精品解析：福建省泉州第五中学2024-2025学年九年级下学期数学限时训练（一）

泉州五中2025届初三下数学限时训练（一） 一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分．） 1. （ ） A. 2 B. C. 4 D. 2. 党的二十大报告指出：十年来，我国建成了世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现了历史性跨越，基本养老保险覆盖了十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五．数据“十亿四千万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 5. 将三角板 按如图位置摆放，顶点 落在直线上，顶点 落在直线上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试得90分、微型课得92分、教学反思得88分．按照图所显示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合成绩为（ ） A. 88 B. 90 C. 91 D. 92 7. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，它奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”在这个问题中，物价钱数为（ ） A. 49 B. 53 C. 56 D. 59 8. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直 B. 一个正数的算术平方根一定比这个数小 C. 点关于x轴的对称点坐标是 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 9. 若，则一次函数 与反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（ ）． A. B. C. D. 10. 已知三个实数满足，则（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分.） 11. 因式分解___________． 12. 方程组的解为_____________． 13. 在菱形 中，E为 的中点，，则菱形 的周长为__________． 14. 已知 ， 是一元二次方程的两个根，则的值为________． 15. 如图，直线过点，，则不等式的解集是_________． 16. 如图，四边形为矩形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，轴于点E．若的延长线交x轴于点F，当矩形的面积为时，点F的坐标为___________． 三．解答题（共9小题） 17. 计算： 18. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 19. 如图，点E在 边 上，，，．求证： 20. 先化简，再求值：，其中 是满足 的整数． 21. 某中学随机从七、八年级中各抽取20名选手组成代表队参加党史知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，这次竞赛后，将七、八年级两支代表队选手成绩，整理绘制如下两幅不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图； （2）七年级代表队学生成绩的平均数是 ，中位数是 ，众数是 ； （3）八年级代表队学生成绩扇形统计图中，8分成绩对应的圆心角度数是 度，m的值是 ； （4）该校八年级有500人，根据抽样调查的结果，请你估计该校八年级学生中有多少名学生的成绩是9分． 22. 初三同学小附决定利用周末时间去爬山锻炼身体，小附在山脚A观测山顶D的仰角为α，然后沿着坡度为的斜坡前进117米到达B处平地，继续沿平地前进到达C处，此时测得斜坡 的坡角为，再沿着斜坡 前行1200米到达点D．（参考数据：，，，结果精确到0.1）．求点D距离山脚A的垂直高度． 23. 综合与实践 背景 【直角三角形中角平分线与垂直平分线的探究与发现】 南南和北北两位同学对几何学习非常感兴趣，在八年级上册的几何学习后，他们俩相约着对直角三角形背景下的角平分线与垂直平分线进行了一番探究，有了一些有意思的发现． 素材 如图1， 是直角三角形，． 操作：南南和北北画出的角平分线 与 的垂直平分线， 与交于点 ． 发现：当 长度不变， 长度变化时，点 的位置也会随之变化．当点 位于某个特殊位置时，的度数、一些线段之间的长度关系会存在一定的特殊性． 问题解决 任务1 在如图2所示的直角三角形中，南南发现：点 正好落在边 上． （1）请利用尺规作图帮助南南找出点 的位置．（保留作图痕迹，不要求写作法） 任务2 （2）点 在图2的位置时，南南和北北发现： ① ； ②，请证明这一发现． 任务3 （3）继续探索发现，如图3所示， 、 、 三点共线，此时，南南和北北又有了新的发现： ① ； ②若已知，，则能用含字母 、的式子表示线段的长度．请写出的长度，并说明理由． 24. 如图，在 中，， ，点D为射线 上一点，连接 ，将线段 绕点C顺时针旋转 得到线段 ，连接 ， 所在直线与射线交于点F，且． （1）当点D在线段 上， ①求证：； ②求的值； （2）连接 ， ，若，直接写出 的长． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线（b是常数）的对称轴为直线 ，点A在这个抛物线上，且点A的横坐标为m． （1）求该抛物线对应的函数表达式，并写出顶点C的坐标． （2）点B在这个抛物线上（点B在点A的左侧），点B的横坐标为． ①当 是以 为底的等腰三角形时，求 的面积． ②将此抛物线A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G，当顶点C在图象G上，记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式． （3）设点D的坐标为，点E的坐标为，点F在坐标平面内，以A、D、E、F为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州五中2025届初三下数学限时训练（一） 一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分．） 1. （ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根定义，根据算术平方根定义进行计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 2. 党的二十大报告指出：十年来，我国建成了世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现了历史性跨越，基本养老保险覆盖了十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五．数据“十亿四千万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：十亿四千万， 故选C． 3. 如两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握：从左边看得到的图形是左视图．据此判断即可． 【详解】解：A．它的左视图的两个长方形的长应该相等，故此选项不符合题意； B．它的左视图应该是上下两层，故此选项不符合题意； C．该图形是几何体的左视图，故此选项符合题意； D．它的左视图应该是上下两层，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方运算法则，正确运用运算法则运算是关键． 先用积的乘方运算法则得，再利用幂的乘方运算得结果为． 【详解】， ∴选项A、B、C错误，选项D正确． 故选D． 5. 将三角板 按如图位置摆放，顶点 落在直线上，顶点 落在直线上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．正确理解题意是解题关键．由角的和差即可求出，再利用平行线的性质可求出即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 6. 李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试得90分、微型课得92分、教学反思得88分．按照图所显示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合成绩为（ ） A. 88 B. 90 C. 91 D. 92 【答案】C 【解析】 【分析】根据统计图结合题意，根据加权平均数进行计算即可求解． 【详解】解： 故选C 【点睛】本题考查了加权平均数，正确的计算是解题的关键． 7. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，它奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”在这个问题中，物价钱数为（ ） A. 49 B. 53 C. 56 D. 59 【答案】B 【解析】 【分析】题目中存在两个等量关系：人数物价；人数物价，设人数为 人，物价为 钱，可得到关于 ， 的二元一次方程组． 【详解】设人数为 人，物价为 钱． 根据题意，得 解得 所以，人数为 人，物价为钱． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组与实际问题，根据题目中的等量关系得到二元一次方程组是解题的关键． 8. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直 B. 一个正数的算术平方根一定比这个数小 C. 点关于x轴的对称点坐标是 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假以及矩形的性质、算术平方根、轴对称以及正方形性质，据此相关性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，故原说法是错误的，不符合题意； B、1的算术平方根是1，故一个正数的算术平方根不一定比这个数小，故该选项是错误的，不符合题意； C、点关于x轴的对称点坐标是，故该选项是正确的，符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原说法是错误的，不符合题意； 故选：C． 9. 若，则一次函数 与反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，熟练掌握字母对图象的影响是解题关键． 对k和b的符号进行分类讨论，判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴k和b的符号相反， 当 ， 时，一次函数 的图象经过一、二、四象限，反比例函数的图象在二、四象限，选项C符合； 当 ， 时，一次函数 的图象经过一、三、四象限，反比例函数的图象在一、三象限，没有符合的选项． 故选：C． 10. 已知三个实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式．依据题意，由得，，结合，可得 ，再将代入可以得解． 【详解】解：， ，， ， ． ． ， ． 故选：A． 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分.） 11. 因式分解___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 提公因式m，再用平方差公式分解即可． 【详解】解；． 故答案为；． 12. 方程组的解为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组．这类题目的解题关键是掌握方程组解法中的加减消元法和代入法．可以先消去 ，求得 的值然后代入求得 的值． 【详解】解：， 由①②得：， 解得③ 把③代入②解得：． 解得 故原方程组的解是：． 故答案为： 13. 在菱形 中，E为 的中点，，则菱形 的周长为__________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线的性质，熟知相关性质是解题的关键．根据菱形的对角线互相平分可得 ，然后判断出 是 的中位线，再根据三角形的中位线等于第三边的一半求出 ，然后根据菱形的周长进行计算即可得解． 【详解】解：在菱形 中， ， ∵E为 的中点， ∴ 是 的中位线， ∵， ∴， ∴菱形 的周长为． 故答案为：24． 14. 已知， 是一元二次方程的两个根，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由， 是一元二次方程的两个实数根，可得，，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， 是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，直线过点，，则不等式的解集是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．数形结合是解题的关键． 根据不等式的解集为直线图象在 轴上方图象所对应的 的取值范围，结合图象作答即可． 【详解】解：由题意知，不等式的解集为直线图象在 轴上方图象所对应的 的取值范围， 由图象可知，不等式的解集是， 故答案为：． 16. 如图，四边形为矩形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，轴于点E．若的延长线交x轴于点F，当矩形的面积为时，点F的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式． 作轴于G，连接，设 和交于I，设点，根据矩形的面积得出三角形的面积，将三角形的面积转化为梯形的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果． 【详解】解：如图， 作轴于G，连接，设 和交于I， 设点， 由对称性可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴，即：， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 设直线的解析式为，将点B代入得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 同理得：直线的解析式为：， 当 时，， ∴， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共9小题） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及到负指数幂、特殊角的三角函数值等，熟练掌握负指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值是解题的关键． 按顺序依次先进行负指数幂的运算、特殊角的三角函数值、立方根运算、绝对值的化简，然后再进行合并即可得． 【详解】解： 18. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用配方法解方程，在本题中，把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方； （2）解不等式组，就是分别解两个不等式后，再根据大小小大取中，求出公共部分． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）解：， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程和解一元一次不等式组，解题时要注意解题步骤的准确应用，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方；解不等式组，求其解集时根据：大大取大，小小取小，大小小大取中，大大小小取不着，准确写出解集． 19. 如图，点E在 边 上，，，．求证： 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据平行线的性质，得到，再根据三角形外角的性质，得出，即可利用“”证明． 【详解】证明：， ， ，，， ， 在 和中， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 20. 先化简，再求值：，其中 是满足 的整数． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，得 只能取，根据分式运算法则，化简代数式，将字母值代入求解． 【详解】解:原式= ． 由题意知:不等式的整数解为，但 的取值不能为和0,则 只能取 当时， 原式． 【点睛】本题考查分式的运算，分式有意义的条件；根据分式有意义的条件确定字母值是解题的关键． 21. 某中学随机从七、八年级中各抽取20名选手组成代表队参加党史知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，这次竞赛后，将七、八年级两支代表队选手成绩，整理绘制如下两幅不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图； （2）七年级代表队学生成绩的平均数是 ，中位数是 ，众数是 ； （3）八年级代表队学生成绩扇形统计图中，8分成绩对应的圆心角度数是 度，m的值是 ； （4）该校八年级有500人，根据抽样调查的结果，请你估计该校八年级学生中有多少名学生的成绩是9分． 【答案】（1） 补全条形统计图如下： （2）8；8；7 （3）90；25 （4）75名 【解析】 【分析】（1）先求出七年级10分的人数，然后补全条形统计图即可； （2）根据平均数、中位数和众数的定义进行求解即可； （3）用乘八年级学生成绩为8分的人数的百分比即可求出其圆心角的度数；用1减去其他几项所占的百分比，即可求出八年级学生成绩为8分的人数的百分比，即可得出m的值； （4）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：七年级10分的人数为（人）； 【小问2详解】 解：七年级学生成绩的平均数为（分）， 将七年级抽取的20人成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数是分，即中位数是8， 七年级抽取的20人成绩出现次数最多的是7分，共出现6次，因此众数是7； 【小问3详解】 解：，即， ， ∴八年级代表队学生成绩扇形统计图中，8分成绩对应的圆心角度数是 ，m的值是25； 【小问4详解】 解：（人）， 答：该校八年级学生中有75名学生的成绩是9分． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，求中位数、众数和平均数，用样本估计总体，解题的关键是根据统计图信息，得出我们需要的数据，熟练掌握统计图的特点． 22. 初三同学小附决定利用周末时间去爬山锻炼身体，小附在山脚A观测山顶D的仰角为α，然后沿着坡度为的斜坡前进117米到达B处平地，继续沿平地前进到达C处，此时测得斜坡 的坡角为，再沿着斜坡 前行1200米到达点D．（参考数据：，，，结果精确到0.1）．求点D距离山脚A的垂直高度． 【答案】765米 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用；过点B，C，D分别作水平线的垂线，垂足分别为E，F，G，延长 交 于点H，得到四边形是矩形，得到，分别解，即可求出． 【详解】解：如图所示， 过点B，C，D分别作水平线的垂线，垂足分别为E，F，G，延长 交于点H，则四边形是矩形， 则， 依题意，，米，米， 在中，， 设米，则米， ∴， ∵米， ∴， ∴（米） 在中，米，（米）， ∴（米）， 即点D距离山脚A的垂直高度765米． 23. 综合与实践 背景 【直角三角形中角平分线与垂直平分线的探究与发现】 南南和北北两位同学对几何学习非常感兴趣，在八年级上册的几何学习后，他们俩相约着对直角三角形背景下的角平分线与垂直平分线进行了一番探究，有了一些有意思的发现． 素材 如图1， 是直角三角形，． 操作：南南和北北画出的角平分线 与 的垂直平分线 ， 与 交于点 ． 发现：当 长度不变， 长度变化时，点 的位置也会随之变化．当点 位于某个特殊位置时，的度数、一些线段之间的长度关系会存在一定的特殊性． 问题解决 任务1 在如图2所示的直角三角形中，南南发现：点 正好落在边 上． （1）请利用尺规作图帮助南南找出点 的位置．（保留作图痕迹，不要求写作法） 任务2 （2）点 在图2的位置时，南南和北北发现： ① ； ②，请证明这一发现． 任务3 （3）继续探索发现，如图3所示，、 、 三点共线，此时，南南和北北又有了新的发现： ① ； ②若已知，，则能用含字母、 的式子表示线段 的长度．请写出 的长度，并说明理由． 【答案】（1）作图见解析；（2）① ；②证明见解析；（3）①；②，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意作的角平分线 ，作 的垂直平分线 ， 与 相交于 ，点 正好落在边 上， （2）①根据角平分线的定义设，根据垂直平分线的性质可得 ，则，根据直角三角形中两个锐角互余得出，解方程，即可求解； ②根据含 度角的直角三角形的性质得出，进而结合 ，等量代换，即可得证； （3）过点 作于点 ，根据角平分线的性质设，进而根据等面积法列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：作的角平分线 ，作 的垂直平分线 ， 与 相交于 ，点 正好落在边 上，如图2所示： （2）①解：平分， 设， , 是 的垂直平分线， ， ， 在 中，， ， ， 解得：， ， 故答案为：； ②证明：在中，， ， ， ； （3）①解： 的垂直平分线为 ，、 、 三点共线， ， 是等腰直角三角形 ， 故答案为： ； ②解：线段 的长度为，理由如下： 过点 作于点 ，如图3所示： 平分，，， , 设， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ∴， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了作角平分线与垂直平分线，角平分线的性质，垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24. 如图，在 中，， ，点D为射线上一点，连接 ，将线段 绕点C顺时针旋转 得到线段 ，连接 ， 所在直线与射线交于点F，且． （1）当点D在线段上， ①求证：； ②求的值； （2）连接 ， ，若，直接写出 的长． 【答案】（1） ①证明：在 中，， ， ∴， ∵线段 绕点C顺时针旋转 得到线段 ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ② （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据题意可得 和为等腰直角三角形，可得 ，，再根据三角形外角的性质即可得证； ②过点C作于点E，设，可得，，根据等腰三角形三线合一及直角三角形斜边上中线的性质可得，由勾股定理可得，证明，由相似三角形的性质可得，，再代入计算即可； （2）分点D在线段上和点D在线段延长线上两种情况进行讨论即可． 【小问1详解】 ①略 ②解：过点C作于点E，如图， 设， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴， ∴的值为． 【小问2详解】 解：分以下两种情况： 当点D在线段上，过点E作，交的延长线于点M，如图， 在中，，，， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴， ∵， 在中，， ∴， 解得， 在中， ； 当点D在线段延长线上，过点E作，交射线于点N，过点C作于点H，如图， 设， ∵， ∴，， ∵，，， ∴，， 在中，，，， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， 在中，， ∴， 解得， 在中，，， ∴ ， 综上所述，BE的长为或． 【点睛】本题属于相似型综合题，考查等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨的思想思考问题． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线（b是常数）的对称轴为直线 ，点A在这个抛物线上，且点A的横坐标为m． （1）求该抛物线对应的函数表达式，并写出顶点C的坐标． （2）点B在这个抛物线上（点B在点A的左侧），点B的横坐标为． ①当 是以 为底的等腰三角形时，求 的面积． ②将此抛物线A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G，当顶点C在图象G上，记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式． （3）设点D的坐标为，点E的坐标为，点F在坐标平面内，以A、D、E、F为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）该抛物线对应的函数表达式为，顶点C的坐标为； （2）①；②当时，；当时，； （3）或或． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求得抛物线的解析式，再将解析式化成顶点式，即可求解； （2）①先根据等腰三角形的性质和中点坐标公式，求得A、B、C三点的坐标，再根据三角形面积公式求解即可； ②分两种情况讨论，当点A为最高点和点B为最高点时，求得m的取值范围，再计算纵坐标的差h即可解答； （3）分别求得点D、E在抛物线上、点D、E重合和抛物线的顶点恰好在 上时，对应的m的值，然后分情况讨论，分别画出图形，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线 ， ∴， ∴， ∴该抛物线对应的函数表达式为， ∵， ∴顶点C的坐标为； 【小问2详解】 解：①当时，， ∴， 当 是以 为底的等腰三角形时， 则， ∵点C在抛物线的对称轴 上， ∴点A、点B关于直线 对称， ∴， ∵点A的横坐标为m， ∴，解得：， ∴， 由（1）得， ∴； ②∵，，点 在点 的左侧， ∴， ∴， ∵顶点在图象 上， ∴，顶点为最低点， ∴， ∴当点A为最高点时，则，即时， 则； 当点B为最高点时，则，即时， 则， 综上，h与m之间的函数关系式为当时，；当时，． 【小问3详解】 解：∵点 的坐标为，点 的坐标为，点 的坐标为， ∴轴，轴，且点 在直线上运动， ∴， ∵以为顶点构造矩形，则矩形只能是， 联立，解得或， 当重合时，，解得； ①当时，如图： 此时抛物线与矩形有4个交点不符合题意； ②当时，如图： 此时抛物线与矩形有3个交点，满足题意； ③当时，此时，，如图， 此时抛物线与矩形有2个交点，不符合题意； ④当时，此时，，如图， 此时抛物线与矩形有2个交点，不符合题意； ⑤时，如图， 此时抛物线与矩形有1个交点，不符合题意； ⑥当点 恰好在抛物线上且在对称轴的左侧时，此时，解得或（舍去），如图， 此时抛物线与矩形有3个交点，满足题意； ⑦当时，如图， 此时抛物线与矩形有2个交点，不符合题意； ⑧当抛物线的顶点恰好在 上，此时，，解得，如图， 此时抛物线与矩形有3个交点符合题意； ⑨当时，如图， 此时抛物线与矩形有4个交点，不符合题意； ⑩ 当时，如图， 此时抛物线与矩形有2个交点，不符合题意； 综上：或或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $