专题01 排列组合全题型与技巧归纳（12大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第三册）

专题01 排列组合全题型与技巧归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 特殊元素、特殊位置法】 3 【题型二 捆绑法】 3 【题型三 插空法】 4 【题型四 捆绑法结合插空法】 5 【题型五 间接法】 5 【题型六 倍缩法（定序问题）】 6 【题型七 排数问题】 7 【题型八 相邻与不相邻问题】 7 【题型九 平均分组和部分平均分组分配问题】 8 【题型十 不平均分组分配问题】 9 【题型十一 染色问题】 9 【题型十二 多面手问题】 11 压轴能力测评（25题） 11 一、排列组合中常见问题及其技巧 1.对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法． 2.对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法 3.定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法． 4.分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配． (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种： ①完全均匀分组，每组元素的个数都相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (2)分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种： ①相同元素的分配问题，常用“挡板法”； ②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配； ③有限制条件的分配问题，采用分类求解． 5.涂色问题常用方法 （1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域涂色问题的基本方法； （2）根据共用了多少种颜色，分别计算出各种情形的种数，再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种数； （3）根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，再利用分类计数原理求出不同涂色方法种数. 二、方法技巧分类 ①特殊元素（位置）法 对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑，位置优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用的方法。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。 ②捆绑法 捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉. ③插空法 插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求. ④倍缩法 部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为定序（排列）问题．定序问题可以用倍缩法. ⑤排数问题 对于有限制条件的数字排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意隐含条件：0不能在首位. ⑥分组、分配问题 ①整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． ②局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数． ③不等分问题，只需先分组，后排列，分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． ⑦涂色问题 解决涂色问题的一般思路 (1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析． (2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析． (3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题 【题型一 特殊元素、特殊位置法】 一、单选题 1．（23-24高二下·北京海淀·期末）将分别写有2，0，2，4的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏常州·期末）某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二·全国·专题练习）5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为（    ） A．18 B．36 C．48 D．60 4．（24-25高二上·重庆北碚·期末）某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有（   ）种. A．18 B．24 C．27 D．64 5．（2025高二·全国·专题练习）中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了40枚金牌的辉煌成绩.某视频自媒体平台选出关注度比较高的等10名金牌获得者，再从中选出6名，准备连续6天分别向观众介绍，且每天只介绍1名，则必须介绍且在前3天介绍，至少选2名进行介绍的所有方法种数为（    ） A．720 B．1680 C．4320 D．5040 6．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）五一小长假期间，旅游公司决定从5辆旅游大巴中选出4辆分别开往紫蒙湖､美林谷､黄岗梁､乌兰布统四个学区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每辆大巴只开往一个景区，且这5辆大巴中不去乌兰布统，则不同的选择方案共有（    ） A．36 B．96 C．72 D．68 【题型二 捆绑法】 一、单选题 1．（24-25高二上·江西南昌·期末）现有6位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建泉州·阶段练习）七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲､乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有（   ） A．96种 B．120种 C．192种 D．240种 3．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）把5名同学的数学作业摆放成一排展示，要求甲、乙两同学的作业相邻展示，甲、丙两同学的作业不相邻展示，则不同的摆放种数是（    ） A．18 B．24 C．36 D．48 4．（24-25高二下·全国·课后作业）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（    ） A．240种 B．188种 C．144种 D．120种 5．（2024高二·全国·专题练习）2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（   ） A．1440种 B．1360种 C．1282种 D．1128种 【题型三 插空法】 一、单选题 1．（24-25高二上·辽宁·期末）国庆期间，中华世纪坛举办“传奇之旅：马可•波罗与丝绸之路上的世界”展览，现有8个同学站成一排进行游览参观，若将甲、乙、丙3个同学新加入排列，且甲、乙、丙互不相邻，保持原来8个同学顺序不变，则不同的方法种数为（   ） A．84 B．120 C．504 D．720 2．（24-25高二上·福建漳州·期末）据典籍《周礼·春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.若把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，则“宫”和“角”之间恰好有一个音阶的排法种数为（   ） A．12 B．18 C．24 D．36 3．（24-25高二上·江西南昌·期末）小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖葫芦，若要求两颗圣女果不相邻，则不同的串法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 4．（23-24高二下·广东·期中）某种产品的加上需要经过A，B，C，D，E，F，G七道工序，要求A，B两道工序必须相邻，C，D两道工序不能相邻，则不同的加工顺序有（    ） A．960种 B．836种 C．816种 D．720种 5．（24-25高二上·浙江·开学考试）将若干个除颜色外完全相同的红色小球和黑色小球排成一列，要求所有的红球互不相邻，当小球的总数为8时，满足条件的不同排列方法的总数之和为（） A．20 B．36 C．54 D．108 【题型四 捆绑法结合插空法】 一、单选题 1．（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）7名同学（包括甲、乙）排成一排，其中甲、乙两人相邻但不排在两端，不同的排法种数是（      ） A．480 B．720 C．960 D．1440 2．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·开学考试）小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2不相邻，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（    ） A．144 B．72 C．36 D．24 3．（24-25高二下·全国·课后作业）四名男生和两名女生排一行进行合影，若要求男生甲与男生乙不相邻，且女生A和女生B相邻，则不同排法的种数有（    ） A．288种 B．144种 C．96种 D．72种 4．（2024高二·全国·专题练习）数学竞赛中，某校有共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设两人必须相邻且站在正中间，两人不能相邻，则不同的站法共有（    ） A．48种 B．40种 C．32种 D．24种 【题型五 间接法】 一、单选题 1．（23-24高二下·山东青岛·期末）口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，至少有一个红球的取法种数是（    ） A．20 B．26 C．32 D．36 2．（24-25高二上·河北邢台·开学考试）有4名男生､3名女生和2个不同的道具（记作A和B）参与一个活动，活动要求：所有人（男生和女生）必须站成一排，女生必须站在一起，并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列（假设女生的身高各不相同）；两个道具A和B必须被分配给队伍中的两个人（可以是男生，也可以是女生），但这两人不能站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有（    ） A．2400种 B．3600种 C．2880种 D．4220种 3．（2025·贵州安顺·模拟预测）甲，乙两名大学生计划今年寒假分别从黄果树风景名胜区、龙宫景区、天龙屯堡景区、安顺古城四个不同的景区中随机选两个景区前往旅游打卡，则这两人恰好有一个景区相同的选法共有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 4．（24-25高二上·江西新余·阶段练习）将甲、乙等6位身高各不相同的同学平均分为两组，甲、乙在这六位同学中身高（从高到低）分别排在第4、3位，则分成的两组中甲不是所在组最矮的且乙不是所在组最高的分组方式共有（     ）种. A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山东日照·期末）如图，湖面上有4个相邻的小岛，现要建3座桥梁，将这4个小岛连通起来，则建设方案有（   ） A．12种 B．16种 C．20种 D．24种 【题型六 倍缩法（定序问题）】 一、单选题 1．（24-25高二上·河南驻马店·期末）某校A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，则不同的出场次序有（    ） A．18种 B．36种 C．60种 D．72种 2．（24-25高二上·江西上饶·期末）是自然对数函数的底数，被称为自然常数或者欧拉数．最初由雅各布·伯努利在研究复利时发现，后由莱昂哈德·欧拉证明其为无理数，大约为．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行排列得到一个六位数密码，那么小明可以设置（   ）个不同密码． A．240 B．180 C．120 D．72 3．（23-24高二下·湖北武汉·期中）三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（    ） A．350 B．140 C．560 D．280 【题型七 排数问题】 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）用0．1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（   ） A．24个 B．26个 C．30个 D．42个 2．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）用0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中能被3整除的有（    ） A．96个 B．72个 C．24个 D．300个 3．（23-24高二下·河南商丘·期中）数学中“凸数”是一个位数不低于3的奇位数，是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的数，则没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为（    ） A．147 B．112 C．65 D．50 4．（24-25高二上·广东深圳·期末）只用1，2，3这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数共有（    ） A．30个 B．36个 C．42个 D．48个 5．（24-25高二上·江西·阶段练习）将1，2，3，4，5，6，7，8填入如图所示的方格中，每个方格填写1个数字，则仅有两列数字之和为9的填法有（    ） A．576种 B．1152种 C．2304种 D．4608种 【题型八 相邻与不相邻问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏常州·期末）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（ ） A．如果四名男生必须连排在一起，那么有576种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法 D．如果女生不能站在两端，那么有720种不同排法 2．（24-25高二下·全国·课后作业）一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（    ） A．5760 B．5660 C．5642 D．5472 3．（24-25高二下·全国·开学考试）某次会议安排甲、乙等六人的座位在第一排的号，其中甲的座位号为奇数，乙的座位号为偶数，且甲、乙不相邻，则这六人不同的座位安排方法种数为（    ） A．48 B．96 C．128 D．186 4．（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（   ）种 A．114 B．120 C．126 D．132 【题型九 平均分组和部分平均分组分配问题】 一、单选题 1．（2024·广西桂林·三模）某校组织社会实践活动，将参加活动的3名老师与6名同学分成三组，每组1名老师与2名同学，不一样的分法共有（    ） A．45种 B．90种 C．180种 D．270种 2．（23-24高二下·山西·开学考试）“畅通微循环，未来生活更舒适”．我国开展一刻钟便民生活圈建设，推进生活服务业“规范化、连锁化、便利化、品牌化、特色化、智能化”发展，以提质便民为核心，高质量建设国际消费中心城市，便民商业体系向高品质发展．某调研机构成立5个调研小组，就4个社区的便民生活圈的建设情况进行调研，每个调研小组选择其中1个社区，要求调研活动覆盖被调研的社区，共有派出方案种数为（    ） A．120 B．240 C．360 D．480 3．（23-24高二下·河南洛阳·期中）洛阳市牡丹文化节期间，5名志愿者准备到3个博物馆参加志愿服务，若每个博物馆至少接受1名志愿者，则不同的分配方案有（    ） A．90种 B．150种 C．240种 D．300种 4．（24-25高二上·辽宁大连·期末）有6本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（   ） A．1440种 B．1560种 C．1920种 D．5760种 5．（23-24高二下·吉林·期末）2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个组至多3名学生，且学生甲和学生乙不在同一组，则不同的安排方法种数为（    ） A．354 B．368 C．336 D．420 6．（24-25高二上·河北邢台·期末）运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（   ） A．72 B．96 C．114 D．124 【题型十 不平均分组分配问题】 一、单选题 1．（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（    ） A．60种 B．90种 C．120种 D．360种 2．（24-25高二下·全国·课后作业）某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（    ） A．630种 B．840种 C．1470种 D．1480种 3．（24-25高二下·全国·课后作业）某地区计划安排5名工作人员到3个乡镇进行农村人居环境调查，每个乡镇至少1名工作人员，其中甲、乙两人去同一乡镇，则不同的安排方案有（    ） A．30种 B．36种 C．40种 D．46种 4．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）2024年武汉马拉松于4月16日举行，组委会决定派小王、小李等8名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（   ） A．82 B．100 C．124 D．164 5．（24-25高二上·湖南永州·开学考试）在2024年巴黎奥运会中，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，若甲只能参加接待工作，那么不同的志愿者分配方案的种数是（    ） A．38 B．42 C．50 D．56 【题型十一 染色问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·单元测试）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域涂色，要求同一区域用同一种颜色，相邻区域使用不同颜色，则共有涂色方法（    ）    A．120种 B．720种 C．840种 D．960种 2．（25-26高二上·上海·单元测试）如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（    ）．    A．240种 B．300种 C．360种 D．420种 3．（23-24高二下·福建厦门·强基计划）用九种颜色给一个正四面体涂色，使相邻两个面颜色不同（若两种涂色方法可以通过旋转使得每个面的颜色一对应，则算作一种涂色方法）共有（    ）种涂色情况. A．121 B．454 C．621 D．以上答案均不对 4．（24-25高二下·湖南·开学考试）提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（    ） A．288种 B．296种 C．362种 D．384种 5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，给六个点涂色，现有五种不同的颜色可供选用，要求每个点涂一种颜色，且每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（    ）种． A．1440 B．1920 C．2160 D．3360 6．（23-24高二下·广东清远·期末）现要对三棱柱的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（    ） A．264种 B．216种 C．192种 D．144种 【题型十二 多面手问题】 一、单选题 1．（2024·北京·模拟预测）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ）． A．26种 B．31种 C．36种 D．37种 二、填空题 2．（23-24高二下·山东·阶段练习）某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有 种不同的选法.（用数字作答） 3．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有 种. 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏扬州·期中）从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个奇数和两个偶数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（    ） A．9个 B．24个 C．36个 D．54个 2．（23-24高二下·广东清远·期中）已知五个区域A，B，C，D，E依次相邻，如图所示，现在给这5个区域涂色，要求相邻的两个区域不能涂相同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法有（    ） A．1140 B．1200 C．1280 D．1400 3．（24-25高二上·全国·课后作业）计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．42种 D．60种 4．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成的无重复数字的四位偶数共有（    ）个 A．150个 B．156个 C．144个 D．300个 5．（24-25高二上·福建龙岩·期末）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育和艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法共有（   ） A．75种 B．144种 C．288种 D．360种 6．（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）若A，B，C，D，E，F六人站队照相，要求A､B相邻且C､D不相邻，则所有不同的站法有（    ） A．36 B．72 C．108 D．144 7．（23-24高二下·浙江宁波·阶段练习）某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有（    ） A．144种 B．72种 C．36种 D．24种 8．（2024·云南·一模）一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光､蓝色光､绿色光中的一种光.若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这排电子元件能表示的信息种数共有（    ） A．60种 B．68种 C．82种 D．108种 9．（24-25高二上·江西抚州·期末）在“文化抚州，梦想之舟”半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校5名同学到甲、乙、丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（    ） A．25种 B．150种 C．300种 D．50种 10．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）将甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A，B，C三个地区参加公益活动，要求每个地区都要有志愿者且最多不超过2人，则不同的分配方案有（   ） A．90种 B．180种 C．60种 D．120种 11．（23-24高二上·辽宁抚顺·阶段练习）若把英语单词“receive”的字母顺序写错了，则出现的错误写法共有（   ） A．840种 B．839种 C．2520种 D．2519 种 12．（23-24高二下·重庆·阶段练习）某班一天上午有五节课，下午有两节课，现要安排该班一天中语文､数学､物理､英语､地理､体育､艺术7堂课的课程表，要求艺术课排在上午第5节，体育课排在下午，数学与物理不相邻，则不同的排法种数是（    ） A．128 B．148 C．168 D．188 13．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）将名教师和名学生安排到个地区开展调研活动，出于安全考虑，若每个地区至少安排名教师，至多安排名学生，则不同的安排方式共有种（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二下·安徽池州·期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ）    A．120 B．26 C．340 D．420 15．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）我们把各位数字之和为8的四位数称为“八合数”(如2 024是“八合数”)，则“八合数”共有（    ）个. A．35 B．56 C．120 D．165 二、填空题 16．（23-24高二下·广西·期中）百色起义纪念馆、红军长征突破湘江烈士纪念碑园、红军长征湘江战役纪念馆、东兰红色旅游区是广西著名的红色旅游景点，某旅游博主准备分4次分别去这4个景点旅游，则百色起义纪念馆不在最后1次去的方法总数为 ．（用数字作答） 17．（24-25高二下·重庆沙坪坝·开学考试）现有 2 位女生和 3 位男生站成一排照相，要求女生甲排在两端且 3 位男生中有且只有 2 位相邻，则不同的站法有 18．（24-25高二下·河北·开学考试）把除颜色外完全相同的5个红球和4个白球排成一行，则恰有3个红球相邻在一起的不同排法种数为 用数字作答 19．（24-25高二上·安徽马鞍山·阶段练习）某宾馆安排甲、乙、丙、丁、戊五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且甲和乙住同一个房间，则共有 种不同的安排方法．（用数字作答） 20．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）“渐升数”是指每一位数字都比左边数字大的正整数（如1347），那么四位“渐升数”有 个，比5789小的四位“渐升数”有 个.（用数字作答） 21．（24-25高二上·上海·阶段练习）用 “行”、“知”、“中”、“学”、“顶”、“呱”、“呱”这七个字可以组成 种不同的七字短语. (不考虑短语的含义) 22．（24-25高二上·吉林长春·期末）某名校为落实教育帮扶“深耕计划”，选派了4名教师到A，B，C三个县城学校进行教育帮扶指导.每个学校至少派1人，不同的安排方式共有 种用数字解答 23．（23-24高二下·河北唐山·期中）9名学生报名参加学校联欢晚会，其中4人只会唱歌，2人只会跳舞，其余3人既会唱歌又会跳舞，现从中选6人，3人唱歌，3人跳舞，共有 种不同的选法. 24．（24-25高二上·江西·期末）现将8个体积相同但质量均不同的小球放入恰好能容纳8个小球且底面圆直径与小球直径相同的圆柱形卡槽内，这8个小球分别为2个红球、4个白球、2个黑球，若4个白球互不相邻，且其中一个白球不能放入卡槽的两端，则共有 种不同的放法；若2个红球之间恰好有白球和黑球各1个，则共有 种不同的放法． 25．（2025·江西新余·模拟预测）如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有 种不同的染色方案. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 排列组合全题型与技巧归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 特殊元素、特殊位置法】 3 【题型二 捆绑法】 5 【题型三 插空法】 6 【题型四 捆绑法结合插空法】 8 【题型五 间接法】 9 【题型六 倍缩法（定序问题）】 12 【题型七 排数问题】 13 【题型八 相邻与不相邻问题】 15 【题型九 平均分组和部分平均分组分配问题】 17 【题型十 不平均分组分配问题】 19 【题型十一 染色问题】 21 【题型十二 多面手问题】 24 压轴能力测评（25题） 26 一、排列组合中常见问题及其技巧 1.对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法． 2.对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法 3.定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法． 4.分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配． (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种： ①完全均匀分组，每组元素的个数都相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (2)分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种： ①相同元素的分配问题，常用“挡板法”； ②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配； ③有限制条件的分配问题，采用分类求解． 5.涂色问题常用方法 （1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域涂色问题的基本方法； （2）根据共用了多少种颜色，分别计算出各种情形的种数，再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种数； （3）根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，再利用分类计数原理求出不同涂色方法种数. 二、方法技巧分类 ①特殊元素（位置）法 对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑，位置优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用的方法。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。 ②捆绑法 捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉. ③插空法 插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求. ④倍缩法 部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为定序（排列）问题．定序问题可以用倍缩法. ⑤排数问题 对于有限制条件的数字排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意隐含条件：0不能在首位. ⑥分组、分配问题 ①整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． ②局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数． ③不等分问题，只需先分组，后排列，分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． ⑦涂色问题 解决涂色问题的一般思路 (1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析． (2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析． (3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题 【题型一 特殊元素、特殊位置法】 一、单选题 1．（23-24高二下·北京海淀·期末）将分别写有2，0，2，4的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因四位数首位非零，且四个数字中有重复数字，故可先安排首位，再确定其他数位. 【详解】根据题意，可将四位数分成两类： 第一类，首位是2，则只需要将所剩下的三个数字全排即得，有个； 第二类，首位是4，只需在余下的三个数位选一个给0即可，有个. 由分类加法计数原理可得，组成的不同四位数的个数为. 故选：A. 2．（24-25高二上·江苏常州·期末）某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先排数学、体育，再排其余4节，利用乘法原理即可得到结果． 【详解】由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有种排法， 再排其余4节，有种排法， 根据乘法原理，共有种排法， 故选：B． 3．（2025高二·全国·专题练习）5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为（    ） A．18 B．36 C．48 D．60 【答案】B 【分析】先考虑特殊位置，再利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】甲在排头或排尾站法有种，再让乙在中间3个位置选一个，有种站法，其余3人有种站法， 所以共有种站法， 故选：B 4．（24-25高二上·重庆北碚·期末）某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有（   ）种. A．18 B．24 C．27 D．64 【答案】A 【分析】应用分类分步计数原理及排列组合数求不同的安排方法数. 【详解】若甲被选出，从其它3位同学选2位有种， 将甲安排为记分员或秩序员有种，另2人作全排有种， 所以共有种； 若甲不被选出，只需将选出的3人作全排列有种， 综上，共有种. 故选：A 5．（2025高二·全国·专题练习）中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了40枚金牌的辉煌成绩.某视频自媒体平台选出关注度比较高的等10名金牌获得者，再从中选出6名，准备连续6天分别向观众介绍，且每天只介绍1名，则必须介绍且在前3天介绍，至少选2名进行介绍的所有方法种数为（    ） A．720 B．1680 C．4320 D．5040 【答案】D 【分析】根据题意，先考虑除外剩下的4名金牌获得者的选取情况分两种和，再利用排列运算求解. 【详解】由题可得选中的6名金牌获得者中必须有，且至少有2名被选中， 则除外剩下的4名金牌获得者的选取情况种数为， 又必须在前3天介绍，所以符合条件的方法种数为. 故选：D. 6．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）五一小长假期间，旅游公司决定从5辆旅游大巴中选出4辆分别开往紫蒙湖､美林谷､黄岗梁､乌兰布统四个学区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每辆大巴只开往一个景区，且这5辆大巴中不去乌兰布统，则不同的选择方案共有（    ） A．36 B．96 C．72 D．68 【答案】C 【分析】分两类为都被选出、被选出一辆，再应用分步计数及排列组合数求两类对应方案数，即可得答案. 【详解】若都被选出，把安排到紫蒙湖、美林谷、黄岗梁中的2个有种， 从中选出2辆有种，安排到剩下的2个景区有种， 所以共有种； 若被选出一辆有种，安排到紫蒙湖、美林谷、黄岗梁中的1个有种， 再把安排到剩下的3个景区有种， 所以共有种； 综上，共有72种. 故选：C 【题型二 捆绑法】 一、单选题 1．（24-25高二上·江西南昌·期末）现有6位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由捆绑法及全排列即可求解； 【详解】将甲、乙两位同学捆绑，再和另外4位同学全排列，即. 故选：B 2．（24-25高二上·福建泉州·阶段练习）七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲､乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有（   ） A．96种 B．120种 C．192种 D．240种 【答案】C 【分析】先将甲乙捆绑成一个单元，再讨论其所排位置，运算求解. 【详解】由题意可知，丙排在第4位，则甲乙两人可能在第1、2或2、3或5、6或6、7位， 故不同的排法有种. 故选：C. 3．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）把5名同学的数学作业摆放成一排展示，要求甲、乙两同学的作业相邻展示，甲、丙两同学的作业不相邻展示，则不同的摆放种数是（    ） A．18 B．24 C．36 D．48 【答案】C 【分析】利用乘法原理求出使得甲、乙两同学的作业相邻展示的摆放种数和使得甲、乙两同学的作业相邻且甲、丙两同学的作业相邻的摆放种数，再作差即可. 【详解】将甲、乙两同学的作业视为一个元素，利用乘法原理可得，使得甲、乙两同学的作业相邻展示的摆放种数为. 将甲、乙、丙三同学的作业绑定，利用乘法原理可得，使得甲、乙两同学的作业相邻且甲、丙两同学的作业相邻的摆放种数为. 所以满足条件的摆放种数是. 故选：C. 4．（24-25高二下·全国·课后作业）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（    ） A．240种 B．188种 C．144种 D．120种 【答案】D 【分析】先将“相声”与“小品”排在一起再与其它4个节目排序，最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样,即可得出答案. 【详解】先将“相声”与“小品”排在一起，有种排法，再与其它4个节目排序，有种排法， 最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样，所以有种． 故选：D. 5．（2024高二·全国·专题练习）2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（   ） A．1440种 B．1360种 C．1282种 D．1128种 【答案】D 【分析】运用捆绑法，结合分类讨论和排列组合知识计算即可. 【详解】采取对丙和甲进行捆绑的方法： 如果不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：种， 如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：种， 若“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：种． 则不同的安排方案共有(种)． 故选：D． 【题型三 插空法】 一、单选题 1．（24-25高二上·辽宁·期末）国庆期间，中华世纪坛举办“传奇之旅：马可•波罗与丝绸之路上的世界”展览，现有8个同学站成一排进行游览参观，若将甲、乙、丙3个同学新加入排列，且甲、乙、丙互不相邻，保持原来8个同学顺序不变，则不同的方法种数为（   ） A．84 B．120 C．504 D．720 【答案】C 【分析】不相邻问题插空法，8个同学一排有9个空，把甲、乙、丙插在9个空即可. 【详解】8个同学站成一排有9个空，甲、乙、丙在9个空中任意排列，则不同的方法种数为. 故选：C. 2．（24-25高二上·福建漳州·期末）据典籍《周礼·春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.若把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，则“宫”和“角”之间恰好有一个音阶的排法种数为（   ） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】D 【分析】利用插空法和分步计数原理求解. 【详解】先从“商、徵、羽”中选一个插在“宫”和“角”之间，有， 再作为一个整体和剩下的两个音阶排列， 所以共有种排法. 故选：D 3．（24-25高二上·江西南昌·期末）小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖葫芦，若要求两颗圣女果不相邻，则不同的串法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】利用插空法可求得结果. 【详解】先将一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄进行排序， 然后将两颗圣女果插入一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄所形成的空位中， 从个空位中抽取个空位进行排序， 由插空法可知，不同的串法有种. 故选：C. 4．（23-24高二下·广东·期中）某种产品的加上需要经过A，B，C，D，E，F，G七道工序，要求A，B两道工序必须相邻，C，D两道工序不能相邻，则不同的加工顺序有（    ） A．960种 B．836种 C．816种 D．720种 【答案】A 【分析】先捆绑，再全排列后插空得出加工顺序. 【详解】先捆绑再和排列，然后插入 共有种排法． 故选：A. 5．（24-25高二上·浙江·开学考试）将若干个除颜色外完全相同的红色小球和黑色小球排成一列，要求所有的红球互不相邻，当小球的总数为8时，满足条件的不同排列方法的总数之和为（） A．20 B．36 C．54 D．108 【答案】C 【分析】根据题意可知最多有4个红球，因此根据红球个数进行讨论即可，不相邻问题用“插空法”. 【详解】8个除颜色外完全相同的球，要使红球互不相邻，则最多有4个红球，根据红球个数分类讨论: 1个红球7个黑球：先排7个黑球共有1中排法，从8个空里面选出1个空让红球插入，有种选法; 2个红球6个黑球：先排6个黑球共有1中排法，从7个空里面选出2个空让红球插入，有种选法; 3个红球5个黑球：先排5个黑球共有1中排法，从6个空里面选出3个空让红球插入，有种选法; 4个红球4个黑球：先排4个黑球共有1中排法，从5个空里面选出4个空让红球插入，有种选法; 所以满足条件的不同排列方法的总数之和为. 故选：C. 【题型四 捆绑法结合插空法】 一、单选题 1．（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）7名同学（包括甲、乙）排成一排，其中甲、乙两人相邻但不排在两端，不同的排法种数是（      ） A．480 B．720 C．960 D．1440 【答案】C 【分析】可以采用捆绑法以及插空法进行求解. 【详解】乙两人相邻，可以采用捆绑法有种排法， 然后它们不排在两端可以采用插空法有种排法， 所以不同的排法种数是. 故选：C. 2．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·开学考试）小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2不相邻，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（    ） A．144 B．72 C．36 D．24 【答案】B 【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解. 【详解】由题意知可将当成一个整体来计算，和总计有种排法， 再根据插空法可得总排法有. 故选：B 3．（24-25高二下·全国·课后作业）四名男生和两名女生排一行进行合影，若要求男生甲与男生乙不相邻，且女生A和女生B相邻，则不同排法的种数有（    ） A．288种 B．144种 C．96种 D．72种 【答案】B 【分析】利用插空法和捆绑法求解即可. 【详解】第一步：先对2名女生进行排队，有种排法； 第二步：将除甲和乙之外的人进行排队，有种排法； 第三步：甲、乙采用插空的方式，有种排法．所以共有种． 故选：B. 4．（2024高二·全国·专题练习）数学竞赛中，某校有共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设两人必须相邻且站在正中间，两人不能相邻，则不同的站法共有（    ） A．48种 B．40种 C．32种 D．24种 【答案】C 【分析】根据分步乘法计数原理，捆绑法，插空法求解即可. 【详解】第1步：先将相邻的进行“捆绑”排列， 首先排，由题意可将两人看作一个整体，先站到正中间，共有种站法； 第2步：将不能相邻的插入合适的位置进行排列， 其次再排，因为两人不能相邻，所以只能排到的两侧， 若在左侧，则有种站法，此时只能在右侧，有种站法， 共种站法，同理在的右侧，在左侧，有种站法， 故共有8种站法； 第3步：将剩下的进行排列并计算所求， 剩下的有种站法，所以不同的站法共有种． 故选：C. 【题型五 间接法】 一、单选题 1．（23-24高二下·山东青岛·期末）口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，至少有一个红球的取法种数是（    ） A．20 B．26 C．32 D．36 【答案】B 【分析】由间接法以及组合数即可求解. 【详解】从个球中任取个球的取法共有种， 两个球都不是红球的取法有种， 所以取出2个球，至少有一个红球的取法种数为. 故选：B. 2．（24-25高二上·河北邢台·开学考试）有4名男生､3名女生和2个不同的道具（记作A和B）参与一个活动，活动要求：所有人（男生和女生）必须站成一排，女生必须站在一起，并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列（假设女生的身高各不相同）；两个道具A和B必须被分配给队伍中的两个人（可以是男生，也可以是女生），但这两人不能站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有（    ） A．2400种 B．3600种 C．2880种 D．4220种 【答案】B 【分析】先用捆绑法排列（女生不需要内部排列），然后利用间接法再分配2个道具． 【详解】根据题意4名男生､3名女生的排列方法为，然后在7人中选2人（不相邻）分配道具：，总方法数为， 故选：B． 3．（2025·贵州安顺·模拟预测）甲，乙两名大学生计划今年寒假分别从黄果树风景名胜区、龙宫景区、天龙屯堡景区、安顺古城四个不同的景区中随机选两个景区前往旅游打卡，则这两人恰好有一个景区相同的选法共有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】C 【分析】利用组合数和计数原理，用间接法求解即得. 【详解】由题意得甲选择两个景区的选法有种， 乙选择两个景区的选法有种，故总选法有种， 两人选择景区完全相同的选法有种， 两人选择景区完全不相同的选法有种， 故两人恰好有一个景区相同的选法共有种，故C正确. 故选：C. 4．（24-25高二上·江西新余·阶段练习）将甲、乙等6位身高各不相同的同学平均分为两组，甲、乙在这六位同学中身高（从高到低）分别排在第4、3位，则分成的两组中甲不是所在组最矮的且乙不是所在组最高的分组方式共有（     ）种. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将6人身高从高到低依次标号为：1、2、3、4、5、6，法一，利用间接法可求得总的方法数，法二，采用直接法求解，分甲、乙同组与不同组两种情况求解. 【详解】将6人身高从高到低依次标号为：1、2、3、4、5、6 法一：用间接法求解：此事件的反面是“甲是本组的最矮的或乙是本组最高的至少成立其一”，①甲、乙不在同一组：只有124、356一种排法； ②甲、乙在同一组：以上命题不可能同时成立， 注意到剩下四人任取一人与甲乙同组均符合题意，所以由种选法，共有种选法. 而平均分组共有种方式，所以共有种选法. 法二：用直接法求解： ①甲、乙在同一组：容易发现这是不可能的； ②甲、乙不在同一组：那么1、2中至少有一位与乙一组，5、6中至少有一位与甲一组， 取该事件的反面，即：1、2均不与乙一组且5、6均不与甲一组，4人均分两组共有种分法，符合事件反面的只有356、124一种，所以共有=5种分法. 故选：B. 5．（24-25高二上·山东日照·期末）如图，湖面上有4个相邻的小岛，现要建3座桥梁，将这4个小岛连通起来，则建设方案有（   ） A．12种 B．16种 C．20种 D．24种 【答案】B 【分析】确定可以建设桥梁的位置有几个地方，进而求出建设3个桥梁的所有可能选法，去掉不符合题意的选法，即可得答案. 【详解】由题意知要将4个相邻的小岛A，B，C，D连接起来， 共有个位置可以建设桥梁， 从这6个位置中选3个建设桥梁，共有种选法， 但选出的3个位置可能是仅连接或或或三个小岛，不合题意， 故要建3座桥梁，将这4个小岛连接起来，共有（种）不同的方案. 故选：B. 【题型六 倍缩法（定序问题）】 一、单选题 1．（24-25高二上·河南驻马店·期末）某校A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，则不同的出场次序有（    ） A．18种 B．36种 C．60种 D．72种 【答案】C 【分析】利用定序倍缩法即可得解. 【详解】因为A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，且A须在B前面出场， 所以有种出场顺序. 故选：C 2．（24-25高二上·江西上饶·期末）是自然对数函数的底数，被称为自然常数或者欧拉数．最初由雅各布·伯努利在研究复利时发现，后由莱昂哈德·欧拉证明其为无理数，大约为．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行排列得到一个六位数密码，那么小明可以设置（   ）个不同密码． A．240 B．180 C．120 D．72 【答案】B 【分析】根据倍缩法可得. 【详解】6位数字2，7，1，8，2，8中有2个2，2个8， 故所组成的六位数密码有种情况， 故选：C 3．（23-24高二下·湖北武汉·期中）三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（    ） A．350 B．140 C．560 D．280 【答案】C 【分析】由排列数的计算，结合定序问题倍缩法，代入计算，即可求解. 【详解】 将8只气球编号，依次从下往上，从右往左编号为， 问题等价于8只气球排列， 其中号，号，号必须是从下到上的顺序打破气球， 则有种. 故选：C 【题型七 排数问题】 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）用0．1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（   ） A．24个 B．26个 C．30个 D．42个 【答案】C 【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理，结合排列的定义即可求. 【详解】若0在个位，则可组成个偶数； 若2在个位，则可组成个偶数； 若4在个位，则可组成个偶数； 所以偶数共有个. 故选：C 2．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）用0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中能被3整除的有（    ） A．96个 B．72个 C．24个 D．300个 【答案】A 【分析】 首先将这6个数字按照被3除的余数分类，再根据条件排列数字，即可求解. 【详解】其中能被3整除的有，被3除余1的有，被3除余2的有， 所以被3整除的四位数由数字构成，有种方法，或是包含数字，再从和各选一个数字组成一个四位数，有种方法， 所以能被3整除的有个. 故选：A 3．（23-24高二下·河南商丘·期中）数学中“凸数”是一个位数不低于3的奇位数，是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的数，则没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为（    ） A．147 B．112 C．65 D．50 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合“凸数”的意义，利用分类加法计数原理求解即得. 【详解】最高位是5的“凸数”，中间数分别为7，8，9，分别有6，7，8个，共有21个； 最高位是6的“凸数”，中间数分别为7，8，9，分别有6，7，8个，共有21个； 最高位是7的“凸数”，中间数分别为8，9，分别有7，8个，共有15个； 最高位是8的“凸数”，中间数为9，有8个， 所以没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为. 故选：C 4．（24-25高二上·广东深圳·期末）只用1，2，3这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数共有（    ） A．30个 B．36个 C．42个 D．48个 【答案】C 【分析】分同一个数字出现3次和两个数字出现两次，第三个数字出现1次两种情况，求出各个情况数，相加得到答案. 【详解】同一个数字出现3次时，其他两个数字进行插空， 故有种情况， 有两个数字出现两次，第三个数字出现1次时，此时有种情况， 以两个1，两个2，一个3为例， 若两个1出现在万位和百位，此时2可以在千位和十位或千位和个位，有2种情况， 若两个1出现在万位和十位，此时2可以在千位和个位或百位和个位，有2种情况， 若两个1出现在万位和个位，此时2只能在千位和十位，有1种情况， 若两个1出现在千位和十位，此时2可以在万位和百位或万位和个位或百位和个位，有3种情况， 若两个1出现在千位和个位，此时2可以在万位和百位或万位和十位，有2种情况， 若两个1出现在百位和个位，此时2可以在万位和十位或千位和十位，有2种情况， 故有种情况， 所以，共有种情况， 综上，这样的五位数共有种. 故选：C 5．（24-25高二上·江西·阶段练习）将1，2，3，4，5，6，7，8填入如图所示的方格中，每个方格填写1个数字，则仅有两列数字之和为9的填法有（    ） A．576种 B．1152种 C．2304种 D．4608种 【答案】D 【分析】将八个数按两个数字和为9进行分组，再任取两组并填入两列，然后用排除法求出余下4个数字填入方格的方法数即可求得答案. 【详解】依题意，将1，2，3，4，5，6，7，8按照两个数字之和为9分成“18，27，36，45”四组，从中任取2组有种方法， 再在四列方格中任选2列，填入这两组数字，有种方法，每一列的两个数字的排列有种方法； 余下4个数字填入方格有种，满足同列数字和为9的有种， 所以不同填法共有种. 故选：D 【题型八 相邻与不相邻问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏常州·期末）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（ ） A．如果四名男生必须连排在一起，那么有576种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法 D．如果女生不能站在两端，那么有720种不同排法 【答案】A 【分析】根据捆绑法、特殊位置的排列和插空法计算，依次判断选项即可. 【详解】A：如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”， 此时，共有种不同的排法，故A正确； B：如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”， 此时，共有种不同的排法种数，故B错误； C：如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中， 此时，共有种不同的排法种数，故C错误； D：如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制， 此时，共有种不同的排法种数，故D错误. 故选：A 2．（24-25高二下·全国·课后作业）一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（    ） A．5760 B．5660 C．5642 D．5472 【答案】D 【分析】计算出所有情况后减去《大学》和《春秋》相邻的情况即可得. 【详解】四书、五经必须分别排在一起，共有种， 若《大学》和《春秋》相邻，则不符合条件，共有种， 则共有种． 故选：D. 3．（24-25高二下·全国·开学考试）某次会议安排甲、乙等六人的座位在第一排的号，其中甲的座位号为奇数，乙的座位号为偶数，且甲、乙不相邻，则这六人不同的座位安排方法种数为（    ） A．48 B．96 C．128 D．186 【答案】B 【分析】根据甲的座位号为奇数，乙的座位号为偶数分类结合乘法原理及排列数计算即可. 【详解】先安排甲、乙，若甲坐1号座位，则乙可以坐4号或6号座位； 若甲坐3号座位，则乙可以坐6号座位； 若甲坐5号座位，则乙可以坐2号座位，共有4种安排方法． 在甲和乙的座位确定了的情况下，其余四人的座位安排方法有种， 故这六人不同的座位安排方法种数为． 故选：B． 4．（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（   ）种 A．114 B．120 C．126 D．132 【答案】A 【分析】依据值班3天的为分类标准，逐类解决即可. 【详解】因为有三位老师值班7天，且每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班， 所以必有一人值班3天，另两人各值班2天. 第一类：值班3天在、、、、、时，共有种不同的值班方法； 第二类：值班3天在、时，共有种不同的值班方法； 第三类：值班3天在时，共有种不同的值班方法； 第四类：值班3天在时，共有种不同的值班方法； 综上可知三位老师在国庆节7天假期共有种不同的值班方法. 故选：A 【题型九 平均分组和部分平均分组分配问题】 一、单选题 1．（2024·广西桂林·三模）某校组织社会实践活动，将参加活动的3名老师与6名同学分成三组，每组1名老师与2名同学，不一样的分法共有（    ） A．45种 B．90种 C．180种 D．270种 【答案】B 【分析】根据平均分组分配问题即可求解. 【详解】先将6名同学平均分成3组，有种分法， 再将3名老师分成3组，有种分法， 所以共有种分法. 故选：B 2．（23-24高二下·山西·开学考试）“畅通微循环，未来生活更舒适”．我国开展一刻钟便民生活圈建设，推进生活服务业“规范化、连锁化、便利化、品牌化、特色化、智能化”发展，以提质便民为核心，高质量建设国际消费中心城市，便民商业体系向高品质发展．某调研机构成立5个调研小组，就4个社区的便民生活圈的建设情况进行调研，每个调研小组选择其中1个社区，要求调研活动覆盖被调研的社区，共有派出方案种数为（    ） A．120 B．240 C．360 D．480 【答案】B 【分析】根据分组分配的组合问题，即可求解. 【详解】将这5个调研小组分成2，1，1，1这4个小组，然后派往4个社区， 所以派出方案种数为． 故选：B． 3．（23-24高二下·河南洛阳·期中）洛阳市牡丹文化节期间，5名志愿者准备到3个博物馆参加志愿服务，若每个博物馆至少接受1名志愿者，则不同的分配方案有（    ） A．90种 B．150种 C．240种 D．300种 【答案】B 【分析】将5名志愿者分为1，2，2和1，1, 3两种情况, 再进行排列即可 【详解】将5名志愿者分为1，2，2，则有 种分法， 将5名志愿者分为1，1，3，则有种分法， 则不同的分配方案有种. 故选：B. 4．（24-25高二上·辽宁大连·期末）有6本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（   ） A．1440种 B．1560种 C．1920种 D．5760种 【答案】B 【分析】先进行分组，有和两种情况，利用排列组合知识分别求出两种情况下的情况数，再相加求出答案. 【详解】先将6本书进行分为4组，每个学生至少一本，有和两种情况， 其中分为的情况有种， 分为的情况有种， 故不同的分法种数为. 故选：B 5．（23-24高二下·吉林·期末）2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个组至多3名学生，且学生甲和学生乙不在同一组，则不同的安排方法种数为（    ） A．354 B．368 C．336 D．420 【答案】C 【分析】按或将6人分成三组，再把分成的三组分配到3个村寨即可. 【详解】因为6人分成三组，且每组至多3人，所以可分成或两类， 当6人分成三组，且甲乙不同组时，有种情况； 当6人分成三组，且甲乙不同组时，有种情况， 所以不同的安排方法种数为. 故选：C 6．（24-25高二上·河北邢台·期末）运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（   ） A．72 B．96 C．114 D．124 【答案】C 【分析】根据题意，先将5人分为三组并分配到各个场地，再计算得出甲乙不在同一个场地的情况即可求解. 【详解】将5名志愿者分为1，2，2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 将5名志愿者分为1，1，3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 故不同的安排方法共有种. 故答案为：C. 【题型十 不平均分组分配问题】 一、单选题 1．（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（    ） A．60种 B．90种 C．120种 D．360种 【答案】A 【分析】这是一个组合问题，从6同学中选出1人安排到甲场馆是，再安排2人到乙场馆是，最后剩余3人安排到丙场馆，根据分步乘法原理相乘即可. 【详解】依题意从6同学中选出1人安排到甲场馆是，再从剩余5人安排2人到乙场馆是，最后剩余3人安排到丙场馆， 根据分步乘法原理，不同的安排方法共有种. 故选：A. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（    ） A．630种 B．840种 C．1470种 D．1480种 【答案】C 【分析】根据分类加法计数原理，结合排列组合以及分步乘法计数原理即可求解. 【详解】根据题意甲乙丙丁四个班的书可以按照3，1，2，1或者2，1，2，2或者2，1，3，1三种方式分配， 故总的分配方案有种． 故选：C 3．（24-25高二下·全国·课后作业）某地区计划安排5名工作人员到3个乡镇进行农村人居环境调查，每个乡镇至少1名工作人员，其中甲、乙两人去同一乡镇，则不同的安排方案有（    ） A．30种 B．36种 C．40种 D．46种 【答案】B 【分析】先将甲、乙分在一个乡镇，再讨论将剩下3名工作人员分配到3个乡镇或3名工作人员分配到剩下两个乡镇，即可得出答案. 【详解】先将甲、乙分在一个乡镇，有种情况，剩下3名工作人员有2种分配情况： ①3名工作人员分配到3个乡镇，有种情况； ②3名工作人员分配到剩下两个乡镇，有种情况． 故共有种安排方案． 故选：B. 4．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）2024年武汉马拉松于4月16日举行，组委会决定派小王、小李等8名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（   ） A．82 B．100 C．124 D．164 【答案】C 【分析】根据题意，先分配特殊的两个人，再将剩余6个人分到两个路口，按照分组分配相关知识进行计算即可． 【详解】若小王在甲号路口，小李在乙号路口，则剩余6个人分到两个路口， 两个路口为人分布，共有种方案， 两个路口为人分布，共有种方案， 两个路口为人分布，共有种方案， 此时共有种方案； 同理若小王在甲号路口，小李在乙号路口，也共有种方案． 所以一共有种不同的安排方案种数． 故选：C． 5．（24-25高二上·湖南永州·开学考试）在2024年巴黎奥运会中，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，若甲只能参加接待工作，那么不同的志愿者分配方案的种数是（    ） A．38 B．42 C．50 D．56 【答案】C 【分析】根据参加接待工作的人数分类讨论，先分组再分配，结合排列组合即可求解. 【详解】（1）如果参加接待工作只有一人，则只能为甲， 再把其余4人分组有两类情况：和. 把4人按分组，有种分组方法，按分组，有种分组方法， 因此不同分组方法数为， 再把两组人安排到其余两类志愿者服务工作，有种方法， 所以不同分配方法种数是. （2）如果参加接待工作有2人，则除了甲之外，还需要再安排一人有种情况， 再把其余3人分组成，有种分组方法， 再把两组人安排到其余两类志愿者服务工作，有种方法， 所以不同分配方法种数是. （3）如果参加接待工作有3人，则除了甲之外，还需要再安排两人有种情况， 再把其余2人安排到其余两类志愿者服务工作，有种方法， 所以不同分配方法种数是. 综上，不同的志愿者分配方案的种数是. 故选：C. 【题型十一 染色问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·单元测试）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域涂色，要求同一区域用同一种颜色，相邻区域使用不同颜色，则共有涂色方法（    ）    A．120种 B．720种 C．840种 D．960种 【答案】D 【分析】利用分步乘法计数原理可得答案. 【详解】有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选， ，均有4种颜色可选，故共有涂色方法（种）． 故选：D. 2．（25-26高二上·上海·单元测试）如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（    ）．    A．240种 B．300种 C．360种 D．420种 【答案】D 【分析】先安排中心区域A，再从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域，分D与B选用同一种和选用不同种类菊花两种情况，结合计数原理得到答案. 【详解】先布置中心区域A共有5种方法，从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域， 则B有4种布置方法，C有3种布置方法． 如果D与B选用同一种菊花，则E有3种布置方法； 如果D与B选用不同种类菊花，则D有2种布置方法，E有2种布置方法． 按照分步乘法与分类加法计数原理， 则全部的布置方法有（种）. 故选：D． 3．（23-24高二下·福建厦门·强基计划）用九种颜色给一个正四面体涂色，使相邻两个面颜色不同（若两种涂色方法可以通过旋转使得每个面的颜色一对应，则算作一种涂色方法）共有（    ）种涂色情况. A．121 B．454 C．621 D．以上答案均不对 【答案】D 【分析】先求出不考虑旋转的条件下的涂色情况；再求出四面体旋转方式的总数，即可求解. 【详解】若不考虑旋转的情况，共有，而四面体共有种旋转方式，故共有. 故选：D 4．（24-25高二下·湖南·开学考试）提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（    ） A．288种 B．296种 C．362种 D．384种 【答案】D 【分析】分2号区域和6号区域同色，2号区域与4号区域同色，2号区域与4号区域，6号区域均不同色三种情况讨论，进而可得出答案. 【详解】首先三个区域有种涂法， 当2号区域和6号区域同色时，有种涂法； 当2号区域与4号区域同色时，有种涂法； 当2号区域与4号区域，6号区域均不同色时，有种涂法， 综上，共有384种涂法. 故选：D. 5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，给六个点涂色，现有五种不同的颜色可供选用，要求每个点涂一种颜色，且每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（    ）种． A．1440 B．1920 C．2160 D．3360 【答案】B 【分析】根据题意，依次分析、、和、、的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①对于、、三点，两两相邻，有种涂色方法， ②与相邻，有4种颜色可选， 若与同色，其中与同色时，有3种涂色方法，与不同色时，有2种颜色可选，有2种颜色可选， 此时有种涂色方法，同理：若与同色，有7种涂色方法， 若与、颜色都不同，有2种颜色可选，、有3种颜色可选， 此时有种涂色方法， 则、、有种涂色方法， 故有种涂色方法． 故选：B． 6．（23-24高二下·广东清远·期末）现要对三棱柱的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（    ） A．264种 B．216种 C．192种 D．144种 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理及分步乘法计数原理，结合排列、组合计数问题列式计算即得. 【详解】依题意，求不同涂色方案问题，有用4种颜色和用3种颜色两类办法， 用4种颜色，先涂点有种方法，再在中选一点涂第4色，另两点有3种涂色方法， 因此不同涂色方法数为； 用3种颜色，先涂点有种方法，再涂有2种方法， 因此不同涂色方法数为， 所以不同的涂色方案有（种）. 故选：A 【点睛】思路点睛：涂色问题，可以按用色多少分类，再在每类中探求同色方案列式求解. 【题型十二 多面手问题】 一、单选题 1．（2024·北京·模拟预测）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ）． A．26种 B．31种 C．36种 D．37种 【答案】D 【分析】根据题意，设只会划左桨的人，只会划右桨的人，既会划左桨又会划右桨的人，据此按集合中参与人数分3种情况讨论，再由加法原理求解即可． 【详解】根据题意，设只会划左桨的人，只会划右桨的人，既会划左桨又会划右桨的人， 据此分3种情况讨论： ①从中选3人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法； ②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法； ③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法， 则有种不同的选法. 故选：D． 二、填空题 2．（23-24高二下·山东·阶段练习）某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有 种不同的选法.（用数字作答） 【答案】185 【分析】根据分类加法计数原理，这个问题可按只会印刷的四人作为分类标准：第一类：只会印刷的4人全被选出；第二类：从只会印刷的4人中选出3人；第三类：从只会印刷的4人中选出2人，即可得解. 【详解】将只会印刷的4人作为分类标准，将问题分为三类： 第一类：只会印刷的4人全被选出，有种； 第二类：从只会印刷的4人中选出3人，有种； 第三类：从只会印刷的4人中选出2人，有种. 所以共有（种）. 故答案为：. 3．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有 种. 【答案】92 【分析】分三种情况，进行讨论，求出相应的选择数，相加后得到答案. 【详解】①若既会英语，也会日语的2人均没有选中， 此时只会英语的3人全部选中，只会日语的4人选择3人，共种选择； ②若既会英语，也会日语的2人选中1人，有种选择， 此人去进行英语导游，则从只会英语的3人选择2人，只会日语的4人选择3人， 有种选择， 此人去进行日语导游，则从只会英语的3人全部选中，只会日语的4人选择2人， 有种选择， 此时共有种选择； ③若既会英语，也会日语的2人均选中， 2人均进行英语导游，则从只会英语的3人选择1人，只会日语的4人选择3人， 有种选择， 2人均进行日语导游，则从只会英语的3人选择3人，只会日语的4人选择1人， 有种选择， 2人有1人进行英语导游，1人进行日语导游，有种选择， 再从只会英语的3人选择2人，只会日语的4人选择2人，有种选择， 此时有种选择， 所以若既会英语，也会日语的2人均选中，有种选择， 综上：共有种选择. 故答案为：92 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏扬州·期中）从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个奇数和两个偶数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（    ） A．9个 B．24个 C．36个 D．54个 【答案】D 【分析】根据题意，选出一个奇数和两个偶数，共有种选法，再结合排列数的公式，即可求解. 【详解】从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个奇数和两个偶数，共有种选法， 所以组成一个没有重复数字的三位数，共有个. 故选：D. 2．（23-24高二下·广东清远·期中）已知五个区域A，B，C，D，E依次相邻，如图所示，现在给这5个区域涂色，要求相邻的两个区域不能涂相同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法有（    ） A．1140 B．1200 C．1280 D．1400 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算即得. 【详解】依题意，分5步依次对涂色， 所以不同的涂色方法有（种）. 故选：C 3．（24-25高二上·全国·课后作业）计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．42种 D．60种 【答案】D 【分析】利用分步计数原理，结合间接法，即可求解. 【详解】把3个项目分配到4个体育馆，所有方案共有（种）， 其中，3个项目被分配到同一体育馆进行的有4种方法， 故满足条件的分配方案有（种）． 故选：D 4．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成的无重复数字的四位偶数共有（    ）个 A．150个 B．156个 C．144个 D．300个 【答案】B 【分析】当末位是数字0时，可以组成个数字；当末位不是0时，共有种结果，根据计数原理得到结果. 【详解】本题需要分两类来解， 当末位是数字0时，可以组成个四位偶数， 当末位不是0时，末位可以是2、4，有两种选法， 首位有4种选法，中间两位可以从余下的4个数字中选两个，共有种结果， 根据分类计数原理知共有种结果. 故选：B. 5．（24-25高二上·福建龙岩·期末）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育和艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法共有（   ） A．75种 B．144种 C．288种 D．360种 【答案】C 【分析】根据分步乘法计数原理，先排数学，再排英语，最后排剩余课程，结合组合数运算求解. 【详解】先排数学，有种不同的排法； 再排英语，有种不同的排法； 最后排剩余课程，有种不同的排法； 所以不同的排法共有种. 故选：C. 6．（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）若A，B，C，D，E，F六人站队照相，要求A､B相邻且C､D不相邻，则所有不同的站法有（    ） A．36 B．72 C．108 D．144 【答案】D 【分析】根据相邻元素的捆绑法与不相邻元素的插空法即可得不同的站法数. 【详解】由于A､B相邻捆绑再一起有种方法， 再与E，F一起安排有种方法，最后插空安排不相邻的C､D有种方法， 根据分步乘法计数原理可得所有不同的站法有种. 故选：D. 7．（23-24高二下·浙江宁波·阶段练习）某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有（    ） A．144种 B．72种 C．36种 D．24种 【答案】B 【分析】将第一个和最后一个先安排为公益广告，然后由商业广告不能3个连续播放，将其排成一列，之间有两个空，将剩下的公益广告插进去即可. 【详解】先从3个不同的公益广告中选两个安排到第一个和最后一个播放有种方法， 然后将3个不同的商业广告排成一列有种方法， 3个不同的商业广告之间有两个空，选择一个将剩下的一个公益广告安排进去即可， 所以总共有：种方式. 故选:B 8．（2024·云南·一模）一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光､蓝色光､绿色光中的一种光.若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这排电子元件能表示的信息种数共有（    ） A．60种 B．68种 C．82种 D．108种 【答案】D 【分析】利用插空法结合组合数求解. 【详解】每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮， 所以需把3个亮的发光原件插入未点亮的元件中，有种方法， 且不同颜色数有种， 所以这排电子元件能表示的信息种数共有种. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查组合计数问题，关键是插空法的应用. 9．（24-25高二上·江西抚州·期末）在“文化抚州，梦想之舟”半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校5名同学到甲、乙、丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（    ） A．25种 B．150种 C．300种 D．50种 【答案】B 【分析】利用先分组后分配来解题，分组中要注意均分组消序思想. 【详解】五名同学分三个小组， 若按2人，2人，1人来分有种， 若按3人，1人，1人来分有种， 再把这三个小组排列到三个服务站去共有种， 所以每个服务点至少有1人的不同安排方法有：种， 故选：B. 10．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）将甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A，B，C三个地区参加公益活动，要求每个地区都要有志愿者且最多不超过2人，则不同的分配方案有（   ） A．90种 B．180种 C．60种 D．120种 【答案】A 【分析】先将5名志愿者按要求分成三组，再将分得的三组分配到A，B，C三个地区，按分组分配方法计算即可得解. 【详解】由题先将5名志愿者分成三组有种分法， 再将分得的三组分配到A，B，C三个地区参加公益活动有种分法， 所以所求的不同的分配方案有种. 故选：A. 11．（23-24高二上·辽宁抚顺·阶段练习）若把英语单词“receive”的字母顺序写错了，则出现的错误写法共有（   ） A．840种 B．839种 C．2520种 D．2519 种 【答案】B 【分析】7个字母中有3个字母是重复的，所以共有种排法，可解问题. 【详解】7个字母的全排列有种， 因为有3个字母是重复的，所以共有种排法， 除去1种正确的写法，所以出现的错误写法共有839种. 故选：B. 12．（23-24高二下·重庆·阶段练习）某班一天上午有五节课，下午有两节课，现要安排该班一天中语文､数学､物理､英语､地理､体育､艺术7堂课的课程表，要求艺术课排在上午第5节，体育课排在下午，数学与物理不相邻，则不同的排法种数是（    ） A．128 B．148 C．168 D．188 【答案】C 【分析】利用特殊元素优先法，不相邻元素插空法，再结合分类加法计数原理、分步乘法计数原理可得结果. 【详解】艺术课一定在上午第5节只一种排法，体育课在下午共种排法； 因数学与物理不相邻，分两类： 第一类：数学与物理有一科在下午，另一科在上午，与其他科排列共种排法； 第二类：数学与物理均在上午且不相邻，先在语文､英语､地理中选一科排在下午有， 再把剩下2科排在上午种排法，在它们中间及两端共3个空位安排数学与物理，共种排法， 由分步乘法计数原理共种， 所以共有, 故选：C. 13．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）将名教师和名学生安排到个地区开展调研活动，出于安全考虑，若每个地区至少安排名教师，至多安排名学生，则不同的安排方式共有种（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别将教师和学生进行分组，再进行分配即可. 【详解】名教师分成组，一定有人在一个组，共有种方法； 名学生可以分成组或组，共有种方法； 所以不同的安排方式有. 故选：C 14．（23-24高二下·安徽池州·期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ）    A．120 B．26 C．340 D．420 【答案】D 【分析】根据题意，分4步依次分析区域A、B、C、D、E的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案． 【详解】根据题意，如图，设5个区域依次为A、B、C、D、E，    分4步进行分析： ①，对于区域A，有5种颜色可选； ②，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域C，与A、B区域相邻，有3种颜色可选； ④，对于区域D、E，若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选， 若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选， 则区域D、E有种选择， 所以不同的涂色方案有种. 故选：D. 15．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）我们把各位数字之和为8的四位数称为“八合数”(如2 024是“八合数”)，则“八合数”共有（    ）个. A．35 B．56 C．120 D．165 【答案】C 【分析】分含有三个0，两个0，一个0和不含0四种情况分类讨论，求出每种情况下的个数相加得到答案. 【详解】含有三个0时，只能为，即1种选择； 含有两个0时，另外两个数为或或或， 当另外两个数为时，从百位，十位，个位选择两个位置放0， 和剩余的两个位置进行全排列，故有种选择， 当另外两个数为或时，同理可得有种选择， 当另外两个数为时，从百位，十位，个位选择两个位置放0， 剩余的两个位置放4，故有种选择， 故含有两个0时，共有种选择， 含一个0，其他三个数可以为或或或或， 当三个数为时，先从百位，十位，个位选择一个位置放0， 再从剩余的三个位置选择一个位置放6，剩余的两个位置放1，故有种选择， 同理当三个数为或时，均有种选择； 当三个数为或时，先从百位，十位，个位选择一个位置放0， 剩余的三个数进行全排列，故有种选择， 所以，当四个数中有一个0时，共有种选择， 当不含0时，四个数可以为或或或或， 当四个数分别为，从四个位置选择1个放5，其他三个位置放1，故有种， 当四个数分别为，从四个位置选择2个放，且有顺序，其他两个位置放1，故有种， 当四个数分别为时，同理可得有种， 当四个数分别为时，从四个位置选择2个放，且无顺序，其他两个位置放3，故有种， 当四个数为时，只有1种选择， 故不含0时，共有种选择， 综上，共有个“八合数”. 故选：C 二、填空题 16．（23-24高二下·广西·期中）百色起义纪念馆、红军长征突破湘江烈士纪念碑园、红军长征湘江战役纪念馆、东兰红色旅游区是广西著名的红色旅游景点，某旅游博主准备分4次分别去这4个景点旅游，则百色起义纪念馆不在最后1次去的方法总数为 ．（用数字作答） 【答案】18 【分析】利用间接法即可求解. 【详解】百色起义纪念馆最后1次的方法共有， 故百色起义纪念馆不在最后1次去的方法总数为． 故答案为：18 17．（24-25高二下·重庆沙坪坝·开学考试）现有 2 位女生和 3 位男生站成一排照相，要求女生甲排在两端且 3 位男生中有且只有 2 位相邻，则不同的站法有 【答案】24 【分析】根据甲在第一位以及第五位，即可分类求解. 【详解】若甲在第一位，则两个相邻的男生必须站在23位或者45位，此时有, 同理可得甲在第五位，， 因此共有种方法， 故答案位： 18．（24-25高二下·河北·开学考试）把除颜色外完全相同的5个红球和4个白球排成一行，则恰有3个红球相邻在一起的不同排法种数为 用数字作答 【答案】50 【分析】用分类加法计数原理和“捆绑法”求解即可. 【详解】分两类，第一类：3个红球“捆绑”在一起，另外2个红球也“捆绑”在一起，然后让4个白球排列后形成5个空位，选出2个空位让这两个“捆绑”的红球排列即可，此时有种； 第二类：3个红球“捆绑”在一起，另外2个红球不相邻，此时让4个白球排列后形成5个空位，从中选出1个空位放“捆绑”的红球，再从剩下的4个空位选出3个空位放不相邻的红球即可，此时有，所以共有种. 故答案为：50 19．（24-25高二上·安徽马鞍山·阶段练习）某宾馆安排甲、乙、丙、丁、戊五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且甲和乙住同一个房间，则共有 种不同的安排方法．（用数字作答） 【答案】36 【分析】根据分组分配问题，结合分类以及排列组合求解即可. 【详解】若甲乙连同另一个人共3人一起住一个房间，其它2人一人一间房，三组作全排列，此时有种方法， 若只有甲乙两人住一个房间，其它3人选1人住一间房，三组再作全排列，此时由种方法， 故共有方法， 故答案为：36． 20．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）“渐升数”是指每一位数字都比左边数字大的正整数（如1347），那么四位“渐升数”有 个，比5789小的四位“渐升数”有 个.（用数字作答） 【答案】 【分析】根据题意，利用“渐升数”的定义，集合组合数公式，分类讨论，即可求解. 【详解】根据题意，“渐升数”中不能有0，则在其他的9个数字中任取4个数， 则每种取法对应一个“渐升数”，所以四位“渐升数”有个； 当千位数字为时，此时得到的渐升数都小于5789，有个； 当千位数字为时，此时得到的渐升数都小于5789，有个； 当千位数字为时，此时得到的渐升数都小于5789，有个； 当千位数字为时，此时得到的渐升数都小于5789，有个； 当千位数字为，百位数字为时，此时得到的渐升数都小于5789，有个， 综上可得，比5789小的四位“渐升数”有个. 故答案为：；. 21．（24-25高二上·上海·阶段练习）用 “行”、“知”、“中”、“学”、“顶”、“呱”、“呱”这七个字可以组成 种不同的七字短语. (不考虑短语的含义) 【答案】 【分析】先将七个字全排列，再除以2即可. 【详解】先将七个字进行排列，有种选择， 由于七个字中有两个相同的“呱”，故均重复计算了一次， 所以共有种不同的七字短语(不考虑短语的含义). 故答案为： 22．（24-25高二上·吉林长春·期末）某名校为落实教育帮扶“深耕计划”，选派了4名教师到A，B，C三个县城学校进行教育帮扶指导.每个学校至少派1人，不同的安排方式共有 种用数字解答 【答案】36 【分析】先分组再分配，结合分步乘法计数原理求解． 【详解】将4名教师分配到3个学校，每个学校至少1人， 首先，将4名教师分成3组，其中2组各1人，1组2人，共有种分组方式， 然后，将这3组教师分配到3个学校，共有种分配方式， 根据分步乘法计数原理，总共有种不同的安排方式． 故答案为：36 23．（23-24高二下·河北唐山·期中）9名学生报名参加学校联欢晚会，其中4人只会唱歌，2人只会跳舞，其余3人既会唱歌又会跳舞，现从中选6人，3人唱歌，3人跳舞，共有 种不同的选法. 【答案】 【分析】从只会跳舞的人入手，分只会跳舞的选人，只会跳舞的选人和只会跳舞的选人，三种情况讨论，即可得解. 【详解】只会跳舞的选人，则有种， 只会跳舞的选人，则有种， 只会跳舞的选人，则有种， 所以共有种不同的选法. 故答案为：. 24．（24-25高二上·江西·期末）现将8个体积相同但质量均不同的小球放入恰好能容纳8个小球且底面圆直径与小球直径相同的圆柱形卡槽内，这8个小球分别为2个红球、4个白球、2个黑球，若4个白球互不相邻，且其中一个白球不能放入卡槽的两端，则共有 种不同的放法；若2个红球之间恰好有白球和黑球各1个，则共有 种不同的放法． 【答案】 1728 3840 【分析】依题意可将把8个小球放入卡槽内的过程转化为这8个小球位置上的排列组合问题，若4个白球互不相邻，且其中一个白球不能放入卡槽的两端，先排红球和黑球，再利用插空法排白球，按照分步乘法计数原理计算可得；若2个红球之间恰好有白球和黑球各1个，先任选1个白球，1个黑球放入2个红球中间，再将1个白球，1个黑球和2个红球进行捆绑与剩余的4个小球进行全排列，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】由题意可将把8个小球放入卡槽内的过程转化为这8个小球位置上的排列组合问题， 若4个白球互不相邻，且其中一个白球不能放入卡槽的两端， 先排红球和黑球共有种方法，再排其中1个白球有种方法， 最后排剩余的3个白球有种方法，所以共有种不同的放法． 若2个红球之间恰好有白球和黑球各1个，先任选1个白球，1个黑球放入2个红球中间，有种方法， 又2个红球的放法有种， 再将1个白球，1个黑球和2个红球进行捆绑与剩余的4个小球进行全排列有种， 所以共有种不同的放法． 故答案为：； 25．（2025·江西新余·模拟预测）如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有 种不同的染色方案. 【答案】192 【分析】法一：间隔元素分析法，分同色，同色；同色，不同色；不同色，同色；不同色，不同色，结合和的颜色相同和不同，分类讨论，得到情况数，相加即可； 法二：相邻最多元素优先分析法，考虑到影响的元素最多，分各不同色， 和同色，结合同色，不同色，同色，不同色，共有类讨论，分类讨论，得到情况数，相加即可 【详解】法一：间隔元素分析法： ①同色，同色，则有两种上色方式，被确定，故有种； ②同色，不同色，则仅有1中上色方式，被确定，故有种； ③不同色，同色，则若与同色，则有1种上色方式； 若与不同色，则只有1种上色方式； 故有种； ④不同色，不同色， 1）同色，则有种；2）不同色，则有种. 综上，共有种方式. 法二：相邻最多元素优先分析法： 考虑到影响的元素最多： ①各不同色，1）同色，则有3种染色法，故共有种； 2）不同色，则有2种染色法，故共有：种； ②同色，1）同色，则只有1种染色法（4种颜色都要使用到）， 故有种；2）不同色，则有2种染色法，故有种. 综上：共有种染色方案. 故答案为：192. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$