湖北省武汉市2025届高三下学期二月调研考试数学试题

湖北省武汉市2025届高中毕业生二月调研考试数学试题(武汉二调) 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合,,则( ) A. B. C. D. 2.若复数z满足,则( ) A. 1 B. C. 2 D. 3.在三棱柱中,设,,,M,N分别为AB,的中点,则( ) A. B. C. D. 4.记等差数列的前n项和为,若,,则( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 5.有四对双胞胎共8人,从中随机选出4人,则其中恰有一对双胞胎的选法种数为( ) A. 40 B. 48 C. 52 D. 60 6.某批产品检验后的评分,由统计结果制成如下图所示的频率分布直方图, 下列说法中正确的是( ) A. B. 评分的众数估值为70 C. 评分的第25百分位数估值为 D. 评分的平均数估值为76 7.函数满足:,若,,则( ) A. 1 B. C. 5 D. 8.已知O为坐标原点,过抛物线焦点的直线与该抛物线交于A,B两点,若,若面积为,则( ) A. 4 B. 3 C. D. 二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得2分,有选错的得0分。 9.函数,则下列关于的说法中正确的是( ) A. 最小正周期是 B. 最大值是2 C. 是区间上的减函数 D. 图象关于点中心对称 10.已知且,则函数的图象可能是( ) A. B. C. D. 11.已知,记为集合A中元素的个数,为集合A中的最小元素.若非空数集,且满足,则称集合A为“n阶完美集”.记为全部n阶完美集的个数,下列说法中正确的是( ) A. B. 将n阶完美集A的元素全部加1,得到的新集合,是阶完美集 C. 若A为阶完美集,且,满足条件的集合A的个数为 D. 若A为阶完美集,且,满足条件的集合A的个数为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.直线经过椭圆的两个顶点,则该椭圆的离心率为 . 13.已知,,则 . 14.四棱锥中,,,,,,内部点Q满足四棱锥与三棱锥的体积相等,则PQ长的最小值为 . 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知函数,曲线在点处的切线与平行. 求a的值; 求的极值. 16.本小题15分 如图,直角梯形ABCD中,,,,,,点E为线段BC不在端点上的一点,过E作AB的平行线交AD于F,将矩形ABEF翻折至与梯形ECDF垂直,得到六面体 若,求BE的长; 求异面直线BC与AD所成角余弦值的最小值. 17.本小题15分 如图,与存在对顶角,,,且 证明:O为BD中点; 若,求OC的长. 18.本小题17分 有A,B,C,D,E,F,G,H八名运动员参加乒乓球赛事,该赛事采用预赛,半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军.八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号,已知这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为,A运动员与其它运动员对决时,A获胜的概率为,每场对决没有平局,且结果相互独立. 求这八名运动员各自获得冠军的概率; 求B与A对决过且最后获得冠军的概率; 求B与C对决过且最后获得冠军的概率. 19.本小题17分 双曲线的一个顶点在直线上,且其离心率为 求双曲线E的标准方程; 若一条直线与双曲线恰有一个公共点,且该直线与双曲线的渐近线不平行,则定义该直线为双曲线的切线,定义该公共点为切线的切点.已知点T在直线l上,且过点T恰好可作双曲线E的两条切线,设这两条切线的切点分别为P和 设点T的横坐标为t,求t的取值范围; 设直线TP和直线TM分别与直线交于点Q和点N,证明:直线PN和直线MQ的交点在定直线上. 附:双曲线以点为切点的切线方程为 答案和解析 1.【答案】C 【解析】解:, 故选: 2.【答案】B 【解析】解:, 所以 3.【答案】B 【解析】解: 故选 4.【答案】A 【解析】解: 因为, 所以, 即,解得, 代入,得 故答案为 5.【答案】B 【解析】解:先从四对双胞胎中选出一对,有种选法, 再从剩余的三对双胞胎中选出两对,有种选法, 最后从选出的两对双胞胎中各选出一个,有种选法, 所以其中恰有一对双胞胎的选法种数为种. 故选 6.【答案】C 【解析】解:A选项,由题意知,, 解得,故A错误; B选项,评分的众数估值为75,故B错误; C选项,设评分的第25百分位数为x, 因为,, 所以x位于区间内, 则,解得, 所以评分的第25百分位数估值为,故C正确; D选项,评分的平均数估值为: ,故D错误. 故选 7.【答案】D 【解析】解:由题意知, 所以, 所以, 所以, 则函数是周期为6的周期函数, 又,, 所以, 则, 所以 故选 8.【答案】A 【解析】解:设直线, 代入抛物线方程,得, 设,, 则,, 所以, , 解得 故选 9.【答案】AC 【解析】解: = , A项:,故A正确; B项:,故B错误; C项:令,,得,, 令,则, 所以在上单调递减,故C正确; D项:令,得,, 显然无论k取何值时,故不是对称中心,故D错误. 故选 10.【答案】BCD 【解析】解:,对比四个选项的图像均先减后增,AB的极小值点小于1, 且极小值的正负号不同的极小值点大于1,且极小值的正负号不同; 令,即,,,令,则, 时,,则在上单调递增, 令,可知时,,即时,,即,可知在上单调递减,上单调递增,所以先减后增, 再研究和时, 若,则,又因为,所以,代入得, 因为,所以,,又,所以, 可知极小值点若小于1,极小值一定大于0,故A错误,B正确; 若,则, 因为,故仅需讨论与0的大小关系即可,令,, 所以在上单调递减,,,可知既可能大于0,也可能小于0,故CD均正确. 故选BCD 11.【答案】ABD 【解析】对于因为A是4阶完美集,所以当非空数集A是子集中含1个元素的子集时,,而中大于等于1的数有1、2、3、4共4个, 因此此时、、、; 当非空数集A是子集中含2个元素的子集时,,而中大于等于2的数有2、3、4共3个, 因此此时、、; 当非空数集A是子集中含3个元素的子集时,,而中大于等于3的数有3、4共2个, 因此中3个元素的子集不满足; 同理可得:中含4个元素的子集不满足. 综上所述,4阶完美集有:、、、、、、,因此,故A正确; 对于若将“n阶完美集”A中元素全部加1,则A中元素个数不变,但加1变大,均不违背“阶完美集”的定义, 因此得到的新集合是一个“阶完美集”,故B正确; 对于满足“阶完美集”的所有A,属于所有A或不属于所有A,均可视为同一情形, 即退化为“阶完美集”的情况,总个数为 又因为,所以满足条件的集合A要排除掉“阶完美集”中只含有1个元素的情形排除个单元素集合, 因此满足C、D选项的情况的集合A的个数均为,故C错误,D正确. 12.【答案】 【解析】解:令,则 令,则, 所以两个顶点坐标为,, 所以,, 所以 故答案为 13.【答案】 【解析】解:由题意得,所以, 即, 又, 所以,, 所以 故答案为: 14.【答案】 【解析】解:连接PQ并延长交BC于点F,过F作于H, 不妨设,,则, 平面ABCD中,过C作于M,过F作于N,取BD中点O,连接OA,OC, 由,,, 可得,,即A、O、C三点共线, 且,, 中,,, 则,又,则, 由,,可得∽, 又,则, 所以点F到AD的距离为, 中,,,,故, 又,故∽, 由,可得,, 则, 所以, 现设点P到平面ABCD的距离为h,且Q点的位置关系有, 则, 由题知四棱锥与三棱锥相等, 即, 所以有:, 即,即, 所以 , 令,由,可得, 令 , 所以当,即,时,取得最小值为,所以 故答案为: 15.【答案】解:,由题意,, 所以 ,令,解得:, 定义域为, 当时,,在上单调递减; 当时,,在上单调递增. 所以,有极小值,无极大值. 【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.【答案】解:连接DE, 平面平面ECDF,交线为EF,由,平面ABEF,有平面ECDF, 又平面ECDF,所以,当,,且BE、平面BDE, 所以平面BDE, 又平面BDE,所以,此时与相似, 故,设,由,解得:,所以 过C作EF的平行线交DF于点G,连接AG,由CG , 所以四边形CGAB是平行四边形,故, 所以即为异面直线BC与AD所成的角,设, , 当且仅当,即时,等号成立,所以锐角正切值的最大值为, 此时余弦值有最小值 所以异面直线BC与AD所成角余弦值的最小值为 【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.【答案】解:设,,则,, 在和中,, 由余弦定理可得:, 整理得:,所以,即O为BD中点; 由正弦定理:, 由,得, 若,此时在和为全等的等腰直角三角形,,,不符合条件, 所以,此时, , 所以,由,解得:, 此时,, 在中,由正弦定理:,代入得: 【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】解:夺冠即为三轮比赛都获胜,所以A夺冠的概率为 由题意,B∽H七名运动员水平相同,且八名运动各自夺冠概率之和为 所以B∽H七名运动员各自夺冠的概率均为 记事件“B获得冠军”,事件“B与A对决过”,事件Ai=“B与A在第i轮对决”,,2, 不妨设A在①号位,则B在第1,2,3轮能与A对决时其位置编号分别为②,③④,⑤⑥⑦⑧ , , , 所以 记事件“B与C对决过”. B没有与A对决过且最后获得冠军的概率 由题意,C∽H六名运动员与B对决过的概率相同,B夺冠时共与三名运动员对决. 所以, 代入得: 【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解:直线l与x轴交于,所以 离心率,所以,故 所以双曲线E的标准方程为 经检验,当一条切线斜率不存在时,不符合题意. 设切线斜率为k,切线方程为,与双曲线方程联立得: 令 整理得:,由于,所以且 上式整理得: 由题意,k有两个相异实根,所以,且 整理得:,解得: 综上所述,t的取值范围是 设, 直线MT和PT方程分别为和 联立得点 又点T在直线l上,代入整理得:① 在直线MT方程中,令,得点 ,故直线PN方程为: 设直线PN与直线l交点为A,联立两直线方程: 解得: 设直线MQ与直线l交点为B, 同理可得: 由①式,比较可得和表达式的分子分母分别相等. 故A,B两点重合,所以直线PN与MQ的交点在定直线上. 【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页,共1页 学科网(北京)股份有限公司 $$