化为整式方程，求出整式方程的解，再进行验根即可． 【详解】解：（1） ； 当，时，原式； （2）， 方程两边同乘，得，， 去括号，得：， 移项、合并得，， 解得，， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为：． 19．（2025·湖南娄底·模拟预测）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程，先计算括号内分式加法运算，然后将除法转换成乘法进行约分化简，然后解方程，再根据分式有意义的条件选取符合题意的代入求值即可，熟练掌握运算顺序，运算法则，解一元二次方程的方法步骤是解题得关键． 【详解】解： ， 由，解得：，， ∵，即 ∴， ∴原式 ． 20．（2025·江西·模拟预测）一次数学活动课上，江老师要求大家化简，下面是小西和小赣两位同学的运算过程： 小西： 原式 小赣： 原式 (1)小赣第一步的运算依据是______； (2)江老师认为小西和小赣两人都错，现请你写出正确的运算过程； (3)若a，满足，求这个式子的值． 【答案】(1)乘法分配律 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的性质，绝对值的非负性，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）观察小赣同学的解题过程，即可确定运算依据； （2）先算括号内同分母的分式减法，再算除法即可； （3）根据非负性，分别求出a，b的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解：小赣第一步的运算依据是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （2）解：原式 ； （3）解：满足， ，， 原式． 21．（2024·广东广州·三模）已知． (1)化简A； (2)若a、b是方程的两根，求A的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据分式的加减乘除混合运算化简即可； （2）根据a、b是方程的两根，得到，代入求值即可． 本题考查了分式的化简，根与系数关系定理，求代数式的值， 熟练掌握分式的混合运算，根与系数关系定理是解题的关键． 【详解】（1） ． （2）∵a、b是方程的两根， ∴， 故． 22．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知，是抛物线与轴交点的横坐标． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)的值为 【分析】本题考查的是一元二次方程中根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是明确二次函数与x轴的交点是对应一元二次方程的解即可求解本题． （1）根据意义得到，代入题目中的数据求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式将转化为，将代数式代入求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴有两个交点， ∴， 解得：； （2）解：∵，是抛物线与轴交点的横坐标， ∴，， ∴， 解得：（舍去），， ∴的值为． 23．（2025·广西柳州·一模）某店销售某种进价为40元的产品，已知该店按60元出售时，每天可售出，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加． (1)若单价降低2元，则每天的销售量是______千克，若单价降低元，则每天的销售量是______千克；（用含的代数式表示） (2)若该店销售这种产品计划每天获利2160元，单价应降价多少元？ (3)当单价降低多少元时，该店每天的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)； (2)应降价2元或8元 (3)当单价降低5元时，该店每天的利润最大，最大利润是2250元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，列出关系式． （1）根据每天可售出，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加，列出代数式或算式即可； （2）根据每天获利2160元，列出方程，解方程即可； （3）设利润为w元，单价降低元，根据总利润单个的利润销售量，列出二次函数解析式，然后求最大值即可． 【详解】（1）解：若单价降低2元，则每天的销售量是（千克）， 若单价降低元，则每天的销售量是千克； （2）解：设单价应降价元，依题意得： ， 整理得：， 解得，， 答：单价应降价2元或8元； （3）解：设利润为w元，单价降低元， ， ， w有最大值， 当时，w的最大值是2250， 答：当单价降低5元时，该店每天的利润最大，最大利润是2250元． 24．（2025·安徽·模拟预测）数学兴趣小组开展深究活动，研究“能被3整除的数”．指导老师首先提出一个猜想：如果该数的各数位上的数的和能被3整除，那么这个数就一定能被3整除．例：∵，21能被3整除，∴615 432能被3整除． 对于此规律：兴趣小组的两位成员分别针对三位数、四位数进行了证明： （i）星星同学对三位数进行了证明： 设某个三位数上的百位、十位和个位上的数分别是a，b，c． ∵， ∴若能被3整除，则该三位数能被3整除． （ii）宁宁同学对四位数进行了证明： 设某个四位数的千位、百位、十位、个位上的数字分别是a，b，c，d． ∵ ， ∴若能被3整除，则该四位数能被3整除． (1)请写出横线上所缺内容． (2)该兴趣小组继续探索一个四位数能被11整除的条件，证明过程如下： …… 请补充省略部分的推理过程，并写出四位数能被11整除的条件． 【答案】(1)（i），；（ii）， (2)补充证明过程见解析 【分析】本题主要考查了整式加减的应用， (1)仿照题干给定的方法填空即可；仿照题干给定的方法填空即可； (2)仿照题干给定的方法，将表示为的形式，即可得证； 熟练掌握整式加减的运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】（1）解：星星同学对三位数进行了证明： 设某个三位数上的百位、十位和个位上的数分别是a，b，c， ， 若能被3整除，则该三位数能被3整除； 故答案为：，； 宁宁同学对四位数讲行了证明： 设某个四位数的千位、百位、十位、个位上的数字分别是， ∵ ， 故答案为：，， 若能被3整除，则该四位数能被3整除； （2）解：补充推理讨程如下： ， 若能被11整除，则该四位数能被11整除． 25．（2024·安徽安庆·三模）【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空：． （1）第n个图案中，“▲”的个数为______； （2）第1个图案中，“★”的个数可表示为，第2个图案中，“★”的个数可表示为，第3个图案中，“★”的个数可表示为，…，第n个图案中，“★”的个数可表示为______； 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4． 【答案】（1）；（2）；（3）n的值为2或7 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，图形规律，运用代数式表达式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据图形个数的变化规律，得出第n个图案中，“▲”的个数为，即可作答． （2）结合题干条件，直接得出第n个图案中，“★”的个数可表示为； （3）根据条件以及（1），（2）的结论进行列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）观察图形，得出 第1个图案中，“▲”的个数为； 第2个图案中，“▲”的个数为； 第3个图案中，“▲”的个数为； 第4个图案中，“▲”的个数为； 以此类推，得出第n个图案中，“▲”的个数为； （2）第1个图案中，“★”的个数可表示为， 第2个图案中，“★”的个数可表示为， 第3个图案中，“★”的个数可表示为， …， 第n个图案中，“★”的个数可表示为； （3）∵“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4 ∴ ∴ 解得 ∴n的值为2或7 试卷第1页，共3页 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数与式、方程与不等式 （限时90分钟，满分120分） 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（2025·河南安阳·模拟预测）的相反数是（   ） A． B．2025 C． D． 2．（2025·山西长治·模拟预测）山西省农业农村厅，山西省水利厅联合印发《全省推进农业节水增效行动方案（2024－2027年）》（简称（方案》起旨在大力推进农业节水，提高农业用水效率，推动农业高质量发展《方案》提出要坚持节水优先方针，到2025年，全省总灌溉面积达到万亩，农业用水总量控制在亿立方米之内．数据“万亩”用科学记数法表示为（   ） A．亩 B．亩 C．亩 D．亩 3．（2025·河南安阳·模拟预测）已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．（2025·山西长治·模拟预测）摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出1次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期T（单位：s），周期公式为，其中l（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在内该摆钟发出滴答声的次数约为（   ）（结果保留整数；参考数据：） A． B． C． D． 5．（2025·广东佛山·一模）若的整数部分为，小数部分为，则（   ） A．2 B． C．0 D． 6．（2023·河北衡水·二模）数学课上进行小组合作式学习，老师让小组成员的2号同学写出5个常错的式子，4号同学进行判断，则判断正确的个数是（　　） （1）（×） （2）（×） （3）（×） （4）（√） （5）（×） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 7．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数a，b，c满足 ，那么的值为（   ） A．0 B． C． D． 8．（2025·湖南娄底·模拟预测）若不等式组无解，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（2024·浙江嘉兴·一模）为美化市容，某广场要在人行雨道上用大小相同的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示，图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推；若所选的图中灰砖有64块，则白砖有（   ）块 A．28 B．30 C．34 D．36 10．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知关于的一元二次方程为常数，且，下列说法： ①若，则； ②若，则方程必有一个根为0； ③若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，则关于的一元二次方程有两个不相等的实根； 其中正确的说法有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．（2025·陕西西安·一模）比较大小： （填“”“”“”）． 12．（2025·陕西西安·一模）分解因式： ． 13．（2024·云南昆明·一模）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 14．（21-22八年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知，则 ． 15．（2025·湖南娄底·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，已知，则 ． 16．（2024·陕西西安·模拟预测）如图是我国南宋时期杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数之间的规律．    请仔细观察，填出的展开式中所缺的项： ． 三、解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分） 17．（2025·山东临沂·一模）（1）计算： （2）解不等式组并求出它的所有整数解的和． 18．（2024·内蒙古包头·模拟预测）（1）先化简，再求值：．其中，； （2）解方程：． 19．（2025·湖南娄底·模拟预测）先化简，再求值：，其中满足． 20．（2025·江西·模拟预测）一次数学活动课上，江老师要求大家化简，下面是小西和小赣两位同学的运算过程： 小西：原式 小赣：原式 (1)小赣第一步的运算依据是______； (2)江老师认为小西和小赣两人都错，现请你写出正确的运算过程； (3)若a，满足，求这个式子的值． 21．（2024·广东广州·三模）已知． (1)化简A； (2)若a、b是方程的两根，求A的值． 22．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知，是抛物线与轴交点的横坐标． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 23．（2025·广西柳州·一模）某店销售某种进价为40元的产品，已知该店按60元出售时，每天可售出，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加． (1)若单价降低2元，则每天的销售量是______千克，若单价降低元，则每天的销售量是______千克；（用含的代数式表示） (2)若该店销售这种产品计划每天获利2160元，单价应降价多少元？ (3)当单价降低多少元时，该店每天的利润最大，最大利润是多少元？ 24．（2025·安徽·模拟预测）数学兴趣小组开展深究活动，研究“能被3整除的数”．指导老师首先提出一个猜想：如果该数的各数位上的数的和能被3整除，那么这个数就一定能被3整除．例：∵，21能被3整除，∴615 432能被3整除． 对于此规律：兴趣小组的两位成员分别针对三位数、四位数进行了证明： （i）星星同学对三位数进行了证明：设某个三位数上的百位、十位和个位上的数分别是a，b，c． ∵，∴若能被3整除，则该三位数能被3整除． （ii）宁宁同学对四位数进行了证明： 设某个四位数的千位、百位、十位、个位上的数字分别是a，b，c，d． ∵， ∴若能被3整除，则该四位数能被3整除． (1)请写出横线上所缺内容． (2)该兴趣小组继续探索一个四位数能被11整除的条件，证明过程如下： …… 请补充省略部分的推理过程，并写出四位数能被11整除的条件． 25．（2024·安徽安庆·三模）【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空：． （1）第n个图案中，“▲”的个数为______； （2）第1个图案中，“★”的个数可表示为，第2个图案中，“★”的个数可表示为，第3个图案中，“★”的个数可表示为，…，第n个图案中，“★”的个数可表示为______； 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4． 试卷第1页，共3页 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$