精品解析：福建省莆田市莆田第二中学2024-2025学年高一下学期返校考试数学试卷

莆田二中2024-2025学年高一下学期返校考数学试卷 一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解出集合B，再根据并集的定义运算即可. 【详解】集合，， 所以 故选：A 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用全称量词命题的否定是存在量词命题写出结果即可． 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题“，”的否定是：， 故选：B 3. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】当一元二次不等式的解集为这种形式时，说明对应的一元二次方程有两个相等的根，则说明方程有两个相等的根.我们可以根据韦达定理来求解和的值，进而求出的值. 【详解】一元二次不等式的解集为， 则说明方程有两个相等的根. 根据韦达定理，由于方程的根， 那么两根之和，即，解得. 两根之积，解得. 将，代入，可得. 故选：D. 4. 已知则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式由内到外逐层计算可得的值. 【详解】因为，则， 故. 故选：D. 5. 若角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义及诱导公式求解. 【详解】因为角的终边过点， 所以， 所以. 故选：A 6. 下列不等式成立的是（ ） A. . B. . C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性即可判断A；利用对数函数和指数函数的单调性即可判断B；根据对数函数的图像即可判断C；利用换底公式得，再利用的单调性即可判断D. 【详解】对于A，因为为减函数，，所以，故A错误； 对于B，因为为增函数，为减函数， 所以，故B错误； 对于C，在同一坐标中画出与的图像如下： 由图可知，故C正确； 对于D，因为，在为增函数，， 所以，故D错误. 故选：C. 7. 函数与图象的交点个数为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】在同一坐标系中画出函数与函数交点个数可得答案. 【详解】由题. 在一个周期内，所过5个特殊点对应表格为： 1 0 -1 0 据此可在同一坐标系中画出大致图像如下，由图可得共8个交点. 故选：A 8. 设函数在上恰有两个零点，且的图象在上恰有两个最高点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合三角函数的图象，可找到满足条件的所在的区间，解不等式组，可求得结果. 【详解】， 在上恰有两个零点，恰有两个最高点， ， 即， 当时，不符合题意， 当时，不等式组为，不等式无解， 当时, 不等式组为，不等式无解， 当时，，解得， 当时，，不等式无解， 当时，不等式无解. . 故选：A 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据在上恰有两个零点、两个最高点建立不等式组. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，时，，不满足，故A错误， 对于B，由于，，故，B正确， 对于C，若，则，又，故，C正确， 对于D，若，则，结合，则，故，D错误， 故选：BC 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的单调递增区间是 B. 函数的值域是 C. 函数的图象关于对称 D. 不等式的解集是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复合函数单调性的“同增异减”原则结合对数函数和一元二次函数性质可判断A选项；由真数部分函数的值域，结合对数函数的基本性质可判断B选项；利用函数对称性的定义可判断C选项；利用对数函数的单调性解不等式，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由可得或， 所以函数的定义域为， 因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且函数为增函数， 所以函数的单调递增区间是，故A错； 对于B选项，由A知函数的定义域为， 当或时，函数值域为， 所以函数的值域是，故B对； 对于C选项，因为， 所以函数的图象关于对称，故C对； 对于D选项，由可得， 解得或， 所以不等式的解集是，故D错. 故选：BC. 11. 已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（ ） A. 是以2为周期的函数 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由题及周期函数定义可完成判断；对于B，由题可得4是的一个周期，为图象一条对称轴，据此可完成判断；对于C，由及可得为图象的一个对称中心，然后由B中所得周期可判断选线正误；对于D，利用赋值法结合，可得，然后由题可得，据此可完成判断. 【详解】对于A，若是以2为周期的函数， 则，但由题目条件不能得到只有满足题意，故A不一定正确； 对于B，， 则4是的一个周期，又为奇函数， 则， 则，故为偶函数，为图象一条对称轴， 又，则的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，由为奇函数，可得为图象的一个对称中心， 又由B分析，，则的图象关于点对称，故C正确； 对于D，因，令，则， 得，则 . 又由为奇函数，则，令可得 结合为偶函数，可得，故，故D正确. 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. ____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦的倍角公式和两角差的正弦公式，准确运算，即可求解. 【详解】由. 故答案为：. 13. 如图，扇形的面积等于，它的弧长等于，则弦 的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由扇形面积公式可得，从而求得，再根据即可求解. 【详解】设圆心角为，半径为， 由扇形面积公式，可得，解得， 所以， 所以. 故答案为： 14. 已知是偶函数，则______，若存在，使得，则的最大值为______. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，结合对数的运算性质可得，分离参数，将问题转化为，根据对勾函数的单调性求解最值即可求解. 【详解】由于是偶函数， 故， 根据可得， ，解得， 由可得， 故， 因此， 由于，故，令， 则在单调递减，在单调递增，且当和时，，， 故， 因此， 故的最大值为， 故答案为：；. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知的定义域为集合A，函数，的值域为集合B． （1）求； （2）若集合，且，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）要使函数有意义，则，利用对数的单调性可得x的范围，即可得到其定义域为集合A；对于函数，利用指数函数的单调性可得出其值域为集合B．利用交集运算性质可得． （2）由于，可得．分类讨论：对与，利用集合之间的关系即可得出． 【小问1详解】 要使函数意义，则且 ，解得， ∴其定义域为集合； 对于函数，∵，∴，故，其值域为集合． ∴． 【小问2详解】 ∵，∴． 当时，即时，，满足条件； 当时，即时，要使，则，解得． 综上可得：． 16. 冰雪装备器材产业是冰雪产业的重要组成部分，加快发展冰雪装备器材产业，对筹办好北京2022年冬奥会、冬残奥会，带动我国3亿人参与冰雪运动具有重要的支撑作用.某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为300万元，每生产千件，需另投入成本（万元）.当年产量低于60千件时，；当年产量不低于60千件时，.每千件产品售价为60万元，且生产的产品能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当该企业年产量为50千件时，所获得利润最大，最大利润是950万元 【解析】 【分析】(1)根据题意，分段写出年利润的表达式即可； （2）根据年利润的解析式，分段求出两种情况下的最大利润值，比较大小，可得答案. 【小问1详解】 当时，； 当时，. 所以； 【小问2详解】 当时，. 当时，取得最大值，且最大值为950. 当时， 当且仅当时，等号成立. 因为， 所以当该企业年产量为50千件时，所获得利润最大，最大利润是950万元. 17. 已知函数． （1）求的最小正周期和最大值； （2）设，求函数在单调递减区间． 【答案】（1）最小正周期为，最大值为2 （2）单调减区间为 【解析】 【分析】（1）根据题意，由三角恒等变换公式将函数化简，即可得到结果； （2）根据题意，得到函数的解析式，然后由正弦型函数的单调区间，即可得到结果. 【小问1详解】 ． 所以，的最小正周期． 当时，取得最大值2． 【小问2详解】 由（1）知， 又， 由，解得． 单调减区间为． 18. 已知函数，其中. （1）证明：函数的图象是中心对称图形； （2）设，证明：； （3）令，若，使得，求的取值范围. 【答案】（1）由题意可得，即，即， ， 故关于中心对称； （2）当时，， 则， 故当时，； （3） 【解析】 【分析】（1）计算出函数定义域后，验证是否为定值即可得； （2）结合函数定义域，计算大于是否恒成立即可得； （3）由题意可得，结合函数单调性可得，利用换元法与对勾函数性质可得，解出即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，单调递减，单调递增， 则单调递减，又关于中心对称，故在上单调递减， 则， 当，令，则， 由对勾函数性质可得函数在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，当时，，故， 则有恒成立，即，故. 【点睛】本题考查不等式的解法和函数恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，对于不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集. 19. 若函数和的零点相同，则称和是“函数对”. （1）已知，判断与是否为“函数对”，并说明理由； （2）设，若与为“函数对”，求的取值范围； （3）已知m，n是实数，若函数与为“函数对”，函数与为“函数对”，求mn的值. 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数和余弦函数的单调性，结合函数零点存在原理、函数单调性的性质、题中定义进行求解即可； （2）根据题中定义，结合正弦型函数的性质进行求解即可； （3）根据题中定义，结合函数单调性的性质、对数的运算性质，通过构造新函数，利用新函数的单调性及单调性的性质进行求解即可. 【小问1详解】 由函数单调性的性质可知函数是实数集上的增函数， 因为，所以函数在上有唯一零点， 当时，函数是单调递减函数， ，即， 所以函数在上没有零点，不符合题中定义，和不是“函数对”； 【小问2详解】 由得，， ，所以的零点是的零点， 由得，， 当时，，所以为的零点 而当时，必须使得无解， 否则的一些零点不能使得， 所以对成立， 所以，得，此时的零点也全是的零点，综上. 【小问3详解】 由， 因为函数与为“函数对”， 所以，取对得， 由， 因为函数与为“函数对”， 所以有， 因为在上单调递增，所以，即. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用函数单调性的性质、正弦函数的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田二中2024-2025学年高一下学期返校考数学试卷 一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知则（ ） A. B. C. D. 5. 若角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列不等式成立的是（ ） A. . B. . C. D. 7. 函数与图象的交点个数为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 8. 设函数在上恰有两个零点，且的图象在上恰有两个最高点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的单调递增区间是 B. 函数的值域是 C. 函数的图象关于对称 D. 不等式的解集是 11. 已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（ ） A. 是以2为周期的函数 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点对称 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. ____________． 13. 如图，扇形的面积等于，它的弧长等于，则弦 的长为_____． 14. 已知是偶函数，则______，若存在，使得，则的最大值为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知的定义域为集合A，函数，的值域为集合B． （1）求； （2）若集合，且，求实数a的取值范围． 16. 冰雪装备器材产业是冰雪产业的重要组成部分，加快发展冰雪装备器材产业，对筹办好北京2022年冬奥会、冬残奥会，带动我国3亿人参与冰雪运动具有重要的支撑作用.某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为300万元，每生产千件，需另投入成本（万元）.当年产量低于60千件时，；当年产量不低于60千件时，.每千件产品售价为60万元，且生产的产品能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？ 17. 已知函数． （1）求的最小正周期和最大值； （2）设，求函数在单调递减区间． 18. 已知函数，其中. （1）证明：函数的图象是中心对称图形； （2）设，证明：； （3）令，若，使得，求的取值范围. 19. 若函数和的零点相同，则称和是“函数对”. （1）已知，判断与是否为“函数对”，并说明理由； （2）设，若与为“函数对”，求的取值范围； （3）已知m，n是实数，若函数与为“函数对”，函数与为“函数对”，求mn的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $