专题09 排列组合与二项式定理-2025年高考数学二轮复习核心考点聚焦与强化（新高考全国卷)

专题09 排列组合与二项式定理 二轮复习核心考点聚焦与强化 专题09 排列组合与二项式定理 一、关键知识： 1．排列组合问题的一些解题技巧 （1）特殊元素优先安排． （2）合理分类与准确分步． （3）排列、组合混合问题先选后排． （4）相邻问题捆绑处理． （5）不相邻问题插空处理． （6）定序问题除法处理． （7）分排问题直排处理． （8）“小集团”排列问题先整体后局部． （9）构造模型． （10）正难则反、等价转化． 2．排列、组合问题几大解题方法： （1）直接法． （2）排除法． （3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”． （4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”． （5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则． （6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法． （7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有． （8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题． （9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有． （10）指定元素排列组合问题： ①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合． ②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合． ③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合． 3．二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(r＝0，1，2，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．式中的Can－rbr叫做二项式展开式的第r＋1项(通项)，用Tr＋1表示，即展开式的第r＋1项；Tr＋1＝Can－rbr． 二、聚焦高考： 二项展开基本定理，还会涉及到三项展开，考查特定项、特定项的系数、二项式系数，同时会涉及到赋值法的应用.排列组合 常以现实生活、社会热点为载体．多为小题． 1．（2022全国II）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 2．（2023全国I）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 3．（2022全国I）的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 4．（2021全国II）设正整数，其中，记．则（    ） A． B． C． D． 三、考点精炼： 考点一：排列（队）问题 1．（多选）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有　　 A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法 D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法 2．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有　　 A．1440种 B．960种 C．720种 D．480种 3．已知3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若女生甲不站两端，3位男生中有且只有两位男生相邻，则不同排法的种数是　　 A．360 B．288 C．216 D．96 4．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是　　 A．168 B．20160 C．840 D．560 5．高三一班里七名身高不同的女生拍毕业照，摄影师要求她们排成一排, 身高由矮到高,再由高到矮(最高的女生站在正中间).这七位女生的排队姿态有________种. 6．某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有（ ） A．120种 B．80种 C．20种 D．48种 7．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________. 8．如图所示，某货场有三堆集装箱，每堆2个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是____________（用数字作答）. 考点二：分配问题 1．将名大学生被分配到所学校实习，每所学校至少分配一名大学生，则不同的分配方案有（ ） A． B． C． D． 2．将5名教师分配到甲、乙、丙三所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它两所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有几种（ ） A．60 B．80 C．150 D．360 3．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院，医生乙只能分配到医院或医院，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( ) A．18种 B．20种 C．22种 D．24种 4．将名医生和名护士被分配到所学校为学生体检，每校分配名医生和名护士，不同的分配方法共有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 5．把名新生分到甲、乙、丙、丁四个班，每个班至多分配名且甲班必须分配名，则不同的分配方法有 （ ） A．种 B．种 C．种 D．种 6．安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答） 7．北京某大学为第十八届四中全会招募了名志愿者（编号分别是，，，号），现从中任意选取人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保号、号与号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ） A． B． C． D． 8．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ） A．每人都安排一项工作的不同方法数为54 B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为 C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 9.学校决定把12个参观航天航空博物馆的名额给二（1）、二（2）、二（3）、二（4）四个班级. 要求每个班分得的名额不比班级序号少；即二(1)班至少1个名额, 二(2)班至少2个名额，…… ，则分配方案有(　　) A．10种 B．6种 C．165种 D．495种 10.将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3个学校，要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为(　　) A．96 B．114 C．128 D．136 考点三：二项式求特定项 1.在的展开式中，的系数为（ ）． A. -5 B. 5 C. -10 D. 10 2． 的展开式中常数项是__________（用数字作答）． 3.设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为（ ） （A）－15x4 （B）15x4 （C）－20i x4 （D）20i x4 4．的展开式中第6项的二项式系数最大，则n可以为 ． 5．二项式的展开式中的系数是，则（ ） A． B．1 C． D． 6.二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为(　　) A．3 B．5 C．6 D．7 7．的展开式中的系数为___________.（用数字作答） 8．在的展开式中，与项的系数和为___________.（结果用数值表示） 9．（1+2x2 )(1+x)4的展开式中x3的系数为（ ） A．12 B．16 C．20 D．24 10．的展开式中，项的系数是___________.（用数字作答） 11．对任意实数，有，则（ ） A．6 B．7 C．8 D．10 12．若，则（ ） A． B． C． D． 考点四：二项式求各项系数之和 1. 的展开式的各项系数的和为________． 2.二项式的展开式中，奇数项的系数和为___________（用数字表示结果）. 3.(2x－1)10的展开式中x的奇次幂项的系数之和为______． 4.已知的展开式中，第3项与第11项的二项式系数相等，则二项式系数和是（ ） A． B． C． D． 5.已知(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＋a6＝________. 6.若多，则 ． 7．设，则＝________. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 9.若二项式展开式中所有项系数的绝对值的和为，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A． B． C． D． 10.若，则等于（ ） A． B． C． D． 11．若二项式的展开式中二项式系数和为64，则该二项展开式的常数项的值为______． 12.已知的展开式中所有项的系数和为，则的系数为 ． 四、强化训练： 题组一：排列（队）问题 1．五个人并排站在一排，如果甲必须站在乙的右边(甲乙可不相邻)，则不同的排法有_______种. 2．已知10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为　　 A． B． C． D． 3．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有　　 A． B． C． D． 4．2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对8列电煤货运列车进行编组调度，决定将这8列列车编成两组，每组4列，且甲、乙两列列车不在同一小组，甲列车第一个开出，乙列车最后一个开出．如果甲所在小组4列列车先开出，那么这8列列车先后不同的发车顺序共有　　 A．36种 B．108种 C．216种 D．720种 5．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）． 6．某班级晚会由6个节目组成，班主任规定演出顺序如下：节目甲、乙、丙必须一个排在第一位，一个排在第三位，一个排在第五位，其余节目由班长预先排好顺序，则该台晚会节目演出顺序的编排方案的种数为（ ） A．36 B．30 C．6 D．24 7．某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，又工程丁必须在丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同的排法种数是____. 8．某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有___________种不同的答题顺序. 题组二：分配问题 1．学校安排5名学生到3家公司实习，要求每个公司至少有1名学生，则有 种不同的排法. 2．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）； 3．将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有_________种．（用数字作答） 4．将4名大学生分配到A、B、C三个乡镇去当村官，每个乡镇至少分配一名，则大学生甲分配到乡镇A的概率为 （用数字作答） 5．某公司将5名员工分配至3个不同的部门，每个部门至少分配一名员工，其中甲、乙两名员工必须分配在同一个部门的不同分配方法数为（ ） A．24 B．30 C．36 D．42 6．我省5名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情现把专家全部分配到A，B，C三个集中医疗点，每个医疗点至少要分配1人，其中甲专家不去A医疗点，则不同分配种数为（ ） A．116 B．100 C．124 D．90 7．将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A、B、C、D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则共有分配方案的种数为（ ） A．10 B．12 C．14 D．24 8．在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为 ． 9．把9个完全相同的口罩分给6名同学，每人至少一个，不同的分法有（ ）种 A．41 B．56 C．156 D．252 10．2020年高考强基计划中，北京大学给了我校10个推荐名额，现准备将这10个推荐名额分配给高三理科的6个班级，这6个班级每班至少要给一个名额，则关于分配方案的种数为（ ） A．462 B．126 C．210 D．132 题组三：二项式求特定项 1. 的展开式中的第7项为（ ） A．3546 B．5437 C．4532 D．5376 2.展开式中的常数项为（ ） A．90 B．20 C．540 D．600 3.在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答） 4. 的展开式中,x3的系数是 .（用数字填写答案） 5. 的展开式中x2的系数为__________.(用数字作答) 6．在的二项展开式中，第三项的系数为___________（用数值作答）. 7．展开式中的系数为，则___________. 8．若的二项展开式中有一项为，则（ ） A． B．60 C． D．90 9.展开式中含项的系数为（ ） A． B． C． D． 10．展开式中的系数为（ ） A．-5 B．5 C．15 D．30 11．已知多项式，则________． 12．已知，则_____________． 题组四：二项式求各项系数之和 1．设，则等于（ ） A． B． C． D． 2．在n的展开式中，所有奇数项系数之和为1024，则中间项系数是（ ） A．330 B．462 C．682 D．792 3．若的展开式中所有项的系数之和为1024，则该展开式中的常数项是___________. 4.已知(2x－1)n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则＋＋＋…＋的值为（ ） A．28 B．28－1 C．27 D．27－1 5．设(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6等于（ ） A．4 B．－71 C．64 D．199 6．若，则____________. 7. 已知多项式，则_____，______. 8．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________． 9．已知，则的值为_____________． 10．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)的值为_______. 11．在的二项式中所有项的二项式系数之和为，则常数项等于__________. 12．已知展开式各项系数之和为，则展开式中第项的二项式系数是________. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$专题09 排列组合与二项式定理 二轮复习核心考点聚焦与强化 专题09 排列组合与二项式定理 一、关键知识： 1．排列组合问题的一些解题技巧 （1）特殊元素优先安排． （2）合理分类与准确分步． （3）排列、组合混合问题先选后排． （4）相邻问题捆绑处理． （5）不相邻问题插空处理． （6）定序问题除法处理． （7）分排问题直排处理． （8）“小集团”排列问题先整体后局部． （9）构造模型． （10）正难则反、等价转化． 2．排列、组合问题几大解题方法： （1）直接法． （2）排除法． （3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”． （4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”． （5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则． （6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法． （7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有． （8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题． （9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有． （10）指定元素排列组合问题： ①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合． ②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合． ③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合． 3．二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(r＝0，1，2，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．式中的Can－rbr叫做二项式展开式的第r＋1项(通项)，用Tr＋1表示，即展开式的第r＋1项；Tr＋1＝Can－rbr． 二、聚焦高考： 二项展开基本定理，还会涉及到三项展开，考查特定项、特定项的系数、二项式系数，同时会涉及到赋值法的应用.排列组合 常以现实生活、社会热点为载体．多为小题． 1．（2022全国II）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，故选：B 2．（2023全国I）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 【答案】64 【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 3．（2022全国I）的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 【答案】-28 【详解】因为，所以的展开式中含的项为，的展开式中的系数为-28.故答案为：-28 4．（2021全国II）设正整数，其中，记．则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A选项，，， 所以，，A选项正确； 对于B选项，取，，， 而，则，即，B选项错误； 对于C选项，， 所以，， ， 所以，，因此，，C选项正确； 对于D选项，，故，D选项正确. 故选：ACD. 三、考点精炼： 考点一：排列（队）问题 1．（多选）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有　　 A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法 D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法 【答案】CD 【解析】中，中，中，中． 综上可得：正确．故选：． 2．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有　　 A．1440种 B．960种 C．720种 D．480种 【答案】B 【解析】可分3步． 第一步，排两端，从5名志愿者中选2名有种排法， 第二步，位老人相邻，把2个老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有种排法 第三步，2名老人之间的排列，有种排法 最后，三步方法数相乘，共有种排法.故选：． 3．已知3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若女生甲不站两端，3位男生中有且只有两位男生相邻，则不同排法的种数是　　 A．360 B．288 C．216 D．96 【答案】B 【解析】先考虑3位男生中有且只有两位相邻的排列共有种，在3男生中有且仅有两位相邻且女生甲在两端的排列有种，不同的排列方法共有种，故选：． 4．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是　　 A．168 B．20160 C．840 D．560 【答案】C 【解析】从后排8人中选2人共种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法， 则不同调整方法的种数是．故选：． 5．高三一班里七名身高不同的女生拍毕业照，摄影师要求她们排成一排, 身高由矮到高,再由高到矮(最高的女生站在正中间).这七位女生的排队姿态有________种. 【答案】20 【详解】由题意可知，当最高的女生站在正中间，此时只需要排好左右两边，第一步：先排左边，有种排法，第二步：再排右边，此时另外三人按从高到低排列，只有种排法，所以总的排法数为：种.故答案为. 6．某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有（ ） A．120种 B．80种 C．20种 D．48种 【答案】C 【详解】在5个位置中选两个安排其它两个节目，还有三个位置按顺序放入甲、乙、丙，方法数为．故选：C． 7．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________. 【答案】12600 【详解】问题等价于编号为的10个小球排列，其中号，号，号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是. 8．如图所示，某货场有三堆集装箱，每堆2个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是____________（用数字作答）. 【解析】因为有六个集装箱，需要全部装运，共有种取法，又因为每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，由排列中的定序问题，可知不同的取法有种.故答案为：90. 考点二：分配问题 1．将名大学生被分配到所学校实习，每所学校至少分配一名大学生，则不同的分配方案有（ ） A． B． C． D． 【解析】将人分为人、人、人的三组，共有：种分法，将三组安排到所学校共有种分法，由分步乘法计数原理可得：不同的分配方案有种.故选：. 2．将5名教师分配到甲、乙、丙三所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它两所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有几种（ ） A．60 B．80 C．150 D．360 【解析】分成甲校分配名教师和名教师两种情况：甲校分配名教师时，共有：种分配方案，甲校分配名教师时，共有：种分配方案，不同的分配方案共有：种 本题正确选项： 3．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院，医生乙只能分配到医院或医院，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( ) A．18种 B．20种 C．22种 D．24种 【解析】根据医院A的情况分两类：第一类：若医院A只分配1人，则乙必在医院B，当医院B只有1人，则共有种不同分配方案，当医院B有2人，则共有种不同分配方案，所以当医院A只分配1人时，共有种不同分配方案；第二类：若医院A分配2人，当乙在医院A时，共有种不同分配方案，当乙不在A医院，在B医院时，共有种不同分配方案，所以当医院A分配2人时，共有种不同分配方案；共有20种不同分配方案.故选：B 4．将名医生和名护士被分配到所学校为学生体检，每校分配名医生和名护士，不同的分配方法共有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【解析】分两个步骤：先分配医生有种方法，再分配护士有，由分步计数原理可得：，应选答案：D． 5．把名新生分到甲、乙、丙、丁四个班，每个班至多分配名且甲班必须分配名，则不同的分配方法有 （ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【解析】根据题意，分2步进行分析：①由于每个班至多分配1名且甲班必须分配1名，先在3名新生中任选一人，安排到甲班，有种情况，②在剩下的3个班级中任选2个,安排剩下的2名新生,有种情况，则有3×6=18种不同的分配方法；本题选择C选项. 6．安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答） 【解析】按3人分到3所不同学校和3人分到2所不同学校分类，共有种. 7．北京某大学为第十八届四中全会招募了名志愿者（编号分别是，，，号），现从中任意选取人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保号、号与号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ） A． B． C． D． 【解析】号、号与号放在一组，则其余三个编号要么都比6小，要么都比24大，比6 小时，有种选法，都比24大时，有种选法，合计30种选法，号、号与在选厅时有两种选法，所以选取的种数共有种，故正确选项为C. 8．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ） A．每人都安排一项工作的不同方法数为54 B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为 C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 【解析】①每人都安排一项工作的不同方法数为，即选项错误， ②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为，即选项B错误， ③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（），即选项C错误， ④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有 ,从余下四人中安排三个岗位，故有；第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有 ,从余下三人中安排三个岗位，故有；所以每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是，即选项D正确，故选：D． 9.学校决定把12个参观航天航空博物馆的名额给二（1）、二（2）、二（3）、二（4）四个班级. 要求每个班分得的名额不比班级序号少；即二(1)班至少1个名额, 二(2)班至少2个名额，…… ，则分配方案有(　　) A．10种 B．6种 C．165种 D．495种 【解析】根据题意，先在编号为2、3、4的3个班级中分别分配1、2、3个名额，编号为1的班级里不分配；再将剩下的6个名额分配4个班级里，每个班级里至少一个，分析可得，共 种放法，即可得符合题目要求的放法共10种，故答案为A 10.将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3个学校，要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为(　　) A．96 B．114 C．128 D．136 【解析】不同的名额分配方法为（1，2，15），（1，3，14），…,（1，8，9）；（2，3，13），（2，4，12），…,（2，7，9）；…,(5,6,7)，共种方法，再对应分配给学校有,选B. 考点三：二项式求特定项 1.在的展开式中，的系数为（ ）． A. -5 B. 5 C. -10 D. 10 【答案】C 【解析】展开式的通项公式为：，令可得：，则的系数为：. 2． 的展开式中常数项是__________（用数字作答）． 【答案】240 【解析】二项式展开通项： 当，解得,的展开式中常数项是：. 3.设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为（ ） （A）－15x4 （B）15x4 （C）－20i x4 （D）20i x4 【答案】A 【解析】二项式展开的通项，令，得，则展开式中含的项为，故选A. 4．的展开式中第6项的二项式系数最大，则n可以为______． 【答案】，10，11 【详解】由二项式系数性质知，当是偶数时，第项的二项式系数最大，，，当是奇数时，第项和第项的二项式系数相等且最大，　，解得或．故答案为：9，10，11． 5．二项式的展开式中的系数是，则（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】可以看作8个因式的乘积，根据多项式乘法法则，展开式中项需要从8个因式中取7个和1个相乘得到，所以由排列组合的知识有展开式中的系数，解得，故选：B. 6.二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为(　　) A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】　D 【解析】　根据的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，所以的展开式的通项为Tr＋1＝C·(x)20－r·＝()20－r·C·x20－，要使x的指数是整数，需r是3的倍数，所以r＝0，3，6，9，12，15，18，所以x的指数是整数的项共有7项． 7．的展开式中的系数为___________.（用数字作答） 【答案】【详解】的系数为.故答案为： 8．在的展开式中，与项的系数和为___________.（结果用数值表示） 【答案】【详解】因为展开式的通项公式为，所以的展开式中的系数为，项的系数为，即与项的系数和为． 9．（1+2x2 )(1+x)4的展开式中x3的系数为（ ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【解析】由题意得x3的系数为，故选A． 10．的展开式中，项的系数是___________.（用数字作答） 【答案】65【详解】由题意，的展开式的通项，令，得，得；令，得，得.故的展开式中，项的系数为.故答案为：65 11．对任意实数，有，则（ ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】C 【详解】，因此，故选：C 12．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，因为 所以，所以，故选：D 考点四：二项式求各项系数之和 1. 的展开式的各项系数的和为________． 【答案】 【详解】令可得：，所以的展开式的各项系数的和为，故答案为：. 2.二项式的展开式中，奇数项的系数和为___________（用数字表示结果）. 【答案】 【详解】由题意，二项式的展开式为,令，则，令，则，两式相加，可得，所以.故答案为：. 3.(2x－1)10的展开式中x的奇次幂项的系数之和为______． 【答案】 【详解】设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，令x＝－1，得310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10，两式相减，可得a1＋a3＋…＋a9＝.故答案为：. 4.已知的展开式中，第3项与第11项的二项式系数相等，则二项式系数和是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的展开式中，第3项与第11项的二项式系数相等，即，所以， 所以二项式系数和是.故选：A. 5.已知(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＋a6＝________. 【答案】－8128 【详解】在所给的等式中，令x＝1可得a0＋a1＋a2＋＋a7＝27，①,再令x＝－1可得a0－a1＋a2－a3＋－a7＝(－4)7，②,把①②相加可得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝27＋(－4)7，所以 6.若多，则 ． 【答案】29 【详解】方法一：,令则，，所以 方法二： 令则， , ，令，则，． 7．设，则＝________. 【答案】 【详解】令可得，令可得， 两式相减可得，两式相加，得，所以， 故答案为：. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】令，可得，则，二项式的展开式通项为，则.当为奇数时，，当为偶数时，，因此，.故选：A. 9.若二项式展开式中所有项系数的绝对值的和为，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，可得展开式中系数的绝对值的和为，解得．展开式有项， 二项式展开式中二项式系数最大的为第项，.故选． 10.若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知条件可知为展开式中的系数，则 =....故选：C. 11．若二项式的展开式中二项式系数和为64，则该二项展开式的常数项的值为______． 【答案】240 【详解】展开式的二项式系数和为，解得，故展开式中第项为：，．令，得，所以展开式中的常数项为．故答案为：240. 12.已知的展开式中所有项的系数和为，则的系数为 ． 【答案】 【详解】令，则，解得：，， 展开式的通项公式为：； 展开式通项公式为， 当，时，展开式中的项为；当，时，展开式中的项为； 的系数为.故答案为：. 四、强化训练： 题组一：排列（队）问题 1．五个人并排站在一排，如果甲必须站在乙的右边(甲乙可不相邻)，则不同的排法有_______种. 【解析】五个人并排站在一排，共有种，其中甲、乙两人共有种顺序，各占一半，所以甲必须站在乙的右边(甲乙可不相邻)的不同的排法有种，故答案为：60 2．已知10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，首先从后排的7人中选出2人，有种结果，再把两个人在5个位置中选2个位置进行排列有，不同的调整方法有，故选：． 3．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先把每种品种的画看成一个整体，而水彩画只能放在中间，则油画与国画放在两端有种放法， 再考虑4幅油画本身排放有种方法，5幅国画本身排放有种方法，故不同的陈列法有种，故选：． 4．2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对8列电煤货运列车进行编组调度，决定将这8列列车编成两组，每组4列，且甲、乙两列列车不在同一小组，甲列车第一个开出，乙列车最后一个开出．如果甲所在小组4列列车先开出，那么这8列列车先后不同的发车顺序共有　　 A．36种 B．108种 C．216种 D．720种 【答案】D 【解析】由于甲、乙两列列车不在同一小组，因此，先将剩下的6人平均分组有，再将两组分别按要求排序，各有种，因此，这8列列车先后不同的发车顺序共有种．故选：． 5．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）． 【答案】 【解析】由题意知本题是一个古典概型，总事件数是8本书全排列有种方法，而符合条件的事件数要分为二步完成：首先两套中任取一套，作全排列，有种方法；剩下的一套全排列，有种方法；概率为：，故答案为：． 6．某班级晚会由6个节目组成，班主任规定演出顺序如下：节目甲、乙、丙必须一个排在第一位，一个排在第三位，一个排在第五位，其余节目由班长预先排好顺序，则该台晚会节目演出顺序的编排方案的种数为（ ） A．36 B．30 C．6 D．24 【答案】C 【详解】因为节目甲、乙、丙必须一个排在第一位，一个排在第三位，一个排在第五位，所以节目甲、乙、丙有种排法，又因其余节目由班长预先排好顺序，则其余节目的顺序已经排好，所以该台晚会节目演出顺序的编排方案的种数为6种.故选C. 7．某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，又工程丁必须在丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同的排法种数是____. 【解析】因为工程丁必须在丙完成后立即进行，等价于丙丁看成一个元素，共五个元素进行排序，共有种，其中3个元素共有种顺序，所以安排这6项工程的不同的排法种数是种，故答案为：20 8．某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有___________种不同的答题顺序. 【答案】60 【详解】将6只灯笼全排，即，因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定，取谜题的方法有.故答案为：60. 题组二：分配问题 1．学校安排5名学生到3家公司实习，要求每个公司至少有1名学生，则有 种不同的排法. 【解析】分2步进行分析：①先将5名学生分成3组，若分成1、1、3的三组，有种分组方法，若分成1、2、2的三组，有种分组方法，则有种分组方法；②再将分好的三组全排列，对应三个公司，有种情况，则有种不同的安排方式.故答案为：150. 2．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）； 【解析】先选三个不同场馆中只去一名志愿者，共有种选法；剩下的两个场馆只需各取两名志愿者，共有种选法，由乘法原理得分配方案有种． 3．将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有_________种．（用数字作答） 【解析】若甲校2人，乙、丙、丁其中一校2人，共有种，若甲校3人，乙、丙、丁每校1人，共有则不同的分配方案共有+种，故答案为660. 4．将4名大学生分配到A、B、C三个乡镇去当村官，每个乡镇至少分配一名，则大学生甲分配到乡镇A的概率为 （用数字作答） 【解析】将4名大学生分配到A、B、C三个乡镇去当村官，每个乡镇至少分配一名的事件个数为，每个乡镇至少分配一名，大学生甲分配到乡镇A的个数是,所以概率是. 5．某公司将5名员工分配至3个不同的部门，每个部门至少分配一名员工，其中甲、乙两名员工必须分配在同一个部门的不同分配方法数为（ ） A．24 B．30 C．36 D．42 【解析】如果5人分成1,1,3三组，则分配方法有： 种，如果5人分成1,2,2三组，则分配方法有： 种，由加法原理可得：不同分配方法数为种.本题选择C选项. 6．我省5名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情现把专家全部分配到A，B，C三个集中医疗点，每个医疗点至少要分配1人，其中甲专家不去A医疗点，则不同分配种数为（ ） A．116 B．100 C．124 D．90 【解析】根据已知条件，完成这件事情可分2步进行：第一步：将5名医学专家分为3组①若分为3,1,1的三组，有种分组方法；②若分为2,2,1的三组，有种分组方法，故有种分组方法．第二步：将分好的三组分别派到三个医疗点，甲专家不去医疗点，可分配到医疗点中的一个，有种分配方法，再将剩余的2组分配到其余的2个医疗点，有种分配方法，则有种分配方法．根据分步计数原理，共有种分配方法．故选：B． 7．将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A、B、C、D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则共有分配方案的种数为（ ） A．10 B．12 C．14 D．24 【解析】将分配方案分为甲分配到班和甲不分配到班两种情况：①甲分配到班：有种分配方案；②甲不分配到班：有种分配方案；由分类加法计数原理可得：共有种分配方案.故选：. 8．在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为 ． 【解析】甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，①当有二所医院分2人另一所医院分1人时，总数有种，其中有、甲乙二人或丙丁二人在同一组有种；②有二所医院分1人另一所医院分3人.有种.故满足条件的分法共有种. 9．把9个完全相同的口罩分给6名同学，每人至少一个，不同的分法有（ ）种 A．41 B．56 C．156 D．252 【解析】问题可转化为将9个完全相同的口罩排成一列，再分成6堆，每堆至少一个，求其方法数． 事实上，只需在上述9个完全相同的口罩所产生的8个“空档”中选出5个“空档”插入档板， 即产生符合要求的方法数．故有种．故选：B 10．2020年高考强基计划中，北京大学给了我校10个推荐名额，现准备将这10个推荐名额分配给高三理科的6个班级，这6个班级每班至少要给一个名额，则关于分配方案的种数为（ ） A．462 B．126 C．210 D．132 【解析】将10个名额分为6份，即从9个分段中选择5个段分开，且不分顺序，共有种方案.故选：B. 题组三：二项式求特定项 1. 的展开式中的第7项为（ ） A．3546 B．5437 C．4532 D．5376 【答案】D 【详解】，故选：D. 2.展开式中的常数项为（ ） A．90 B．20 C．540 D．600 【答案】C 【详解】由二项式的展开式的通项为．当时，可得，所以展开式中的常数项为．故选：C 3.在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答） 【答案】60. 【解析】根据二项展开的通项公式可知，的系数为。 4. 的展开式中,x3的系数是 .（用数字填写答案） 【答案】10 【解析】展开式通项为(，1，2，…，5)，令得，所以的系数是. 5. 的展开式中x2的系数为__________.(用数字作答) 【答案】－56【解析】展开式通项为，令，，所以的．故答案为－56． 6．在的二项展开式中，第三项的系数为___________（用数值作答）. 【答案】60【详解】由题意，故第三项的系数为60,故答案为：60 7．展开式中的系数为，则___________. 【答案】【详解】的展开式通项为，令，可得，所以，，解得.故答案为：. 8．若的二项展开式中有一项为，则（ ） A． B．60 C． D．90 【答案】B【详解】展开式通项，令，解得，所以．故选B. 9.展开式中含项的系数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】因，于是得展开式中的二次为，所以展开式中含项的系数为9.故选：D 10．展开式中的系数为（ ） A．-5 B．5 C．15 D．30 【答案】A【详解】由二项式的通项公式为，当时，的系数为；当时，的系数为，可得展开式中项为，所以的系数为.故选A. 11．已知多项式，则________． 【答案】 【详解】由题意，为的系数，和的展开式中都包含项,故,故故答案为： 12．已知，则_____________． 【答案】180 【详解】因为，其展开式的通项公式为， 令，则，故答案为为：180. 题组四：二项式求各项系数之和 1．设，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由,结合二项展开式的形式，可得.故选：A. 2．在n的展开式中，所有奇数项系数之和为1024，则中间项系数是（ ） A．330 B．462 C．682 D．792 【答案】B 【详解】∵二项展开式中所有项的二项式系数之和为2n，而所有偶数项的二项式系数之和与所有奇数项的二项式系数之和相等，故由题意得2n－1＝1 024，∴n＝11，∴展开式共12项，中间项为第6项、第7项，其系数为C＝C＝462. 3．若的展开式中所有项的系数之和为1024，则该展开式中的常数项是___________. 【答案】. 【详解】令，则的展开式中所有项的系数之和为，由题意可得，即，所以，而的展开式的通项公式为，令，则，所以该展开式中的常数项是，故答案为：. 4.已知(2x－1)n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则＋＋＋…＋的值为（ ） A．28 B．28－1 C．27 D．27－1 【答案】B 【详解】设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.则A＝a1＋a3＋a5＋，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋.由已知可知：B－A＝38,令x＝－1，得：a0－a1＋a2－a3＋＋an(－1)n＝(－3)n，即：(a0＋a2＋a4＋a6＋)－(a1＋a3＋a5＋a7＋)＝(－3)n，即：B－A＝(－3)n，∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8，由二项式系数性质可得：＋＋＋＋.故选；B. 5．设(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6等于（ ） A．4 B．－71 C．64 D．199 【答案】C 【详解】∵(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，令x＝0，∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝26＝64.故选：C. 6．若，则____________. 【答案】80 【详解】令，则，令，则，于是. 故答案为： 7. 已知多项式，则_____，______. 【答案】 ①. ; ②. . 【详解】， ，所以，，所以.故答案为：. 8．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________． 【答案】－256 【详解】令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32， 两式相加可得2(a0＋a2＋a4)＝32，两式相减可得2(a1＋a3＋a5)＝－32，则a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5＝－16，所以(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256.故答案为：－256 9．已知，则的值为_____________． 【答案】41 【详解】因为，令，则，①，令，则，②， 两式相加得，所以.故答案为：41. 10．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)的值为_______. 【答案】7 【详解】令x＝－1，∴28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12.令x＝－3，∴0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12， ∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)，∴a1＋a3＋…＋a11＝27，∴log2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7.故答案为：7. 11．在的二项式中所有项的二项式系数之和为，则常数项等于__________. 【答案】7 【详解】由已知得，解得 的展开式的通项公式为，令，得. 故常数项为.故答案为：7. 12．已知展开式各项系数之和为，则展开式中第项的二项式系数是________. 【答案】15 【详解】取代入二项式得，解得,第项的二项式系数为．故答案为：15 21 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$