精品解析：安徽省六安市叶集皖西当代中学2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

叶集皖西当代中学高二年级期末考试 数 学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在直角坐标系中，下列直线的倾斜角为钝角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的方程依次分析即可得答案. 【详解】解：对于A选项，直线与轴垂直，所以倾斜角为，故A错误； 对于B选项，直线与轴平行，所以直线的倾斜角为，故B错误； 对于C选项，根据直线的截距式方程得直线过，点，故斜率，所以倾斜角为钝角，故C正确； 对于D选项，化为斜截式得，所以，所以倾斜角为锐角，故D错误. 故选：C. 【点睛】本题考查根据直线的方程判断直线的倾斜角的范围，是基础题. 2. 平行于直线，且与的距离为的直线的方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行直线系设出直线方程，然后利用平行直线间的距离公式计算出m的值. 【详解】解：设与直线平行的直线方程为， 由， 解得：或. ∴ 所求直线方程为或. 故选：B. 3. 在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出，，利用线线角的向量法，即可求解. 【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为， 则，所以，， 设异面直线与所成的角为， 则， 故选：D. 4. 已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A、B两点，且，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合椭圆的定义运算求解即可. 【详解】如图所示：，， 由椭圆定义得.① 在中，.② 由①②得，则， 所以椭圆C的方程为. 故选：C. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解. 5. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、 惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列， 冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则芒种日影长为（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】C 【解析】 【分析】从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种的日影长依次构成等差数列，设为，求出、的值，可求得该等差数列的公差，进而可求得的值，即为所求. 【详解】从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、 惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、 芒种的日影长依次构成等差数列，设为， 前九个节气日影长之和为尺，即，解得， 又因为冬至、立春、春分日影长之和为尺，即，可得， 所以，数列的公差为， 所以，即芒种日影长为尺. 故选：C. 6. 如图所示,在平行六面体中,,,,是的中点,点是上的点,且,用表示向量的结果是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平行六面体中根据空间向量的加法合成法则,对向量进行线性表示,即可求得答案. 【详解】连接 可得: 又 故选: D. 【点睛】本题考查了空间向量的加法运算,解题关键是掌握向量的加法运算和数形结合,属于基础题. 7. 已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是公差为的等差数列 B. 数列是公差为2的等差数列 C. 数列是公比为的等比数列 D. 数列是公比为2的等比数列 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推关系式，化简变形可得即可判断数列是公比为的等比数列. 【详解】∵， ∴， 既不是等比数列也不是等差数列； ∴， ∴数列是公比为的等比数列． 故选：C 8. 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得 当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值. 当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下述正确的是（ ） A. 圆C的半径 B. 点在圆C的内部 C. 直线与圆C相切 D. 圆与圆C相交 【答案】ACD 【解析】 【分析】先将圆方程化为标准方程，求出圆心和半径，然后逐个分析判断即可 【详解】由，得，则圆心，半径， 所以A正确， 对于B，因为点到圆心的距离为，所以点在圆C的外部，所以B错误， 对于C，因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆C相切，所以C正确， 对于D，圆的圆心为，半径， 因为，， 所以圆与圆C相交，所以D正确， 故选：ACD 10. 已知数列是等比数列，则下列命题中正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 若，，则 C. 若数列的前项和，则 D. 若，公比，则数列是递增数列 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据条件，利用等比数列的定义，即可求解；对于B，根据选项条件，直接求出，即可求解；对于B，利用，求接求出，再利用等比数列的性，即可求解，对于D，根据通项公式，结合选项条件及指数函数的性质，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，首项为， 对于选项A，因为为常数，所以数列是等比数列，故选项A正确， 对于选项B，因为，，则，解得， 所以，故选项B错误， 对于选项C，因为，令，得到，令，得到，所以， 令，得到，所以，由题有，解得，所以选项C错误， 对于选项D，因为，又，公比，所以数列是递增数列，故选项D正确， 故选：AD. 11. 已知抛物C：的焦点为F，直线l与C交于点A，B（A在第一象限），以AB为直径的圆E与C的准线相切于点D．若，则（ ） A. A，B，F三点共线 B. l的斜率为 C. D. 圆E的半径是6 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线与抛物线的关系，结合几何关系，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：连接，过点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，如下所示： 因为，又，故， 故三点共线，A正确； 对B：因为，，故，又， 故，又//轴，故直线的倾斜角为，则直线的斜率为，故B错误； 对C：根据B所求，可得直线方程为，联立抛物线方程可得： ，解得或，故两点的坐标为， 则，故，C正确； 对D：由C知，，故圆的半径为，D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】先求出圆心的坐标和半径，设，则过点与垂直的直线被圆所截的弦最短，利用半径、弦心距和弦的关系可求出弦长. 【详解】由，可得圆心，半径， 设，则过点与垂直的直线被圆所截的弦最短， ， 此时弦长为， 故答案为：2. 13. 记为数列的前项和，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据公式 ，化简即可得出答案. 【详解】当时，. 当时，因为化简得. 所以数列为以为首项，为公比的等比数列. 所以. 故答案为. 【点睛】本题考查根据递推关系求数列的前项的和.属于基础题.解本类题型需熟练掌握公式. 14. 已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为 ． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，根据三点共线，求出直线的方程，联立双曲线方程，即可求得点坐标，则由即可容易求得. 【详解】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，， ∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|++|AF|=|PA|++|AF|+， 由于是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|+最小，即P、A、共线， ∵，∴直线的方程为，即代入整理得， 解得或 (舍)，所以P点的纵坐标为， ∴=. 故答案为：. 【点睛】本题考查双曲线中三角形面积的求解，涉及双曲线的定义，属综合中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）列式求解的公差，写出等差数列通项公式，即可求解； （2）由（1）得，再利用裂项相消法求和，即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则， 解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以. 16. 已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点P（m，2）到其焦点F的距离为4． （1）求抛物线C的方程； （2）过点F且斜率为1的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，求OAB的面积． 【答案】（1）x2＝8y；（2）. 【解析】 【分析】（1）解方程即得解； （2）求出和，即得解. 【详解】解：（1）由已知及抛物线定义可得，∴p＝4，∴抛物线C的方程为x2＝8y． （2）由（1）可得F（0，2），∴l：y＝x+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 将l方程代入C方程整理得y2﹣12y+4＝0，∴y1+y2＝12，∴|AB|＝y1+y2+p＝16， 原点O到直线l的距离为， ∴OAB的面积． 17. 已知数列满足，. （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1） 证明：由，两边同除以可得， 化为，又因为， 所以数列是以为首项以为公比的等比数列， 所以，则； （2） 【解析】 【分析】（1）递推关系两边同除以可得，两边同时减1，化简后利用等比数列的定义与通项公式求解即可； （2）利用错位相减法与分组求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 即， 设①， 则②， ①减②得：， 所以 所以. 18. 如图，平面，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若二面角的余弦值为，求线段的长. 【答案】（1）依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系(如图)， 可得. 设，则. 依题意，是平面的法向量， 又，可得， 又因为直线平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系 （1）利用直线的方向向量和平面的法向量的关系即可证明线面平行； （2）分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后求解线面角的正弦值即可； （3）首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于长度的方程，解方程可得的长度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，， 设为平面的法向量， 则，即，不妨令，可得， 因此有. 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设为平面的法向量，则，即. 不妨令，可得. 由题意，有，解得. 经检验，符合题意. 所以，线段的长为. 19. 已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C. （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G. （i）证明：是直角三角形； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1）曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为； （2）（i）[方法一]【分别求得斜率的表达式利用斜率之积为即可证得题中的结论】 依题意设， 直线的斜率为，则， 所以． 又，所以， 进而有，即是直角三角形． [方法二]【利用三点共线和点差法真的斜率之积为即可证得题中的结论】 由题意设，则． 因为Q，E，G三点共线，所以， 又因为点P，G在椭圆上，所以， 两式相减得， 所以，所以． （ii） 【解析】 【分析】（1）分别求出直线AM与BM的斜率，由已知直线AM与BM的斜率之积为−，可以得到等式，化简可以求出曲线C的方程，注意直线AM与BM有斜率的条件； （2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出P，Q两点的坐标，进而求出点的坐标，求出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出的坐标，再求出直线的斜率，计算的值，就可以证明出是直角三角形； （ii）由（i）可知三点坐标，是直角三角形，求出的长，利用面积公式求出的面积，利用导数求出面积的最大值. 【详解】（1）直线的斜率为，直线的斜率为， 由题意可知：， 所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为； （2）（i）略 （ii）[方法一]【求得面积函数，然后求导确定最值】 设，则直线的方程为，联立解得 所以直线的方程为． 联立直线的方程和椭圆C的方程，可得， 则， 所以． 令，即 ． 注意到，得，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以当时，． [方法二]【利用弦长公式结合韦达定理求得面积表达式，然后求导确定最值】 设的中点为N，直线的斜率为k，则其方程为． 由解得．由（Ⅰ）得．直线的方程为，直线的方程为，联立得，． 又，从而，进而．以下同解法一． 【整体点评】(2)(i)方法一：斜率之积为是证明垂直的核心和关键； 方法二：利用三点共线和点差法使得问题的处理更加简单. (ii)导数是求最值的一种重要方法，在求最值的时候几乎所有问题都可以考虑用导数求解； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 叶集皖西当代中学高二年级期末考试 数 学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在直角坐标系中，下列直线的倾斜角为钝角的是（ ） A. B. C. D. 2. 平行于直线，且与的距离为的直线的方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A、B两点，且，则的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、 惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列， 冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则芒种日影长为（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 6. 如图所示,在平行六面体中,,,,是的中点,点是上的点,且,用表示向量的结果是( ) A. B. C. D. 7. 已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是公差为的等差数列 B. 数列是公差为2的等差数列 C. 数列是公比为的等比数列 D. 数列是公比为2的等比数列 8. 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下述正确的是（ ） A. 圆C的半径 B. 点在圆C的内部 C. 直线与圆C相切 D. 圆与圆C相交 10. 已知数列是等比数列，则下列命题中正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 若，，则 C. 若数列的前项和，则 D. 若，公比，则数列是递增数列 11. 已知抛物C：的焦点为F，直线l与C交于点A，B（A在第一象限），以AB为直径的圆E与C的准线相切于点D．若，则（ ） A. A，B，F三点共线 B. l的斜率为 C. D. 圆E的半径是6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为______. 13. 记为数列的前项和，若，则______. 14. 已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点P（m，2）到其焦点F的距离为4． （1）求抛物线C的方程； （2）过点F且斜率为1的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，求OAB的面积． 17. 已知数列满足，. （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和. 18. 如图，平面，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若二面角的余弦值为，求线段的长. 19. 已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C. （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G. （i）证明：是直角三角形； （ii）求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $