精品解析：江苏省苏州市2024-2025学年高三下学期期初统考数学试题

2025届苏州市高三期初统考 2025.02 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数单调性解不等式可得集合，再由并集运算可得结果. 【详解】易知， 所以. 故选：C 2. 若，则（ ） A. － B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先观察两个角之间的关系：，因此两边同时取余弦值即可． 【详解】因为 所以 所以，选B. 【点睛】本题主要考查了三角函的诱导公式．解决此题的关键在于拼凑出，再利用诱导公式（奇变偶不变、符号看象限）即可． 3. 直线和直线互相平行，则的值为（ ） A. -1 B. 3 C. 3或-1 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】由已知中易求出他们的斜率，再根据两直线平行的充要条件，即斜率相等，截距不相等，即可得到答案. 【详解】∵直线和， 由于的斜率存在，故的斜率也一定存在， ∴，， 由于两条直线互相平行，故， 即，解得：或， 又∵时，两条直线重合，∴ 故选：A. 【点睛】本题考查的知识点是直线的一般式方程与直线的平行关系，其中两个直线平行的充要条件，易忽略截距不相等的限制，属于中档题. 4. 已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆锥的侧面展开图扇形基本量与圆锥基本量间的关系可得. 【详解】已知圆锥的底面半径，高， 则母线长， 圆锥的侧面展开图为扇形，且扇形的弧长为圆锥底面圆周长， 扇形的半径为圆锥的母线长， 则圆锥侧面积. 故选：B. 5. 若正项等差数列的前项和为，则的最大值为（ ） A. 9 B. 16 C. 25 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式可得，利用基本不等式可求最值. 【详解】因为， 所以，则 又因为， 所以，当且仅当时，等号成立； 所以的最大值为25. 故选：C 6. 在5张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得. 【详解】记甲中奖的事件为，乙中奖的事件为， 则，，， 所以 . 故选：B 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数可求得，；分别代入和，整理可得的大小关系. 【详解】令，则， 在上单调递增，，即，， ，即； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， （当且仅当时取等号），， 即（当且仅当时取等号），，即； 综上所述：. 故选：D. 【点睛】思路点睛：本题考查与指数、对数有关的大小关系的比较，解题基本思路是能够将问题转化为两个函数的函数值大小关系的比较，进而通过构造函数的方式，利用导数求得函数单调性，从而得到两函数的大小关系. 8. 设函数，若在区间内恰有4个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意对分段函数的两部分解析式分别分类讨论，得出各部分对应的零点表达式，再根据在区间内恰有4个零点对参数进行分类讨论，得出各部分的有效零点个数即可求得实数的取值范围. 【详解】易知当时，令， 可得，即可得， 又因为，所以; 因此时的有效零点为，为负整数； 当时，令，可得; 若为有效零点可得，解得； 当时，令，可得; 若为有效零点可得，解得； 因为在区间内恰有4个零点，所以至少表示两个有效零点， 所以需满足，可得； 此时和也为有效零点，此时实数的取值范围是； 当时，显然不是有效零点，所以能表示三个有效零点， 因此，解得，此时实数的取值范围是. 综上可知，实数的取值范围是. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出分段函数各部分零点的表达式，再结合零点所在区间及其个数限定出对应不等式，即可求出实数的取值范围. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在复数范围内关于的实系数一元二次方程的两根为，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据实系数一元二次方程中韦达定理可求出判断B，再由韦达定理判断A，根据复数的乘法及共轭复数判断C，再由复数除法判断D. 【详解】因为且实系数一元二次方程的两根为， 所以，可得，故B正确； 又，所以，故A错误； 由，所以，故C错误； ，故D正确. 故选：BD 10. 已知数列是等比数列，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列 C. 数列是等比数列 D. 数列是等比数列 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，设的公比为q，则 ，由等比数列的定义依次判断AB；举反例判断CD. 【详解】根据题意，数列是等比数列，设其公比为q，则  对于选项A：因为，所以数列是等比数列，故A正确； 对于选项B：因为 ，所以数列为等比数列，故B正确； 对于选项CD：例如，则，所以数列不是等比数列，故C错误； 则，所以数列不是等比数列，故D错误. 故选：AB. 11. 在正方体中，点E，F满足，，且x，y，．记EF与所成角为，与平面ABCD所成角为，则（ ） A. 若，三棱锥E-BCF的体积为定值 B. 若，则 C. ， D. ，总存在，使得平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：确定以及点到面的距离的取值情况即可判断；对于B：假设，找出矛盾即可判断；对于C：过作交于，连接，找到和即可判断；对于D：作图，然后证明平面即可. 【详解】对于A：若，点在过线段的三等分点（靠近点）并且与平行的线上， 因为点在线段上，且， 所以点到线段的距离为定值，则为定值， 又点到面，即面的距离不变， 所以为定值，A正确； 对于B：若，则点为线段的中点，点为线段的交点， 若，又，且面，， 所以面，又面， 所以， 设正方体的棱长为， 则， 此时，即，与矛盾， 故不正确，B错误； 对于C：，则点在线段上（不含端点），点在正方形内（不含边界）， 过作交于，连接， 则为EF与所成角，即， 因为面，， 所以面，则为与平面ABCD所成角，即， 因为为直角三角形，所以，C正确； 对于D：过作交于，过作交于，连接， 此时满足，，，， 接下来只需要证明平面即可， 因为，面，面， 所以面， 又，面，面， 所以面，又，且面， 所以面面，又面， 所以平面， 所以，总存在，使得平面，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若，则___________． 【答案】0 【解析】 【分析】先根据条件求出，然后由赋值法即可求解. 【详解】由题意，所以，即， 令，则，令，则， 所以. 故答案为：0. 13. 已知为双曲线的左、右焦点，圆与相交于点（点位于第一象限），若，则的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线定义并结合圆的直径所对圆周角为直角，且由，得到，进而可以得到离心率. 【详解】由圆，则圆以为直径的圆， 又由是双曲线与圆的交点，则,, 由, 则，， 所以, 在直角中，则, 故. 故答案为：. 14. 已知非零向量满足：，设，若存在，使得，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据和，求出，由得到，联立得到，故，换元得到，得到答案. 【详解】由题意得，即， 又，故， 所以，故①， 因为，所以②， 联立①②得，解得， 则 ， 令，则， 则， 故. 故答案为： 【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列函数的导数. （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】利用导数的四则运算与复合函数的导数公式求解即可.其中第（4）小问可先化简再求导. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 【小问3详解】 【小问4详解】 ， 由， . 16. 随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城，将再次成为旅游的热门目的地.为更好地提升旅游品质，我市文旅局随机选择名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分分），分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求x的值并估计该评分的上四分位数； （2）若采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行单独交流，求选取的3人中评分等级为良好的人数X的分布列和数学期望； （3）为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，我市文旅局再次随机选择100名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为120名.请根据小概率值的独立性检验，分析游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年）是否有关. 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）， （2）分布列见解析， （3）无法认为游客的评分等级是否良好与年龄段有关. 【解析】 【分析】（1）根据频率和为计算出的值；先判断出上四分位数所在区间，然后结合区间端点值以及该组的频率完成计算； （2）先根据分层抽样计算出每组抽取的人数，然后确定出的可取值并计算对应概率，由此可求分布列和数学期望； （3）根据已知条件得到对应列联表，然后计算出的值并与对应比较大小，由此得到结论. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，，解得； 因为的频率为，且为最后一组， 所以评分的上四分位数位于区间中， 所以上四分位数为：； 【小问2详解】 评分在与两组的频率分别为， 所以内抽取人数为，内抽取人数为， 故人中评分等级为良好的有人， 由题意可知，的可取值为， ，，， 所以的分布列为： 数学期望； 【小问3详解】 青年游客评分等级良好的有人，所以老年游客评分等级良好的有人， 由上可得如下列联表， 青年游客 老年游客 总计 评分等级良好 评分等级非良好 总计 零假设：游客的评分等级是否良好与年龄段无关， 由表中数据可得， 根据小概率值的独立性检验，可知零假设成立， 即无法认为游客的评分等级是否良好与年龄段有关. 17. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积； （3）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得解； （2）利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得； （3）利用正弦定理将转化为关于的三角函数，结合三角形为锐角三角形求出的范围，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， ∴， ∵，则，∴，又，∴； 【小问2详解】 因为，， 由余弦定理，即， ∴，解得， ∴； 【小问3详解】 在中，由正弦定理， ∴， ∴ ， 又为锐角三角形，∴， ∴，∴， ∴，∴，∴， 故周长的取值范围为 18. 如图，四面体中，，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）设，点在上且，记与平面所成角为，求的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由≌得到，得到，即可求证； （2）过作面于，连．由线面角定义得到，再由等体积法求得，进而可求解；法二：建系求得平面法向量，代入夹角公式即可求解； 【小问1详解】 证明：在和中，， ∴≌（SAS），∴， ∵为中点，∴且，，都在平面内， ∴平面，∵平面， ∴平面平面． 【小问2详解】 方法一： 过作面于，连． 由线面角的定义可知． 由于点是定点，平面面也是固定的， 所以是个定值， 因此最大，也即最小，易知此时时取到． 因为， ，所以， 又，所以， 所以，所以， 以及，， 所以， 由， 得到：， 所以 当时，， 故此． 法二：∵， ∴为等边三角形且边长为2，∴， ∵，∴， ∴，∴， 又∵，都在平面内， ∴平面，如图建系， ∴， ， ∴， 设平面的一个法向量，∴， 设，得到， 所以， ∴． 当且仅当时取“”． 所以的最大值. 19. 已知椭圆的右顶点为，焦距为． （1）求的标准方程； （2）设的左焦点为，过点作斜率不为零的直线交于两点，连接分别交直线于点，过点且垂直于的直线交直线于点，则 ①求证：为线段的中点； ②记的面积分别为，试探究：是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）①证明见解析 ；②存在； 【解析】 【分析】（1）根据焦距、顶点坐标和椭圆关系可直接求得标准方程； （2）①将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；分别用坐标表示出点的纵坐标，结合韦达定理可整理得到，由此可得结论； ②根据，，结合韦达定理进行整理，进而得到的取值. 【小问1详解】 由题意知：，的标准方程为：. 【小问2详解】 ①由（1）知：， 设直线的方程为，， 由得：，，， 直线，令，解得：， 同理可得：； 直线，令，解得：； ， 为线段中点. ②， ； ，，， ， 假设存在满足题意的，则， 存在，使得. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用问题，解题基本思路是能够将点的坐标、三角形面积利用坐标运算的方式表示为符合韦达定理的形式，结合韦达定理对所求量进行化简整理，从而得到结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届苏州市高三期初统考 2025.02 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. － B. C. D. 3. 直线和直线互相平行，则的值为（ ） A. -1 B. 3 C. 3或-1 D. -3 4. 已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 若正项等差数列的前项和为，则的最大值为（ ） A. 9 B. 16 C. 25 D. 50 6. 在5张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若在区间内恰有4个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在复数范围内关于的实系数一元二次方程的两根为，其中，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列是等比数列，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列 C. 数列是等比数列 D. 数列是等比数列 11. 在正方体中，点E，F满足，，且x，y，．记EF与所成角为，与平面ABCD所成角为，则（ ） A. 若，三棱锥E-BCF的体积为定值 B. 若，则 C. ， D. ，总存在，使得平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若，则___________． 13. 已知为双曲线的左、右焦点，圆与相交于点（点位于第一象限），若，则的离心率为___________． 14. 已知非零向量满足：，设，若存在，使得，则的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列函数的导数. （1）； （2）； （3）； （4）. 16. 随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城，将再次成为旅游的热门目的地.为更好地提升旅游品质，我市文旅局随机选择名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分分），分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求x的值并估计该评分的上四分位数； （2）若采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行单独交流，求选取的3人中评分等级为良好的人数X的分布列和数学期望； （3）为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，我市文旅局再次随机选择100名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为120名.请根据小概率值的独立性检验，分析游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年）是否有关. 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积； （3）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 18. 如图，四面体中，，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）设，点在上且，记与平面所成角为，求的最大值． 19. 已知椭圆的右顶点为，焦距为． （1）求的标准方程； （2）设的左焦点为，过点作斜率不为零的直线交于两点，连接分别交直线于点，过点且垂直于的直线交直线于点，则 ①求证：为线段的中点； ②记的面积分别为，试探究：是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $