精品解析：广东省湛江市岭南师范学院附属中学2024-2025学年高一下学期核心素养调研数学试题

岭南师范学院附属中学 2024-2025学年第二学期学科核心素养调研试题 高一年级数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域为(   ) A. B. C. D. 2. “”一个充分不必要条件是（ ） A B. C. D. 3. 已知集合，，若，则实数的所有可能取值的集合为 A. B. C. D. 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 定义运算 ，则函数的图像是（　　） A. B. C. D. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数为奇函数，，若对任意､，恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若对任意，都有成立，则的值为 A. B. 1 C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数表示的是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中，其中真命题的是（ ） A. 若a>b，c≠0，则ac>bc； B. 若a>b，则ac2>bc2； C. 若ac2>bc2，则a>b； D. 若a>b>0，c>d>0，则ac>bd. 11. 若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，有；（2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数是“理想函数”的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是______． 13. 已知集合A={x∈R||x+2|<3}，集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0}，且A∩B=(-1，n)，则m+n=________. 14. 若一些函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有________个. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤. 15. 计算下列各题. （1）； （2）. 16. 已知扇形圆心角是，半径为，弧长为. （1）若，，求扇形的弧长. （2）若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ （3）若，求扇形的弧所在的弓形的面积. 17. 目前全球新冠疫情严重，核酸检测结果成为是否感染新型冠状病毒的重要依据，某核酸检测机构，为了快速及时地进行核酸检测，花费36万元购进核酸检测设备.若该设备预计从第1个月到第个月的检测费用和设备维护费用总计为万元，该设备每月检测收入为20万元. （1）该设备投入使用后，从第几个月开始盈利？（即总收入减去成本及所有支出费用之差为正值）； （2）若该设备使用若干月后，处理方案有两种：①月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出；②盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由. 18. 已知函数， （1）求函数的最小正周期和对称中心坐标； （2）求函数的单调递增区间； （3）当时，求的最大值以及取得最大值时的值． 19. 已知函数为奇函数． （1）求实数k的值； （2）设，证明：函数在上减函数； （3）若函数，且在上只有一个零点，求实数m取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 岭南师范学院附属中学 2024-2025学年第二学期学科核心素养调研试题 高一年级数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域为(   ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的分母不为0，对数的真数大于0，建立关系式，解之即可． 【详解】要使函数有意义, 则,解得 且, ∴函数的定义域为, 故选:C． 2. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分条件，必要条件的定义判断即得. 【详解】由，可得， 所以是的充要条件； 所以是的既不充分也不必要条件； 所以是的必要不充分条件； 所以是的充分不必要条件. 故选：D. 3. 已知集合，，若，则实数的所有可能取值的集合为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 详解】试题分析：，∴B=或B＝{－1}或B＝{1}，∴a=0,-1,1． 考点：子集关系 点评：本题考查了子集关系，勿忘空集． 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，，， 根据在上是增函数，所以，即. 故选：D. 5. 定义运算 ，则函数的图像是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数新定义与指数函数图像求解即可. 【详解】解：因为运算， 所以，， 所以，根据指数函数图像可知A选项满足题意. 故选：A 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，然后对平方求值，结合的范围即可求解. 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，又∵， ∴， ∴. 故选：A. 7. 已知函数为奇函数，，若对任意､，恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由奇函数性质求得，求得函数的解析式，不等式等价于，由此求得答案. 【详解】解：因为函数的定义域为，又为奇函数，∴，解得，∴，所以， 要使对任意､，恒成立， 只需，又，∴，即， 故选：A. 8. 已知函数，将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若对任意，都有成立，则的值为 A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简的解析式，再利用正弦型函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得的值． 【详解】 ，（其中，）， 将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，得到 ， ∴，，解得，故选D. 【点睛】本题主要考查辅助角公式，的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数表示的是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BD 【解析】 【分析】 分别判断每组函数的定义域和对应关系是否一致即可判断. 【详解】对于A，，对应关系不一致，故A错误； 对于B，和的定义域都为，且，对应关系一致，故B正确； 对于C，满足，故的定义域为，满足，解得或，即的定义域为，定义域不一致，故C错误； 对于D，和的定义域都为，且，，对应关系一致，故D错误. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：判断两个函数是否同一个函数方法：先求出函数的定义域，判断定义域是否相同，再化简判断函数的对应关系是否一致. 10. 对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中，其中真命题的是（ ） A. 若a>b，c≠0，则ac>bc； B. 若a>b，则ac2>bc2； C. 若ac2>bc2，则a>b； D. 若a>b>0，c>d>0，则ac>bd. 【答案】CD 【解析】 【分析】举反例判断A、B、D；由不等式的性质可判断C，进而可得正确选项. 【详解】对于A：取，，，满足，，但，故选项A是假命题； 对于B：当时，若，则，故选项B是假命题； 对于C：若，则，，所以即，故选项C是真命题； 对于D：，，，故选项D是真命题； 所以选项AB是假命题，CD是真命题. 故选：CD 11. 若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，有；（2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数是“理想函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】 满足（1）可得，是奇函数，满足（2）可得，在定义域内是减函数，问题转化为判断以下函数是否满足这两个性质；根据选项，逐项判断函数奇偶性与单调性，即可得出结果. 【详解】由（1）对于定义域内的任意，恒有，即，所以是奇函数； 由（2）对于定义域内的任意，，当时，恒有，所以或，则在定义域内是减函数； 对于A：由可得，所以是偶函数，故不是“理想函数”； 对于B：由得，所以是奇函数，又在上是增函数，所以在上是减函数，所以是“理想函数”； 对于C：由得，所以是奇函数；又在定义域上增函数，在和上是减函数，所以在和上都是增函数，故不是“理想函数”； 对于D：，，所以是奇函数； 根据二次函数的单调性，易知在和都是减函数，且在处连续，所以在上是减函数，所以是“理想函数”. 故选：BD. 【点睛】思路点睛： 求解函数新定义问题时，一般根据函数的新定义，结合函数基本性质（单调性、奇偶性、对称性等），确定新定义下的函数的性质，即可求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得幂函数的解析式，根据函数的奇偶性、单调性来求得的取值范围. 【详解】设， 则， 所以， 在上递增，且为奇函数， 所以. 故答案为： 13. 已知集合A={x∈R||x+2|<3}，集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0}，且A∩B=(-1，n)，则m+n=________. 【答案】0 【解析】 【分析】 解绝对值不等式求出集合A，由A∩B的结果得m的范围，解一元二次不等式求出集合B即可求得A∩B从而求得n. 【详解】A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|5<x<1}， 由A∩B=(1，n)得m<1， 则B={x|m<x<2}，画出数轴，可得m=1，n=1. 所以m+n=0. 故答案为：0 【点睛】本题考查集合的交集运算，涉及绝对值不等式、一元二次不等式，属于基础题. 14. 若一些函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有________个. 【答案】9 【解析】 【分析】由题意,列出与解析式为,值域是的“同族函数”的定义域,从而确定函数的个数. 【详解】与解析式为,值域是的“同族函数”的定义域可以为: 共9个. 故答案为:9. 【点睛】本题考查了函数的概念及子集的列举方法,属于基础题. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤. 15. 计算下列各题. （1）； （2）. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）用指对数的运算性质化简求值； （2）利用指数的运算性质化简求值； 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为. （1）若，，求扇形的弧长. （2）若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ （3）若，求扇形的弧所在的弓形的面积. 【答案】（1） （2）时，面积最大 （3）cm2. 【解析】 【分析】（1）直接利用弧长公式即可； （2）由扇形的周长得，表示出扇形的面积，求最值即可； （3）弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积. 【小问1详解】 由，则扇形的弧长(cm). 【小问2详解】 由已知得，，则， ∴ 当且仅当，即时扇形的面积最大， 此时圆心角. 小问3详解】 设弓形面积为，由，得， 所以. 17. 目前全球新冠疫情严重，核酸检测结果成为是否感染新型冠状病毒的重要依据，某核酸检测机构，为了快速及时地进行核酸检测，花费36万元购进核酸检测设备.若该设备预计从第1个月到第个月的检测费用和设备维护费用总计为万元，该设备每月检测收入为20万元. （1）该设备投入使用后，从第几个月开始盈利？（即总收入减去成本及所有支出费用之差为正值）； （2）若该设备使用若干月后，处理方案有两种：①月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出；②盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由. 【答案】（1）第4个月开始盈利 （2）方案①较为合算，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出利润表达式然后解不等式可得答案； （2）分别计算出两种方案的利润比较可得答案. 【小问1详解】 由题意得 ，即， 解得，∴. ∴该设备从第4个月开始盈利. 【小问2详解】 该设备若干月后，处理方案有两种： ①当月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出， . 当且仅当时，取等号，月平均盈利达到最大， ∴方案①的利润为：（万元）. ②当盈利总额达到最大值时，以16万元价格卖出. ， ∴或时，盈利总额最大， ∴方案②的利润为20+16=36（万元）， ∵38>36， ∴方案①较为合算. 18. 已知函数， （1）求函数的最小正周期和对称中心坐标； （2）求函数的单调递增区间； （3）当时，求的最大值以及取得最大值时的值． 【答案】（1）最小正周期，对称中心为，； （2），； （3）最大值为，对应. 【解析】 【分析】（1）应用二倍角正余弦公式化简函数式，应用正弦型函数性质求最小正周期及对称中心； （2）根据正弦函数的单调性，求的单调递增区间； （3）由，结合正弦型函数性质求最大值并确定对应值． 【小问1详解】 由， 所以最小正周期， 令，则，，即对称中心为，. 【小问2详解】 令，，则，， 所以函数的单调递增区间为，. 【小问3详解】 由，则，故， 所以，函数最大值为，此时. 19. 已知函数为奇函数． （1）求实数k的值； （2）设，证明：函数在上是减函数； （3）若函数，且在上只有一个零点，求实数m的取值范围． 【答案】（1）－1； （2）见解析； （3）. 【解析】 【分析】(1)由于奇函数，可得，即可得出； (2)利用对数函数的单调性和不等式的性质通过作差即可得出； (3)利用(2)函数的单调性、指数函数的单调性，以及零点存在性定理即可得出m取值范围． 【小问1详解】 为奇函数， ， 即， ，整理得， 使无意义而舍去)． 【小问2详解】 由(1)，故， 设， (a)(b) 时，，，， (a)(b)， 在上时减函数； 【小问3详解】 由(2)知，h(x)在上单调递减，根据复合函数的单调性可知在递增， 又∵y＝在R上单调递增， 在递增， 在区间上只有一个零点， (4)(5)≤0，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$