15.4（1）矩形的性质与判定（9大题型提分练）数学新教材北京版八年级下册

（北京版）八年级下册数学《第15章 四边形》 15.4 特殊的平行四边形的性质与判定 15.4（1）矩形的性质与判定 知识点一 矩形的性质 ◆性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等. 几何语言： ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴ ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD. 1、矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质. 2、矩形是轴对称图形，邻边不相等的矩形有两条对称轴，分别是对边所在中点连线的直线. 3、矩形的四个角都是直角，常把矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决，同时，矩形被两条对角线分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，也常常用到等腰三角形的性质. 4、矩形的面积 = 长×宽，矩形的面积=被对角线分成的四个面积相等的小三角形（等腰三角形）面积之和. 知识点二 直角三角形斜边上的中线的的性质 ◆1、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言：∵ 在Rt△ABC中，点O是AB的中点， ∴ OB=AO=CO=AC. 知识点二 矩形的判定 ◆矩形的判定方法： 方法一：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)， ∴ 四边形ABCD是矩形. 方法二：对角线相等的平行四边形是矩形； 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD， ∴ 四边形ABCD是矩形. 方法三：有三个角是直角的四边形是矩形； 几何语言：∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴ 四边形ABCD是矩形. ◆思路总结：判定一个四边形是矩形要分两种情况：一是在平行四边形的基础上判定矩形，只要证出有一个角是直角或对角线相等即可；二是在四边形的基础上判定矩形，可以直接证出三个角是直角或先证出四边形是平行四边形，再进一步证明有一个角是直角或对角线相等. 题型一 利用矩形的性质求线段长 解题技巧提炼 在利用矩形的性质计算线段长度时，常常与特殊三角形的性质和勾股定理结合起来应用. 1．（2024秋•英德市期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AO＝3，则BD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据矩形的性质得出AC＝BD，AO＝CO，求出AC，再求出BD即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AO＝CO， ∵AO＝3， ∴CO＝3， ∴AC＝3+3＝6， ∴BD＝AC＝6， 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的性质，能熟记矩形的对角线互相平分且相等是解此题的关键． 2．（2024春•余干县期末）已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（　　） A．6 cm和9 cm B．5 cm和10 cm C．4 cm和11 cm D．7 cm和8 cm 【分析】根据已知条件以及矩形性质证△ABE为等腰三角形得到AB＝AE，注意“长和宽分别为15cm和10cm”说明有2种情况，需要分类讨论． 【解答】解：如图，∵矩形ABCD中，BE是角平分线． ∴∠ABE＝∠EBC． ∵AD∥BC． ∴∠AEB＝∠EBC． ∴∠AEB＝∠ABE ∴AB＝AE． 当AB＝15cm时：则AE＝15cm，不满足题意． 当AB＝10cm时：AE＝10cm，则DE＝5cm． 故选：B． 【点评】此题考查了矩形的性质与等腰三角形的判定与性质．注意出现角平分线，出现平行线时，一般出现等腰三角形，需注意等腰三角形相等边的不同． 3．（2024•深圳模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则BC的长为（　　） A． B． C．4 D．2 【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质可证△AOB是等边三角形，可得∠BAC＝60°，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝BO＝CO＝DO， ∵AE垂直平分OB， ∴AB＝AO， ∴AB＝AO＝BO， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴BCAB＝2， 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 4．（2024秋•铁西区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，延长CD到点E，连接BE交AD于点G，点F为BE的中点，连接CE，以点C为圆心，CF长为半径的圆弧经过点G，连接CG，若BE＝10，则DG的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．3 【分析】根据矩形的性质得出∠BCE＝90°，CD＝AB＝4，由点F为BE的中点可知，在Rt△CDG中利用勾股定理得出DG的长即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCE＝90°，CD＝AB＝4， ∵点F为BE的中点， ∴， ∵以点C为圆心，CF长为半径的圆弧经过点G， ∴CG＝CF＝5， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 5．（2024秋•峰峰矿区校级期末）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，则DE的长为（　　） A．22 B．1 C．1 D．2 【分析】在Rt△ABE中可求得BE的长，由角平分线的定义和平行的性质可证得BC＝BE，则可求得AD的长，则可求得DE的长． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC，∠A＝90°， ∵AB＝2，∠ABE＝45°， ∴AE＝AB＝2， ∴BE2， ∵AD∥BC， ∴∠DEC＝∠ECB， ∵EC平分∠BED， ∴∠BEC＝∠DEC， ∴∠BEC＝∠ECB， ∴BC＝BE＝2， ∴AD＝2， ∴DE＝AD﹣AE＝22， 故选：A． 【点评】本题主要考查矩形的性质，根据条件证得BC＝BE是解题的关键． 6．（2024春•丹阳市期中）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED． （1）判断△BEC的形状，并说明理由； （2）若AB＝1，∠ABE＝45°，求DE的长． 【分析】（1）利用矩形的性质和角平分线平分角，推出∠BEC＝∠BCE，即可得到BE＝BC，即可得出结论； （2）易得△BAE为等腰直角三角形，求出AE，BE的长，即可得出AD的长，利用DE＝AD﹣AE，进行求解即可． 【解答】解：（1）△BEC是等腰三角形，理由如下： ∵矩形ABCD， ∴AD∥BC， ∴∠BCE＝∠DEC， ∵EC平分∠BED， ∴∠BEC＝∠DEC， ∴∠BEC＝∠BCE， ∴BE＝BC， ∴△BEC是等腰三角形； （2）∵矩形ABCD， ∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝1，BC＝AD， ∵∠ABE＝45°， ∴∠AEB＝45°， ∴AE＝AB＝1， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 【点评】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握矩形的性质，是解题的关键． 7．（2024春•雨花区期末）如图，矩形ABCD的对角线交于点G，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E． （1）求证：四边形ABEC为平行四边形； （2）过点D作DF⊥BE于F，连接FG，若AB＝1，BC＝2，求FG的长． 【分析】（1）根据矩形的性质可得AB∥CD，进而可得AB∥CE，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可证明四边形ABEC为平行四边形； （2）根据勾股定理求出，根据矩形的性质可得，再根据“直角三角形中，斜边中线等于斜边的一半”即可求出FG的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∵E点在DC的延长线上， ∴AB∥CE， 又∵BE∥AC， ∴四边形ABEC为平行四边形． （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，BG＝DG，AC＝BD，即G点是BD中点， ∵AB＝1，BC＝2， ∴， ∴， ∵DF⊥BE， ∴∠BFD＝90°， ∴． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理以及直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型二 利用矩形的性质求角度 解题技巧提炼 矩形内求角度的问题主要是利用矩形的性质和结合题中的条件求解，有时要利用等腰三角形的性质. 1．（2024秋•顺德区期末）如图，点E在矩形ABCD的边AD上．若△EBC是等边三角形，则∠AEB的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】根据平行线的性质和等边三角形的性质即可解答． 【解答】解：∵△EBC是等边三角形， ∴∠CBE＝60°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE＝60°． 故选：C． 【点评】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．（2024秋•衡南县期末）如图，分别在长方形ABCD的边DC，BC上取两点E，F，使得AE平分∠DAF，若∠BAF＝60°，则∠DAE＝（　　） A．45° B．30° C．15° D．60° 【分析】长方形内角为90°，已知∠BAF＝60°，所以可以得到∠DAF，又因为AE平分∠DAF，所以∠DAE便可求出． 【解答】解：在长方形ABCD中，∠BAD＝90° ∵∠BAF＝60° ∴∠DAF＝90°﹣∠BAF＝30° 又AE平分∠DAF 所以∠DAE∠DAF＝15° 故选：C． 【点评】运用了长方形的四个角都是直角以及角平分线的概念即可解决． 3．（2024秋•南关区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，如果BO＝BE，那么∠BOE的度数为（　　） A．55° B．65° C．75° D．67.5° 【分析】根据矩形的性质和全等三角形的判定、性质，由BO＝BE，∠OBE的度数，然后即可计算出∠BOE的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD，AB＝CD， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴∠BAE＝∠BEA＝45°， ∴AB＝BE， ∴AC＝2CD， ∴BD＝2AB， ∴BO＝BE， ∴∠BOE＝∠BEO， ∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB， ∴△AOD≌△COB（SAS）， ∴∠OAD＝∠OBC＝30°， ∴∠OBE＝30°， ∴∠BOE＝∠BEO75°， 故选：C． 【点评】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4．（2024春•船营区校级月考）如图，延长矩形ABCD的这AD到点E，使AE＝BD，连接CE，若∠CDB＝24°，则∠E＝ 　 　． 【分析】连接AC，BD交于点O，由矩形的性质可得OC＝OD，由等边对等角可得∠DCA＝∠CDB＝24°，由三角形内角和定理可得∠CAD，再根据AC＝BD＝AE，推出∠E＝∠ECA，即可求解． 【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，，，∠CDA＝90°， ∴OC＝OD， ∴∠DCA＝∠CDB＝24°， ∴∠CAD＝90°﹣∠DCA＝90°﹣24°＝66°， ∵AE＝BD，AC＝BD， ∴AC＝AE， ∴∠E＝∠ECA， ∴， 故答案为：57°． 【点评】本题考查矩形的性质，关键是矩形性质的熟练掌握． 5．（2024春•抚顺期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC＝3：2，则∠BDF＝　 　． 【分析】根据∠ADC＝90°，求出∠CDF和∠ADF，根据矩形性质求出OD＝OC，推出∠BDC＝∠DCO，求出∠BDC，即可求出答案． 【解答】解：设∠ADF＝3x°，∠FDC＝2x°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°， ∴2x+3x＝90， x＝18°， 即∠FDC＝2x°＝36°， ∵DF⊥AC， ∴∠DMC＝90°， ∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝2OC，BD＝2OD，AC＝BD， ∴OD＝OC， ∴∠BDC＝∠DCO＝54°， ∴∠BDF＝∠BDC﹣∠CDF＝54°﹣36°＝18°， 故答案为：18°． 【点评】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理的应用，关键是求出∠BDC和∠CDF的度数，注意：矩形的对角线互相平分且相等． 6．（2024春•洪泽区校级月考）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，如果∠ACB＝36°，求∠E的度数． 【分析】由矩形的性质得AC＝BD，而CE＝BD，则AC＝CE，所以∠CAE＝∠E，则∠ACB＝∠CAE+∠E＝2∠E＝36°，即可求得∠E＝18°． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD， ∵CE＝BD， ∴AC＝CE， ∴∠CAE＝∠E， ∴∠ACB＝∠CAE+∠E＝2∠E， ∵∠ACB＝36°， ∴2∠E＝36°， ∴∠E＝18°， ∴∠E的度数是18°． 【点评】此题重点考查矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明AC＝CE是解题的关键． 7．（2024秋•府谷县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，交AB于点F，交CD于点E，EF＝AF．求∠OFA的度数． 【分析】连接AE，由矩形的性质得CD∥AB，OC＝OA，则∠OCE＝∠OAF，而∠COE＝∠AOF，即可根据“ASA”证明△OCE≌△OAF，得OE＝OF，因为EF经过点O，且EF⊥AC，所以AC垂直平分EF，则AE＝AF，而EF＝AF，可证明△AEF是等边三角形，则∠OFA的度数是60°． 【解答】解：连接AE， ∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O， ∴CD∥AB，OC＝OA， ∴∠OCE＝∠OAF， 在△OCE和△OAF中， ， ∴△OCE≌△OAF（ASA）， ∴OE＝OF， ∵EF经过点O，且EF⊥AC， ∴AC垂直平分EF， ∴AE＝AF， ∵EF＝AF， ∴AE＝EF＝AF， ∴△AEF是等边三角形， ∴∠OFA的度数是60°． 【点评】此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 题型三 利用矩形的性质求周长和面积 解题技巧提炼 求矩形的面积问题，主要是利用矩形的性质求出矩形的长和宽，再根据面积的计算公式求解即可，有时与勾股定理结合起来用. 1．如图，在长方形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接ED，若ED＝5，EC＝3，则长方形的面积为（　　） A．22 B．24 C．26 D．28 【分析】直接利用勾股定理得出DC的长，再利用角平分线的定义以及等腰三角形的性质得出BE的长，进而得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC， ∵ED＝5，EC＝3， ∴DC4， 则AB＝4， ∵AE平分∠BAD交BC于点E， ∴∠BAE＝∠DAE， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴AB＝BE＝4， ∴BC=BE+EC＝4+3=7 ∴长方形的面积为：4×7＝28． 故选：D． 【点评】此题主要考查了矩形的性质以及角平分线的定义，正确得出AB＝BE是解题关键． 2．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（　　） A．2 B．3 C．4 D．4 【分析】因为DE是AC的垂直的平分线，所以D是AC的中点，F是AB的中点，所以DF∥BC，所以∠C＝90°，所以四边形BCDE是矩形，因为∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，能求出AB的长，根据勾股定理求出AC的长，从而求出DC的长，从而求出面积． 【解答】解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点， ∴DF∥BC， ∴∠C＝90°， ∴四边形BCDE是矩形． ∵∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2， ∴AB＝4， ∴AC2． ∴BE＝CD． ∴四边形BCDE的面积为：22． 故选：A． 【点评】本题考查了矩形的判定定理，矩形的面积的求法，以及中位线定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质等． 3．（2024春•长春期末）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AB于点E，连接CE，若矩形ABCD的周长是20cm，则△BCE的周长是（　　） A．10cm B．15cm C．20cm D．40cm 【分析】由矩形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝CE，又由矩形ABCD的周长为10，可得AB+CB的长，继而可得△BEC的周长等于AB+CB． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC， ∵矩形ABCD的周长为20cm， ∴AB+CB＝10（cm）， ∵OE⊥AC， ∴AE＝CE， ∴△BEC的周长＝CE+CB+BE＝CB+AE+CE＝AB+CB＝10（cm）． 故选：A． 【点评】此题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ACB＝30°，BD＝4，则矩形ABCD的面积是　 ． 【分析】根据题意和矩形的性质，可以得到AC的长，然后根据直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理，可以得到AB和BC的长，从而可以求得矩形ABCD的面积． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，BD＝4， ∴AC＝BD＝4，∠ABC＝90°， ∵∠ACB＝30°， ∴AB＝2，BC2， ∴矩形ABCD的面积是：2×24， 故答案为：4． 【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 5．如图，点O是矩形ABCD的对角线BD的中点，点E是BC的中点，连接OA，OE．若OA＝2，OE＝1，则矩形ABCD的面积为　 　． 【分析】由三角形中位线定理求出OA＝2，由勾股定理求出AD的长，则可得出答案． 【解答】解：∵O为BD的中点，E是BC的中点， ∴OEDC， ∵OE＝1， ∴DC＝2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝2，∠BAD＝90°， ∵OA＝2， ∴BD＝2OA＝4， ∴AD2， ∴矩形ABCD的面积＝AD•DC＝2． 故答案为：4． 【点评】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 6．（2024秋•南海区校级月考）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC、AD于点E、F，若BE＝3，AF＝5，则矩形ABCD的周长为　 　． 【分析】连接CF，根据线段垂直平分线的性质得到CF＝AF＝5，OA＝OC，再证明△AOF≌△COE（AAS）得到CE＝AF＝5，进而可求出AD，DF的长，再利用勾股定理求出CD的长即可得到答案． 【解答】解：如图所示，连接CF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AF∥CE， ∴∠OAF＝∠OCE，∠OFA＝∠OEC， ∵对角线AC的垂直平分线EF分别交BC、AD于点E、F， ∴CF＝AF＝5，OA＝OC， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（AAS）， ∴CE＝AF＝5， ∴AD＝BC＝CE+BF＝5+3＝8， ∴DF＝3， ∴CD4， ∴矩形ABCD的周长为AD+CD+AB+BC＝8+8+4+4＝24， 故答案为：24． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，关键是相关性质的应用． 7．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF． （1）求证：AE＝CF； （2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积． 【分析】（1）由矩形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，证出OE＝OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE＝CF； （2）证出△AOB是等边三角形，得出OA＝AB＝6，AC＝2OA＝12，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC6，即可得出矩形ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°， ∵BE＝DF， ∴OE＝OF， 在△AOE和△COF中，， ∴△AOE≌△COF（SAS）， ∴AE＝CF； （2）解：∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∵∠AOB＝∠COD＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝AB＝6， ∴AC＝2OA＝12， 在Rt△ABC中，BC6， ∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝6×636． 【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和求出BC是解决问题的关键． 题型四 利用矩形的性质证明 解题技巧提炼 与矩形有关的问题，常与全等三角形和特殊三角形等知识融为一体进行探索，利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可. 1．（2024秋•华安县校级期末）如图，在矩形ABCD中．点O在边AB上，∠AOC＝∠BOD． 求证：AO＝BO． 【分析】首先根据矩形的性质得到∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，利用角之间的数量关系得到∠AOD＝∠BOC，利用AAS证明△AOD≌△BOC，即可得到AO＝OB． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC， ∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠AOC﹣∠DOC＝∠BOD﹣∠DOC， ∴∠AOD＝∠BOC， 在△AOD和△BOC中， ， ∴△AOD≌△BOC（AAS）， ∴AO＝OB． 【点评】本题主要考查了矩形的性质的知识，解答本题的关键是证明△AOD≌△BOC，此题难度不大． 2．（2024•淮安）已知：如图，在矩形ABCD中，点E、F在BD上，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF． 【分析】根据矩形的性质，可以得到AB＝CD，AB∥CD，再根据平行线的性质，即可得到∠ABE＝∠CDF，然后根据SAS即可证明结论成立． 【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）． 【点评】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 3．（2024春•江西月考）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，若∠AOB＝60°，求证：△OBE是等腰三角形． 【分析】根据矩形的性质可得△AOB为等边三角形．然后根据角平分线可得△ABE是等腰直角三角形，进而可以解决问题． 【解答】证明：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴OA＝OB， 又∵∠AOB＝60°， ∴△AOB为等边三角形． ∴OA＝OD＝OB＝AB＝OC， ∵AE平分∠BAD交BC于点E， ∴∠BAE＝45°， ∴AB＝BE， ∴BE＝OB， ∴△OBE是等腰三角形． 【点评】此题考查矩形的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和等腰三角形的判定解答． 4．（2024•碑林区校级一模）如图，矩形ABCD，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且EF＝BC．求证：△ABE≌△DCF． 【分析】由矩形的性质可得AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，AD＝BC，AD∥BC，由“SAS”可证△ABE≌△DCF． 【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°， ∴∠ABE＝∠DCF＝90°， ∵EF＝BC， ∴BC﹣EC＝EF﹣EC， ∴BE＝CF， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）． 【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 5．（2024春•姜堰区校级月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在AB的延长线上找一点E，连接EC，使得EC＝AC． （1）求证：四边形BDCE是平行四边形； （2）若AB＝6，BC＝8，求点E到AC的距离． 【分析】（1）由矩形的性质得∠ABC＝90°，DB＝AC，AB＝DC，由BC⊥AE，EC＝AC，得AB＝EB，则DB＝EC，EB＝DC，即可证明四边形BDCE是平行四边形； （2）设点E到AC的距离是h，由勾股定理求得AC10，再由10h12×8＝S△AEC求出h的值即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，DB＝AC，AB＝DC， ∴BC⊥AE， ∵EC＝AC， ∴DB＝EC，AB＝EB， ∴EB＝DC， ∴四边形BDCE是平行四边形． （2）解：设点E到AC的距离是h， ∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴AC10，AE＝2AB＝12， ∵AC•hAE•BC＝S△AEC， ∴10h12×8， 解得h， ∴点E到AC的距离为． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理、根据面积等式求点到直线的距离等知识与方法，正确地列出表示△AEC面积的代数式是解题的关键． 6．（2024秋•市南区期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点F、E分别在边AD和BC上，O在线段EF上，连接AE、CF，AE交BD于点G． （1）求证：AE＝CF； （2）若G是BO的中点，且∠ACB＝30°，判断四边形AECF的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，OA＝OC，求得∠FAO＝∠ECO根据全等三角形的性质得到OF＝OE，根据平行四边形的性质即可得到结论； （2）根据矩形的性质得到AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∠ABC＝90°，推出△OAB是等边三角形，得到OA＝OB＝AB，求得∠CAE＝∠ACE＝30°，得到AE＝CE，根据菱形的判定定理得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，OA＝OC， ∴∠FAO＝∠ECO 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴OF＝OE， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∴AE＝CF； （2）解：四边形AECF是菱形， 理由：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∠ABC＝90°， ∴OA＝OB， ∵∠ACB＝30°， ∴∠OAB＝60°， ∴△OAB是等边三角形， ∴OA＝OB＝AB， ∵G是BO的中点， ∴∠BAG＝∠OAG＝30°， ∴∠CAE＝∠ACE＝30°， ∴AE＝CE， ∵四边形AFCE是平行四边形， ∴四边形AFCE是菱形． 【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 题型五 直角三角形斜边上的中线的性质 解题技巧提炼 在直角三角形中，遇到斜边的中点常作斜边的中线，从而利用直角三角形斜边中线的性质解决问题. 1．（2024•雁塔区校级四模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，点E在AC上，且AE＝BE，连接CD交BE于点F，若∠A＝25°，则∠DFE的度数（　　） A．65° B．70o C．75o D．80o 【分析】由直角三角形的性质可得CD＝AD，即可求解∠ACD＝25°，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可求得∠BEC＝50°，再利用三角形外角的性质可求解． 【解答】解：∵D为AB的中点，∠ACB＝90°， ∴CD＝AD， ∴∠ACD＝∠A＝25°， ∵AE＝BE， ∴∠ABE＝∠A＝25°， ∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝50°， ∴∠DFE＝∠ACD+∠BEC＝25°+50°＝75°， 故选：C． 【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，求解∠ACD，∠BEC的度数是解题的关键． 2．（2024•碑林区校级模拟）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，E为BC边的中点，AB＝4，AC＝2，DE，则∠ACD＝（　　） A．15° B．30° C．22.5° D．45° 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BC＝2DE＝2，再利用勾股定理的逆定理得出∠ACB＝90°，由AB＝2AC可求解∠ABC＝30°，然后根据同角的余角相等即可得出∠ACD＝∠ABC即可求解． 【解答】解：∵CD⊥AB，E为BC边的中点，DE， ∴BC＝2DE＝2， ∵AB＝4，AC＝2， ∴AC2+BC2＝4+12＝16＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，且∠ABC＝30°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∵∠ABC+∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠ABC＝30°． 故选：B． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的逆定理，余角的性质，证明△ABC是直角三角形是解题的关键． 3．（2024•宁南县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，点F为DE的中点，连结BF．若AB＝10，则BF的长为 　 　． 【分析】先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度，结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BFCD． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10， ∵CD为中线， ∴CDAB＝5． ∵F为DE中点，BE＝BC， ∴点B是EC的中点， ∴BF是△CDE的中位线， ∴BFCD＝2.5． 故答案为：2.5． 【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 4．（2024秋•新田县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm，AM是BC上的高，MN∥AC，MN交AB于点N，BC＝6cm，求△BMN的周长． 【分析】先根据等腰三角形的性质得出∠CAM＝∠BAM，求出BM，再根据平行线的性质得出∠BAM＝∠AMN，进而得出MN＝AN，最后根据△BMN＝BM+AB求出答案． 【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，AM是BC上的高， ∴∠CAM＝∠BAM，（cm）（三线合一）， ∵MN∥AC， ∴∠AMN＝∠CAM， ∴∠BAM＝∠AMN（等量代换）， ∴MN＝AN（等角对等边）， ∴△BMN的周长＝BM+BN+MN， ＝BM+BN+AN＝BM+AB＝3+8＝11（cm）． 答：△BMN的周长为11cm． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质等，将三角形的周长转化为两条线段的和是解题的关键． 5．（2024秋•莲都区期末）已知：如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝45°，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线． （1）求证：AE＝CD； （2）求∠ACE的度数． 【分析】（1）连接DE，根据垂直定义可得∠ADC＝∠ADB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BAD＝60°，∠DAC＝45°，进而可得AD＝CD，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得BE＝DE＝AE，从而可得△AED是等边三角形，进而可得AD＝AE，最后利用等量代换即可解答； （2）利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠EDB＝30°，从而可得∠DEC+∠DCE＝30°，再利用（1）的结论可得DE＝DC，然后利用等腰三角形的性质可得∠DEC＝∠DCE＝15°，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：连接DE， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∵∠B＝30°，∠ACB＝45°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝60°，∠DAC＝90°﹣∠ACD＝45°， ∴∠DAC＝∠ACD＝45°， ∴AD＝CD， ∵点E是AB的中点，∠ADB＝90°， ∴BE＝DE＝AEAB， ∴△AED是等边三角形， ∴AD＝AE， ∴AE＝DC； （2）解：∵DE＝EB， ∴∠B＝∠EDB＝30°， ∴∠DEC+∠DCE＝30°， ∵DE＝AD，AD＝CD， ∴DE＝DC， ∴∠DEC＝∠DCE＝15°， ∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝30°， ∴∠ACE的度数为30°． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 6．（2024秋•沭阳县期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点E，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点． （1）求证：MN⊥DE； （2）若∠ECB+∠DBC＝45°，DE＝10，求MN的长． 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD＝MEBC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD＝ME＝BM＝CM，进而得到∠DBM＝∠BDM，∠MEC＝∠MCE，由三角形外角定理及∠ECB+∠DBC＝45°得到∠EMB+∠DMC＝90°，即∠EMD＝90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得MN． 【解答】（1）证明：连接EM、DM， ∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°， ∵在Rt△DBC中和Rt△EBC中，M是BC的中点， ∴DMBC，EMBC， ∴DM＝EM， ∵N是DE的中点， ∴MN⊥ED； （2）解：在Rt△DBC中，M是BC的中点， ∴DMBC＝BM， ∴∠DBM＝∠BDM， 同理∠MEC＝∠MCE， ∵∠ECB+∠DBC＝45°， ∴∠EMB+∠DMC＝2（∠ECB+∠DBC）＝90°， ∴∠EMD＝90°， ∵N是DE的中点，DE＝10， ∴MNDE＝5． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键． 题型六 利用矩形的性质解决折叠问题 解题技巧提炼 求解关于矩形的折叠问题时往往通过找出折叠部分的线段或角与原图形之间的关系，从而得到折叠部分与原图形或其它图形之间的关系，有时要用到三角形全等、勾股定理等知识. 1．（2024秋•金山区期末）如图，在长方形ABCD中，点E在边DC上，联结AE，将△AED沿折痕AE翻折，使点D落在边BC上的D1处，如果∠DEA＝76°，那么∠D1EC＝　 　度． 【分析】利用翻折不变性求出∠DED1即可解决问题； 【解答】解：由翻折不变性可知， ∠AED＝∠AED1＝76°， ∴∠DED1＝152°， ∴∠CED1＝180°﹣152°＝28°， 故答案为：28． 【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质及直角三角形的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键． 2．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，结果发现F点恰好是DC的中点，若BC＝2，则AB的长 . 【分析】连接EF，由折叠性质得AE＝EG，∠A＝∠EGB＝90°，BG＝AB，则∠EGF＝90°，易证EG＝DE，由矩形的性质得AB＝CD，∠C＝∠D＝90°，推出∠EGF＝∠D＝90°，由HL证得Rt△EGF≌Rt△EDF，得出FG＝FD，求得CF＝DF＝FGCDAB，BF＝BG+FGAB，由勾股定理得出BC2+CF2＝BF2，即可得出结果． 【解答】解：连接EF，如图所示： 由折叠性质得：AE＝EG，∠A＝∠EGB＝90°，BG＝AB， ∴∠EGF＝90°， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∴EG＝DE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠C＝∠D＝90°， ∴∠EGF＝∠D＝90°， 在Rt△EGF与Rt△EDF中，， ∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）， ∴FG＝FD， ∵F点恰好是DC的中点， ∴CF＝DF＝FGCDAB， ∴BF＝BG+FG＝ABABAB， 在Rt△BCF中，BC2+CF2＝BF2， 即：（2）2+（AB）2＝（AB）2， 解得：AB＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质，证明三角形全等是解题的关键． 3．（2024春•三台县月考）如图，长方形ABCD中将△ABF沿AF翻折至△AB'F处，若AB'∥BD，∠1＝26°，则∠BAF的度数为（　　） A．57° B．58° C．59° D．60° 【分析】由矩形的性质得∠ABC＝90°，AD∥BC，则∠AFB＝∠DAF，由翻折得∠B′＝∠ABF＝90°，∠AFB′＝∠AFB，所以∠AFB′＝∠DAF，由AB'∥BD，∠B′AM＝∠1＝26°，则∠AFB′+∠DAF＝2∠DAF＝∠AMB′＝64°，所以∠DAF＝32°，即可求得∠BAF＝∠B′AF＝58°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AD∥BC， ∴∠AFB＝∠DAF， 由翻折得∠B′＝∠ABF＝90°，∠AFB′＝∠AFB， ∴∠AFB′＝∠DAF， ∵AB'∥BD， ∴∠B′AM＝∠1＝26°， ∴∠AMB′＝90°﹣∠B′AM＝64°， ∴∠AFB′+∠DAF＝2∠DAF＝∠AMB′＝64°， ∴∠DAF＝32°， ∴∠BAF＝∠B′AF＝∠B′AM+∠DAF＝26°+32°＝58°， 故选：B． 【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，根据翻折的性质和平行线的性质证明∠AFB′＝∠DAF是解题的关键． 4．（2024秋•余姚市校级期中）如图：长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△BEF的面积为（　　） A．6cm2 B．7.5cm2 C．8cm2 D．10cm2 【分析】根据翻折变换可得BG＝DC＝3，∠G＝∠C＝90°，即可利用勾股定理求得BF的长，进而求出△BEF的面积． 【解答】解：长方形ABCD中，AB＝CD＝3，AD＝9，∠D＝90°， 根据翻折可知： ∠G＝∠D＝90°，BG＝CD＝3，GF＝CF， 设BF＝x，则GF＝CF＝9﹣x， 在Rt△BGF中，根据勾股定理，得 32+（9﹣x）2＝x2，解得x＝5， ∴S△BEFBF•AB5×3＝7.5（cm2）． 故选：B． 【点评】本题考查了翻折变换、三角形的面积、矩形的性质，解决本题的关键是利用翻折的性质． 5．（2024春•沙河口区期末）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处，折痕为EF，若AB＝4，BC＝8，则DE的值为（　　） A．2.4 B．3 C．4 D．5 【分析】连接BE，由折叠可知，DE＝BE，CD＝BG＝4，CF＝GF，∠DEF＝∠BEF，∠D＝∠G＝90°，由AD∥BC可得∠DEF＝∠BFE，进而得到∠BFE＝∠BEF，则BE＝BF＝DE，设CF＝GF＝x，则BF＝8﹣x，Rt△BFG中，利用勾定理建立方程，求解即可． 【解答】解：如图，连接BE， ∵四边形ABCD为矩形，AB＝4，BC＝8， ∴AB＝CD＝4，∠D＝90°，AD∥BC， 由折叠可知，DE＝BE，CD＝BG＝4，CF＝GF，∠DEF＝∠BEF，∠D＝∠G＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠BFE， ∴∠BFE＝∠BEF， ∴BE＝BF＝DE， 设CF＝GF＝x，则BF＝BC﹣CF＝8﹣x， 在Rt△BFG中，GF2+BG2＝BF2， ∴x2+42＝（8﹣x）2， 解得：x＝3， ∴DE＝BF＝8﹣x＝5． 故选：D． 【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理．再解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 6．（2024春•工业园区校级期末）已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于O，且OE＝OD，求AP的长． 【分析】由折叠的性质得出EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP＝OG，PD＝GE，设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6﹣x，DG＝x，根据勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：设CD与BE交于点G，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8， 由翻折的性质得：△ABP≌△EBP， ∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8， 在△ODP和△OEG中，， ∴△ODP≌△OEG（ASA）， ∴OP＝OG，PD＝GE， ∴DG＝EP， ∴AP＝EP＝DG， 设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6﹣x，DG＝x， ∴CG＝8﹣x，BG＝8﹣（6﹣x）＝2+x， 在Rt△BCG中，根据勾股定理得：BC2+CG2＝BG2， 即62+（8﹣x）2＝（x+2）2， 解得：x＝4.8， ∴AP＝4.8． 【点评】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 7．（2022•丽水）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF． （1）求证：△PDE≌△CDF； （2）若CD＝4cm，EF＝5cm，求BC的长． 【分析】（1）根据ASA证明两个三角形全等即可； （2）如图，过点E作EG⊥BC于G，由勾股定理计算FG＝3，设CF＝x，在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF2＝CD2+CF2，列方程可解答． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ADC＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD， 由折叠得：AB＝PD，∠A＝∠P＝90°，∠B＝∠PDF＝90°， ∴PD＝CD， ∵∠PDF＝∠ADC， ∴∠PDE＝∠CDF， 在△PDE和△CDF中， ， ∴△PDE≌△CDF（ASA）； （2）解：如图，过点E作EG⊥BC于G， ∴∠EGF＝90°，EG＝CD＝4， 在Rt△EGF中，由勾股定理得：FG3， 设CF＝x， 由（1）知：PE＝AE＝BG＝x， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠BFE， 由折叠得：∠BFE＝∠DFE， ∴∠DEF＝∠DFE， ∴DE＝DF＝x+3， 在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF2＝CD2+CF2， ∴x2+42＝（x+3）2， ∴x， ∴BC＝2x+33（cm）． 【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题关键． 题型七 判断四边形是矩形 解题技巧提炼 如果已知四边形的两个角是直角，此时可以选择“有三个角是直角的四边形是矩形”证明比较简单. 1．（2024秋•莱西市期末）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 【分析】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【解答】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量是否有三个角是直角； 故选：A． 【点评】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解答本题的关键． 2．（2024秋•昌图县期末）在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90° B．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD C．∠BAD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝180°，AC⊥BD D．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD 【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠BAD＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意； B、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、∵∠ABC+∠BCD＝180°， ∴AB∥CD， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C符合题意； D、∵∠BAD＝∠ABC＝90°， ∴AD∥BC， 在Rt△ABD和Rt△BAC中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL）， ∴AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键． 3．（2024秋•秦都区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB．求证：四边形ABCD是矩形． 【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明对角线相等即可． 【解答】证明：∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2OA，BD＝2OB． ∵OA＝OB， ∴AC＝BD． ∴四边形ABCD是矩形． 【点评】本题考查了矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 4．已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DF、DE分别是△BDC、△ADC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形． 【分析】利用等腰△ADC“三合一”的性质证得DE⊥AC，同理得DF⊥BC，根据有三个角是直角的四边形是矩形，证四边形DECF是矩形． 【解答】证明：如图， ∵∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴AD＝CD， ∵DE是∠ADC的角平分线， ∴DE⊥AC． ∴∠DEC＝90°， 同理得∠CFD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴四边形DECF是矩形． 【点评】本题考查了矩形的判定．此题是根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形推知四边形DECF是矩形的． 5．（2024秋•天府新区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E． 求证：四边形ADCE为矩形； 【分析】根据三个角是直角是四边形是矩形即可证明； 【解答】证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD． ∴∠ADC＝90°， ∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， ∴∠MAN＝∠CAN． ∴∠DAE＝90°， ∵CE⊥AN， ∴∠AEC＝90°． ∴四边形ADCE为矩形． 【点评】本题考查矩形的判定、等腰三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 6．如图，MN∥PQ，直线l分别交MN、PQ于点A、C，同旁内角的平分线AB、CB相交于点B，AD、CD相交于点D．试证明四边形ABCD是矩形． 【分析】首先推出∠BAC＝∠DCA，继而推出AB∥CD；推出∠BCA＝∠DAC，进而推出AD∥CB，因此四边形ABCD平行四边形，再证明∠ABC＝90°，可得平行四边形ABCD是矩形． 【解答】证明：∵MN∥PQ， ∴∠MAC＝∠ACQ、∠ACP＝∠NAC， ∵AB、CD分别平分∠MAC和∠ACQ， ∴∠BAC∠MAC、∠DCA∠ACQ， 又∵∠MAC＝∠ACQ， ∴∠BAC＝∠DCA， ∴AB∥CD， ∵AD、CB分别平分∠ACP和∠NAC， ∴∠BCA∠ACP、∠DAC∠NAC， 又∵∠ACP＝∠NAC， ∴∠BCA＝∠DAC， ∴AD∥CB， 又∵AB∥CD， ∴四边形ABCD平行四边形， ∵∠BAC∠MAC，∠ACB∠ACP， 又∵∠MAC+∠ACP＝180°， ∴∠BAC+∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形． 【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形． 7．（2024春•西吉县期末）已知：如图，在▱ABCD中，AF、BH、CH、DF分别是∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH是矩形． 【分析】由平行四边形的性质和角平分线的性质可得∠AFD＝∠BHC＝∠HGF＝∠HEF＝90°，由此可证四边形EFGH为矩形． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC＝180°． ∵AF，BF分别平分∠DAB，∠ABC， ∴∠EAB+∠EBA（∠DAB+∠ABC）180°＝90°． ∴∠AEB＝90°， 同理可得：∠AFD＝90°，∠BHC＝90°，∠DGC＝90°， ∵∠HGF＝∠DGC＝90°，∠HEF＝∠AEB＝90°， ∴∠AFD＝∠HGF＝∠HEF＝90°， ∴四边形EGFH是矩形． 【点评】此题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，关键是掌握三个角是直角的四边形是矩形． 题型八 判断平行四边形是矩形 解题技巧提炼 已知四边形是平行四边形时，判定矩形的方法只需再证有一个角为直角（定义法），或再证明对角线相等.当已知对角线相等时，只需证这个四边形是平行四边形即可. 1．（2024春•新田县期末）如图，在▱ABCD中AC、BD相交于点O，AC＝12，当OD＝ 　 　时，▱ABCD是矩形． 【分析】当BD＝AC＝12时，平行四边形ABCD是矩形，即可求出ODBD＝6， 【解答】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BD＝AC＝12时，四边形ABCD是矩形， ∴ODBD＝6， ∴当OD＝6时，四边形ABCD是矩形． 故答案为：6． 【点评】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，关键是掌握矩形的判定方法． 2．（2024春•天门校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，下列条件：①AC＝BD；②AB＝AD；③∠1＝∠2；④AB⊥BC，能说明平行四边形ABCD是矩形的有 　 　（填写序号）． 【分析】由矩形的判定、菱形的判定分别对各个条件进行判断即可． 【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形； ②∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形； ③∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠1＝∠2，故③不能说明平行四边形ABCD是矩形； ④∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形； 故答案为：①④． 【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定、菱形的判定是解题的关键． 3．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD，CF⊥AB，垂足分别为E，F．求证：四边形AFCE是矩形． 【分析】由平行四边形的性质得出∠AFC＝∠AEC＝90°，则∠FCE＝∠EAF＝90°，可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵AE⊥CD，CF⊥AB， ∴∠AFC＝∠AEC＝90°， ∴∠FCE＝∠EAF＝90°， ∴四边形AFCE是矩形． 【点评】本题考查了平行四边形的性质及矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 4．（2024秋•浠水县月考）如图，E，F是▱ABCD的对角线BD上两点，且AE∥CF． （1）求证：BF＝DE； （2）连接AF，CE，请添加一个条件，使四边形AECF为矩形． 【分析】（1）利用平行四边形的对边平行且相等得到AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，再由平行线的性质和平角的定义证明∠AEB＝∠CFD，最后根据AAS证明△ABE≌△CDF得到BE＝DF，进而可证明BF＝DE； （2）根据全等三角形的性质可得AE＝CF，根据一组对边平行且相等证四边形AECF为平行四边形，再根据矩形的判定定理证明即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，E，F是▱ABCD的对角线BD上两点， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵AE∥CF， ∴∠AED＝∠CFB， ∴180°﹣∠AED＝180°﹣∠CFB，即∠AEB＝∠CFD， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝DF， ∴BE+EF＝DF+EF， ∵BE+EF＝BF，DF+EF＝DE， ∴BF＝DE； （2）解：添加的条件为：∠AEC＝90°， 证明如下： 由（1）可知，△ABE≌△CDF， ∴AE＝CF， 又∵AE∥CF， ∴四边形AECF为平行四边形， ∵∠AEC＝90°， ∴四边形AECF为矩形． 【点评】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握相关的知识是解题的关键． 5．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E，G分别是AC，DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG． （1）求证：AD∥CF； （2）求证：四边形ADCF是矩形． 【分析】（1）先证EG是△ACD的中位线，得EG∥AD，再由∠FCA＝∠CEG证出EG∥CF，即可得出结论； （2）先证△ADE≌△CFE（AAS），得AD＝CF，则四边形ADCF是平行四边形，再由等腰三角形的在得∠ADC＝90°，即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵E，G分别是AC，DC的中点， ∴EG是△ACD的中位线， ∴EG∥AD， ∵∠FCA＝∠CEG， ∴EG∥CF， ∴AD∥CF； （2）由（1）得：AD∥CF， ∴∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠CFE， ∵E是AC的中点， ∴AE＝CE， ∴△ADE≌△CFE（AAS）， ∴AD＝CF， ∴四边形ADCF是平行四边形， 又∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴平行四边形ADCF是矩形． 【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 6．（2024春•定陶区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AE、DE，DE交AC于点O，且DE∥AB． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）已知条件：①∠BAC＝90°；②AB＝AC；③AE平分∠BAC，请从这三个条件中选择1个，使得四边形AECD是矩形，并加以证明． 【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABED是平行四边形，进而利用平行四边形的性质和判定解答即可； （2）根据等腰三角形的性质和矩形的判定解答即可． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC，DE∥AB， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴AD＝BE， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∴AD＝EC， ∵AD∥BC， ∴四边形AECD是平行四边形； （2）解：由（1）可知，四边形AECD是平行四边形， 选择②AB＝AC， ∵AB＝AC，点E是BC的中点， ∴AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴▱AECD是矩形． 【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的判定和性质以及矩形的判定解答． 7．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AB中点，点F在CB的延长线上，且EF∥BD． （1）求证：四边形OBFE是平行四边形； （2）当线段AD和BD之间满足什么条件时，四边形OBFE是矩形？并说明理由． 【分析】（1）首先证明OE是△ABC的中位线，推出OE∥BC，由EF∥OB，推荐可提出四边形OBFE是平行四边形． （2）当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形． 只要证明∠EOB＝90°即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴点O是AC的中点． 又∵点E是边AB的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE∥BC， 又∵点F在CB的延长线上， ∴OE∥BF． ∵EF∥BD，即EF∥OB， ∴四边形OBFE是平行四边形． （2）当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形． 理由：由（1）可知四边形OBFE是平行四边形， 又∵AD⊥BD，AD∥BC，且点F在BC的延长线上， ∴FC⊥BD， ∴∠OBF＝90°， ∴四边形OBFE是矩形． 【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、矩形的判定、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定，掌握矩形的判定方法，属于中考常考题型． 题型九 矩形的性质与判定的综合运用 解题技巧提炼 综合利用矩形的性质与判定方法实现相应线段、角之间的转化时解题的关键. 1．（2024春•长垣市期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DE⊥BC，DB平分∠ADC．下列结论：①BC＝DC；②四边形ABED是矩形；③点E是BC的中点；④若AD＝2，CD＝5，则AB＝4．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【分析】根据矩形的判定与性质进行逐一判断即可． 【解答】解：∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝∠A＝∠ABC＝90°， ∴四边形ABED是矩形，故②正确； ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB， ∴∠CBD＝∠CDB， ∴DC＝BC，故①正确； ∵BD≠CD， ∴点E不是BC的中点，故③错误； ∵BE＝AD＝2，BC＝CD＝5， ∴CE＝BC﹣BE＝3， ∴DE＝AB4，故④正确， ∴正确的有①②④， 故选：B． 【点评】此题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握矩形的性质是解题关键． 2．（2024秋•榕江县校级月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．点D是AB边上的动点，过点D作边AC，BC的垂线，垂足分别为E，F．连接EF，则EF的最小值为（　　） A．3 B．2.4 C．4 D．2.5 【分析】连接CD，由勾股定理求出AB＝5，再证明四边形CEDF是矩形，得到CD＝EF，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，线段CD最小，则线段EF的值最小，进而由三角形的面积求出CD的长即可． 【解答】解：如图，连接CD， ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴， ∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°， ∴∠DEC＝∠ACB＝∠DFC＝90°， ∴四边形CEDF是矩形， ∴CD＝EF， 由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，线段CD最小，则线段EF的值最小， 此时S△ABCBC•ACAB•CD，即4×35•CDCD， ∴CD＝2.4， ∴EF的最小值为2.4， 故选：B． 【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 3．（2024秋•灞桥区月考）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥BD，且AG＝BD，交CB的延长线于点G，连接FG，若AD⊥BD，下列结论：①DF∥BE；②四边形ADBG是矩形；③FG＝AB；④4S△BFC＝S▱ABCD，正确的有（　　） A．①②③④ B．①② C．①③ D．①②④ 【分析】①证明四边形DEBF是平行四边形即可；②根据AG∥BD且AG＝DB可证四边形ADBG是平行四边形，结合AD⊥BD可证四边形ADBG是矩形；③连接DG，若FG＝AB，可证FG＝CD，显然不一定成立；④先证明S△BFC＝S△BFD，然后结合平行四边形的性质即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵E、F分别为边AB、CD的中点， ∴BE＝DF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴DF∥BE，故①正确； ∵AG∥DB且AG＝DB， ∴四边形ADBG是平行四边形， ∵AD⊥BD， ∴四边形ADBG是矩形，故②正确； 连接DG， ∵四边形ADBG是矩形， ∴DG过点E，AB＝GD． 若FG＝AB，则FG＝GD，显然FG与GD不相等，故③不正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵F为边CD的中点， ∴S△BFC＝S△BFD， ∴， ∴4S△BFC＝S▱ABCD，故④正确． 综上可知，正确的有①②④， 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握平行四边形和矩形的性质是解答本题的关键． 4．（2024•西乡塘区校级四模）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）若，求∠AOE的度数． 【分析】（1）证△AEO≌△DFO（AAS），得出OA＝OD，则AC＝BD，即可得出四边形ABCD是矩形． （2）由矩形的性质得出∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OB，则∠OAB＝∠OBA，然后在直角三角形ABE中，∠ABE＝90°﹣∠BAE＝60°＝∠OAB，进一步解答即可． 【解答】（1）证明：∵AE⊥BD，DF⊥AC， ∴∠AEO＝∠DFO＝90°， 在△AEO和△DFO中， ， ∴△AEO≌△DFO（AAS）， ∴AO＝DO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO＝DO＝BO， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形； （2）解：由（1）得：四边形ABCD是矩形， ∴，AO＝BO， ∴∠OAB＝∠ABE， 在直角三角形ABE中，∠ABE＝90°﹣∠BAE＝60°＝∠OAB， ∴∠AOE＝180°﹣∠OAB﹣∠ABE＝60°． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 5．（2024秋•焦作期末）如图：在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E． （1）求证：四边形ADCE是矩形； （2）连接DE，交AC于点F，求出DF与AB之间的关系． 【分析】（1）由等腰三角形的性质得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，则∠ADC＝90°，再证∠DAE＝90°，然后证∠AEC＝90°，即可得出结论； （2）由矩形的性质得AC＝DE，DF＝EFDE，再证AB＝DE，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD是中线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD， ∴∠ADC＝90°， ∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， ∴∠MAN＝∠CAN， ∴∠CAD+∠CAN180°＝90°， 即∠DAE＝90°， ∵CE⊥AN， ∴∠AEC＝90°， ∴四边形ADCE是矩形； （2）解：DFAB，理由如下： 由（1）知，四边形ADCE为矩形， ∴AC＝DE，DF＝EFDE， 又∵AB＝AC， ∴AB＝DE， ∴DFAB． 【点评】本题考查了矩形的判定和性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 6．（2024秋•连州市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC． （1）求证：四边形ADCE是矩形； （2）若BC＝12，CE＝8，求EF的长． 【分析】（1）证明∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°，再由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形的性质得AE＝CD＝6，∠AEC＝90°，再由勾股定理求出AC＝10，然后由三角形面积求出EF的长即可． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∵CE∥AD， ∴∠ECD＝∠ADB＝90°， ∵AE⊥AD， ∴∠EAD＝90°， ∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°， ∴四边形ADCE是矩形； （2）解：∵AB＝AC，D是BC的中点，BC＝12， ∴BD＝CDBC＝6， 由（1）可知：四边形ADCE是矩形， ∴AE＝CD＝6，∠AEC＝90°， 在Rt△AEC中，由勾股定理得：AC10， ∵EF⊥AC， ∴S△AECAC•EFAE•CE， ∴EF4.8， 即EF的长为4.8． 【点评】此题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 7．（2024春•惠州校级期中）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F． （1）求证：OE＝OF； （2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，进而得出答案； （2）根据已知得出∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长； （3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可． 【解答】（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， ∴∠2＝∠5，∠4＝∠6， ∵MN∥BC， ∴∠1＝∠5，∠3＝∠6， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴EO＝CO，FO＝CO， ∴OE＝OF； （2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6， ∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°， ∵CE＝12，CF＝5， ∴EF13， ∴OCEF； （3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形， 理由如下：当O为AC的中点时，AO＝CO， ∵EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠ECF＝90°， ∴平行四边形AECF是矩形． 【点评】本题考查了矩形的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北京版）八年级下册数学《第15章 四边形》 15.4 特殊的平行四边形的性质与判定 15.4（1）矩形的性质与判定 知识点一 矩形的性质 ◆性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等. 几何语言： ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴ ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD. 1、矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质. 2、矩形是轴对称图形，邻边不相等的矩形有两条对称轴，分别是对边所在中点连线的直线. 3、矩形的四个角都是直角，常把矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决，同时，矩形被两条对角线分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，也常常用到等腰三角形的性质. 4、矩形的面积 = 长×宽，矩形的面积=被对角线分成的四个面积相等的小三角形（等腰三角形）面积之和. 知识点二 直角三角形斜边上的中线的的性质 ◆1、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言：∵ 在Rt△ABC中，点O是AB的中点， ∴ OB=AO=CO=AC. 知识点二 矩形的判定 ◆矩形的判定方法： 方法一：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)， ∴ 四边形ABCD是矩形. 方法二：对角线相等的平行四边形是矩形； 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD， ∴ 四边形ABCD是矩形. 方法三：有三个角是直角的四边形是矩形； 几何语言：∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴ 四边形ABCD是矩形. ◆思路总结：判定一个四边形是矩形要分两种情况：一是在平行四边形的基础上判定矩形，只要证出有一个角是直角或对角线相等即可；二是在四边形的基础上判定矩形，可以直接证出三个角是直角或先证出四边形是平行四边形，再进一步证明有一个角是直角或对角线相等. 题型一 利用矩形的性质求线段长 解题技巧提炼 在利用矩形的性质计算线段长度时，常常与特殊三角形的性质和勾股定理结合起来应用. 1．（2024秋•英德市期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AO＝3，则BD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024春•余干县期末）已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（　　） A．6 cm和9 cm B．5 cm和10 cm C．4 cm和11 cm D．7 cm和8 cm 3．（2024•深圳模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则BC的长为（　　） A． B． C．4 D．2 4．（2024秋•铁西区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，延长CD到点E，连接BE交AD于点G，点F为BE的中点，连接CE，以点C为圆心，CF长为半径的圆弧经过点G，连接CG，若BE＝10，则DG的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．3 5．（2024秋•峰峰矿区校级期末）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，则DE的长为（　　） A．22 B．1 C．1 D．2 6．（2024春•丹阳市期中）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED． （1）判断△BEC的形状，并说明理由； （2）若AB＝1，∠ABE＝45°，求DE的长． 7．（2024春•雨花区期末）如图，矩形ABCD的对角线交于点G，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E． （1）求证：四边形ABEC为平行四边形； （2）过点D作DF⊥BE于F，连接FG，若AB＝1，BC＝2，求FG的长． 题型二 利用矩形的性质求角度 解题技巧提炼 矩形内求角度的问题主要是利用矩形的性质和结合题中的条件求解，有时要利用等腰三角形的性质. 1．（2024秋•顺德区期末）如图，点E在矩形ABCD的边AD上．若△EBC是等边三角形，则∠AEB的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 2．（2024秋•衡南县期末）如图，分别在长方形ABCD的边DC，BC上取两点E，F，使得AE平分∠DAF，若∠BAF＝60°，则∠DAE＝（　　） A．45° B．30° C．15° D．60° 3．（2024秋•南关区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，如果BO＝BE，那么∠BOE的度数为（　　） A．55° B．65° C．75° D．67.5° 4．（2024春•船营区校级月考）如图，延长矩形ABCD的这AD到点E，使AE＝BD，连接CE，若∠CDB＝24°，则∠E＝ 　 　． 5．（2024春•抚顺期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC＝3：2，则∠BDF＝　 　． 6．（2024春•洪泽区校级月考）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，如果∠ACB＝36°，求∠E的度数． 7．（2024秋•府谷县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，交AB于点F，交CD于点E，EF＝AF．求∠OFA的度数． 题型三 利用矩形的性质求周长和面积 解题技巧提炼 求矩形的面积问题，主要是利用矩形的性质求出矩形的长和宽，再根据面积的计算公式求解即可，有时与勾股定理结合起来用. 1．如图，在长方形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接ED，若ED＝5，EC＝3，则长方形的面积为（　　） A．22 B．24 C．26 D．28 2．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（　　） A．2 B．3 C．4 D．4 3．（2024春•长春期末）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AB于点E，连接CE，若矩形ABCD的周长是20cm，则△BCE的周长是（　　） A．10cm B．15cm C．20cm D．40cm 4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ACB＝30°，BD＝4，则矩形ABCD的面积是　 ． 5．如图，点O是矩形ABCD的对角线BD的中点，点E是BC的中点，连接OA，OE．若OA＝2，OE＝1，则矩形ABCD的面积为　 　． 6．（2024秋•南海区校级月考）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC、AD于点E、F，若BE＝3，AF＝5，则矩形ABCD的周长为　 　． 7．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF． （1）求证：AE＝CF； （2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积． 题型四 利用矩形的性质证明 解题技巧提炼 与矩形有关的问题，常与全等三角形和特殊三角形等知识融为一体进行探索，利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可. 1．（2024秋•华安县校级期末）如图，在矩形ABCD中．点O在边AB上，∠AOC＝∠BOD． 求证：AO＝BO． 2．（2024•淮安）已知：如图，在矩形ABCD中，点E、F在BD上，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF． 3．（2024春•江西月考）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，若∠AOB＝60°，求证：△OBE是等腰三角形． 4．（2024•碑林区校级一模）如图，矩形ABCD，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且EF＝BC．求证：△ABE≌△DCF． 5．（2024春•姜堰区校级月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在AB的延长线上找一点E，连接EC，使得EC＝AC． （1）求证：四边形BDCE是平行四边形； （2）若AB＝6，BC＝8，求点E到AC的距离． 6．（2024秋•市南区期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点F、E分别在边AD和BC上，O在线段EF上，连接AE、CF，AE交BD于点G． （1）求证：AE＝CF； （2）若G是BO的中点，且∠ACB＝30°，判断四边形AECF的形状，并说明理由． 题型五 直角三角形斜边上的中线的性质 解题技巧提炼 在直角三角形中，遇到斜边的中点常作斜边的中线，从而利用直角三角形斜边中线的性质解决问题. 1．（2024•雁塔区校级四模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，点E在AC上，且AE＝BE，连接CD交BE于点F，若∠A＝25°，则∠DFE的度数（　　） A．65° B．70o C．75o D．80o 2．（2024•碑林区校级模拟）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，E为BC边的中点，AB＝4，AC＝2，DE，则∠ACD＝（　　） A．15° B．30° C．22.5° D．45° 3．（2024•宁南县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，点F为DE的中点，连结BF．若AB＝10，则BF的长为 　 　． 4．（2024秋•新田县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm，AM是BC上的高，MN∥AC，MN交AB于点N，BC＝6cm，求△BMN的周长． 5．（2024秋•莲都区期末）已知：如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝45°，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线． （1）求证：AE＝CD； （2）求∠ACE的度数． 6．（2024秋•沭阳县期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点E，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点． （1）求证：MN⊥DE； （2）若∠ECB+∠DBC＝45°，DE＝10，求MN的长． 题型六 利用矩形的性质解决折叠问题 解题技巧提炼 求解关于矩形的折叠问题时往往通过找出折叠部分的线段或角与原图形之间的关系，从而得到折叠部分与原图形或其它图形之间的关系，有时要用到三角形全等、勾股定理等知识. 1．（2024秋•金山区期末）如图，在长方形ABCD中，点E在边DC上，联结AE，将△AED沿折痕AE翻折，使点D落在边BC上的D1处，如果∠DEA＝76°，那么∠D1EC＝　 　度． 2．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，结果发现F点恰好是DC的中点，若BC＝2，则AB的长 . 3．（2024春•三台县月考）如图，长方形ABCD中将△ABF沿AF翻折至△AB'F处，若AB'∥BD，∠1＝26°，则∠BAF的度数为（　　） A．57° B．58° C．59° D．60° 4．（2024秋•余姚市校级期中）如图：长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△BEF的面积为（　　） A．6cm2 B．7.5cm2 C．8cm2 D．10cm2 5．（2024春•沙河口区期末）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处，折痕为EF，若AB＝4，BC＝8，则DE的值为（　　） A．2.4 B．3 C．4 D．5 6．（2024春•工业园区校级期末）已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于O，且OE＝OD，求AP的长． 7．（2022•丽水）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF． （1）求证：△PDE≌△CDF； （2）若CD＝4cm，EF＝5cm，求BC的长． 题型七 判断四边形是矩形 解题技巧提炼 如果已知四边形的两个角是直角，此时可以选择“有三个角是直角的四边形是矩形”证明比较简单. 1．（2024秋•莱西市期末）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 2．（2024秋•昌图县期末）在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90° B．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD C．∠BAD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝180°，AC⊥BD D．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD 3．（2024秋•秦都区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB．求证：四边形ABCD是矩形． 4．已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DF、DE分别是△BDC、△ADC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形． 5．（2024秋•天府新区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E． 求证：四边形ADCE为矩形； 6．如图，MN∥PQ，直线l分别交MN、PQ于点A、C，同旁内角的平分线AB、CB相交于点B，AD、CD相交于点D．试证明四边形ABCD是矩形． 7．（2024春•西吉县期末）已知：如图，在▱ABCD中，AF、BH、CH、DF分别是∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH是矩形． 题型八 判断平行四边形是矩形 解题技巧提炼 已知四边形是平行四边形时，判定矩形的方法只需再证有一个角为直角（定义法），或再证明对角线相等.当已知对角线相等时，只需证这个四边形是平行四边形即可. 1．（2024春•新田县期末）如图，在▱ABCD中AC、BD相交于点O，AC＝12，当OD＝ 　 　时，▱ABCD是矩形． 2．（2024春•天门校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，下列条件：①AC＝BD；②AB＝AD；③∠1＝∠2；④AB⊥BC，能说明平行四边形ABCD是矩形的有 　 　（填写序号）． 3．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD，CF⊥AB，垂足分别为E，F．求证：四边形AFCE是矩形． 4．（2024秋•浠水县月考）如图，E，F是▱ABCD的对角线BD上两点，且AE∥CF． （1）求证：BF＝DE； （2）连接AF，CE，请添加一个条件，使四边形AECF为矩形． 5．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E，G分别是AC，DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG． （1）求证：AD∥CF； （2）求证：四边形ADCF是矩形． 6．（2024春•定陶区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AE、DE，DE交AC于点O，且DE∥AB． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）已知条件：①∠BAC＝90°；②AB＝AC；③AE平分∠BAC，请从这三个条件中选择1个，使得四边形AECD是矩形，并加以证明． 7．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AB中点，点F在CB的延长线上，且EF∥BD． （1）求证：四边形OBFE是平行四边形； （2）当线段AD和BD之间满足什么条件时，四边形OBFE是矩形？并说明理由． 题型九 矩形的性质与判定的综合运用 解题技巧提炼 综合利用矩形的性质与判定方法实现相应线段、角之间的转化时解题的关键. 1．（2024春•长垣市期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DE⊥BC，DB平分∠ADC．下列结论：①BC＝DC；②四边形ABED是矩形；③点E是BC的中点；④若AD＝2，CD＝5，则AB＝4．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 2．（2024秋•榕江县校级月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．点D是AB边上的动点，过点D作边AC，BC的垂线，垂足分别为E，F．连接EF，则EF的最小值为（　　） A．3 B．2.4 C．4 D．2.5 3．（2024秋•灞桥区月考）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥BD，且AG＝BD，交CB的延长线于点G，连接FG，若AD⊥BD，下列结论：①DF∥BE；②四边形ADBG是矩形；③FG＝AB；④4S△BFC＝S▱ABCD，正确的有（　　） A．①②③④ B．①② C．①③ D．①②④ 4．（2024•西乡塘区校级四模）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）若，求∠AOE的度数． 5．（2024秋•焦作期末）如图：在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E． （1）求证：四边形ADCE是矩形； （2）连接DE，交AC于点F，求出DF与AB之间的关系． 6．（2024秋•连州市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC． （1）求证：四边形ADCE是矩形； （2）若BC＝12，CE＝8，求EF的长． 7．（2024春•惠州校级期中）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F． （1）求证：OE＝OF； （2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 6 / 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