精品解析：四川省绵阳市涪城区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024－2025学年绵阳市涪城区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案中，只有一个答案符合题目要求．） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 笛卡尔心形图 B. 三叶玫瑰线 C. 阿基米德螺旋线 D. 椭圆 2. 若是一元二次方程的根，则的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 3. 如图所示的转盘被均匀的分为4部分，每个扇形部分都表示一个数字．转动转盘两次，分别记录停止后的数字（若停在线上则重新转），则两次转动的数字之和大于6的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，为斜边上任一点，作经过点C，且与边相切于点D的．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（） 结论Ⅰ：若的圆心O落在边上，则的半径为； 结论Ⅱ：当与直线有另一交点E，与直线交于另一点F时，点E，F之间的最小距离为． A. Ⅰ和Ⅱ都对 B. Ⅰ和Ⅱ都不对 C. Ⅰ不对Ⅱ对 D. Ⅰ对Ⅱ不对 5. 如图，在矩形中，，分别以所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．F为边上的一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，连接，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，则此时k的值为（ ） A. 8 B. C. D. 6. 如图，等腰的内切圆与，，分别相切于点D，E、F，且，，则的长是（　　） A. B. C. D. 7. 下列关于圆的叙述正确的有（ ） 圆内接四边形的对角互补； 相等的圆周角所对的弧相等； 正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等； 同圆中的平行弦所夹的弧相等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 已知二次函数，当自变量为时，其函数值大于零；当自变量为，时，其函数值分别为，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 如图，将绕点C旋转得到，点A对应点D，点B对应点E，点B刚好落在边上，，则（ ） A. B. C. D. 10. 往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（ ）cm． A. 10 B. 14 C. 26 D. 52 11. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，当张角时（是的对应点），则线段的长为（ ）． A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，线段与反比例函数相交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点恰好落在双曲线上，则的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 6 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应横线上．） 13. 如图，、、为上三点，若，则度数为________． 14. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则______________． 15. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，平移后所得抛物线的表达式为________． 16. 某校八年级选举了4名同学获得“学习之星”荣誉，其中有2名女同学，2名男同学，在这4名同学中随机选2名同学作为学生代表在期末大会上发言，那么恰好有1名男同学，1名女同学代表发言的概率为 ___________． 17. 某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价__________元． 18. 如图，两个同心圆，大圆的半径为，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是______ ． 三、解答题：（本大题共7个小题，计90分．解答应写出文字说明、证明过程或推理步骤）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别三个是，，． （1）把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的； （2）若点P为的外心，请直接写出点P的坐标 ． 20. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的一个根为，求该方程的另一个根及的值． 21. 一个不透明的箱子中装有1张白色的卡片和若干张红色的卡片，这些卡片除颜色外，大小、形状、厚度等均相同．某学习小组做试验：将卡片搅匀后从中任意摸出1张卡片，记下颜色后放回；搅匀后再摸一张卡片，记下颜色后放回；不断重复上述过程，获得数据如下： 摸卡的次数 摸到白色卡片的频数 摸到白色卡片的频率 （1）根据上表估计，任意摸一次为白色卡片的概率为（精确到），求红色卡片有多少张？ （2）现从该箱子中先后各摸出1张卡片，求恰好两张卡片颜色相同的概率． 22. 如图，一次函数和反比例函数的图象交于A，B两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）求的面积． 23. 如图某农场要建一个矩形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长)，另外三边由长的栅栏围成．设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为(如图)． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若矩形空地的面积为，求的值． 24. 如图，中，的顶点O，D在边上，顶点E，F分别在边上，以点O为圆心，长为半径的与相交于点D，与相切于点E． （1）求证：是直角三角形； （2）若，，求的长． 25. 抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m，连接AC，BC，DC． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若，求m值． （3）点F坐标为（0，2），连接AF，点P在直线AF上，点Q是平面上任意一点，当以A、C、P、Q四点为顶点的四边形为菱形时，直接写出Q坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年绵阳市涪城区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案中，只有一个答案符合题目要求．） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 笛卡尔心形图 B. 三叶玫瑰线 C. 阿基米德螺旋线 D. 椭圆 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握相关定义是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A、笛卡尔心形图是轴对称图形，但它不是中心对称图形，则A不符合题意； B、三叶玫瑰线是轴对称图形，但它不是中心对称图形，则B不符合题意； C、阿基米德螺旋线既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则C不符合题意； D、椭圆既是轴对称图形又是中心对称图形，则D符合题意； 故选：D． 2. 若是一元二次方程的根，则的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】将x=m代入原式可得：m2-4m=1，从而可求出答案． 【详解】解：将x=m代入原式可得：m2-4m=1， ∴原式=4m-m2=-1， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型． 3. 如图所示的转盘被均匀的分为4部分，每个扇形部分都表示一个数字．转动转盘两次，分别记录停止后的数字（若停在线上则重新转），则两次转动的数字之和大于6的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查是用树状图法求概率．，画树状图，共有16种等可能的结果，其中两次转动的数字之和大于6的结果有10种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中两次转动的数字之和大于6的结果有10种， ∴两次转动的数字之和大于6的概率为 故选：C． 4. 如图，在中，为斜边上任一点，作经过点C，且与边相切于点D的．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（） 结论Ⅰ：若的圆心O落在边上，则的半径为； 结论Ⅱ：当与直线有另一交点E，与直线交于另一点F时，点E，F之间的最小距离为． A. Ⅰ和Ⅱ都对 B. Ⅰ和Ⅱ都不对 C. Ⅰ不对Ⅱ对 D. Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】A 【解析】 【分析】当圆心在上，连接，则，由切线的性质得，由，求得，再证明，得，求得，则，所以，于是得到问题的答案； 作于点，连接、、，由，求得，由，可知是的直径，则，因为，所以，当，且的值最小时，则的值最小，即可求得的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，圆心在上，连接，则， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ， ， ， ， 解得：， ∴的半径长为． 如图，作于点，连接、， ， ， 解得， ， ∴是的直径， ， ， ， ∴当，且的值最小时，则的值最小， ， ， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故选：A． 【点睛】此题重点考查切线的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、两点之间线段最短、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 5. 如图，在矩形中，，分别以所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．F为边上的一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，连接，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，则此时k的值为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 过点作于，则，根据点都在反比例函数的图象上，则，由折叠知，．推出，推出，根据，则，则，得出，因为，则，得出． 【详解】解：过点作于， ， ， ∵点都在反比例函数的图象上， ， 由折叠知，． ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 故选：D． 6. 如图，等腰的内切圆与，，分别相切于点D，E、F，且，，则的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，，，，，，交于点M，根据“从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角”可得，，，结合求得点E是中点，然后由等腰三角形三线合一的性质求得点A，O，E共线，在中由勾股定理求得后，利用的面积求得内切圆的半径；由切线长定理和等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分，在中由勾股定理求得后，再利用面积法求得即可解答； 【详解】解：如下图，连接，，，，，，交于点M， 由切线长定理可知平分，， ∵， ∴， ∴， 同理根据切线长定理可知平分，，， ∴， ∴点E是中点， 根据等腰三角形三线合一的性质可得点E在的延长线上，即点A，O，E共线， ∴， 中由勾股定理可得， ∵且， ∴， 中由勾股定理可得， 等腰中由三线合一的性质可得垂直平分， ∵， ∴， ∴， 故选： D． 【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，等腰三角形的性质；利用面积法求三角形内切圆半径可使计算简便． 7. 下列关于圆的叙述正确的有（ ） 圆内接四边形的对角互补； 相等的圆周角所对的弧相等； 正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等； 同圆中的平行弦所夹的弧相等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：①圆内接四边形的对角互补；正确； ②相等的圆周角所对的弧相等；错误； ③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；错误； ④同圆中的平行弦所夹的弧相等；正确； 正确的有2个， 故选B． 8. 已知二次函数，当自变量为时，其函数值大于零；当自变量为，时，其函数值分别为，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】解析式化为顶点式，，注意参数c变化，图象形状不变，对称轴不变，根据图象性质求解． 【详解】 如图，抛物线与x轴交于C、D两点，抛物线与x轴交于A、B两点，可知，，自变量为时，其函数值大于零，则点位于x轴上方的抛物线上，故点在点A的左侧，在点B的右侧，故均在x轴下方，所以，； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象性质，注意随着参数变化，理清函数图象的动态变化是解题的关键． 9. 如图，将绕点C旋转得到，点A对应点D，点B对应点E，点B刚好落在边上，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形外角的性质，等边对等角，先根据旋转的性质得到，，再由等边对等角得到，利用三角形外角的性质得到，由此可得答案． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 10. 往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（ ）cm． A. 10 B. 14 C. 26 D. 52 【答案】D 【解析】 【分析】如图，记圆柱形容器的截面圆心为O，过O作于D，交圆于C，设圆的半径为r，而 再利用勾股定理建立方程即可． 【详解】解：如图，记圆柱形容器的截面圆心为O，过O作于D，交圆于C， 则 设圆的半径为r，而 解得： 圆柱形容器的截面直径为52cm． 故选D 【点睛】本题考查的是垂径定理的实际应用，作辅助线构建符合垂径定理的模型是解本题的关键． 11. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，当张角时（是的对应点），则线段的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，由勾股定理可得，由可得，进而得到，即可得，再利用线段的和差关系即可求解，掌握勾股定理及直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 12. 如图，在平面直角坐标系中，线段与反比例函数相交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点恰好落在双曲线上，则的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，全等三角形的判定和性质． 过点A作轴于点C，过带你B作轴于点D，过点O作于点E，推出为反比例函数图象的对称轴，通过证明，得出，的面积，即可解答． 【详解】解：过点A作轴于点C，过带你B作轴于点D，过点O作于点E， 由旋转可知， ∵， ∴点A和点B关于对称，， ∴为反比例函数图象的对称轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴的面积， 故选：D． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应横线上．） 13. 如图，、、为上三点，若，则度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半，即可求解． 【详解】解：∵、、为上三点，， ∴， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称点的坐标特征，求解即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， 则， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数这一特征，熟练掌握该特征是解题的关键． 15. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，平移后所得抛物线的表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．根据左加右减，上加下减进行求解作答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，平移后所得抛物线的表达式为， 故答案为：． 16. 某校八年级选举了4名同学获得“学习之星”荣誉，其中有2名女同学，2名男同学，在这4名同学中随机选2名同学作为学生代表在期末大会上发言，那么恰好有1名男同学，1名女同学代表发言的概率为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表格法求概率，由题意列出表格，然后根据概率公式，即可求出答案． 【详解】解：列表如下： 女1 女2 男1 男2 女1 ﹣﹣﹣ （女1，女2） （女1，男1） （女1，男2） 女2 （女2，女1） ﹣﹣﹣ （女2，男1） （女2，男2） 男1 （男1，女1） （男1，女2） ﹣﹣﹣ （男1，男2） 男2 （男2，女1） （男2，女2） （男2，男1） ﹣﹣﹣ 总共有12种等可能结果，其中恰好有1名男同学，1名女同学的结果有8种， ∴恰好有1名男同学，1名女同学代表发言的概率， 故答案为：． 17. 某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价__________元． 【答案】4 【解析】 【分析】根据销售每箱饮料的利润销售总箱数=销售总利润，由此列方程解答即可． 【详解】解：设每箱降价x元，则每天多售出箱， ∴ ， 整理得： ， 解得： 或 ， ∵要扩大销售， ∴ 答：每箱降价4元． 18. 如图，两个同心圆，大圆的半径为，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据已知条件和图形分析可得当是大圆直径时，的值最大，从而可得的最大值；进一步分析可得当与小圆相切的时，最小，利用勾股定理可得的最小值；若大圆的弦与小圆有公共点，即与小圆相切或相交，再结合上面分析即可解答，掌握直线和圆的位置关系与的半径为和圆心到直线的距离为之间的关系是解题的关键． 【详解】解：当是大圆直径时的值最大，最大值为， 当与小圆相切时最小， 小圆的半径为，大圆半径为， ， 大圆的弦与小圆有公共点，即相切或相交， ． 故答案：． 三、解答题：（本大题共7个小题，计90分．解答应写出文字说明、证明过程或推理步骤）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别三个是，，． （1）把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的； （2）若点P为的外心，请直接写出点P的坐标 ． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的作图，三角形的外心，掌握旋转的作图方法，以及三角形的外心是三边垂直平分线是交点，是解题的关键． （1）连接并延长，使，再依次连接点即可； （2）找出，垂直平分线的交点，即可解答． 【小问1详解】 解：如图1所示：即为所求； 【小问2详解】 解：如图2，点P为的外心， ∵四边形为正方形， ∴为的垂直平分线， ∵，， ∴的垂直平分线为直线， 由图可知，的垂直平分线与的垂直平分线相交于点， ∴点为外心， ∴点坐标为． 故答案为：． 20. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的一个根为，求该方程的另一个根及的值． 【答案】（1） （2），另一根为 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确题意，利用根与系数的关系解答． （1）根据题意可知，，然后求解即可； （2）根据根与系数的关系，可以先求出方程的另一个根，然后即可计算出的值 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有实数根， 解得， 即的取值范围为； 【小问2详解】 解：设该方程的另一个根为， 则， 解得， 解得， 即，该方程的另一个根是． 21. 一个不透明的箱子中装有1张白色的卡片和若干张红色的卡片，这些卡片除颜色外，大小、形状、厚度等均相同．某学习小组做试验：将卡片搅匀后从中任意摸出1张卡片，记下颜色后放回；搅匀后再摸一张卡片，记下颜色后放回；不断重复上述过程，获得数据如下： 摸卡的次数 摸到白色卡片的频数 摸到白色卡片的频率 （1）根据上表估计，任意摸一次为白色卡片的概率为（精确到），求红色卡片有多少张？ （2）现从该箱子中先后各摸出1张卡片，求恰好两张卡片颜色相同的概率． 【答案】（1）红色卡片有3张 （2）恰好两张卡片颜色相同的概率为 【解析】 【分析】（1）利用白色卡片的数量除以任意摸一次为白色卡片的概率为，即可求出总的卡片数量，再减去白色卡片数量即可求解； （2）由于白色卡片只有1张，因此相同颜色的两张卡片只能是红色，再根据不放回试验的特点分别求出两次摸出红色卡片的概率，接着将这两个概率相乘即可求解；或者用列表法求概率． 【小问1详解】 总的卡片张数：（张）， 则红色的卡片张数为：（张）， 答：红色卡片有3张； 【小问2详解】 由于白色卡片只有1张，因此相同颜色的两张卡片只能是红色， 第一次摸出红色卡片的概率为：， 摸出一张红色卡片之后，剩余红色卡片为2张，盒中卡片总张数为：3张， 则第二次摸出红色卡片的概率为：， 即：两张卡片均为是红色的概率为：， 答：恰好两张卡片颜色相同的概率为． 列表如下， 白 红1 红2 红3 白 白，红1 白，红2 白，红3 红1 红1，白 红1，红2 红1，红3 红2 红2，白 红2，红1 红2，红3 红3 红3，白 红3，红1 红3，红2 共有12种等可能结果，其中符合题意的有6种， ∴恰好两张卡片颜色相同的概率为 【点睛】本题考查了根据概率求解总数以及求解不放回试验中事件的概率的知识，掌握不放回试验的特点，是解答本题的关键． 22. 如图，一次函数和反比例函数的图象交于A，B两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据图形得出A、B的坐标，把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出其解析式；把A、B的坐标代入一次函数的解析式，即可求出一次函数的解析式； （2）求得直线与y轴的交点，然后根据三角形面积公式即可求得． 【小问1详解】 解：由图可知，点A的坐标为． ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式是：． ∵点B的横坐标是3，且反比例函数的图象经过点B， ∴，则点B的坐标为． ∵一次函数经过点，， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式是． 【小问2详解】 解：记直线与轴的交点为， 把代入，得， ∴． 23. 如图某农场要建一个矩形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长)，另外三边由长的栅栏围成．设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为(如图)． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若矩形空地的面积为，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了列二次函数关系式，一元二次方程的应用． （1）根据矩形的面积公式计算即可； （2）构建方程即可解决问题，注意检验是否符合题意． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵墙长， ∴， 即， 解得， ∴与之间的函数关系式为，自变量的取值范围为． 【小问2详解】 解：由题意：， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； ∴的值为． 24. 如图，中，的顶点O，D在边上，顶点E，F分别在边上，以点O为圆心，长为半径的与相交于点D，与相切于点E． （1）求证：是直角三角形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，正弦函数等知识点，掌握图形的基本性质，熟练运用正弦函数值以及勾股定理是解题关键． （1）连接，根据切线的性质以及平行四边形的性质，推出，即可证得结论； （2）由平行线的性质推出，从而求出、，然后证得四边形是菱形，通过设，，在中，运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵与相切于点E， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 【小问2详解】 解；∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 设，则， ∴， ∴（舍去负值）， ∴． 25. 抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m，连接AC，BC，DC． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若，求m值． （3）点F坐标为（0，2），连接AF，点P在直线AF上，点Q是平面上任意一点，当以A、C、P、Q四点为顶点的四边形为菱形时，直接写出Q坐标． 【答案】（1）； （2）的值为或； （3）点的坐标为，或，或或，． 【解析】 【分析】（1）由题意得出方程组，求解方程组即可； （2）分点在直线上方、在直线下方两种情况讨论，结合相似三角形的判定和性质以及抛物线与直线的交点分别求解即可； （3）分是菱形的边、是菱形的对角线两种情况，通过画图，利用菱形的性质求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：当点在直线上方时，过点作交的延长线交于，垂足为，作轴交于， 点的坐标为，对称轴为直线．点的坐标为， ， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 联立得（舍去）或， ； 当点在直线下方时的位置），延长交于，过作轴于， ，， ， ，， ， ，， ， ， 直线的解析式为， 联立得（舍去）或， ； 综上，的值为或； 【小问3详解】 解：点的坐标为，点的坐标为，点坐标为， ，直线为， 设， ， ， ①当是菱形的边时，如图， 时，，解得或， ，或，， 点的坐标为，点的坐标为， ，或，， 时，，解得（舍去）或， ， 点的坐标为，点的坐标为， ， 综上，当是菱形的边时，点的坐标为，或，或； ②当是菱形的对角线时，如图， ， ，解得， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 综上所述，点的坐标为，或，或或，． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、菱形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象和性质，利用分类讨论的思想进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $