精品解析：河北省承德市兴隆县2024-2025学年九年级上学期期末质量监测数学试题

2024-2025学年第一学期期末质量监测 九年级数学试卷 卷Ⅰ（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 方程化为一般形式后，常数项为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】把原方程化为一般式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴常数项为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式为（其中a，b，c为常数）是解题的关键． 2. 如图，与位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则与的周长之比是（ ） A. 1∶2 B. 1∶4 C. 1∶3 D. 1∶9 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似图形是相似图形，位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵与位似 ∴ ∵与的位似比是1:2 ∴与的相似比是1:2 ∴与的周长比是1:2 故选：A． 【点睛】本题考查了位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质和相似三角形的性质． 3. 如图所示，其函数解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的图象，根据反比例函数的图象进行解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∴， ∴可能是． 故选：B． 4. 如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（ ） A. 甲与丙 B. 甲与乙 C. 乙与丙 D. 三个矩形都不相似 【答案】A 【解析】 【分析】如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答． 【详解】解：三个矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为4：6＝2：3，1.5：2＝3：4，2：3， ∴甲和丙相似， 故选：A． 【点睛】本题主要考查相似多边形的概念，解题关键是证明对应边成比例． 5. 已知抛物线（ ， ， 为常数，）的顶点坐标为，与轴的交点在 轴上方，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由抛物线顶点为，故可设抛物线为，从而，则，，结合抛物线与轴的交点在 轴上方，可得，则，故可判断A、B；将代入抛物线解析式可判断C；又，，代入，可判断D． 【详解】解： 抛物线顶点为， 可设抛物线为． ． 又抛物线为， ，． 抛物线与轴的交点在 轴上方， ， ，故A、B均不正确； 又抛物线的顶点为， 当 时，，故C正确． 由，， ，故D错误． 故选：C． 6. 如果关于 的一元二次方程 没有实数根，那么 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据方程没有实数根，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到 的范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选：B． 7. 如图， 是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，若．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 首先利用圆的半径相等得，利用三角形的内角和定理求得∠，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得，最后利用圆的内接四边形对角互补求得． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，D、E分别是边 、 上的点，，且，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解相似三角形面积的比等于相似比的平方．由平行可证，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：． 9. 如图， 中，，，．圆O与三角形的三边 、、 相切于点D、E、F则下列结论正确的是（ ） ①；②四边形为正方形；③；④圆O的半径为 A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由，，得；判断①；由，，得四边形为正方形；判断②；由半径，判断③；连接，设 半径为r，由的面积得，得，解得．判断④ 【详解】解：①∵ 中，，，． ∴， ∴； ∴①不正确； ②∵， 与、 相切于点E、F， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； ∴②正确； ③∵ 与三角形的三边 、、 相切于点D、E、F， ∴都是 的半径， ∴； ∴③正确； ④连接，设 半径为r， ∴， ∴， ∴， 解得． 的半径为． ∴④正确． ∴正确的有②③④． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆．熟练掌握含30度的直角三角形性质，切线性质，切线长定理，矩形判定和性质，正方形判定，面积法求三角形高，添加辅助线，是解题的关键． 10. 如图，正六边形的边长为2，以 为圆心， 的长为半径画弧，得，连接 ，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等六边形的性质计算出AC的长度，再根据扇形面积计算公式计算即可． 【详解】解：过B点作AC垂线，垂足为G， 根据正六边形性质可知，， ∴， ∴S扇形=， 故选：A． 【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，根据正六边形性质计算出扇形的半径是解题的关键． 11. 如图，正方形 的顶点坐标分别为，，，抛物线经过点D，顶点坐标为，将此抛物线在正方形 内（含边界）的部分记为图象G，若直线与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先求出抛物线解析式为，再求出抛物线与正方形边长另一个交点为，再根据直线过定点，结合函数图象解题即可． 【详解】解：设抛物线与正方形边长另一个交点为 ， ∵正方形 的顶点坐标分别为， ∴， ∵抛物线经过点 ，顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把代入得到，解得， ∴抛物线解析式为， 当时，解得， ， ∵直线， ∴直线过定点， 当时， ∴直线与必有两个交点， ∵将此抛物线在正方形 内（含边界）的部分记为图象 ，直线与图象 有唯一交点， ∴当 时，抛物线过，即，解得， 当 时，抛物线过，即， 解得：， 综上所述，或， 故选：A． 12. 如图，将一副三角板如图放置，如果，那么点 到的距离为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作EF⊥BC于F，设EF＝x，根据三角函数分别表示出BF,CF，根据BD∥EF得到△BCD∽△FCE，得到,代入即可求出x． 【详解】如图，作EF⊥BC于F，设EF＝x， 又∠ABC=45°，∠DCB=30°， 则BF=EF÷tan45°=x,FC=EF÷tan30°=x ∵BD∥EF ∴△BCD∽△FCE， ∴,即 解得x=，x=0舍去 故EF＝，选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定及解直角三角形的应用． 卷Ⅱ （非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每空3分，共12分．） 13. 方程的根是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，方程移项后再开方求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴或 故答案为：或 14. 如图， 是的高．若，，，则边 的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形与勾股定理．根据题意易求，再利用勾股定理即可解答． 【详解】解： ，，， ∴， ， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，在中， 、 为边的三等分点，连接， 交于点 ．若，则为__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过 点作、分别垂直于 、，交 于点 ，交于点 ，根据可证明，，求出与的比例，再根据四边形和三角形面积公式即可求解． 【详解】如图，过 点作、分别垂直于 、，交 于点 ，交于点 、 为边的三等分点 在中 ， ， 又 ， ，即 ． 故答案为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形及四边形的面积计算公式，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 与相交于点 ， ，点 的坐标为，若点在抛物线上，则 的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】解：把点 ，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴； 故答案为： ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据直接开平方法求解即可． 【详解】解∶， ∴， ∴，． 18. 用配方法把二次函数变成的形式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了将二次函数表达式化为顶点式，先将二次项系数提取因式，再根据完全平方公式进行配方，即可解答． 【详解】解：． 19. 已知关于 的方程． （1）求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； （2）若等腰的一边长，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1） 证明：， ，即， 无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，三角形的三边关系，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当时；当或时，分别求出的值，进而得到另两边边长，再根据三角形的三边关系判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，，则， 方程化为，解得， 的周长； 当或时， 把代入方程得，解得， 方程化为，解得，， 此时不符合三角形三边的关系，此情况舍去， 的周长为5． 20. 日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图， 表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边 在水平线l上，为等边三角形，， 与 分别交于P，Q两点．点C，D是 上两点，，过O作于点E，交 于点F，交 于点M．已知，，． （1）求 的半径； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的实际应用，与圆有关的阴影部分面积； （1）连接，先证明，再由垂径定理得到，然后设 的半径，在中，利用勾股定理得到，列方程计算即可； （2）由，求出等边三角形的边长，再分别求出，，最后根据计算即可． 【小问1详解】 解∶∵，， ∴， ∴， ， ， 如图，连接， 设 的半径， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， 即 的半径为； 【小问2详解】 解∶∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ， ， ． 21. 风力发电是我国电力资源的重要组成部分，嘉嘉为了解某风力发电机的风叶长度，通过测量其影子长度的方法进行计算，如图（图中所有点均在同一平面，太阳光线视为平行光线），线段表示三片风叶，，某时刻的影子恰好重合为线段于点D，测得，同一时刻测得高为的标杆 影长为． （1）直接写出的度数及的长； （2）求风叶转动时点B到地面 的最小距离． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先由等边对等角以及三角形内角和性质列式计算得，运用平行线的性质证明，代入数值计算，即可作答． （2）先证明四边形为矩形，易得故，结合算出，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵图中所有点均在同一平面，太阳光线视为平行光线， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵，同一时刻测得高为的标杆 影长为． ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图2，作于H点，于点G， ∵， ∴， 则四边形为矩形， 由题意可知， ， ， ∴点B到地面 的最小距离为． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，相似三角形的应用，矩形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22. 列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： 1 1 ________ ________ ________ 7 （1）求 、 的值，并补全表格； （2）结合表格，当的图像在的图像上方时，直接写出 的取值范围． 【答案】（1），补全表格：7；；7 （2） 的取值范围为或； 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用图像法写自变量的取值范围； （1）根据表格信息建立方程组求解的值，再求解的值，再补全表格即可； （2）由表格信息可得两个函数的交点坐标，再结合函数图像可得答案. 【小问1详解】 解：当时，，即， 当时，，即， ∴， 解得：， ∴一次函数为， 当时，， ∵当时，，即， ∴反比例函数为：， 当时，， 当时，， 当时，， 补全表格如下： 1 1 7 【小问2详解】 由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为，， ∴当的图像在的图像上方时， 的取值范围为或； 23. 问题背景：已知点A是半径为r的圆O上的定点，连接，将线段绕点O逆时针方向旋转得到，连接，过点A作圆O的切线l，在直线l上取点C，使得为锐角． 初步感知： （1）如图1，当时，________； 问题探究： （2）以线段 为对角线作矩形 ，使得边 过点E，连接，对角线 、 相交于点F． ①如图2，当时，求证：不论在给定的范围内如何变化，总是成立． ②如图3，当，时，请补全图形，并求出及的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①见解析；②图见解析，， 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的综合题以及切线的性质，锐角三角函数，全等的判定和性质，相似的判定和性质等，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）根据等腰的角度和切线的性质即可求出； （2）因为 ，且，要证，实际要证，根据我们证线段相等的思路：（1）同一个三角形证等腰（2）不同三角形证全等，可证即可； （3）由得，再作，证得到，通过设边长，再利用勾股定理，建立勾股方程即可找到线段之间的关系． 【详解】（1） 且， 是等边三角形， ， 直线 是圆 的切线， 为切点， ，即， ， 故答案为：； （2）证明： 四边形 是矩形，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 即无论在给定的范围内如何变化，总成立． （3）①补全图形如图， 是切线， ， ， ， 设，则， ， ，， ，， 即点 在线段上， ． ②：由，得 ， 又 ， ， ， ． 24. 如图，斜坡上种有若干树木，底部有一喷水管，某时刻从B处喷出的水流恰好落在A处，水流呈抛物线状．建立恰当平面直角坐标系，得到点，点．已知喷水管及所有树木都与垂直，抛物线的解析式为 （1）求该抛物线解析式，并写出其顶点坐标． （2）若抛物线恰好过小树 的树顶N，点M在斜坡 上，且点A到M，N两点距离相等，求M点坐标． （3）若 ， 为两棵等高小树( 在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点C不重合)，抛物线恰好经过E，N两点． ①当时，求长； ②直接写出M横坐标m的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据在抛物线上建立方程组求解并将解析式整理成的形式即可得解； （2）先求出直线 的解解式，进而设，根据题意得到点 在 中垂线上，进而由中垂线性质（若 为 中垂线，则且 与 交点为 中点)解得，得到，根据点 在抛物线上即可建立方程求解； （3）①取，表示任意位置的小树高，令解得横坐标，即可求解； ②设，根据题意得到直线与抛物线在区间上有两交点， 为靠左一点的横坐标，注意到，即可结合一元二次方程求根公式通过计算求解； 【小问1详解】 解：点，点在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线方程为， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵点，点 在 轴上， ∴， ∵，， ∴设直线 的解析式为，即，解得：， 故直线 的解析式为， ∵点 在直线 上， 设，， ∵轴， ∴点 在 中垂线上，故， 解得：， ∴， ∵点 在抛物线上， ∴，整理得：， 解得：（舍）或，此时， ∴． 【小问3详解】 解：①令， 则 表示小树高， ∵，即， ∴，整理得， 解得：， ∵ 在 左侧，故，， ∴． ②设，则在上有两解，且 为其中较小解， 即直线与抛物线在上有两交点， 当 时，， 令，得或（舍去）， ∴， 又， 对称轴为， 为直线与抛物线两交点中靠左一点的横坐标，故， 综上，； 【点睛】该题主要考查了二次函数的应用，二次函数的图象和性质，一次函数解析式求解，解直角三角形等知识点，解题的关键是理解题意． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期末质量监测 九年级数学试卷 卷Ⅰ（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 方程化为一般形式后，常数项为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 如图， 与位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则 与的周长之比是（ ） A. 1∶2 B. 1∶4 C. 1∶3 D. 1∶9 3. 如图所示，其函数解析式可能是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（ ） A. 甲与丙 B. 甲与乙 C. 乙与丙 D. 三个矩形都不相似 5. 已知抛物线（，，为常数，）的顶点坐标为，与 轴的交点在 轴上方，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果关于 的一元二次方程 没有实数根，那么 的取值范围是( ) A. B. C. D. 7. 如图，是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，若．则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，D、E分别是 边、 上的点，，且，那么的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图， 中，，，．圆O与三角形的三边、 、 相切于点D、E、F则下列结论正确的是（ ） ① ；②四边形为正方形；③；④圆O的半径为 A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ②③④ 10. 如图，正六边形的边长为2，以为圆心， 的长为半径画弧，得，连接 ， ，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正方形 的顶点坐标分别为，，，抛物线经过点D，顶点坐标为，将此抛物线在正方形 内（含边界）的部分记为图象G，若直线与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或 12. 如图，将一副三角板如图放置，如果，那么点 到 的距离为(　　) A. B. C. D. 卷Ⅱ （非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每空3分，共12分．） 13. 方程的根是________． 14. 如图， 是 的高．若，，，则边的长为________． 15. 如图，在中， 、为边 的三等分点，连接 ，交于点．若，则为__________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 与相交于点， ，点 的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 18. 用配方法把二次函数变成的形式． 19. 已知关于 的方程． （1）求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； （2）若等腰 的一边长，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求 的周长． 20. 日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线l上，为等边三角形，， 与分别交于P，Q两点．点C，D是上两点，，过O作于点E，交 于点F，交于点M．已知，，． （1）求的半径； （2）求图中阴影部分的面积． 21. 风力发电是我国电力资源的重要组成部分，嘉嘉为了解某风力发电机的风叶长度，通过测量其影子长度的方法进行计算，如图（图中所有点均在同一平面，太阳光线视为平行光线），线段表示三片风叶，，某时刻的影子恰好重合为线段于点D，测得，同一时刻测得高为的标杆影长为． （1）直接写出的度数及的长； （2）求风叶转动时点B到地面的最小距离． 22. 列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： 1 1 ________ ________ ________ 7 （1）求、的值，并补全表格； （2）结合表格，当的图像在的图像上方时，直接写出 的取值范围． 23. 问题背景：已知点A是半径为r的圆O上的定点，连接，将线段绕点O逆时针方向旋转得到，连接 ，过点A作圆O的切线l，在直线l上取点C，使得为锐角． 初步感知： （1）如图1，当时，________； 问题探究： （2）以线段 为对角线作矩形 ，使得边 过点E，连接 ，对角线 、 相交于点F． ①如图2，当时，求证：不论在给定的范围内如何变化，总是成立． ②如图3，当，时，请补全图形，并求出及的值． 24. 如图，斜坡上种有若干树木，底部有一喷水管 ，某时刻从B处喷出的水流恰好落在A处，水流呈抛物线状．建立恰当平面直角坐标系，得到点，点．已知喷水管 及所有树木都与垂直，抛物线的解析式为 （1）求该抛物线解析式，并写出其顶点坐标． （2）若抛物线恰好过小树的树顶N，点M在斜坡 上，且点A到M，N两点距离相等，求M点坐标． （3）若，为两棵等高小树(在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点C不重合)，抛物线恰好经过E，N两点． ①当时，求长； ②直接写出M横坐标m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $