精品解析：山西省阳泉市盂县多校联考2024-2025学年九年级下学期开学数学试题

**基本信息** 结合春晚标识、晋商窗格等文化与时代情境，覆盖函数、几何、统计等核心知识，梯度设计适配九年级开学检测，凸显数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|几何变换（春晚标识旋转）、科学记数法（春晚触达人次）、函数图像|以社会热点为载体，考查基础概念| |填空题|5/15|规律探究（晋商窗格剪纸）、扇形面积（核心价值观展板）|文化情境中渗透数学抽象| |解答题|8/75|统计分析（社团调查）、抛物线应用（桥梁模型）、四边形探究|综合题融合模型意识与推理能力，如托勒密定理阅读题培养创新思维|

2024－2025学年度寒假作业质量监测 九年级（数学）试题 （全卷共三大题，共8页，满分 120 分，考试时间 120 分钟） 第Ⅰ卷（选择题 共 30 分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 2025年乙巳蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，下图为春晚主标识、将两个“巳”字如图摆放，恰似中国传统的如意纹样．双巳合璧，事事如意，它采用的基本数学变换是（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 位似 2. 中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以匠心独运的歌舞创编、暖心真挚的节目表演、充满科技感和时代感的视觉呈现，为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2024年2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，较去年增长．数据142亿用科学记数法表示为（　　） A. 0.142×109 B. 1.42×1010 C. 142×108 D. 1.42×107 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，C，D是上的两点，连接，，，若，则的度数是（ ） A B. C. D. 5. 函数与函数y=kx+k在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C D. 6. 汽车油箱中有汽油．如果不再加油，那么油箱中油量（单位：）随行驶路程（单位：）的增加而减少，平均耗油量为．当时，与的表达式为（ ） A. B. y C. D. 7. 如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（ ） A. 70° B. 65° C. 60° D. 50° 8. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（ ） A. 2mm B. C. D. 4mm 10. 如图，矩形顶点，，顶点C在x轴的正半轴上.作如下操作：①对折矩形，使得与重合，得到折痕，把纸片展平；②再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点O，得折痕，同时，得到了线段．则点N的坐标是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷﹙非选择题 共90 分﹚ 二．填空题：（本大题共 5 小题，每小题3 分，共 15 分）． 11. 计算：=_____． 12. 下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为_____个． 13. 如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，的长为半径作弧交于E，分别以点C，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交的延长线于点F，，则______． 14. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为______（结果保留）． 15. 在△ ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，AE⊥BC，交BC于点E，且AB＝5，AE＝BC＝4，则CD＝______． 三．解答题（本大题 8 小题，共 75 分） 16. （1）计算： （2）解分式方程：． 17. 某校在课后服务中，成立了以下社团：A．计算机，B．围棋，C．篮球，D．书法每人只能加入一个社团，为了㸷学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中D所占扇形的圆心角为．请结合图中所给信息解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有______人； （2）请你将条形统计图补充完整； （3）若该校共有1800学生加入了社团，请你估计这1800名学生中有多少人参加了篮球社团； （4）在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同学．现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率． 18. “母亲节”前夕，下冯商店根据市场调查，用3000元购进康乃馨盒装花，上市后很快售完，接着又用4200元购进蓝玫瑰盒装花．已知蓝玫瑰盒装花所购花的盒数是康乃馨盒装花所购花盒数2倍，且蓝玫瑰盒装花每盒花的进价比康乃馨每盒盒装花的进价少3元． （1）求康乃馨盒装花每盒的进价是多少元？ （2）下冯商店响应习总书记“爱我母亲”的号召，商店决定再次购进康乃馨盒装花和蓝玫瑰盒装花两种盒装花，共1000盒，恰逢花市对这两种盒装花的价格进行调整：康乃馨盒装花每盒进价比第一次每盒进价提高了，蓝玫瑰盒装花每盒按第一次每盒进价的9折购进．如果下冯商店此次购买的总费用不超过8000元，那么，下冯商店最少要购买多少盒蓝玫瑰盒装花？ 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； （3）直接写出不等式的解集． 20. 随着人民生活质量的不断提高，国家越来越重视“全民运动”，其中篮球运动是一项深受市民喜欢的球类运动，图1，图2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知，，，，，篮板顶端P点到篮框F的距离，支架垂直水平地面，支架与水平地面平行，求篮框F到水平地面的距离．（结果精确到．参考数据：，，） 21. 阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 克罗狄斯•托勒密（约90年﹣168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形ABCD内接于⊙O，则有 　 　． 任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 　 　． （2）如图2，正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝2，求对角线BD的长． 22. 综合与实践 问题背景： 某校科技协会组织桥梁模型制作比赛，向全校同学征集作品．图1是某“实践小组”制作的桥梁模型，图2是该模型简化后在平面直角坐标系（以桥面所在直线为轴，上下桥拱最高点，所在直线为轴）中的截面示意图，下面是他们的设计方案． 设计方案： ①上桥拱和下桥拱均为抛物线型，其中上桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式为； ②上、下桥拱最高点，之间的距离为10； ③桥拱在桥面上的距离的长度为25． 解决问题：请根据上述设计方案解决下面问题： （1）求下桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式； （2）“实践小组”欲在上、下桥拱之间设计一个矩形牌匾，并在牌匾上将该桥命名为“智慧桥”．其中点，（点在点的左侧）均在直线上，点，在上桥拱上（点P，Q关于轴对称，且P，Q均在直线的上方），若矩形的周长为57.5，请你在图2中画出该矩形，并求出点，的坐标． 23. 综合与实践 某数学兴趣小组数学课外活动中，对四边形做了如下探究． （1）如图1，在正方形中，点分别是上的两点，连接、，，则的值为_______． （2）如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，且，求的值． （3）如图3，在四边形中，，E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，且，，．求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度寒假作业质量监测 九年级（数学）试题 （全卷共三大题，共8页，满分 120 分，考试时间 120 分钟） 第Ⅰ卷（选择题 共 30 分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 2025年乙巳蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，下图为春晚主标识、将两个“巳”字如图摆放，恰似中国传统的如意纹样．双巳合璧，事事如意，它采用的基本数学变换是（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 位似 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转变换的性质，利用旋转变换的性质解决问题即可． 【详解】解：由图可知：春晚主标识是中心对称图形，可以由一个“巳”绕中心顺时针旋转得到另一个“巳”． 故选：B． 2. 中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以匠心独运的歌舞创编、暖心真挚的节目表演、充满科技感和时代感的视觉呈现，为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2024年2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，较去年增长．数据142亿用科学记数法表示为（　　） A. 0.142×109 B. 1.42×1010 C. 142×108 D. 1.42×107 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将142亿写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：142亿． 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法判定A，利用积的乘方判断B，利用完全平方公式判定C和D． 【详解】解:A、a3⋅a2=a5，错误； B、(ab3)2=a2b6，正确； C、(a−b)2=a2−2ab+b2，错误； D、(a+b)(−a−b)=-(a+b)2=-a2−2ab-b2，错误； 故选择B． 【点睛】本题考查幂的性质以及完全平方公式的应用，掌握乘法公式和幂的运算是解决问题的关键． 4. 如图，是的直径，C，D是上的两点，连接，，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，直角三角形两锐角互余，解题关键是能够灵活运用圆周角定理及其推论． 连接，根据直径所对圆周角可得，由同弧所对圆周角相等可求出度数，利用直角三角形两锐角互余求出的度数即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ， ∵， ∴，  ， 故选：A． 5. 函数与函数y=kx+k在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数及一次函数图象特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0， ∴一次函数y＝−kx＋k的图象经过一、二、四象限，故本选项错误； B、由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0， ∴一次函数y＝−kx＋k的图象经过一、三、四象限，故本选项错误； C、由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0， ∴一次函数y＝−kx＋k的图象经过一、三、四象限，故本选项正确； D、由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0， ∴一次函数y＝−kx＋k的图象经过一、二、四象限，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答． 6. 汽车油箱中有汽油．如果不再加油，那么油箱中的油量（单位：）随行驶路程（单位：）的增加而减少，平均耗油量为．当时，与的表达式为（ ） A. B. y C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用油箱中的油量总油量耗油量进而得出x与y的关系式，再求出的求值范围，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：， 故选：． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列变量间的表达式以及自变量取值范围求法，正确得出x、y的表达式是解题关键． 7. 如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（ ） A. 70° B. 65° C. 60° D. 50° 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行得到，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 8. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可得反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，再结合增减性可得答案． 【详解】解：∵ ∴反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， ∵， ∴点在第二象限，点在第四象限， ∴ ， ∴的大小关系为． 故选：A． 【点睛】本题考查的是反比例函数的增减性，掌握“反比例函数的增减性”是解本题的关键． 9. 大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（ ） A. 2mm B. C. D. 4mm 【答案】D 【解析】 【分析】如图，连接CF与AD交于点O，易证△COD为等边三角形，从而CD=OC=OD=AD，即可得到答案． 【详解】连接CF与AD交于点O， ∵为正六边形， ∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm， ∴△COD为等边三角形， ∴CD=CO=DO=4mm， 即正六边形的边长为4mm， 故选：D． 【点睛】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键． 10. 如图，矩形的顶点，，顶点C在x轴的正半轴上.作如下操作：①对折矩形，使得与重合，得到折痕，把纸片展平；②再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点O，得折痕，同时，得到了线段．则点N的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形性质和折叠性质可得，，，过点N作于点G，在中，依据勾股定理可求出的长，从而可得出结论． 详解】解：∵，， ∴ ∵四边形为矩形， ∴ 由折叠性质可得： 过点N作于点G，如图， ∵ ∴四边形矩形， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴点, 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形，折叠性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握折叠的性质． 第Ⅱ卷﹙非选择题 共90 分﹚ 二．填空题：（本大题共 5 小题，每小题3 分，共 15 分）． 11. 计算：=_____． 【答案】 【解析】 【分析】先把各二次根式起先化简，然后再合并同类二次根式即可. 【详解】原式=3-= . 【点睛】本题考查了二次根式的化简.二次根式的性质： 12. 下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为_____个． 【答案】3n+2 【解析】 【详解】解：第一个图案为3+2=5个窗花； 第二个图案为2×3+2=8个窗花； 第三个图案为3×3+2=11个窗花； …从而可以探究： 第n个图案所贴窗花数为（3n+2）个． 故答案为：3n+2 13. 如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，的长为半径作弧交于E，分别以点C，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交的延长线于点F，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本作图得到，平分，则，再根据平行四边形的性质和平行线的性质证明，所以． 【详解】解：由作法得，平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定． 14. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求扇形面积，利用扇形面积公式，根据即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 15. 在△ ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，AE⊥BC，交BC于点E，且AB＝5，AE＝BC＝4，则CD＝______． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作AB的平行线，交BD的延长线于点E，利用结合等腰三角形CBF求出结果． 【详解】解:过点C作AB的平行线，交BD的延长线于点E． 在直角△ABE中,∠AEB=90°, ， ， 在直角中，由勾股定理得 ． ∵， ∴ ， ∴． ∵BD平分∠ABC， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， 所以． 【点睛】本题考查勾股定理以及相似三角形的判定和性质，通过平行线构造相似三角形是解决问题的关键． 三．解答题（本大题 8 小题，共 75 分） 16. （1）计算： （2）解分式方程：． 【答案】（1）0；（2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、负指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值，解分式方程，掌握以上知识点是解题关键．． （1）先计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，再计算乘法，左后计算加减法即可； （2）先将分式方程化为整式方程求解，再检验即可． 【详解】解：（1） （2）， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 即分式方程的解为：． 17. 某校在课后服务中，成立了以下社团：A．计算机，B．围棋，C．篮球，D．书法每人只能加入一个社团，为了㸷学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中D所占扇形的圆心角为．请结合图中所给信息解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有______人； （2）请你将条形统计图补充完整； （3）若该校共有1800学生加入了社团，请你估计这1800名学生中有多少人参加了篮球社团； （4）在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同学．现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率． 【答案】（1） （2） 补充条形统计图如下： （3）这名学生中有人参加了篮球社团 （4） 【解析】 【分析】（1）由D所占扇形的圆心角为，根据，计算可求这次被调查的学生； （2）根据C组人数为：，计算求解，然后补图即可； （3）根据，计算求解即可； （4）根据题意，画树状图，然后求概率即可． 【小问1详解】 解：∵D所占扇形的圆心角为， ∴这次被调查的学生共有：（人）； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意知，C组人数为：（人）； 【小问3详解】 解：（人）， 答：这名学生中有人参加了篮球社团， 【小问4详解】 解：设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下： ∴一共有种可能的情况，恰好选择一男一女有种， ∴． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，列举法求概率．从统计图中获取正确的信息，正确的画树状图是解题的关键． 18. “母亲节”前夕，下冯商店根据市场调查，用3000元购进康乃馨盒装花，上市后很快售完，接着又用4200元购进蓝玫瑰盒装花．已知蓝玫瑰盒装花所购花的盒数是康乃馨盒装花所购花盒数2倍，且蓝玫瑰盒装花每盒花的进价比康乃馨每盒盒装花的进价少3元． （1）求康乃馨盒装花每盒的进价是多少元？ （2）下冯商店响应习总书记“爱我母亲”的号召，商店决定再次购进康乃馨盒装花和蓝玫瑰盒装花两种盒装花，共1000盒，恰逢花市对这两种盒装花的价格进行调整：康乃馨盒装花每盒进价比第一次每盒进价提高了，蓝玫瑰盒装花每盒按第一次每盒进价的9折购进．如果下冯商店此次购买的总费用不超过8000元，那么，下冯商店最少要购买多少盒蓝玫瑰盒装花？ 【答案】（1）康乃馨盒装花每盒的进价是10元/盒 （2）下冯商店此次最少要购买623盒蓝玫瑰盒装花 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． （1）设康乃馨盒装花每盒进价是元/盒，则蓝玫瑰盒装花每盒花的进价是元/盒，根据“蓝玫瑰盒装花所购花的盒数是康乃馨盒装花所购花盒数2倍”，列出分式方程，解方程即可得出答案； （2）设此次可购买盒蓝玫瑰盒装花，则购进康乃馨盒装花盒，根据“下冯商店此次购买的总费用不超过8000元”，列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【小问1详解】 解：设康乃馨盒装花每盒的进价是元/盒，则蓝玫瑰盒装花每盒花的进价是元/盒， 由题意得：， 解之得：， 检验：时，， 原分式方程的解为：， 答：康乃馨盒装花每盒的进价是10元/盒； 【小问2详解】 解：设此次可购买盒蓝玫瑰盒装花，则购进康乃馨盒装花盒， 由题意得： 解得， 是整数， 最小值等于623， 答：下冯商店此次最少要购买623盒蓝玫瑰盒装花． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3）或 【解析】 【分析】（1）先利用点B在直线上求出点B的横坐标m，再将点B坐标代入反比例函数求k，进而得到解析式； （2）先联立直线与反比例函数解析式求点A坐标，再根据三角形面积关系求出点P的纵坐标，最后代入反比例函数求横坐标； （3）通过观察函数图象，确定直线在反比例函数下方时x的取值范围． 【小问1详解】 解：点在直线上，将代入直线解析式得：， 解得， 点B的坐标为， 点在反比例函数的图象上，将点B坐标代入反比例函数解析式得：， 解得， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 联立直线与反比例函数的解析式，得方程组， 解得或，当时，， 点A的坐标为； 又，即， 所以， 故点纵坐标为4或． 将代入得，． 将代入得，． 所以点的坐标为或． 【小问3详解】 结合函数图象可知：当或时，直线在反比例函数下方， 不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质及其交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用图象解不等式．利用已知条件通过代数运算求解未知参数是解题的关键． 20. 随着人民生活质量不断提高，国家越来越重视“全民运动”，其中篮球运动是一项深受市民喜欢的球类运动，图1，图2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知，，，，，篮板顶端P点到篮框F的距离，支架垂直水平地面，支架与水平地面平行，求篮框F到水平地面的距离．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】篮框F到水平地面的距离约为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，延长交于点M，先求出，再解得到，根据线段的和差关系得到，据此求出的值即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于点M． 由题意可知， ， ． 在，，， ． ，， ， ， ∴篮框F到水平地面的距离约为． 21. 阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 克罗狄斯•托勒密（约90年﹣168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形ABCD内接于⊙O，则有 　 　． 任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 　 　． （2）如图2，正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝2，求对角线BD的长． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由托勒密定理可直接求解； （2）连接，根据圆周角与弦的关系可得，设，在四边形中，根据托勒密定理有，，建立方程即可求得的长 【详解】（1）由托勒密定理可得： 故答案为： （2）如图，连接， 五边形是正五边形，则, 设， 即 解得（舍去） 【点睛】本题考查了托勒密定理，圆周角与弦的关系，解一元二次方程，理解题意添加辅助线是解题的关键． 22. 综合与实践 问题背景： 某校科技协会组织桥梁模型制作比赛，向全校同学征集作品．图1是某“实践小组”制作的桥梁模型，图2是该模型简化后在平面直角坐标系（以桥面所在直线为轴，上下桥拱最高点，所在直线为轴）中的截面示意图，下面是他们的设计方案． 设计方案： ①上桥拱和下桥拱均为抛物线型，其中上桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式为； ②上、下桥拱最高点，之间的距离为10； ③桥拱在桥面上的距离的长度为25． 解决问题：请根据上述设计方案解决下面问题： （1）求下桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式； （2）“实践小组”欲在上、下桥拱之间设计一个矩形牌匾，并在牌匾上将该桥命名为“智慧桥”．其中点，（点在点的左侧）均在直线上，点，在上桥拱上（点P，Q关于轴对称，且P，Q均在直线的上方），若矩形的周长为57.5，请你在图2中画出该矩形，并求出点，的坐标． 【答案】（1） （2）见解析，点的坐标为，点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．得到二次函数中几个关键点的坐标并选择合适的函数解析式代入计算是解决本题的关键． （1）由得A、B、E的坐标，从而得出点F、点C、点D的坐标，设下桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式为，再运用待定系数法求解即可； （2）先画出图形，设点的坐标为，得点的坐标为．点的坐标为，可得，，由矩形的周长为57.5可得方程，解方程求出m的值可得结论． 【小问1详解】 解：由题意，得，． ，， ． 当时，， 解方程，得，， ，， ， 又， ， ，． 设下桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式为， 由图象经过点，可得，解方程，得． 下桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式为； 【小问2详解】 解：矩形如图所示． ，（点在点的左侧）均在直线上， 设点的坐标为，则点的坐标为． 由矩形，得轴， 点的坐标为， ，， 由矩形的周长为57.5，得， 解得：，（不合题意，舍去）， 点的坐标为，点的坐标为． 23. 综合与实践 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对四边形做了如下探究． （1）如图1，在正方形中，点分别是上的两点，连接、，，则的值为_______． （2）如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，且，求的值． （3）如图3，在四边形中，，E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，且，，．求的长． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，由此即可得到答案； （2）设与交于点G，证明，根据相似三角形的性质列出比例式求出的长即可得到答案； （3）过点C作交的延长线于点H，证明，，根据相似三角形的性质列出比例式，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设与交于点G，如图1所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 故答案为：1； 【小问2详解】 解：如图2，设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴, ∴； 【小问3详解】 过点C作交的延长线于点H，如图所示： ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题是相似综合题，考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及正方形的性质，矩形的性质，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $