精品解析：内蒙古赤峰市敖汉旗箭桥中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试卷

箭桥中学2024-2025学年第二学期（开学考） 高三数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目里面的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的值域可化简集合A，根据指数函数的值域化简集合B，然后利用集合交集的运算求解即可， 【详解】因为时，，所以集合， 因为时，，所以集合， 所以， 故选：A， 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】应用复数乘法求复数，进而有，根据其对应点坐标确定所象限. 详解】由，则， 所以在复平面内z对应点的坐标为，位于第一象限. 故选：A 3. 已知向量，，若与方向相同，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行可得的值，利用与方向相同验证可得结果. 【详解】由与方向相同得，， ∴，解得， 当时，，，，与方向相同， 当时，，，，与方向相反，不合题意. 综上得，. 故选：C. 4. 已知，，则（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正切函数的和角公式，可得答案. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 5. 已知直线：，：，若，则（ ） A. 5 B. 2 C. 2或-5 D. 5或-2 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行，结合一般式方程建立方程，分别验根，可得答案. 【详解】因直线：与直线：平行， 所以，解得或. 当时，直线：与直线：重合，不符合题意； 当时，直线：与直线：平行，符合题意. 综上，. 故选：A. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性与临界值比较的值，从而得解. 【详解】因为，即， ，即， 所以. 故选：D. 7. 已知抛物线：的焦点为F，点P是C上的一点，点，则周长的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点P作C的准线的垂线，垂足为，结合抛物线定义及三角形的性质有求周长最小值. 【详解】由题知，准线方程为，过点P作C的准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义知，又， 所以， 当且仅当M，P，三点共线时取得最小值， 故周长的最小值是. 故选：C 8. 定义在上的函数满足，且当时，.则方程所有的根之和为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得为奇函数，其图象关于直线对称且一个周期为4，再根据当时，，求导分析单调性，从而画出简图，根据函数的性质求解零点和即可. 【详解】∵，∴为奇函数，又∵， ∴的图象关于直线对称． 当时，，单调递增． 由，即有， 所以，即函数的一个周期为4， 由可得，，所以的图象关于中心对称． 函数的简图如下： 其中， 由，∴所有实根之和为. 故选：A． 【点睛】方法点睛： （1）函数的性质运用：根据条件中函数满足的关系式推导函数的奇偶性、对称性、周期性和在区间内的单调性，并运用性质求零点和； （2）数形结合：根据给定区间的函数解析式作图，再根据函数的性质补全剩余图象； 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数（）的最小正周期为，则（ ） A. B. 直线是图象的一条对称轴 C. D. 函数图象的对称中心为（） 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数周期求解判断A，根据余弦型函数的对称性判断B，根据余弦型函数的单调性判断C，根据对称中心结论求解判断D. 【详解】由题意可知，解得，故A错误； 由上得， 令，，解得，， 当时，直线是图象的一条对称轴，故B正确； 当时，， 因为函数在上单调递减， 易得上单调递减，且， 所以，故C正确； 令，，解得，， 所以的对称中心为（），故D错误. 故选：BC. 10. 在的展开式中二项式系数之和是64，则下列说法正确的是（ ） A. 二项式系数最大的项是第4项 B. 展开式没有常数项 C. 各项系数之和为 D. 系数最大的项是第3项 【答案】AD 【解析】 【分析】由二项式系数之和为可得的值，写出二项式展开式的通项，当为偶数时，二项式系数最大项为第项判断A，根据通项公式求常数项判断B，令即可得各项系数之和判断C，根据二项式的通项公式求解系数最大项即可判断D. 【详解】因为二项式系数之和为64，即有，所以， 则的通项， 对于A，二项式系数最大的是，它是第4项的二项式系数，正确； 对于B，令，得，得常数项为，错误； 对于C，令，得该展开式的各项系数之和为，错误； 对于D，由通项公式可得为偶数时，系数才有可能取到最大值， 由， 可知展开式中系数最大的项是第3项，正确. 故选：AD 11. 若函数，则（ ） A. 的极大值点为2 B. 有且仅有2个零点 C. 点是的对称中心 D 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的导数，探讨函数的单调性及极值判断AB；探讨对称性求解判断CD. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由，得或；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减，作出其图象. 由图知，函数在处取得极大值，只有一个极大值点，故A错误； 函数在处取得极小值，且当时，，则有且仅有2个零点，故B正确； 因，则点是图象的对称中心，故C正确； 因 ，故D正确. 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 过点引圆的切线，则切线方程为__________． 【答案】或 【解析】 【详解】圆心坐标，半径，∵直线与圆相切，∴圆心到直线距离，若直线无斜率，其方程为符合题意，若直线存在斜率，设其方程为，即，，解得，∴切线方程为或，故答案为或. 点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系之相切，属于基础题；求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线. 13. 在中，若，且，则面积的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先由正弦定理化角为边，再利用余弦定理求出，然后由余弦定理结合基本不等式得范围，最后由面积公式求最值即可. 【详解】根据题意，， 由正弦定理角化边为：， 再由余弦定理得：， 因为，所以，又， 由余弦定理，即， 因为，所以，即， 当且仅当时等号成立， 故的面积， 所以面积的最大值为. 故答案为：. 14. 如图是某烘焙店家烘焙蛋糕时所用的圆台状模具，它的高为6cm，下底部直径为12cm，上面开口圆的直径为20cm，现用此模具烘焙一个跟模具完全一样的儿童蛋糕，若蛋糕膨胀成型后的体积会变为原来液态状态下体积的2倍（模具不发生变化），现用直径为16cm的圆柱形容器量取液态原料（不考虑损耗），则圆柱形容器中需要注入液态原料的高度为________cm. 【答案】#### 【解析】 【分析】根据圆台的体积公式以及圆柱的体积公式，可得答案. 【详解】圆台状蛋糕膨胀成型后的体积为， 圆柱形容器中液态原料的体积为，解得， 即圆柱形容器中需要注入液态原料的高度为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾，可回收垃圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，500名学生参加测试，从中随机抽取了100名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图： （1）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率； （2）根据频率分布直方图估计中位数； （3）学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生的环保意识.首次活动从样本中问卷成绩低于40分的学生中随机抽取2人参加，已知样本中分数小于40的5名学生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同学各1人的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图可知样本中分数高于60的频率为. （2）根据上的频率可求中位数. （3）利用列举法结合古典概型的概率公式可求概率. 【小问1详解】 根据频率分布直方图可知，样本中分数高于60的频率为 ， 所以样本中分数高于的概率为． 故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数高于的概率估计为． 【小问2详解】 由频率分布直方图可得：上的频率为， 而上的频率为，故此两组的频率和为， 设中位数为，则且， 故即中位数为. 【小问3详解】 设3名男生分别为，2名女生分别为，则从这5名同学中选取2人的结果为： 共10种情况. 其中2人中男女同学各1人包含结果为： ，共6种. 设事件抽取的2人中男女同学各1人，则 所以，抽取的2人中男女同学各1人的概率是. 16. 已知为数列的前项和，满足.数列是等差数列，且. （1）求数列和的通项公式； （2）设求数列的前20项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系，结合等比数列的定义求解，利用等差数列基本量运算求解； （2）结合等差数列求和公式、等比数列求和公式，根据分组求和法求和即可得解. 【小问1详解】 因为，① 所以有.② ②-①得. 所以数列成以1为首项，以2为公比的等比数列. 所以. 又数列是等差数列，且. 所以. 所以. 【小问2详解】 因为 设数列的前项和为， 所以 . 故. 17. 已知双曲线E：与有相同的渐近线，且过点. （1）求E的方程； （2）已知O为坐标原点，直线与E交于P，Q两点，且，求m的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，结合代入法进行求解即可； （2）将直线方程与双曲线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【小问1详解】 由题意，设E的方程为，又E过点， 所以，解得， 所以E的方程为. 【小问2详解】 设，，由得， 因为， 所以，， 所以 ， 所以， 解得或. 18. 如图，已知三棱柱，平面平面，，，分别是的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用等边三角形的性质结合面面垂直可得平面，转化条件可得平面，由此可证明结论. （2）在底面内作交于点，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量可求线面所成角的余弦值. 【小问1详解】 如图所示，连接， ∵为等边三角形，，∴， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴， ∵，，∴， ∵，平面，∴平面， ∵平面，∴. 【小问2详解】 在底面内作交于点，以点为坐标原点，，，方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系. ∵，，， ∴，，，，， ∴， ∴. 由得点，故， ∴. 设平面的法向量为，则， 令，则，故， ∴， 设直线与平面所成角为，则， ∴，即直线与平面所成角的余弦值为. 19. 若函数的图象上存在个不同点、、、处的切线重合，则称该切线为函数的一条点切线，该函数具有点切线性质． （1）判断函数，的奇偶性并写出它的一条点切线方程（无需理由）； （2）设，判断函数是否具有点切线性质，并说明理由； （3）设，证明：对任意的，，函数具有点切线性质，并求出所有相应的切线方程． 【答案】（1）偶函数，一条点切线方程为 （2）没有，理由见解析 （3）证明见解析，切线方程为和 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义可得出函数的奇偶性，数形结合可得出该函数的一条点切线方程； （2）求出，分析函数的单调性，即可得出结论； （3）取点、、，利用导数求出曲线在三处的切线方程，利用这三条切线重合可得出，然后对、、的关系进行讨论，即可求出对应的切线方程. 【小问1详解】 令，其中，则， 所以，函数为偶函数，且，如下图所示： 由图可知，函数的一条点切线方程为. 【小问2详解】 因为，该函数的定义域为，且， 令，其中，则， 所以，函数在上为增函数， 因此，不可能存在、且，使得， 因此，函数不具有点性质. 【小问3详解】 取点、、， 因为，则， 所以，曲线在点处的切线方程为， 即， 曲线在点处的切线方程为， 曲线在点处的切线方程为， 由题意可知，这三条切线重合， 则， 由上得，则，，， （i）若，，， 则，所以，， 因为，则（舍去）； （ii）若，，中至少有一个成立， 不妨设，则， 若，则（舍去），所以，， 故或. 综上所述，点切线方程为和. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问题考查点切线的新定义，解题的关键就是利用切线重合得出，通过分析、、之间的关系来求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 箭桥中学2024-2025学年第二学期（开学考） 高三数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目里面的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，，若与方向相同，则（ ） A 0 B. 1 C. D. 4. 已知，，则（ ） A. 8 B. C. D. 5. 已知直线：，：，若，则（ ） A. 5 B. 2 C. 2或-5 D. 5或-2 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线：的焦点为F，点P是C上的一点，点，则周长的最小值是（ ） A B. C. D. 8. 定义在上的函数满足，且当时，.则方程所有的根之和为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数（）的最小正周期为，则（ ） A. B. 直线是图象的一条对称轴 C. D. 函数图象的对称中心为（） 10. 在的展开式中二项式系数之和是64，则下列说法正确的是（ ） A. 二项式系数最大的项是第4项 B. 展开式没有常数项 C. 各项系数之和为 D. 系数最大的项是第3项 11. 若函数，则（ ） A. 的极大值点为2 B. 有且仅有2个零点 C. 点是的对称中心 D 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 过点引圆的切线，则切线方程为__________． 13. 在中，若，且，则面积的最大值为______. 14. 如图是某烘焙店家烘焙蛋糕时所用的圆台状模具，它的高为6cm，下底部直径为12cm，上面开口圆的直径为20cm，现用此模具烘焙一个跟模具完全一样的儿童蛋糕，若蛋糕膨胀成型后的体积会变为原来液态状态下体积的2倍（模具不发生变化），现用直径为16cm的圆柱形容器量取液态原料（不考虑损耗），则圆柱形容器中需要注入液态原料的高度为________cm. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾，可回收垃圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，500名学生参加测试，从中随机抽取了100名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图： （1）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率； （2）根据频率分布直方图估计中位数； （3）学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生的环保意识.首次活动从样本中问卷成绩低于40分的学生中随机抽取2人参加，已知样本中分数小于40的5名学生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同学各1人的概率. 16. 已知为数列的前项和，满足.数列是等差数列，且. （1）求数列和的通项公式； （2）设求数列的前20项和. 17. 已知双曲线E：与有相同的渐近线，且过点. （1）求E的方程； （2）已知O为坐标原点，直线与E交于P，Q两点，且，求m值. 18. 如图，已知三棱柱，平面平面，，，分别是的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 19. 若函数的图象上存在个不同点、、、处的切线重合，则称该切线为函数的一条点切线，该函数具有点切线性质． （1）判断函数，的奇偶性并写出它的一条点切线方程（无需理由）； （2）设，判断函数是否具有点切线性质，并说明理由； （3）设，证明：对任意的，，函数具有点切线性质，并求出所有相应的切线方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $