解答02 数列（十一大考点训练+真题模拟题练）-2025年高中数学二轮选填及解答突破训练宝典（新高考专用）

2025年高中数学二轮选填及解答突破训练宝典（新高考专用） 解答02 数列 【考点01 等差等比数列】 【例1】在数列中，，． (1)若，证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【例2】在数列中， (1)证明：数列是等比数列． (2)求数列的前n项和． 【变式1-1】设正项数列的前项和为，满足（）. (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的通项公式. 【变式1-2】已知为等差数列，数列满足. (1)若，，求数列的前项和； (2)若数列是首项为9的等比数列，求数列的前项和. 【变式1-3】已知数列为等差数列，记分别为数列的前项和．． (1)求的通项公式； (2)求． 【考点02 累加累乘法】 【例3】已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【例4】已知数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，若，求证：. 【变式2-1】已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【变式2-2】记为等差数列的前n项和，已知， (1)求的通项公式； (2)若数列满足，，求的通项公式. 【变式2-3】已知数列的相邻两项和恰是方程的两个根，且． (1)求的值； (2)记为数列的前n项和，求． 【考点03 Sn与an求通项公式】 【例5】设等差数列的前n项和为，且，（为常数） (1)求a的值； (2)求的通项公式； (3)若，求数列的前n项和 【例6】已知正项数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)数列满足，求的前项和. 【变式3-1】数列满足：． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 【变式3-2】已知正项数列的前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前n项和为．证明：对于任意，都有． 【变式3-3】已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设（表示不超过的最大整数），求数列的前项和. 【考点04 分段数列求通项公式】 【例7】已知数列的前n项和为，，，数列满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)求和； (3)记数列的前n项和为，求证：． 【例8】已知数列满足， (1)记，求证：为等比数列； (2)设数列满足：，，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【变式4-1】已知等差数列的前项和为，且，数列满足，设． (1)求的通项公式，并证明：； (2)设，求数列的前项和． 【变式4-2】已知数列满足，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【变式4-3】已知数列满足，，数列满足． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【考点05 分组（并项）求和法】 【例9】已知等差数列满足，的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【例10】已知各项都不相等的等差数列，，又，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【变式5-1】已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)设数列满足，求的前项和． 【变式5-2】已知等差数列的前n项和为且 (1)求的通项公式； (2)若 ，求数列的前2n项和. 【变式5-3】已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列. (1)求； (2)若，数列的前项和为，求. 【考点06 错位相减法】 【例11】已知函数的所有正的零点构成递增数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【例12】已知为数列的前n项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式6-1】已知的前n项和为，且，. (1)当m为何值时，数列为等比数列，并求此时数列的通项公式； (2)当时，设，求数列的前n项和. 【变式6-2】已知正项数列的前项和为，且满足. (1)证明：为等差数列. (2)求的值和的通项公式. (3)若数列满足，其前项和为，证明：. 【变式6-3】已知是等差数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【考点07 裂项相消法】 【例13】已知公差不为0的等差数列满足，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)数列满足，求的前项和． 【例14】已知等比数列和等差数列满足：，，，，的前n项和为. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式7-1】已知数列是等差数列，公差，Sn为前n项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为Tn，且，求Tn． 【变式7-2】已知等差数列的前n项和为，且，， (1)求的通项公式; (2)若，且的前n项和为，求 【变式7-3】已知数列的前项积，数列的前项和为，，满足. (1)求数列、的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若使成立，求实数的取值范围. 【考点08 插项数列】 【例15】已知等比数列的前n项和为， (1)求数列的通项公式; (2)在数列的相邻项与之间插入k个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前n项和，求 【例16】已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式. (2)设，求数列的前项和. (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 【变式8-1】已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和. 【变式8-2】已知是公比大于0的等比数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)若，在与之间插入个，得到一个新数列. 是否存在正整数，使得数列的前项之和? 若存在，求出的值; 若不存在，说明理由. 【变式8-3】已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)数列的通项，求的前项和； (3)在任意相邻两项与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前项和，求的值． 【考点09 公共项型数列】 【例17】已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. (1)求和的通项公式； (2)将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 【例18】已知数列为公差不为的等差数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设数列是以为首项，为公比的等比数列，若数列和的公共项为，记从小到大构成数列，求的前项和. 【变式9-1】将数列和的公共项从小到大排列得到数列，记的前项和为． (1)求的通项公式； (2)求使得的的最小值． 【变式9-2】已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上． (1)求和的通项公式； (2)将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和． 【变式9-3】已知数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)已知，在数列中剔除与的公共项后余下的项按原顺序构成一个新数列，求数列的前192项和． 【考点10 数列中的存在性问题】 【例19】设数列的前n项和为，， (1)证明：数列为等比数列; (2)求数列的通项公式，并求数列的最大项; (3)是否存在正整数p，q，且，使得，，成等差数列?若存在，求p，若不存在，说明理由. 【例20】已知数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，是否存在正整数，（），使得成等比数列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，请说明理由． 【变式10-1】若数列的首项，且满足，令． (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)若，求的前n项和； (3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在互不相同的3项，，（m，k，，且）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 【变式10-2】数列的前项和记为. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)对于（2）中的数列，问是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由. 【变式10-3】已知数列是公差大于0的等差数列，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，其前项和为，则是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 【考点11 利用放缩证不等式】 【例21】设数列的前项和为， (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证： 【例22】已知为正项数列的前项的乘积，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，证明：． 【变式11-1】已知等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)判断与的大小关系并证明你的结论． 【变式11-2】设数列的前项和为，且，． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)设，证明：． 【变式11-3】已知数列满足，且，． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记，，．证明：． 1．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知数列满足． (1)若，且成等差数列，求； (2)若，且，求数列的通项公式及前项和． 2．（2024·湖北·一模）已知数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)令，求数列的前项和. 3．（2024高三上·山东济南·专题练习）已知数列的前n项和为，， (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和. 4．（2023·24高二下·吉林长春·阶段练习）设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且． (1)求证：为等差数列，并分别求，的通项公式； (2)设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围． 5．（2024·甘肃兰州·模拟预测）已知是单调递增的等差数列，，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若，求． 6．（2024·25高三上·黑龙江牡丹江·期中）已知数列对于任意都有． (1)求数列的通项公式． (2)设数列前n项和为，求． (3)证明：，． 7．（2023·24高三下·陕西西安·阶段练习）已知数列是公差不为零的等差数列，且，，成等差数列，，，成等比数列，. (1)求m的值及的通项公式； (2)令，，求证：. 8．（2024·山东·模拟预测）已知数列，，的首项均为1，为，的等差中项，且． (1)若数列为单调递增的等比数列，且，求的通项公式； (2)若数列的前项和，数列的前项和为，是否存在正整数使对恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由． 9．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知是曲线上的点，是数列的前项和，且满足． (1)证明：数列是常数数列； (2)确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列； 10．（2024·25高三上·河北衡水·开学考试）已知数列中，，且，为数列的前n项和，，数列是等比数列，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 11．（2024·广东深圳·一模）若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是一个等差数列，则称这个数列是一个“二阶等差数列”，已知数列是一个二阶等差数列，其中． (1)求及的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 12．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)证明：，并求数列的前项和. 1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 3．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）求证：当时，求证：； （ⅱ）求． 4．（2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 5．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 6．（2023·天津·高考真题）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 9．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 10．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为． (1)若，求； (2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高中数学二轮选填及解答突破训练宝典（新高考专用） 解答02 数列 【考点01 等差等比数列】 【例1】在数列中，，． (1)若，证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【详解】（1），又， ∴是以为首项，为公差的等差数列， ∴． （2）由（1）知，则， ∴， ①， ②， ①②，得 ， ∴． 【例2】在数列中， (1)证明：数列是等比数列． (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）由得，， 所以数列为首项为1，公比为3的等比数列. （2）由（1）得，则， . 【变式1-1】设正项数列的前项和为，满足（）. (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）当时，，整理，又，所以. ，，， ，. ，数列为等差数列，首项为2，公差为4. （2）由（1）得：，，，. 由求根公式可知，.. 【变式1-2】已知为等差数列，数列满足. (1)若，，求数列的前项和； (2)若数列是首项为9的等比数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）因，所以，， 设的公差为，所以， 所以，， 于是，其前项和， 所以. （2）由为等差数列，设，则， 所以，，， 因数列是首项为9的等比数列，所以，且， 解得或， 当时，，数列的前项和； 当时，，，数列的前项和. 【变式1-3】已知数列为等差数列，记分别为数列的前项和．． (1)求的通项公式； (2)求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的公差为． 可得． 由， 解得. 所以． （2） ． 【考点02 累加累乘法】 【例3】已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知：当时，， ； 当时，满足； 综上所述：. （2）由（1）知：， . 【例4】已知数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以当时，，…，，， 上述各式相加得， 又，所以， 又满足上式，故. （2）由（1）得， 所以， 所以数列的前n项和 ， 即. 【变式2-1】已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，则 ，，…，又， 累加可得. （2）由（1），则，故 【变式2-2】记为等差数列的前n项和，已知， (1)求的通项公式； (2)若数列满足，，求的通项公式. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 因为，， 解得，， 故的通项公式为； （2）由题意，可得， 当时， ， 当时，也成立， 所以的通项公式为 【变式2-3】已知数列的相邻两项和恰是方程的两个根，且． (1)求的值； (2)记为数列的前n项和，求． 【答案】(1)0 (2) 【详解】（1）因为和是方程的两个根， 由韦达定理可知，， 因此． 所以，，，…，， 由累加法得．又因为，所以，因此． （2）由，可知， 而数列的偶数项为公差为的等差数列， 因此， 因此，因此． 【考点03 Sn与an求通项公式】 【例5】设等差数列的前n项和为，且，（为常数） (1)求a的值； (2)求的通项公式； (3)若，求数列的前n项和 【答案】(1)0 (2) (3) 【详解】（1）当时，， 当时，， 因为是等差数列，则时也应满足，即， 又，所以，解得； （2）由（1）得 （3）， 【例6】已知正项数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)数列满足，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 当时，，解得， 当时，， 两式作差得， 则， 因为，所以，， 所以是以2为首项，2为公差的等差数列，； （2）由（1）知， ， 所以 . 【变式3-1】数列满足：． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）令 又① ② 由①②得到 即：， 经检验，也成立，故数列的通项公式 （2） 因为是单调递增数列，且 若恒成立，则，解得或， 实数的取值范围为或． 【变式3-2】已知正项数列的前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前n项和为．证明：对于任意，都有． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）∵， 当时，， ∴两式相减并化简得， 又，则； 当时，， 即，∴， ∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴. （2）证明：由（1）得，， 又，则， 则 . 【变式3-3】已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设（表示不超过的最大整数），求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，① 当时，，② ①②，得，所以. 当时，由①得，适合， 故对任意的，. （2）因为， 可得， 上述两个等式作差可得， 因此，. （3）由（1）得， 因为，则， 当时，则，则； 当时，则时，即当时，； 当时，则时，即当时，； 当时，则时，即当时，； 当时，则时，即当时，； 当时，则时，即当时，； 当时，则时，即当时，. 因此，所以的前项和为 . 【考点04 分段数列求通项公式】 【例7】已知数列的前n项和为，，，数列满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)求和； (3)记数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)证明见解析 【详解】（1），且，故为等比数列 （2）由（1）可知：，故． （3） 【例8】已知数列满足， (1)记，求证：为等比数列； (2)设数列满足：，，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【详解】（1）因为， 所以为等比数列； （2）由（1）可知：是2为公比的等比数列， ，因此， 即， 而， 所以， 当时， ， 令， 所以， 两式相减，得， 所以， 所以，当时，也满足， 由 设， 由， 由， 当，所以有， ，所以， 所以，因此实数的取值范围为. 【变式4-1】已知等差数列的前项和为，且，数列满足，设． (1)求的通项公式，并证明：； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)；证明见解析 (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，可得，即，解得， 又因为，可得，所以， 由数列满足，可得，，， 所以， 因为，所以. （2）解：由（1）可知， 因为， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以， 所以， 所以， 则， 两式相减，可得 ， 所以. 【变式4-2】已知数列满足，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知，，，，，，…，，，从而． （2）由（1），所以． 【变式4-3】已知数列满足，，数列满足． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1），得， 因为，即，解得， 由，得， 又， 故，所以，即， 所以， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 则，故， 所以； （2）当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 综上所述，. 【考点05 分组（并项）求和法】 【例9】已知等差数列满足，的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由可得，解得， 故， （2）， 故， 由于， ， 其中分别为前项中奇数项的和以及偶数项的和， 故 【例10】已知各项都不相等的等差数列，，又，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为为各项都不相等的等差数列，所以设数列的公差为， 又因为，，，成等比数列. 所以，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 所以 . 【变式5-1】已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)设数列满足，求的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）当时，，即， 当时，联立 ①－②，可得， 即， 所以， 又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列； （2）由（1）可得，则，， 所以 ． 【变式5-2】已知等差数列的前n项和为且 (1)求的通项公式； (2)若 ，求数列的前2n项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的公差为d， 由得， 化简得，解得，所以； （2）当n为奇数时，， 当n为偶数时 所以 【变式5-3】已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列. (1)求； (2)若，数列的前项和为，求. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由题意得， 由得，所以， 因为成等比数列， 所以，即， 把代入上式得， 解得或， 当时，，不符合题意， 当时，， 所以； （2）因为，当为偶数时，， 当时，，当，， 所以 . 【考点06 错位相减法】 【例11】已知函数的所有正的零点构成递增数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为， 令可得，即， 解得，因为为所有正的零点构成的， 故，且，故为以为首项，1为公差的等差数列， 即； （2）由（1）知，所以， 所以 ①， 所以②， ①-②可得： ， 故. 【例12】已知为数列的前n项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题知，，当时，，解得， 当时，，则有，即， 所以数列是以2为首项，为公比的等比数列，所以. （2）由（1）知，， 所以， ， 所以 ， 所以. 【变式6-1】已知的前n项和为，且，. (1)当m为何值时，数列为等比数列，并求此时数列的通项公式； (2)当时，设，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为的前项和， 所以， 所以， 若是等比数列，则，求得， 当时，， 又当时，， 则当时，也适合此通项公式．即， 由于对都成立，所以此时数列为等比数列， 所以当时，数列为等比数列，此时数列的通项公式为. （2）当时，， 则， ， 所以， 故. 【变式6-2】已知正项数列的前项和为，且满足. (1)证明：为等差数列. (2)求的值和的通项公式. (3)若数列满足，其前项和为，证明：. 【答案】(1)证明过程见解析； (2)，； (3)证明过程见解析 【详解】（1）①， 当时，②， 式子①-②得， 故，故， 为正项数列，故，所以， 即，为公差为2的等差数列； （2）由（1）知，为公差为2的等差数列， ，故， 中，令得， 即， 将代入上式得，解得， 的通项公式为； （3）， ③， 故④， 式子③-④得 ， 故. 【变式6-3】已知是等差数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的首项为，公差为d， 由题可得， 解得，，所以. （2）由（1）知，， 则， 于是， 两式相减得 ， 所以. 【考点07 裂项相消法】 【例13】已知公差不为0的等差数列满足，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)数列满足，求的前项和． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设等差数列的公差为，由成等比数列，得，而， 则，又，解得， 所以的通项公式是. （2）由（1）得， 所以. 【例14】已知等比数列和等差数列满足：，，，，的前n项和为. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）等比数列满足，所以为递增数列， 设的公比为q（），等差数列的公差为d， 又，，，所以， 解得或（舍去） 所以，. （2）因为，所以， 故， . 【变式7-1】已知数列是等差数列，公差，Sn为前n项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为Tn，且，求Tn． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵， ∴，，，∴，， 若，则，与已知矛盾； 若，则，，，即，，符合题意. ∴. （2）由（1）知，，， ∴， ∴ . 【变式7-2】已知等差数列的前n项和为，且，， (1)求的通项公式; (2)若，且的前n项和为，求 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由等差数列求和公式得， ，，； （2）由（1）知：，则， 则 【变式7-3】已知数列的前项积，数列的前项和为，，满足. (1)求数列、的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，， 当时，满足上式，所以，，. 因为，当时，， 两式作差得， 即，所以，， 所以，当时，，，，，， 上述等式全部相乘得，所以，， 也满足，所以，对任意的，. （2）因为. 所以，. 由已知，即，解得， 因此，实数的取值范围是. 【考点08 插项数列】 【例15】已知等比数列的前n项和为， (1)求数列的通项公式; (2)在数列的相邻项与之间插入k个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前n项和，求 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得， 两式相减得， 即，， 得等比数列的公比， 又当时，，所以，所以 （2）数列为：3，，，1，1，，，，， 以如下划分：3，，，1，1，，，，，，得项数， 当时共有项数， 当时共有项数， 所以 . 【例16】已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式. (2)设，求数列的前项和. (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）由，得， 两式相减，得. 数列是等比数列， 又时，代入可得， ， （2）因为， 所以，①， 则②， ①-②得 ， 因此， （3）由题意得，即，故， 假设在数列中存在三项，，（其中，，成等差数列）成等比数列，则， 即， ① 、、成等差数列，，则①式可化为，故. 这与题设矛盾，在数列中不存在三项，，（其中，，成等差数列）成等比数列 【变式8-1】已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为①， 当时，②， ①②，得． 所以，当时，，满足上式， 所以的通项公式为． （2）由（1）知，得， 则③， ④， ③④得 ， 所以． 【变式8-2】已知是公比大于0的等比数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)若，在与之间插入个，得到一个新数列. 是否存在正整数，使得数列的前项之和? 若存在，求出的值; 若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设等比数列的公比为，则，所以，， 整理可得，因为，解得，故. （2）因为， 所以， . （3）由题意可知，设在数列中的项为， 则由题意可知，， 所以当时，， 当时，，， 当时，，， 因为且， 所以当时，. 【变式8-3】已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)数列的通项，求的前项和； (3)在任意相邻两项与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前项和，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以，则， 当时，， 当时，， 当时也成立， 所以的通项公式为. （2）由（1）可知， 所以， 所以， 则 ， 所以； （3）由题意，数列元素依次为， 在到之间的个数为，故到处共有个元素， 所以前项中含及个， 故. 【考点09 公共项型数列】 【例17】已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. (1)求和的通项公式； (2)将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为， 所以当时，， 所以， 所以，所以，又，， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以， 因为点在函数的图象上，所以，即， 又，所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以； （2）因为是所有的正偶数，又，所以，所以 . 【例18】已知数列为公差不为的等差数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设数列是以为首项，为公比的等比数列，若数列和的公共项为，记从小到大构成数列，求的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设首项为，公差为d，因， 则 解得或（舍）. 则； （2）由时，令， 当时，， 则此时； 当时，， 则 综上， （3）由题意得，， 因为，所以，即， 因此，   所以. 【变式9-1】将数列和的公共项从小到大排列得到数列，记的前项和为． (1)求的通项公式； (2)求使得的的最小值． 【答案】(1) (2)7 【详解】（1） , 所以公共项就是以为首项，2为公差的等差数列， 即； （2）由（1）知， 由，得， ，即， ，故的最小值为7． 【变式9-2】已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上． (1)求和的通项公式； (2)将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为， 所以当时，， 所以， 所以，所以， 又，，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以， 因为点在函数的图象上， 所以，即，又， 所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以； （2）因为是所有的正偶数，又，所以， 所以 . 【变式9-3】已知数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)已知，在数列中剔除与的公共项后余下的项按原顺序构成一个新数列，求数列的前192项和． 【答案】(1) (2)79380 【详解】（1）当时，，所以； 当时，，所以； 当n为偶数时，； 当n为奇数时，； 综上所述：. （2）设的前n项和为，的前n项和为， 由（1）可知，， 当时，可知与的公共项为4，8，16，，共8项， 所以数列的前192项和. 【考点10 数列中的存在性问题】 【例19】设数列的前n项和为，， (1)证明：数列为等比数列; (2)求数列的通项公式，并求数列的最大项; (3)是否存在正整数p，q，且，使得，，成等差数列?若存在，求p，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)，最大项为 (3)存在， 【详解】（1）①，②， ②-①，， 故， 而在①中令，又， ，， 是首项为1，公比为的等比数列. （2）由（1）得，， 则， 所以数列是以首项为，公差为1的等差数列. 所以，解得 由，解得， 所以， 所以数列的最大项为 （3）由，，成等差数列，得 因为，所以，所以 又，， 显然，不成立， ，不成立， 所以，若p存在，或 当时，，即， 当时，，即 而， 根据数列的单调性，当时，，所以q无解. 综上，存在，，使得，，成等差数列. 【点睛】思路点睛：对于与数列有关的方程的整数解问题，我们可以通过不等式的性质确定出参数满足的范围，再利用代入检验法求出参数的值. 【例20】已知数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，是否存在正整数，（），使得成等比数列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，， 【详解】（1）当时，，                       当时，， 整理得，，                       是以为首项，为公比的等比数列. . （2）由题意得，， 若成等比数列，则，           即，可得， 所以，解得，      又，且，所以，此时．    故存在，，使得成等比数列． 【变式10-1】若数列的首项，且满足，令． (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)若，求的前n项和； (3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在互不相同的3项，，（m，k，，且）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析，； (2)； (3)不存在，理由见解析. 【详解】（1）由，得， 而，则，又， 所以数列是等比数列，，. （2）由（1）知，， ，则， 两式相减得， 所以 （3）依题意，，即，解得， 假设在数列中存在不相同的3项（其中成等差数列）成等比数列，则， 即，则，由成等差数列，得， 因此，整理得，则，与互不相等矛盾， 所以在数列中不存在三项（其中成等差数列）成等比数列 【点睛】方法点睛：错位相减求和适用于数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和的问题，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解． 【变式10-2】数列的前项和记为. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)对于（2）中的数列，问是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）因为，所以， 所以当时，，所以， 当时，， 两式相减得， 整理可得， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以； （2）因为， 所以，① 可得，② ①-②可得 ， 因此，； （3）不存在，理由如下： 由（2）得，，假设成等差数列， 则，即，即， 设，则， 当时，，数列为递减数列， 又， 故对所有正整数， 故不存在正整数，使得成等差数列. 【变式10-3】已知数列是公差大于0的等差数列，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，其前项和为，则是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则， 解得：，， 于是有， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， 因此，. 假设存在正整数m，n，使得成等差数列， 则， 即，整理得， 显然是50的正约数，又，则或25，50. 当时，即时，与矛盾， 当时，即时，，符合题意， 当时，即时，无解 所以存在正整数使得成等差数列，此时. 【考点11 利用放缩证不等式】 【例21】设数列的前项和为， (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证： 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为，即， 当时，，所以； 当时，， 所以， 而也满足上式， ； （2）因为，，， ， ； （3）由（1）可得， 因为 （）， 所以（） 所以（）， 【点睛】关键点点睛：本题第三问解答的关键是推导出（）. 【例22】已知为正项数列的前项的乘积，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1），， 所以，即， 两边取常用对数得， 得，所以， 所以数列为常数列，所以， 所以. （2）证明：由（1）知，所以， 则    又因为， 所以 故. 【变式11-1】已知等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)判断与的大小关系并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【详解】（1）解：设等差数列的公差为， 由，可得． 又，所以公差， 所以． （2）解：．证明如下： 由（1）可求得， 当时，； 当时，， 所以 . 综上所述，对任意的，. 【变式11-2】设数列的前项和为，且，． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)设，证明：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【详解】（1）因为， 当时，解得， 当时， 相减得，所以， 所以是以首项为6，公比为3的等比数列， 即，所以. （2）由（1）可得， 即证： 方法一：令． 则， 因为，所以， 所以单调递增，即， 即． 方法二：放缩法：， 所以，，，， 相乘得 即 【变式11-3】已知数列满足，且，． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记，，．证明：． 【答案】(1)证明见解析，； (2)证明见解析. 【详解】（1）由得：，整理为：， 所以为等差数列，公差，首项为； 所以，整理为，经检验，符合要求. （2）由（1）得：，， ∴， ∴，即． 1．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知数列满足． (1)若，且成等差数列，求； (2)若，且，求数列的通项公式及前项和． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）当时，， 根据题意有， 所以， 化简得，解得． （2），则， 由，① 所以，② ②①得， 即， 所以且． 所以为等差数列，首项为，公差为， 所以． 所以． 2．（2024·湖北·一模）已知数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以， 又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）可知 令， 对照系数可得（其中）， . 3．（2024高三上·山东济南·专题练习）已知数列的前n项和为，， (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为， 所以当，时，， 即 又时，， 所以数列为首项为1，公比为3的等比数列． （2）由（1）知，所以， 又由，可得， 所以 4．（2023·24高二下·吉林长春·阶段练习）设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且． (1)求证：为等差数列，并分别求，的通项公式； (2)设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【详解】（1）由题意知，且当时，， 所以由得， 所以，由得，即， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，即，所以； 当时，， 当时，也符合上式，所以． （2）由（1）得， 所以 ， 所以 ， 所以数列是单调递增数列，所以， 因为不等式对任意正整数恒成立， 所以，即，又， 所以解得，所以的取值范围为. 【点睛】易错点睛： 小问1：在证明是等差数列时，必须清楚地理解递推关系如何构建，并确保每一步的推导是严谨的.尤其是求得后，要确保与的关系准确无误. 小问2：求和时，特别是在裂项求和法中，要小心每一项的符号和相加的顺序，特别是涉及到单调性和不等式的推导时，不能忽略最小值的正确性. 5．（2024·甘肃兰州·模拟预测）已知是单调递增的等差数列，，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的公差为， 由，得，则． 由成等比数列，得，则， 而是单调递增的等差数列，所以，所以． 解方程组得 所以的通项公式为． （2）由，可得，所以． 故是以为首项，公比为的等比数列， 所以． 6．（2024·25高三上·黑龙江牡丹江·期中）已知数列对于任意都有． (1)求数列的通项公式． (2)设数列前n项和为，求． (3)证明：，． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为①， 当时，②， 由①②，得到，所以， 又时，，得到，满足， 所以数列的通项公式为. （2）由题意， 所以③，得到④， 由③④，得到， 所以. （3）因为，，所以时，， 当时，， 当时，， 当时， ， 综上，，. 7．（2023·24高三下·陕西西安·阶段练习）已知数列是公差不为零的等差数列，且，，成等差数列，，，成等比数列，. (1)求m的值及的通项公式； (2)令，，求证：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）设的公差为， ，，成等差数列，， 即， 考虑到，化简得，即 ，成等比数列， ，即， 即，解得. ，，解得. ，，解得，. . （2）由（1）可知， 显然满足 当时， 所以 8．（2024·山东·模拟预测）已知数列，，的首项均为1，为，的等差中项，且． (1)若数列为单调递增的等比数列，且，求的通项公式； (2)若数列的前项和，数列的前项和为，是否存在正整数使对恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，正整数的最大值为2024 【详解】（1）若数列为单调递增的等比数列，设其公比为，且， 因为，则，解得或（舍去）， 所以. 因为，即， 可得，且， 可知数列是以首项为1，公比为的等比数列，则， 因为为，的等差中项，则， 即，且， 当时，则， 累加可得， 则， 且符合上式，所以. （2）若数列的前项和， 当时，则； 当时，则； 且符合上式，所以. 因为，即， 可得，且 可知数列为常数列， 则，所以， 可知数列为递增数列，则的最小项为， 若存在正整数使对恒成立，则，即， 所以正整数的最大值为2024. 9．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知是曲线上的点，是数列的前项和，且满足． (1)证明：数列是常数数列； (2)确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列； 【答案】(1)证明见解析. (2) 【详解】（1）当时，， 所以：. 因为，所以 所以 两式相减，得： . 所以 所以， 所以：当时，为常数. 故当时，为常数数列. （2）由题意：， 当时，. 当时，. 因为，所以数列，分别是以，为首项，以6为公差的等差数列. 所以，. 因为数列为递增数列， 所以. 所以 10．（2024·25高三上·河北衡水·开学考试）已知数列中，，且，为数列的前n项和，，数列是等比数列，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2)数列的前项和为. 【详解】（1）由已知当，时，，， 所以， 又， 所以， 所以， 所以数列为等差数列，公差为， 又，所以， 所以当，时，， 又， 所以，， 设等比数列的公比为， 因为，， 所以，， 所以，所以， （2）由（1）， 所以， 所以数列的前项和， 所以. 11．（2024·广东深圳·一模）若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是一个等差数列，则称这个数列是一个“二阶等差数列”，已知数列是一个二阶等差数列，其中． (1)求及的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由，得，， 由数列是一个二阶等差数列，得是以2为首项，1为公差的等差数列， 因此，， 当时，， 满足上式，则， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，， 所以 ． 12．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)证明：，并求数列的前项和. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【详解】（1）当时，； 当时，， ，当时，适合上式， 故 （2）， 成立， ， ， ...... ， 累加得 即， . 1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 2．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 3．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）求证：当时，求证：； （ⅱ）求． 【答案】(1) (2)①证明见详解；② 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为，即， 可得，整理得，解得或（舍去）， 所以. （2）（i）由（1）可知，且， 当时，则，即 可知， ， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以； （ii）由（1）可知：， 若，则； 若，则， 当时，，可知为等差数列， 可得， 所以， 且，符合上式，综上所述：. 【点睛】关键点点睛：1.分析可知当时，，可知为等差数列； 2.根据等差数列求和分析可得. 4．（2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 5．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 6．（2023·天津·高考真题）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 【答案】(1)，； (2)(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)，前项和为. 【详解】（1）由题意可得，解得， 则数列的通项公式为， 求和得 . （2）(Ⅰ)由题意可知，当时，， 取，则，即， 当时，， 取，此时， 据此可得， 综上可得：. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知：， 则数列的公比满足， 当时，，所以， 所以，即， 当时，，所以， 所以数列的通项公式为， 其前项和为：. 【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前项和的核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它对学生探索新知识很有裨益. 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），，解得， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， . （2）为等差数列， ，即， ，即，解得或， ，， 又，由等差数列性质知，，即， ，即，解得或（舍去） 当时，，解得，与矛盾，无解； 当时，，解得. 综上，. 8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时，若，则 ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 9．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）设公差为d，公比为，则， 由可得（舍去）， 所以； （2）证明：因为所以要证， 即证，即证， 即证， 而显然成立，所以； （3）因为 ， 所以 ， 设 所以， 则， 作差得 ， 所以， 所以. 10．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为． (1)若，求； (2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以， 所以，又， 所以， 所以， 所以， （2）因为，，成等比数列， 所以， ， ， 由已知方程的判别式大于等于0， 所以， 所以对于任意的恒成立， 所以对于任意的恒成立， 当时，， 当时，由，可得 当时，， 又 所以 2 学科网（北京）股份有限公司 $$